Guia Fractal Es

8/14/2019 Guia Fractal Es

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f ra c t a lesquépor qué

para qué

Una introducción al mundo de los fractalesFractals. What? Why? What For?

An Introduction to the World of Fractals



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f ra c t a les

quépor quépara qué

Una introducción al mundo de los fractalesFractals. What? Why? What For?An Introduction to the World of Fractals



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Cuaderno didáctico

Fractales; qué, por qué, para quéUna introducción al mundo de los fractales

Consorcio Parque de las Ciencias

Consejería de Educación. Junta de Andalucía

Ayuntamiento de Granada

Consejería de Medio Ambiente. Junta de Andalucía

Consejería de Innovación, Ciencia y Empresa. Junta de Andalucía

Diputación Provincial de Granada

Universidad de Granada

Consejo Superior de Investigaciones Cientícas.Ministerio de Ciencia e Innovación

Fundación Caja Granada

Fundación Caja Rural de Granada

Casa de la Ciencia

Estación Biológica de Doñana

Consejo Superior de Investigaciones Cientícas



“Fractales, qué, por qué, para qué. Una introducciónal mundo de los fractales”,

Autor: Juan Manuel García RuizFotografía: Héctor Garrido

Esta publicación ha sido editada por el Parque de lasCiencias con motivo de la Exposición temporal:“Armonía fractal de Doñana y las Marismas”

Publicaciones didácticasdel Parque de las Ciencias:

Dirección: Ernesto Páramo SuredaDiseño y maquetación: Inmaculada Melero, Esther Alcedo Traducción: BabelColaboran: Javier Medina, Fermin Otárola, Victor Costa,Paz Posse e Isabel Bustamante

Edita: Parque de las Ciencias. Mayo, 2009

Imprime: Grácas AlhambraISBN: 978-84-937401-0-8Depósito Legal: GR-2279-2009



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Presentación de la Consejera



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Vistas de la exposición temporal Armonía fractalde Doñana y las Marismas, en Pabellón Tecno-Foro.

Parque de las Ciencias

View of the temporary exhibitionFractal Harmony in Doñana and the Wetlands,

Pavilion Tecno-Foro. Parque de las Ciencias



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Introducción

Los lectores que hayan tenido la oportunidad de volar alguna vezhan podido ser testigos de las distintas formas que la naturalezay el hombre han generado sobre el gran lienzo de la supercie de laTierra. Quienes se hayan subido a alguna atalaya o mirador tambiénhabrán notado cómo la naturaleza y el ser humano pintan con distintopincel los innitos cuadros que encierra el paisaje. La diferencia estáen la geometría. Por un lado, la geometría euclidiana, fría, trazada contiralíneas por la razón humana, a golpe de máquina, ya sea ésta unsimple arado o una potente excavadora. Por otro, la cálida y obstinadageometría de la curva y de la bifurcación dibujada sensualmente por lanaturaleza. Es una lucha titánica, de poder a poder, entre dos trazos,entre dos estilos distintos.

Esta guía didáctica de la exposición Armonía Fractal de Doñana yLas Marismas quiere acercar la naturaleza al lector a través de lageometría. De la geometría fractal. Esa geometría que trata a losmontes como montes y no como pirámides, a los árboles como árbolesy no como triángulos, a los ríos y líneas de costa como líneas de costa,no como rectas. Es la geometría que trata como una unidad a lasformas complejas creadas por la vida y por lo inanimado, la que dasentido, cuando nos tumbamos panza arriba con nuestros hijos,a buscar en las formas de las nubes los objetos de nuestra vidacotidiana.

Introduction. If you have ever own in an aeroplane, youwill probably have looked down to see the different shapesthat nature and mankind have created on the great artist’scanvas that is the Earth’s surface. If you have climbed to thetop of a tower or looked out from a viewpoint, you will haveseen how nature and man have used different brushstrokes topaint countless pictures which combine to form the landscape.The difference between these two artists lies in the geometryof the different shapes that they draw: on the one hand,

Euclidean geometry, cold, drawn carefully by a man’s pen orby the force of a machine, whether it be a simple plough or apowerful digger; and, on the other, the warm but headstronggeometry of curves and forks, sensitively drawn by nature. Thestruggle between the two different styles, two powers, twobrushstrokes, is one of colossal proportions.

This guidebook to the exhibition Fractal Harmony of Doñanaand the wetlands aims to give readers an insight into naturethrough geometry, more specically through fractal geometry.This type of geometry treats mountains as mountains and notas pyramids, trees as trees and not as triangles, and rivers andcoastlines as rivers and coastlines, not straight lines. Fractalgeometry sees the shapes created by living things and inanimatematerials as a single unit, making sense of the way in which welie on the grass with our children and gaze up at the clouds,searching for shapes which look like day-to-day objects



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Hace unos cuatro mil quinientos millones de años seformó el planeta sobre el que todos nosotros vivimos.En aquel pasado remoto la tierra caliente comenzóa enfriarse rápidamente y a la actividad volcánica seunió pronto el agua condensada sobre la supercie.Empezó el juego del fuego y el agua, que juntocon el viento dibujaron las formas de la naturalezainanimada, del mundo mineral. Son formas complejasgeneradas por la repetición de simples mecanismosque machaconamente, segundo a segundo, vanconformando una geometría en la que predomina la

curva y la ramicación.

Las formas dibujadas por la TierraShapes drawn by the earth. The planeton which we all live today was formedaround four thousand ve hundred millionyears ago. Way back then, the planet wasnot only the scene of volcanic activity: thehot earth also began to cool quickly, andcondensed water soon began to gather onthe surface. And so began the combinedaction of re and water. These two forces,along with the wind, carved out the shapesof Earth’s inanimate materials, the mineralworld. These shapes are the result of therepeated action of simple mechanismswhich work relentlessly, second by second,constructing an increasingly complexgeometry in which curves , and branchingare the dominant feature.

El agua, el viento y el fuego moldearonla supercie de la Tierra durante mil

millones de años.Water, wind and re moulded thesurface of the Earth over the courseof one thousands of millions of years.

NASA-Earth



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Lavadero de mineral de las Minas de Tharsis, Corrales,Huelva. Esta hermosa acuarela mineral pintada por lasreacciones químicas del agua y los metales, podría habersido un paisaje de la Tierra primitiva.

Mineral washing plant at the mines inTharsis, Corrales, Huelva (Spain). Thisbeautiful mineral watercolour, paintedby the chemical reactions that take placewhen metals come into contact with water,is the sort of landscape which could havebeen seen in primitive Earth.

Esta gura muestra una concepción artística de un

paisaje virtual en la Tierra primitiva, cuando la vidaaún no habría hecho su aparición sobre la Tierra ysólo el agua, el viento y el calor dibujaban sus formas(Archivos de NASA).

This picture shows an artist’s impressionof a virtual landscape on primitive Earth,when life forms had not yet developed,and water, wind and heat were the onlyforces which could draw shapes fromNASA archives.



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A las fuerzas geológicas que dibujaban las formas de latierra se le unió la vida hace unos tres mil millones deaños. Lo hizo como el el aprendiz del taller mineral,copiando, retocando aquí y allá pero sin romper elestilo del maestro. La geometría de la vida se fundecon la geometría de la tierra en un único paisaje dondepredomina la curvas y ramicación, el paisaje natural.

Las formas dibujadas por la vida

Shapes drawn by life. The geologicalforces which rst drew shapes in theEarth’s surface were later joined by living

organisms, around three thousand millionyears ago. This new artist became a faithfulapprentice in the mineral workshops,copying, retouching here and there, butwithout changing the style of its master.The geometry of life melted into thegeometry of the Earth to form a singlelandscape of curves and branching: thenatural landscape.

Un arrecife es un jardín de“piedras” de colores. Las“piedras” las ponen los pólipos,

unos animalitos milimétricosque jan el calcio y el CO2 convirtiéndolos en carbonatode calcio. El color, los colores, loponen unas microalgas que vivenen simbiosis con los pólipos. Lasformas que dibuja la vida sonsimilares, en lo fundamental, alas formas que dibuja el juegode la tierra, con el agua y elfuego. Por eso, cuando miramoslas nubes, pura agua, jugamos abuscar en ellas formas de vida.

