Unidad 9 - Funciones Elementales

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales( ) ( ) x x [ ]( ) ( )nn x f x f 22 6#e simetr:aOX

    ) ( ) 1212 ++ nnn xa x f 127352310 ++++++ nn xa xa xa xa xa ( ) ( ) x x [ ]( ) ( ) ( ) ( ) x f x f x f nn == ++ 1212 1 0entro simetr:aORIGEN

    c) & lo otenciasPARES Funci nPAR 6#e simetr:aOX& lo otenciasIMPARES Funci nIMPAR 0entro simetr:aORIGEN

    Pg.219 9.5 &on aci n4 cortes e#es4 l:mites simetr:as a) ( ) ( )( )5525)( 2 +== x x x x x x f ( ) ( )55 += x x x y

    = 0 y 5= x 0= x 5= x = 0 x 0= y0ortes $ /( )05 ( )00 ( )05 0orte $%/( )00Funci n 'MP?@ 0entro simetr:aORIGEN

    = x -5 -A - -2 -1 C 1 2 A 5= y C ! AD A2 2A C -2A -A2 -AD - ! C

    x + y x y ) ( ) ( )22 2224 == x x x x x f 222 += x x x y

    = 0 y 2= x 0= x 2= x = 0 x 0= y0ortes $ / 02 ( )00 02 0orte $%/( )00Funci n P?@ 6#e simetr:aOY

    = x - -2 -1 C 1 2 = y ! D -1 C -1 D !

    + x + y x + y

    c) ( ) 673 += x x x f ( )( )( )213 += x x x y= 0 y 3= x 1= x 2= x = 0 x 6= y

    0ortes $ /( )03 ( )01 ( )02 0orte $%/( )60

    = x -A - -2 -1 C 1 2 A= y - C C 12 12 ! C C 12 A2

    x y + x + y

    d) 164 = x y ( )( )( )2242 ++= x x x y= 0 y 2= x 2= x = 0 x 16= y

    0ortes $ /( )02 ( )02 0orte $%/( )160 Funci n P?@ 6#e simetr:aOY

    = x - -2 -1 C 1 2 = y !5 C -15 -1! -15 C !5

    + x + y x + y

    Pg.219 9.6 a) ( ) 22 23 += x x x x f ( )( )( )211 += x x x y= 0 y 1= x 1= x 2= x = 0 x 2= y0ortes $ /( )01 ( )01 ( )02

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales0orte $%/( )20

    = x - -2 -1 C 1 2 A= y -AC -12 C 2 C C D C

    + x + y x y

    ) ( ) 4423 += x x x x f ( )( )( )212 ++= x x x y0 y

    2= x

    1= x

    2= x

    0= x

    2= y

    0ortes $ /( )02 ( )01 020orte $%/( )20

    = x - -2 -1 C 1 2 = y -1C C C -A -! C 2C

    + x + y x c) ( ) x x x x f 462 23 += ( )( )212 = x x x y

    = 0 y 0= x 1= x 2= x = 0 x 0= y0ortes $ /( )00 ( )01 ( )020orte $%/( )00= x -1 C 1 2

    = y 12 C C C -12+ x y x + y

    d) ( ) 542 = x x x f ( ) ( )51 += x x y= 0 y 1= x 5= x = 0 x 5= x

    0ortes $ /( )01 ( )050orte $%/( )50

    = x -2 -1 C 1 2 A 5 != y C -5 -D -9 -D -5 C

    + x + y x + y

    e) ( ) 369688324 234 ++= x x x x x f ( ) ( ) 22 314 = x x y

    = 0 y 1= x 3= x ?m as ra:ces4 do les0ur7a tangente a e#e $ 4 en am os untos

    = 0 x 36= y0ortes $ /( )01 ( )03

    0orte $%/( )360 = x C45 14C 145 24C 245 4C 45 A4C= y -!425 C -2425 -A -2425 C -!425 - !

    + x y x y

    Pg.219 9.7 a) = x C C45 1 145 2 == y x 2 C C425 1 2425 A

    == y x 4

    C C4C!25 1 54C!25 1! == y x 6 C C4C15! 1 114 9C! !A3as tres son de simetr:a P?@ +e#e simetr:a $%)3as tres asan or( )11 ( )00 ( )11

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales3as tres son c nca7as en sentido $%? ma or e, onente4 ms cercana a $%? ma or e, onente4 ms cercana a $ en( )11

    ) = x -145 -1 -C45 C C45 1 145 == y x 3 - 4 5 -1 -C4125 C C4125 1 4 25 == y x 5 - 459A -1 -C4C 1 C C4C 1 1 459A == y x 7 -1 4CD! -1 -C4CCD C C4CCD 1 1 4CD!3as tres son se simetr:a 'MP?@ +0entro origen)

    3as tres asan or( )11 ( )00 ( )113as tres son c nca7as sentido $% ara0> x3as tres son c nca7as sentido $%E ara0< x? ma or e, onente4 ms cercana a %E$%? ma or e, onente4 ms cercana a en( )11

    Pg.219 9.8 a) 0orta tres 7eces el e#e $ 4 luego tiene tres ra:ces reales( )1 x ( )2 x ( )3 x .

