Grandes pensadores que aportaron en el desarrollo de la matemática.

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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES- FILIAL LIMA U.E.C. Pensamiento Lógico Matemático

Grandes Pensadores Que Aportaron En El Desarrollo De La Matemática

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GRANDES PENSADORES QUE APORTARON EN EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA

1. ARISTÓTELES

Aristóteles (384-322 a.C.), filósofo y científico griego, es uno de los filósofos más

destacados de la antigüedad. Escribió entre otros ensayos, un resumen de las doctrinas de

Pitágoras; del que han sobrevivido pocos extractos. Estos textos se basan en gran parte enlas anotaciones recopiladas y ordenadas por sus editores posteriores. Entre ellos están los

tratados de lógica llamados Organon ('instrumento'), ya que proporcionan los medios con

los que se ha de alcanzar el conocimiento positivo.

En lógica, desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se

respetaban y si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez ), no

producirían falsas conclusiones ). En el razonamiento, los nexos básicos eran los

silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva

conclusión. En el ejemplo más famoso, "Todos los humanos son mortales" y "Todos los

griegos son humanos", se llega a la conclusión válida de que "Todos los griegos sonmortales".

La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento cada vez más complejos.

Distinguía entre la dialéctica y la analítica. La dialéctica sólo comprueba las opiniones por

su consistencia lógica. La analítica, trabaja de forma deductiva a partir de principios que

descansan sobre la experiencia y una observación precisa. Ello supone una ruptura con el

pensamiento de Platón, donde la dialéctica era el único método lógico válido, tan eficaz

para aplicarse en la ciencia como en la filosofía.

2. ARQUÍMEDES

Arquímedes (287-212 a.C.), matemático e inventor griego, que escribió importantes obras

sobre la geometría plana y del espacio, la aritmética y la mecánica.

Nació en Siracusa y se educó en Alejandría. En el campo de las matemáticas puras, se

anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral,

con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras

planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del

cilindro que la circunscribe.

En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de

la polea compuesta. También descubrió maquinaria de guerra: catapulta y un sistema de

espejos que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.





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Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática,

conocida como el principio de Arquímedes: "todo cuerpo sumergido en un fluido

experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja".

3. CANTOR

Cantor, Georg (1845-1918), matemático alemán, nacido en San Petersburgo (Rusia). Dio

clases en la Universidad de Halle, de la que fue catedrático a partir de 1872. Sus primeros

trabajos con las series de Fourier lo condujeron al desarrollo de una teoría de los números

irracionales.

Cantor también formuló la teoría de conjuntos, sobre la que se basa la matemática

moderna. Esta teoría extiende el concepto de número al introducir los números infinitos

o, como él los denominaba, números transfinitos. La obra de Cantor fue responsable en

gran medida de la posterior investigación crítica de los fundamentos de las matemáticas y

de la lógica matemática.

4. COOPÉRNICO

Copérnico, Nicolás (1473-1543). Astrónomo polaco, conocido por su teoría que sostenía

que el Sol se encontraba en el centro del Universo y la Tierra, que giraba una vez al día

sobre su eje, completaba cada año una vuelta alrededor de él: Teoría heliocéntrica.

Estudio humanidades, después derecho y medicina. En Bolonia entró en contacto con el

matemático Domenico Maria de Novara, que criticó la exactitud de la Geografía de

Tolomeo (S.II). Este profesor fomentó el interés de Copérnico por la geografía y la

astronomía.

En 1500, se doctoró en astronomía en Roma. Al año siguiente estudió medicina en

Padua y sin haber acabado estos estudios, se licenció en derecho canónico 1503 y regresó

a Polonia.

Entre 1507 y 1515 escribió un tratado breve de astronomía, Commentariolus (De

hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus), publicado en el S.XIX

y que sentó las bases de la concepción heliocéntrica de la astronomía: la Tierra giraba

sobre sí misma una vez al día, y que una vez al año daba una vuelta completa alrededor

del Sol.

Aportó un nuevo orden en alineación de los planetas según sus periodos de rotación. A

diferencia de Tolomeo, vio que cuanto mayor era el radio de la órbita de un planeta, más

tiempo tardaba en dar una vuelta completa alrededor del Sol. La idea de que la Tierra se





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movía era difícil de aceptar en el S.XVI y aunque parte de su teoría fue admitida, la base

principal fue rechazada.

Fue objeto de numerosas críticas, en especial de la Iglesia, por negar que la Tierra fuera

el centro del Universo. La mayoría de sus seguidores servían a la corte de reyes, príncipes

y emperadores. Los más importantes fueron Galileo y Johannes Kepler.

Con posterioridad a la supresión de la teoría de Copérnico, tras el juicio eclesiástico a

Galileo en 1633, que lo condenó por corroborar su teoría, algunos filósofos jesuitas la

siguieron en secreto. En el siglo XVII, con el auge de las teorías de Isaac Newton sobre la

fuerza de la gravedad, la mayoría de los pensadores en Gran Bretaña, Francia, Países Bajos

y Dinamarca su teoría.

5. COULOMB

Coulomb, Charles de (1736-1806), físico francés y pionero en la teoría eléctrica; nació en

Angulema y trabajó como ingeniero militar al servicio de Francia en las Indias Occidentales

(actuales Antillas), pero se retiró a Blois (Francia), en la época de la Revolución Francesa

para continuar con sus investigaciones en magnetismo, rozamiento y electricidad.

En 1777 inventó la balanza de torsión para medir la fuerza de atracción magnética y

eléctrica. Con este invento, Coulomb pudo establecer el principio, conocido ahora como

ley de Coulomb, que rige la interacción entre las cargas eléctricas.