A reef is a garden of colouredstones. These stones are laiddown by polyps, miniscule animalswhich x calcium and CO

2, turning

them into calcium carbonate.The colour or colours are paintedon by micro-algae which livesymbiotically with the polyps. Theshapes drawn by life are basicallyquite similar to the shapes drawnby the combination of earth,water and re. That’s why, whenwe look up at the clouds, whichare pure water, we try to nd life-like shapes amongst them.

La vida contribuye al paisaje de

las marismas jando y dandocolor a las formas que la mareay el viento dibujaron, como losalmajos, las espartinas y las algasque tiñen el paisaje de la isla deEn medio.

Life helps shape the landscape of

salt marshes by xing and colouringthe shapes drawn by the tides andwind. An example of this has beencreated by the saltwort, grasses andalgae which colour the landscapeof the Isla de Enmedio in southernSpain.



Las formas dibujadas por el ser humanoHace menos de un par de millones de años aparecióen este planeta el ser humano y, como una especiemás de la evolución de la vida, dibuja sobre la tierrasus senderos en busca de caza o de agua, senderosque se ajustan suavemente al relieve mineral, o que sebifurcan, como los que resultan del continuo paso delos animales que buscan en las mañanas del verano elagua en los Ojos de la marisma (foto de la derecha).

Pero el día en que uno de nuestros ancestros tomó unarama horquillada y trazó una línea recta para airear latierra y sembrarla, ese día comenzó a pintar el paisajecon la soberbia del aprendiz que desdeña al maestro,con un nuevo trazo que rompe con el estilo del paisajecreado por la tierra y la vida desde hace miles de millonesde años.

Una batalla estética comienza, pues, cuando el serhumano rotura los campos arando con la perfecciónde la línea recta, como en los cultivos de regadío delentorno de Doñana, invitado en este caso (foto de laderecha) por el agua fácil, somera, del pozo excavadoen el suelo arenoso.

Es un retoque al paisaje, pero es un retoque tenue, unaherida leve como lo es también la del estero que seacopla delicadamente a los bajíos de la marisma en SanFernando (abajo a la derecha).

Shapes Drawn by Mankind. Less than a couple of millionyears ago, man arrived on the Earth. This newly-evolvedspecies drew its own tracks on the Earth’s surface as itsearched for food and water. These tracks adjusted to themineral relief of the planet, or forked off, just like those

formed by the continuous passage of animals searching forwater on summer mornings in the pools of the marshes.But as soon as humans forked off and carved out a straightline in the earth to aerate it and sow seeds, they began topaint the landscape with the arrogance of an apprenticescorning the teachings of his master, with a new pattern whichbroke away from the landscape style created by Earth and lifethousands of millions of years ago.

This aesthetic battle began when mankind began to ploughthe elds with perfectly-straight lines, like in the irrigated eldsaround Doñana in southwest Spain, where surface water couldthen ow easily from the well dug out in the sandy soil.

The landscape was retouched, but gently, and this is a minorinjury, just like the articial lagoon that ts delicately into theshallows of the salt marsh in San Fernando, near Cadiz insouthern Spain



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Algo más perturbadora es la cuadrícula, poderosa,humilladora cuadrícula, que borra todo indicio natural,como la que conforma las salinas de los Portuguesesen Sanlúcar de Barrameda o las viñas sobre la marismadesecada o las plantaciones de arroz al arrimo del gran ríoGuadalquivir.

Perhaps more disturbing is the sort ofpowerful, humiliating grid which erasesall trace of natural features, like the oneon the salt ats in Sanlúcar de Barrameda,or the vineyards on a dried-out marsh, orthe rice plantations on the edge of theGuadalquivir river.



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El lector se puede imaginar mil escenas que demuestranlo cierto de esta controversia estética. Posiblemente,con sólo mirar a su alrededor, si está en un lugar dondeel ser humano ha dejado su marca, comprobará eldominio de la línea recta en nuestra geometría. ElSkyline de la bella ciudad de Sydney es el perfecto

ejemplo del triunfo de la recta en el paisaje urbano.

As man designs and builds new,increasingly powerful machines,the changes to the landscape arebecoming more and more radical,more aggressive, as a result of theoverwhelming, cold geometry ofurban development which threatensthe Earth’s natural patterns.

A medida que la humanidadconcibe nuevas máquinas,cada vez más potentes, latransformación del paisaje se hacemás radical, más agresiva por laarrolladora y fría geometría de la

urbanización, que amenaza lospatrones naturales.You should be able to think of thousandsof different scenes which demonstrate howtrue this observation is. Perhaps you onlyneed to look around you – if you are in aplace where man has left his mark, youwill see how straight lines have becomethe dominant feature in our geometry. Theskyline of the beautiful city of Sydney isthe perfect example of the triumph of thestraight line in the urban landscape.



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La necesidad de medir:el origen de la geometría euclidiana

The need to measure. The origins of EuclideanGeometry. Why has mankind turned its backon the curved, forked shapes of nature, optinginstead for straight lines, circles and spheres?When we rst arrived on Earth, we only hadthree examples of this sort of geometry onwhich to base our designs, three shapes whichwere different from the rest:

la línea del horizonte, una rectainterminable y los círculos perfectos en elocaso del Sol y la Luna...

the horizon, a never-ending straight line;the sunset and moonset

y el iris de los ojos de sus congénerescuando le miraban...

and the iris of the eyes of our fellowhumans when we looked at each other

¿Por qué la humanidad dió la espalda a las formassinuosas y ramicadas de la naturaleza y se decantó porla línea recta, el círculo y la esfera?

Cuando aparece sobre la Tierra, tan sólo tenía tresejemplos de esa geometría en los que basarse, tresformas que eran distintas a todas las demás:

Why has man broken away from thenatural pattern which Earth’s skin hadbeen drawing since it had rst formed fourthousand ve hundred million years ago?The answer? To measure

¿Porqué hemos roto el patrón natural que venía

dibujando la piel de la tierra desde su formaciónhace cuatro mil quinientos millones de años?

La respuesta es: para medir



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La geometría euclidiana es unmonumento intelectual. Uno de loshitos del pensamiento deductivo quebasándose en cinco axiomas crea unsistema de descripción del mundo quecolmó las necesidades de las ciencias de lanaturaleza, de la Historia Natural, hastabien entrado el siglo XIX.

Cuando la agricultura se hace extensiva,algo que parece ser que ocurrió porprimera vez en el delta del Nilo, tras lasinundaciones y la posterior retirada delas aguas, los agricultores reclamabansus terrenos. Y los faraones necesitabancontrolar el pago de impuestos de losagricultores de forma que pagaran segúntenían. Y para saber lo que tienes, hay quemedir. De esa necesidad de medir nace lageometría que hoy llamamos euclidiana,porque medir una curva, como veremosmás adelante, no es nada fácil. Cuandoqueremos medir una recta no tenemosningún problema. Por eso el hombreinventó la línea recta y la geometría quese basa en ella, la geometría euclidiana.Por ejemplo, la línea de abajo mide cincocentímetros. Si usa una regla métrica lopuede comprobar.

El lósofo Euclides da nombre en realidada un conjunto de matemáticos alejandrinosque, juntos, construyeron la llamadageometría euclidiana.

The name of the philosopherEuclid is used to refer to a group ofAlexandrian mathematicians whoworked together to dene the so-called Euclidean geometry.

Euclid. When farming became more widespreadand extensive, which appears to have happenedfor the rst time in the Nile delta after oodingand the subsequent retreat of the oodwaters,farmers claimed back their land. The Pharaohsneeded to control the taxes paid by farmersin such a way that everyone paid according towhat they had. And to know what you have, youhave to measure. This need to measure led tothe development of what we now call Euclideangeometry, because measuring curves, as we shallsee later, is not an easy task. Measuring a straightline poses no problems at all. That’s why maninvented straight lines and the geometry based onthese lines: Euclidean geometry. For example, theline below is ve centimetres long. You can use ametric ruler to check.

