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    DISEO DE UNA ANTENA FRACTAL SIGUIENDO EL MODELO DE MANDELBROTHernn Paz Penagos, E.E. , MSc. , Ximena Acero Briceo, E.E., Roberto Ferro

    Escobar, E.E., MSc.

    Resumen. Actualmente los sistemasde telecomunicaciones requierenantenas con amplios anchos de banday dimensiones ms pequeas que lasantenas tpicas, en consecuencia se habuscado satisfacer estas condicionesusando formas fractales en lasantenas. Se han introducido variasgeometras fractales para aplicacionesen antenas y se han examinado lascaractersticas. Algunas de esasgeometras han sido particularmente

    tiles en reducir el tamao de laantena, mientras que otras ayudan aincorporar caractersticas multibandadebido a que los fractales tienenpropiedades de autosimilaridad ydimensin fraccionaria. El trabajo deinvestigacin presentado aqu estprincipalmente enfocado a analizar losrasgos geomtricos del fractal deMandelbrot que influencian eldesempeo de la antena fractal.Palabras Claves: Diseo, antena,

    modelo fractal, experimentacin.

    Abstract. Actually thetelecommunication systems requireantennas with wider bandwidths andsmaller dimensions than the typicalantennas, in consequence it hasresearched to satisfy this conditionsusing fractal shaped antenna elements.It has introduced several fractalgeometries for antenna applicationsand it has examined the characteristics.

    Some of these geometries have beenparticularly useful in reducing the sizeof the antenna, while other designs aimat incorporating multi-bandcharacteristics because the fractalshave properties of self-similarity andfractionary dimension. The researchwork presented here is primarilyintended to analyze geometricalfeatures of Mandelbrots fractal thatinfluence the performance of the fractalantenna.Key words: design, antenna, fractalmodel, experimentation.

    I. INTRODUCCIN

    Uno de los inconvenientes que se haplanteado en las comunicacionesmodernas es la necesidad de construirantenas que resuenen a diferentesfrecuencias y cuyo tamao no aumentecon dicha variacin. En la actualidad,ha surgido una nueva forma deconstruir antenas que cumplan con losanteriores requerimientos, su diseo

    est dado por la implementacin demodelos matemticos que siguen lageometra fractal. Esta geometra nacicon el fin de representar las formas dela naturaleza1 imposibles de sercaracterizadas con la exactitud de lasfiguras descritas en la geometraEuclideana [1]. La palabra fractal fueacuada por Benoit B. Mandelbrot,profesor de la universidad de Yale, afinales de los setenta, cuandodescubri su primer modelo

    matemtico al experimentar con lasteoras propuestas y publicadas en1918 por los matemticos Gaston Juliay Pierre Fatou sobre la iteracin defunciones racionales en el planocomplejo[2].

    Un modelo fractal se describe poralgoritmos recursivos (iteraciones) y esdesarrollado a partir de las propiedadesde autosimilaridad y dimensinfraccionaria. La autosimilaridad o

    autosemejanza hace referencia a queuna pequea porcin del fractal puedeser vista como todo el fractal reducido auna escala menor; la autosimilaridad noes necesariamente geomtrica,tambin puede ser estadstica. Encuanto a la dimensin se puede decir

    1 Los fractales son la geometra adecuadapara las formas irregulares de lanaturaleza: hojas de helecho, rboles,

    cabeza de una coliflor, alas de algunasmariposas, lneas costeras, relmpagos,terrenos rugosos, montaas, nubes, etc.

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    que un punto tiene dimensin 0, unalnea tiene dimensin 1, una superficietiene dimensin 2, etc., pero losfractales tienen dimensin fraccionaria,es decir si hay ncopias de la geometraoriginal disminuidas por una fraccin f,la dimensin Dqueda definida como:

    f

    nD

    1log

    log

    Los fractales se han convertido en unode los principios de la ciencia [3] [8],estas formas geomtricas se estnaplicando en teora del caos [9], lgicadifusa, termodinmica de los procesos

    irreversibles, algoritmos genticos [10],[11], redes neuronales, simulacin porcomputador de paisajes naturales,descripcin de fenmenos fsicos,modelacin del ruido en sistemaselectrnicos, codificacin y compresinde imagen y sonido digitalizados [12][14], y diseo de antenas [15]-[23].

