TEMA 12. FUNCIONES ELEMENTALES1. (Pág. 197) Dibuja la gráfica de la función y = -5 en cada uno de estos casos:

a. Cuando x es un número real comprendido entre 0 y 5b. Cuando x es un número entero mayor que -3 y menor que 4.

c. Cuando x representa el nº de kg de una bolsa de patatas

d. Cuando x es menor que ½ o mayor que 1

2. (pág. 197) ¿Qué ecuación tiene la función representada en el margen?

Es una función lineal de ecuación:

y = mx

Pasa por P(1,-4):

-4 = m·1 → m = -4

La ecuación es:

y = -4x

3. (pág. 198) ¿Qué ecuación tiene la función afín representada en el margen?

f(x)=2x-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

La ordenada en el origen es -4.La pendiente es 4/2 = 2

La ecuación es y = 2x – 4

¿Y si la trasladas 4 unidades hacia arriba?

La ecuación es y = 2x

4. (pág. 198) Dibuja la gráfica de la función y = -x , donde x es cualquier nº real. Representa a) y = -5x -6 , b) y = -x + 4

5. (pág. 199) Un atleta ha recorrido 6 km en 18 minutos. Manteniendo esa velocidad, ¿en cuánto tiempo cubrirá 9 km? ¿Cuántos km hará en 15 min? Escribe la ecuación que relaciona la distancia y el tiempo y represéntala.a) Mediante una regla de tres: 9 · 18 / 6 = 27 minutosb) 15 · 6 / 18 = 5 kmc) La ecuación es

1

3y x=

6. (pág. 199) Si 1 € = 0.95 $, ¿cuántos dólares son 35 €? Escribe la ecuación que transforma x € en $ y represéntala gráficamente.

35 € = 35 · 0.95 = 33.25 $

La ecuación es y = 0.95x

7. (pág. 200) Amparo ha contratado un servicio de internet que le cuesta 15 € al mes en concepto de alquiler de servicio, y 0.75 € por cada hora de conexión. ¿Cuánto tendrá que pagar este mes si estuvo conectada 15 h? Escribe la ecuación tiempo de conexión (t) / importe mensual (J) y represéntala gráficamente.

Tendrá que pagar 15 + 0.75 · 15 = 26,25

La ecuación es J = 15 + 0.75t

8. (pág. 200)El ascensor de una mina de carbón desciende a una velocidad constante de 3 m/s. Escribe y representa la ecuación de la función que relaciona la distancia que le separa del suelo de la mina (s) con el tiempo (t), sabiendo que la profundidad de la misma es de 450 m.En 1 segundo desciende 3 m, luego quedan 450 – 3 = 447 mEn 10 segundos desciende 30 m, luego quedan 450 – 30 = 420 mEn 30 segundos desciende 90 m, luego quedan 450 – 90 = 360 mEn 100 segundos desciende 300 m , y quedan 450 – 300 = 150 m

La ecuación es s = 450 – 3t

ACTIVIDADES PARA PRACTICAR (pág. 201)1. Indica cuáles de las siguientes frases se pueden interpretar

mediante una función constante, una función lineal o una afín:b. Un fontanero cobra 16.25 € por hora de trabajo.

y = 16.25x (lineal)b. Rosa cobra por cada manzana que vende 0.25 €.

y = 0.25x (lineal)c. En el recibo del agua se cobra una tasa de 6 € por el alquiler del

contador más 0.8 € por metro cúbico consumido.y = 0.8x + 6 (afín)

d. Un agricultor paga una cantidad fija por regar, independientemente del volumen de agua que utilice. (constante)

e. Los taxistas cobran una cantidad fija por la bajada de bandera más otra proporcional a la duración del viaje.(afín)

2. (pág. 201) Sin realizar cálculos, asocia cada una de estas rectas a la función a la que representan:

y = 3x + 1y = -0.5x + 2

y = 1/3 x

y = -2

3. (pág 201) Representa gráficamente la función que tiene por ecuación y = 3x. Dibuja a partir de ella las gráficas de estas otras ecuaciones:b)y= 3x + 1; y = 3x – 1 c)y = -3x + 1; y = -3x - 1

4. (pág 201) ¿Qué relación existe entre las rectas de la actividad anterior?Son paralelas la recta y = 3x y las dos del apartado a)Son paralelas las dos rectas del apartado b)

5. (pág. 201) Sabiendo que la imagen de x= 4.5 es y=6, halla la ecuación de la función en los siguientes casos:b)La función es constante

y = 6b) La función es de proporcionalidad directa. ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad?

y = 6/4.5 x → y = 4x/3. La constante de proporcionalidad es 4/3c) Gráfica

7. (pág. 201) La gráfica de una función afín es una recta que pasa por los puntos (1,3) y (2, -2). Represéntala y halla su ecuación.