Euclides

Wikipedia



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No es extraño por tanto que la geometríade la línea recta, el circulo y la triangulaciónhaya impregnado toda nuestra cienciay nuestra tecnología y desde luego laarquitectura. Pero no es extraño tampocoque esa geometría aún sea consideradaen arte fría e intelectual, sinónimo deinteligencia y de racionalidad. Incluso laatractiva Ópera de Sidney está hecha controzos de esfera.

It is not surprising, then, that thegeometry of straight lines, circles andtriangulation has ltered through into allof our science and technology, and, ofcourse, our architecture. It is also clearwhy this geometry has been and still is anart considered to be cold and intellectual,equated with intelligence and rationality.Even the beautiful Sydney Opera House ismade with sections of spheres.

En la geometría euclidiana, se supone queun punto no tiene tamaño, es decir que sudimensión D es cero. Que una línea es unconjunto de puntos que no tienen ni anchoni grueso, solamente longitud L, es decir

que su dimensión D es 1. Que una supercieno tiene grosor, sino sólo dos dimensiones,longitud y anchura, por lo que se dice quesu dimensión es 2. Finalmente, un cubo,como una pirámide o una esfera tienedimensión D=3. La dimensión topológica delas guras Euclidianas es siempre un numeroentero. El área de una supercie escalacon el cuadrado de una longitud LD=2 y unvolumen, como el de una esfera con el cubode una longitud LD=3.

Se demostró que, para medir, era necesarioconstruir un sistema para entender lasformas del mundo basado en líneas rectas.De ahí nació la geometría euclidiana, quetan útil ha sido al hombre durante dos milquinientos años.

In Euclidean geometry, points do not havesizes, i.e. their dimension is zero. A lineis a set of points which has no width northickness, only length L, i.e. its dimensionD is 1; a surface has no thickness, only twodimensions – length and width – so its

dimension is said to be D=2. Finally, cubes,pyramids or spheres (which are rectiable)have three dimensions, so D=3. Thetopological dimension of Euclidean shapesis always expressed as a whole number. Thearea of a surface increases proportionatelywith the square of length LD=2, andvolume, like that of a sphere, increasesproportionately with the cube of length LD=3.

In order to be able to measure objects, asystem needed to be constructed which

would help us to understand the worldbased on straight lines. The result wasEuclidean geometry, which has beenexceedingly useful for mankind for twothousand ve hundred years.



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La geometría fractal.Una nueva manera de medirPero hoy día, hemos llegado a un punto en el que esaabstracción que realiza la geometría euclidiana no essuciente para entender la verdadera complejidaddel mundo natural. Nuestra forma de ver el planetaha cambiado pero no fue fácil para geógrafos comoRichardson o matemáticos como Mandelbrot convenceral mundo cientíco de que la geometría euclidiana queusamos desde los tiempos clásicos no servía para describirla naturaleza;

Fractal geometry: a new way of measuring.However, we have now reached a pointwhere the abstract nature of the concept ofEuclidean geometry is not enough to allow usto understand the true complexity of the naturalworld. Our way of looking at the planet haschanged, and it was relatively easy for BenoîtMandelbrot to convince the scientic communitythat the Euclidean geometry we have beenusing since classical times could not be used todescribe nature.

que los árboles no son conos,Because trees are not cones

que las montañas no son pirámides,mountains are not pyramids,

que las líneas de costa no son rectas,coastliners are not straight,

que las nubes no son esferas...and clouds are not spheres

Parque Nacional de Sierra NevadaConsejería de Medio Ambiente.

Junta de Andalucía



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Benoît Mandelbrot propuso el uso deuna nueva geometría, la geometríafractal, que describe mejor la

complejidad de las formas naturales,porque esas formas son objetosfractales.

¿Cuáles son las propiedades de losobjetos fractales? La primera de ellases que carecen de una medida exacta.Veamos qué signica eso usando uncaso concreto, el de la frontera entreEspaña y Portugal.

So Mandelbrot proposed a newgeometry, fractal geometry, whichprovides better descriptions of naturalshapes, because they are fractalobjects.What properties do fractal objectshave? Firstly, they have no exactmeasurements. Let’s see what thismeans using a specic example: theborder between Spain and Portugal.

NASA



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2 cm

¿Cuánto mide la fronteraentre España y Portugal?

La frontera entre España y Portugal es unafrontera “natural”, en el sentido de quegran parte de la misma discurre por loscauces de numerosos ríos y riberas, aunquemuchos españoles y portugueses no veamosnatural tener ahí una frontera. He elegidoese ejemplo porque esa frontera fue una delas que estudió un singular matemático yfísico llamado Lewis Richardson (1881-1953)que era un pacista activo y comprometidoy que tenía la curiosa teoría de que laprobabilidad de guerra entre dos paísesdependía de la longitud de su fronteracomún. Así que comenzó a buscar datos deesa frontera y se encontró que, según lafuente fuera española o portuguesa, la lindemedía 987 ó 1.214 kilómetros. Sorprendido,se puso a medirla usando varios mapas y

descubrió que, efectivamente, variaba yaque mientras menor era la vara de medirque usaba, mayor era la longitud de lafrontera. ¿Que no se lo cree? Vamos amedirla.

How long is the border between Spainand Portugal? The border between Spainand Portugal is a “natural” border, in that alarge part of it runs along the routes of variousrivers and streams, although many Spanish andPortuguese people do not feel that it is naturalfor the border to be there. I have chosen thisexample because it was one of those studiedby a special mathematician and physicist calledLewis Richardson (1881-1953), a committed andactive pacist who had a curious theory that theprobability of war breaking out between twocountries depended on the length of their sharedborder. So he started to look for informationabout this border and found that the Spanish andPortuguese measurements were different – 987km in the rst case, and 1214 km in the second.Surprised by this, he started to measure theborder himself using various maps, and discoveredthat the measurement varied: the smaller themeasuring sticks used, the longer the border.Don’t believe me? Well then, how long is thecurvy line below?

Use a ruler. It’s not that easy, is it? In fact,the line does not have a precise length. If

you don’t have a ruler to hand, use one ofthe measuring sticks (length = S) next tothe drawing and ll in the table. You willsee that the length of the curve dependson the measuring stick used. The shorterthe length (S) of the measuring stick,the longer the distance. As you will haverealised, the larger stick ignores the littlegrooves and curves which the smaller stickis able to measure.

Use una regla. No es fácil medirla ¿eh?. Dehecho no tiene una longitud precisa. Si notiene una regla a mano, use las varas demedir, los segmentos de longitud S, queacompañan al dibujo y rellene la tablaadjunta. Comprobará que la longitud de lafrontera depende de la vara de medir queuse, es decir, de la escala. Mientras menorsea la longitud S de la vara de medir, máslarga es la distancia. Se habrá dado cuentade que con la vara grande pasa por altolos pequeños surcos que ha de recorrercon la vara pequeña. Por eso la medida delos españoles y de los portugueses erandistintas: porque medían con distinta vara,es decir, a distinta escala.

El lector puede realizar la medida conlas varas de 2 cm y 4 cm que le ponemosa continuación.

The reader can realize this experimentfrom the 2cm and 4cm model shownas follows:

2 cm19 19



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Con Google Earth, es hoy aún más fácilpercatarse del problema. Para comprenderlomejor elijamos una frontera natural de

verdad, la frontera tierra-mar, la línea decosta de las Rías gallegas (o cualquier otracosta sinuosa). Desde una altura de 50 kmverá una línea continua, casi recta, quemediría sin ninguna dicultad. Desde 10km de altura, empezará a ver los cabos ygolfos que la forman, y que usted no habíamedido cuando la veía desde más arriba,a menor escala. A una altura de 2 km veránuevos entrantes y salientes que no estabandibujadas en la vista anterior, y sí la vedesde una altura de 500 m, apareceránriscos y accidentes que no había medidoanteriormente.

