Universidad de Carabobo

Facultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera elctrica

Departamento de electrnica y comunicaciones

Profesor: Estudiantes:

Rafael Albornoz Maduro H., J. Daniel CI. 20194455

Rendn P., Angel. J CI 19363483

Naguanagua, 16 de Noviembre de 2013.

ndice

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Antenas Fractales. 4

1. Objetivos. 4

1.1. Objetivo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Objetivos especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2. Fractales. 4

2.1. Complejidad de los fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Fractales en la naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Construccin de algunas formas de antenas fractales. 6

3.1. El copo de nieve de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Roseta Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3. Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

4. Simulacin. 8

4.1. Resultados de la simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Anlisis de resultado. 13

6. Conclusin. 15

Referencias. 19

Introduccin.

El estudio de las mediciones tales como puntos, recta, planos y volmenes se deno-

mina geometra euclidiana. De acuerdo con la geometra de euclides, llamada tambin

geometra tradicional, el espacio en el que nos movemos es de tres dimensiones, puesto

que, al situar un punto en el espacio necesitamos de tres coordenadas para denirlo

(ancho, alto, profundo). De manera similar, el plano tendr dos dimensiones, la recta

slo tendr una y, por ltimo, el punto tendr cero dimensin.

No obstante, en lo que respecta a las formas encontradas en la naturaleza como lo son

montaas, franjas costeras, nubes, hojas, copos de nieve, inclusive nuestro organismo,

no se pueden describir fcilmente con la geometra tradicional.

La geometra fractal, en cambio, provee una representacin y un modelo matem-

tico para las complicadas formas que se encuentran en la naturaleza. Esta geometra,

descubierta recientemente, est revolucionando reas como la fsica, medicina, industria

qumica, la biotecnolgica, informtica, el procesamiento digital de la seal y, como es

de nuestro inters en este artculo, el diseo de antenas para las telecomunicaciones.

En este sentido, de la aplicacin de la geometra fractal resultan antenas que, con gran

ventaja frente a las convencionales, permiten integrar en una nica estructura la recep-

cin de radio, la telefona mvil de segunda y tercera generacin (GSM900, GSM1800,

PCS1900 y UMTS), adems de los ltimos sistemas de posicionamiento por satlite

GPS y Galileo que cada vez incorporan ms fabricantes de automviles.

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Antenas Fractales.

1. Objetivos.

1.1. Objetivo principal.

El objeto fundamental del estudio, es modelar y analizar la capacidad de una antena

fractal triangulo de sierpinski en cuanto al ancho de banda y multicanalidad utilizando

software de simulacin CST.

1.2. Objetivos especcos.

Identicar el nmero de bandas y las frecuencias en un barrido de frecuencia

amplio para la antena fractal triangulo de sierpinski usando cinco iteraciones.

Analizar el diagrama de radiacin para cada una de las frecuencias de operacin.

Observar el ancho de banda para cada una de las frecuencias de operacin.

Identicar el nmero de bandas y las frecuencias en un barrido de frecuencia

amplio para la antena fractal triangulo de sierpinski con tres y cuatro iteraciones

y comparar los resultados obtenidos con cinco iteraciones.

2. Fractales.

Los fractales se concibieron por primera vez aproximadamente en 1890 por el francs

Henri Poincar, cuando ste impuls la teora del caos. Sus ideas fueron extendidas

luego, principalmente, por dos matemticos tambin de origen francs, Gastn Julia y

Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabaj mucho en este campo durante varios aos, pero

el estudio qued congelado para 1920. El estudio se retom a partir de 1974 en IBM y

fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El matemtico

Benoit Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es

considerado como el padre de la geometra fractal. En honor a l, uno de los conjuntos

que l investig fue asignado con su nombre. Segn Mandelbrot, se puede denir el

fractal como:

Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o

fragmentada y sigue siendo as a cualquier escala que se produzca el examen

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El trmino fractal es un adjetivo que, bsicamente, indica ciertas propiedades que

posee un objeto en cuestin. Estas propiedades, importantsimas en el estudio de los

fractales, son: autosimilitud, dimensin fraccionaria y no derivabilidad. La autosimili-

tud nos indica que el objeto en cuestin tiene copias reducidas de si mismo a distintas

escalas, por tal motivo, cada parte del objeto contiene la misma informacin que todo

el conjunto, es decir, los fractales son recurrentes. Por su parte, la dimensin fraccio-

naria, propiedad importante en el estudio de la geometra fractal, es un ndice que nos

introduce en un campo mas abstracto de las matemticas, a saber: la topologa. Esta

propiedad, establece que los fractales no pueden denirse en una dimensin entera (co-

mo en el caso de un punto, recta, plano, volmen) sino, mas bien, su dimensin viene

representada por un nmero fraccionario. Este ndice que nos permite cuanticar las

caractersticas de los obejetos, lo podemos calcular, segn el concepto de dimensin de