En 1779 Coulomb publicó el tratado Teoría de las máquinas simples donde se encuentra

un análisis del rozamiento en la maquinaria. Después de la Revolución, Coulomb salió de

su retiro y ayudó al nuevo gobierno en la planificación de un sistema métrico decimal depesos y medidas. La unidad de medida de carga eléctrica, el culombio, recibió este nombre

en su honor.

6. EINSTEIN

Einstein, Albert (1879-1955), físico alemán nacionalizado estadounidense. Premio

Nobel, famoso por ser el autor de las teorías general y restringida de la relatividad y por

sus hipótesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el científico más

conocido del siglo XX. Desde temprano manifestó una fuerte capacidad de comprensión

matemática, rama que estudió y de la que profesor.

En 1905 se doctoró por la Universidad de Zurich, con una tesis sobre las dimensiones de

las moléculas. Publicó tres artículos teóricos de gran valor para el desarrollo de la física del

siglo XX:





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1º. El movimiento browniano, sobre el movimiento aleatorio de las partículas en un

fluido.

2º. El efecto fotoeléctrico, embrión de la nueva teoría sobre la naturaleza de la luz,

según la cual bajo ciertas circunstancias la luz se comporta como una partícula.El fotón, es

decir la energía que llevaba toda partícula de luz, era proporcional a la frecuencia de laradiación: E = hu, donde E es la energía de la radiación, h una constante universal llamada

constante de Planck y u es la frecuencia de la radiación.

Esta teoría, que planteaba que la energía de los rayos luminosos se transfería en

unidades individuales llamadas cuantos, contradecía las teorías anteriores que

consideraban que la luz era la manifestación de un proceso continuo. Las tesis de Einstein

apenas fueron aceptadas. 3º. Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, que

formula lo que después se conocerá como la teoría especial o restringida de la relatividad.

Desde Isaac Newton hasta ahora, la relación entre la naturaleza de la materia y laradiación estaba sujeta a las leyes mecánicas: visión mecánica del mundo, o a las leyes

eléctricas: visión electromagnética del mundo. Ninguna de las dos era capaz de explicar la

interacción de la radiación (por ejemplo, la luz) y la materia al ser observadas desde

diferentes sistemas de inercia de referencia, o sea, la interacción producida en la

observación simultánea por una persona parada y otra moviéndose a una velocidad

constante.

En la primavera de 1905, tras haber reflexionado sobre estos problemas durante diez

años, se dio cuenta de que la solución no estaba en la teoría de la materia sino en la teoría

de las medidas. En el fondo de su teoría restringida de la relatividad se encontraba elhallazgo de que toda medición del espacio y del tiempo es subjetiva. Esto le llevó a

desarrollar una teoría basada en dos premisas: el principio de la relatividad, según el cual

las leyes físicas son las mismas en todos los sistemas de inercia de referencia, y el principio

de la invariabilidad de la velocidad de la luz, según el cual la velocidad de la luz en el vacío

es constante. De este modo pudo explicar los fenómenos físicos observados en sistemas

de inercia de referencia distintos, sin tener que entrar en la naturaleza de la materia o de

la radiación y su interacción, pero nadie entendió su razonamiento. La dificultad de otros

científicos para aceptar su teoría, se situaba más en una problema de concepto que de

complejos cálculos matemáticos y su dificultad técnica.

Einstein sostenía que la única fuente del conocimiento era la experiencia, pero también

pensaba que las teorías eran creaciones de una aguda intuición física, y que las premisas

en que se basaban no podían aplicarse de un modo lógico al experimento. Una buena

teoría sería, pues, aquella que necesitara los mínimos postulados para explicar un hecho

físico.





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Posteriormente, 1907, comenzó a trabajar en la generalización de la teoría de la

relatividad. Empezó con el enunciado del principio de equivalencia según el cual los

campos gravitacionales son equivalentes a las aceleraciones del sistema de referencia

(1916).

En base a eso, las interacciones entre los cuerpos, que se atribuían a fuerzasgravitacionales, se explican por la influencia de aquéllos sobre la geometría espacio-

tiempo (espacio de cuatro dimensiones, una abstracción matemática en la que el espacio

se une, como cuarta dimensión, a las tres dimensiones euclidianas).

Basándose en la teoría general de la relatividad, Einstein pudo entender las variaciones

hasta entonces inexplicables del movimiento de rotación de los planetas y logró predecir

la inclinación de la luz de las estrellas al aproximarse a cuerpos como el Sol. La

confirmación de este fenómeno durante un eclipse de Sol en 1919 fue toda una noticia y

su fama se extendió por el mundo.

Einstein consagró gran parte del resto de su vida a generalizar su teoría.

La mayoría de sus colegas pensaron que sus esfuerzos iban en dirección equivocada.

Entre 1915 y 1930 la corriente principal entre los físicos era el desarrollo de una nueva

concepción del carácter fundamental de la materia, conocida como la teoría cuántica, que

contempla la característica de la dualidad onda-partícula (la luz presenta las propiedades

de una partícula, así como las de una onda), que Einstein había intuido como necesaria, y

el principio de incertidumbre, que establece que la exactitud de los procedimientos de

medición es limitada. Además, esta teoría suponía un rechazo fundamental a la noción

estricta de causalidad. Sin embargo, Einstein mantuvo una posición crítica respecto a estastesis hasta el final de su vida. "Dios no juega a los dados con el mundo", llegó a decir.

A partir de 1919, Einstein recibió el reconocimiento internacional y acumuló honores y

premios de distintas sociedades científicas, como el Nobel de Física en 1922.