500 m2.000 m

10.000 m50.000 m

Today, thanks to Google Earth, it is even easierto notice the problem. To understand this abit better, let’s look at a real natural border, anearth-sea border, the coastline of Cabo de Gataor one of the rivers in Galicia (or any other curvycoastline). If you look down from an altitude of50 kilometres, you will see a continuous, almoststraight, line, which you can measure with nodifficulty whatsoever. From an altitude of 10kilometres, you will begin to see the capes andgulfs that make up the coastline, which youwill not have measured when looking at it fromhigher up, at a smaller scale. From an altitude of2 kilometres you will see new headlands and bayswhich could not be seen in the previous view,and from just 500 metres up you will see cliffsand features which you could not have measuredbefore.



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Vemos por tanto que el término longitudno tienen mucho sentido cuando se aplica alas curvas naturales, porque la longitud L de

las líneas de costa, de los ríos, de las veredasque atraviesan los montes, de las fronterasnaturales depende de la escala, es decir de lalongitud S del segmento que utilice para medirla línea curva. Por eso, es necesario medir lalongitud L(S) de la curva a distintas escalas (S)ya que cada vez que se cartografía una costaa escala mayor, la línea de costa “crece”. Peroeso tampoco nos dice mucho y por esa razón,Richardson y más tarde Mandelbrot propusieronusar para caracterizar las curvas una relaciónque es la siguiente:

L(S) = S1-D

Donde el exponente D es siempre mayor que1, y es una medida de la rugosidad de la curva,de lo sinuosa que sea. Así, si D es 1, la longitudescala con un exponente 1, es una línearecta euclidiana. La sinuosa línea de costa deInglaterra, una de las más intrincadas del mapa

mundial tiene un valor de D de 1,25, mientrasque la de Sudáfrica, una de las menos sinuosastiene un valor D=1,02. La frontera entre Españay Portugal es de D=1,14, casi igual que la costade Australia que es de D=1,13. Ese valor D,que nos mide la sinuosidad de una curva es ladimensión fractal de la misma.

¿Cómo se mide esa dimensión fractal? Fácil. Sitomamos logaritmos veremos que la ecuaciónanterior se transforma en la de una recta:

Log L(S) = 1-D log S

Simplemente tenemos que hacer un grácoen el que representamos el logaritmo de lalongitud de la curva L(S) frente a la longitud delsegmento que hemos utilizado para medirla (S).Los puntos se alinean a lo largo de una línearecta y la pendiente de esa línea es 1-D.

1.5

1.45

1.4

1.35

1.3

1.25

1.20 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0.7 0 .8 0 .9 1

L o g

D i s t a n c

i a

pendiente= 0.23dimensión= 1.23

So, the term “length” does not have muchmeaning when applied to natural curves,because the length L of coastlines, rivers,pathways through mountains, and naturalborders depends on scale. In other words, itdepends on the length S of the segment usedto measure the curved line. We thereforeneed to measure the length L(S) of the curveat different scales (S), because every timea coast is mapped at a higher scale, thecoastline “grows”. The measurements aretherefore not very useful, so Richardson, andlater Mandelbrot, proposed the followingequation for the characterisation of curves:

L(S) = S1-D

Where exponent D is always greater than1, expressing how jagged or uneven thecurve is. So, if D is 1, the length increasesproportionately with exponent 1, in otherwords in the same way as the Euclideanstraight line we looked at earlier. The ragged

English coastline, one of the most intricatein the atlas, has a D value of 1.25, while theSouth-African coastline, which is one of theleast intricate, has a D value of 1.02. TheD value for the border between Spain andPortugal (D=1.14), is almost the same as that ofthe Australian coastline (D=1.13). This D value,which measures the sinuosity of a curve, is thefractal dimension of that curve.

How do we measure this fractal dimension?It’s easy. If we use logarithms we can see thatthe equation above can be transformed into anequation for a straight line:

Log L(S) = 1-D log S

All we need to do is draw a graph showing thelogarithm of the length of the curve L(S)on oneaxis and the length of the segment we haveused to measure it (S) on the other. The pointsline up along a straight line, and the angle atwhich this line is drawn is 1-D.



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Autosimilitud einvarianza a escalaTambién es importante percatarse, como lo hizoBenoît Mandelbrot, que la naturaleza se repitea sí misma cuando dibuja el paisaje, porquecrea estructuras estadísticamente autosimilares,estructuras que cuando se observan a distintaescala, aparecen casi como copias de sí mismas.Lo que quiere decir que las partes se parecenal todo. Las costas no son líneas rectas sinocurvas formadas por cabos y golfos, grandesprotuberancias que a su vez están formados porentrantes y salientes, en los que a su vez hayensenadas y riscos.

Self-similarity and scale invariance. It isalso important to realise, as Benoit Mandelbrotdid, that nature repeats itself when drawingthe landscape, creating structures which arestatistically self-similar, structures which, whenexamined at different scales, look like almostexact copies of each other. This means that theparts look like the whole. Coastlines are notstraight lines but curves made up of capes andgulfs, large protuberances which are, in turn,made up of their own headlands and bays,which also contain smaller coves and rockyoutcrops.

Un río es un cauce de agua al quellegan auentes, y un auente es uncauce de agua al que llegan arroyos,y un arroyo es un cauce de agua alque llegan riachuelos, y un riachueloes un cauce de agua al que lleganbarrancos, y un barranco es un cauceocasional de agua al … La estructuraarbórea dibujada en la marisma en

la foto, tiene esa propiedad de laautosimilitud.

A river is a watercourse which collectswater from tributaries, a tributary is awatercourse which collects water fromstreams, a stream is a watercourse whichcollects water from brooks, a brook is awatercourse which collects water fromsmaller channels, and so on and so forth.The tree-like structure drawn by the saltmarsh in the photograph is an exampleof this type of pattern.



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Debido a la autosimilitud, se dice que lasestructuras fractales no varían con la escala a laque se miren. El tamaño de lo que se observa enla foto de la izquierda pudiera ser el que abarcala mirada de un niño jugando en la marisma, o

la mirada del pescador cuando la atisba desdeel puente, o la del amenco que la vuela cadaverano. Sólo la presencia de las gaviotas nosdelata la escala de esta bella estructura creadapor el barro y el agua, a la que la vida ha puestocolor con una delgada tela de algas.

Estas propiedades de autosemejanza einvarianza a escala, que son estadísticas, es decirque casi se cumplen en los fractales naturales,se cumplen estrictamente en los fractalesexactos o determinísticos.

As a result of self-similarity, we can say thatfractal structures do not vary as we changethe scale at which we look at them. No matterwhat scale we look at them, we will alwaysnd details. The size of what we can see in thephoto on the left could be the same size seen

by a child playing in the marsh, or a shermanlooking out from the bridge, or the amingoying over each summer. It is only the presenceof the seagulls that gives away the scale of thisbeautiful structure, created by mud and water,coloured by nature using a thin veil of algae.

These properties of self-similarity and scaleinvariance, which are statistical (in other words,they are almost fullled in natural fractals), arestrictly fullled in exact or deterministic fractals.



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Un fractal exacto se suele generar con una secuencia

de tres etapas. La primera es denir una gura inicialgeneradora, el iniciador. La segunda etapa es aplicar undeterminado algoritmo sobre ese iniciador y la terceraetapa consiste en repetir (iterar) ese algoritmo sobre lagura generada.