Una función afín es de la forma

y = mx + n.

Como pasa por los puntos (1, 3) y (2, -2), se obtiene el sistema

cuya solución es m = -5, n = -8. Luego la ecuación es y = -5x + 8

Otra forma: Podemos calcular la pendiente

Y en forma punto-pendiente la ecuación es

3

2 2

m n

m n

= +− = +

2 3 55

2 1 1m

− − −= = = −−

3 5( 1)y x− = − −

8. (pág. 201) El segmento comprendido entre (1,5) y (4,-3) es la gráfica de una función afín. Representa dicha función y halla su ecuación.. ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido?

3 5 8

4 1 3m

− − −= =−

La ecuación es

y – 5 = -8/3 (x-1)

En forma explícita:

y = -8/3 x + 23/3

Dom f = [1,4]

Im f = [-3, 5]

9. (pág. 201) Merce y Carlos han estado 50 minutos paseando en bicicleta. La siguiente gráfica indica la distancia a la que se encontraban de su casa en cada instante del recorrido.

a) Es lineal en [0,25], es constante en [25,30] y es afín en [30,40] y [40,50].

b) Las ecuaciones: y = 4/25 x y = 4 y = 1/5 x – 2 y = -3/5 x + 30

n) La distancia máxima es 6 km.

r) Han descansado 5 minutos.

10. (pág. 201) Un laboratorio mide la temperatura en dos escalas distintas, la Celsius (º C) y la Farenheit (ºF). La funciónrelaciona la temperatura en ºF con los ºC.

d.¿A cuántos grados F hierve y se congela el agua?

h. ¿A cuántos grados centígrados equivalen 230ºF?

l.¿A cuántos grados Farenheit equivalen -273ºC?

o.Dibuja la gráfica en el intervalo [-273,100]

932

5F C= +

9100 32 212º

5F+ =

9230 32 110º

5C C C= + ⇒ =

9( 273) 32 459.4º

5F− + = −

FUNCIONES CUADRÁTICAS ELEMENTALES1. (pág. 202) Representa en tu cuaderno la parábola y = 4x2, y a partir de ella, la de ecuación y = -4x2

2. (pág. 202) Una parábola de ecuación y = kx2 pasa por el punto (2,-3). Calcula el valor de k y dibuja la parábola.

Sustituyendo y = -3, x= -2, se obtiene -3 = k (-2)2 = 4k. Despejando k =- ¾Luego la ecuación es y = - ¾ x2.

x Y

-4 -12

-2 -3

0 0

2 -3

4 -12

3. (pág. 203) Representa la parábola que resulta de trasladar la de ecuación y = 3x2 cuatro unidades a la izquierda y dos unidades hacia arriba. Escribe su ecuación y determina su vértice y su eje de simetría.

y = 3x2 y = 3(x + 4)2 + 2Vértice: V(-4,2)Eje de simetría: x = -4

4. (pág. 202) Escribe el polinomio p(x) = x² - 2x + 1 en forma de potencia y utiliza esta transformación para representar la parábola y = x² - 2x + 1 a partir de la parábola y = x² . ¿Cuál es su vértice? ¿Y su eje de simetría?

y = x² - 2x + 1 = (x – 1 )2

Es una parábola que ha sufrido una traslación de 1 unidad hacia la derecha, a partir de la de ecuación y = x² Vértice: V(1,0)Eje de simetría: x = 1

x y

-2 9

-1 4

0 1

1 0

2 1

3 4

4 9

5. (pág. 204) Representa gráficamente las siguientes parábolas, calculando de forma previa su vértice y su eje de simetría.

a) y = x2 + 6x

Eje de simetría: x = -3

Tabla de valores:

2

63

( 3, 9)2 2

( 3) 6( 3) 9

b

Va

y

− − = = − − −= − + − = −

x y

-5 -5

-4 -8

-3 -9

-2 -8

-1 -5

b) y = x2 + 4x – 5

Vértice:

Eje de simetría: x = -2

Tabla de valores:

2

42

( 2, 9)2 2

( 2) 4( 2) 5 9

b

Va

y

− − = = − − −= − + − − = −

x y

-4 -5

-3 -8

-2 -9

-1 -8

0 -5

c) y = -2x2 – 8x + 6

Vértice:

Eje de simetría: x = -2

Tabla de valores:

2

82

( 2,14)2 4

2( 2) 8( 2) 6 14

b

Va

y

− = = − −− = − − − − + =

x y

-4 6

-3 12

-2 14

-1 12

0 6

6. (pág. 204) Se sabe que la parábola y = nx2 + mx + n pasa por los puntos A(0,3) y B(4,3). Determina su vértice y ecuación y represéntala.Pasa por A(0,3) 3 = n·0 + m· 0 + n n = 3