    Las antenas fractales fueron diseadasen primera instancia por Nathan Coheny un equipo de Ingenieros de la

    Universidad Politcnica de Catalua,construyendo modelos de las curvas deKoch y de los tringulos de Sierpinskicon el fin de evaluar el comportamientode este tipo de antenas. Hoy en da sehan venido implementado otrosmodelos como las curvas deMinkowski, rboles fractales en dos ytres dimensiones, carpetas deSierpinski, curvas de Hilbert y modeloscombinados como el doble fractal deHilbert y Koch.

    En diseos e implementacin deantenas multibanda, paracomunicaciones de radio, se estnimplementado algunos modelosfractales, ya que se alcanza el mismocomportamiento electromagntico entantas bandas de frecuencia comoiteraciones contenga la antena fractal,sin aumentar el tamao de la misma.

    II. CONJUNTO FRACTAL DEMANDELBROT

    El conjunto de Mandelbrot M consisteen una serie de nmeros complejos Ccuyas orbitas de 0 bajo

    CZ 2 correspondientes no escapan alinfinito; cada nmero est compuestopor una parte real y otra imaginariarepresentada por i ( 1 ), se toma unnmero complejo cualquiera Z lasemilla y se eleva al cuadrado, alnmero obtenido se le suma C y sevuelve a elevar al cuadrado y continuaas una y otra vez con el mismoproceso, la funcin no lineal que lodescribe es:

    CZZ nn 2

    1

    Si la sucesin queda acotada se diceque el primer parmetro C con el cualse comenz a iterar pertenece alconjunto de Mandelbrot, de lo contrarioeste nmero quedar excluido delmismo. Por ejemplo, si se escoge C=2,siguiendo la sucesin se tendran lassiguientes iteraciones: 2, 6, 38, 1446, ...

    , como la rbita tiende a infinito, lasucesin diverge, es decir C=2 no estdentro del conjunto de Mandelbrot;mientras que con C=-2, cuyasiteraciones sern: -2, 2, queda acotadoal conjunto entre [-2,2]; la sucesin notiende al infinito, por lo tanto C=-2pertenece al conjunto de Mandelbrot.

    Criterio del escape: Para saber qunmero C no pertenece al conjunto deMandelbrot, basta con encontrar un

    solo trmino en la sucesin con el cualcomprobar que 2nZ , pues los

    puntos cuya distancia al origen essuperior a 2, es decir 422 yx , nopertenecen al conjunto de Mandelbrot.

    Para que un punto pertenezca al fractalde Mandelbrot, ste debe estar entre[-2,2] de lo contrario la figura tiende al

    infinito, por consiguiente el reasiempre queda delimitada por un

    crculo de radio 2; el matemticoShishikura prob que el rea de un

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    fractal de Mandelbrot tiende a estarentre 1.66 y 1.712.Algunos ejemplos del conjunto deMandelbrot generados mediante elsoftware Ultrafractal 4.0 son:

    Figura 1. Modelo fractal de Mandelbrot

    CZ 2 con 100 iteraciones graficado conel software Ultrafractal

    Figura 2. Modelo fractal de Mandelbrot

    CZ 4 con 100 iteraciones graficado conel software Ultrafractal.

    2 Segn HUBBARD y de DOUADY el reade un fractal de Mandelbrot se calcula as:

    donde son loscoeficientes de la serie infinita de Laurentdel borde exterior del disco unitario que

    est en el exterior de la figura deMandelbrot.

    Figura 3. Modelo fractal de MandelbrotCZ 11 con 5 iteraciones graficado con el

    software Ultrafractal.

    III. DISEO DE LA ANTENA CON EL

    MODELO DE MANDELBROT

    Para el diseo de la antena se resumea continuacin el trabajo desarrolladopor el equipo de proyecto dirigido rea de Comunicaciones del programade Ingeniera Electrnica de la EscuelaColombiana de Ingeniera JULIOGARAVITO. Se seleccionaron lasiteraciones 7, 10, 13 y 16 del modelode Mandelbrot CZ 2 , con un factorde escala de 3, porque en ellas se

    obtuvieron los mejores resultados enmultibandas despus de disear yexperimentar por tanteo con otrasecuaciones y nmero de iteraciones,por ejemplo: CZ 11 .

    En el diseo de la antena fractal sesiguieron los mismos pasos que se danpara la construccin de una antenaloop pequea3: rea de la Loop

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    Figura 4. El sistema de Mandelbrot es laimagen de un crculo y se puede construirde un disco por ciertos arcos que se van

    disminuyendo hacia el interior.

