FundamentoFundamento

s de la s de la

Geometría Geometría FractalFractal

Benoit Benoit MandelbroMandelbrott

El concepto que hace de hilo conductor será El concepto que hace de hilo conductor será

designado por uno de los dos neologismos designado por uno de los dos neologismos

sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos

que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino

“fractus”,... “fractus”,...

MandelbrotMandelbrot““Un fractal es, por definición, un conjunto cuya Un fractal es, por definición, un conjunto cuya

dimensióndimensión de Hausdorff-Besicovitch es de Hausdorff-Besicovitch es

estrictamente mayor que su dimensión topológica.”estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Representación del conjunto de Representación del conjunto de

MandelbrotMandelbrot

1) Los Fractales son los objetos 1) Los Fractales son los objetos

matemáticos que conforman la matemáticos que conforman la

Geometría de la Teoría del Caos. Geometría de la Teoría del Caos.

2) La Geometría Fractal es 2) La Geometría Fractal es

también conocida como la también conocida como la

“Geometría de la Naturaleza.“Geometría de la Naturaleza.

3) La palabra Fractal, enunciada 3) La palabra Fractal, enunciada

por Mandelbrot, proviene del latín por Mandelbrot, proviene del latín

y significa roto, quebrado. (esto se y significa roto, quebrado. (esto se

asocia con las discontinuidades de asocia con las discontinuidades de

funciones matemáticas). funciones matemáticas).

4) La Geometría Fractal es un nuevo 4) La Geometría Fractal es un nuevo

lenguaje; ya que los puntos, rectas, lenguaje; ya que los puntos, rectas,

esferas, elipses y demás objetos de esferas, elipses y demás objetos de

la geometría tradicional son la geometría tradicional son

reemplazados por algoritmos reemplazados por algoritmos

iterativos computacionales que iterativos computacionales que

permiten describir sistemas naturales, permiten describir sistemas naturales,

caóticos y dinámicoscaóticos y dinámicos..

5) Los Fractales son objetos cuya 5) Los Fractales son objetos cuya

dimensión es no entera o dimensión es no entera o

fraccionaria. fraccionaria. 6) Un objeto fractal es aquél que su 6) Un objeto fractal es aquél que su

dimensión fractal de Hausdorff -dimensión fractal de Hausdorff -

Besicovich supera a su dimensión Besicovich supera a su dimensión

topológica.topológica.

7) Un objeto fractal es aquél que 7) Un objeto fractal es aquél que

posee las siguientes dos posee las siguientes dos

características: características:

b) Dimensión Fractal b) Dimensión Fractal

a) Autosimilitud, a) Autosimilitud,

ANTECEDENTESANTECEDENTESLLa geometría fue descubierta en Egiptoa geometría fue descubierta en Egipto

FFue mostrada rigurosamente por el ue mostrada rigurosamente por el

matemático griego Euclídes, en su libro “los matemático griego Euclídes, en su libro “los

elementos”.elementos”. ArquímedesArquímedes iinventó la forma de medir el área nventó la forma de medir el área

de ciertas figuras limitadas por curvasde ciertas figuras limitadas por curvas

EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍAEVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA

Geometría analíticaGeometría analítica

El uso de modelos con más de tres El uso de modelos con más de tres

dimensiones dimensiones

Geometría DiferencialGeometría Diferencial

Geometría Hiperbólica Geometría Hiperbólica 

La geometría fractalLa geometría fractal

El discoEl disco hiperbólico hiperbólico de P de Pooincaréincaré

LLíímite circular IIImite circular III, M.C. Escher, M.C. Escher

La geometría fractalLa geometría fractal

Disciplina complejaDisciplina compleja que que

integra conceptos de:integra conceptos de:

Geometría euclidianaGeometría euclidiana

Geometría analíticaGeometría analítica

Teoría de funciones y seriesTeoría de funciones y series

Variable complejaVariable compleja

Geometría no euclidianaGeometría no euclidiana

TopologíaTopología

Procesamiento de imágenesProcesamiento de imágenes

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS  Conjunto perfecto de CantorConjunto perfecto de Cantor

Partimos del intervalo [0,1], que denominamos Partimos del intervalo [0,1], que denominamos

CC00. Obtenemos . Obtenemos CC11 removiendo el tercio removiendo el tercio

central de central de CC00, de forma que resulta, de forma que resulta  

1,

32

31,01 C

 

 Ck reunión de 2k subintervalos cerrados, cada uno de longitud 3-k.{Ck} es monótona decreciente:  

 

0

210 ...;...k

kk CCCCCC

CurvaCurva de Hilbertde HilbertOBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

SSe conectan e conectan loslos centros centros de los cuadrados de los cuadrados, ,

comenzando siempre por el cuadrado inferior comenzando siempre por el cuadrado inferior

izquierdo y terminando en el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior

derechoderecho..

Copo de nieve de KochCopo de nieve de Koch

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Carpeta de SierpinskCarpeta de Sierpinski i  

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOSTTetraedro de Sierpinsketraedro de Sierpinski i

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOSOBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

EEsponja de Sierpinsksponja de Sierpinskii

ÁRBOL FRACTAL ÁRBOL FRACTAL

DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL1).( 1 LLN

1).( 2 LLN

L: factor de reducción

N(L): cantidad de similares

DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL1).( 3 LLN

LLa dimensión fractal de un objeto geométrico esa dimensión fractal de un objeto geométrico es D D si si ::

1).( DLLN ; D= log (N(L))/log(1/L)

La La dimensidimensióónn del conjunto de Cantor del conjunto de Cantor

D= log(2)/log(3) = 0'6309...D= log(2)/log(3) = 0'6309...

La dimensiLa dimensióón de la curva de Koch n de la curva de Koch

D = log(4)/log(3) = 1'2618...D = log(4)/log(3) = 1'2618...

DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL

AUTOSIMILITUDAUTOSIMILITUD

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de (1).- “F” posee detalle a todas las escalas de

observación;observación;

(2).- No es posible describir “F” con Geometría (2).- No es posible describir “F” con Geometría

Euclidiana, tanto local como globalmente;Euclidiana, tanto local como globalmente;

(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, (3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza,

posiblemente estadística;posiblemente estadística;

(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su (4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su

dimensión topológica;dimensión topológica;

(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy (5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy

simple, y posiblemente de carácter recursivo.simple, y posiblemente de carácter recursivo.

KENNETH FALCONERKENNETH FALCONER - 1990 - 1990

CONJUNTO DE MANDELBROTCONJUNTO DE MANDELBROT

PPuntos c en el plano complejo tales que la untos c en el plano complejo tales que la

sucesión recurrentesucesión recurrente

No tiende a infinito No tiende a infinito

ARTE FRACTALARTE FRACTAL

LA REALIDAD VIRTUALLA REALIDAD VIRTUAL