    o arece ue ninguna otra recta ueda cortarla en ms de tres untosPor tanto4 el grado de la *unci n estr ! + ).Para + x ( ) + x f 4 luego el coe*iciente de3 x serp"!iti#" .3a *unci n ser del ti o( )( )( )321 x x x x x xk con 0>k

    ) 6l e#e $ corta la gr*ica en cuatro +A) untos4 uno de ellos( )00 do le.Una recta aralela a $ 4 r ,ima de cota negati7a4 corta en A untoPor tanto4 el grado de la *unci n es$%atr"+A)Para + x ( ) + x f 4 luego el coe*iciente de4 x serp"!iti#" .3a *unci n ser del ti o( ) ( )221 x x x x xk con 0>k

    c)

    Una recta aralela a $ 4 r ,ima de cota ositi7a4 la corta en 5 untoPor tanto4 el grado de la *unci n es$in$" +5)o o stante4 la *unci n arece tener s lo una ra:> real.Para + x ( ) + x f 4 luego el coe*iciente de5 x serp"!iti#" .3a *unci n ser del ti o 5423324150 a xa xa xa xa xa +++++ con 00 >a .

    Pg.221 9.9 a) Gominio/ = 012 x 1= x ( ) { }11 = R f D 0orte con $ / = 0 y 0= x ( )00

    0orte con $%/ = 0 x 0= y ( )00

    &imetr:a/( ) x f ( )

    ( )

    =

    11 22 x x

    x

    x( ) x f

    'MP?@& ntr" de simetr:a/( )00

    ?s:ntota H$@'I$ J?3/( ) 0111

    22 = x x

    f xlm 0= y?s:ntota K6@J'0?3/( ) = f xlm 1 ( ) += + f xlm 1 1= x?s:ntota $B3'0U?/ (rado numerador L grado denominador NoTiene

    ) Gominio/ 092

    = x 3= x ( ) { }33= R f D0orte con $ / = 0 y 042 =+ x NoCorta0orte con $%/ = 0 x 94= y ( )940

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    &imetr:a/( ) ( )( ) ( ) =+=

    + x f

    x x

    x

    x x f

    94

    9

    42

    2

    2

    2

    P?@ E' simetr:a $%/ 0= x

    ?s:ntota H$@'I$ J?3/( ) 1= f xlm 1= y?s:ntota K6@J'0?3/( ) += f xlm 3 ( ) = +3 xlm 3= x

    ( ) = f xlm 3 ( ) += + f xlm 3 3= x?s:ntota $B3'0U?/ (rado numerador " grado denominador NoTiene

    Pg.221 9.1( a) Gominio/ 0= x ( ) { }0= R f D 0orte con $ / = 0 y 012 =+ x NoCorta 0orte con $%/ = 0 x = y NoCorta &imetr:a/( ) ( )( ) ( ) x f x

    x x

    x x f +=

    += 11 22

    'MP?@ & ntr" simetr:a( )00

    ?s:ntota H$@'I$ J?3/( ) = xlm NoTiene

    ?s:ntota K6@J'0?3/( ) = 0 xlm 0= x ?s:ntota $B3'0U?/

    x x

    x x 112 +=+ x y =

    )Gominio/ = 01 x 1= x ( ) { }1= R f D 0orte con $ / = 0 y 032 = x x ( )00 ( )03 0orte con $%/ = 0 x 0= y ( )00 &imetr:a/ o e, l:cita +0entro simetr:a( )11 ) ?s:ntota H$@'I$ J?3/( ) = xlm NoTiene ?s:ntota K6@J'0?3/ ( ) = 1 xlm 1= x ?s:ntota $B3'0U?/

    12

    2132

    =

    x x

    x x x 2= x y

    Pg.222 9.11 a)Gominio/( )( ) 012 x x ( ) ( )21= R f D0orte con $ / = 0 y 1= x 2= x ( )01 ( )02

    0orte con $%/ = 0 x 2= y ( 20 &imetr:a/ o e, l:cita +6#e simetr:a23= x ) ?s:ntota H$@'I$ J?3/( ) += xlm NoTiene ?s:ntota K6@J'0?3/( ) ( ) 021 == f f NoTiene

    ?s:ntota $B3'0U?/ ( ) ( )( )[ ] = x x x xlmm :21

    x x

    x21

    1 1

    ( ) ( )( ) ( )[ ] == x x x xlmn 121( )( )

    ( )( ) ( )( )

    ++=

    +

    x x x x

    x x x x x x

    2123

    2121 2

    2

    3

    23= x y 23+= x y Puntos/ = x -A - -2 -1 C 1 2 A 5 !

    = y 54AD A4A 4A! 24A5 14A1 C C 14A1 24A5 4

    )Gominio/ = 011 x 0= x > 01 x 1< x ( ) ( ) ( ]100 = f D

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales 0orte con $ / = 0 y 0= x ( ) f D NoTiene

    0orte con $%/ = 0 x ( ) f D NoTiene &imetr:a/ o e, l:cita ?s:ntota H$@'I$ J?3/ ( ) f D x +

    x + y NoTiene ?s:ntota K6@J'0?3/+ y x NoTiene ?s:ntota $B3'0U?/ ( ) = x x

    x xlmm :11

    0

    NoTiene Puntos/ = x -D -! -A -2 C C45 1

    = y A 4!5 42A 24 2 14 1 1

    Pg.222 9.12 a)Gominio/( ) R f D = 0orte con $ / = 0 y 1= x ( )01 ( )01 0orte con $%/ = 0 x 1= y ( )10