Veamos varios ejemplos:

La curva de Koch

1. El iniciador es un segmento.

2. El algoritmo consiste en dividir el segmento en trespartes de igual longitud y sustituir el tercio interno ocentral por dos segmentos de la misma longitud delreiterado formando ángulos de 60º y 120º:

3. Si iteramos esa operación repetidamenteconseguimos la famosa curva de Koch.

Su dimensión fractal es fácil de determinar. Nótese que

para construir esta curva de Koch, le hemos aplicadoal iniciador un factor de reducción de 1/3 y hemosobtenido 4 segmentos. Aplicando una nueva reducciónde escala de 1/3 obtenemos 16 nuevos segmentos, y asísucesivamente. Es decir, para un valor de reducción de1/3n obtenemos 4 n segmentos. Luego S es (1/3)n y L es4n S

Aplicando la fórmula de la dimensión fractal tenemos:

D = log (4n) / log (3)n = log4/log 3 = 1,2619

The Koch Curve

1. The initiator is a segment.

2. The algorithm consists of dividing the segmentinto three parts of equal length, and substituting theinternal or central third with two segments whichare the same length as the iteration, at 60º and 120ºangles:

3. If we iterate this operation repeatedly we can createthe famous Koch curve. The fractal dimension is easyto determine:

You can see that in order to make this Koch curve,we applied a reduction factor of 1/3 to the initiator,creating 4 segments. By reducing the scale by 1/3, weobtained 16 new segments, and so on and so forth. Inother words, for a reduction value of 1/3n, we obtain4n segments. So S is (1/3)n and L (S) is 4nS . By applyingthe fractal dimension formula, we can calculate thefollowing:

D = log (4n) / log (3)n = log4 /log 3 = 1.2619

Fractals exact. A deterministic fractal can be created bya secuence of three steps. The rst is to dene an initialgenerating shape, the initiator. The second stage is toapply a certain algorithm to this initiator. The third stageconsists of repeating (iterating) that algorithm on theshape generated.

Let’s look at a few examples.

Fractales exactos



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El triángulo de Sierpinski

1. El iniciador es un triángulo equilátero.

2. El algoritmo que vamos a repetir es conectarlos puntos medios de cada lado generando cuatrotriángulos idénticos de la mitad de altura deliniciador y quitar el triángulo interior.

3. Iteramos, repitiendo la operación para los trestriángulos que restan.

The Sierpinski Triangle.1. The initiator is an equilateral triangle.2. The algorithm we are going to repeatconnects the mid-points of each side, creatingfour identical triangles which are half as high asthe initiator, and removing the inner triangle.3. We then iterate, repeating the process for thethree remaining triangles.

Iteración 1iteration 1








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Dejamos al lector que calcule ladimensión de esta peculiar alfombra.

Alfombra de Sierpinski

Si usamos cuadrados en vez de triángulosobtenemos la alfombra de Sierpinski. El iniciadores un cuadrado que se divide en nueve cuadradosmediante paralelas lanzadas a un tercio de lalongitud de los lados, y se quita el cuadradointerior. La operación se repite con los ochocuadrados que quedan:

The Sierpinski Carpet. If we use squaresinstead of triangles, we can create aSierpinski carpet. The initiator is a square.

This square is divided into nine smallersquares using parallel lines which dividethe length of the sides into three. Thecentral square is removed. This operation isrepeated with the eight remaining squares:

Espejo de Sierpinski enla Exposición ArmoníaFractal de Doñana y lasMarismas.Sierpinski Mirror at the

Armonia Fractal (FractalHarmony) exhibition inDoñana.

Try calculating the dimension of thispeculiar carpet.



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Cubo Fractal construido de forma similar a la alfombra fractal.Fractal cube made using a similar method as the fractal carpet.



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El polvo de Cantor

El polvo de Cantor es un objeto fractal de dimensiónmenor que 1, porque es un conjunto de puntosdisconexo que no llegan a formar una línea recta, talcomo muestra la gura:

Cantor Dust. Cantor dust is a fractal object witha dimension of less than 1, because it is a set ofunconnected points which do not form a straightline, as shown in the gure below:

Dejamos a lector que busque eliniciador y el algoritmo y deduzca sudimensión fractal.

Try to nd the initiator and thealgorithm and calculate the fractaldimension.



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Con esta medida de la dimensión fractal, ya no vemos a unabeto como un cono, ni a un naranjo como una esfera, ni auna montaña como una pirámide, formas cuyas superciesescalan con 2, sino como estructuras que escalan con unadimensión fractal 2 y algo.Mientras más frondoso sea el árbol mayor es su dimensiónfractal y mientras más abierto, menor su dimensión fractal.

La dimensión fractal delas guras naturalesUna de las ventajas de la dimensión fractal es quepodemos aplicar el concepto a las formas naturales ymedirlas, el primer paso para empezar a comprenderlas.Podemos comparar la rugosidad de las líneas de costa,o la frondosidad de los árboles o la red de caños deuna marisma, algo de lo que hace unos años sólopodíamos hablar cualitativamente. El procedimientomás usado para medir esas estructuras es el del recuentode cajas. Mediante este método, cubrimos la guracon un papel cuadriculado, de arista l, y contamos elnumero de cuadrículas o cajas que están ocupadas porla gura. A continuación utilizamos una cuadrícula dediferente l y repetimos el contaje. Realizamos variosde esos contajes con cuadrículas o cajas diferentes yobservaremos que las cajas más pequeñas cubren conmás detalle el objeto y por tanto permite obtener unamejor aproximación al mismo. Construimos un grácodel logaritmo del número de casillas frente al logaritmodel lado del cuadrado y observaremos que el número decuadrados que necesitamos para recubrir la estructuraserá mayor mientras menor sea el tamaño del cuadrado.

Cuando dibujamos esos valores con escala logarítmicaobtenemos la dimensión fractal del objeto. El coecienteD es la dimensión de recubrimiento del objeto, sudimensión fractal.

12.2

12.1

12

11.9

11.8

11.7

11.6

11.5

11.4

11.3

11.2

11.1

11

10.90 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

L n

N ( r )

D= 1.593

Gráco de recuento de cajas para el triángulo de Sierpinski.Figure showing square counting for the Sierpinski triangle.

The fractal dimension of natural shapes. One ofthe advantages of the fractal dimension is that we canmeasure natural structures, and this is the rst step towardsunderstanding them. We can compare the jaggedness ofcoastlines, or the leaness of trees or the network of channelsin a salt marsh, something which, up until a few years ago,

we could only do qualitatively. The most commonly-usedmethod for measuring these structures is box counting. To usethis method, cover the shape with a sheet of squared paper,where the length of the squares is 1 unit. Then count thenumber of squares or boxes which are occupied by the shape.If you use another sheet of paper with squares of a differentsize and repeat this counting exercise, you will see that thesheets with smaller squares cover the object in a more detailedmanner, and therefore make it possible to estimate its sizemore accurately. If you draw a graph with the logarithm ofthe number of squares on one axis, and the logarithm of thelength of the side of the squares on the other, you will see thatthe number of squares required to cover the structure will begreater the smaller the size of the square. If you draw thesevalues using a logarithmic scale you will obtain the fractaldimension of the object. The coefficient D is the coveragedimension of the object, its fractal dimension.

Thanks to this fractal dimension, wenow no longer see r trees as cones,orange trees as spheres, nor mountainsas pyramids, shapes whose surface areasincrease proportionately with 2, butas structures which increase in size inproportion with a fractal dimension of 2and a bit. The leaer the tree, the biggerits fractal dimension, and the barer thetree, the smaller its fractal dimension.If you iterate simple algorithmic processes,you can construct really beautiful fractals,like the ones created by the Julia set andthe Mandelbrot set.



3434

Conjunto de Julia

Mediante los procesos de iteración de algoritmossencillos se pueden construir bellísimos fractales, comolos formados por el conjunto de Julia y el conjuntode Mandelbrot. La creación de objetos fractalesmediante iteraciones ha sido posible gracias al uso delos computadores. Algunos de los más famosos son losobjetos fractales derivados del conjunto de Mandelbrot,que es un subconjunto del espacio complejo. Contieneaquellos puntos que no divergen al tomarlos comocondición inicial de una ecuación que se itera sobre símisma una determinada cantidad de veces. En concretola ecuación es:

zn+1 = zn2 + c

Por ejemplo. si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5,

26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es unelemento del conjunto de Mandelbrot.

En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece alconjunto de Mandelbrot.

La imagen que se crea corresponde a un cuadrado decondiciones iniciales, y el color del pixel correspondea si esa condición inicial pertenece o no al set deMandelbrot. Si pertenece, es negra. Si diverge, sucolor corresponde a cómo de rápido diverge, unprocedimiento que se denomina tiempo de escape yque es usado en arte fractal.

Otro de los conjuntos usados habitualmente para crearimágenes mediante iteración es el conjunto de Julia queestá íntimamente relacionado con el de Mandelbrot.

