Funciones Elementales (15-16)

7/25/2019 Funciones Elementales (15-16)

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FUNCIONES ELEMENTALESBSICAS

Las funciones elementales bsicas o simplesson:

F. potencial: F. exponencial: F. logartmicas

F. trigonomtricas y sus inversas

La mayor parte de las funciones con las que trabajaremos a lo largo del curso se construyen a

partir de estas funciones elementales bsicas. Conocer estas funciones y manejarlas con soltura

es primordial para seguir con xito el curso.

Funcin Potencial

Una funcin potenciales una funcin de la forma:

, fijo)en donde el exponente nes un nmero real fijo.

El dominio, las caractersticas y la forma de la grfica de una funcin potencial dependen

mucho de cul sea el exponente. A continuacin se presentan los casos ms relevantes:


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2 Funciones elementales bsicas

Funcin potencial con exponente entero positivo

Si

n par 2 4 6, , , f x x x x

n impar 3 5 7, , , f x x x x

Funcin potencial con exponente entero negativo

Si

n par

2 4 6

1 1 1, , , f x

x x x

n impar

3 5

1 1 1, , , f x

x x x

x

x

x

y

x

y


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Funciones elementales bsicas 3

Funcin potencial con exponente fraccionario positivo

Races de orden par : Si q

p Races de orden impar : Si qp

1

21

;2

n f x x x

1

3 31

;3

n x x xf

2

3 3 22

;3

n x xf x

Se supone que la fraccinq

p

es una fraccin irreducible, es decir, . Las grficas pueden tener otras formas que aqu no se muestran. Aqu damos las ms usadas.

Nota:

Un error comn al trabajar con races de cuadradas, y en general con cualquier raz de orden

par, es pensar que la notacin engloba tanto a la raz cuadrada positiva como a la razcuadrada negativa del nmero x, es decir, muchas veces se piensa que lo cual esfalso. Escribir es exactamente lo mismo que escribir , es decir, .

x

y

x

x

y


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Funcin potencial con exponente fraccionario negativo

Races de orden par : Si q

p Races de orden impar : Si qp

1

21

;2

1 n f x x

x

3

1

31

;1

3

n x xx

f

2

3

3 2

2;

3

1 n f x x

x

Se supone que la fraccinq

p

es una fraccin irreducible, es decir, . Las grficas pueden tener otras formas que aqu no se muestran. Slo mostramos las ms usuales.

Propiedades de exponentes y radicales

Si , entonces:

Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre y cuando . En este caso,no hay ningn problema al aplicarlas. Sin embargo, muchas de ellas se pueden emplear cuando

alguno de los valores es negativo y es aqu, sobre todo en la propiedades relacionadas con los

radicales, cuando surgen los problemas y hay que tener mucha precaucin a la hora de usarlas.Veamos algn ejemplo:

x

y

x

y

x


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Ejemplo 1:

Si nes impar la propiedad se puede aplicar cualquier valor de xy dey. Esdecir,

si nes impar Por ejemplo, .Sin embargo, cuando la raz es de orden par, el escribir la raz de un producto como el producto

de las races puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos. Si tomamos , se cumple que ?Todo lo comentado aqu tambin es vlido para la propiedad

n

nn

x x

y y

.

Ejemplo 2:

Otra propiedad con la que hay que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores negativos es .De nuevo, si nes impar (el valor de mes indiferente) la propiedad tiene carcter general para

cualquier valor real dex.

El problema vuelve a surgir cuando el valor de nes par. Siempre que aparece la expresin solemos simplificarla empleando la propiedad anterior ( ) y concluimos que ,sea cul sea el valor dex.

Sixes positivo, la propiedad est correctamente aplicada.

Pensemos un poco: Tiene sentido la expresin cuando x es un nmeronegativo?