    &imetr:a/( ) ( ) ( ) x f x x f = 3 2

    1 P?@ 6#e simetr:a $%0= x ?s:ntota H$@'I$ J?3/( ) = xlm NoTiene ?s:ntota K6@J'0?3/( ) continua x f = NoTiene ?s:ntota $B3'0U?/ ( ) 0:13 2 = x x xlmm NoTiene Puntos/ = x -A -2 -1 -C4 5 -C45C -C425 C C425 C45C C

    = y 24A 14AA C -C4 ! -C491 -C49D -1 -C49D -C491) Gominio/ = 02 x 2= x ( ) { }2= R f D

    0orte con $ /= 0 y

    x

    NoTiene

    0orte con $%/ = 0 x 3 22 = y ( 3 40 &imetr:a/ o e, l:cita?s:ntota H$@'I$ J?3/ x 0 y 0= y?s:ntota K6@J'0?3/ y 2 x 2= x

    ?s:ntota $B3'0U?/ ( ) 0:2

    23

    = x x

    xlmm NoTiene

    Puntos/ = x -! -A -2 C 1 1425 145C 14 5 2425 245C= y

    -1 -141C -142! -1459 -2 -242C -2.52 - 41 41 245Pg.22 9.13 a) 0ortes articulares de gr*ica con $ /1= x 3= x

    0ortes

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementalesc) M,imo ara 0= x M,imos ara k x 5=

    M:nimo ara 2= x M:nimos ara k x 52 +=M,imos inter7alo/ 20510 k = x { }201510 +++M:nimos inter7alo/ 205210 + k = x { }1712 ++

    Pg.22 9.14 a) ( )1+ x f a ( ) [ ] [ ] =++ x x x x 11 ( ) x f a Per:odo de( ) x f a " 1

    6n [ )10 la gr*ica coincide con x y = = x C C42 C4A C4! C4D 1 = y ( (+2 (+4 (+6 (+8 (

    ) ( ) x f b ( ) xalDe ParteDecim = a ParteEnter Nmero [ ] x x ( ) x f a 3a *unci n su gr*ica$"in$i, n con las es eci*icadas en el a artadoa-

    c) ( ) x f c [ ] [ ] +=+ 11 x x x x ( ) 1+ x f a 3a *unci n es la del a artadoa-

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales O = x - -2 -145 -1 C 1 2 O = f y 27 9 5+2( 3 1 (+33 (+11 (+(4 O = x C425 C45C C4 5 1 2 A 5 O g y = 1+26 (+63 (+26 ( (+63 1 1+26 1+46

    )

    = f y

    2log

    log x

    ( ) ==

    21log

    log x y g

    2log

    log x

    O = x C425 C45C C4 5 1 2 A 5 ! O = f y 2 1 (+42 ( 1 1+58 2 2+32 2+58

    O = x C425 C45C C4 5 1 2 A 5 ! O = g y 2 1 (+42 ( 1 1+58 2 2+32 2+58

    c) = f y x

    32 =

    g y x

    23

    O = x - -2 -1 C 1 2 O = f y 3+37 2+25 1+5( 1 (+67 (+44 (+3( O = x - -2 -1 C 1 2

    O = g y (+3( (+44 (+67 1 1+5( 2+25 3+37

    Pg.225 9.19 x y 22 = xe e y = x y 33 == x -A -2 -1 C C45 1 145 2 =2 y C4C! C425 C45C 1 14A1 24CC 24D A4CC D4CC=e y C4C2 C41A C4 1 14!5 24 2 A4AD 4 9 2C4C9 =3 y (+(1 (+11 (+33 1 1+73 3+(( 5+2( 9+(( 27+((( ) :0. = xTgs = 22'2 N y x 2 N = Nee y xe' 1 = 33'3 N y x 3 N

    312 N N ontalmente4 con *actor 2

    x sen y 21 =

    . Jrasladar 8sta ltima3 unidades hacia derecha ( )322 = x sen yA. ?m liar ordenadas de 8sta4 con *actor ( )3233 = x sen y

    = x C N;! N; N;2 2N; 5N;;! N N;! AN; N;2 5N;=0 y C C45C C4D 1 C4D C45C C -C45C -C4D -1 -C4D=1 y C C4D C4D C -C4D -C4D C C4D C4D C -C4D=2 y -C4D C C4D C4D C -C4D -C4D C C4D C4D C=3 y 2+6( ( 2+6( 2+6( ( 2+6( 2+6( ( 2+6( 2+6( (

    Pg.229 9.21 1. &e tra>a la gr*ica ase ( ) x f x x y = 30 2. &e traslada 8sta4 1 unidad hacia derecha ( ) 1 x f x x x y 23 231 +=

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    . &e di u#a( ) 1 x f x x x y 23 232 += &i ( ) 01 x f 01 y 12 y y &i ( )

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales &igno P$&'J'K$ ( ) ( )+ 101 &igno 6(?J'K$ ( ) ( )101 = x -2 -14 5 -145 -1425 -1 -C45 1 1425 145 14 5 = y - ! -1D42 - 49 -245C C C4DA C 245C 49 1D42

    d) Punto corte $ / = 0 y 0= y ( )00

    Punto corte $%/= 0

    x 0= y

    ( )00

    ?/ Kerticales/ 1= x 1= x $ licua/ x y = ( ) ( )( ) ( ) 112 119 ++ x x x x x f

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales6#e 7ertical/ 5,1= x K8rtice/( )25,25,1 ? ertura hacia $% ositi7o

    3

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales 0orta $ en( )01 ( )03 0orta $% en( )30 6#e 7ertical/ =+= 2

    31 x 1 6#e simetr:a

    1= x 4= y K8rtice/( )41 Puntos/ = x -A - -2 -1 C 1 2 A 5 !