Durante la I Guerra Mundial se comprometió con el pacifismo y el sionismo. En 1933

emigró a los E.E.U.U., donde primero pidió apoyo para un programa de investigación

sobre las reacciones en cadena, que de hecho aceleró el descubrimiento de la bomba

atómica, para después pedir su no uso, y convertirse un activo intelectual pacifista.

7. EUCLIDES

Euclides (fl. 300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos, es un extenso

tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana,

proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y





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geometría del espacio. Estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en

Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas.

Se le atribuyen otras obras como los Cálculos (una colección de teoremas geométricos),

los Fenómenos (una descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un

estudio matemático de la música) pero no está demostrada la paternidad de Euclides enlos mismos. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un

principio una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como Eudoxo, pero se

considera que Euclides hizo diversos descubrimientos originales en la teoría de números.

Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy,

una versión modificada de sus primeros libros forma la base de la enseñanza de la

geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de

Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.

8. EULER

Euler, Leonhard (1707-1783), matemático suizo, cuyos trabajos se centraron en el

campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació y

estudió en Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años.

En 1727, fue profesor de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Catedrático de

física en 1730 y catedrático de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de

matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el

Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte.

Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por

una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo cantidad de obras matemáticas

importantes y cientos de reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento

analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría

analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la

que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También

abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se

representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras

obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría numérica, númerosimaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era

matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la

acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755),

Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).





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9. GALILEO

Galileo (Galileo Galilei) (Pisa,1564- Arcetri,1642), físico y astrónomo italiano que, junto

con Kepler, comenzó la revolución científica que culminó Newton. Su contribución a la

astronomía fue el uso del telescopio para la observación (descubrimiento de las manchas

solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter y las fases deVenus). En la física descubrió las leyes de caída de los cuerpos y el movimiento de

proyectiles.

Galileo estudió con los monjes en Vallombroso, estudió medicina en la Universidad de

Pisa. Abandonó estos estudios por los de filosofía y las matemáticas, que tampoco acabó.

Vio la teología física de Aristóteles como un freno a la investigación científica. En 1589

trabajó como profesor de matemáticas en Pisa, donde demostró el error de Aristóteles

dejando caer desde la Torre de Pisa dos objetos de pesos diferentes. Fue expulsado de su

trabajo por oponerse a la filosofía aristotélica. Desde 1610 fue catedrático de matemáticasde la universidad de Padua, donde inventó un 'compás' de cálculo que resolvía problemas

prácticos de matemáticas. Descubrió las leyes de la caída de los cuerpos y de la trayectoria

parabólica de los proyectiles, estudió el movimiento del péndulo e investigó la mecánica y

la resistencia de los materiales.

Apenas mostraba interés por la astronomía, aunque a partir de 1595 se inclinó por la

teoría de Copérnico (-heliocentrismo- que desechaba el modelo de Aristóteles y Tolomeo -

geocentrismo-), pues apoyaba la teoría de las mareas de Galileo, que se basaba en el

movimiento de la Tierra.

En 1609 construyó un telescopio de veinte aumentos, con el que descubrió montañas y

cráteres de la Luna.

También observó que la Vía Láctea estaba compuesta por estrellas. Su fama le llevó a

servir como matemático en la corte de Florencia, donde quedó libre de sus

responsabilidades académicas y pudo dedicarse a investigar y escribir.

En 1610 observó las fases de Venus, que contradecían a la astronomía de Tolomeo y

confirmaban su aceptación por las teorías de Copérnico.

En 1613 en un tratado sobre las manchas solares, anticipó la supremacía de Copérnico.Fue acusado de herejía a los Médicis, sus mecenas y más tarde denunciado desde el

púlpito. Él trato de justificar la irrelevancia de los pasajes bíblicos para para explicar la

ciencia.





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En 1624 Galileo, apoyado por el cardenal jesuita Belarmino, abordó las hipótesis de

Tolomeo y Copérnico. Los censores de la inquisición, tras cambiar el título del trabajo

"Diálogo sobre los sistemas máximos", permitieron su publicación. Ello no impidió que

fuera llamado a Roma por la Inquisición para procesarle por "sospecha grave de herejía",

cargo que se basaba en la prohibición en 1616 de escribir sobre el sistema de Copérnico.

Galileo facilitó para su defensa un escrito con la firma del cardenal que no pudo ser

rebatido, pero fue obligado a abjurar en 1633 y fue condenado a prisión perpetua

(cambiada a arresto domiciliario). Los ejemplares del Diálogo fueron quemados y la

sentencia fue leída públicamente en todas las universidades.

Su última obra, Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos ciencias

nuevas, 1638, ajusta sus primeros estudios sobre el movimiento y la mecánica en general.

Este trabajo influyó en Newton quién formuló la ley de la gravitación universal, que

armonizaba las leyes de Kepler sobre los planetas con las matemáticas y la física de

Galileo.

La mejor contribución de Galileo a la ciencia fue más sus descubrimientos de la física de

las mediciones precisas, que los principios metafísicos y la lógica formal. Más allá de la

ciencia, ha de ser recordado como defensor de la investigación científica sin interferencias

filosóficas y teológicas.

Desde la publicación de la documentación completa del juicio contra Galileo (1870), la

responsabilidad de la condena a Galileo recayó sobre la Iglesia católica, encubriendo la

responsabilidad de los profesores de filosofía que persuadieron a los teólogos de que los

descubrimientos de Galileo eran heréticos. Juan Pablo II abrió en 1979 una investigaciónsobre la condena eclesiástica del astrónomo para su posible revisión. En octubre de 1992,

una comisión papal reconoció el error del Vaticano.

