DOS PNDULOS ACOPLADOS MEDIANTE UN RESORTEA.F. Guerrero(pip.andres@hotmail.com)

D.A. Garcia(danidaga1818@hotmail.com)

Universidad del QuindoPrograma de FsicaResumen: En este informe se presentan resultados experimentales de la observacin del sistema de dos pndulos acoplados mediante un resorte, y cmo varia este segn condiciones iniciales.

1. IntroduccinLos comportamientos oscilatorios son ubicuos en la naturaleza en sistemas de toda ndole, entre ellos, en cuerpos astronmicos tales como asteroides, satlites, planetas y estrellas; en sistemas biolgicos, tanto a nivel orgnico como a nivel bioqumico; en diferentes reacciones qumicas; en sistemas mecnicos; en circuitos electrnicos, etc. Asimismo, los objetos con comportamientos oscilatorios pueden acoplarse a otros similares lo que da lugar en muchos casos a otro fenmeno muy comn que es la sincronizacin caracterizada por la constancia de las diferencias de fase y la razn entre los periodos. Uno de los comportamientos ms sencillos y comunes de describir es el del pndulo simple que se lo describe en textos de fsica bsica o de mecnica clsicaPor otra parte, dado el carcter no lineal que puede presentar el pndulo simple en su forma ms general, es tambin objeto de anlisis en libros y artculos de dinmica no lineal. Los sistemas acoplados se presentan en muchas ramas de la fsica, ofreciendo una gran gama de caractersticas que dependen tanto de las propiedades de los sistemas independientes, como de las propias caractersticas de acoplamiento.Uno de estos sistemas es el compuesto por dos pndulos simples acoplados mediante un resorte o una barra exible, lo que permite el intercambio continuo de impulsos entre los pndulos, cambiando las caractersticas de oscilacin propias de cada pndulo. [1]

2. Fundamento Terico.Suponga el siguiente sistema:

Figura 1.Sistema de Pndulos acoplados.Apliquemos

La resultante de las torques aplicados a un cuerpo rgido es igual a su momento de inercia por la aceleracin angular.Aplicando para el subsistema 1:

Donde se usa la definicin de torque y una convencin de signos en donde los torques en sentido anti horario se consideran positivos.Por definicin la norma del producto cruz es el producto de las normas de los vectores por el seno del ngulo entre estos.

Veamos que el ngulo alfa hace referencia a el ngulo entre el vector a y el vector fuerza elstica, de la figura1 se puede concluir que:

Veamos ahora que:

Supongamos

Reescribiendo la ecuacin:

Reescribiendo esta ecuacin asignando:

Para el subsistema 2 se sigue un proceso muy similar obteniendo:

Dnde:

Las constantes gamma se llaman frecuencias parciales, estas frecuencias corresponden a la frecuencia con que oscila armnicamente cada sistema parcial por separado; se puede ver que no corresponde a la frecuencia de un pndulo simple ya que se produce un efecto por el resorte, sin embargo siguen siendo M.A.S.Las constantes beta se llaman coeficiente de acoplamiento, asignadas a la relacin que tiene el acople con el subsistema.Modelemos el sistema del laboratorio donde los subsistemas son iguales, entonces las ecuaciones (1) y (2) se reescribiran:

Este es un sistema de ecuaciones acopladas, para su solucin se propone:

As se obtiene el sistema fcilmente solucionable:Volviendo a las variables iniciales:

Dnde:

De 3 y 4 se ve que la amplitud en funcin del tiempo de los pndulos obedecen a la superposicin de dos movimientos armnicos con frecuencias distintas (pulsaciones), para conocer el comportamiento del sistema se deben encontrar cuatro constantes, estos valores se pueden sacar de la amplitud y su derivada en t=0.[2]

3. Descripcin del experimento.3.1 Materiales Equipo de pndulos acoplados: soportes y resorte de acople. CASSY LAB. con mdulo de adquisicin de datos Cables de conexin3.2 Precauciones El resorte no debe quedar deformado al conectarlo entre las varillas que sostienen las masas y debe estar a nivel. Las oscilaciones deben ser pequeas: ligeros desplazamientos desde sus posiciones de equilibrio.El resorte debe ubicarse lo ms horizontal posible y en la posicin ms baja de las varillas.Para cada posicin del acople mida oscilaciones en fase, y contrafase. Despus vare la distancia del acople al eje de giro y repita las mediciones.[3]

4. Anlisis y resultados.FaseConsideremos el caso en que los dos pndulos se encuentren en fase, entonces

Asi podemos escribir las ecuaciones de movimiento:

En este caso las frecuencias son iguales y se producen en la frecuencia ;esta corresponde a la frecuencia que tendra cada pndulo sin la existencia de acoplamiento, el movimiento que se obtiene para cada pndulo es un M.A.S.A continuacin se presentan graficas de desplazamiento, velocidad y aceleracin en unidades del S.I tomadas experimentalmente para este caso con el acople a 60.6cm de distancia al eje de rotacin:

Grafica 1.1-1 Pendulos en fase. Acople 60.6cm/desplazamientoEn esta se aprecia la ausencia de intercambio de energa entre los sistemas parciales, ya que el resorte no presenta elongaciones, as cada pndulo oscilara como un pndulo simple. Tambin se puede observar que efectivamente las frecuencias son iguales.

