Introduccin

Al utilizar controladores en una planta con consideraciones de rapidez de respuesta, ajustar la ganancia es el primer paso, sin embargo en muchos casos prcticos, no basta ajustar la ganancia del sistema para cumplir con las especificaciones dadas. Con frecuencia, aumentar la ganancia mejora el funcionamiento estacionario, pero redunda en una estabilidad. En tal caso es necesario redisear el sistema para alterar el funcionamiento global, de manera que el sistema se comporte en la forma deseada. Este rediseo se denomina compensacin y al dispositivo que se inserta se le denomina compensador. El compensador modifica el desempeo con dficit del sistema original.

Compensadores

Se han utilizado numerosos dispositivos fsicos como compensadores. Entre las muchas clases de compensadores, ampliamente utilizados, estn los de adelanto, de atraso, de atrasoadelanto y compensadores con retroalimentacin de velocidad.Los compensadores pueden ser dispositivos electrnicos, o redes elctricas, mecnicas, neumticas, hidrulicas o alguna combinacin de ellas.

Compensacin en adelantoBodeLa tcnica de representacin de Bode permite hacer grficas rpidamente y con una precisin que es suficiente para el diseo de sistemas de control. La primera idea es graficar las curvas de magnitud empleando una escala logartmica y las curvas de fase empleando una escala lineal. Esto permite graficar plantas cuyas funciones de transferencia son de alto orden mediante la adicin grfica simple de los trminos separados.Las ventajas de trabajar con la respuesta en frecuencia en trminos de las grficas de Bode son:

1. Las grficas de Bode de sistemas en serie simplemente se suman.2. La relacin fase-ganancia est en trminos de los logaritmos de fase y ganancia.3. Se puede mostrar una variacin mucho ms amplia del comportamiento del sistema. Tanto el comportamiento de alta frecuencia como el de baja frecuencia se pueden mostrar en una grfica.4. El diseo de compensadores se puede basar completamente en grficas de Bode.

Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia

1. Compensacin en adelanto

El compensador de adelanto de fase persigue el aumento del margen de fase mediante la superposicin de la curva de fase del diagrama de bode sobre el diagrama de bode del sistema a compensar. El diagrama de bode del compensador se sita de manera que el valor mximo de adelanto de fase se encuentre donde se espera tener la frecuencia de cruce de ganancia.Para disminuir la amplificacin a altas frecuencias de un controlador PD, se aade polo a frecuencias ms altas que la de corte del propio compensador PD. Entonces fase se incrementar (o se adelantar), pero s conseguiremos limitar la amplificacin a altas frecuencia

El compensador por adelanto tendr la siguiente funcin de transferencia:

Donde es el factor de atenuacin y es la ganancia del compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es

El ngulo de fase mximo se observa por la recta tangente a la grfica polar y que pasa por el origen. Este ngulo mximo depender del valor de , aumentando si disminuye. La relaci -ngulo mximo es

El diagrama de Bode del compensador, para es

De la grfica de Bode se observa que el ngulo mximo del compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero

Procedimiento de diseo

1. Suponga el compensador en adelanto

Defina

El compensador y la planta en lazo abierto quedan

Determine la ganancia k que satisfaga el requisito de constante esttica de error propuesta

2.- Dibuje el diagrama de Bode , que es el sistema con la ganancia ajustada sin compensar

3.- Determine el ngulo de fase que se necesita agregar al sistema. A ese valor, agrguele de 5 a 12 ms (por el desplazamiento de la magnitud).

4.- Con el ngulo deseado, determine el factor de atenuacin

despus determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado sea

Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Utilizando esta frecuencia la ecuacin

se obtiene el valor del cero y del polo

5.- Con y , calcule la constante del compensador

6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.

Ejemplo:

Disee un compensador en adelanto que haga que el error en estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante de error esttico de velocidad sea de . Al mismo tiempo, el margen de fase sea mayor a 45. En el siguiente sistema:

Solucin:1) Se supone un compensador en adelanto de la forma

nota: La forma normalizada del compensador, permite ver la aportacin de ganancia del compensador .

Se define

2) Se encuentra la ganancia k que junto con el sistema cumplan con la constante de error esttico de velocidad.

3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia

4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el adelanto de fase que se requiere agregar:

De se obtiene

6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar el compensador. Se utiliza

Se observa en el diagrama de Bode en qu frecuencia se tiene una magnitud de y se define como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es

Despus se hace que a esta frecuencia ocurra el mximo aumento de fase . En otras palabra es la frecuencia media entre frecuencia de corte del cero y del polo.