    = y -21 -12 -5 C A C -5 -12 -21

    Pg.2 2 9.27 a) ( ) ( )( ) ( )1122 ++= x x x x x f yPuntos corte $ / = 0 y ( )01 ( )00 ( )01Punto corte $%/= 0 x ( )00?s:ntotas/ NoTiene ( ) = f xlm

    1

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales&igno P$&'J'K$ ( ) ( ) ( )+ 3223&igno 6(?J'K$ ( ) ( )3223

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) += x f x x x x f 144169 246 &imetr:a P?@ 6#e simetr:a " $%

    d) ( ) ( )( )[ ]223 += x x x f y 0> y

    Puntos corte $ / = 0 y ( )03 ( )02 dobles?m os untos con tangente hori>ontal +e#e $ )Punto corte $%/= 0 x ( )360?s:ntotas/ NoTiene ( ) += xlm&igno P$&'J'K$/( )+

    ( ) ( )( )[ ]223 += x x x f ( ) ( ) x f x f 'RniP'Rni()P Jiene' 7ertical de!im tr a / ( ) += 223 x 21= xPuntos/ = x -A - 45 - -245 -2 -145 -1 -C45 C C45 1 1

    = y ! 45! C 54C! 1! 2 45! ! 94C! ! 2 45! 1! 54C! C

    Pg.2 2 9.28 a) ( ) += +120 n xa x P ( ) = P xlm ( ) = x P continuaPor tanto4( ) x P cortar $ 4 al menos una 7e>6s decir4( ) 0= x P tiene4 al menos4 una ra:> realPor e#em lo/ ( ) 13 x x P ( ) = P ( ) = 0 x P 1= x

    ) ( ) += n xa x P 20 ( ) = xlm + ( ) = x P continuaPor tanto4( ) x P uede no cortar $ 4 ni una sola 7e>6s decir4( ) 0= x P uede no tener4 ni una4 ra:> realPor e#em lo/ ( ) + 1

    2

    x x P ( ) += P ( ) = 0 x P imaginario x =Pg.2 2 9.29 a) Hori>ontales/( ) = f xlm 6 6= y

    Kerticales/ &in discontinuidades NoTiene $ licuas/ o cum le condici n grados NoTiene

    ) Hori>ontales/( ) = g xlm NoTieneKerticales/ &in discontinuidades NoTiene$ licuas/ ( )[ ] == x g xlmm : 1 ( )[ ] == x g lmn 1 0 x y =

    c) Hori>ontales/( ) = * xlm 0 0= y

    Kerticales/ =+ 083

    x 2= x$ licuas/ o cum le condici n grados NoTiene d) Hori>ontales/( ) = k xlm 0 0= y

    Kerticales/ =+ 02223 x x x ( )( )( ) 0221 =++ x x x = 1 x Giscontinuidad e7ita le ( ) ( )( )22 += x x

    x xk

    ( = k xlm 2 ( = + k xlm 2 + 2= x( = k xlm 2 ( = + k xlm 2 + 2= x

    $ licuas/ o cum le condici n grados NoTiene

    Pg.2 2 9.3( ( ) ( )( ) += 122

    x x x

    x f y ( ) { }12= R f D0orte $ / = 0 y 0= x ( )00

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    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales Puntos/ = x -D -! -A - A ! D

    = y 4A2 542C 24!5 C C 24!5 542C 4A2

    Pg.2 9.33 a) + 02 x 2 x 0 x ( ) [ ) ( )+= 002 f D ) Para ue la *unci n e,ista4 sea real/ + 06 x 6 x

    Para ue la *unci n est8 de*inida/ 2 x %4 como la ra:> c ica no limita dominio4 ser/ ( ) [ ) ( )+= 226 f D c) 3a e,istencia real re uiere/ 012 x ( ] [ )+= 11 x

    % la de*inici n e,ige/3 x ( ) ( ) ( ] [ )+= 1133 f D d) umerador ositi7o4 denominador nulo si1= x ( ) { }1= R f D

    Pg.2 9.34 a)( ) 01 + x x 0 x ( ) ( ) ( )+= 01 f D?. Hori>ontales/ x 1 y 1= y ?. Kerticales/ 0 x y 1= x y

    ( ) NoDefinido xlm = 0 ( ) +=

    +0 xlm

    +

    = 0 x( ) 01 = xlm ( ) NoDefinido xlm = +1 = 1 x No'sntota?. $ licuas/ o cum le condici n grado NoTiene

    ) ( ) 013 + x x 0 x ( ) ( ] ( )+= 01 f D?. Hori>ontal/ x y NoTiene?. Kertical/( ) NoDefinido f xlm = 0 ( ) += + f xlm 0 += 0 x?. $ licua/ ( )[ ] = x f xlmm : +3

