FISICA 4TO. (2015) 2

Física General - 1 -

Cap. 1

FACTORES METEOROLÓGICOS

QUE CAUSAN DESEQUILIBRIO

EN EL ENTORNO NATURAL

- 2 - Física General

OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos la tecnología de los instrumentos creados para estudiar los cambios climáticos de nuestro planeta, para la prestación de servicios en la prevención de fenómenos naturales de la niña y el niño, en beneficio de toda la población de la comunidad plurinacional de Bolivia.

¿QUÉ ES UN CICLÓN?

Un ciclón tropical es un sistema atmosférico cuyo viento circula en dirección ciclónica, esto es, en el sentido contrario a las manecillas del reloj en el hemisferio norte, y en el sentido de las manecillas del reloj en el hemisferio sur. Como su nombre lo indica, el ciclón tropical se origina en las regiones tropicales de nuestro planeta. Como la circulación ciclónica y bajas presiones atmosféricas relativas normalmente coexisten, es común usar los términos ciclón y baja de forma intercambiable. En latitudes templadas los ciclones son referidos como depresiones o ciclones extratropicales, y el término ciclón se usa sólo para referirse a los ciclones tropicales. Los ciclones tropicales están entre los sistemas meteorológicos más peligrosos y destructivos de la tierra. Mientras la estructura y funcionamiento de una tormenta tropical madura son conocidos, su origen aún no es bien entendido. La etapa antecedente de un ciclón tropical es conocida en América como perturbación tropical; los ciclones tropicales se caracterizan por una circulación cerrada de sus vientos y se dividen en fases de acuerdo con la velocidad de su Viento Máximo Sostenido en superficie:

Depresión tropical: VMS menor a: 63 km/h Tormenta tropical: VMS entre: 63 y 118 km/h Huracán: VMS mayor a: 118 km/h

http://www.yucatan.gob.mx/docs/galerias/ciclon/c2.jpg


¿Qué es la meteorología?- La meteorología es la

ciencia que se ocupa de los fenómenos que ocurren a corto plazo en las capas bajas de la atmósfera, fundamentalmente estudia el estado del tiempo, el medio atmosférico, los fenómenos allí producidos y las leyes que lo rigen. ¿Que son las estaciones meteorológicas?- Una estación meteorológica es una instalación destinada a medir y registrar regularmente diversas variables meteorológicas. Estos datos se utilizan tanto para la elaboración de predicciones meteorológicas a partir de modelos numéricos como para estudios climáticos.

Está equipada con los principales instrumentos de medición, entre los que se encuentran los

siguientes: a) Anemómetro: Que mide la velocidad del viento

b) Veleta: Que señala la dirección del viento

c) Barómetro: Que mide la presión atmosférica

d) Heliógrafo: Que mide la insolación recibida en la superficie terrestre

e) Higrómetro: Que mide la humedad

f) Piranómetro: Que mide la radiación solar

http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_del_tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sfera_terrestre

http://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/Anem%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Viento

http://es.wikipedia.org/wiki/Veleta

http://es.wikipedia.org/wiki/Bar%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/Heli%C3%B3grafo_(meteorolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Insolaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Higr%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Humedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Piran%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Radiaci%C3%B3n_solar


g) Pluviómetro: Que mide el agua caída

h) Termómetro: Que mide la temperatura

Estos instrumentos se encuentran protegidos en una casilla ventilada, denominada abrigo meteorológico o pantalla de Stevenson, la cual

mantiene la luz solar directa lejos del termómetro y al viento lejos del higrómetro, de modo que no se alteren las mediciones de éstos. Cuanto más numerosas sean las estaciones meteorológicas, más detallada y exactamente se conoce la situación. Hoy en día, gran cantidad de ellas cuentan con personal especializado, aunque también hay un número de estaciones automáticas ubicadas en lugares inaccesibles o remotos, como regiones polares, islotes deshabitados o cordilleras.

Ejercicios: Relaciona los instrumentos meteorológicos uniéndolo con una línea.

barómetro temperatura

anemómetro presión atmosférica

termómetro dirección del viento

psicrómetro humedad relativa

pluviómetro precipitación

veleta intensidad del viento

La atmósfera.- La atmósfera es la capa gaseosa

que envuelve la Tierra. Está formada por aire y partículas en suspensión. El aire es una mezcla gaseosa en distinta proporción,

los más importantes son: nitrógeno, oxígeno, dióxido de carbono, vapor de agua y otros gases en menor proporción. En la atmósfera también flotan diversas cantidades de partículas diminutas como polen, arena fina, cenizas volcánicas, bacterias.

Los principales gases que componen la atmósfera son:

Nitrógeno (N2): 78 % total del aire. Es un gas

que no reacciona con casi ninguna otra sustancia (inerte) y apenas se disuelve en agua.

Oxígeno (O2): 21 % del total. Es un gas muy

reactivo, se combina con otras sustancias oxidándolas. Permite que los combustibles ardan y se disuelve en agua.

Dióxido de carbono (CO2): 0.033 % del total.

Producido por la combustión de los combustibles fósiles y la respiración de las plantas. Es soluble en agua. Otros gases presentes son:

Gases nobles: Argón (Ar) 0.93 %; Kriptón (Kr) 0.000114 %; Neón (Ne) 0.00182 %; Helio (He) 0.000524 %.

Hidrógeno y metano. La densidad.- La densidad de la atmósfera disminuye conforme ascendemos en altura. Cuando subimos a la cima de una montaña, o a un punto de una ladera muy elevada, se dice que el aire está "enrarecido" porque la mayor parte de la masa

del aire está en las zonas bajas atraído por la gravedad de la Tierra y está como "aplastado" por su propio peso y cuanto más ascendemos más liviano, tenue y ligero es el aire.

http://es.wikipedia.org/wiki/Pluvi%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Precipitaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Term%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Abrigo_meteorol%C3%B3gico

http://es.wikipedia.org/wiki/Abrigo_meteorol%C3%B3gico

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esobiologia/1quincena5/1q5_contenidos_1c.htm


En las capas altas existe menos presión y la densidad es menor. La densidad y la presión del aire disminuyen con la altura.

La temperatura.- La temperatura del aire tiende a disminuir con la altitud, aunque en algunas regiones altas de la atmósfera aumenta, debido a que algunos gases absorben las radiaciones solares y las transforman en calor. La atmósfera parece una capa uniforme, pero su temperatura varia de forma irregular con la altitud. Estas variaciones sirven para diferenciar distintas zonas de la atmósfera.

La altitud produce variaciones de temperatura: Tierras altas, bajas temperaturas Tierras bajas, altas temperaturas Fenómenos meteorológicos.- Citaremos los más

importantes: a) Lluvia: Es la precipitación de agua que cae a la tierra desde las nubes, que son concentraciones de vapor de agua compuestas de diminutas gotas, que al condensarse forman otras más grandes que se precipitan sobre la tierra. La lluvia es más habitual en las zonas húmedas como son por ejemplo las zonas tropicales.

b) Viento: Este fenómeno atmosférico se debe a los movimientos de aire provocados por las diferencias de temperatura y presión atmosférica. Al calentarse el aire, se dilata, se hace menos pesado y tiende a elevarse sobre las masas de aire frío. Existen, además, tipos de vientos propios de lugares determinados que se producen a consecuencia de ciertas características geográficas y climatológicas del lugar como el siroco.

c) Nieve: Es un fenómeno meteorológico que sólo se produce cuando la temperatura de la atmósfera es inferior a 0º C. Esto provoca que las pequeñas

gotas de lluvia de las nubes se congelen y formen cristales de hielo que precipitan sobre la tierra en forma de copos. La probabilidad de que nieve en un lugar determinado está condicionada también por la situación geográfica. Así se puede decir que a mayor altitud, mayor posibilidad de que nieve, y a mayor cercanía al Ecuador, menor posibilidad de que nieve.

d) Huracán: Es un fenómeno meteorológico consistente en una tormenta tropical que se forma en el mar, caracterizado por la potencia de sus vientos superiores a 120 km/h. Se generan en zonas de baja presión atmosférica. Se suele reservar el nombre de huracán para las tormentas de este tipo que se producen en el Océano Atlántico.


e) Tormenta eléctrica: Es un fenómeno meteorológico consistente en una tormenta caracterizada por la presencia de rayos y truenos. Los rayos son descargas eléctricas que se originan por el choque de las cargas eléctricas positivas y negativas de las nubes. Los truenos se producen como consecuencia de los rayos. Son el ruido que generan las descargas eléctricas y que se transmite por el aire. El trueno siempre es posterior al rayo. Granizo: son gotas de agua convertidas en hielo. Se originan tanto en verano como en invierno, y generalmente, en un tipo de nubes características que reciben el nombre de cumulonimbos.

f) Arco iris: Es la descomposición de la luz en los colores que la forman. Se produce cuando los haces de luz del Sol atraviesan las gotas de lluvia.

g) Tornado: Es una columna de viento giratoria que se extiende desde el suelo hasta las nubes. Se produce en determinadas condiciones cuando choca una corriente de aire frío y seco con otra de aire caliente y húmedo. Tifón: Es el nombre que reciben

los huracanes cuando se originan en el Océano Pacífico.

h) Inundación: Invasión lenta o violenta de aguas

de río, lagunas o lagos, debido a fuertes precipitaciones fluviales o rupturas de embalses, causando daños considerables. Se pueden presentar en forma lenta o gradual en llanuras, y de forma violenta o súbita, en regiones montañosas de alta pendiente.

i) Sequías: Deficiencia de humedad en la atmósfera por precipitaciones pluviales irregulares o insuficientes, inadecuado uso de las aguas subterráneas, depósitos de agua o sistemas de irrigación.

j) Heladas: Producida por las bajas temperaturas,

en general, causan daño a las plantas y animales.