10. GAUSS

Gauss, Carl Friedrich (1777-1855), matemático y físico alemán conocido por sus estudios

del electromagnetismo.

Desde joven comenzó el estudio de las matemáticas. Solucionó el problema de la

construcción de un heptágono regular con regla y compás: probó que era imposible y

aportó métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados o un producto de dos o

más de estos números.

Estudió en la Universidad de Gotinga donde presentó una tesis doctoral que prueba de

que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha





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sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema

fundamental de álgebra.

Después se centró en la astronomía. Calculó su posición exacta de Ceres (un pequeño

asteroide, confundido con un planeta, descubierto en 1801). También planeó un nuevo

método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes.

En la teoría numérica fundamentó el teorema de los números primos. Desarrolló una

geometría no euclidiana, pero no publicó los descubrimientos. En la teoría de la

probabilidad, desarrolló el método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de

la distribución de la probabilidad y estadística. El diagrama normal de la probabilidad se

sigue llamando curva de Gauss.

Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico

alemán Weber, Gauss estudió el magnetismo. Sus trabajos más importantes son los de la

aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad.

También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los

sistemas de lentes.

11. GÖDEL

Gödel, Kurt (Brno, 1906-1978), lógico estadounidense de origen austriaco, conocido

sobre todo por sus investigaciones en filosofía y en matemáticas.

Estudió en la Universidad de Viena y dio clases en esta institución desde 1933 a 1938.

Emigró a los Estados Unidos en 1940 y se nacionalizó estadounidense en 1948.

Gödel se dio a conocer con una obra, publicada en 1931, en la que enunció lo que se

conoce como teorema de Gödel. Este principio establece que en cualquier sistema

simbólico formal es posible construir una proposición que no se puede probar ni refutar

en el mismo sistema.

12. MORGAN

Morgan, Thomas Hunt (Lexington, 1866-1945), biólogo y genetista estadounidense que

descubrió cómo los genes se transmiten a través de los cromosomas, confirmó las leyes de

la herencia del botánico Mendel y sentó las bases de la genética experimental moderna.

Se doctoró en embriología en la Universidad de Columbia. En un principio fue crítico con

la teoría de Mendel.





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Mientras realizaban experimentos y análisis citológicos sobre la mosca del vinagre,

Drosophila melanogaster, Morgan y sus alumnos Alfred Henry Sturtevant, Calvin Blackman

Ridges y Hermann Joseph Muller descubrieron que los cromosomas se comportaban de

modo similar a como Mendel creía que se segregaban y apareaban aleatoriamente los

genes.

Al descubrir también que los genes transmisores de multitud de caracteres se disponían

de forma lineal en cada cromosoma, Morgan y sus colaboradores crearon mapas

cromosómicos lineales en los que a cada gen se le asignaba una posición específica. Este

trabajo dio como resultado la obra El mecanismo de la herencia mendeliana (1915), un

libro muy influyente que representó un importante pasó en el desarrollo de la genética

moderna.

13. PASCAL

Pascal, Blaise (Clemont-Ferrand, 1623-1662), filósofo, matemático y físico francés,considerado una de las mentes privilegiadas de Occidente.

No tardó en resaltar como un prodigio en matemáticas, y a la edad de 16 años formuló

uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el teorema de

Pascal y descrito en su Ensayo sobre las cónicas (1639). En 1642 inventó la primera

máquina de calcular mecánica. Pascal demostró mediante un experimento en 1648 que el

nivel de la columna de mercurio de un barómetro lo determina el aumento o disminución

de la presión atmosférica circundante. Este descubrimiento verificó la hipótesis del físico

italiano

Torricelli respecto al efecto de la presión atmosférica sobre el equilibrio de los líquidos.

Seis años más tarde, junto con Fermat, formuló la teoría matemática de la probabilidad,

que ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas,

sociales, y clave en la física teórica moderna. Otras de las contribuciones científicas

importantes de Pascal son la deducción de la ley que establece que los líquidos transmiten

presiones con la misma intensidad en todas las direcciones (principio de Pascal), y sus

investigaciones sobre las cantidades infinitesimales.

Pascal abrazó el jansenismo y llevó una vida rigurosamente ascética hasta su muerte.

Durante este tiempo escribió diversos tratados religiosos de gran complejidad: salvación,pecado original, la revelación, etc con una gran lógica y fuerza dialéctica, siendo además

de uno de los más eminentes matemáticos y físicos de su época y uno de los más grandes

escritores místicos de la literatura cristiana.





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14. PITÁGORAS

Pitágoras (Samos,c. 582-c. 500 a.C.), fue un filósofo y matemático griego, que influyó

mucho en Platón. Fue discípulo de los filósofos jonios: Tales de Mileto, Anaximandro y

Anaxímenes.

En Crotona, fundó un movimiento religioso, político y filosófico: el pitagorismo. La

filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. Asumieron la

obediencia y el silencio, la abstinencia en el comer, la sencillez en el vestir y en las

posesiones, y el hábito del autoanálisis.

Creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. El propio Pitágoras creía

haber sido Euphorbus, soldado de la guerra de Troya.

Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos están sus estudios de los

números pares e impares, de los primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los

números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que

sintetizaba el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo.

En geometría el gran descubrimiento fue el teorema de la hipotenusa, conocido como

teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

En la astronomía, fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira

junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de

todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una

esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva.

15. POINTCARÉ

Poincaré, Henri (Nancy, 1854-1912), físico francés. Uno de los principales matemáticos

del S.XIX

Estudió en París, conviertiéndose en profesor de mecánica física y después de física

matemática (1886) y mecánica celeste (1896). Poincaré realizó importantes y originales

aportaciones a las ecuaciones diferenciales, la topología, la probabilidad y a la teoría de las

funciones. Destacó por su desarrollo de las llamadas funciones fuchsianas, y por suscontribuciones a la mecánica analítica.