    3 1 x

    x1

    ( )[ ] = mx f xlmn ++

    +

    x x

    x

    x x

    x

    1

    1

    3

    23

    0 x y =

    Pg.2 9.35 ( )( ) 0241

    + x

    x x 2 x ( ) [ ) [ )+= 421 f D 0orte $ / = 0 y 1= x 4= x ( )01 ( )04 0orte $%/ = 0 x 2= y 20 &imetr:as/( ) ( ) ( ) x f x f x f NoTiene

    ?. Kerticales/( ) = 2 xlm

    +

    = 2 x

    ?. Hori>ontales/( ) =+ f xlm + NoTiene ?. $ licuas/ ( )[ ] = x f xlmm : ( )( )( )

    +2241

    x x x x

    0

    NoTiene Puntos/ = x -1 -C45 C C45 1 145 2 A 5 !

    = y C C495 14A1 14D 24A5 45A C 14A1 14D 2419

    Pg.2 9.36 a) ( ) = e x x f 2log5 ( ) xee 2log5 ( ) R f D =

    ) > 042

    x x ( )( ) 022 >+ x x x 0 x ( ) ( ) ( )+= 202 f D

    Pg.2 9.37 ( )( ) + 44log 2 x x f ( )( ) >+ 044 x x ( ) ( ) ( )= 44 f D15;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    16/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales x g 6log 2 > 06 x > 0 x ( ) ( )+= 0 g D Puntos corte/ = g f ( ) = x x 6log16log 222 = x x 6162 8= x 2= x = 2 x o ertenece al dominio 3as *unciones no estn de*inidas 8= x ( ) = 168log 22 f y 48log 2= f y ( ) = 86log 2 g y 48log 2= g y

    ( ) = 32log 42 y += 3log2log4 22 y 3log4 g y +=

    Punto corte/ ( )3log48

    2+

    ( )58,18

    Pg.2 9.38 0orte $ / = 0 y ( ) = 01 xe x = 01 x 1= x ( )01 0orte $%/ = 0 x ( ) = 0 f y ( ) = 001 e y 1= y ( )10 > 0 xe &igno( ) x f &igno( ) x1 1 x ( ) = x f

    ( ) = P!S(T(+! x f ( )1 ( ) = NE,'T(+! x f ( )+1

    ( ) f xlm xe x1

    xe

    x x

    11

    100

    ( ) + f xlm ( )( ) + Puntos/ = x -5 -A - -2 -1 -C45 C C45 1 145 2 24

    = y C4CA C4C9 C42C C4A1 C4 A C491 1 C4D2 C -24

    Pg.2 9.39

    ( )

    +

    3

    48log

    2 x

    x x f

    >

    +

    03

    48

    x

    x

    = 048 x

    2

    1= x

    =+ 03 x 3= x

    21 x 3 x 03

    4821

    3 ontales/ NoTiene

    ?. Kerticales/ + 0 x ( ) x f lm . ( ) =0 N 0= x 2 x ( ) x f lm . ( ) += N 2= x ) ?. Hori>ontales/ + x ( ) += x f lm .

    x ( ) 0. = x f lm 0= y ?. Kerticales/ NoTiene

    Pg.2 9.41 01 > x x 0 x 1 x ( ) ( ) ( )+= 110 f D

    0orte $ / = 0 y = 11 x x NoPosible x x = 1

    = x x 1 21= x ( )021 0orte $%/ NoTiene210

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    17/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales1> x ( ) 0> x f y Positi$o ( ) ( )+= 1121 Positi$o ( )210= Negati$o

    ?. Hori>ontales/+ x ( ) ( ) 1. x x x f lm 1 N 0 0= y ?. Kerticales/ + 0 x ( ) ( ) + x x x f lm 1. 0= x 1 x ( ) ( ) x x N x f lm 1. + +1 x ( ) x f lm . ( ) +1 x x 1= x

    Pg.2 9.42 a) Gominio/( ) R f D = @ecorrido/[ ]11 Per:odo/( ) 23 x ( ) x 32 0orte $ / = 0 y k x =3 3 k x =

    ( ) 343230

    0orte $%/ = 0 x 0= y M,imos/ ( ) =13 x sen k x 223 +=

    ( ) 614 += k x )69656( M:nimos/( ) = 13 x sen k x 2233 += ( ) 634 += k x ( ) 672 Ms Puntos/= x N;2A N;12 N;D 5N;2A N;A N;2A N;D 5N;

    = y C4 D C4 1 C492 C492 C4 1 C4 D -C4 D -C ) Gominio/( ) R f D = @ecorrido/[ ]55 Per:odo/( ) = 2 x ( ) 2= x 0orte $ / = 0 y += k x 2 ( ) 212 += k x

    ( ) 25232 0orte $%/ = 0 x 1= y M,imos/ ( ) == 1cos5 x y k x 2= ( ) 420 M:nimos/ ( ) == 1cos5 x y k x 2+=

    ( ) 12 += k x ( ) 53

    Ms untos/ = x

    N;D N;A N;D 5N;D N;A N;D 9N;D 5N;A 11= y A4!2 45A 1491 -1491 - 45A -A4!2 -A4!2 - 45A c) ( ) = xctg 2 ( ) = k x2 Per:odo/( ) 2 = x Gominio/( ) { }2 k R f D = ( ) - k @ecorrido/ R

    0orte $ / = 0 y += k x 22 ( ) 412 += k x ( ) 4745434

    0orte $%/ = 0 x = y NoTiene M,imos ; M:nimos +relati7os)/ NoTiene Ms untos/= x N;1! N;D N;1! 5N;1! N;D N;1!