Fenómeno del Niño y la Niña.- El Niño y La Niña son dos partes opuestas de un fenómeno climático formalmente conocido como la Oscilación del Sur. El nombre común de "El Niño" refiere al Niño Jesús, debido a las aguas inusualmente cálidas originalmente observadas por los pescadores de Perú en diciembre, cerca de navidad. Los pescadores de Sudamérica empezaron a notar este fenómeno en el siglo 16 y se confirmó como un ciclo climático a través de las mediciones científicas en la década de los 1920. En esta década cada ciclo era de 3 a 7 años, pero desde los 1970 los ciclos están ocurriendo con mayor frecuencia.


El Niño es la etapa cálida del ciclo. Se caracteriza

por temperaturas más altas en el Pacífico, lluvia en los desiertos de Sudamérica y baja presión del aire en la región del Pacífico oriental. Empieza cuando los vientos Alisios sobre el Océano Pacífico se debilitan por causa de un cambio en la presión del aire. Normalmente estos vientos soplan del lado oriental del Pacífico (las Américas) hacia el oeste (Australia, Indonesia, China, etc.) y cuando dejan de soplar o cambian de dirección, permiten que las aguas cálidas de Asia lleguen a la costa de las Américas, donde el agua es normalmente más fría. La presión del aire, la temperatura del océano y la formación de nubes de lluvia son íntimamente vinculadas, por lo tanto ocurre una alteración de los patrones normales de circulación del océano y la atmósfera. La Niña es la etapa fría del ciclo. Las características de La Niña son exactamente el opuesto de la etapa de El Niño, por ejemplo aguas más frías que lo normal, clima seco en la costa de Sudamérica y lluvias y tormentas en Asia oriental.

Efectos de El Niño: - Temperaturas más altas que lo normal, lluvia e

inundaciones en la costa occidental de las Américas (California, Ecuador, Perú), en el Golfo de México y en el nordeste de África.

- Reducción de la población de pescado en la costa de Perú, debido a las temperaturas más altas del agua.

- Sequía en el sur de África e India y en el Pacífico del oeste (Australia, Indonesia, Filipinas).

- Los huracanes que normalmente ocurren en Asia (Indonesia, Filipinas, Tailandia) comienzan a formarse en las islas del Pacífico (Hawái, Tahití, Fiji).

Efectos de La Niña:

- Clima seco y frío en la costa occidental de las Américas, en el Golfo de México y en el nordeste de África.

- Lluvias fuertes en el sur de África e India y en el Pacífico del oeste.

- Inundaciones y huracanes en Asia oriental.

SOROJCHI (MAL DE ALTURA)

La principal causa de mal de altura es la hipoxia (falta de oxígeno en el organismo). La concentración de oxígeno en la atmósfera disminuye con la altura, lo que afecta a la respiración de los seres humanos. La gravedad de este trastorno está relacionada directamente con la velocidad de ascenso y la altitud alcanzada. Sin embargo, el cuerpo humano posee adaptaciones a corto y largo plazo que le permiten compensar, en forma parcial, la falta de oxígeno. Los atletas utilizan estas adaptaciones para mejorar su rendimiento. Estos síntomas normalmente desaparecen al descender a cotas más bajas. Ocurre a partir de los 2100 metros de altitud, hasta los 8000 metros de altitud donde ningún cuerpo humano puede aclimatarse.


LABORATORIO VIRTUAL

http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material093/index.html

Una página muy completa, ingresa y descubre sus actividades:

- Ingresa a Educaplus con un buscador - Elija Física y luego Ciencias de la tierra - Elige atmósfera - Luego clic en el viento - Con la flecha cambia la velocidad del viento y

observa las consecuencias

- Investiga y practica

VELOCIDAD DEL VIENTO

- Ingresa a Educaplus con un buscador - Elija Física y luego Ciencias de la tierra - Elige atmósfera - Luego clic en propiedades de la atmosfera - Con la flecha cambia la posición del globo - Observa, investiga y practica

Los cambios de altura, presión, temperatura y densidad del aire.

- Investiga y con ayuda del profesor revisa tus conocimientos en las siguientes actividades

PROPIEDADES DE LA ATMÓSFERA


Cap. 2

TEORÍA DEL ERROR

ANÁLISIS DE

DATOS EXPERIMENTALES Contenido:


OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos la importancia del trabajo en el laboratorio de física mediante el estudio de la teoría del error, realizando mediciones con diversos instrumentos y con el apoyo de la matemática, determinar el error experimental, para que el estudiante pueda usar en sus estudios posteriores aplicando el método científico.

CORRECCIÓN DE MEDIDAS EXPERIMENTALES CON EXCEL

Los cálculos para corregir datos experimentales pueden ser tediosos si se hacen a mano o con calculadora. Lo más recomendable es utilizar una hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) para todo el

proceso, tanto las operaciones como las representaciones gráficas. En Excel se dispone de muchas funciones estadísticas, entre ellas una que se llama ESTIMACIÓN LINEAL o DISPERSIÓN que calcula mediante el método de los mínimos cuadrados la recta de mejor ajuste a una tabla de datos, y devuelve los valores de la pendiente (m), la ordenada en el origen (b), el coeficiente de correlación (R2) y alguna otra información de las funciones lineales:

y = m x + b

También en las representaciones gráficas, en particular en los gráficos de dispersión, se puede añadir una línea de tendencia para mostrar la recta obtenida por el método de mínimos cuadrados.

Intensidad

(A)

Diferencia de Potencial

(V)

0.1 0.9

0.3 3.1

0.6 5.9

0.7 7.1

0.9 8.9

1 10.1

Se recomienda INVESTIGAR y practicar el tratamiento de datos experimentales con Excel, debido a la enorme simplificación que se realiza en el ajuste de curvas por regresión lineal, dejando atrás las complicaciones matemáticas.

LA TECNOLOGÍA ES PARA FACILITAR EL TRABAJO, NO PARA COMPLICARNOS.


Introducción- La medición, es el proceso por el

cual se compara una magnitud determinada con la unidad patrón correspondiente. El resultado de la medición nos da cuantitativamente un valor de la magnitud y podemos interpretar futuras situaciones.

Para realizar una medición, generalmente se hace uso de herramientas y/o equipos especiales así también cálculos matemáticos.

Ejemplo:

Si medimos la velocidad de un “atleta” con ayuda de una cinta métrica, un cronómetro y una ecuación matemática, obtenemos como resultado “3 m/s”; sabremos entonces que éste nunca será campeón en una competencia de 100 metros planos. Clases de mediciones.- La manera de calcular los errores depende del tipo de medida: a) Mediciones directas.- Son las que se obtienen

comparando la magnitud con el patrón directamente o mediante un aparato calibrado. Así se suelen

medir la longitud, la masa, el tiempo, el voltaje, etc. Ejemplo:

La longitud del diámetro en la figura, nos indica directamente un valor de 25.4 mm.

b) Mediciones indirectas.- Las que se calculan mediante una fórmula a partir de magnitudes medidas directamente. Así suelen obtenerse la velocidad, la superficie, etc. Ejemplo:

La matemática es una herramienta muy importante

Errores en el proceso de medición.- La medición

la realiza el ser humano con un instrumento de medida. En toda medición, por más calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estará afectado de cierto error.

Nunca se llega al valor exacto, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o de leer exactamente una escala. Precisión y exactitud.- Se debe hacer una clara distinción entre exactitud y precisión. a) La exactitud: Da una idea del grado de aproximación con que el valor medido concuerda con el valor verdadero; es decir, es la cercanía del valor experimental obtenido al valor real de dicha medida. Se la asocia con la calidad de la calibración del instrumento respecto de los patrones de medida. b) La precisión: Indica el grado de concordancia

entre valores medidos, es decir, en cuanto se aproximan unas a otras. También está asociada a la sensibilidad o menor variación de la magnitud que se pueda detectar con un instrumento (o un método de medición).

PRECISIÓN Y EXACTITUD

La precisión es la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en diferentes mediciones realizadas en las mismas condiciones y exactitud es la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real.

volumen

masadensidad


Clasificación de Errores.- Se tienen básicamente

dos tipos de errores en el proceso de medida: a) Errores Sistemáticos.- Tienen que ver con la metodología del proceso de medida (forma de

realizar la medida). Son errores que afectan el resultado de una medición en el mismo sentido, al medir varias veces una magnitud física siempre se comete el mismo error. - Calibrado del aparato: Normalmente errores en la puesta a cero. La mala calibración del instrumento de fábrica o descalibración por el uso excesivo.

Por ejemplo algunas señoras del mercado estiran el resorte de la balanza para que el producto pese menos. Es otro error sistemático que se produce en el mismo sentido y varias veces. - Error de paralaje: Cuando un observador mira

oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un líquido, líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la escala de medida del aparato.

Visto desde A es el correcto, vistos desde B y C, se cometen errores de paralaje. b) Errores casuales o aleatorios.- Se producen por causas difíciles de controlar, ocurren al azar, no se conocen con anticipación.

Las causas que los originan son difíciles de descubrir, estas pueden ser:

- Los cambios bruscos de temperatura,

producen dilataciones y contracciones en los instrumentos.

- Presencia de corrientes de aire, que pueden

mover la posición de una aguja indicadora de una balanza sensible.

- Para medir tiempos con el cronómetro, el que

mide puede pulsar la aguja antes o después de lo debido.

- En la lectura de longitudes con regla u otros

instrumentos, las limitaciones de la vista, provocan lecturas diferentes.

- El cansancio del que mide, disminuye la

capacidad visual y la rapidez de sus reflejos.

Sensibilidad (apreciación o incertidumbre).- La

sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir (división más pequeña de la escala). Se llama: incertidumbre del instrumento, a la sensibilidad o apreciación.

