TEMA4 FUNCIONES ELEMENTALES

IES HISPANIDAD Departamento de Matemáticas

1

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Las funciones que habitualmente utilizamos son funciones reales de variable real. f es una función de ℜ en ℜ si a cada número real Domx∈ , le hace corresponder otro número real, f(x).

ℜ⊂Dom )( xfx

Dom

⎯→⎯

ℜ⎯→⎯

El conjunto Dom de los valores que puede tomar la variable independiente, x, se llama dominio de la función. El conjunto de los valores que toma la función se llama recorrido. Destaquemos que a cada valor de Domx∈ , la función le asigna un único valor f(x):

f(x) es único para cada Domx∈ Puesto que tanto la variable x como la función f(x) toman valores reales, estas funciones se llaman funciones reales de variable real.

De las dos siguientes gráficas, la de la izquierda es una función porque a cada valor de x le corresponde uno (o ninguno) de y. Sin embargo, la gráfica de la derecha no es una función, pues hay valores de x a los que corresponden más de un valor de y.


2

Cuando queremos estudiar funciones algunas curvas como la que tenemos más abajo, las descompondremos en dos, de modo que cada una de ellas cumpla la condición requerida: a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

4.2. DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN Se llama dominio de definición de una función f, y se designa Dom(f) o, simplemente, Dom, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los que hay un f(x). Razones por las que el dominio de definición puede restringirse

• Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x, por ejemplo:

Denominadores que se anulan. Raíces cuadradas de números negativos.

• Contexto real del que se ha extraído la función. • Por voluntad de quien propone la función.

Ejm 1: Calcula el dominio de la siguiente función: 65

2)( 2 ++−

=xxxxf

Igualamos a cero el denominador:

215

224255

1216455065

22

±−=

−±−=

=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++ xxx

Por tanto, para 2−=x y 3−=x , la función no toma ningún valor; esto es;

( ) ( )( ) ( ) 0

46104

226252

222 2 =+−

+=

+−⋅+−−−

=−f

( ) ( )( ) ( ) 0

56159

326353

323 2 =+−

+=

+−⋅+−−−

=−f

Porque 04

y 05

no existen.

En definitiva, ( ) }{ 3,2 −−−ℜ=fDom . Ejm 2: Consideramos la función 42)( 3 +−= xxxf para ( )6,2∈x


3

Ejm 3: Calcula el dominio de la siguiente función: 1)( 2 −+= xxf La raíz cuadrada solo se puede calcular para valores positivos, entonces se debe cumplir

012 ≥−x Si resolvemos esta inecuación, igualamos a cero la ecuación de segundo grado. 012 =−x . Y obtenemos dos soluciones 1−=x y 1=x .

-1 1 ( ) ( ) 0314121, 2 >=−=−−⇒−∞− ( ) 01101,1 2 <−=−⇒− ( ) 031412,1 2 >=−=−⇒+∞ Por tanto, el dominio de la función es: ( ) ( ) ( )+∞∪−∞−= ,11,fDom Ejm 4: El área de un cuadrado es una función real de variable real; 2)( xxf = , es evidente, que los valores que puede tomar el lado de un cuadrado serán siempre positivos, luego

( ) ( )+∞= ,0fDom Ejercicios.- Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a. 1)( 2 ++= xxf d. 1

1)(−+

=x

xf g. 72)( 2 +−= xxxf

b. xxf −+= 1)( e. 4

1)(2 −+

=x

xf h. x

xf 1)( =

c. 29)( xxf −−= f. 165)( 2 −

+=

xxxf i.

231)( 2 +−

−=

xxxxf

4.3. FUNCIONES LINEALES La función polinómica de primer grado o función lineal nmxxf +=)( ó nmxy += , se representa mediante una recta de pendiente m que pasa por el punto (0, n), la n se llama ordenada en el origen. Pendiente de una recta es la variación (aumento o disminución) que se produce en la variable dependiente y cuando la variable independiente x aumenta. En una ecuación lineal, la pendiente de la recta es el coeficiente que acompaña a la x cuando se despeja la y. Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, ( )11, yxP , ),( 22 yxQ , para hallar la pendiente procedemos así:

12

12

xxyym

−−

= xla de variaciónla es y la de variaciónla es

12

12

xxyy

−−


4

IMPORTANTE: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Ejm 1: Escribe la ecuación de la recta que pasa por (0, 5) y tiene pendiente -2.