    9N;1! 5N;D 11N;1! = y 24A1 1 C4A1 -C4A1 -1 -24A1 24A1 1

    d) Gominio/( ) R f D = @ecorrido/ 32 [ ]51 Per:odo/( ) = 24 x 8= x 0orte $ / = 0 y ( ) 324cos = x

    r k x 2,98 ( )37,08 k x ( ) 96,1004,593,2

    0orte $%/ = 0 x ( ) += 132 y 5= y M,imos/ ( ) =14cos x = k x 24 k x 8=

    ( ) 241680 M:nimos/( ) = 14cos x ( ) += 124 k x ( ) 412 += k x ( ) 20124 Ms untos/= x N 2N N AN 5N !N N

    = y A412 2 -C412 -1 -C412 2 A4121 ;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    18/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales

    e) ( ) + 2122 k x ( ) 12 + k x Gominio/( ) ( ){ } 12 += k R f D @ecorrido/ R Per:odo/( ) = 2 x 2= x 0orte $ / = 0 y = k x 2 k x 2= ( ) 6420 0orte $%/ = 0 x 0= y ?. Kerticales/ ( ) += 2122 k x ( ) 12 += k x ( ) 53 Ms untos/= x N;A N;2 N;A 5N;A N;2 N;A

    = y C4A1 1 24A1 -24A1 -1 -C4A1 *) ( ) + 212 k x Gominio/( ) ( ){ }212 += k R f D

    2 y 2 y @ecorrido/( )22 R Per:odo/ 2= x

    0orte $ / = 0 y NoTiene 0orte $%/ = 0 x = 0sec2 y 2= y ?. Kerticales/ y ( ) 212 += k x

    ( ) 25232 M,imos relati7os/ = 2 y ( ) 12 += k x ( ) 753 M:nimos relati7os/= 2 y k x 2= ( ) 6420 Ms untos/= x N;D N;A N;D 5N;D N;A N;D 9N;D 5N;

    = y 241! 24D C4 -C4 -24D -241! -241! -24D

    Pg.2 9.43 a) ( ) =21 f 6

    ) ( ) =7 sen f 7

    c) ( ) =4 tg g 4 d) ( ) =419 tg f 419 4

    Pg.2 9.44 a) = 0 x ( ) 1100cos00 =+=+== sen f y ( )10 = 0 y =+ 0cos x senx = 1tgx

    k x +=

    43

    + 0

    43

    k

    ) = 0 x ( ) === 0000 sen sen g y 0= y ( )00 = 0 y = 0cos2 x senx senx ( ) = 0cos21 senx x

    = 0cos21 x = 21

    cos x 32

    = k x

    0

    32

    k

    = 0 senx k x = ( )0 k c) = 0 x ( ) ( ) 110cos0 ==== sen* y ( )10 = 0 y =+ 0cos x senx = 1tgx

    k x +=

    4

    + 04

    k

    Pg.2 9.45 a) ( ) ( ) =+= 24 x sen x f

    +=

    +=

    +

    2224

    x f x sen x sen 2

    =T

    ) ( ) ( ) =++= 25cos x x f

    +=+

    +

    52

    52

    5cos

    x f x 5

    2 =T

    1D;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    19/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales

    c) ( ) =

    += 8 x

    tg x f =+88 x

    tg ( ) 8+ x f 8=T

    d) ( ) ( ) =+= xctg x f 2 =

    +

    22

    xctg

    +

    2

    x f 2

    =T

    e) ( ) ( ) ( )[ ] =++= 222 xtg x sen x f ( ) 2+ x f 2=T *) ( ) ( ) ( )[ ] =++= 222cos2cos x x x f ( ) ( )[ ] =++ 22cos2cos x x

    = ( ) 2+ x f 2=T

    Pg.2 9.46 ( ) ( )== 22cos1 x

    x f ( )=+

    222cos1 x =+

    2222 x sen ( ) =+ x sen 2 ( ) + x f

    Per:odo/ =T

    Pg.2 9.47 a)( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ==+=+ x g f x g f x g f 22 ( )( ) x g f 2=T V r,a, ra ) ( ) = xe sen f g ( )( ) =0 f g ( )1 sen ( )( ) = 2 f g ( ) 2e sen ( )1 sen a/!a c)( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ==+=+ x* f x* f x* f ( )( ) x* f =T V r,a, ra d)( )( ) ( ) ( )10

    0

    tg etg f * == ( ) ( ) ( )

    etg f * = ( )1tg a/!a e)( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ==+=+ x* g x* g x* g ( )( ) x* g =T V r,a, ra *)( )( ) ( )[ ] x f f x f f = ( ) = a NoPeri.dic x f ( )[ ] a No%eri.dic x f f = a/!a

    Pg.2 9.48 ( ) x F += 862 x x y ( ) 231 =+ x y Par ola/ a ierta sentido $%6#e/ 3= x K8rtice/( )13 0ortes $ /( )02 ( )04 0orte $%/( )80Puntos / = x -1 C C45 1 145 2 245 45 A A45 5 545