Para el caso de una regla común:

Su apreciación o sensibilidad es 1 mm

Ejem. 2.1.- Se realiza 5 mediciones con dos balanzas de la misma sensibilidad.

Balanza 1 (g)

Balanza 2 (g)

25.55 25.56 25.54 25.57 25.53

25.55 25.59 25.51 25.58 25.52

Promedio = 25.55 Eabsoluto = 0.01

Promedio = 25.55 Eabsoluto = 0.03

Nota: La forma de calcular Ea se verá más adelante.

- Las dos balanzas dan como medida 25.55 g - La precisión de la balanza (1) es mayor - La segunda balanza es menos exacta y da una

dispersión mayor de las medidas. - La primera balanza es más exacta y precisa. La incertidumbre en las mediciones afecta a la exactitud.

Una medida es más precisa, cuanto mayor es el número de cifras significativas.

Se comete errores

al ubicar el ceroSe comete errores

al dar la lectura


xxx

xx

x

xx

Estimación de una lectura.- La estimación de una lectura depende de la apreciación del instrumento y de la habilidad del operador.

La estimación de una lectura es en general menor que la apreciación del instrumento. MEDIDA REALIZADA CON UNA REGLA COMÚN

Apreciación del instrumento = 1 mm = 0.1 cm Estimación de una lectura = 0.5 mm = 0.05 cm

Se observa: Longitud del lápiz = ( 29.22 ± 0.05 ) cm

El dígito 2 es la cifra estimada por el observador, es

una cifra significativa.

Cuando se realiza una medición, siempre se acepta una cifra correspondiente al menor intervalo que se puede estimar con ayuda de la escala del instrumento. Expresión de una medida.- Cuando se expresa una medida se indica el valor observado junto con su error absoluto, incertidumbre o imprecisión y

sus unidades.

x Resultado de la medición

x Valor verdadero, valor promedio, valor

estimado

x Incertidumbre o error

Medida = Valor estimado ± Error absoluto

Error absoluto = Incertidumbre = imprecisión

Cuantificación de los errores.- Se distinguen tres

clases de errores que se utilizan en los cálculos: a) Error absoluto (Ea) o (∆x).- Conocido también como imprecisión absoluta, incertidumbre o desviación. Se define como: El valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. El valor verdadero no se puede conocer, por eso se sustituye por la media aritmética, llamado también valor más probable (VMP):

Error absoluto =│Valor medido – Valor verdadero│

xxEa

xxx

Nota: Para el cálculo del error absoluto, no importa el orden del minuendo o sustraendo, solo interesa el valor absoluto de la resta. b) Error relativo (Er).- Es el cociente entre el error absoluto y el que damos como representativo (valor promedio):

x

EE a

r x

xEr

c) Error porcentual (E%).- Indica la calidad de la

medida, es el error relativo en términos de porcentaje:

Un error porcentual mayor del 10% indica que la medida no es válida. Ejem. 2.2.- Dada la longitud: 5.68 ± 0.05 cm.

Determinar el: a) Error relativo, b) Error porcentual. Datos:

x 5.68 x 0.05

a) Er = ? b) E% = ? Solución: a) Calculo del error relativo:

x

xEr

0088.0

68.5

05.0rE

b) Calculo del error porcentual:

88.0%1000088.0% E

%100% rEE

%100% rEE


Ejem. 2.3.- El error porcentual de una medición es

del 8%, si la longitud tiene un valor probable de 5.45 m, determinar: a) Error relativo, b) Error absoluto. Datos: E% = 8 % x 5.45 m

a) Er = ? b) x ?

Solución

a) Calculo del error relativo:

08.0

%100

%8

%100

%

EEr

b) Calculo del error absoluto: x

xEr

mmxEx r 4.045.508.0

Cálculo de las incertidumbres en las medidas.-

Se pueden tener tres procedimientos matemáticos de obtener el valor numérico de la incertidumbre o error absoluto. a) Cuando se realiza una medición.- El error depende de la precisión del aparato, definida como la mínima separación que se puede conseguir entre medidas. Ejemplo: Se mide una vez un lápiz con una regla común:

Longitud del lápiz = 29.22 cm

Incertidumbre del instrumento:

Se toma la apreciación del observador.

En este caso la mitad de la mínima división:

= 1/2 mm = 0.5 mm = 0.05 cm Expresión: L = 29.22 ± 0.05 cm

La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud que la incertidumbre (Debe encontrarse en la misma posición decimal).

Importante.- Se puede tomar como incertidumbre

del instrumento la sensibilidad del mismo (Apreciación del instrumento = menor división). b) Cuando se realizan dos mediciones.- Para dos lecturas de una magnitud física, realizar los siguientes cálculos:

Valor promedio: 2

minmax xxx

Incertidumbre:

Expresión de la medida: xxx

Ejem. 2.4.- Se ha medido la masa de un objeto con

una balanza común: m1 = 15.5 g y m2 = 15.8 g. Halle la expresión de las medidas: Solución: Valor promedio:

max minx x 15.8 15.5x 15.65

2 2

Incertidumbre:

max minx x 15.8 15.5x 0.15

2 2

Expresión de la medida:

x x x 15.56 g 0.15 g

c) Cuando se realizan varias mediciones.- Para

varias lecturas de una misma magnitud física, anotar los datos en una tabla:

Nro. de

datos 1 2 3 4 5 …

…

Realizar los siguientes cálculos, obteniendo los siguientes valores en forma ordenada:

%100% rEE

2

minmax xxx

n

x 1x 2x 3x4x 5x nx


Número de datos: Valor promedio:

Desviación típica de una muestra:

Error absoluto del conjunto de mediciones:

Desviación media o Error absoluto medio (DM): (Promedio de los errores absolutos):

Expresión de la medida:

Ejem. 2.5.- Se ha medido el tiempo de viaje de un

estudiante entre dos puntos fijos 7 veces, habiéndose obtenido los siguientes datos: Nro. de datos

1 2 3 4 5 6 7

t (min.)

12.3

12.9

15.1

11.8

13.0

14.5

13.9

Solución:

Calcular el valor promedio:

min36.13

7

9.135.140.138.111.159.123.12

t

n

tt i

Luego completar una tabla, que tenga las siguientes

columnas:

1 12.3 12.3 – 13.36 1.06 1.1236

2 12.9 12.9 – 13.36 0.46 0.2116

3 15.1 15.1 – 13.36 1.74 3.0276

4 11.8 11.8 – 13.36 1.56 2.4336

5 13.0 13.0 – 13.36 0.36 0.1296

6 14.5 14.5 – 13.36 1.14 1.2996

7 13.9 13.9 – 13.36 0.54 0.2916

6.86 8.5172

Calcular la Desviación típica de la muestra:

19.1

17

5172.8

1

1

2

1

n

ttn

i

i

n

Calcular el Error absoluto:

4.045.07

19.11

nt n

Expresión final:

min4.04.13 ttt

Ejem. 2.6.- Un atleta en una carrera de 100 m

realiza la prueba 5 veces obteniendo los siguientes tiempos:

Nro. 1 2 3 4 5

t (s) 10.22 10.15 10.20 10.16 10.18

Determinar: a) El valor más probable del tiempo empleado. b) El error absoluto medio c) Expresar de mejor forma el tiempo empleado d) El error porcentual Solución: a) El VMP es el promedio:

n

n

x

x

n

i

i 1

1

1

2

1

n

xxn

i

i

n

nx n 1

n

E

DM

n

iia

1

xxx

nit tti tti 2tti

s

t

t i

i

18.105

18.1016.1020.1015.1022.10

5

5

1


b) El error absoluto medio, llamado también desviación media se obtiene calculando los errores absolutos de cada medida, sumarlos y hallar la media aritmética de los mismos:

n

1 10.22 10.22 – 10.18 = 0.04 0.04

2 10.15 10.15 – 10.18 = –0.03 0.03

3 10.20 10.20 – 10.18 = 0.02 0.02

4 10.16 10.16 – 10.18 = –0.02 0.02

5 10.18 10.18 – 10.18 = 0.00 0.00

Nota: La expresión entre barras, significa que solo se anotan los resultados como positivos, aun así hayan salido negativos:

c) La expresión final de las medidas, será:

sttt 02.018.10

d) El error relativo:

El error porcentual:

%2.0%196.0%10000196.0%100% rEE

Ejem. 2.7.- El profesor anotó las medidas de la

longitud de un mesón de laboratorio obteniéndose los siguientes datos:

53.57 cm 53.53 cm 53.58 cm 53.59 cm 53.54 cm 53.55 cm

Calcular: a) Valor promedio de las mediciones (valor más

probable) b) Error absoluto de cada medida c) Desviación media Solución:

a) Valor promedio:

b) Error absoluto de cada medida:

1) 53.56 – 53.57 = 0.01 cm 2) 53.56 – 53.53 = 0.03 cm 3) 53.56 – 53.58 = 0.02 cm 4) 53.56 – 53.59 = 0.03 cm 5) 53.56 – 53.54 = 0.02 cm 6) 53.56 – 53.55 = 0.01 cm

c) Desviación media:

Resultado: = (53.56 ± 0.02) cm

Ejem. 2.8.- Un remache se mide cinco veces sucesivas, obteniéndose las siguientes lecturas:

1 2 3 4 5

5.5 mm 5.6 mm 5.5 mm 5.6 mm 5.3 mm

Determinar: a) El valor más probable b) El error absoluto c) Expresar la medición d) Determine el error porcentual Solución:

a)

b) Cálculo del error absoluto:

1 5.5 5.5 – 5.5 0.0 0.00

2 5.6 5.6 – 5.5 0.1 0.01

3 5.5 5.5 – 5.5 0.0 0.00

4 5.6 5.6 – 5.5 0.1 0.01

5 5.3 5.3 – 5.5 0.2 0.04

0.4 0.06

it tti tti

n

E

DME

n

iia

a

1

sEa 022.05

002.002.003.004.0

00196.018.10

02.0

x

EE a

r

53.57 53.53 53.58 53.59 53.54 53.5553.56

5VMP cm

iia xxE

n

EDM

ia

02.06

01.002.003.002.003.001.0

DM

VM VMP Ea

5.55

3.56.55.56.55.51

n

x

x

n

i

i

n ix xxi xxi 2xxi


Desviación típica de una muestra:

Error absoluto:

c) Expresión de la medida:

d) Cálculo del error porcentual:

Propagación de Errores.- La propagación de errores se utiliza para medidas indirectas, cuyo error absoluto de la medida final depende de otras variables obtenidas por medición. Supóngase que se tienen dos magnitudes obtenidas por medición:

a) Para la suma:

La fórmula para la suma es: S x y S

El error absoluto: S x y

b) Para la resta:

La fórmula para la resta es: R x y R

El error absoluto: R x y

c) Para el producto:

La fórmula para el producto es: P x y P

El error absoluto: P y x x y

El error relativo: P x y

P x y

d) Para la división:

La fórmula para la división es: xD D

y

El error absoluto: 2

y x x yD

y

El error relativo: D x y

D x y

e) Caso General:

El error relativo es: W x y z

m n pW x y z

Ejem. 2.9.- En un trabajo de laboratorio, los estudiantes obtuvieron las siguientes medidas:

5.00 0.02A

15.00 0.10B

7.00 0.10C

Calcular el resultado, el error absoluto y el error relativo de la siguiente fórmula:

.A BR

C

Solución:

Cálculo del resultado: 5.00 15.00

10.717.00

R

Cálculo del error relativo: z

z

y

y

x

x

R

R

0.02 0.10 0.100.025

5.00 15.00 7.00

R

R

Se despeja el error absoluto: 0.025R

R

27.027.071.1002.0025.0 RR

Finalmente: 27.071.10 RRR

12.0015.0

15

06.0

1

1

2

1

n

xxn

i

i

n

05.0054.05

12.01

nx n

mmxxx 05.050.5

009.050.5

05.0

x

xEr

%9.0%100)009.0(%100% rEE

xxX yyY

p

nm

z

yxW


PARA PROFUNDIZAR TUS CONOCIMIENTOS SOBRE MEDICIONES Ajuste de curvas.- Es un procedimiento estadístico que se usa para encontrar una línea recta que se acomoda a un conjunto de datos experimentales.

Mediante las fórmulas de la Regresión Lineal, se encuentra la línea recta, luego escribir la ecuación de la misma y a partir de ella predecir resultados.

Ecuación de la recta: bxay

b = Ordenada en el origen, la recta corta al eje Y

a = Pendiente, inclinación de la recta

x = Variable independiente (En el eje de abscisas)

y = Variable dependiente (En el eje de ordenadas)

Para la pendiente:

22

ii

iiii

xxn

yxyxna

La recta ajustada debe pasar por el punto yx , , que son los promedios de los valores experimentales:

n

xx

i

n

yy

i

De modo que la recta, será: bxay Intercepción con “y”: xaybbxay

La calidad del ajuste viene determinada por el coeficiente de correlación R:

n

yy

n

xx

n

yxyx

R

i

i

i

i

ii

ii

2

2

2

2

11 R

R = 1 Existe relación directa y perfecta entre variables.

R = – 1 Existe relación inversa y perfecta entre las variables.

R = 0 No existe relación lineal entre las variables

– 1 < R < 0 Existe relación inversa entre las variables

0 < R < 1 Existe relación directa entre las variables

O

x

y

y = a x + b

b


Procedimiento para trabajar con R. L.- Para

encontrar la ecuación de regresión, lo primero que se encuentra pendiente, intersección y usarla para formar la ecuación de regresión. 1. Cuente el número de valores: n

2. Anote los valores de las variables en la tabla

3. Calcular: xy, x2

4. Hallar las sumas: Σx, Σy, Σxy, Σx2

5. Aplique la ecuación para hallar la pendiente:

22

ii

iiii

xxn

yxyxna

6. Calcule los valores promedios:

n

xx

i

n

yy

i

7. Halle la intercepción con el eje “y”:

xaybbxay

TABLA PARA CONSTRUIR LOS DATOS POR EL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL

Variable Indep.

Variable Depend.

Calcular el

cuadrado de xi

2

Calcular el

producto

xi yi xi2 xi yi

… … … …

ix = iy = 2

ix = ii yx =

n = Número de valores o elementos x = Variable independiente y = Variable dependiente Ejemplo: Para un movimiento acelerado de un objeto en un plano inclinado

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN

Aplicando Regresión lineal, utilizando las ecuaciones y una calculadora simple.

Variable Indep:

Tiempo (s)

Variable Dep.

Veloc. (m/s)

Calcular el cuadrado

de xi2

Calcular el producto

xi yi xi2 xi yi

3.01 4.65 9.06 14.00

3.50 5.14 12.25 17.99

3.80 5.70 14.44 21.66

4.30 6.00 18.49 25.80

4.60 6.50 21.16 29.90

ix =

19.21

iy =

27.99

2

ix =

75.40

ii yx =

111.01

a) Cálculo de la pendiente de la recta, que es la

aceleración:

222 21.194.755

37.2821.1901.1115

ii

iiii

xxn

yxyxna

26.19759.7

0623,10a

b) Cálculo de valores promedios:

84.35

21.19

n

xx i

67.55

37.28

n

yy i

c) Intersección con “y”:

xaybbxay

83.084.326.167.5 by

d) Ecuación corregida:

btavbxay

83.026.1 tv


PROCESAMIENTO DE DATOS CON CALCULADORA CIENTÍFICA

Cada calculadora tiene sus propias características, consultar su catálogo para tener mayor claridad.

CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Para una calculadora: fx-82MS

1) Habilitar SD (desviación estándar): MODE SD 2) Limpiar la memoria temporal: SHIFT CLR SLC =

3) Verificar la limpieza: SHIFT 1nx =

Debería verse el mensaje: Math ERROR 4) Introducir los datos: x1 DT x2 DT x3 DT x4 DT

5) Calcular la desviación típica: SHIFT 1nx =

6) Calcular el promedio: SHIFT x =

REGRESIÓN LINEAL CON CALCULADORA

1) Habilitar REG MODO REG (tecla 3)

2) Elegir la opción lineal: LIN (tecla 1)

3) Introducir datos, Variable Independiente luego

Variable dependiente Por ejemplo: 10 tecla “,” 1003 tecla “M+”

aparece n = 1 (primer par de puntos)

4) Guardar datos, presionar tecla: AC

5) Repetir la secuencia de datos hasta concluir el

ingreso de todos. 6) Ver los resultados: SHIFT 2 7) Seleccionar de la pantalla A, B, r: A = Ordenada en el origen, tecla 1 B = Pendiente de la recta, tecla 2 r = Coeficiente de correlación, tecla 3 Presionando 1 = 2 = 3 = respectivamente, se

obtienen los valores de A, B y r.

8) Escribir la ecuación de la recta: y = A + B x

REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL

1. Abrir el programa de Excel.

2. Introducir los datos en dos columnas (primera columna para las X y segunda columna para las Y)

3. Seleccionar el conjunto de celdas que contienen los datos.

4. Hacer “click” en la opción “insertar” de la barra de herramientas; y seleccionar “gráficos”, luego

“dispersión” y finalmente “dispersión de puntos”. 5. Aparecerá el gráfico de puntos en la misma hoja que la tabla de datos. Puede eliminar la leyenda Serie1

haciendo click sobre ella y luego suprimir. 6. Para incluir la recta de regresión se hace click con el botón derecho (secundario) del ratón sobre alguno de

los puntos para abrir el menú contextual, agregar en él la opción “Agregar línea de tendencia”. 7. En el menú emergente “tipo de tendencia o regresión” elegir la opción “lineal”. 8. También debemos incluir la “ecuación de la recta” y el “coeficiente de regresión lineal”, marcamos

ambas opciones. En la opción “Extrapolar” se puede elegir prolongar la recta algunas unidades hacia

atrás, es conveniente que la recta llegue hasta el eje Y. 9. Para dar nombre a los ejes y al gráfico, elegimos la opción “Presentación” de la barra de herramientas, del

menú emergente seleccionamos “Título del gráfico” y “Rótulos del eje” para añadir el nombre del gráfico

y nombres de cada eje respectivamente.


REGRESIÓN LINEAL APLICADO A UNA PRÁCTICA DE LABORATORIO

VELOCIDAD MEDIA EN UN PLANO INCLINADO

Objetivos: - Determinar la dependencia lineal de la velocidad media en función del tiempo para un movimiento acelerado. - Encontrar la aceleración con su error mediante una regresión lineal. Procedimiento: Coloque un pequeño cuerpo o una canica (obviar el rozamiento) sobre un carril inclinado. El ángulo de inclinación debe ser lo más pequeño posible para que el movimiento sea lento y se puedan tomar buenas medidas con un cronómetro manual. Con Interactive Physics

Registre el tiempo que tarda en recorrer diferentes distancias sobre el plano inclinado. Fundamento teórico: Se trata de un movimiento uniformemente acelerado.

El desplazamiento: 21

2d a t La velocidad media: at

t

dvm

2

1

Que es una relación lineal: tavbxay m2

1

Dónde: a = Es la aceleración del móvil t = El tiempo empleado Grafique la velocidad media en función del tiempo y encuentre la aceleración con su error mediante una regresión lineal. Desarrollo de la práctica: Tomar datos: desplazamientos y tiempos.