Hausdor-Besicovitch, por la siguiente frmula:

D =log(N)

log(1)

DondeN representa el nmero de particiones o segmentos del objeto y es el tamao

de dichos objetos. Cabe destacar que, mientras ms rugoso es el fractal, ms cercana

est su dimensin fraccionaria al entero inmediatamente superior.

Dos caractersticas importantes denen los objetos fractales, las cuales son un tanto

abstracta, lo primero es que el rea o supercie de los fractales es nita, es decir, tiene

lmites. Segundo y, por paradjico que esto suene, su permetro o longitud es innita.

Esto puede comprenderse si pensamos, por ejemplo, en una circunferencia de un cierto

radio, si luego trazamos dentro de esta otra circunferencia cuyo dimetro es el radio de

la anterior y as hacemos esto innitamente, obtenemos una gura cuya rea siempre

sera aproximadamente igual a la primera circunferencia pero, viendo la gura como un

todo, su longitud sera innita. Esto se ilustra en la gura 1. Esta gura es conocida

como el conjunto de Mandelbrot:

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Figura 1: Conjunto de Mandelbrot

Otro aspecto importante a destacar de los fractales es la iteracin. Una iteracin es

la repeticin de algo una cierta cantidad de veces hasta lograr un resultado deseado. En

el caso de los fractales, estos se generan a partir de una iteracin innita de un objeto

geomtrico establecido como jo.

2.1. Complejidad de los fractales.

La generacin de fractales se puede realizar de muchas maneras, sin embargo, se

dene matemticamente como una repeticin innita de veces, es decir, iteracin. El

conjunto de Mandelbrot se genera a partir de un nmero complejo Z = a + jb. Para

ello, se toma el nmero Z y se eleva al cuadrado sumndole, posteriormente, el mismo

Z. Luego, se elva ese resultado al cuadrado y se le suma Z y as innitamente. Esto se

representa en el cuadro 1:

Cuadro 1: Generacin del conjunto de Mandelbrot.

Primera iteracin Z2 + Z

Segunda iteracin (Z2 + Z)2 + Ztercera iteracin ((Z2 + Z)2 + Z)2 + Z

2.2. Fractales en la naturaleza.

Mandelbrot comienza su libro Geometra fractal en la naturaleza (1982) de la si-

guiente manera:

Las nubes no son esferas, las montaas no son conos, los litorales no son circulares,

y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relmpagos no viajan en lnea recta.

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An cuando la geometra tradicional puede aproximar objetos fsicos naturales, estos

tienen que tener una forma ms o menos regular, en caso de querer modelar objetos ms

complejos (un rbol, un paisaje, entre otros), la geometra clsica no servira de mucho.

Por su parte, la geometra fractal ocupa este vaco y puede utilizarse para reconstruir

elmente un objeto de la naturaleza.

En 1967 Mandelbrot public un artculo en la revista Science titulado Cunto mide

la costa de Inglaterra?. En este, explica La paradoja de la costa, describiendo que la

longitud de la costa de Inglaterra vara dependiendo de la longitud de la escala que

se utilice para medirla. Esto se debe a que la lnea de la costa es un tipo de fractal

generado por la erosin y composicin de la roca.

Tambin, las montaas tienen geometra fractal, en este caso, ocasionada por la

lluvia, el vientro, la fractura de las rocas por cambios de temperatura y las presiones y

movimientos ssmicos que crea la cordillera rocosa en la que est ubicada la montaa.

Las desembocaduras de los ros tambin presentan geometra fractal, originada por

las ramicaciones de los distintos caudales. En estos casos, como sucede en las rami-

caciones de los rboles o los rayos, no existe una autosimilitud sino una cuasi-similitud

o similitud estadstica.

3. Construccin de algunas formas de antenas fracta-

les.

3.1. El copo de nieve de Koch.

Este posee una forma que fue mostrada por primera vez por Helge von Koch en

1904. Su construccin se fundamenta en un segmento unitario al cual se le extrae el

tercio central, reemplazndose por dos segmentos de longitud 1/3 en forma triangular.