    Las antenas en bucle con longitud depermetro necesitan una cantidadimportante de espacio; por esta raznse trabaj sobre un bucle pequeo(radio = 20.24 cm) que mediante elmodelo fractal de Mandelbrot puedesalvar este inconvenienteincrementando el permetro hasta elinfinito. Las cuatro iteracionesdiseadas se imprimieron sobre cuatroplacas de material dielctrico4, con lassiguientes caractersticas: substrato dePolytetrafluoroethylene (PTFE) WoenGlass, r = 2.2, espesor del dielctrico= 0.8 mm, espesor del recubrimiento decobre = 0.04 mm, factor de disipacin =0.0009; La antena fue polarizada

    linealmente (horizontal) y montadaortogonal a un plano de tierra de115cm * 76,4 cm; la estructurapresenta simetra respecto a un puntoen el cual es alimentada a travs deuna lnea de transmisin balanceadacon impedancia caracterstica de 50.Atendiendo a la geometra particular deeste fractal, se espera observar lacorriente fluyendo desde el centro dela alimentacin hacia las puntas, dondese radia la potencia; lo interesante es

    que esas puntas no son los extremosde la antena sino todas aquellassalientes que presenta el modelo fractalsegn el nmero de iteraciones.

    4 TACONIC: Advanced Dielectrcs Divisionfacilit al proyecto dirigido siete muestrasgratis de lminas PTFE de fibra de vidriorecubiertas de cobre; estas bases secaracterizan por sus bajas prdidas,

    constante dielctrica uniforme y consistenteen un buen rango de frecuencia y estable alo largo y ancho de toda si dimensin.

    Figura 5. Modelo fractal de MandelbrotCZ 2 con 7 iteraciones graficado con el

    software Ultrafractal.

    Figura 6. Modelo fractal de MandelbrotCZ 2 con 10 iteraciones graficado con el

    software Ultrafractal.

    Figura 7. Modelo fractal de Mandelbrot

    CZ 2 con 13 iteraciones graficado con elsoftware Ultrafractal.

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    Figura 8. Modelo fractal de Mandelbrot

    CZ 2 con 16 iteraciones graficado con elsoftware Ultrafractal.

    Se observa en las figuras 5 a 8 unaspecto aproximado en todas lasescalas (autosimilaridad no perfecta);se espera que una antenaautosemejante opere de forma similaren varias longitudes de onda; es decirmantenga sus parmetros de radiacinsimilares en diversas bandas defrecuencia. As mismo se observa queen los modelos fractales de Mandelbrotel crculo de radio r que enmarca elfractal permanece constante a lo largo

    del proceso iterativo.

    Figura 9. Antena Fractal de Mandelbrotcon dieciseis iteraciones conectada a

    ASD512 Antenna Systems Demostrator -Feedback

    El rea encerrada por la iteracin No.16 del modelo fractal de Mandelbrot

    CZ 2 (Ver figura 9), queda delimitadaentre un radio de 16.79cm a 17,30cm.

    2946,1286

    224,201415,32

    cm

    cmrLARBUCLECIRCU

    Al relacionar las dos reasobtendremos:

    709,0LARBUCLECIRCULBROTCURVAMANDE

    Al comparar las reas de las antenasfractal bajo el modelo de Mandelbrot yla antena loop circular pequea en elrango de frecuencia de 83.63 MHz y501.61 MHz, encontramos que estapresenta un valor promedio de913.479cm; mientras que el rea de laloop pequea es de 1286.945cm.

    Como se observa los fractales deMandelbrot tienen un rea limitada esdecir finita; mientras que su permetroes infinito, puesto que a medida que seitera las formas tienden aser ms pequeas dentro de unamisma rea haciendo entonces tenderel permetro al infinito. Cuanto ms seaproxima el permetro del bucle de unaantena fractal a una longitud de onda

    ms tiende a resonar la estructura yms dependen sus caractersticas de laforma de la antena. La antena bajo elmodelo fractal de Mandelbrot conservala buena propiedad que poseenalgunos fractales para rellenar elespacio, con esto es posible disponerantenas multibandas ms pequeas.

    IV. IDENTIFICACIN DE LOSPARMETROS DE LA ANTENASEGN EL MODELO DE

    MANDELBROT

    Los parmetros de entrada (prdidasde retorno, resistencias de prdidas yde radiacin, reactancias inductiva ycapacitiva) y parmetros de salida(ancho de banda, factor de calidad,eficiencia de la antena, ganancia ypatrn de radiacin) frente a lafrecuencia de operacin se muestran acontinuacin.