Sus estudios engloban investigaciones sobre la teoría electromagnética de la luz y sobre

la electricidad, mecánica de fluidos, transferencia de calor y termodinámica. También se

anticipó a la teoría del caos.





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16. POISSON

Poisson, Siméon Denis (Pithiviers1781-1840), físico matemático francés. Se le conoce,

sobre todo, por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunquetambién publicó sobre la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad.

La distribución de Poisson es un caso especial de la distribución binomial en estadística.

Fue ayudante de Fourier, cuya cátedra asumió 1808. Más tarde fue profesor de mecánica

en la Sorbona.

Su primera memoria sobre la electricidad apareció en 1812; en ella adoptó, lo mismo

que Charles de Coulomb había hecho antes que él, el modelo de los dos fluidos de la

electricidad. Mediante la función potencial de Lagrange intentó calcular matemáticamente

la distribución de cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores.

Poisson demostró en 1824 que estas formulaciones se podían aplicar exactamente igual

al magnetismo. También se interesó por la teoría de la elasticidad; en astronomía trabajó

fundamentalmente en la matemática del movimiento de la Luna.

17. TALES DE MILETO

Tales de Mileto (Mileto, c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego.

Fue el fundador de la filosofía griega, es uno de los Siete Sabios de Grecia. Llegó a ser

famoso por sus conocimientos de astronomía tras predecir el eclipse de sol del 28 de

mayo del 585 a.C. También introdujo la geometría en Grecia.

Para él, el principio original de las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que

todo vuelve otra vez. Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas, y su

interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento

científico. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se

cuenta en la Metafísica de Aristóteles.

18. TORRICELLI

Torricelli, evangelista (Faenza, 1608-1647), matemático y físico italiano, conocido sobretodo por el invento del barómetro.

Es en Roma, donde desde 1641 a 1642 fue ayudante de Galileo. A la muerte de éste

(1642), le sucedió como profesor de filosofía y matemáticas en la Academia Florentina.

Descubrió y determinó el valor de la presión atmosférica y en 1643 inventó el barómetro.





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Fue autor de Trattato del moto (Tratado sobre el movimiento, c. 1640) y Opera

geométrica (1644). Una unidad de medida, el torr, utilizada por los físicos que trabajan en

condiciones cercanas al vacío para indicar la presión barométrica, se denomina así en su

honor.

19. ZENON DE ELEA

Zenón de Elea (Elea, fl. siglo V a.C.), matemático y filósofo de la escuela eleática,

conocido por sus paradojas filosóficas.

Fue el discípulo predilecto de Parménides a quien acompañó a Atenas cuando tenía 40

años. Allí enseñó filosofía, concentrándose en el sistema eleático de metafísica. Se

conserva muy poca parte de su obra, pero las obras de Platón y Aristóteles se nutren de

referencias a los escritos de Zenón. En el plano filosófico, Zenón aceptaba la creencia de

Parménides de que el universo, o el ser, es una sustancia indiferenciada, simple, única,

aunque pueda parecer diversificada para los sentidos.

La intención de Zenón fue desacreditar las sensaciones, lo que pretendió hacer a través

de una brillante serie de argumentos o paradojas, sobre el espacio y el tiempo que han

perdurado hasta nuestros días como mosaicos intelectuales complejos. Una paradoja

clásica afirma que un corredor no puede llegar a la meta porque, para lograrlo, debe

recorrer una distancia; pero no puede recorrer esa distancia sin primero recorrer la mitad

de ella, y así ad infinitum.

Porque existe un número infinito de bisecciones en una distancia espacial, uno no

puede recorrer una distancia en tiempo finito, a menos que acorte la distancia o aumente

la velocidad. Este argumento, como muchos otros de Zenón, se proponía demostrar la

imposibilidad lógica del movimiento. Dado que los sentidos nos llevan a creer en la

existencia del movimiento, los sentidos son ilusorios y por lo tanto no existe ningún

obstáculo para aceptar las inverosímiles teorías de Parménides de otra forma.

Zenón es reconocido no sólo por sus paradojas, sino por establecer los debates

filosóficos que favorecen la discusión razonada. Por todo ello, Aristóteles le consideró el

creador del razonamiento dialéctico.

20. BERNOULLI

Bernoulli, Daniel (1700-1782), nació en Groningen (Países Bajos), el 29 de enero de 1700

y desde muy pronto manifestó su interés por las matemáticas.





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El científico suizo nacido descubrió los principios básicos del comportamiento de los

fluidos. Su padre y su tio, ya habían hecho aportaciones importantes al primitivo

desarrollo del cálculo.

Promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglés Isaac Newton.

Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presión ejercida por

un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo. Utilizó conceptos

atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría cinética de los gases, explicando su

comportamiento bajo condiciones de presión y temperatura cambiantes en términos de

probabilidad. Sin embargo, este trabajo no tuvo gran repercusión en su época.

21. BOGLIE

Broglie, Louis Victor, príncipe de (1892-1987), físico y Premio Nobel francés, que

contribuyó de manera fundamental al desarrollo de la teoría cuántica.

Nació en Dieppe y estudió en París. Trató de racionalizar la doble naturaleza de la

materia y la energía, comprobando que las dos están compuestas de corpúsculos y tienen

propiedades ondulatorias. Por su descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de los

electrones (1924), obtuvo el Premio Nobel de Física en 1929.

22. BORH

Bohr, Aage (1922- ), físico danés pionero en el estudio de la estructura del atomo.