Tabla I

Nro.

d

(m)

t (s)

s

m

t

dvm

2

2

s

m

t

va

1 0.50 0.81 0.62 1.53

2 0.75 0.95 0.79 1.66

3 1.00 1.15 0.87 1.51

4 1.25 1.23 1.02 1.95

5 1.50 1.30 1.15 1.77

6 1.75 1.45 1.21 1.67

7 2.00 1.54 1.30 1.69

Promedio: 1.68

De la tabla se puede deducir:

Variable independiente, xi: corresponde al tiempo ti

Variable dependiente, yi: corresponde a la velocidad media mv

d

º10


Cálculo de la pendiente y ordenada en el origen:

Nro. x i y i x i . y i x2i

it iv ii vt 2

it

1 0.81 0.62 0.50 0.66

2 0.95 0.79 0.75 0.90

3 1.15 0.87 1.00 1.32

4 1.23 1.02 1.26 1.51

5 1.30 1.15 1.50 1.69

6 1.45 1.21 1.76 2.10

7 1.54 1.30 2.00 2.37

8.43 6.96 8.77 10.55

Pendiente:

98.0

785.2

72.2

43.855.107

96.643.877.87222

ii

iiii

ttn

vtvtna

Promedios de las variables:

8.431.2

7

itt s

N sm

n

vv

i/99.0

7

96.6

Ordenada en origen:

19.02.198.099.0 btavbbtav

Ecuación corregida: 19.098.0 tvm

Gráfica obtenida con Excel: muestra los puntos medidos, la recta corregida, ecuación

Comparación de resultados: Aceleración calculada experimentalmente (valor medido): De la tabla l: aexperimental = 1.68 m/s2

Aceleración calculada teóricamente (valor más probable):

De la gráfica corregida, la pendiente de la recta: 2/86.19298.029298.02

1smaa

Cálculo del Error porcentual:

%7.10%10068.1

18.0%100

68.1

68.186.1%100%

VMP

VMVMPE

Conclusión: Este error es aceptado, el estudiante debe repetir ésta práctica procurando realizar las mediciones con mayor exactitud y precisión. Será un reto para Ud. reducir éste porcentaje de error.

v = 0.9298t - 0.1255

R² = 0.9691

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

Ve

loci

dad

me

dia

: v

(m/s

)

Tiempo: t (s)


1. ¿Qué nos indica la desviación estándar? Resp: la dispersión de datos con respecto al valor promedio

1. Al medir las 30 oscilaciones de un péndulo se ha

obtenido el valor de 30.52 0.03 s. Calcular su periodo.

Resp: s03.002.1

2. El error porcentual de una medición es del 4 %,

si la longitud en estudio tiene un valor probable de 1.85 m, determinar: a) Error relativo, b) Error absoluto. Resp: a) 0.04; b) 0.074 m

3. Cristian midió la longitud de su gato tres veces

obteniendo los siguientes resultados: 𝐿1 = 33.0 𝑐𝑚, 𝐿2 = 32.5 𝑐𝑚 𝑦 𝐿3 = 33.3 𝑐𝑚

a) ¿Cuál es el promedio del conjunto de medidas?

b) ¿Cuál es la desviación estándar del conjunto de medidas?

Resp: a) 32.9 cm; b) 0.41 cm

4. Se ha medido la longitud de un terreno, los

datos obtenidos en metros son:

1° Medición: 100.21 2° Medición: 100.45 3° Medición: 100.68

Se pide: a) Calcular la media. b) Calcular la desviación típica o estándar.

Resp: a) 100.45 m; b) ± 0.235 m

5. En el problema anterior calcular:

a) El error absoluto b) El resultado final c) El error relativo porcentual

Resp: a) 0.14 m; b) (100.45 ± 0.14) m; c) 0.1%

6. Se ha efectuado la medición de una distancia y

los resultados obtenidos son: 800.23 m 800.58 m 800.66 m 800.59 m Calcular el error relativo

Resp: 0.01%

7. Queremos determinar la distancia que hay entre

dos columnas con una cinta métrica que aprecia milímetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores:

80.3 cm; 79.4 cm; 80.2 cm; 79.7 cm; 80.0 cm

a) ¿Cuál es el resultado de ésta medida? b) ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta medida?

Resp: a) 79.9 ± 0.3 cm; b) 0.3 cm; 0.004

8. Para determinar la longitud de una mesa se han

realizado cuatro mediciones con una cinta métrica. Los valores obtenidos son los siguientes:

75.2 cm; 74.8 cm; 75.1 cm; 74.9 cm.

Expresa el resultado de la medida acompañado del error absoluto. ¿Entre qué márgenes se encuentra el valor real de la longitud de la mesa?

Resp: 75.0 ± 0.2 cm; 74.8 75.2x

9. Para un cubo cuya arista es de 10.5 ± 0.5 cm, calcular el error relativo y porcentual de la superficie y el volumen.

Resp: ErS = 0.095 y 9.52 %: ErV = 0.143 y 14.3 %

10. Sabiendo que las medidas de los lados de un

rectángulo, son de 73.3 ± 0.2 y 27.5 ± 0.2 en cm respectivamente, calcular el error porcentual de la superficie y el perímetro. Resp: E% = 1 % E% = 0.19 % = 0.2 %

11. La masa de un cuerpo es de 37.5 ± 0.02 g, y su

volumen es de 13.89 ± 0.01 cm ³. a) calcular la densidad b) sabiendo que la densidad del aluminio es de 2.7 g/cm³ y la del cobre es 8.92 g/cm³, ¿de qué material podría ser el cuerpo? Resp: a) 2.7 ± 0.003 g/cm³, b) aluminio

12. Para un objeto con movimiento uniformemente

acelerado se hicieron las siguientes mediciones.

t (s) 1 2 3 4 5 v (m/s) 8 11 14 17 20 Hallar la ecuación de la velocidad en función del tiempo.

Resp: v = 3 t + 5

EJERCICIOS PROPUESTOS


1. Medimos una mesa de longitud un metro con

una regla graduada en mm. Indica cuál de los siguientes resultados de la medida está expresado correctamente:

a) 1.0 ± 0.001 m b) 1.00 ± 0.001 m c) 1.000 ± 0.001 m d) 1 ± 0.001 cm

2. La calidad de la medida se manifiesta por:

a) Un error absoluto pequeño b) Un error relativo pequeño c) Una expresión correcta con su grado de

incertidumbre d) N. A.

3. Cuál de las siguientes medidas:

1.23 ± 0.01 ; 300 ± 1 ; 45.0 ± 0.1

Tiene mejor calidad?

a) 1.23 ± 0.01 b) 45.0 ± 0.1 c) 300 ± 1 d) N. A.

4. ¿Cómo se pueden reducir los errores casuales

o aleatorios (accidentales)?

a) Realizando varias medidas b) Colocándose en una posición correcta c) Cambiando de aparato d) Empleando métodos estadísticos

5. ¿Cuál de las alternativas no puede ser una

causa de error en las mediciones?

a) Naturales b) Instrumentales c) Personales d) Temperamentales

6. Diferencia entre el valor verdadero de una

magnitud y el valor obtenido al medirla:

a) Error absoluto b) Error de medición c) Error sistemático e) Exactitud de medición

7. Estos errores no se repiten regularmente de

una medición a otra y se deben a los efectos provocados por las variaciones de la presión, humedad, y temperatura del medio ambiente:

a) Errores sistemáticos b) Errores casuales o aleatorios c) Errores de paralaje d) Errores de tanteo .

8. Las clases de errores se dividen en:

a) Absoluto y relativo b) Estocásticos y aleatorios c) Sistemático y casual d) Desviación media y absoluto

9. ¿Cuál es la media o promedio ponderado de las

mediciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas fueron:

12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm

a) 12.0 cm b) 11.8 cm c) 12.2 cm d) 12.4 cm

10. La media de un grupo de medidas de cierto

peso es 28.5 g, siendo una de las medidas obtenidas 27.8 g; la desviación sería:

a) 1.3 g b) 0.7 g c) 1.7 g d) 0.9 g

.11. La suma de los cuadrados desviaciones de

cierto grupo de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su desviación típica o estándar.

a) 6.5 b) 5.5 c) 3.5 d) 4.5

12. Se ha medido el tiempo de viaje de un

estudiante entre dos puntos fijos 7 veces, habiéndose obtenido los siguientes datos:

Nro. 1 2 3 4 5 6 7

t (min.) 12.3 12.9 15.1 11.8 13.0 14.5 13.9

Calcule la desviación típica de una muestra:

a) 1.19 b) 11.9 c) 2.61 d) 1.50 13. Un atleta en una carrera de 100 m realiza la

prueba 5 veces obteniendo los siguientes tiempos:

Nro. 1 2 3 4 5 t (s) 10.22 10.15 10.20 10.16 10.18

Expresar de mejor forma el tiempo empleado

a) .02.018.10 s b) .10.018.10 s

c) .20.018.10 s d) .5.018.10 s

14. En el ejercicio anterior, determine el error

porcentual

a) 0.2% b) 0.3% c) 0.4% d) 0.5%

EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN


Cap. 3

ELEMENTOS DE

TRIGONOMETRÍA (Optativo)

Contenido:


OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:

Apreciamos la importancia del estudio de la trigonometría y su aplicación en el trabajo con vectores, mediante la resolución de problemas relacionados a triángulos rectángulos y oblicuángulos, para proporcionar al estudiante estrategias creativas en su desarrollo personal.

TEODOLITO CASERO

En muchos problemas de aplicación de la trigonometría, cuando queremos medir alturas de objetos, intervienen los ángulos de elevación. Una versión casera, hecha con materiales que se puede encontrar y obviamente su

precisión es limitada, pero sirve para nuestro caso se muestra en los siguientes gráficos.