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    No.iteraciones CTerico CMedido7 2.38 * 10-

    12 F1.82 * 10-12 F

    10 2.39 * 10-12 F

    1.82 * 10-12 F

    13 2.68 * 10-12 F

    1.51 * 10-12 F

    16 3.16 * 10-12 F

    1.51 * 10-12 F

    Factor de calidad de la antena seobtuvo de la siguiente frmula:

    pp

    L

    R

    fL

    R

    XQ

    2

    Donde LX reactancia inductiva; pR

    resistencia de prdidas

    No.iteraciones Q Terico Q Medido7 291 90410 496 209013 975 463516 1332 6004

    Para conseguir un factor de calidad Qalto en la antena fractal segn el

    modelo de Mandelbrot se construysobre una baquela que tuviera undielctrico con un gran espesor paraevitar las corrientes de fuga y ondassuperficiales, y con una permitividad rbaja para que las lneas de campo seconfinaran entre la antena y el plano detierra.

    Mientras que el ancho de banda secalcul as:

    QFBW R

    Donde RF frecuencia central, Q factorde calidad.

    No.iteraciones BWMedido a3 dB

    BWterico

    7 106 377 KHz10 91.2 343 KHz13 52.4 227 KHz

    16 53.2 236 KHz

    La eficiencia de la antena:

    pr

    r

    RR

    R

    No.Iteraciones Rp

    Medida

    Medida

    7 0.17 26.6 %10 0.17 27.1 %13 0.19 28.6 %16 0.21 30.9 %

    La antena fractal de Mandelbrot tieneuna ganancia de 1.69 dBi a 11.13 dBipara las iteraciones siete y diecisisrespectivamente; mayor que en unaantena loop pequea (1.5 dBi). sta

    ltima presenta menos gananciadebido a su baja eficiencia (22%).

    V. MEDICIONES Y RESULTADOS

    Las figuras 10 a 13 muestran elcorrimiento8 de la frecuencia deresonancia de la antena fractal segnel modelo de Mandelbrot CZ 2 amedida que aumenta el nmero deiteraciones. Se comprob laindependencia de la frecuencia de

    resonancia con el tamao de la antena.

    Figura 10. Portadora a 83.63 MHz radiadaa travs de la antena Fractal de Mandelbrot

    con 7 iteraciones y visualizada en elanalizador de espectros HM5012/14.

    8

    Las cuatro bandas de frecuencias estnequiespaciadas y tienen un factor deespaciamiento de 2.

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    Figura 11. Portadora a 167.24 MHz

    radiada a travs de la antena Fractal deMandelbrot con 10 iteraciones y visualizadaen el analizador de espectros HM5012/14.

    Figura 12. Portadora a 334.43 MHzradiada a travs de la antena Fractal deMandelbrot con 13 iteraciones y visualizadaen el analizador de espectros HM5012/14.

    Figura 13. Portadora a 501.61 MHzradiada a travs de la antena Fractal de

    Mandelbrot con 16 iteraciones y visualizadaen el analizador de espectros HM5012/14.

    Para la iteracin No. 7 del fractal deMandelbrot se descubri una

    distribucin de corriente a lo largo de laantena similar a la antena looppequea: corriente casi uniforme (se

    puede considerar en fase a lo largo delfractal); mientras que para lasiteraciones No. 10, 13 y 16, ladistribucin de corriente no fueuniforme a lo largo del fractal,ocasionando que los camposresultantes se sumaran en el centro yse anularan en los extremos. En todoslos casos se present altas prdidaspor corrientes tangenciales debido a lasformas irregulares del modelo fractal.

    En las figuras 14 a 17 se muestran lospatrones de radiacin9 para las antenasfractales segn el modelo deMandelbrot; en las mencionadasfiguras las frecuencias de resonancia

    ms altas varan las caractersticas deradiacin de la antena fractal. Asmismo, debido a la simetra del fractalde Mandelbrot y a que los camposelctricos y magnticos se cancelan en0 y 180, se presentan sendos nulos.

    Figura 14. Patrn de radiacin polar de laantena Fractal en la sptima Iteracin,graficado con el software EZNEC-M

    9 Las figuras de distribucin de campo en el

    plano polar, para las cuatro iteraciones, seobtuvieron por simulacin con el softwareMomentos.