52 +−= xy Ejm 2: Calcula la pendiente, la ordenada en el origen o la ecuación de la recta en los siguientes casos:

a. 35 −= xy b. Recta que pasa por (5, 2) y (6, 4). c. Recta que pasa por (1, 5) y tiene pendiente -2.

a. La pendiente vale 5 y la ordenada en el origen -3.

b. 25624=

−−

=m , la pendiente vale 2. La ecuación de la recta sería y = 2x + n,

sustituimos en cualquiera de los dos puntos que por pertenecer a la recta verifican su ecuación, esto es; (5, 2) x = 5, y = 2,

2 = 2 · 5 + n; 2 = 10 + n; despejando n = 2 – 10 = - 8 Por tanto, la ecuación de la recta es 82 −= xy .

c. La ecuación de la recta sería y = -2x + n, sustituimos en el punto (1, 5); esto es, x = 1, y = 5

n+⋅−= 1·25 ; 725 =⇒+−= nn Por tanto, la ecuación de la recta sería 72 +−= xy .


5

Ejm 3: ¿Cómo se representa la función [ ]5,1 ,53)( ∈−= xxxf ? Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo, es decir,

253513)1( −=−=−⋅=f ; 10515553)5( =−=−⋅=f

02468

1012

-3 -2 -1 0 1 2

Ejm 4: Escribir la ecuación de las rectas representadas en la gráfica

• La recta a pasa por los puntos (0, 4) y (2, 5). Los dos puntos deben satisfacer la ecuación de la recta nmxy += ; esto es,

2121245425

254

2504

=⇒⋅=⇒⋅=−⇒+⋅=⇒

⎭⎬⎫

+⋅==

⎭⎬⎫

+⋅=+⋅=

mmmm

nmn

linealesecuacionesdesistemaelresolvemosnmnm

Por tanto, la función lineal será 421)( += xxf .

• La recta b pasa por los puntos (0, 0) y (3, 2). Al `pasar por el origen de

coordenadas la función lineal tiene la expresión mxxf =)( ; como el punto pertenece a la recta verifica su ecuación, y, por tanto,

3232 =⇒⋅= mm

Luego la ecuación de la función lineal será xxf32)( = .


6

• La recta c pasa por los puntos (5, 3) y (2, 7). Teniendo dos puntos podemos

calcular la pendiente de la recta, de manera que:

34

34

5237 −

=−

=−−

=m

Por tanto, la ecuación de la recta será nxy +−

=34

, sustituyendo cualquiera de

los dos puntos que verifican dicha ecuación, de manera que

338338

329932093

3320

395

343

=⇒=⇒

=+⇒+−=⇒+−

=⇒+⋅−

=

nn

nnnn

En definitiva, la ecuación vendrá dada por 3

3834)( +

−= xxf .

Ejercicios.-

1. Di cuál es la pendiente de cada una de las funciones lineales: a. 52)( −= xxf c. 12)( += xxf b. 05 =−+ yx d. 5)( =xf

2. Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas:

a. Pasa por (1, – 5) y (10, 11) b. Pasa por (– 7, 2) y su pendiente es 0,75. c. Corta a los ejes en los puntos (3’5, 0) y (0, – 5). d. Es paralela a la recta 013 =+− yx y pasa por (– 2, – 3).

3. Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación:


7

4.4. FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones polinómicas de segundo grado o funciones cuadráticas, cbxaxxf ++= 2)( ,

0≠a , se representan mediante parábolas. Tienen sus ejes paralelos al eje Y. Las formas de esas parábolas (que sus ramas estén hacia arriba o hacia abajo, que sean

más o menos anchas…) dependen, exclusivamente, del valor de a. o Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo valor de a (el mismo coeficiente

de 2x ), las parábolas correspondientes son idénticas, aunque estén situadas en posiciones distintas.

o Si 0>a , las ramas hacia arriba, y si 0<a , hacia abajo. o Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, a , más estilizada es la parábola.

