GEOMETRIA GEOMETRIA PLANAPLANA

OBJETIVOOBJETIVOQue el alumno identifique los Que el alumno identifique los

diferentes tipos de triangulo, sus diferentes tipos de triangulo, sus tipos de rectas y los aplique a tipos de rectas y los aplique a

situaciones del entornosituaciones del entorno

DefinicionesDefinicionesEl puntoEl punto El punto, en geometría, es uno de El punto, en geometría, es uno de

los entes fundamentales, junto los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros describirlos en relación a otros elementos similares. Se suelen elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los describir apoyándose en los postulados característicos, que postulados característicos, que determinan las relaciones entre determinan las relaciones entre los entes geométricos los entes geométricos fundamentales.¿fundamentales.¿

El punto es un elemento El punto es un elemento geométrico adimensional, no es geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una un objeto físico; describe una posición en el espacio, posición en el espacio, determinada en determinada en funciónfunción de un de un sistemasistema de coordenadas de coordenadas preestablecido.preestablecido.

La rectaLa recta La recta, o línea recta, en geometría, La recta, o línea recta, en geometría,

es el ente ideal que sólo posee una es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola indefinida de puntos en una sola dimensión.dimensión.

Es uno de los entes geométricos Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la es posible a partir de la descripcióndescripción de de las características de otros elementos las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los definiciones basándose en los Postulados característicos que Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.denominar con una letra minúscula.

El planoEl plano El plano, en geometría, es el ente ideal El plano, en geometría, es el ente ideal

que sólo posee dos dimensiones, y que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados apoyándose en los postulados característicos, que determinan las característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos relaciones entre los entes geométricos fundamentales.fundamentales.

Un plano queda definido por los Un plano queda definido por los siguientes elementos siguientes elementos geométricos:geométricos:

Tres puntos no alineadosTres puntos no alineados.. Una recta y un punto exterior a ella.Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas.Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan.Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una Los planos suelen nombrarse con una

letra del alfabeto griego.letra del alfabeto griego. Suele representarse gráficamente, para Suele representarse gráficamente, para

su mejor visualización, como una figura su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).superficie infinita).

SegmentoSegmento Un segmento, en geometría, es un fragmento Un segmento, en geometría, es un fragmento

de recta que está comprendido entre dos de recta que está comprendido entre dos puntos.puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.no a este.

ÁnguloÁngulo Un ángulo es la "abertura" entre dos líneas Un ángulo es la "abertura" entre dos líneas

que se cruzan en un punto. Esta noción de que se cruzan en un punto. Esta noción de ángulo es muy familiar para nosotros, pues ángulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado y durante nuestra vida hemos observado y descrito los ángulos de todos los objetos que descrito los ángulos de todos los objetos que vemos. En geometría se estudian con todo vemos. En geometría se estudian con todo detenimiento y precisión estos ángulos. Es en detenimiento y precisión estos ángulos. Es en esta rama de las matemáticas en donde esta rama de las matemáticas en donde miden y clasifican estos ángulos, se estudian miden y clasifican estos ángulos, se estudian sus propiedades y sus relaciones con otros sus propiedades y sus relaciones con otros ángulos. Los ángulos se miden ángulos. Los ángulos se miden principalmente en grados sexagesimales, principalmente en grados sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados son vueltas enteras; los gradianes o grados centesimales, que dividen la vuelta entera en centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de 360, como los 400 partes iguales en lugar de 360, como los grados sexagesimales.grados sexagesimales.

TRIANGULOSTRIANGULOSClasificación según sus ladosClasificación según sus lados

Ángulo rectoÁngulo recto: : está está formado por el cruce de dos rectas formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90º.parte de una revolución, es decir, 90º.

Ángulo agudoÁngulo agudo: : un ángulo un ángulo agudo tiene una abertura menor a la agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.del ángulo recto.

Ángulo obtusoÁngulo obtuso: : un un ánguloángulo obtuso tiene una abertura obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, mayor a la del ángulo recto,

concretamente 180ºconcretamente 180º..

Ángulo llano: Ángulo llano: es aquel es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una además el ángulo es la mitad de una revolución, o sea, 180º.revolución, o sea, 180º.

CLASIFICACION DEL CLASIFICACION DEL TRIANGULO SEGÚN SUS LADOSTRIANGULO SEGÚN SUS LADOS Triángulo equiláteroTriángulo equilátero: : si sus si sus

tres lados tienen la misma longitud tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 (los tres ángulos internos miden 60

grados ó radianes).grados ó radianes).

Triángulo escalenoTriángulo escaleno: : si todos si todos sus lados tienen longitudes diferentes. sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.ángulos con la misma medida.

Triángulo isóscelesTriángulo isósceles: : si tiene si tiene dos lados de la misma longitud. Los dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.tienen la misma medida.

CLASIFICACION DE LOS CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS SEGÚN SUS TRIANGULOS SEGÚN SUS

ANGULOSANGULOS Triángulo rectánguloTriángulo rectángulo: : si tiene si tiene

un ángulo interior recto (90°). A los un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. lado hipotenusa.

Triángulo acutángulo:Triángulo acutángulo: cuando cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.particular de triángulo acutángulo.