Por cada segmento resultante se repite el procedimiento: a cada segmento se le extrae

su tercio central y se sustituye por dos segmentos de un tercio del original ubicados en

forma triangular. Su forma nal se muestra en la gura 2:

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Figura 2: Copo de nieve de koch

En ella se demuestra que pese a que el permetro pudiera ser muy grande, el rea

que ella cubre es nita, caracterstica fundamental de los fractales.

3.2. Roseta Hexagonal.

Como se puede observar en la gura 3, su construccin se fundamenta en intersectar

dos tringulos equilteros en posiciones opuestas, creando de esta forma un hexgono,

donde todos sus lados son iguales y puede a su vez dividirse en seis tringulos dispuestos

de forma concntrica. Cada uno de esos tringulos puede de la misma forma subdividirse

en nuevos hexgonos y, de esta forma, iterando varias veces se construye la roseta

hexagonal fractal.

Figura 3: Construccin de la Roseta Hexagonal.

3.3. Triangulo de Sierpinski.

La antena tringulo de sierpinski se construye inicialmente con un tringulo equil-

tero. A este tringulo, se le identica el punto medio de cada lado, y cada uno de esos

puntos se convierten en vrtices de un nuevo tringulo que le ser sustraido al anterior,

quedando de esta forma tres tringulos equilteros de la misma longitud. A cada uno de

estos tringulos le ser aplicado el mismo procedimiento por separado, conformando en

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cada uno de ellos, nuevos triangulos ms chicos, es decir, de dimensiones ms pequeas.

A estos nuevos tringulos se le aplica el mismo procedimiento de forma consecutiva,

conformando de esta manera el triangulo de sierpinski. [2]

En la gura 4, se muestra la conformacin de la antena, donde en la gura 4a, slo

existe el primer tringulo por lo que se le denomina primera iteracin, mientras que la

gura 4b muestra la segunda iteracin en la cual se puede observar que el tringulo del

centro es hueco. De forma anloga, las guras 4c, 4d y 4e corresponden a la tercera,

cuarta y quinta iteracin respectivamente, siendo la ltima aquella que se usar para

realizar la simulacin.

(a) Primera iteracin.(b) Segunda itera-cin.

(c) Tercera iteracin.

(d) Cuarta iteracin. (e) Quinta iteracin.

Figura 4: Construccin del Triangulo de Sierpinski.

4. Simulacin.

Para lograr los objetivos propuestos en la seccin 1, se realiz la simulacin de la

antena descrita anteriormente, la cual fue alimentada como monopolo con un puerto

discreto entre el extremo inferior y un plano de tierra dispuestos de la forma que se

muestra en la gura 5.

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Figura 5: Montaje en el software CST.

Las medidas utilizadas son descritas en la gura 6.

Figura 6: Medidas de la antena Triangulo de Searpinski. [1]

4.1. Resultados de la simulacin.

En un principio, para determinar el nmero de bandas, se procedi a realizar un

barrido de frecuencia amplio, desde 0,1Ghz a 12Ghz 1, con la nalidad de conseguir las

frecuencias de los canales de utilidad. Cabe destacar, que se considerar para este estu-

1Algo que colaps el procesador de la computadora por unas cuantas horas

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dio, frecuencias tiles aquellas que su parmetro S se encuentre por debajo de10dB,ya que eso es lo recomendado comercialmente.

Ante nada, se verica la convergencia de los resultados en la gura 7, los cuales

fueron especicados a30dB.

Figura 7: Convergencia de energa.

Bajo estas condiciones, los datos arrojados por el software CST se muestran en la

grca 8; en ella se puede observar claramente tres frecuencias de uso, las cuales estn

tabuladas en la tabla 2; ella muestra el ancho de banda de cada canal y su patrn de

onda estacionaria (parmetroS) en dB.

Figura 8: Parmetro S en dB.

Cuadro 2: Resultados de la simulacin en CST.

Banda Frecuencia (GHz) Ancho (Mhz) s11 (dB) ROE

1 2.028 50 -22.5 1.6622 3.301 50 -22 1.16563 6.15 250 -13 1.65

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De la misma forma los patrones de radiacin en las tres bandas se muestran en la

gura 9.

(a) Banda 1. (b) Banda 2.

(c) Banda 3.

Figura 9: Patrones de Radiacin a distintas bandas.