La abscisa del vértice de la parábola es abx

20−

= .

Los puntos de corte con los ejes son: o (0, c) el punto de corte con el eje Y o Los puntos de corte con el eje X son las soluciones de la ecuación de segundo

grado f(x) = 0; esto es, 02 =++ cbxax

Ejm1: Representar las siguientes parábolas: a) 64)( 2 +−= xxxf b) 482)( 2 −+−= xxxf a) a = 1, b = – 4 y c = 6

Como a > 0, la parábola está orientada hacia arriba.

La abscisa del vértice es 212

40 =

⋅=x , y, su ordenada será

26846242)2()( 20 =+−=+⋅−== fxf .Por tanto, las coordenadas del

vértice son (2, 2). El punto de corte con el eje Y es (0, 6) y los puntos de corte del eje X son las soluciones de la ecuación de segundo grado,

( )2

842

2416412

61444064

22 −±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±=⇒=+− xxx

No tiene solución real, luego no tiene puntos de corte con el eje X. Como solo tenemos dos puntos y una parábola se determina con tres, entonces calculamos un tercer valor, por ejemplo:


8

6616166444)4( 2 =+−=+⋅−=f

626420

yx

01234567

0 1 2 3 4 5

b) a = – 2, b = 8 y c = – 4

Como a < 0, la parábola está orientada hacia abajo.

La abscisa del vértice es ( ) 222

80 =

−⋅−

=x , y, su ordenada será

( ) ( ) 12416842822)2()( 20 −=−−=−−⋅+−⋅−== fxf .Por tanto, las

coordenadas del vértice son (2, – 12). El punto de corte con el eje Y es (0, – 4 ) y los puntos de corte del eje X son las soluciones de la ecuación de segundo grado,

( ) ( )( )

45,44798,17

4798,98

45,04

798,14

798,98

4798,98

4968

432648

2242488

04822

2

=−

−=

−−−

−=−

=−+−

=−±−

=−±−

=

=−

+±−=

−⋅−⋅−⋅−±−

=⇒=−+− xxx

Luego los puntos de corte con el eje X, son (– 0,45, 0) y (4,45, 0)

0124045,42045,0

−−−

yx

-14-12-10-8-6-4-20

-1 0 1 2 3 4 5


9

Ejm2: Representa la función [ )5,2 ,16)( 2 ∈+−= xxxxf Como a > 0, la parábola está orientada hacia arriba.

La abscisa del vértice es 312

60 =

⋅=x , y, su ordenada será

811891363)3()( 20 −=+−=+⋅−⋅== fxf .Por tanto, las coordenadas del

vértice son (3, – 8). Y calculamos los valores de la parábola en los extremos del intervalo; esto es,

4130251565)5(711241262)2(

2

2

−=+−=+⋅−=

−=+−=+⋅−=

ff

487532−−−y

x

-10

-8

-6

-4

-2

00 1 2 3 4 5 6

Ejm3: Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por

22040000)( xxxf ++= (x unidades producidas). El precio de venta de cada unidad es de 520 €.

a) Expresa en función de x el beneficio de la empresa y represéntalo gráficamente. b) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo?

a) 400005002040000520)(520)( 22 −+−=−−−=−= xxxxxxfxxB - Como es una función cuadrática, y el coeficiente a = – 1 < 0, la parábola esta orientada hacia abajo - Calculamos su vértice

( ) 25012

5000 =

−⋅−

=x y la ordenada =−⋅+−= 40000250500250)250( 2f

225001025001250004000012500062500 =−=−+−= Por tanto, las coordenadas del vértice son (250, 22500) - El punto de corte con el eje Y es (0, – 40000), y los puntos de corte con el eje X son las soluciones a la ecuación de segundo grado:

( ) ( )( )

4002

300500

1002

300500

2300500

290000500

2160000250000500

124000014500500

0400005002

2

=−−−

=−+−

=−±−

=−±−

=−

−±−=

=−⋅

−⋅−⋅−±−=⇒=−+− xxx

Los puntos de corte serán (100, 0) y (400, 0).