Triángulo obtusángulo:Triángulo obtusángulo: si uno si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).de 90°).

RECTAS NOTABLES DE UN RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULOTRIÁNGULO

Mediatrices:Mediatrices:La La MEDIATRIZMEDIATRIZ de un lado de un de un lado de un

triángulo se define como la recta triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.pasa por su punto medio.

Todo triángulo ABC, tiene tres Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices  que denotaremos mediatrices  que denotaremos como sigue:como sigue:

La mediatriz del lado 'a'=BC, se La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por denota por MaMa

La mediatriz del lado 'b'=AC, se La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por denota por MbMb

La mediatriz del lado 'c'=AB, se La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por denota por McMc

Propiedad 5:Propiedad 5: "Los puntos de la mediatriz de "Los puntos de la mediatriz de

un lado de un triángulo un lado de un triángulo equidistan de los vértices que equidistan de los vértices que definen dicho lado"definen dicho lado"

Alturas:Alturas: La La ALTURA ALTURA de un triángulo, de un triángulo,

respecto de uno de sus lados, respecto de uno de sus lados, se define como la recta se define como la recta perpendicular a dicho lado perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice que pasa por el vértice opuesto.opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres Todo triángulo ABC, tiene tres alturas  que denotaremos alturas  que denotaremos como sigue:como sigue:

La altura  respecto del lado La altura  respecto del lado 'a'=BC, se denota por 'a'=BC, se denota por haha

La altura  respecto del lado La altura  respecto del lado 'b'=AC, se denota por 'b'=AC, se denota por hbhb  

La altura respecto del lado La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por 'c'=AB, se denota por hchc

Una altura puede ser Una altura puede ser interior al triángulo, interior al triángulo, exterior al mismo, o exterior al mismo, o incluso, coincidir con incluso, coincidir con alguno de sus lados alguno de sus lados (según el tipo de (según el tipo de triángulo):triángulo):

Medianas:Medianas: La La MEDIANAMEDIANA de un de un

triángulo, correspondiente triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se a uno de sus vértices, se define como la recta que define como la recta que une dicho vértice del une dicho vértice del triángulo con el punto triángulo con el punto medio del lado opuesto.medio del lado opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por tres medianas (una por cada vértice)  que cada vértice)  que denotaremos como sigue: denotaremos como sigue:

Mediana correspondiente Mediana correspondiente al vértice A, se denota por al vértice A, se denota por   mAmA

Mediana correspondiente Mediana correspondiente al vértice B, se denota por al vértice B, se denota por   mB mB 

Mediana correspondiente Mediana correspondiente al vértice C, se denota por  al vértice C, se denota por  mC mC 

Bisectrices:Bisectrices: La La BISECTRIZBISECTRIZ de un de un

triángulo, correspondiente a triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en ángulo correspondiente en dos partes iguales.dos partes iguales.

Todo triángulo ABC, tiene tres Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada bisectrices (una por cada ángulo)  que denotaremos ángulo)  que denotaremos como sigue:como sigue:

Bisectriz correspondiente al Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por ángulo A, se denota por bAbA

Bisectriz correspondiente al Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por ángulo B, se denota por bBbB

Bisectriz correspondiente al Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por ángulo C, se denota por bCbC

EJERCICIOSEJERCICIOS Con ayuda de una regla y un compás:Con ayuda de una regla y un compás: Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con

las letras A, B y C. las letras A, B y C. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que

has visto, dibuja las tres mediatrices de tu triángulo. has visto, dibuja las tres mediatrices de tu triángulo. Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con

ayuda de la regla o el compás, toma la distancia de dicho ayuda de la regla o el compás, toma la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dicho punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias? punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias?

Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz. mediatriz.

on ayuda de una regla y un compás: on ayuda de una regla y un compás: Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con

las letras A, B y C. las letras A, B y C. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que

has visto, dibuja las tres alturas de tu triángulo.has visto, dibuja las tres alturas de tu triángulo.

CUADRILATEROSCUADRILATEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen

distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.

Clasificación de los cuadriláterosClasificación de los cuadriláteros

CIRCULO Y CIRCUNFERENCIACIRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Un círculoUn círculo, en geometría, es el , en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en que se encuentran contenidos en una circunferencia. Es el lugar una circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos del plano geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual llamado centro, es menor o igual que la longitud del que la longitud del radioradio..

Una circunferenciaUna circunferencia es el es el lugar geométrico de los puntos del lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie perímetro del círculo cuya superficie

contienecontiene..

ELEMENTOS DE LA ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA

Centro Centro del círculo, que se del círculo, que se corresponde con el centro de la corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.todos los puntos de esta.

RadioRadio, es el segmento que une el , es el segmento que une el centro con un punto de la centro con un punto de la circunferencia; circunferencia;

DiámetroDiámetro, el mayor segmento , el mayor segmento que une dos puntos de la que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, circunferencia y, lógicamente, pasa por el centro; pasa por el centro;

CuerdaCuerda, el segmento que une dos , el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son cuerdas de longitud máxima son los diámetros;los diámetros;

ArcoArco, segmento curvilíneo de , segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la puntos pertenecientes a la circunferencia.circunferencia.