Pasa por B(4,3) 3 = 3·42 + m·4 + 3 m = -48/4 = -12

La ecuación es y = 3x2 -12x +3

Vértice:

Tabla de valores:

2

122

(2, 9)2 6

3 2 12 2 3 9

b

Va

y

− = = −= ⋅ − ⋅ + = − x y

0 3

1 -6

2 -9

3 -6

4 3

7. (pág. 205) Miguel alquila un local por 500 € para celebrar el fin de año con sus amigos. ¿Cuánto deberá poner cada uno si se juntan 10, 15, 20 ó 40 personas? Escribe la ecuación de la función que relaciona el número de asistentes con el dinero que pone cada uno. ¿Qué tipo de curva es?

X (Nº asistentes)

Y (€ cada uno)

8 62.5 €

10 50 €

15 33.33 €

20 25 €

30 16.67 €

La ecuación es

Su representación es una hipérbola

500y

x=

8. (pág. 205)Dibuja las hipérbolas siguientes. ¿Cómo varía la gráfica de una hipérbola al disminuir su constante de proporcionalidad?

y = 2/x

y = 1/x

y = 0.5/x

Al disminuir la constante de proporcionalidad, la curva se acerca más al origen de coordenadas.

ACTIVIDADES PARA PRACTICAR (pág. 206)

• Obtén las ecuaciones de estas tres parábolas, sabiendo que pasan por los puntos indicados:

Todas son de ecuación y = mx2. La que pasa por (3,9) 9 = m·9 m = 1 y = x2

La que pasa por (4,8) 8 = m·16 m = 0.5 y = 0.5x2

La que pasa por (10,1) 1 = m·100 m = 0.01 y = 0.01x2

2. (pág. 206) Sin realizar cálculos, dí cuáles de las siguientes gráficas se corresponden con las funciones cuyas ecuaciones se indican a continuación:

2

2

2

2

2

2

1

0.3 1

0.3 1

0.1 1

0.3 1

1

A y x

B y x

C y x

D y x

E y x

F y x

→ = +→ = +→ = −→ = −→ = − +→ = − +

3. (pág. 206) Sin realizar cálculos, relaciona las siguientes gráficas con sus respectivas ecuaciones:

2

2

2

0.5( 2) 1

3

3 1

A y x

B y x

C y x

→ = − +→ = +→ = −

4. (pág. 206) Halla la ecuación de una parábola cuya gráfica es idéntica a la otra parábola pero cuyo vértice es el punto V(-3,4).

y = 3(x –(-3))2 + 4 y = 3(x + 3)2 + 4

23( 1) 5y x= − +

5. (pág. 206) Halla la ecuación de una parábola cuya gráfica se ha obtenido trasladando dos unidades hacia arriba y cuatro hacia abajo la parábola y = 2(x-4)2 + 3

y = 2(x – 4)2 + 3 + 2 – 4 y = 2(x – 4)2 + 1

6. (pág. 206) La ecuación de una parábola se puede escribir como:

e)Halla las coordenadas de su vértice y la ecuación del eje de simetría

Vértice: V(-1/2, -5)Eje de simetría: x = -1/2

b) Represéntala gráficamente

21

4 52

y x = + −

x y

-2 4

-1 -4

-0.5 -5

0 -4

1 4

7. (pág. 206) Una parábola tiene su vértice en el punto (2,1) y pasa por el punto (-1,-8). ¿En cuántos puntos corta al eje OX? ¿Y al eje OY? Realiza un dibujo aproximado que te ayude en tu respuesta.

Al pasar por los puntos señalados, sólo cabe la posibilidad de que tenga las ramas hacia abajo, y por tanto corte al eje OX en dos puntos, y al eje OY sólo en un punto.

8. (pág. 206) Determina el vértice y el eje de simetría de estas parábolas y representa gráficamente las funciones:

• y = x2 – 6x + 8

Eje de simetría: x = 3

Tabla de valores:

2

63

(3, 1)2 2

3 6 3 8 1

b

Va

y

− = = −= − ⋅ + = −

x y

1 3

2 0

3 -1

4 0

5 3

2

12

( 2,1)2 0.5

0.25 ( 2) ( 2) 2 1

b

Va

y

− − = = − −= ⋅ − + − + =

b) y = 0.25x2 + x + 2

Eje de simetría: x = -2

Tabla de valores:

x y

-4 2

-3 1.25

-2 1

-1 1.25

0 2

9. (pág. 206) Esta tabla nos da las coordenadas de algunos de los puntos de una función. Represéntalos y determina la ecuación de la curva resultante. ¿De qué gráfica se trata?