    = y 15 D 5425 1425 C -C4 5 -1 -C4 5 C 1425 542a) =+ 32 x x ya ( ) 6 x F ) =+ 1062 x x yb ( ) 2+ x F

    ra!/a,ar ( ) x F 5 a a#o ra!/a,ar ( ) x F 2 arri a

    c) ( ) ( ) 8161 2 + x x yc " ( )1 x F d) ( ) ( ) 8262 2 +++ x x yd " ( )2+ x F

    ra!/a,ar ( ) x F

    1 derecha ra!/a,ar ( ) x F

    2 i> uierda

    e) =+ 16122 2 x x ye ( ) x F 2 *) =+ 4322 x x y f

    i/atar 7erticalmente4 *actor2 &"mprimir 7erticalmente4 *actor219;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    20/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales

    g) =+ 8189 2 x x y g ( ) x F 3 h) =+ 862 x x y * ( ) x F i/atar hori>ontalmente4 *actor3 S%!tit%ir 0< y con!im tr a ; $

    i) =+ 862 x x y i ( ) x F S%!tit%ir 0< x con!im tr a ; $%&e su rimen las imgenes de( ) x F ara 0< x&e mantienen los untos de( ) x F ara 0= x&e conser7an las imgenes de( ) x F ara 0> x% se introducen las sim8tricas de 8stas ; $%

    Pg.2 9.49 ( ) %ar&bola x f += 562 x x y ( ) = 43 2 x y ( ) 234 =+ x y

    6#e +e#e de simetr:a)/3= x K8rtice/( )43

    ra!/a$i n e#e $%43 unidades hacia lai %i r,a ( ) ( )3+= x f x g ( ) +3 x f ( ) ( ) +++ 5363 2 x x ( ) 42 = x x g

    Pg.2 9.5( = x - -2 -1 -C45 -C425 C C425 C45C C4 5 1 145 2 245 ( ) x f C41 C425 C45C C4 1 C4DA 1 1.19 14A1 14!D 2 24D2 A 54!! D

    a) 32 = x y Jrasladar ( ) x f hacia derecha) 22 += x y Jrasladar ( ) x f 2 hacia arri ac) 12 = x y Jrasladar ( ) x f 1 hacia a a#od) 12 += x y Jrasladar ( ) x f 1 hacia i> uierdae) 32 += xe y Jrasladar ( ) x f

    2 hacia derecha hacia arri a*) 22 1 = x y Jrasladar ( ) x f 1 hacia i> uierda 2 hacia a a#o

    Pg.2 A 9.51 ( ) x f 322 = x x y =+ 31122 x x y ( ) 41 2 x ( ) x f ( ) 2 x y x F = Puntos/( )164 ( )93 ( )42 ( )11 ( )00

    Gi u#o de( ) x f ra!/a,ar ( ) x F 4 hacia a a#o 1 hacia derecha.

    2C;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    21/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales

    a) = 2142 x x ya ( ) 252 2 x Jrasladar ( ) x F 25 hacia a a#o 2 a derecha

    ) = x x yb 62

    ( ) 93 2 x Jrasladar ( ) x F 9 hacia a a#o a derecha

    c) = 1282 x x yc ( ) 44 2 + x Gi u#ar ( ) x F ' !im0tri$a de ( ) x F res ecto $

    Jrasladar ( ) x F ' A hacia arri a A a i> uierdad) += 452 x x yd ( ) 4925

    2 x Jrasladar ( ) x F 49 hacia a a#o 2

    5 a derecha

    Pg.2 A 9.52 ( ) x f senx y = Puntos/ 38,08

    71,04

    92,0

    83

    12

    92,0

    85

    a) 2+= senx ya Jrasladar( ) x f 2 hacia arri a) 2= senx yb Jrasladar( ) x f 2 hacia a a#oc) ( )2+= x sen yc Jrasladar( ) x f 2 hacia i> uierdad) ( )2= x sen yd Jrasladar( ) x f 2 hacia derechae) senx y e = &im8trico de( ) x f res ecto $

    *)( ) x sen y f =

    &im8trico de( ) x f

    res ecto $g) senx y g = 6n ( ) x f 4 sustituir 0< y or sim8tricas res ecto $h) x sen y* = 6n ( ) x f 4 sustituir0< x or sim8trico 0> x res ecto $%i) senx yi = 2 Gilatar ( ) x f 7erticalmente4 con *actor 2 #) ( ) x sen y / 2= Gilatar ( ) x f hori>ontalmente4 con *actor 2

    Pg.2 A 9.53 ( ) x g x y cos= Puntos/( )10

    92,08

    71,04

    38,0

    83

    02

    21;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    22/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales1. Gi u#ar( ) x g 2. Gilatar hori>ontal4 *actor 2 ( ) x g 23. Jrasladar hori>ontal4 N;2 derecha ( )22 x g 4. &imetr:a res ecto $ ( )22 x g 5. Ges la>ar hori>ontal4 A derecha ( ) 422 + x g 6. @esultado *inal/ ( )22cos4 = x y

    Pg.2 A 9.54 a) Jrasladar ( ) x f 4 2 hacia i> uierda ( )2+ x f 3a as:ntota hori>ontal no 7ar:a. 3as 7erticales se des la>an.