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión. Se mide el ángulo Luego el ángulo de elevación o depresión es: º90

Resuelve problemas reales y prácticos sobre triángulos con éste sencillo aparato


Introducción.- El estudio de la física es facilitada

con el uso de la matemática. La trigonometría plana trata del estudio de las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos. Teorema de Pitágoras.- Para empezar a estudiar las funciones trigonométricas, es necesario dominar el Teorema de Pitágoras, para ello, nos familiarizaremos con algunos de sus términos descritos a continuación: “En un Triángulo Rectángulo el Cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma de los Cuadrados de sus Catetos”.

Simbólicamente se describe:

2 2 2

Hipotenusa cateto cateto

2 2 2c a b

- Los lados adyacentes al ángulo recto se

denominan catetos. - Lado opuesto al ángulo recto se llama

hipotenusa.

Ejem. 3.1.- En el triángulo rectángulo, hallar el valor que falta. a = 6 cm, b = x, c = 9 cm.

Solución:

La incógnita que debemos encontrar, es el cateto “b”: Aplicando el Teorema de Pitágoras:

2 2 2c a b

1. Sustituimos las cantidades numéricas en las

variables: 222 69 x

2. Realizamos las operaciones:

4536812 x

3. Extraemos la raíz cuadrada:

70.645 x

Funciones trigonométricas.- Para las funciones

trigonométricas, haremos uso del Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente.

- Las letras minúsculas son las que utilizamos para los lados en el Teorema de Pitágoras.

- Las letras mayúsculas, se utilizarán para

referirnos a los ángulos del triángulo. a) Función Seno (sen): La Función seno describe

la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

lado opuestosen

hipotenusa

asen A

c

bsen B

c

b) Función Coseno (cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

coslado adyacente

hipotenusa

cosb

Ac

cosa

Bc

a = cateto

b = cateto

b = x

a = 6 cm


c) Función Tangente (tan): Ésta Función

representa la relación entre el Lado Opuesto sobre el Lado Adyacente. Su simbología es la siguiente:

tanlado opuesto

lado adyacente

tana

Ab

tanb

Ba

Ejem. 3.2.- Dado el siguiente triángulo, encontrar todas las funciones trigonométricas, si:

Datos: b = 4 y c = 5 a = ? 1. Primero encontraremos el valor del lado que hace

falta:

2 2 2c a b

Sustituyendo valores:

2 2 2 25 4 25 16 9a a

Extrayendo la raíz:

9 3a

2. Ahora es posible calcular los valores de todas las funciones trigonométricas:

3 4 3; cos ; tan

5 5 4senA A A

4 3 4; cos ; tan

5 5 3senB B B

Ejem. 3.3.- Dado el siguiente triángulo, encontrar

las funciones trigonométricas.

Dato: tan 2A

1. En este caso, se puede decir que:

2tan

1A o sea: tan

aA

b

Entonces: a = 2; b = 1

2. Teorema de Pitágoras:

2 2 2c a b

2 2 22 1c

5 2.2c

3. Ahora conociendo (c) encontramos los valores

de las funciones trigonométricas:

2 1 2; cos ; tan 2

2.2 2.2 1senA A A

Resolución de triángulos rectángulos.- Resolver un triángulo rectángulo es encontrar los lados y los ángulos que se desconocen.

El lado (a) es opuesto al ángulo α (alfa) El lado (b) es opuesto al ángulo β (beta) El lado (c) es opuesto al ángulo 90º

90º


Ejem. 3.4.- Resolver, nos proporcionan la siguiente

información:

Revisemos la información que tenemos: - Tenemos un ángulo equivalente a 60º

- El lado b = 7 cm.

- Nos piden encontrar un ángulo y dos lados, que

son los que desconocemos. Solución:

1. Conociendo , podemos conocer , ya que C

= 90°.

Se tiene: º90

º30º60º90

2. Cálculo de los lados, mediante funciones

trigonométricas:

cos coscos

b bc b c

c

Reemplazando valores; con ayuda del profesor y una calculadora se halla el valor del coseno:

7 714

cos cos60º 0.5

bc c

3. Conociendo el valor de (c), aplicando Pitágoras

se obtiene el valor de (b):

222222 714 abac

147491962 a

12.12147 a

4. Quedando finalmente el triángulo solucionado:

Ejem. 3.5.- Resolver el siguiente triángulo rectángulo:

Revisemos la información que tenemos: - Tenemos dos lados (catetos) - La hipotenusa no se conoce. También los dos ángulos agudos son incógnitas. Solución:

1. Cálculo de :

3tan tan 0.75

4

b

a

Mediante la tecla “shift” (Pide ayuda al profesor):

1tan (0.75) 37º

2. Cálculo de :

º37º90º90º90

º53

3. Hipotenusa con el teorema de Pitágoras:

222222 34 cbac

525 c

a = ?

b = 7

c =?

A

BC

60º

?


Resolución de triángulos oblicuángulos.-

Resolver un triángulo oblicuángulo es encontrar los lados y los ángulos que se desconocen.

El lado (a) es opuesto al ángulo α (alfa) El lado (b) es opuesto al ángulo β (beta) El lado (c) es opuesto al ángulo γ (gamma)

º180

a) Teorema de los senos.- “Los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a dichos ángulos”

a b c

sen A sen B senC

b) Teorema de los cosenos.- “El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman”

2 2 2 2 cosa b c bc A

Ejem. 2.6.- Resolver el siguiente triángulo

oblicuángulo:

Datos: Incógnitas: a = 10 m b = ? B = 30º c = ? C = 120º A = ?

Solución: El tercer ángulo es:

CBACBA º180º180

º30º120º30º180 AA

Lado “c”: Aplicando el teorema de los senos:

º30

º1201010

º120 sen

senmc

Asen

m

sen

c

Con ayuda del profesor y una calculadora:

mcm

c 32.175.0

867.010

Lado “b”:

10 30º1010

30º 30º

m senmbb b m

sen sen A sen

Ejem. 3.7.- Resolver:

Datos: Incógnitas:

a = 5 m c = ? b = 3 m A = ? C = 60º A = ?

Lado “c”: Aplicando el teorema de los cosenos:

2 2 2 2 2

2 2

2 cos 2 cos

5 3 2 5 3 cos60º 4.36

c a b ab C c a b ab C

c m m m m m

Cbabac cos2222

5.030925º60cos35235 222 c

mcc 36.41919159252

A

C

B

a

b

c


Ángulo “A”: Aplica el teorema de los cosenos, con

ayuda del profesor y una calculadora:

c

CsenaAsen

Csen

c

Asen

a

36.4

867.05

36.4

º605

senAsen

99315.0Asen

Se obtiene la función inversa del seno:

10.99315 83.3ºA sen A

Ángulo “B”:

CABCBA º180º180

º7.36º60º3.83º180 BB


Datos: Incógnitas:

a = 30 m c = ? b = 25 m C = ? A = 100º B = ?

Solución: Ángulo “B”: Aplica el teorema de los senos:

30

10025

º100

3025 senBsen

senBsen

)82083.0(82083.0 1 senBBsen

º2.55B

Ángulo “C”:

BACCBA º180º180

º8.24º2.55º100º180 CC

Lado “c”: Aplica el teorema de los senos:

º100

º8.2430

º100

30

º8.24 sen

senc

sensen

c

mc 78.1298.0

42.030


Datos: Incógnitas: a = 10 m A = ? b = 7 m B = ? c = 8 m C = ?

Solución:

140

6449100

7102

8710

2cos

cos2

222222

222

ba

cbaC

Cbabac

)60714.0(cos60714.0140

85cos 1 CC

º6.52 C

8

º6.527

º6.52

87 senBsen

senBsen

º0.44)6951.0(6951.0 1 senBBsen

CBACBA º180º180

º4.83º6.52º44º180 A


RESOLVER LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1. En los triángulos mostrados determinar los

valores de a y b.

2. Determine los valores del < y r, a partir de

la relación entre los lados del triángulo mostrado.

RESOLVER LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

1. En los triángulos mostrados determinar los valores de los lados y ángulos.



Cap. 4

VECTORES

MÉTODOS ANALÍTICOS

Contenido:


OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Practicamos y valoramos las operaciones con magnitudes vectoriales, a través de las operaciones de la suma y resta de vectores para obtener una resultante en forma gráfica y analítica, en beneficio de la preparación académica del estudiante.

VECTORES

- Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas. Haga clic izquierdo en educa plus.org - En la barra que aparece hacer clic en física. Luego click en la pestaña de vectores

- De la ventana que aparece selecciona las siguientes actividades y practique. Investiga cómo funcionan. Asigne valores con ayuda del profesor(a). Practica nuevas situaciones.

Suma y Resta de vectores, método del paralelogramo

SUMA Y RESTA DE VECTORES CON GEOGEBRA

Descargue el software GEOGEBRA, un pequeño manual de uso y practique con operaciones vectoriales


Introducción.- Luego de haber aprendido a realizar

operaciones con vectores aplicando los métodos gráficos; en este tema conoceremos los métodos analíticos de resolución de vectores, para eso necesitas conocer los elementos básicos de la trigonometría, resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos. Magnitud vectorial.- Una cantidad vectorial se

especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una

dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Algunas cantidades vectoriales comunes son: La velocidad, aceleración, el desplazamiento, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, etc. Ejemplo: Una velocidad de (30 m/s, 60º), quiere decir "velocidad de 30 m/s en una dirección de 60º desde el origen del punto de referencia dado".