7.- Se obtiene el cero y el polo del compensador

8.- Con y se obtiene la ganancia del compensador

Y el compensador es

1. Compensacin en atraso

El compensador de retardo igualmente persigue el aumento del margen de fase pero mediante otra estrategia. El efecto primero del compensador es disminuir la ganancia del sistema compensado para frecuencias iguales o superiores a las frecuencias caractersticas del sistema, con lo que supuestamente debera trasladar la frecuencia de cruce de ganancia hacia valores menores. Como el margen de fase se mide a la frecuencia del cruce de ganancia, y esta se conseguira reducir, es previsible que dicho margen aumente.El diagrama de Bode de un compensador de retardo con ganancia unitariaPuede ser como el mostrado en la figura.

El compensador de adelanto de fase tiene la forma general:

El valor del polo es ms positivo que el del cero

El diagrama polar del compensador en retraso es

Mientras el diagrama de Bode es el siguiente

Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor ms negativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero. Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que se busca una atenuacin en altas frecuencia para aportar un margen de fase adecuado al sistema

Procedimiento de diseo1. Suponga el compensador en atraso

Se define

y el sistema compensado es

2.- Determine la ganancia k que satisfaga el requisito de constante esttica de error propuesta

3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la ganancia k

4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados. Entonces encuentre la frecuencia donde el ngulo de la fase es -180 ms el margen de fase requerido, ms unos 5 o 12 grados.

5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la ganancia.

6.- Despus seleccione la nueva frecuencia de corte del cero ms o menos una dcada alejada del nueva frecuencia de cruce de la ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de la frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante es no hacer la constante de tiempo del polo muy grande.

7.- Determine la atenuacin necesaria para llevar la curva de magnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta atenuacin se determina el valor de .

8.- Con el valor de y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del polo

9.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:

Ejemplo: Compense el siguiente sistema:

de forma tal que la constante de error esttico de velocidad sea de , el margen de fase sea al menos de 40 y el margen de ganancia al menos de 10dB.

Solucin:

1) Se utiliza un compensador en atraso de la forma

se define

2) Ajustar la ganancia k para que junto al sistema cumpla con las especificaciones de error esttico de velocidad.

3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia

4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene un margen de fase de -13, por lo que es inestable.Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ngulo de fase de -180+ el margen de fase deseado + 12 de compensacin por el cambio de fase.

5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de corte una dcada menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso correspondera a pero por cuestiones de diseo, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se opta por asignar al cero una frecuencia de corte de

6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce seleccionada ( ) la magnitud pase por 0dB. De la grfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce seleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que restar 20 dB

7) Con el valor de y el valor del cero, se obtiene el polo

8.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:

El compensador en atraso queda

Lugar geomtrico de la raz compensacin en adelanto:

El enfoque del lugar geomtrico de las races es muy poderoso en el diseo cuando se incorporan las especificaciones en trminos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso mximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.

Sea un problema de diseo tal que el sistema original sea inestable para todos los valores de ganancia o estable pero con caractersticas inconvenientes de la respuesta transitoria. En este caso, es necesario volver a construir el lugar geomtrico de las races en la vecindad amplia del eje jw y el origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estn en las posiciones deseadas en el plano complejo. Este problema se soluciona insertando un compensador de adelanto apropiado en cascada con la funcin de transferencia a lazo abierto.

Procedimiento de diseo

1) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se determina la localizacin de los polos dominantes deseados (P.D.D)2) Se traza el lugar geomtrico de las races del sistema no compensado y se verifica si los polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica utilizando la condicin de ngulo.3) Para introducir la red de adelanto se pueden utilizar dos procedimientos:a) Se calcula el ngulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. (f). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado.

Se ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condicin de ngulo az - ap = fb) Se traza una horizontal que pase por el polo dominante deseado y una recta que una el origen con el polo dominante deseado. Se traza la bisectriz y de all se trazan dos rectas a f / 2 de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto.

EJEMPLO

Para un sistema como el siguiente:

Disee un compensador tal que, los polos dominantes deseados sean

SOLUCIN:1) Se verifica si los PDD pertenecen al lugar geomtrico de las races Como la funcin de transferencia a lazo abierto es muy sencilla, es fcil dibujar el LGR tal como se muestra en la figura 11.7. Grficamente se observa que el polo dominante deseado no pertenece al LGR.