Si sustituimos, por ejemplo, x por (7) la expresin quedara como

,

expresin que no tiene sentido porque un nmero positivo, (recordemos que hemosconvenido que ), nunca puede ser igual a un nmero negativo1.Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad correcta

que dice:

1 No hay que confundir lo aqu explicado con el hecho de que las soluciones de la ecuacin .


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Las funciones potenciales aparecen con frecuencia en biologa. Muchas veces, al estudiar dos

variables conjuntamente se deduce que una de ellas es proporcional a una potencia de la otra, es

decir, sixeyrepresentan dichas variables:

o, alternativamente:

donde k es una constante de proporcionalidad. En particular, la alometra trata de cuantificar

relaciones entre distintas medidas de un organismo, fundamentalmente con la masa de ste,

basndose en ecuaciones del tipo anterior. Por ejemplo, para mamferos uterinos se han

desarrollado modelos que permiten relacionar variables como la tasa de consumo de oxgeno

TCO(en mililitros por minuto), la frecuencia respiratoriaFR(en ciclos por minuto) y el peso de

los pulmonesPpulm(en gramos) con la masaM(en kilogramos) del animal. En la siguiente tabla

se muestran dichas ecuaciones2:

Variable dependiente Variable independiente Ecuacin

Tasa de consumo de oxgeno

Masa

Peso de los pulmones

Masa

Frecuencia respiratoria

Masa

Reflexiona: Qu significado tiene el hecho de que el exponente de la funcin potencial sea

mayor que 1, igual a 1, comprendido entre 0 y 1 menor que 0?

2 stas y muchas ms ecuaciones alomtricas se pueden encontrar en la pginahttp://www.um.es/fisfar/efalom.pdf
http://www.um.es/fisfar/efalom.pdfhttp://www.um.es/fisfar/efalom.pdfhttp://www.um.es/fisfar/efalom.pdfhttp://www.um.es/fisfar/efalom.pdf


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Funcin Exponencial

Para cualquier constante , se define la funcin exponencial de base bcomo la funcin:

La funcin exponencial por excelencia es aquella que tiene como base al nmero ede Euler o

constante de Neper ( ), es decir, . A dicha funcin ladenominaremos funcin exponencial natural o simplemente funcin exponencial.

Cuando el exponente de la funcin exponencial es complicado suele ser cmodo emplear la

notacin

Por ejemplo, en vez de escribir se puede escribir, con mayor claridad

es decir: Ntese que en una funcin exponencial la base bes fija y es el exponente quien es variable.

El dominio de cualquier funcin exponencial es y, salvo para , que es una funcinconstante, la forma de su grfica depende de que el valor de b sea mayor o menor que 1. A

continuacin se muestran ambas posibilidades:


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Funcin exponencial

Funcin estrictamente decreciente

Funcin estrictamente creciente

En la siguiente figura se observa que, si la base , el crecimiento de la funcin exponenciales ms rpido al aumentar el valor de b.

Funciones exponenciales para distintos valores de b( )La funcin exponencial permite modelar matemticamente diferentes comportamientos

poblacionales, magnitudes fsicas, fenmenos medioambientales,... Veamos un ejemplo:

Ejemplo:

Algunas bacterias se reproducen muy rpidamente. Supongamos una poblacin inicial de 100

bacterias que se duplica cada hora. Sea el nmero de bacterias en la poblacin en la hora t.Puesto que la poblacin se duplica cada hora, es fcil ver que:

x

y

1

x

y

1

xey

xy 4

xy 6


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Siguiendo la misma pauta, podemos calcular el nmero de individuos en la poblacin

transcurrido cualquier nmero de horas. El nmero de bacterias en funcin del tiempo admite

como modelo la funcin:

(bacterias en la hora t)

Ahora podemos calcular el nmero de bacterias en la poblacin transcurrido cualquier periodo

de tiempo: media hora, tres cuartos de hora, o en el instante 3,1 horas:

Hemos obtenido una funcin que permite calcular el nmero de bacterias en la poblacin encualquier instante .Advertencia:

No debe confundirse la funcin exponencial con la funcin potencial.

Funcin potencial : base var iable, exponente fi jo. Funcin exponencial

: base fi ja, exponente variable.

Aunque las reglas de los exponentes se apliquen a ambas son funciones con propiedades

diferentes. Un error bastante frecuente es derivar una funcin exponencial como si de una

funcin potencial se tratara.