10

-50000-40000-30000-20000-10000

0100002000030000

0 100 200 300 400 500

b)El máximo valor, al ser una parábola, se alcanza en el vértice. Por tanto, el beneficio máximo serán 22500€ y se alcanza cuando se producen 250 unidades. Ejercicios:-

1. Representa las siguientes funciones cuadráticas, hallando previamente el vértice, los puntos de corte con los ejes y algún punto próximo al vértice:

a. 35,0)( 2 −= xxf c. 3)( 2 +−= xxf

b. 12)( 2 ++= xxxf d. 633

)(2

++= xxxf

2. Los gastos fijos de una empresa por la fabricación de x televisores siguen la función

xxG 252000)( += , en euros, y los ingresos mensuales son 201,060 xxI −= , también en euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?

3. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura

viene dada por la función 2166480)( xxxf −+= (x en segundos y f(x) en metros) a. Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b. Halla la altura del edificio en el instante x = 2 sg. c. ¿En qué instante alcanza la máxima altura?

4. El coste de producción de x unidades de un producto es igual a 25354

)(2

++= xxxC

euros y el precio de venta de una unidad es 4

50)( xxP −= .

a. Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x unidades producidas.

b. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máximo.

Nota.- Los ingresos por la venta de x unidades son ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

450 xx


11

4.5. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Se llaman funciones de proporcionalidad inversa a aquellas cuya ecuación es xkxf =)( . Sus

gráficas son hipérbolas. Su dominio de definición es { } ( ) ( )+∞∪∞−−ℜ ,00, 0 ó .

Recordemos que cada hipérbola “se ciñe” a un par de rectas llamadas asíntotas. Pues bien, en las funciones de proporcionalidad inversa las asíntotas son los ejes de coordenadas, esto es; x = 0 e y = 0.

También son hipérbolas las gráficas de las funciones dcxbaxxf

++

=)( .

4.6. FUNCIONES RADICALES La función xxf +=)( . Su dominio de definición es [ )+∞,0 y para representarla tenemos en cuenta que pasa por (0, 0); (1, 1); (4, 2); (9, 3); (16, 4);… Las siguientes funciones son de la misma familia:

Ejercicios.-

1. Dos de estas gráficas no son funciones. Di cuáles son y asocia a cada una de las otras cuatro la expresión analítica que ele corresponda.

a. xxf 2)( += c. 225,0)( xxh −=

b. 4

1)(−

=x

xg d. 2)( 2 −= xxj


12

2. Asocia a cada de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

a. 21)( +=x

xf c. 3

1)(+

=x

xh

b. ( )23)( += xxg d. 2)( ++= xxj


13

3. Representa las siguientes funciones:

a. 1

3)(−

=x

xf c. xxf −+= 1)(

b. 3

2)(+

=x

xf d. 2)( +−= xxf

4.6. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Las expresiones analíticas de la siguiente función son muy peculiares:

⎩⎨⎧

>≤

=212

)(xxx

xf

Requieren de varias “fórmulas”, cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo.

Para representar la primera, procedemos del siguiente modo:

a) Representamos la función xxf =)(1 hasta la abscisa x = 2.

b) Representamos la función 1)(2 =xf desde x = 2 en adelante.

c) Tenemos en cuenta que en x = 2 solo es válido el punto correspondiente a la primera rama (el signo igual de la expresión 2≤x sirve para incluir dicho valor). Por tanto, excluimos con un

circulito el punto de la otra rama. En definitiva, las representaciones de las funciones definidas “a trozos” son fáciles si sabemos representar cada uno de los tramos y se presta atención a su comportamiento en los puntos de empalme.

Ejm: Representar la siguiente función: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<

≤++=

43401

012)(

2

xxx

xxxxf

a) Representamos 12)( 2

1 ++= xxxf y nos quedamos con el trozo que hay hasta x = 0. Dado que es una parábola, necesitaremos tres valores para determinar su gráfica:

401310

yx −−


14

b) Representamos 1)(2 =xf entre 0 y 4, pero como las desigualdades son estrictas en los dos extremos, pondremos un circulito en ambos puntos.