Ayudó a Niels Bohr, su padre, en el proyecto de la bomba atómica en Los Álamos durante

la II Guerra Mundial. Desde el Instituto de Física Teórica de Copenhague, dedicò todos susesfuerzos al estudio de la estructura interna del átomo.

Su tesis doctoral (1954) aborda la teoría del movimiento colectivo del núcleo atómico

que él había elaborado junto con el físico estadounidense Ben R. Mottelson, por

sugerencia del también físico estadounidense James Rainwater., con quienes obtiene el

Premio Nobel en 1975.

Ayudó a explicar muchas propiedades nucleares, mostrando que las partículas

nucleares pueden vibrar y girar hasta distorsionar la configuración del núcleo de una

supuesta simetría esférica hasta convertirla en elipsoidal.

23. BOYLE

Boyle, Robert (1627-1691), científico británico, fue uno de los primeros defensores de

los métodos científicos y un fundador de la química moderna.





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Nació en Lismore, Irlanda, y estudió en Ginebra. Se estableció en Inglaterra y se dedicó a

la investigación científica. Boyle es considerado uno de los fundadores de los métodos

científicos modernos porque creyó en la necesidad de la observación objetiva y en los

experimentos de los estudios científicos, verificables en los laboratorios.

Perfeccionó la bomba de aire y formuló la ley de física que lleva su nombre: "atemperatura constante, la presión y el volumen de un gas son inversamente

proporcionales".

Asimismo vio que el aire se consume en la combustión, que los metales ganan peso al

oxidarse, detectó la diferencia entre un cuerpo compuesto y una mezcla, y formuló su

teoría atómica de la materia basándose en sus experimentos de laboratorio.

Atacó (El químico escéptico -1661- ), la teoría Aristóteles según la cual la materia está

compuesta por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua.

24. DESCARTES

Descartes, René (1596-1650), filósofo y matemático francés, considerado el fundador de

la filosofía moderna.

Estudió con los jesuitas. Junto al estudio de los clásicos, recibió enseñanzas de

matemáticas y escolasticismo, para orientar la razón humana y comprender la doctrina

cristiana, que ejerció gran influencia en su vida. Se graduó en derecho, estuvo alistado en

el ejército, pero su interés se centró siempre en los problemas de las matemáticas y la

filosofía.

En 1637, en Holanda, escribió su primera obra importante, Ensayos filosóficos, que se

compone de cuatro partes: un ensayo sobre geometría, otro sobre óptica, un tercero

sobre meteoros y el último, el Discurso del método, que describía sus especulaciones

filosóficas. Más tarde, otros ensayos, Meditaciones metafísicas (1641, 1642) y Los

principios de la filosofía, (1644).

Trató de aplicar a la filosofía los procedimientos racionales inductivos de la ciencia, y en

concreto de las matemáticas. Se opuso al escolasticismo: basado en la comparación y

contraste de las opiniones de autoridades reconocidas y determinó no creer ninguna

verdad hasta haber establecido las razones para creerla. El único conocimiento seguro apartir del cual comenzó sus investigaciones lo expresó en la famosa sentencia: Cogito,

ergo sum, "Pienso, luego existo". El cartesianismo elaboró explicaciones complejas y

erróneas de diversos fenómenos físicos, que cobraron valor al sustituir los vagos

conceptos espirituales de los clásicos por un sistema de interpretaciones mecánicas de los

fenómenos físicos.





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En Astronomía estuvo próximo a Copérnico sobre el universo, pero renunció a ella al ser

considerada herética por la Iglesia católica.

Sus estudios de óptica le llevaron al descubrimiento de la ley fundamental de la

reflexión: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Fue el primero que trato

la luz como un tipo de fuerza en un medio sólido, lo cual influyó en la teoría ondulatoriade la luz.

En relación a las Matemáticas, su contribución más notable fue la sistematización de la

geometría analítica. Intentó clasificar las curvas según el tipo de ecuaciones que las

producen, y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Comenzó

a usar las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las

primeras letras para las conocidas, inventó el método de los exponentes para indicar las

potencias de los números y formuló la conocida como la ley cartesiana de los signos, para

descifrar el número de radicales negativos o positivos de una ecuación algebraica.

25. FERMAT

Fermat, Pierre de (1601-1665), matemático francés. En su juventud, con su amigo

Pascal, realizó investigaciones sobre las propiedades de los números. De estos estudios,

Fermat dedujo un método de cálculo de probabilidades.

También estudió la teoría numérica, por cuyas aportaciones fue considerado el padre de

la teoría moderna. Anticipó el cálculo diferencial con su método de búsqueda de los

máximos y mínimos de las líneas curvas.

26. LAPLACE

Laplace, Pierre Simon, marqués de (Normandía, 1749-1827), astrónomo y matemático

francés, conocido por haber aplicado con éxito la teoría de la gravitación de Newton para

explicar todos los movimientos en el Sistema Solar

En 1767 fue profesor de matemáticas en la Escuela Militar de París y en 1785 fue

elegido miembro de la Academia de Ciencias francesa.

Laplace realizó su trabajo más importante al desarrollar el análisis matemático del

sistema de astronomía gravitacional elaborado por el matemático, físico y astrónomoinglés sir Isaac Newton. Demostró que los movimientos planetarios son estables y que las

perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos,

como los cometas, solamente son temporales. Trató de dar una teoría racional del origen

del Sistema Solar en su hipótesis nebular de la evolución estelar.





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En Mecánica celeste, 1825, sistematizó toda la obra matemática que se había realizado

sobre la gravitación.