FuncinDerivada

Correcto Incorrecto

Potencial Exponencial

Cada hora que pasa la poblacin se duplica


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En el siguiente grfico se compara la grfica de una funcin potencial con una exponencial. Para

valores dexlo suficientemente grandes las funciones exponenciales (con ) crecen muchoms rpidamente que las potenciales (con ).

En el intervalo , las funciones exponenciales ( ) crecenmucho ms rpidamente que las funciones potenciales ( )

Funcin Logartmica

Sea . Para cualquier valor positivoxse define el logaritmo en base bde xcomo elexponente al que debe elevarse b para obtener el nmero x. Al logaritmo en base b de x lo

denotaremos como logbx. Por lo tanto:

Por ejemplo:

Se denomina funcinlogartmica de base ba la funcin que a cada valor positivo de xle hace

corresponder el valor de , es decir tal que:

Por lo tanto, .

y

x

xby

nxy


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Reflexiona: Por qu el dominio de un logaritmo ha de ser ? Por qu no se puedencalcular logaritmos con base negativa?

Al igual que con la funcin exponencial, el logaritmo ms empleado es el de base e. A ste se le

denomina logaritmo natural o neperianoy se le denota usualmente por ln (x), es decir

Cuando la base del logaritmo es 10, hablamos de logaritmos decimalesy nos referiremos a

ellos como .3Basndonos en la definicin es fcil ver que:

Por lo tanto, como observamos en los siguientes diagramas, las funciones exponencial y

logartmica de base bson funciones inversas, puesto que al componerlas en cualquier orden se

obtiene la funcin identidad.

3 Existe algo de confusin en cuanto a la notacin empleada para los logaritmos. En algunos manuales la notacin (sinespecificar la base) se reserva para los logaritmos neperianos aunque lo habitual es reservar esta notacin para los logaritmosdecimales.

( ) log ( )b

f x x ( ) xg x b

( )g f x x

x log ( )b

x logb xb x

( ) log ( )b

f x x ( ) xg x b

( )g f x x

x xb log ( )xb b x


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Podemos repetir lo mismo para exponenciales naturales y logaritmos neperianos:

y de nuevo obtenemos que la funcin exponencial y el logaritmo neperiano son funciones

inversas.

Por lo tanto, al ser las funciones exponencial y logartmica de base bfunciones inversas, sus

grficas son simtricas respecto de la recta y x :

Grficas de las funciones exponencial y logartmica de base b con 1b

x

y

1

1

xyb

log

x

by

b

b

( ) ln( )f x x ( ) xg x e

( )g f x x

x xe ln( )xe x

( ) xg x e

( )g f x x

x ln( )x ln( )xe x

( ) ln( )f x x


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Reflexiona:

Si , cmo son los valores de si ? Y si ? Cmo ser lagrfica de una funcin logartmica de base b en donde ??

Propiedades de los logaritmos

Si y r es cualquier nmero real:

Reflexiona: Son ciertas las propiedades anteriores para cualquier par de nmeros realesxey?

Originariamente los logaritmos se empleaban para trabajar con grandes nmeros

teniendo la ventaja detransformar productos y cocientes en sumas y restas, respectivamente. Actualmente loslogaritmos se usan en ingeniera y en ciencias para evitar manejar cifras largas y complejas (y

cuyos valores varan en un rango excesivamente grande o pequeo). Los logaritmos intervienen

en la definicin de pH. El pH indica la concentracin de iones hidronio [H 3O+] presentes en un

medio material (mezclas, disoluciones, etc.). Esta concentracin es "muy variable", pudiendo

tomar valores comprendidos entre 101 y 1014M, aproximadamente, cuando nos referimos a

disoluciones en agua. As, en vez de trabajar directamente con la concentracin de iones

hidronio es ms cmodo usar su logaritmo decimal. Entonces, el pH se define como:

En la siguiente tabla se muestran los valores de la concentracin y el correspondiente valor del

pH:


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0,1 101 1

0,01 102 20,001 103 3

0,000 1 104 40,000 01 105 5

0,000 001

106

60,000 000 1 107 70,000 000 01 108 80,000 000 001 109 9

0,000 000 000 1 1010 100,000 000 000 01 1011 110,000 000 000 001 1012 12

0,000 000 000 000 1 1013 130,000 000 000 000 01 1014 14

Concentracin de iones hidronio y su correspondiente pH.

