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FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES

Departamento de Matemáticas

Elías Robles Rodríguez

Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 1 -

1. NOCIONES INTRODUCTORIAS

1.1. Concepto de función. Dominio e Imagen.

Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable

independiente x, le asocia un único valor de la variable dependiente y, que llamaremos imagen de

x. Decimos que y es función de x y lo representamos por . En adelante usaremos la

terminología función real de variable real, o sea, . Esta notación es necesario que quede

muy claro lo que significa, vamos a explicarla con suficiente claridad:

La primera que nos encontramos corresponde al espacio donde la toma sus valores, esto es

donde va a estar incluido el dominio. La segunda nos indica el espacio a donde va la por , es

decir, en este espacio están todos los valores “ ”, que es lo que venimos llamando el espacio

imagen o recorrido.

Vamos a recordar ahora dos conceptos ligados al de función, el dominio y la imagen aunque este

último sea menos importante.

El DOMINIO de una función es el conjunto de valores de para los cuales existe , esto es,

La IMAGEN de una función es el conjunto de valores que puede tomar , esto es,

1.2. Puntos de corte con los ejes

Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función no hay más que igualar a cero

de la siguiente manera:

Puntos de corte con el eje de ordenadas, : , es decir, en la ecuación Puntos de corte con el eje de abscisas, : , es decir, en la ecuación

1.3. Monotonía de una función

Diremos que una función es creciente si para cada dos valores , se cumple que Diremos que una función es decreciente si para cada dos valores , se cumple que Diremos que una función es estrictamente creciente si para cada dos valores , se cumple

que Diremos que una función es estrictamente decreciente si para cada dos valores , se cumple

que

Diremos que la función posee un máximo relativo en 0x x si en el intervalo 0 0,x x

0 0 0( ) ( ) , .f x f x x x x

Diremos que la función posee un mínimo relativo en 0x x si en el intervalo 0 0,x x

0 0 0( ) ( ) , .f x f x x x x

Diremos que la función posee un máximo absoluto en 0x x si 0( ) ( ) Dom .f x f x x f

Diremos que la función posee un mínimo absoluto en 0x x si 0( ) ( ) Dom .f x f x x f

1.4. Simetrías de una función

Diremos que una función es simétrica respecto:

a) Origen de coordenadas si se cumple que b) Eje si se cumple que

1.5. Periodicidad de una función

Diremos que una función es periódica de período si se cumple que . 1.6. Construcción de una función por transformaciones elementales





Consideremos una función y su representación gráfica. También consideremos una constante

real positiva . Entonces:

a) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del eje OX .

b) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del eje OY .

c) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del origen

d) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia arriba unidades.

e) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia abajo unidades.

f) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia izquierda unidades.

g) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia derecha unidades.

2. FUNCIONES POLINÓMICAS

Son funciones de la forma

Propiedades:

a) b) Son CONTINUAS en todo su dominio

c) Son DERIVABLES infinitas veces en todo su dominio

2.1. FUNCIONES LINEALES

Son de la forma

Propiedades:

a) nos indica la pendiente, es decir, por cada +1 unidad en abscisa, se desplaza

unidades en ordenada. También es el coeficiente líder, el cual nunca puede ser cero.

b) nos indica la ordenada en el origen, es decir, pasa por el punto c) Si entonces es estrictamente creciente

d) Si entonces es estrictamente decreciente

e) Sus representaciones son rectas.

2.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS

Son de la forma

Propiedades:

a) nos indica la curvatura de la parábola. Si Convexa (Ramas hacia Arriba);

Si Cóncava (Ramas hacia abajo). También es el coeficiente líder, el cual nunca

puede ser cero.

b) nos indica la ordenada en el origen, es decir, pasa por el punto

c) Todas las parábolas tienen un vértice cuyas coordenadas son (

,

)=(

,

)

indistintamente para una u otra notación. Dicho vértice es máximo si las ramas van hacia

abajo, si es cóncavo o si . El vértice será mínimo si las ramas van hacia arriba, si es

convexo o si

2 1 1 2

1.0

0.5

0.5





d) Su representación se realiza de manera rápida y eficaz sin más que seguir los siguientes

pasos:

Primer paso

Hallar las raíces de y localizarlas en el plano sobre el eje OX. También los puntos de

corte.