Computers have made it possible to create fractal objectsby iterating processes. Some of the most famous of thesefractal objects are those derived from the Mandelbrot Set,a subset of the complex plane. It contains points whichdo not diverge when they are used as an initial conditionof an equation which iterates itself a specic number oftimes. Specically, the equation is: zn+1 = zn2 + cFor example, if c = 1, we get the series 0, 1, 2, 5, 26…,which diverges. As it is not a bounded series, 1 is not anelement of the Mandelbrot set.However, if c = -1, we get the series 0, -1, 0, -1,…, abounded series, so -1 does belong to the Mandelbrot set.The image created depends on a set of initial conditions,and the pixel colour depends on whether or not thatinitial condition belongs to the Mandelbrot set. If it does,it is black. If it diverges, the colour depends on how fastit diverges, a period known as escape time, which is usedin fractal art.

Another set which is often used to create images throughiteration is the Julia set, which is closely linked to theMandelbrot set.



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Conjunto de Mandelbroth



La iteración ylas formas fractalesLa geometría de la naturaleza surge de la iteración, de larepetición permanente de los mismos procesos, pausadapero pertinaz. Es la gota de agua, tras otra gota de agua,la que arranca partícula a partícula el trazo sobre la piedradura y más fácilmente sobre la arena blanda o el barro dela marisma. De ahí nace la semejanza entre lo grande y lopequeño, la autosimilitud, la repetición de la estructuraa diferentes escalas. De ahí nace la bifurcación. Así seforman muchas estructuras fractales, por ejemplo:

Iteration and fractal shapes. Thegeometry of nature is the result ofiteration, the constant repetition of thesame processes, gradually but relentlessly.Water droplet by water droplet, graduallywearing away hard rocks, particle byparticle, or soft sand and marsh mud,which pose less of a challenge. This is thesource of similarities between big thingsand small things, of self-similarity, therepetition of structures at different scales.The result is bifurcation. This is how manyfractal structures are created, such as: thesystem of veins in a lef, own circulatorysystem and own respiratory system.

el sistema vascular de las hojasthe system of veins in a lef

nuestro sistema circulatorioown circulatory system

nuestro sistema respiratorioown respiratory system

Pab. Viaje al Cuerpo Humano.Parque de las Ciencias



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El rayo, las descargas eléctricas,que no son rectas

Lightening, electric charges,which are not straight

Exteriores del Parque de las CienciasExterior of the Parque de las Ciencias



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los árboles, los de la vida ...trees - living trees ...

This branched structure is similar to theone created by the Nile in its enormousdelta, or the slender tree formed by the tinychannels of water left behind at low tide aswe walk along wet sand on the beach.

Unlike lines or squares, this branchedstructure is a fractal structure created bynature itself, and it is therefore ubiquitous,literally universal. It shares the samestructure as our lungs, the system of veins

through which our blood ows, and thechannels on Mars along which water onceowed.

y los inertes, como la estructuraarborescente (a la derecha) dibujada porel agua vaciada en el lodo de la balsa deVeta la Palma, en Puebla del Río.

Una estructura ramicada similar a la quecrea el Nilo en su gigantesco delta o a ladel árbol esbelto que forman los diminutoscanales por los que corre el agua rezagadade la bajamar cuando caminamos sobre laarena mojada de la playa.

Contraria a la línea o a la cuadrícula, esaestructura ramicada es una estructurafractal propia de la naturaleza y por lotanto, ubicua, literalmente universal. Lamisma que tienen nuestros pulmones, lamisma por la que corre nuestra sangre, lamisma por la que corrió alguna vez el aguasobre el planeta Marte.

and inert trees, such as this tree-likestructure drawn by the water emptying outinto the mud at Veta la Palma, in Puebladel Río (Andalusia).



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Má llá d l f l í



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Hoy en día sabemos explicar la formación de algunas

de esas estructuras fractales ramicadas dendríticas,arborescentes, que aparecen tanto en el mundomineral (como la que se muestra en la foto) comoen el mundo de lo vivo. Los ejemplos van desde esasdendritas minerales como las que la erosión del aguagenera en los barros y arenas de la marisma, hastanuestro propio sistema circulatorio o incluso a nuestrared de amigos, que si el lector lo piensa, tiene la mismageometría que los árboles o los ríos, sólo que es unared de afectos y conocimientos.

Hoy conocemos muchas formas de generar estructurasdendríticas usando simples algoritmos de computador.Una de ellas es la conocida como agregación limitadapor difusión. El procedimiento es sencillo. Se colocauna partícula/semilla en alguna posición ja de unacuadrícula. Lejos de ella, se lanza otra partícula que semueve aleatoriamente, es decir que en cada paso, tienela misma probabilidad de ir hacia arriba, hacia abajo,hacia la izquierda o hacia la derecha, lo que se llama unpaso de borracho.

Se sigue moviendo así hasta que toca a la partícula,semilla en una posición en la que queda jada parasiempre. El procedimiento se repite con decenas demiles o millones de partículas. El resultado son las bellasestructuras cuya dimensión fractal podemos controlar.

Beyond morphology. We now know how toexplain how some of these branched, tree-like,dendritic fractal structures were formed and arenow present in the mineral world (like the onein the photo) and in the living world. Examplesrange from the mineral dendrites created by waterin the mud and sand of a salt marsh, to our owncirculatory system, or even our network of friends.Today, there are many ways in which we can createdendritic structures using computers. One of theseis known as diffusion-limited aggregation. Themethod is quite simple. A particle/seed is placed ina xed location in a square. Far away from that rstparticle, another one is released and moves aboutthe square randomly, in other words, each time itmoves, it has the same probability of moving up,down, to the left or to the right. This is known asa “drunk” or random walk. The particle will keepmoving until it comes into contact with the seedparticle, and it stays xed in that position for ever.The process is repeated with many thousands ormillions of particles. The fractal dimension of thebeautiful structures this process createscan be measured.

Más allá de la morfología

Paso de borracho

Random walk

Fractal generado mediante algoritmo

de computaciónFractal generated by computer simulation



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A

Paisajes virtuales



42

B

C

D

La geometría fractal y la geometría de la naturalezaestán basadas en la repetición constante de procesoselementales. Tanto es así que mediante algoritmossencillos basados en la repetición de procesos muysimples se consiguen crear paisajes “naturales”. Porejemplo, podemos generar un paisaje fractal realizandouna y otra vez el siguiente procedimiento:

1. Partimos de una supercie cuadrada plana ABCD.

2. La dividimos en cuatro cuadraditos, con lo quecreamos los cuatro puntos adicionales EFGH y el delcentro I.

3. Elegimos un valor al azar entre 0 y 1 para la altura decada uno de esos puntos. De esta forma conseguimosque la supercie se arrugue en este primer nivel.

4. Ahora repetimos la misma operación de divisióndel primer cuadrado con cada uno de los cuatrocuadraditos y volvemos a darle a cada nuevo punto unaaltura aleatoria entre 0 y 1. Quedaría algo así:

Virtual landscapes. Fractal geometry and the

geometry of nature are based on the constantrepetition of basic processes. So much so that, usingsimple algorithms based on the repetition of verysimple processes, it is possible to create “natural”landscapes. For example, we can create a fractallandscape by repeating the simple procedure below:

1. Start with a simple square surface, ABCD.2. Divide it into four smaller squares, creating fouradditional points, EFGH, and the centre point, I.3. Now choose a random value between 0 and 1 forthe height of each of these points. In this way, you

can make the surface bend up to that rst level.4. Repeat the same process of dividing up the rstsquare with each of the four smaller squares, thenassign each new point a random height of between0 and 1. The result will be something like this:

1.

2.

3.

4.