Veamos algunos ejemplos de trabajo con logaritmos:

Ejemplo 1: Sabiendo que calcula, sin usar la calculadora, , y .

Solucin:

Ejemplo 2: Resuelve la ecuacin

Solucin:


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Conclusin: La nica solucin de la ecuacin es

ya que el logaritmo neperiano no

est definido ni en ni en .Ejemplo 3: Resolver la ecuacin Solucin:

Puesto que hemos obtenido una ecuacin que slo depende de la ecuacin anterior se transforma enla ecuacin de 2 grado:

Las soluciones de esta ecuacin de segundo grado son . Como no nosinteresa el valor de y sino el valor de la incgnita xhemos de deshacer el cambio de

variable:

Si Si (no hay solucin)

Conclusin: La nica solucin de la ecuacin es

.

Cambio de base:

Aunque revisando textos matemticos anteriores a 1950 se pueden encontrar tablas de

logaritmos en base 2, en la actualidad slo se trabaja, fundamentalmente, con logaritmos

decimales y neperianos. De todas formas, para encontrar el valor numrico de un logaritmo en

base distinta a 10 o distinta al nmero ese puede recurrir a las frmulas:


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Errores muy graves y frecuentes:

(Corrgelo t mismo).

Funciones Trigonomtricas

La palabra trigonometra deriva de los vocablos griegos trigonon (tringulo) y metria

(medicin). En este apartado presentamos un breve repaso de las funciones trigonomtricas y

sus representaciones grficas.

Definiciones:

Radin y grado sexagesimal:

Un radin(rd) es la medida del ngulo central de una circunferencia que corresponde a un arco

cuya longitud igual al radio de la circunferencia.

Un gradosexagesimal(1o) es la medida del ngulo central que corresponde a un arco cuya

longitud es360

1de la longitud de la circunferencia.

Por tanto:

radianes radianes radianesPara hacer la conversin de grados a radianes basta aplicar una regla de tres o la relacin

anterior para deducir que:

o

oradianes radianes

180

a

Anlogamente para convertir radianes a grados se utiliza la frmula:


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o oradianes 180radianes

a

Def ini cin de las funciones tr igonomtr icas

Se considera la circunferencia de centro el origen O y radio 1 y sobre ella un punto cualquieraP

de coordenadas . Sea el ngulo que forma la direccin positiva del eje de abscisas con elsegmento OP. Las funciones trigonomtricas se definen como:

Construccin de las funciones trigonomtricas

sen ( ) cos( )

1tan( ) cot( )tan( )

1 1csc( ) sec( )

sen( ) cos( )

y x

y

x

Algunas frmulas importantes

a) Se dice que un ngulo es complementario del ngulo si2

radianes. Es fcil

deducir entonces que si yson ngulos complementarios se cumple que

sen( ) cos( )

cos( ) sen( )

tan( ) cot( )

b)

Identidad fundamental2 2sen ( ) cos ( ) 1x x

Se deduce por tanto que

2sen( ) 1 cos ( )x x

2cos( ) 1 sen ( )x x

El signo quedar completamente determinado una vez se conozca el cuadrante en el que se sita

el ngulox. A partir de la anterior frmula es fcil ver que tambin se cumple que:

O x

y

P x y( , )

1

1

-1

-1

1 y

x


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2 2tan ( ) 1 sec ( )x x

c)

Identidades para la suma y la resta

sen( ) sen( )cos( ) cos( )sen( )

cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( )

tan( ) tan( )tan( )

1 tan( ) tan( )

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

Es fcil deducir entonces las relaciones trigonomtricas del ngulo doble y el ngulo mitad:

2 2

2

1 cos( )sen(2 ) 2 sen( ) cos( ) sen( / 2)

2

1 cos( )cos(2 ) cos ( ) sen ( ) cos( / 2)

2

2 tan( ) 1 cos( )tan(2 ) tan( / 2)

1 tan ( ) 1 cos( )

xx x x x

xx x x x

x xx x

x x

d) Algunos valores importantes

x sen (x) cos(x) tan (x)

0

0

1

0

6

2

1

2

3

3

3

4

2

2

2

2 1

3

2

3

2

1 3

2

1 0 No definida

0 1 0

2

3

1 0 No definida

2 0 1 0

Ejercicio 1: Dado un ngulo deduce las razones trigonomtricas de los ngulos , , y .