La velocidad es una magnitud vectorial Vectores.- Un vector es un segmento de recta

orientado cuya longitud es proporcional al valor numérico de la magnitud que representa. Sus elementos son:

1. Punto de aplicación.- Es el origen del vector (O)

2. Dirección.- Es la línea de acción del vector o

las líneas rectas paralelas a él (L). Queda definida por el ángulo θ

3. Sentido.- Está indicado por la punta de la flecha

(A) 4. Módulo, intensidad o magnitud.- Es el valor

numérico del vector, o la longitud del mismo (OA)

Representación de vectores.- Para dibujar

vectores en el plano se utiliza un sistema de referencia, que puede ser un sistema de ejes coordenados, un sistema de ejes cardinales.

Coordenadas rectangulares

Ejes cardinales

a) Representación rectangular.- Un vector se

representa en el sistema de ejes coordenados XY, colocando el punto de aplicación en el origen (0, 0) y el extremo en un punto del plano.

b) Representación polar.- La longitud de un vector

representado en forma rectangular, nos da su módulo, su ángulo de inclinación, nos da su dirección. Para representar un vector en forma polar, es suficiente conocer su módulo y su ángulo.

V = Módulo o longitud de

= Ángulo formado por y el eje “X” positivo

Ejem. 4.1.- Representar los siguientes vectores:

O

A L

),( yx VVV

Absisa Ordenada

),( yx VVV

Absisa Ordenada

Módulo Dirección

),( VV

Módulo Dirección

),( VV

V

V

(3,4)A 5,5B

4, 2C 2, 4D


El diagrama de ejes de a lado muestra los vectores dados en coordenadas rectangulares.

Ejem. 4.2.- Representar los siguientes vectores

dados en forma polar:

Vector equipolente.- Es un vector equivalente o

igual a otro: Misma dirección, modulo y sentido.

Los vectores A y B son equipolentes

Métodos gráficos para la suma de vectores.- Con

ayuda de dos escuadras y un transportador, se determina la magnitud y dirección del vector resultante o suma de varios vectores componentes. 1.- Método del paralelogramo.- Se dibujan los dos

vectores dados haciendo coincidir sus orígenes, luego se trazan líneas paralelas para formar un paralelogramo, el vector resultante empieza en el origen y termina en la intersección de las líneas trazadas.

2.- Método del triángulo.- Se trazan los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se traza desde el primer origen y termina en la última cabeza.

La suma de con es conmutativa, se expresa como:

3.- Método del polígono.- Es una continuación del método del triángulo, válido para dos o más vectores concurrentes.

El vector suma o resultante, se expresa como:

X

Y

)º40,4( cmA

)º120,3( cmB

)º200,3( cmC

)º60,5.2( cmD

40º

X

120º

200º

–60º

Y

BA

A B

R A B B A

R A B C D


Se trazan los vectores uno a continuación de otro y luego formar un polígono con una recta, el vector resultante se traza del primer origen hasta la última cabeza. En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema de vectores está en equilibrio. Resta de vectores.- Para obtener el vector resultante de una resta o diferencia se puede usar

la regla del paralelogramo o triángulo teniendo en cuenta el vector opuesto:

ABABR

Existe un procedimiento abreviado: Unir los extremos de ambos vectores (dirección) y trazar la flecha (sentido) del sustraendo al minuendo.

Métodos analíticos para la suma de vectores.- Recordar temas básicos de la trigonometría, como el teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas. 1. Vectores colineales y del mismo sentido.- Ángulo entre vectores 0º

El módulo de la resultante está dado por:

2. Vectores colineales de diferente sentido.- Ángulo entre vectores 180º


3. Vectores perpendiculares.- Ángulo entre vectores 90º


Teorema de Pitágoras:

La dirección:

4. Vectores que forman cualquier ángulo.- α = ángulo entre los dos vectores componentes

Módulo de :

Dirección de :

+

R A B

–

R A B

+

2 2R A B

adyacentecat

opuestocat

.

.tan

tanB

A

R

2 2 2 cosR A B AB

R

B sensen

R


Resultante máxima y mínima.- De dos vectores: - La resultante de dos vectores es máxima cuando

estos se encuentran en la misma dirección y sentido ( θ = 0º )

- La resultante de dos vectores es mínima, cuando

estos se encuentran en la misma dirección; pero de sentidos contrarios ( θ = 180º )

Ejem. 4.3.- Halla el módulo de la resultante de dos vectores colineales del mismo sentido de 70 N y 80 N. Datos:

A = 70 N B = 80 N R = ?

El módulo es: R = A + B = 70 N + 80 N La dirección de la resultante es la misma de sus componentes, en este caso horizontal. Ejem. 4.4.- Se tiene dos vectores perpendiculares, A = 20 m y B = 30 m. Calcular el módulo de la resultante y su dirección. Datos:

A = 20 m B = 30 m α = 90º R = ? θ = ?

Módulo de la resultante:

2222 3020 mmBAR

mmmmR 1.361300900400 222

Dirección de la resultante:

Ejem. 4.5.- Dos vectores A = 200 km y B = 300 km

forman 60º entre sí. Calcular el módulo de la resultante y su dirección. Datos: A = 200 km B = 300 km α = 60º R = ? θ = ?


cos222 ABBAR

º60cos)300)(200(2)300()200( 22 kmkmkmkmR

22222 5.01200009000040000 kmkmkmR

22222 600009000040000 kmkmkmR

kmkmR 9.435190000 22


Ejem. 4.6.- Se tienen dos vectores cuyos módulos

son U = 35 kp y V = 50 kp y que forman 120º. Calcular el módulo de la resultante y su dirección. Datos: U = 35 kp V = 50 kp α = 120º R = ? θ = ?

120tan 0.667 tan (0.667) 33.7º

30

A m

B m

1

200 60º 200 0.8660.397

435.9 435.9

(0.397) 23.4º

km sen kmA sensen

R km km

sen



)5.0(350025001225

º120cos503525035

cos2

222

22

22

kpkpkpR

kpkpkpkpR

UVVUR

kpkpR

kpkpkpR

4.441975

175025001225

2

222


Vectores unitarios cartesianos.- Son aquellos vectores que tienen como módulo la unidad de medida de medida y las direcciones coinciden con los ejes cartesianos.

Los vectores cartesianos son:

i = Tiene dirección del eje X positivo

i = Tiene dirección del eje X negativo

j = Tiene dirección del eje Y positivo

j = Tiene dirección del eje Y negativo

Representación de un vector en función de los vectores unitarios:

jViVVVVV yxyx

;

Modulo: 22

yx VVV

Dirección:

x

y

V

Vtg

Ejemplos:

jiAA 545;4

jiBB 262;6

iCC 40;4

Suma de vectores aplicando los vectores unitarios.- Para estas operaciones, se deben sumar o restar cada uno de los componentes unitarios de cada vector: Ejemplos:

1) Sumar: jiA 54

con jiB 32

jiBAR )35()24(

jiR 26

2) Sean los vectores:

A = 2 i + 2 j B = 2 i + j

Hallar el módulo de: A + B Solución: Vector resultante: R = A + B = (2 + 2) i + (2 + 1) j = 4 i + 3 j Módulo de la resultante:

534 22 R


130.75 (0.75) 37º

4tg tg

35 120º 35 0.8660.683

44.4 44.4

kp sen kpU sensen

R kp kp

1(0.683) 43ºsen


1. Copia en tu cuaderno. Sumar aplicando los métodos del paralelogramo y el triángulo:

2. Copia en tu cuaderno. Sumar aplicando el método del polígono:

3. Copia en tu cuaderno y suma los siguientes

vectores (elige el método):

4. Copia en tu cuaderno y realiza las dos

restas de los siguientes pares de vectores:

Restar: a – b

Restar: b – a

Problemas del 5 al 8. Realizar la suma de vectores

representándolos en una hoja cuadriculada. Graficar

el vector resultante y expresarlo con sus vectores

unitarios (i ; j):

= (–2, 4) = (5, 2) = (1, –3)

= (–7, 4) = (–4, 0)

5. Sumar: +

Resp: R = 3 i + 6 j

6. Sumar: + Resp: R = 6 i – j

7. Sumar: Resp: R = – 9 i – 2 j

8. Sumar: Resp: R = 8 i – 7 j

9. ¿Cuál es la resultante de un par de fuerzas,

una de 100 N hacia arriba y una de 75 N hacia abajo (Solución gráfica y analítica)

Escala: 1 cm : 25 km Resp: 25 N hacia arriba

10. Un auto viaja 40 km hacia el este y 70 km hacia

el sur, ¿cuál es su desplazamiento resultante? (Solución gráfica y analítica) Escala: 1 cm : 20 km

Resp: 80.6 km

11. Una mujer camina 4 km hacia el este y después

camina 8 km hacia el norte. a) Aplique el método del triángulo para hallar

su desplazamiento resultante. b) Compruebe el resultado con el método del

paralelogramo. Escala: 1 cm : 2 km

c) Verifique ambos con el método analítico. Resp: 8.94 km ; 63.4º



12. Se tienen dos fuerzas iguales de 10 N cada

una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Resp: 17.3 N

13. Encontrar la magnitud del vector A + B

sabiendo que A = 5 unid., B = 8 unid. Resp: 9.4 unidades

14. Hallar el vector resultante de dos vectores fuerzas de 15 N y 6 N cuando forman un ángulo de: a) 90º b) de 50º y c) de 75º.

