Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”.

Facultad de Ingeniería y Arquitectura.

Departamento de Matemática.

Matemática IV.

Sección 03.

Ciclo 02/2014.

Prof. Ing. Eduardo Escapini Peñate.

Jefe de instructores: Jonathan Landaverde.

Aplicaciones de Ecuaciones diferenciales.

(CIRCUITOS)

1. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50

ohm, se le aplica una tensión de 30 V. Determine la corriente 𝑖(𝑡) si se sabe que

𝑖(0) = 0. ¿Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo, 𝑡 → ∞?

2. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200 ohm y la capacitancia es de

10E-4 F, se le aplica una tensión de 100 V. Si 𝑞(0) = 0, calcule la carga 𝑞(𝑡) en el

capacitor y obtenga la corriente 𝑖(𝑡).

3. Un inductor de L henrys varia con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a

L = 0.05 + 0.001t. Se conecta en serie con un generador cuya fem es de 40 V y

una resistencia de 10 ohm. Si la corriente 𝑖(0) = 0, calcule 𝑖(𝑡) para todo t mayor

que cero. ¿Cuál es la corriente máxima teórica?

4. Una resistencia de 20 ohm y un inductor de 5 H se conectan en serie en un circuito

eléctrico en el cual hay un flujo de corriente de 20 A en el tiempo cero. Encuentre

la corriente para todo tiempo mayor o igual que cero, si la fem es cero para todo

tiempo mayor que cero.

5. Un condensador de 5E-3 F está en serie con una resistencia de 25 ohm y una fem

de 50cos(6t) V, donde t es mayor o igual que cero. El interruptor se cierra en t=0.

Si la carga inicial en el condensador es cero, determine la carga y la corriente en

cualquier tiempo.

6. Una resistencia de 20 ohm se conecta en serie con un condensador de 0.01 F y una

fem en volts dada por 40𝑒−3𝑡 + 20𝑒−6𝑡. Si 𝑞(0) = 0, muestre que la carga

máxima en el condensador es de 0.25 coulombs.

7. Un circuito consiste de una resistencia constante de R ohm en serie con una fem

constante de E voltios y una inductancia constante de L henrys. Si la corriente

inicial es cero, muestre que la corriente crece a la mitad de su valor teórico

máximo en 𝐿𝑙𝑛(2)

𝑅𝑠.

8. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 1000 ohm y la capacitancia es

de 5E-6 F, se le aplica una tensión de 200 V. Determine la carga 𝑞(𝑡) en el

capacitor si se sabe que 𝑖(0) = 0.4. ¿Cuál será el valor de la corriente y la carga

para t=0.005 s, y la carga después de un tiempo largo, 𝑡 → ∞?

9. Se aplica una fuerza electromotriz 𝐸(𝑡) = {120, 0 ≤ 𝑡 ≤ 20

0, 𝑡 > 20 a un circuito en serie

LR, en donde la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohm.

Determine la corriente 𝑖(𝑡), si 𝑖(0) = 0.

10. Se tiene un circuito en serie, configurado como RLC. Se le pide encontrar la carga y

corriente para cualquier tiempo requerido, dadas las condiciones: 𝑖(0) =

1 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 y que el voltaje en el capacitor es 𝐸𝑐(0) = 20 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠; si se sabe que la

resistencia R tiene un valor de 40 Ω, el inductor L tiene una inductancia de 10

henrys, y el condensador C tiene una capacitancia de 0.01 Faradios y que además

dicho circuito está conectado a fuente que varía su voltaje con el tiempo, dicha

variación viene dada por: 𝐸(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛(5𝑡 + 30).

(SISTEMA MASA RESORTE)

1. Un resorte de 4 pies alcanza 8 pies al colgarle una pesa de 8 lb. El sistema se coloca

en un medio a través del cual se ofrece una resistencia numéricamente igual a √2

veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa

parte de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo. Calcule

el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de

equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?

2. Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es de 5 lb/pie. Se suelta la

masa a 1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia

abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es

numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. Se le pide deducir la

ecuación del movimiento si una fuerza externa dada por:𝑓(𝑡) = 12 cos(2𝑡) +

3𝑠𝑒𝑛(2𝑡) actúa sobre la masa.

3. Después de unir una pesa de 10 lb a un resorte de 5 pies, este mide 7 pies. Se quita

y se reemplaza con otra pesa de 8 lb y el sistema se coloca en un medio que ofrece

una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.

a) Deduzca la ecuación de movimiento, si la pesa parte 0.5 pie debajo de la posición

de equilibrio a una velocidad de 1 pie/s hacia abajo.

b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma:

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝜆𝑡𝑠𝑒𝑛 ((√𝜔2 − 𝜆2)𝑡 + ∅).

4. Una pesa de 24 lb estira 4 pies un resorte. El movimiento que se produce se lleva a

cabo en un medio que presenta una resistencia numéricamente igual a 𝛽 (𝛽 > 0)

veces la velocidad instantánea. Si la pesa parte de la posición de equilibrio con una

velocidad de 2 pie/s hacia arriba, demuestre que si 𝛽 > 3√2, la ecuación del

movimiento es: 𝑥(𝑡) =−3

√𝛽2−18𝑒

−2𝛽𝑡

3 𝑠𝑒𝑛ℎ (2

3√𝛽2 − 18𝑡).

5. El movimiento en un sistema masa-resorte amortiguado se describe con la siguiente

ecuación diferencial ordinaria: 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0. Donde x = desplazamiento de la

posición de equilibrio (m), t =tiempo (s), m = 10 kg de masa, y c = el coeficiente de

amortiguamiento (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento toma tres valores: 5

(subamortiguado), 40 (amortiguamiento crítico) y 200 (sobreamortiguado). La

constante del resorte, k = 40 N/m. La velocidad inicial es cero y el desplazamiento

inicial es x = 1 m. Calcule para cada uno de los tres valores del coeficiente de

amortiguamiento, la ecuación de movimiento en función del tiempo.