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y 10 5 2 1 2 5 10 17 26 37

Es una hipérbola, de ecuación y = x2 + 1

10. (pág. 206) Halla la ecuación de una función de proporcionalidad inversa, sabiendo que la imagen de x = 4.5 es y = 6. ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad inversa? Representa dicha función.

La función es y = k/x. Sustituimos:

6 = k / 4.5 k = 6 · 4.5 = 27. La constante de proporcionalidad es 27.

La función es y = 27 / x

X -27 -9 -3 -1 -1/3 1/3 1 3 9 27

Y -1 -3 -9 -27 -81 81 27 9 3 1

10. (pág. 206) La velocidad media de los corredores que han participado en una prueba atlética de 11 km ha oscilado entre los 15 km/h y los 22 km/h. Según esto:•Determina la ecuación de la función que relaciona el tiempo (en minutos), t, empleado por los corredores en finalizar la prueba con la velocidad media (en Km/h), vm. •Representa dicha función.

Como v = e/t v = 11/ t. (t en horas)

Si t está expresado en minutos 11 60 660

1v

t t= ⋅ =

ACTIVIDADES PARA REPASAR (PÁG 208)1. Indica a qué tipo de función corresponden estos fenómenos:

a) Los metros recorridos y el tiempo empleado en recorrerlos a velocidad constante. De proporcionalidad directa (a doble de metros, doble de tiempo)

b) El volumen y la masa de objetos que tienen la misma densidad.De proporcionalidad directa (a doble de volumen, doble de masa)

c) El número de pintores y el tiempo que emplean en dejar lista una superficieDe proporcionalidad inversa (a doble de pintores, mitad de tiempo)

d) El precio de unas cortinas y los metros de tela utilizados.De proporcionalidad directa (a doble de metros, doble de precio)

2. Ana quiere relacionar el espacio que recorre en un paseo con el número de pasos que da (suponemos que la amplitud de cada paso es la misma)

c)¿De qué tipo de función se trata? Se trata de una función de proporcionalidad directa

b) Escribe la ecuación correspondiente, sabiendo que Ana camina con pasos de 0,75 m de amplitudY = 0.75x, siendo x un nº natural.

3. Determina las ecuaciones cuyas gráficas son las siguientes:

Su ordenada en el origen es n = -2

Luego la ecuación es y = mx - 2

Pasa por P(-2,0), luego:

0 = -2m – 2 m = -1

La ecuación es y = -x – 2

Su ordenada en el origen es n = 2

Ecuación : y = mx +2

Pasa por P(2,0)

0 = 2m + 2 m = -1

La ecuación es y = -x + 2

Es una función lineal de ecuación y = mx

Pasa por P(1,1)

1 = 1m m =1

La ecuación es y = x

Su ordenada en el origen es n = -4

La ecuación es y = mx-4

Pasa por P(4,0)

0 = 4m – 4 m = 1

La ecuación es y = x – 4

4. Una recta oblicua pasa por el punto (0,3). Dí el tipo de función que representa la recta resultante de:

c)Trasladarla verticalmente 3 unidades hacia abajo: La recta oblicua tiene por ecuación y = mx + 3

Al trasladarla verticalmente: y = mx + 3 – 3 y = mx Es una función lineal

b) Trasladarla verticalmente 3 unidades hacia arriba:

y = mx + 3 + 3 y = mx +6 Es una función afín

5. Clasifica las siguientes funciones, indicando cuáles pasan por el origen de coordenadas, y represéntalas de forma gráfica:

y = 6x – 1 (No pasa por el origen)

b) y = -3x2 ( Sí pasa por el origen)

c) y = -6 (No pasa por el origen)

d) y = -2 / x (no pasa por el origen. Es una función de proporcionalidad inversa)

e) y = 5x (Sí pasa por el origen, es una función lineal)

f) y = -x2 – x (Sí pasa por el origen, es una parábola)

6. Dibuja la gráfica de estas funciones y señala qué relación encuentras entre ellas:

Las dos últimas son traslaciones de la primera

7. La siguiente gráfica describe el coste de un recibo de teléfono en un mes en el que el propietario sólo ha efectuado llamadas locales:

a) Es una función afínb) Ha cobrado 6 € en concepto de alquilerc) Si en 20 min ha cobrado 1 €, en 1

minuto cobrará 1/20 = 0.05 €

8. Relaciona estas parábolas con sus vértices:

9. Observa la siguiente parábola:

¿Cuáles son las coordenadas del vértice?¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?¿Cuál es la ecuación del eje de

simetría?