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Representacin grfica de las funciones trigonomtricas

sen( )y x cos( )y x tan( )y x

csc( )y x

sec( )y x

cot( )y x

En todas las grficas el nguloxest dado en radianes.

Funciones elementales

A las funciones exponenciales y logartmicas junto con las trigonomtricas y sus inversas se les

denomina funciones trascendentes. Estas funciones junto con las potenciales se conocen como

funciones elementales bsicas o simples. Las funciones elementales bsicas se pueden

combinar usando las operaciones aritmticas de suma (), resta (), multiplicacin () y

divisin () y la composicin de funciones. A las funciones obtenidas de tal manera las

denominamos funciones elementales.

2,5 p 2 p 1,5p p 0,5p 0 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

1

0,5

0,5

1

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

1

0,5

0,5

1

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

1

-1

x

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0,5p p 1,5p 2 p 2,5px

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

y


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El nombre de elemental no implica sencillez. Las funciones elementales pueden tener un

aspecto tan complicado como:

3

)8cos(

2

3 74

5

))8(ln(sen

5arctg)(

x

x

ex

xxf

Sin embargo, hay funciones que no son elementales y son tan sencillas como:

0si1

0si1)(

x

xxg

La funcin anterior no es elemental al intervenir en su definicin una operacin lgica (el "si"

condicional). Estas operaciones no estn permitidas en la definicin de funciones elementales.

Transformaciones de funciones

Muchas veces la grfica de una funcin se puede obtener mediante transformaciones sencillas

de funciones conocidas. Por ejemplo, es fcil dibujar la grfica de la funcin 3( ) ( 2)g x x o

de 3( ) ( 5)h x x si conocemos la grfica de 3( )f x x .

FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones elementales bsicas

F. potenciales F. exponenciales F. logartmicas F. trigonomtricas


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Grficas de 3( )f x x , de 3( ) ( 2)g x x y de 3( ) ( 5)h x x

Las tres grficas tienenexactamente la misma

forma.

Las grficas de3

( ) ( 2)g x x y de3

( ) ( 5)h x x se

obtienen mediantetraslacin horizontal de la

grfica de 3( )f x x

Las transformaciones ms sencillas son: Traslaciones Reflexiones Contracciones y expansiones

TRASLACIONES VERTICALES Si Si

La grfica de

aunidades hacia arriba.

La grfica de

aunidades hacia abajo.


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TRASLACIONES HORIZONTALES Si Si

La grfica de aunidades hacia la derecha.

La grfica de aunidades hacia la izquierda.

En definitiva, si quedan resumidas en el siguienteesquema:

Ejercicio 2: Partiendo de la grfica de la funcin dibuja la grfica de lassiguientes funciones:(a) (b) (c) (d)

Traslaciones de


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Ejercicio 3: Partiendo de la grfica de la funcin dibuja la grfica de lasfunciones:

(a)

(b)

(c) (d)

REFLEXIONES

Reflexin respecto al eje OX

La grfica de respecto al eje de abscisas OX.

Reflexin respecto al eje OY

La grfica de respecto al eje de ordenadas OY.

Ejercicio 4: Partiendo de la grfica de la funcin dibuja la grfica de lasfunciones:

(a)

(b)

Ejercicio 5: Partiendo de la grfica de la funcin dibuja la grfica de las

funciones:

(a) (b)


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Ejercicio 6: Partiendo de la grfica de la funcin dibuja la grfica de lasfunciones

(a)

(b)

EXPANSIONES Y CONTRACCIONES VERTICALES

Expansin

vertical

Contraccinvertical

EXPANSIONES Y CONTRACCIONES HORIZONTALES

Expansinhorizontal

Contraccinhorizontal


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Ejercicio 7: Partiendo de la grfica de la funcin obtn la ecuacin ydibuja la grfica de las funciones:

(a)

(b)

(c) (d) Cualquier parbola es una transformacin de la funcin Ejercicio 8: Reescribe la ecuacin de las siguientes parbolas en la forma:

y utiliza dicha escritura para dibujar su grfica partiendo de la grfica de la

funcin

.