Para cumplir el cuarto objetivo especfo, se procedi a realizar una simulacin con

el tringulo mostrado en la gura 4c y 4d. Las respuestas de la convergencia se observa

en las guras 10 y 11, y como se puede observar en las guras 12 y 13, existen dos

frecuencias con un bajo ROE, sin embargo, una de las dos no baja por debajo de

los 10dB. Pese a eso, se puede observar que con unas iteraciones menores, ya se vadeniendo algunas bandas, mas si se compara con la gura 8 colocan 5 iteraciones, las

bandas se denen claramente, lo que permite concluir que a mayor iteracion, se obtienen

ms cantidad de bandas.

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Figura 10: Grcas de convergencia en la tercera iteracin.

Figura 11: Grcas de convergencia en la tercera iteracin.

Figura 12: Parmetro S11 de la tercera iteracin.

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Figura 13: Parmetros S11para antena de cuarta iteracin.

Adicionalmente, fue simulado en el software EZNEC una antena fractal alambrada,

como se ilustra en la gura 14, la cual se puede comprobar en la grca que sus fre-

cuencias de uso son 1125MHz,1350MHz y 2600MHz, todas frecuencias disponibles

para la comunicacin de televisin digital, y su ancho de banda permite la captacin de

la informacin. Tambien se observan en la gura 16 el diagrama de radiacin a las tres

bandas de utilidad. Es de esperar que el diagrama de radiacin sea parecido en cada

banda.

Figura 14: Antena fractal alambrada.

14

Figura 15: ROE de antena fractal alambrada.

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(a) Frecuencia f = 1125MHz. (b) Frecuencia f = 1350MHz.

(c) Frecuencia f = 2600MHz.

Figura 16: Patron de radiacin de la antena fractal alambrada.

5. Anlisis de resultado.

Como se puede observar los resultados son satisfactorios, ya que la antena fractal

triangulo de sierpinski cumple con las caracteristicas de multibanda y de un amplio

ancho de banda, caracterstica que le permite a una misma antena, operar tantos al

mismo tiempo sistemas de comunicacin como nmero de bandas se tenga. La capacidad

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de un amplio ancho de banda en la ltima banda la hace compatible con varios sistemas

de modulacin y, al mismo tiempo, ms robusta a condiciones de dispersin, aunque

por su mayor frecuencia puede ser ms susceptible a errores por condiciones climticas.

Al realizar cada iteracin se pudo comprobar que la cantidad de bandas aumen-

taba proporcionalmente con el nmero de iteracin, lo que nos permite concluir que,

posiblemente, con mayor nmero de iteraciones se obtienen mayor cantidad de bandas.

Por otra parte, la relacin de onda estacionaria, da extraordinariamente pequeo

en las primeras dos bandas, posiblemente se deba a que la supercie de la antena es

ms irregular, lo que produce que la resistencia de radiacin sea mayor, por lo tanto, la

potencia irradiada es mayor y se pierde menor potencia por reexin, algo que la hace

mucho ms eciente.

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6. Conclusin.

La teora de los fractales est abriendo un universo de posibilidades en la exploracin

de nuevas alternativas cientcas para resolver y optimizar sistemas de comunicacin.

Sus propiedades particulares como autosimiliridad, rugosidad, dimensin fraccio-

naria, entre otras, se estn empleando en el diseo de nuevas y mejores antenas que

abrirn las posibilidades de las nuevas generaciones de sistemas de comunicaciones 3G

y 4G, permitiendo una integracin eciente de los nuevos servicios por su capacidad de

multicanalidad y amplio ancho de banda.

Hoy en da, el avance hacia el desarrollo de estas antenas se centran principalmente

en el diseo de antenas para los sistemas mviles, dando una solucin realmente eciente

y econmica.

Sin duda, estos nuevos diseos se constituirn en una pieza clave en el avance de los

sistemas de telecomunicaciones del futuro.

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Referencias

[1] Montoya L. Adrian, ANTENAS FRACTALES: UN PASO EN LA EVOLUVIN

DE LAS TELECOMUNICACIONES, 2003.

[2] Mocencahua M. Daniel; Tenorio P. Jaime, ANTENAS FRACTALES.

[3] Telnet Redes inteligentes, FRACTALES EN LA NATURALEZA, 2009.

[4] Zozaya J. Alfonzo; Del Pino J. Paulino, DETERMINACION DE LAS CARAC-

TERISTICAS DE UNA ANTENA CON FORMA DE ROSETA HEXAGONAL

FRACTAL.

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