2) Se debe calcular numricamente el valor de a aadir utilizando la condicin del ngulo. Para ello se calcula el ngulo de para s= PDD

Por ello se debe aadir = 57, para satisfacer la condicin de ngulo.

3) Utilizando el primer procedimiento se aade el cero en s = - 3, y se obtiene numricamente el valor del ngulo del polo tal como se muestra continuacin (figura 11.8).

4) Finalmente, la ganancia para que ese punto sea el polo dominante deseado se calcula utilizando la condicin de mdulo:

Lugar geomtrico de la raz compensacin en atraso:

Para un sistema que tiene buenas caractersticas de respuesta transitoria pero no satisface los requerimientos en respuesta permanente se utiliza la compensacin en atraso.Esencialmente, un compensador en atraso aumenta la ganancia de lazo cerrado sin modificar apreciablemente el lugar geomtrico de las races. Para ello, se colocan el cero y el polo de la red de atraso cerca del origen la cual tiene la siguiente funcin de transferencia:

El cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen, por lo que la red de atraso no tendr prcticamente ningn efecto sobre la condicin de mdulo y la condicin de ngulo, es decir,

Por lo tanto, si la funcin de transferencia de lazo directo, evaluada para PDD, satisface la condicin de ngulo y la condicin de mdulo, al aadirle Gc(s), ste no se ver afectado.De all que slo queda verificar que la nueva funcin de transferencia a lazo directo GH(s) Gc(s), tendr una variacin en el error igual a b

As se comprueba que la ganancia de lazo directo se ver modificada en un valor igual a b, lo que aumenta el coeficiente de error en el mismo factor b.

PROCEDIMIENTO DE DISEO

1) Verificar que los polos dominantes deseados pertenezcan al lugar geomtrico de las races.

2) Calcular el valor de b necesario para satisfacer coeficientes de error

3) Se ubica el cero cerca del origen y con el valor de b se calcula la posicin del polo.

4) La contribucin del ngulo no debe ser mayor de 5

5) Se verifica la condicin de mdulo y de ngulo para garantizar que el polo dominante deseado pertenezca al lugar geomtrico de las races despus de incluir el compensador.

6) Se verifica que se satisfaga el error.

EJEMPLO

Para el siguiente sistema, se desea que los polos dominantes deseados sean s y se satisfaga un Kv = 20

1) Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. Ya que el LGR es tan simple, por simple inspeccin, se observa que los PDD, s pertenecen al lugar geomtrico de las races, se verifica tambin usando la condicin de ngulo.

Comparacin de las compensaciones de adelanto y retardo

1. La compensacin de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribucin al adelanto de fase, mientras que la compensacin de retardo logra el resultado a travs de su propiedad de atenuacin a altas frecuencias.

2. La compensacin de adelanto suele usarse para mejorar los mrgenes de estabilidad. La compensacin de adelanto da una frecuencia de cruce de ganancia ms alta que la que puede obtenerse con la compensacin de retardo. La frecuencia de cruce de ganancia ms alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande implica una reduccin en el tiempo de asentamiento. Si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rpida, debe emplearse la compensacin de adelanto.Sin embargo, si hay seales de ruido, tal vez no es adecuado un ancho de banda grande, porque esto hace al sistema ms sensible a las seales de ruido, debido a l incremento de la ganancia a altas frecuencias. Se ve la cierta equivalencia entre un compensador de adelanto y un regulador PD, mientras que un compensador de retardo equivale a un PI.

3. La compensacin de adelanto requiere un incremento adicional en la ganancia para compensar la atenuacin inherente a la red de adelanto. Esto significa que la compensacin de adelanto requiere una ganancia mayor que la que precisa la compensacin de retardo. Una ganancia mayor casi siempre implica mayor espacio, mayor peso y un coste ms elevado.

4. La compensacin de adelanto puede generar grandes seales en el sistema. Estas seales no son deseables porque pueden originar saturaciones en el sistema.

5. La compensacin de retardo reduce la ganancia del sistema a altas frecuencias permitiendo aumentarla a bajas frecuencias, con lo que aumenta la precisin en estado estacionario. Al reducir la ganancia a altas frecuencias, los ruidos a altas frecuencias que contiene el sistema se atenan, aunque al reducirse el ancho de banda del sistema, este responde a una velocidad ms lenta.

6. La compensacin de retardo introduce una combinacin polo-cero cerca del origen que genera una larga cola de pequea amplitud en laRespuesta transitoria.