27. LEIBNIZ

Leibniz, Gottfried Wilhelm (Leizpig, 1646-1716), matemático y estadista alemán, es unode los mayores intelectuales del siglo XVII.

En 1673 marchó a París. Más tarde visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo

al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario

y consejero privado en la corte de Hannover, donde trabajó durante los 40 años

siguientes, hasta su muerte.

Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología,

derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.

La contribución de Leibniz a las matemáticas fue la enumeración de los principios decálculo infinitesimal (1675), publicado en 1684. Esta explicación se produjo con

independencia de los descubrimientos de Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado

en 1666 y publicado en 1687. En 1672 inventó una máquina de calcular capaz de

multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo

de la lógica matemática. Para él, el universo se compone de innumerables centros

conscientes de fuerza espiritual o energía, conocidos como mónadas.

Cada mónada es un microcosmos individual, que refleja el universo en diversos grados

de perfección y evoluciona con independencia del resto de las mónadas. El universo

constituido por estas mónadas es el resultado armonioso de un plan divino. Los humanos,con visión limitada, no pueden aceptar males como las enfermedades y la muerte. Este

universo "el mejor de los mundos posibles", es satirizado como una utopía por Voltaire en

su novela Cándido (1759).

28. LEONARDO DA VINCI

Leonardo da Vinci (Florencia,1452- Amboise -Francia-, 1519), artista florentino y uno de

los grandes del renacimiento. Pintor, escultor, arquitecto, ingeniero y científico. Su gran

amor por el conocimiento y la investigación fue la clave tanto de su comportamiento

artístico como científico. Sus innovaciones en la pintura influyeron la evolución del arteposterior a él.

Sus investigaciones científicas sobre todo en anatomía, óptica e hidráulica anticiparon

muchos de los avances de la ciencia moderna.





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Hijo de un rico notario florentino, vivió en Florencia, centro artístico e intelectual de

Italia, donde recibió la una exquisita educación. Físicamente elegante, persuasivo en la

conversación y un gran músico e improvisador, aprendió con Verrocchio, figura principal

en el campo de la pintura y escultura, con quien trabajó varios años, hasta que alcanzó su

madurez artística, a partir de 1478.

En 1482 entró al servicio del duque de Milán, para quien trabajó como pintor, escultor,

arquitecto, ingeniero de máquinas de guerra, etc. ayudándole en todas las empresas

militares del duque. Experimentó la aplicación de nuevos materiales a la técnica de la

pintura, caracterizada por la gran fuerza expresiva de sus cuadros, de los que solo

conservamos La Gioconda (1503-1506), también conocida como Monna Lisa.

En 1502 Leonardo entra al servicio de César Borgia, hijo del papa Alejandro VI. En su

calidad de arquitecto e ingeniero mayor del duque, supervisa las las fortalezas de los

territorios papales del centro de Italia. En 1503, ya en Florencia, fue miembro de la

comisión de artistas encargados de decidir sobre el adecuado emplazamiento del David deMiguel Ángel.

Fue un artista extremadamente innovador e influyente. Introdujo la técnica del

claroscuro, la perspectiva "sfumato". La maestría de sus anatomías y el dominio del arte

tridimensional influyeron poderosamente en pintores posteriores como Rafael.

Como científico, al igual que como artista, su trabajo es preciso y documentado. Se

adelantó a su tiempo en considerar la importancia de la observación científica rigurosa.

Pero igual que en el campo artístico, nunca concluyó sus pensados tratados sobre distintos

temas, cuyas teorías nos han llegado a través de anotaciones manuscritas.

Anticipa muchos descubrimientos de los tiempos modernos, pero sus trabajos no son

publicados por indescifrables en su tiempo.

En el campo de la anatomía estudió la circulación sanguínea y el funcionamiento del ojo.

Realizó descubrimientos en meteorología y geología, conoció el efecto de la luna sobre las

mareas, anticipó las concepciones modernas sobre la formación de los continentes y

conjeturó sobre el origen de las conchas fosilizadas. Por otro lado, es uno de los

inventores de la hidráulica y probablemente descubrió el hidrómetro; su programa para la

canalización de los ríos todavía posee valor práctico. Inventó un gran número de máquinasingeniosas, especialmente sus máquinas voladoras, que establecieron algunos principios

de la aerodinámica.





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Un creador en todas las ramas del arte, un descubridor en la mayoría de los campos de

la ciencia, un innovador en el terreno tecnológico, Leonardo merece por ello, quizá más

que ningún otro, el título de Homo Universalis.

29. NEWTON

Newton, Sir Isaac (Woolsthorpe, 1642-1727), matemático y físico británico, es uno de

los más grandes científicos de la historia, con aportaciones en muchos campos del saber.

Sus teorías han servido de base a muchos avances científicos. Junto a Leibniz, inventó el

cálculo matemático. Además resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las

leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal.

Tras una infancia dura -huérfano de padre, fue cuidado por su abuela, en 1661 ingresó

en la Universidad de Cambridge, donde recibió el título de profesor en 1668. En esta

época se dedicó a la investigación de los últimos avances en matemáticas. No tardó en

realizar descubrimientos fundamentales.

Newton obtuvo en el campo de las matemáticas sus mayores logros. Contrastó el

método utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y el cálculo del área encerrada bajo

una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos

en lo que él llamó el método de las fluxiones, desarrolló lo que se conoce hoy como

cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima

del nivel de la geometría griega.

Aunque fue su inventor, fue Leibniz en 1675 quién introdujo el cálculo matemático en

Europa, al que llamó cálculo diferencial y quién recibiera en exclusiva los elogios por el

desarrollo de ese método. En 1704 Newton publicó una exposición detallada del método

de fluxiones.