Grafica 1.1-2. Pendulos en fase. Acople 60.6cm/VelocidadObservamos independencia entre las grficas y confirmamos que la velocidad est desfasada /2 respecto de la posicin. Veamos que sucede algo similar con la aceleracin:Grafica 1.1-3. Pendulos en fase. Acople 60.6cm/aceleracionPor ultimo se adjunta la grafica FFT en el que se grafica el porsentaje de la amplitud en funcion de la frecuencia en Hz, esta nos permite identificar directamente las frecuencias fundamentales. Esta presenta un pico a 0.59Hz.

Grafica 1.1-4. Pendulos en fase. Acople 60.6cm/Fourier

A continuacin se presentan graficas de desplazamiento, velocidad y aceleracin en unidades del S.I tomadas experimentalmente para este caso con el acople a 72.6cm de distancia al eje de rotacin:

Grafica 1.2-1. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/desplazamiento

Nuevamente se observa ausencia de acoplamiento, por lo tanto no influye la distancia a la que este se aplique.La ecuacion experimental obtenida para este caso es aproximadamente:

De lo cual se obtiene una gravedad de g=11.2632m/s2Este considerable error sobre el valor de la gravedad muy seguramente se debe a que el sistema del laboratorio no correspondia a un pendulo simple y por sus dimensiones no se podia despresiar la relacion de la masa de la barilla con la masa colgante.

Grafica 1.2-2. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/velocidad

Grafica 1.2-3. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/aceleracionNuevamente comprovamos la independencia de cada una y el desfase de cada funcion con su derivada.Por ultimo se adjunta la grafica FFT en el que se grafica el porsentaje de la amplitud en funcion de la frecuencia en Hz, esta nos permite identificar directamente las frecuencias fundamentales. Esta presenta un pico a 0.6Hz.

Grafica 1.2-4. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/fourierContrafaseConsideremos el caso en que los dos pndulos se encuentren en contrafase, entonces

Asi podemos escribir las ecuaciones de movimiento:

En este caso las frecuencias son iguales y se producen en la frecuencia , el movimiento que se obtiene para cada pndulo es un M.A.S.A continuacin se presentan graficas de desplazamiento, velocidad y aceleracin en unidades del S.I. tomadas experimentalmente para este caso con distintas distancias del acople:

Grafica 2.1-1. Pendulos en contrafase. Acople 36.6cm/desplazamiento

Grafica 2.1-2. Pendulos en contrafase. Acople 36.6cm/velocidad

Grafica 2.1-2. Pendulos en contrafase. Acople 36.6cm/aceleracion

Grafica 2.2-1. Pendulos en contrafase. Acople 48.6cm/desplazamiento

Grafica 2.2-2. Pendulos en contrafase. Acople 48.6cm/velocidad

Grafica 2.2-3. Pendulos en contrafase. Acople 48.6cm/aceleracion

Grafica 2.3-1. Pendulos en contrafase. Acople 60.6cm/desplazamiento Grafica 2.3-2. Pendulos en contrafase. Acople 60.6cm/velocidad

Grafica 2.3-3. Pendulos en contrafase. Acople 60.6cm/aceleracion

Grafica 2.4-1. Pendulos en contrafase. Acople 72.6cm/desplazamiento Grafica 2.4-2. Pendulos en contrafase. Acople 72.6cm/velocidad

Grafica 2.4-3. Pendulos en contrafase. Acople 72.6cm/aceleracionEn general los pendulos en contrafase presentan nuevamente un M.A.S. pero esta vez en una frecuencia mas alta que cuando se encontraban en fase,se puede comprobar el desfase de entre las trayectorias,velocidades y aceleraciones de cada pendulo.En la siguiente grafica se puede ver como el periodo disminuye a medida que se aleja el resorte del eje de giro, en esta se superponen las graficas de los movimientos anteriores:

Grafica 2.5. Pendulos en contrafase./desplazamientoResultados FFT contrafase:

Desfase (amplitudes iguales)Consideremos el caso en que los dos pndulos se encuentren desfasados, en este caso las ecuaciones (3) y (4) quedaran igual:

Estas seran en general las ecuaciones que describen la amplitud, ahora supongamos que:

Entonces :

As:

Y realizando sumas trigonomtricas:

A continuacin se presentan graficas de desplazamiento en unidades del S.I. tomadas experimentalmente para este caso con distintas distancias del acople y variaciones en la constante del resorte; no se adjuntan las grficas de velocidad y aceleracin ya que se obvia que resultaran en pulsaciones:

Grafica 3.1-1. Pendulos en desfase. Acople 72.6cm/desplazamiento

Grafica 3.1.2. Pendulos en desfase. Acople 72.6cm K MAYOR/desplazamiento

Grafica 3.2-1. Pendulos en desfase. Acople 52.6cm/desplazamiento

Grafica 3.2-2. Pendulos en desfase. Acople 52.6cm K MAYOR/desplazamiento

Grafica 3.3-1. Pendulos en desfase. Acople 32.6cm/desplazamiento

Grafica 3.3-2. Pendulos en desfase. Acople 32.6cm K MAYOR/desplazamiento

Grafica 3.4-1. Pendulos en desfase. Acople 12.6cm/desplazamiento

Grafica 3.4-2. Pendulos en desfase. Acople 12.6cm K MAYOR/desplazamiento

En estas se puede observar claramente el intercambio de energia enre los subsistemas, cuando un pendulo alcansa su maximo el otro llega al estado de reposo. Tambien se puede ver como a medida que el acoplamiento es mas debil, ya sea por la distancia al eje de giro o la constante de elasticidad; el periodo de las amplitudes se hace mas largo.Se adjuntan graficas de calculo FFT y sus resultados: Grafica 3.5 Pendulos en desfase. /Fourierresultados Pendulos en desfase. /Fourier

Grafica 3.6. Pendulos en desfase K MAYOR. /Fourier

resultados Pendulos en desfase. K mayor /Fourier

Hasta este punto se han estudiado los sistemas en un estado idealizado tomando intervalos de tiempo relativamente cortos en los que la accion de fuerzas disipativas no interfiriera en el analisis. A continuacion se hace referencia al mismo sistema observando los efectos de fuerzas resistivas.En la obtencion de la siguiente grafica se puso a oscilar un solo pendulo para medir el factor de calidad de este:

Grafica 4.1 Pendulo fisico/accion de fuerzas resistivas.En esta se apresia la accion de fuerzas resistivas, posiblemente fuerzas de friccion en los rodamientos del pendulo; con estos resultados se pueden calcular el tiempo de relajacion,el coeficiente de perdidas, el factor de calidad y decremento logaritmico del pendulo:Calculando decremento logaritmico y coeficiente de perdidas:

Calculando factor de calidad:

Calculando tiempo de relajacion:El tiempo de relajacion es el que caracteriza el lapso de tiempo en el cual la amplitud de las oscilaciones disminuye e veces:

De esto se concluye que el tiempo de relajacion de este pendulo es aproximadamente 223,6s.

En la siguiente grafica se quiere demostrar como la energia de las frecuencias altas en las pulsaciones se transmiten mas rapido al medio, haciendo que las amplitudes de las pulsaciones disminuyan y tiendan a seguir en movimientos armonicos:

Grafica 5.1 Pendulos en desfase/accion de fuerzas resistivas.

Por ultimo la Grafica 6.1. se realizo quitando el resorte de acople con el fin de comprovar la inexistencia de acoplamiento entre los pendulos:

Grafica 6.1. pendulos desacoplados/De forma inesperada se puede concluir que por el simple hecho de estar los pendulos fijados a un mismo soporte existe de forma inherente un acoplamiento producido por el soporte por ser un material flexible.

5. ConclusionesLos resultados obtenidos satisfacen buena forma la teora, con el modelo planteado se pueden estudiar cmo influyen los diferentes parmetros en el comportamiento de los pndulos y como su comportamiento est fuertemente ligado a las condiciones iniciales.NOTASAl no poder pesar los pndulos en el laboratorio no se pudieron realizar clculos tericos de la gravedad y otros factores.Para obtener mejores resultados resulta mejor trabajar con la teora de un pndulo equivalente hallando el centro de masa de cada pndulo fsico.La presencia del acoplamiento dado por el soporte puede distorsionar en cierta medida la precisin de los clculos. Si se desea arreglar esto se sugiere repetir el laboratorio fijando cada pndulo a soportes individuales para evitar el intercambio inesperado de energa.

7. Referencias[1] Revista Boliviana de Fsica 14, 121126 (2008) SIMULACION DE PENDULOS ACOPLADOS [2] Oscilaciones y ondas /Universidad del Quindo, Facultad de ciencias bsicas[3]Guas Fsica Experimental 3/Departamento de fsica facultad de ciencias bsicas, universidad tecnolgica de Pereira, tercera edicin.