    = 0 y 0= y = 0 x 2= x = 2 x 0= x

    ) &imetr:a de ( ) x f 4 res ecto $ ( ) x f 3as ontalmente4 *actor A

    ( ) x f 4

    3a hori>ontal no 7ar:a. 3as 7erticales se com rimen= 0 y 0= y = 0 x 0= x = 2 x 5,0= x

    d) &imetr:a de ( ) x f res ecto $% traslaci n 7ertical 5 arri a ( ) 5+ x f 3a hori>ontal se traslada. 3as 7erticales sin traslado4 ero con sim

    = 0 y 5= y = 0 x 0= x = 2 x 2= x

    Pg.2 A 9.55

    a)S

    4 or ue 2543

    0

    1 =C

    C

    4375

    1

    2 =C

    C

    75130

    2

    3 =

    C

    C

    130226

    3

    4 =C

    C

    226391

    4

    5 =C

    C

    ) ratio 0 45 C 0 C = 34 C 0 C = 23 C 0 C = 12 C 0 C =

    = 505 0 C C == 550

    5

    25

    391

    C C

    0 73,1 nn 0 C C = 0 t t C 73,125 =

    c) Po laci n a los( )meses x x x C C 73,10 = Po laci n a los[ ]( ) + mesest x t xt x C C ++ = 73,10

    =+ xt x C C 2 = t

    73,12 = 5481,06931,0

    73,12

    N N

    t ( )meses26,1

    d) = x73,1251000 = x73,140 = 2380,06021,1

    73,1log40log

    x ( )meses73,6

    e) &aturaci n " Kentas 0a acidad "( ) ( )200050030 + "17000

    = t 73,12517000 =73,1

    2517000 N

    N N t

    5481,0

    2189,37410,9

    ( )meses90.11

    22;25

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    23/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales

    Pg.2 A 9.56 a) ( ) ( ) == 32419541C ( )C 5

    ) ( ) ( ) =+= 32359

    3 F ( ) F 6,26

    c) ( )3295 = F C 032 == C F ( )032

    = 0 F 9160

    =C ( )8,170

    d) 3259 += C F 320 == F C ( )320

    = 0 F 9

    160=C ( )08,17

    e) 6n el sistema( )1 " se asume F " C 1 ara ( )3295 = F C

    6sta rimera *unci n es la recta in*erior3a segunda de las *unciones es la recta su erior3as *unciones de re*erencia son

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    24/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales

    Pg.2 5 9.6( a) altura '2 3)Q 4 32' " seme/antes 31

    2310

    210 == 2' 32

    )Q 3)

    3= 3) )Q 3 x )Q = = x 3C )N 2 x )N 210 =( ) ( ) = 3210 x x )NPQ&rea y ( ) x x y 532 =

    Par ola/ e#e 7erticalQ a ierta hacia a a#oQ+4RT(CE )5"()' y y

    K8rtice/2

    5= x Rrea/ =

    =2

    55

    2

    532 y

    2

    325 65,21

    ) 6l rectngulo de rea m,ima mide/ )Q )N ( ) ( )2355

    Pg.2 5 9.61 a) ( ) cbxax x P ++ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x P c xb xa x P =++++=+ 111 2( ) =++= cba P 000 2 c ( ) ( ) =+= 101 P P =++ cba 112 cba ++( ) ( ) ( ) ==== 210 P P P c = C!NST'NTE ( ) ( )0 P c x P =

    ) ( ) cbxax x P ++ 2 +I) &imetr:a P?@ " s lo otencias ares ( ) cax x P += 2

    +II) ( ) ( ) ( ) c xb xa x P ++ 222 2

    " ( ) ( )cbxax x P ++= 2

    22 ( ) ( ) ( ) =++ 0222242 cc xbb xaa x 02 2 =cax&i esta relaci n se cum le4 ara cual uier x 4 de e ser 0=a 0=b6l olinomio se reduce a ( ) bx x P =

    Pg.2 5 9.62 a) 0on*orme indica la gr*ica/ ( ) 41 = P

    ) Producto ra:ces olinomio J8rmino inde endiente ( )0 P ( ) 50 = P

    c) @a:ces reales re resentadas5,1 4 Producto ra:ces reales " 645,1 =

    Productos de ra:ces "5 Ge reales "6 Ge no reales "65

    d) &uma coe*icientes ( )1 P Ge la gr*ica se o tiene/( ) 21 = P

    e) &uma ra:ces reales4 re resentadas/5,545,1 =+

    *) ( ) ( ) = 2510 P P ( ) ( ) 1010 = P P

    g) ( ) ( ) +=+ 2510 P P ( ) ( ) 710 =+ P P

    6lm n"r n mero4 de todos los es eci*icados4 es = 010 f &iem re

  • 8/11/2019 Unidad 9 - Funciones Elementales

    25/25

    1 Bachillerato - Matemticas - Unidad 9 Funciones elementales( ) ( ) =+=+ 20cosh x xlm +( ) ( ) =+= 20cosh x xlm +

    S n: . 0orte $ / = 0 y = 0 x x ee 0= x ( )000orte $%/ = 0 x ( ) = 211 y 0= y ( )00&igno/ =1 x ( ) 0211 >== ee sen* y = 1 x ( ) 021