La óptica fue otro área por la que Newton demostró interés muy pronto. Al tratar de

explicar la forma en que surgen los colores llegó a la idea de que la luz del Sol es una

mezcla heterogénea de rayos diferentes y que las reflexiones y refracciones hacen que los

colores aparezcan al separar la mezcla en sus componentes. Newton demostró su teoría

de los colores haciendo pasar un rayo de luz solar a través de un prisma, el cual dividió el

rayo de luz en colores independientes.

Estableció la ciencia moderna de la dinámica formulando las tres leyes del movimiento.

Aplicó estas leyes a las leyes de Kepler sobre movimiento orbital y dedujo la ley de la

gravitación universal. Probablemente, Newton es conocido sobre todo por su

descubrimiento de la gravitación universal, que muestra como a todos los cuerpos en el

espacio y en la Tierra les afecta la fuerza llamada gravedad. Publicó su teoría en Principios





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matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión en la

historia de la ciencia, y además consiguió que su autor perdiera su temor a la publicación

de sus teorías.

A partir de la Gloriosa Revolución de 1688, obtuvo diferentes cargos públicos y una gran

creatividad que fue truncada por una severa enfermedad emocional, de la que salió peroque dio paso a problemas y discusiones con muchos de sus colegas de entre los cuales los

más violentos fueron con Leibniz sobre la prioridad de la invención del cálculo, contra

quien Newton no dudó en poner en funcionamiento todo su poder, e incluso actuar con

falta de ética. En la época final de su vida, se sintió atraído por la alquimia, el misticismo y

la teología, temas en los que se ha encontrado demasiados puntos de contacto con su

pensamiento anterior.

30. RUFFINI

Ruffini, Paolo (Valentano, 1765- Módena, 1822), físico y matemático italiano.

Fue profesor de matemáticas y, en 1814, rector de la Universidad de Módena. Ruffini

fue el primero que realizó un intento, con éxito parcial (probablemente en 1803 o 1805),

de demostrar la imposibilidad de resolver mediante procesos elementales de álgebra las

ecuaciones generales de un grado superior a cuatro.

Esta formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostrada definitivamente

por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

31. WITTGENSTEIN

Wittgenstein, Ludwig (Viena, 1889- Cambirdge, 1951), filósofo austriaco, uno de los

pensadores actuales más influyentes, reconocido en especial por su contribución a la

filosofía analítica.

Wittgenstein se educó en el seno de una familia rica e ilustrada, y estudio ingeniería en

Manchester y después matemáticas puras con Bertrand Russell, con quién se orientó hacia

la filosofía. El Tractatus logicus-philosophicus (1921) según él, suministraba la “solución

definitiva” a los problemas filosóficos.

Quitando un paréntesis en que se dedicó a dar clases a niños, su vida fue la filosofía. Notardó en comenzar a rechazar algunas conclusiones del Tractatus y a desarrollar otras

opiniones reflejadas en sus Investigaciones filosóficas (1953).

Era sencillo, sensible y profundo, a menudo depresivo, odiaba la petulancia. De

personalidad fuerte y segura, y ejerció una considerable influencia en aquellos con los que





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entablaba amistad. Su vida filosófica se divide en dos épocas distintas: un primer periodo:

el Tractatus, y segundo las Investigaciones filosóficas. Concibió la filosofía como un análisis

conceptual o lingüístico. En el Tractatus defendió que la “filosofía pretende la clarificación

lógica de las ideas”. En las Investigaciones filosóficas, sin embargo, mantenía que la

“filosofía es un combate contra el hechizamiento de nuestra inteligencia por medio del

lenguaje”.

En el Tractatus, Wittgenstein sostenía que el lenguaje se compone de proposiciones

complejas que pueden ser analizadas en proposiciones más sencillas hasta llegar a una

formulación simple o elemental. Según la imagen de la teoría del significado de

Wittgenstein, es la naturaleza lógica de las proposiciones elementales la que representa

hechos atómicos o “situaciones”. Afirmaba que la naturaleza del lenguaje requiere

proposiciones elementales, y su teoría del significado exige que haya hechos atómicos

representados por proposiciones elementales. Sobre este análisis, sólo las proposiciones

que representan hechos —las proposiciones de ciencia— son consideradas

cognitivamente significativas.

Las declaraciones éticas y metafísicas no son afirmaciones significativas ni relevantes.

Esta teoría produjo un gran efecto sobre las teorías del positivismo, y los positivistas

lógicos adscritos al Círculo de Viena reconocieron la trascendencia de esta conclusión.

En las Investigaciones filosóficas defendió que si uno investiga en el presente cómo se

utiliza el lenguaje, la variedad de usos lingüísticos se vuelve clara. Las palabras son como

herramientas, y como las herramientas sirven para diferentes funciones, así las

expresiones lingüísticas cumplen diversas funciones. Aunque algunas preposiciones son

utilizadas para representar hechos, otras son utilizadas para ordenar, interrogar, orar,

agradecer, maldecir, y así sucesivamente. Este reconocimiento de la pluralidad y

flexibilidad lingüísticas llevaron al concepto de Wittgenstein del juego del lenguaje y a la

conclusión de que la gente interpreta diferentes juegos de lenguaje. El científico, por

ejemplo, está inmerso en un juego lingüístico diferente del teólogo. Además, el significado

de una proposición ha de ser comprendida en el ámbito de su contexto, esto es, en los

términos de las reglas del juego del cual esa proposición es una parte. La llave para la

solución de los rompecabezas filosóficos es el proceso terapéutico de examinar y describir

el lenguaje en uso.

Grandes pensadores que aportaron en el desarrollo de la matemática.

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