Segundo paso

Hallar las coordenadas del vértice y localizarlo en el plano

Tercer paso

Observar el signo del coeficiente líder y proceder a representar según la tabla

Número de

raíces de

Ninguna Una Dos

Observación: el segundo paso proviene del estudio de la monotonía. Con esto tenemos un

esbozo. Para hacer una representación precisa hace falta una tabla de valores con más datos.

2.3. FUNCIONES CÚBICAS

Son de la forma

Propiedades:

a) nos indica el sentido de la “S” tumbada. Si Las ramas van de ;

Si Las ramas van de ;. También es el coeficiente líder, el cual nunca

puede ser cero.

b) nos indica la ordenada en el origen, es decir, pasa por el punto





Número de

raíces de

Una Dos Tres

2.4. FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR

Son funciones polinómicas de grado superior a 3. Sus gráficas tienen una construcción sencilla y a

partir de ellas obtenemos propiedades varias, a parte de las ya básicas. Veamos algunos ejemplos en

la pizarra y completemos el siguiente cuadro.





3. FUNCIONES RACIONALES

Son de la forma:

Donde son funciones polinómicas:

Propiedades:

a) . b) Son continuas en todo su dominio

c) Son derivables en todo su dominio

3.1. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Son de la forma:

Donde es una constante es función polinómica

Propiedades:

a) Sus gráficas son hipérbolas de asíntotas horizontales y verticales

b) Si y el coeficiente líder de ( ), es decir, , tienen ambos el mismo signo,

entonces la función es creciente

c) Si y el coeficiente líder de ( ), es decir, , tienen ambos distinto signo, entonces

la función es decreciente

3.2. FUNCIONES RACIONALES REDUCIBLES A PROPORCIONACIDAD INVERSA

Partimos de que el . Una de las propiedades más importantes y usadas en

expresiones del tipo

es la fórmula de la división: de donde

Así una fracción de polinomios (con numerador de grado superior al denominador) la hemos

transformado a una suma de un polinomio y una fracción cuyo numerador tiene grado inferior al

denominador. Esta propiedad os será utilísima en este curso y posteriores.

4. FUNCIONES EXPONENCIALES

Son de la forma

Propiedades:

a) para nosotros será generalmente una constante. Y partimos de esto para continuar con

todas las propiedades

4.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Son de la forma

Propiedades:

a) b) Es continua en su dominio

c) Es derivable en su dominio

d) es creciente cuando

e) es decreciente cuando





f) Veamos algunas gráficas

4.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE CUALQUIERA

Son de la forma

Propiedades:

a) b) Es continua en su dominio

c) Es derivable en su dominio

d) es creciente cuando y e) es decreciente cuando y f) Veamos alguna gráficas explicativas

5 4 3 2 1 1 2

1

2

3

4

2 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5 4 3 2 1 1 2

5

4

3

2

1

2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

2 1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0





5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Son de la forma

Aunque ese tipo de funciones no las estudiaremos nosotros dada su complejidad.

Propiedades:

a) Dom / ( ) 0f x h x

b) La función logaritmo nace a partir de la inversa de la exponencial

5.1. FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO

Son de la forma

Propiedades:

a) Dom / ( ) 0f x g x

b) Son continuas en todo su dominio


d) Su gráficas

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

1 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

4 3 2 1 1

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5





5.2. FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE CUALQUIERA

Son de la forma

Propiedades:

a) Dom / ( ) 0f x g x

b) Son continuas en todo su dominio


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

2

1

1

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

2

1

1

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5





6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas nacen del estudio y modelización de los problemas del calor y de ondas.

Esto desembocó en asignaturas tales como Ecuaciones en derivadas parciales, que se estudiarán en los

cursos próximos de carreras como Caminos, Canales y Puertos, Aeronáutica, Industriales, Físicas,