(a) (b) (c) (d)

Indicacin:

La ecuacin de cualquier parbola (vertical), , se puede reescribiren la forma:

Para ello, basta con igualar los dos trminos de la derecha, identificar coeficientes y

resolver el sistema obtenido.

Por ejemplo, consideremos la parbola de ecuacin Si deseamosescribir esta parbola como tendremos que igualar ambasecuaciones. As:

Desarrollando el trmino de la derecha

Identifiquemos coeficientes:


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Grado [2] Grado [1] Grado [0]

Grado [2]: Si . Por comodidad 4elegimos . Grado[1]:

Grado[0]:

. Puesto que se tiene que , es decir, Luego, la ecuacin ha quedado reescrita como

Podemos utilizar esta reescritura para dibujar la grfica de la parbola a partir de transformaciones sobre la grfica de la funcin .

Problemas propuestos

1. Halla todos los nmeros realesxque verifican las siguientes desigualdades:

(a) 3x 5x (b) 5(x 1) 3 (c) x3 3x 2

(d) x3 2x2 5x 6 (e)2

1 1

1 2x

2. Dadas las funciones ( )x x

x

1

3 5 y 2( ) 4x x , calcula (1/x), 1/(x), (2x),

(0 ) y (2x).

3. Sea1

( ) log1

xf x

x

. Comprueba que

ab

bafbfaf

1)()( .

4 Tabi s u i aa va ativ si qu s sa ht st s us


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4. Seanf(x) log(x) yg(x) x3. Calcularf(g(a)) y g(f(a)). Es conmutativa, en general,

la composicin de funciones?

5.

Resuelve la ecuacin 1 2 327 9x x .

6. Despejaxen las siguientes ecuaciones:

2

x xe e

y

x x

x x

e ey

e e

7. Despeja uen las ecuaciones:

log 1 ln 1s u u 510 us

8. Los sismlogos utilizan la escala de Richter para medir y reportar la magnitud de los

terremotos. La magnitud o nmero de Richter de un terremoto depende del cociente de la

intensidad,I, de un terremoto entre la intensidad de referencia, 0I , que es el movimiento

ms pequeo de la tierra que puede registrarse en un sismgrafo. Los nmeros de Richter a

menudo se redondean a la cifra de las dcimas o las centsimas y est dado por la frmula

10

0

logI

RI

Si se determina que la intensidad de un terremoto es 50000 veces la intensidad de

referencia, cul es su lectura en la escala Richter? Resuelve sin calculadora. Indicacin:

10log 5 0,69

9. El volumen,L, de un sonido, en decibeles (dB), que percibe el odo humano depende del

cociente de la intensidad, I, de dicho sonido entre el umbral, 0I , de escucha del odo

humano promedio, segn la frmula

10

0

10 log dBILI

Encuentra el volumen de un sonido que posee una intensidad 10000 veces el umbral de

escucha del odo humano promedio. Resuelve sin calculadora.

10. El gas de invernadero ms abundante es el dixido de carbono. Segn el pronstico de las

Naciones Unidas, en el peor escenario posible, la cantidad de dixido de carbono en la

atmsfera se puede aproximar con


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0.00353( ) 277

tC t e con 0 350t

donde t es el tiempo en aos a partir de 1750 y ( )C t viene medido en ppm (partes por

milln).

a)

Aplica el modelo para estimar la cantidad de dixido de carbono en la atmsfera en1950, 2000, 2050 y 2100.

b) Segn el modelo, cundo, aproximando a la dcada ms cercana, esa cantidad

rebasar las 700 ppm?

11. El carbono 14 es un istopo inestable que se desintegra de forma continua transformndose

en nitrgeno. La cantidad de carbono 14 que queda en una muestra que contena al

principioAgramos de carbono 14 est dada por

( ) 0,999879tC t A

donde tes el tiempo en aos. En la actualidad, un fsil contiene 4,06 g de carbono 14. Se

estima que originalmente el fsil contena 46 g. Calcula, aproximadamente, la edad del

fsil.

12. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que tsemanas despus de su brote

el nmero de personas infectadas est dado por

10000( )

1 kt

f tC e

Si 2 000 personas estaban infectadas al principio y 5 000 haban sido infectadas al final de

la cuarta semana, cuntas personas estarn infectadas al final de la octava semana?

Resolver sin calculadora.

13. La concentracin de alcohol en sangre de una persona es 0,2mg/dl tras ingerir una bebida

alcohlica. Si la cantidad de alcohol en la sangre decrece de forma exponencial y se

elimina la cuarta parte cada hora, encuentra la funcin ( ) tf t A e con ,A que

mide la concentracin de alcohol en sangre, transcurridas thoras desde la ingestin.

14. Las ventas de ordenadores estn sujetas a fluctuaciones estacionales. Los ingresos

trimestrales de la empresa Computer Phaseosen 1995 y 1996 se pueden aproximar con la

funcin

( ) 0,11 sen(1,39 ) 0,5f t t con 81 t


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donde t representa el tiempo en trimestres (t =1 el final del primer trimestre de 1995) y

)(tf viene medido en miles de millones de euros. Cules fueron los ingresos mximos y

mnimos de la empresa?

15. En un cultivo estn desarrollndose bacterias. El tiempo t(en horas) para que el cultivo se

duplique (denominado tiempo de generacin) es funcin de la temperatura T (en oC) del

cultivo. Si el tiempo de generacin viene dado por:

1 11si 30 36

24 24

4 175si 36 39

3 4

T T

t f T

T T

Determina el dominio def, calcula 33f , 36f y 38f y dibuja su grfica.

16. La grfica de la funcin es conocida. Describe cmo obtendras la grfica decada una de las siguientes funciones partiendo de la grfica def.

(a) (b) (c) (d) (e)

(f)

(g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o)

(p)

17. Explica cmo puedes obtener la grfica dega partir de la grfica def:

(a) (b) (c) (d)

(e)


30/32


(f) (g) (h)

18. Esboza cada una de las siguientes grficas partiendo de la grfica de una funcin elemental

bsica:

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

(h)

(i) (j) (k) (l)

19. Calcula el dominio natural de definicin de las siguientes funciones:

(a) 1 x (b) 43 7x x (c) 3 3x a x b

(d) a xa x

(d) 1

10 3cos( )x ( f ) 2arcsen( )x

(g)2

x

x (h)

2

1

6x ( i )

2

91

x

(j)3

1

x

x

(k)

3

1

x

x

( l ) 3 26 11 6x x x

(m) ln( )x (n) ln( )x () 2ln 25x

(o) 2ln 5 4x x (p) 1/ln 1 xe (q) 12

12

2

ln xx

(r)2 4

ln( 6)

x

x x

(s) 2

1

ln 36 x ( t )

1

ln cos( )x

(u) ln [tan (x)] (v)2

4ln

2

x

x

(w)

2 3 4ln

3

x x

x

(x) 1/ ( 2 )5 xx (y)

3

221

x

x

(z)2

1

4

17

x

xx


31/32


20. Encuentra grficamente los puntos de corte de las curvas ecuaciones:

(a)

2

( ) y ( )

x

f x e g x x

(b) ( ) sen( ) y ( ) ln( )f x x g x x

(c)2

1( ) y ( ) ln( 1)f x g x x

x

Bibliografa

AITKEN, MICHAEL R. F.Mathematics for biological scientists. New York : GarlandScience, cop. 2009.

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2009. (pg. var.). ISBN: 978-607-442-048-7. FERNNDEZ, M.J.; MULAS, R.; RAMOS, M.T.Para empezar a entendernos

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http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212
http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212


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Dominio de una funcin elemental

S dom[ ( ) ( )]f x g x x ean f y g dos funciones con dominios conocidos. Cmo podemos

calcular el dominio de funciones ms complicadas?

Suma:

de 3( )f x x .

Funciones Elementales (15-16)

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