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    Figura 15. Patrn de radiacin polar de laantena Fractal en la dcima Iteracin,graficado con el software EZNEC-M

    Figura 16. Patrn de radiacin polar de laantena Fractal en la dcima terceraIteracin, graficado con el software

    EZNEC-M

    Figura 17. Patrn de radiacin polar de laantena Fractal en la dcima sexta Iteracin,

    graficado con el software EZNEC-M

    El patrn de radiacin de la antenafractal bajo el modelo de Mandelbrottiende a dispersar la densidad depotencia electromagntica en varioslbulos laterales indeseados; si lafrecuencia se duplica aparecen doslbulos, deformando la emisin ideal depotencia en el espacio libre.

    VI. ANLISIS DE LOS RESULTADOSSe descubrieron las caractersticasmultibanda de la antena fractal endiferentes iteraciones realizadas sobreel modelo de Mandelbrot, para cadauna de ellas se comprob unafrecuencia de resonancia distinta sincambiar previamente el tamao de laantena. As mismo, es posibleencontrar mayor directividad en lospatrones de radiacin.

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    A medida que aumenta el nmero deiteraciones del modelo, se obtiene unaresistencia de prdidas mayor debido almayor nmero de puntos de inflexinque se presentan en la forma delfractal, ocasionando prdidas porcorrientes de fuga y afectando as elfactor de calidad de la antena.

    Se observ en el experimento que laresistencia de radiacin crece de formalogartmica en funcin de la frecuencia.

    Un punto a favor est dado por el valorde la capacitancia, la cual disminuyecon el aumento en el grado deiteraciones, de igual manera se puede

    obtener un grado de desacoplamientomenor, ya que la propiedad deautosemejanza hace que la antenaradie a otras frecuencias, produce unapotencia de retorno menor, sindesconocer que estas prdidastambin son ocasionadas por laconstante dielctrica del material.

    Al igual que en una loop circular, seobtiene menor eficiencia que con otrasantenas, esto se da porque los

    electrones fluyen en la antena de unmodo circular.

    La antena fractal de Mandelbrot en lasptima iteracin presenta ladistribucin de corriente ycaractersticas de radiacin similares auna antena loop circular monobandaclsica (el diseo del fractal en todassus iteraciones fue realizado siguiendoel mismo procedimiento de una looppequea); as mismo, se comprob la

    propiedad de autosimilaridad del fractalen todas sus iteraciones, ya que lasdistribuciones de corriente son lasmismas en cada rplica.

    VII. CONCLUSIONES

    Con el nacimiento de la geometrafractal han surgido nuevas alternativasde implementacin para diferentesramas de la ciencia y la tecnologa; lascomunicaciones es una de esastecnologas que se han vistobeneficiadas especialmente en el

    desarrollo de antenas que permitan laradiacin a diferentes frecuencias sinnecesidad de variar el tamao de laantena.

    Una antena fractal de Mandelbrotpuede ser utilizada como antenamultibanda, ya incrementa la frecuenciade resonancia con un espaciado de 2,a medida que aumenta el nmero deiteraciones sin modificar el tamao dela antena.

    El patrn de radiacin cambia cuandoel nmero de iteraciones aumenta, yaque se producen pequeas rplicas dela misma antena presentando as

    diferentes lbulos de radiacin paradistintas frecuencias.

    Las altas prdidas y bajas eficienciasen las antenas fractales de Mandelbrotlimitan sus aplicaciones a pequeaseal (puede ser til en recepcin), yse traduce en una desventaja frente aotros modelos de antenas fractales.

    VIII. BIBLIOGRAFA

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    FractusT&M Antenas

    Hernn Paz PenagosMagister en Teleinformtica de laUniversidad Distrital Francisco Jos deCaldas. Ingeniero Electricista de launiversidad Nacional de Colombia,Ingeniero Electrnico de la UniversidadDistrital Francisco Jos de Caldas yFilsofo de la Universidad SantoToms de Aquino. Docente del rea decomunicaciones, facultad de ingenieraElectrnica de la Escuela Colombianade Ingeniera Julio Garavito.E-mail: hpaz @ escuelaing.edu.co.

    Ximena Acero BriceoEstudiante de IX semestre deIngeniera Electrnica de la EscuelaColombiana de Ingeniera JulioGaravito.E-mail: [email protected]

    Roberto Ferro EscobarIngeniero Electrnico UniversidadDistrital. Magster en Teleinformtica,Profesor de la facultad de IngenieraElectrnica.

    E-mail: [email protected]

    mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]