Matemáticas, …

6.1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS

6.1.1. FUNCIÓN SENO

( ) senf x x

Propiedades:

a) Su dominio es todo

b) Su imagen como ya recordareis es 1,1

c) Es una función continua

d) Es una función derivable

e) Es una función 2 periódica: sen sen 2x x

f) Su gráfica es

6.1.2. FUNCIÓN COSENO

( ) cosf x x

Propiedades:


b) Su imagen es 1,1

c) Es una función continua

d) Es una función derivable

e) Es una función 2 -periódica: cos cos 2x x

f) Su gráfica es

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0





6.1.3. FUNCIÓN TANGENTE

sen( ) tg

cos

xf x x

x

Propiedades:

a) Su dominio: Dom 2 1 ,2

f k k

b) Su imagen es todo

c) Es una función 2 -periódica

d) Su gráfica es ( ) tgf x x

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6





6.1.4. FUNCIÓN COSECANTE

1( ) cosec

senf x x

x

Propiedades:

a) Su dominio es el conjunto Dom ,2

f k k

b) Su gráfica es

6.1.5. FUNCIÓN SECANTE

1( ) sec

cosf x x

x

Propiedades:

a) Su dominio es el conjunto Dom 2 1 ,2

f k k

b) Su gráfica

6 4 2 2 4 6

5

5

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6





6.1.6. FUNCIÓN COTANGENTE

1( ) cotg

tgf x x

x

Propiedades:

a) Su dominio es el conjunto Dom ,2

f k k

b) Su gráfica es

6.1.7. ALGUNAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ÚTILES

2 2sen cos 1x x 2

2

11 tg

cosx

x sen 2 2sen cosx x x

2 2cos 2 cos senx x x 1 cos 2

cos2

xx

1 cos 2sen

2

xx

6.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Estas funciones nacen a partir de la curiosidad de querer saber qué ángulo engendra la razón

trigonométrica tratada. Al componerlas obtenemos la identidad.

sen arcsen arcsen sen

cos arccos arccos cos

tg arctg arctg tg

x x x x

x x x x

x x x x

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6





6.2.1. FUNCIÓN ARCOSENO

( ) arcsenf x x

Propiedades:

a) Su dominio es b) Su gráfica es

6.2.2. FUNCIÓN ARCOCOSENO

( ) arccosf x x

Propiedades:

a) Su dominio es b) Su gráfica es

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2 1 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0





6.2.3. FUNCIÓN ARCOTANGENTE

( ) arctgf x x

Propiedades:


b) Su gráfica es

7. FUNCIONES VALOR ABSOLUTO

Se define la función valor absoluto como

0

0

x xx

x x

De aquí podremos directamente definir el valor absoluto de funciones de todo tipo.

( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( ) 0

g x g xf x g x

g x g x

Veamos algunos ejemplos que puedan ayudarnos a dominar este tipo de funciones.

Ejemplo 1

4 2 2 4

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

1

2

3

4

5

6





Ejemplo 2

Imaginamos que sólo nos dan esto: “ ”, con esto no podemos hacer nada, primero hay que

transformarla a una función a trozos. Una vez tenemos la función a trozos entonces estudiamos lo que

nos pidan (continuidad, derivabilidad, …)

Vamos a transformarla:

Entonces nos quedaría esta función de la forma siguiente. Primero distinguimos y ordenamos los

intervalos, éstos serían: . Ahora observando en la partición de valor

absoluto que hemos hecho ahí arriba y al tener tres intervalos, obtenemos:

Cuya representación gráfica quedaría así:

2 1 1 2 3

2

1

1

2

3

4

2 1 1 2 3

1

2

3

4





8. FUNCION PARTE ENTERA

La función parte entera tiene poco interés para nosotros, es aquella que hace corresponder a cada valor

real su parte entera, se define así:

:

la parte entera del número dadox x

Veamos algunos ejemplos y representaciones

Sea la función ( )f x x , veamos qué valores toma,

31'764 1, ( ) 3, ( ) 2, 5'001 5, 2 1f f f e f f , si nos fijamos, siempre es la parte entera

del número, representemos:

Representemos 2( ) 1f x x

4 2 2 4

4

2

2

4

3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7





9. FUNCIONES A TROZOS

Con la introducción vista en valor absoluto de lo que es una función a trozos. Vamos a definir lo que es

una función a trozos y vamos a ver un ejemplo:

1 1

2 2

( )

( )( )

( )n n

g x x I

g x x If x

g x x I

Ejemplo 1

2

ln 2 1

3 1 0

( ) 0'9375 2 0 2'5

sen3 2'5 3

sen 3

x x

x x

f x x x x

x

x x

2 2 4 6 8 10

3

2

1

1

2

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