Funciones elementales

En este capítulo repasamos las funciones elementales: polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas. Utilizaremos la representación gráfica de estas funciones para recordar los aspectos más relevantes de las mismas: dominio, recorrido, continuidad, diferenciabilidad, asíntotas…

1

Representación gráfica de la gráfica de la inversa de una función biyectiva

Existe una relación muy interesante entre la gráfica de una función biyectiva y la gráfica de su función inversa (que sabemos existe). Cada gráfica es la imagen especular de la otra: la recta y = x desempeña el papel de espejo.

(x,f(x))

(f(x),x)

En lugar de dar una definición formal, vamos a fijarnos en la figura adjunta. Como se sabe, la gráfica de la función f consta de puntos de la forma (x, f(x)). Puesto que f−1 tiene el valor x en f(x), la gráfica de f−1 está constituida por puntos de la forma (f(x), x). Tales puntos, (x, f(x)) y (f(x), x) son vértices opuestos del cuadrado sombreado.

2

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

Respecto del eje vertical:

NO

SÍ

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

Respecto del eje vertical:

NO

SÍ

3

3

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

Respecto del origen de coordenadas:

NO

SÍ

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

Respecto del origen de coordenadas:

NO

SÍ

4

4

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Asíntota horizontal:

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Asíntota horizontal:(0,1)

5

5

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Asíntota vertical:

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Asíntota vertical:(1,0)

6

6

f(x) = sinx Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Respecto del origen de coordenadas:

Periodicidad:Periódica de período 2π

f(x) = sinx ! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Respecto del origen de coordenadas:

(!/2,1)

(!,0)

! Periodicidad:

Periódica de período 2!(3!/2,"1)

(2!,0)

7

7

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Respecto del eje vertical:

Periodicidad:Periódica de período 2π

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

SÍ

NO

Respecto del eje vertical:

! Periodicidad:

Periódica de período 2!

(!/2,0)

(3!/2,0)

(!,1) (2!,1)

8

8

f(x) = tanx

Dominio:

Recorrido: Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

Continua en su dominio.

Diferenciable en su dominio

Respecto del origen de coordenadas:

SÍAsíntotas verticales:

Periodicidad:Periódica de período π

En los puntos

presenta discontinuidades infinitas

f(x) = tanx

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

Continua en su dominio.

Diferenciable en su dominio

Respecto del origen de coordenadas:

SÍAsíntotas verticales:

! Periodicidad:Periódica de período !

En los puntos

presenta discontinuidades infinitas

(!/2,0) (3!/2,0)(-!/2,0)(-3!/2,0)

9

9

f(x) = arcsinx

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

NO

Respecto del origen de coordenadas:

Diferenciable en

f(x) = arcsinx

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

NO

Respecto del origen de coordenadas:

(1,0)

(!1,0)

(0,"/2)

(0,! "/2)

Diferenciable en

10

10

f(x) = arccos x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad:

Simetría:

Asíntotas:

SÍ

SÍ

NO

Respecto al punto (0, π/2)

(1,0)(−1,0)

Diferenciable en

f(x) = arccos x

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

! Asíntotas:

SÍ

SÍ

NO

Respecto al punto (0, !/2)

(1,0)("1,0)

(0,!/2)Diferenciable en

(0,!)

11

11

f(x) = arctanx

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Diferenciabilidad: Simetría:

SÍ

SÍSÍ

Asíntotas: SÍAsíntotas horizontales:

f(x) = arctanx

! Dominio:

! Recorrido:

! Continuidad:

! Diferenciabilidad:

! Simetría:

SÍ

SÍ

SÍ

! Asíntotas: SÍ

Asíntotas horizontales:

(0,! "/2)

(0,"/2)

12

12