1140

yx

c) Representamos 3)(3 −= xxf desde x = 4. Como es una función lineal, solo debemos

calcular dos valores, incluyendo siempre el extremo inferior del intervalo, es decir, 4.

31464x

d) Finalmente, observamos los puntos de empalme. En ese caso, cada dos tramos empalman de forma continua. Quedando la curva de la siguiente forma:

Ejercicios.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

a. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−

<−=

42402

02)(

xsixsix

xsixf

b. ⎩⎨⎧

−>+−−<+

=13162

)(xsixxsix

xf

c. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<−−

−≤−−=

111122

11)( 2

xsixxsix

xsixxf

d. ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<+−=13

122)(

2

xsix

xsixxf


15

FUNCIONES EXPONENCIALES Sea a un número real positivo no nulo y distinto de 1. Se llama función exponencial real de base a, a la función

xaxfxf

=⎯→⎯ℜ⎯→⎯ℜ

)( :

Las funciones exponenciales más importantes, son aquéllas que tienen como base: a = 10, a = e. Se escribe entonces, xxf 10)( = ó xexf =)( . Propiedades

1. )()()( xfxfxxf ′⋅=′+ ; esto es, xxxx aaa ′′+ ⋅= 2. 1)0( =f 3. af =)1( 4. 0)( >xf , es decir, la función exponencial es siempre positiva y esto es

consecuencia de la definición de potencia de exponente real. 5. La función exponencial real es siempre estrictamente creciente o decreciente.

a. Si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente b. Si a > 1 la función es estrictamente creciente

6. Si consideramos la convergencia se tiene a.

⎩⎨⎧

>∞+<<

=+∞→ 1

100)(lim

aa

xfn

b.

⎩⎨⎧

><<∞+

=−∞→ 10

10)(lim

aa

xfn

De aquí se deduce que la función exponencial no está acotada superiormente, pero sí inferiormente por 0 que es su extremo inferior.

7. La función exponencial es continua en todo ℜ. 8. El dominio de la función exponencial es ℜ, y su recorrido (0, +∞ )


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FUNCIONES LOGARÍTMICAS Sea a un número real positivo tal que a > 1. Se llama función logarítmica real de base a, a la función

xxfxf

alog)(

:=⎯→⎯

ℜ⎯→⎯ℜ

La función xay = , a > 1 es la función recíproca de la función logarítmica, dado que yayx x

a=⇔= log

Que es precisamente la relación que define el logaritmo de un número. Si cambiamos las variables, como se hace normalmente para obtener la función recíproca, se tiene que:

xaxy y

a=⇔= log

Esta equivalencia traduce toda propiedad logarítmica a propiedades exponenciales y, recíprocamente. Las gráficas de estas funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por otra parte, dada la igualdad

xxa

a

loglog1

−=

Tenemos que estas dos funciones son opuestas, de manera que conocida la gráfica de xy

alog= , la gráfica de xy

a1

log= es simétrica respecto del eje OX. También

podemos considerar esta función como recíproca de la función exponencial x

ay ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

1 .


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Propiedades

1. ( ) xxxxaaa′+=′⋅ logloglog

2. 01log =a

3. 1log =a

a

4. Si 0 < a < 1 entonces

⎩⎨⎧

><<>

1 0log1 0log

xparaxxparax

a

a

Si a > 1 entonces

⎩⎨⎧

>><<

1 0log1 0log

xparaxxparax

a

a

5. Si 0 < a < 1 entonces la función es estrictamente decreciente Si a > 1 entonces la función es estrictamente creciente

6. La función logarítmica no está acotada ni superior ni inferiormente. 7. La función logarítmica es continua en todo su dominio. 8. En cuanto a la convergencia, se tiene:

0 < a < 1

⎩⎨⎧

−∞=+∞=

+∞→

→ +

xx

ax

ax

loglog

lim

lim0

a > 1

⎩⎨⎧

+∞=−∞=

+∞→

→ +

xx

ax

ax

loglog

lim

lim0

9. El dominio de la función logarítmica es (0, +∞ ), y su recorrido ℜ.

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