Paisajes virtuales

A

B

C

D

E

F

G

H



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Y este mismo procedimientolo repetimos otra vez con cadauno de los cuadraditos nuevos,y así sucesivamente, es deciriterativamente. El resultado despuésde muchas iteraciones es una hojaarrugada que cuando se le poneuna textura queda algo tan naturalcomo la imagen de la derecha:

Repeat the same process with eachof the new smaller squares, and soon, iteratively. After many iterationsyou will obtain a crinkled sheet which,when given texture, looks like a natural

structure, like this:

Desde que los ordenadores estándisponibles para los departamentos

de efectos especiales, muchos de lospaisajes de las películas están creadoscon algoritmos recursivos similaresal que hemos usado nosotros, quegeneran supercies fractales, y poreso de apariencia natural. Entre laspelículas pioneras está la secuencia delProyecto Génesis en “Star Trek 2” y elcorto “Andre & Wally B.” producido porLucaslms. Hoy en día los fractales estánbien integrados en las herramientasde software para crear texturas ogenerar complejos paisajes dinámicos,por ejemplo, el mar en muchas de lassecuencias de la pelicula “Titanic” ytodas las de ”Poseidón”, los paisajes de“La Máquina del tiempo”, la inundaciónde “Antz”, etc.

Now that computers are available inspecial effects departments, many of

the landscapes used in lms are createdusing recursive algorithms similar to theones we have seen here. These generatefractal surfaces, which is why they look sonatural. Pioneering pieces of lm in thiseld include the Project Genesis sequencein ‘Star Trek 2’, and the animated shortThe Adventures of ‘André and Wally B’,by Lucaslm. Fractals are now well-integrated into software tools and areused to create textures or generatecomplex dynamic landscapes, such as

the sea in many of the scenes in the lm‘Titanic’ and all of the ocean scenes in‘Poseidon’, the landscapes in ‘The TimeMachine’, the ood in ‘Antz’, etc…

Dedos viscosos



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Dedos viscosos

Viscous ngers. These viscous ngers arefractal structures which form when one uid(like air) pushes against another, more viscousone (in this case, glycerine) which is connedbetween two plates. When the two platesare taken away, the air pushes against theglycerine, and the straight interface betweenthe two uids becomes unstable and creased.This phenomenon repeats itself in the straightareas between the wrinkles, leading to thedevelopment of successive forks and giving riseto these beautiful structures.This mechanism, known as Saffman-Taylorinstability, plays an important role in theformation of many natural structures, like,

for example, the mineral dendrites on page40-41. However, they also play a role in manytechnological processes. The phenomenontakes place, for example, in oil elds, at theinterface between water and oil, where thewater (a non-viscous uid) pushes againstthe oil (a more viscous uid) when it is beingextracted. This results in the formation of largeoil ngers in porous rock, an effect which mustbe controlled.

Estos dedos viscosos son estructuras fractales que seforman cuando un uido (como el aire) empuja a otro másviscoso (en este caso, glicerina) que se encuentra connadoentre dos placas. Cuando se separan las dos placas, el aireempuja la glicerina y la interfase recta entre los dos uidosse hace inestable y se arruga. El fenómeno se repite enlas zonas rectas entre las arrugas provocando sucesivasbifurcaciones que dan lugar a estas bellas estructuras.

Este mecanismo, conocido como inestabilidad de Saffman-Taylor, juega un papel importante en la formación demuchos fenómenos naturales, como por ejemplo en laformación de las dendritas minerales como la de la página40-41. Pero también en muchos procesos tecnológicos. Porejemplo ocurre en los campos petrolíferosla en interfaseentre el agua y el petróleo, cuando el agua (uido pocoviscoso) empuja al petróleo (uido más viscoso) durante laextracción del mismo provocando en la roca porosa esosgrandes dedos, cuya formación es necesario controlar.

Estética fractal



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Estética fractalLa simetría de dilatación derivada de las propiedades deautosimilitud y de invarianza a escala hace de los fractalesun atractivo campo de exploración para la creaciónartística.

El proceso de creación consiste en crear un objeto fractala partir de un iniciador mediante la iteración de unaecuación, de un algoritmo, de un programa ya sea este unaecuación, o de un paso, como hemos visto a lo largo deeste libro. Una vez elegido el artista selecciona la regióndel conjunto de puntos a explorar, dene cómo dibujarlo ycolorearlo (por ejemplo por el procedimiento de tiempo deescape). Si el algoritmo es un sistema de funciones iteradascomo en el caso de la cesta de Sierpinski, puede introducirprobabilidades para cada punto del conjunto para dar coloro textura. O puede hacer un sistema puramente aleatoriocomo la regla usada en la construcción del paisaje (página42) o de la agregación limitada por difusión (página 40).Pero no sólo puede crear una imagen estática, ya sea uncuadro bidimensional o una escultura tridimensional, sinotambién dinámica o incluso una pieza musical.

El artista puede también usar como herramientas artísticaslos procesos físicos y químicos que generan las formasnaturales, como la electrodeposición o los dedos viscososo las descargas eléctricas, como en este fractal creado porPeter Terren en madera de pino mojada haciendo pasaruna descarga de varios Kv entre dos clavos.

Y nalmente, puede usar su talento para fotograar olmar las formas fractales que la naturaleza nos regala. Lasimágenes de la exposición “Armonía fractal de Doñana ylas Marismas” es un ejemplo de ello.

Objeto fractal tipo Lyupanovcreado por BernardH

Lyupanov-type fractal objectcreated by BernardH

Fractal aesthetics. The dilatational symmetry derived fromthe properties of self-similarity and scale invariance means thatfractals can often be used for the purposes of artistic creation.

The creation process consists of creating a fractal objectusing an initiator and iterating an equation, an algorithm, ora programme, whether it be a complex equation or a singlestep, as we have seen throughout this book. Once these initialconditions have been selected, the artist chooses the space forthe set of points to be explored, and denes how to draw andcolour those points (e.g. through the escape time procedure).If the algorithm is a system of iterated functions like the onesused to create the Sierpinski triangle, it is possible to introduceprobabilities for each point in the set to give the image colouror texture. Alternatively, an entirely random system can beused, like the rule used to construct the landscape (page42), or diffusion limited aggregation (page 40). However,the technique is not only used to create static images, like atwo-dimensional picture or a three-dimensional sculpture. Youcan also create a dynamic image, or even a piece of music. Thephysical and chemical processes seen in natural shapes, such aselectrodeposition, viscous ngers or electric shocks, can also beused as artistic tools. An example of this is the fractal createdby Peter Terren by sending an electric shock of several kVbetween two nails in a piece of damp pine wood.

Finally, artists can show off their talents by photographingor lming the fractal shapes generated by nature itself. Theimages in the “Fractal Harmony in Doñana and Salt Marshes”exhibition are an example of this.



El cementerio fractal de Saramago The Fractal Cemetery (according to Saramago)Juan Manuel García Ruiz



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Juan Manuel García Ruiz

Publicado en El Pais, 14 de abril de 1999

La imagen de un cementerio la asociamos a una pequeñaestructura cuadrada en la ladera próxima al pueblo, másamplia en las grandes ciudades, con límites denidos, a vecestapiados, a veces abiertos como en los umbríos parquessajones, pero siempre una estructura fría, poligonada. Ellugar donde se guarda lo inanimado ha de tener, en nuestrasociedad, ese sereno encanto de lo exacto propio de lageometría euclidiana. En un delicioso capítulo de su novela“Todos los nombres” (Alfaguara, 1997), José Saramago seinventa un cementerio que rompe ese canon de siglos: ElCementerio General.

Contra lo establecido, el Cementerio General no es unaestructura euclidiana sino fractal. Las estructuras fractales, adiferencia de las euclidianas, se caracterizan por no tener unamedida denida. Un ejemplo clásico es precisamente el de lafrontera entre España y Portugal ¿Cuánto mide esa frontera?Pues depende. Depende de la unidad con que usted la mida,o lo que es lo mismo, depende de la escala que utilice. Si lohace sobre su atlas favorito obtendrá unos determinadoskilómetros. Sobre su mapa de carretera, de escala algo mayor,la frontera será más larga porque existen entrantes y salientesque se habrá medido ahora y que no aparecían en su atlas. Ysi, como el excéntrico emperador chino que nos recreó Borges,utiliza un mapa de escala 1/1, es decir, si recorre paso a paso lafrontera, no le quepa duda que la caminata será mucho máslarga de lo previsto. Las fronteras naturales, no las trazadasa golpe de tiralíneas en el África y las Américas, tienen lageometría propia de la naturaleza, la geometría fractal. Asítambién el Cementerio General.

Según Saramago, el Cementerio General comenzó con unnúcleo inicial, un recinto cuadradito donde el conservadortenía tiempo de organizar, con euclidiano espíritu, el lentoacúmulo de muertes del pequeño pueblo. Cuando se necesitómás espacio, se trasladaron algunas de las primitivas tapiaspara seguir con el tedioso ordenamiento. Todo cambió cuandoel encargado, agobiado por el rápido incremento de decesosde la ya boyante ciudad, sucumbe ante la imposibilidad dedisponer las sepulturas según el orden prescrito y opta porderribar las paredes dejando tan solo la fachada principal.Desbordada la lenta planicación por el vertiginoso ujo deenterramientos, el cementerio comienza a crecer por diversospuntos, inicialmente protuberancias que se convierten más

tarde en dedos, en ramas que se extienden, sin que nadie

Publicado en El Pais, 14 de abril de 1999

We all grow up with the belief that the living and the inorganic, i.e.what is alive and what is not, comprise two distinct morphologicalworlds: on the one hand, there is the cold Euclidean concept of straightedges and precise angles as found in the mineral world, while on theother we have the sensual, vital curves of the living world. It is littlewonder then, that in our society the place where the inanimate arelaid to rest possesses the serene, precise charm that we expect to ndin Euclidean geometry. In our minds, a cemetery should be a smallsquare space on a hill near the village, perhaps somewhat larger forthe city, with denite boundaries, sometimes walled in, sometimesopen like English parks, but always forming a cold, polygonal structure.José Saramago, however, in a delightful chapter in his novel “Todos losnombres” (All the names) (Alfaguara, 1997, Barcelona), has conceiveda cemetery that breaks this centuries-old pattern: the General Cemetery.

According to Saramago, the General Cemetery began as a nucleus, asquare-sided area where the curator had time to organize, on Euclideanprinciples, the slow accumulation of deaths occurring in the little village.When more space was needed, some of the original walls were movedso that he could carry on with the tedious ordering. Then everythingchanged when the curator, overwhelmed by the sharp increase indeaths occurring in the rapidly-growing town, realized the impossibilityof arranging the burials in the traditional way and so gave up, optingto demolish all the walls except that of the entrance. With the previous,painstaking planning engulfed by the irresistible ow of new burials, thecemetery began to grow in various directions, initially as protuberances,later becoming ngers and then branches that extended, free of

all direction and control, along the low-lying valleys among theneighbouring hills. Some of these branches were blocked by nearbyhousing estates, the product of incessant population growth. Suchobstacles, however, were avoided as the cemetery advanced throughthe areas of least urban development and topographic difficulty. Therst branches developed bifurcations, from which sprouted otherbifurcations, giving rise, through a process of self-organization, toa dendritic structure with innumerable inlets and extensions. Thiscemetery “viewed from the air ... looked like an enormous tree laid outat, with a short, thick trunk made up of the original nucleus of graves,from which there extended four sturdy branches, at rst side by side,but then in successive bifurcations extending as far as the eye could see

to form ... a leafy mass in which life and death were intermingled”.The essential requirement for such a structure to exist, as Saramagobrilliantly realized, is that the input to the system must be continuousand irreversible. In other words, all the names must be found inthe General Cemetery; otherwise, the cold hard-edged geometrywould have perpetuated itself by replacing, as before, the old deadby the newly deceased. When I read Saramago’s novel, I imaginedthis structure as an immense viscous dendritic mass. In fact, thisphenomenon can be seen quite simply, by means of a straightforwardexperiment. Just take a smooth surface and pour a little viscous liquidonto it - for example, bathroom gel. Then, place a pane of glass overthe gel; on lifting the glass by one edge, a gure very much like that

las guíe, probablemente hacia los valles más accesibles entrelas colinas aledañas Algunas de esas ramas van a topar

described by the General Cemetery may be seen. On the windowsof the cafeteria at the Los Lebreros hotel in Seville, something very



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las colinas aledañas. Algunas de esas ramas van a toparcon las urbanizaciones que aparecieron en los alrededorespor el aumento demográco. Sorteando esos obstáculos,el cementerio avanza por las zonas de mínima presiónurbanística, creando bifurcaciones de las primeras ramas de lasque a su vez nuevas y nuevas bifurcaciones aparecerán, dandolugar, por un proceso de autoorganización a una estructuradendrítica con incontables entrantes y salientes, de dimensiónfraccionaria. Un cementerio que “observado desde el aire, ...parece un árbol tumbado, enorme, con un tronco corto y grueso,constituido por el núcleo central de sepulturas, de donde arrancancuatro poderosas ramas, contiguas en su nacimiento pero quedespués, en bifurcaciones sucesivas se extienden hasta perderse devista, formando ... una frondosa copa en la que la vida y la muerte seconfunden”.

Condición imprescindible para generar esta estructura, comoel propio Saramago genialmente intuye, es que la agregaciónsea continua e irreversible, es decir que en el CementerioGeneral estén todos los nombres, pues de otra manera, lafría geometría se hubiera perpetuado al reemplazar, comohacemos nosotros, los viejos por los nuevos difuntos.

El Cementerio General está acorde con la entrañable historiade subversión que relata esa novela. Ciertamente, cuando elujo de las ideas, de los avances sociales o técnicos (o de lasdefunciones) es tan rápido que no puede ser asimilado por elorden establecido, la salida es revolucionaria. Algunos dirán,caótica. Sólo que ahora ese caos comenzamos a entenderloy, como muestra el ejemplo de Saramago, un nuevo tipo deestructura resulta de la auto-organización, discutible en suecacia, pero desde luego bella.

similar occurred. Spontaneously, and during a period of over tenyears, fantastic examples of viscous “ngers”, almost three feet wide,developed on the glass. The waiters and barmen called these beautifulshapes “the peacocks”. Unhappily, somebody decided that some othersort of business should occupy the site, a shop or whatever, and thisunique display was lost . Nevertheless, the General Cemetery is perhapsbetter comprehended by means of another mechanism: one that isdifferent, but conceptually related to viscous dendrication, and whichin fact presents the same morphological behaviour pattern.

The curator’s task is to order n elements comprising a space formed byEuclidean geometry. When the elements are supplied slowly, there issufficient time for them to be allocated. As the supply speed increases,however, this becomes more and more difficult, and above a criticalow value - which coincides with that of his allocational skill - theorganization escapes all possibility of control. Incoming elements arethen located and oriented in their arrival position and create a structure

that now depends entirely on the pressures exerted on the environment- this is what gives rise to a branched structure. If n is large, eachbranch is seen to comprise branches that in turn comprise smallerbranches. In other words, the structure possesses dilatation symmetry,a characteristic of fractal forms. Indeed, this constitutes a structurewith a fractional dimension, a fractal structure. If the n elements hadbeen arranged in a Euclidean way, for example in a straight line, thedimension would have been 1, the dimension of a line. If they had beenplaced to ll a square or a circle, the dimension would have been 2, thedimension of the plane. The dimension of the structure that has beencreated at a high ow speed has a fractional value of between one andtwo, and therefore comprises a fractal structure . Thus, Saramago’s

concept is the result of an aggregation that is not limited by theallocation velocity but by that of the supply of elements.

Naturally, the transition from Euclidean to fractal forms, from hardedges to sinuous shapes, might be just the result of a compromisebetween kinetics. In fact, there is no fundamental difference betweenthe shapes our minds associate with life and those of inorganicmatter. Such a difference is rather a belief linked to a certain way ofunderstanding the world, one that is not sustainable on any scienticbasis. Take note, too, bureaucrats and curators the world over: whenthe ow of elements, ideas and social advances (or retreats, or demises)is too fast to be assimilated by the established regime, the only way

out is via revolution, or perhaps chaotic anarchy. Now, however, we arebeginning to understand this chaos and how, as shown in Saramago’sexample, a new kind of structure results from self-organization. Itsefficiency might be questioned, but it is undoubtedly attractive.



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