(Solución gráfica y analítica) Resp: a) 16.2 N; 21.8º; b) 19.4 N; 13.7º; c) 17.5 N; 19.3º

15. Determine el módulo de la resultante de dos

vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulo de 53º. Resp: 20 unidades

16. Dados: A = (250 N , 0º) y B = (300 N , 150º) . Hallar gráfica y analíticamente la resultante. Escala: 1 cm : 50 N Resp: 150.3 N

17. Dados: A = (60 kp , 0º) y B = (90 kp, 35º) Calcular el vector suma aplicando el método del triángulo y en forma analítica. Escala: 1 cm : 20 kp Resp: 144 kp

18. Calcular el vector resultante por el método del

paralelogramo y del triángulo, de los siguientes sistemas de vectores. Escala: 1 cm : 10 N Resp: 26.8 N

19. Calcule la resultante de los siguientes vectores.

Mediante el método del polígono. (Vuelva a dibujar con la escala)

Escala: 1 cm : 40 N

Resp: 35.87 N ; - 8.6º con el eje +X

20. Un trabajador de topografía inicia su tarea en la

esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, Norte; B = 400 m, Oeste; C = 200 m, Sur; y D = 100 m; Este. ¿Cuál es el desplazamiento neto desde el punto de partida?

Aplique el método del polígono. Escala: 1 cm : 100 m Resp: 500 m ; 126.9º

21. Sean los vectores:

A = 15 i + 12 j B = 3 i + 7 j

Hallar el módulo de: A – B

Resp: 13 unidades

22. Sean los vectores:

A = 5 i + 3 j B = 7 i + 2 j

Hallar el módulo de: A + B Resp: 13 unidades

23. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo del vector resultante. Resp: R = 0i + 1j ; Módulo = 1 unidad

24. Determine el módulo del vector resultante. Resp: R = 4i + 3j ; Módulo = 5 unidades

A

B

C


1. Una de las siguientes magnitudes es escalar:

a) La aceleración b) La velocidad c) La fuerza d) El tiempo

2. Una de las siguientes magnitudes es vectorial:

a) La masa b) El tiempo c) La fuerza d) La densidad

3. La suma de dos vectores A y B que aparecen

en la figura es igual a:

A = 3 u B = 4 u

a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 7 u 4. La suma de dos vectores A y B es máxima

cuando el ángulo entre ellos es:

a) 90º b) 180º c) 45º d) 0º 5. La suma de dos vectores A y B es mínima

cuando el ángulo entre ellos es de:

a) 90º b) 180º c) 45º d) 0º

6. Se tiene un vector de 4 unidades hacia el norte, uno de 8 unidades hacia el sur y otro de 3 unidades hacia el oeste. El vector resultante mide:

a) 9 u b) 8 u c) 5 u d) 15 u 7. Calcular la resultante de dos fuerzas de 10 y 30

kgf si forman un ángulo de 60º.

a) 36.06 kgf b) 10 kgf c) 40 kgf d) 50 kgf

8. Los módulos de dos vectores perpendiculares

son 8 cm y 6 cm respetivamente. El vector resultante de ambos es:

a) 3 cm b) 13 cm c) 10 cm d) 14 cm

9. Si a un desplazamiento de 45 m al Norte se le añade uno de 60 m al Sur; el vector resultante es:

a) 15 m al N b) 105 m al S c) 15 m al S d) 105 m al S

10. Si a un desplazamiento de 30 m al Este se le

añade uno de 15 m al Oeste; el vector resultante es:

a) 45 m al N b) 15 m al O c) 15 m al E d) 45 m al E

11. Dos vectores de magnitudes iguales a 10 kp y

20 kp, forman un ángulo de 37º. ¿Cuál es el valor de la suma de estos vectores?

a) 30 kp b) 28.6 kp c) 13.4 kp d) 10 kp

12. Dos fuerzas de 30 lbf y 40 lbf forman un ángulo de 90º, luego la resultante de estas fuerzas es:

a) 30 lbf b) 40 lbf c) 50 lbf d) 60 lbf

13. Determine el módulo de la resultante de dos

vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulo de 53º.

a) 32 b) 28 c) 20 d) 30

14. Hallar la resultante de los siguientes vectores,

sabiendo que: A = 6 N y B = 8 N

a) 15 N b) 10 N c) 14 N d) 20 N

15. En la figura mostrada el módulo de los vectores

es A = 12 u; B = 5 u. Determine el módulo del vector resultante.

a) 26 u b) 14 u. c) 16 u. d) 13 u.

16. Hallar el vector resultante:

a) d2

b) a

c) a2

d) b2

17. Hallar el vector resultante.

a) c

b) b2

c) c2

d) a2



Cap. 5

CINEMÁTICA I

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORME EN LA MADRE TIERRA Contenido:



Valoramos la importancia del movimiento de los cuerpos mediante el conocimiento de las variables de la cinemática, para determinar rapidez, velocidad, desplazamiento, distancia y tiempo, que permitan asumir con responsabilidad el buen uso de los instrumentos de medida en la comunidad.

DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO

Ingresa a Educaplus, luego Física, después selecciona Movimientos y luego Distancia y desplazamiento y luego Laboratorio virtual de cinemática, investiga con ayuda del profesor y practica por tu cuenta:


Introducción.- La cinemática se ocupa de describir

los movimientos y determinar cuáles son sus características sin importar las causas que lo originan. Movimiento.- El movimiento es el cambio de posición en función del tiempo que experimenta un objeto o partícula con respecto a un sistema o punto de referencia.

Posición de un punto.- La posición de un punto se

determina mediante un sistema de referencia fijo, que puede ser un sistema de ejes coordenados. Una dimensión.- Cuando un objeto se mueve por

una recta, realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra. Sistema de referencia: Eje X (Origen O)

- Posición del punto A: + 4

- Posición del punto C: – 5

- Posición del punto B: + 7

Trayectoria.- La trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.

a) Trayectoria rectilínea: Un automóvil viajando en

una carretera plana y recta.

b) Trayectoria parabólica: Lanzamiento de un

proyectil, cañón.

c) Trayectoria circular: Una silla de un carrusel en

movimiento

Distancia recorrida.- Magnitud escalar. Es la

medida o longitud de la trayectoria. Desplazamiento efectuado.- Magnitud vectorial. Es un vector que representa el desplazamiento realizado entre dos puntos.

Desplazamiento = Posición Final – Posición Inicial

12 xxx

Dónde:

x : Representa el desplazamiento

: Posición en el instante final de observación

: Posición en el instante inicial de observación

Distancia y desplazamiento.- El desplazamiento puede ser positivo, nulo o negativo dependiendo de la posición relativa entre el instante final e inicial.

C O A B

–X +X

X1 X2

ΔX O

2x 2t

1x 1t


Ejem. 5.1.- Una persona se pasea en línea recta en

una pieza de 3 m entre ambas paredes. Después de dar 10 vueltas completas, retorna a su silla donde se encontraba sentada inicialmente. ¿Qué distancia recorrió? ¿Cuál fue su desplazamiento? Solución: Como la posición inicial y final es la

misma, el desplazamiento es nulo:

La distancia recorrida es la suma de sus idas y vueltas dentro de la pieza, por lo tanto es:

Distancia: x = 6 ( 10 m) = 60 m Ejem. 5.2.- Una partícula situada en el eje X en el punto 5 m se mueve hasta la posición 2 m, ¿cuál es su desplazamiento?

Desplazamiento:

Resumiendo:

Distancia: Es magnitud o valor numérico

Desplazamiento: Es magnitud y dirección Rapidez.- Es una magnitud escalar que relaciona la

distancia recorrida con el tiempo. Rapidez media.- La rapidez media de un móvil es el cociente entre la distancia que recorre y el tiempo

que emplea. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche recorre una distancia de 80 km en cada hora.

Velocidad.- Es una magnitud vectorial que

relaciona el desplazamiento con el tiempo. Velocidad media.- La velocidad media de un móvil es el cociente entre el desplazamiento efectuado y

el tiempo que emplea. Si la velocidad de un coche es 80 km/h al NE, esto quiere decir que el coche se mueve con una rapidez de 80 km/h en una dirección NE.

Unidades de rapidez y velocidad.- Se expresa en

dimensiones de longitud sobre tiempo:

Rapidez y velocidad.- Son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia. Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos

magnitudes diferentes. Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes: - La rapidez es una magnitud escalar que

relaciona la distancia recorrida con el tiempo. - La velocidad es una magnitud vectorial que

relaciona el desplazamiento (o cambio de posición) con el tiempo.

- La rapidez es el escalar de la velocidad,

importa su módulo. - La velocidad es un vector, importa su módulo,

dirección y sentido. - Cuando varía la rapidez solo puede hacerlo en su

módulo. - Cuando varía la velocidad, puede hacerlo en su

módulo, en su dirección y/o en su sentido. - El "velocímetro" de un automóvil nos indica

rapidez instantánea y no rapidez media, y mucho menos velocidad.

0final inicialx x x

2 1 2 5 3x x x m m m

empleadotiempo

recorridaciadismediaRapidez

tan

xv

t ;

m cmv

s s

desplazamientoVelocidad media

tiempoempleado

xv

t

; ; ;m cm km milla

vs s h h


Ejm. 5.3.- Un automóvil viaja por una carretera con

una velocidad de 20 m/s rumbo al norte. Indicar cuál es la rapidez y su velocidad:

Movimiento rectilíneo uniforme (M. R. U.).- Se caracteriza por:

Movimiento que se realiza en una sola dirección (horizontal o vertical)

La velocidad es constante; implica magnitud y dirección inalterables.

Describe desplazamientos iguales en tiempos iguales.

La velocidad, se denomina “velocidad media”

La fórmula del M.R.U. es:

Gráficas del M.R.U.- Supongamos que un automóvil

se mueve a 100 km/h.

Gráfica desplazamiento – tiempo:

A 0 h le corresponde 0 km A 1 h le corresponde 100 km

Variable independiente: El tiempo Variable dependiente: El desplazamiento

Gráfica velocidad – tiempo:

La gráfica velocidad–tiempo, es una recta horizontal porque el valor de la velocidad se mantiene constante.

El área comprendida entre “v” y “t”, representa la distancia recorrida por el móvil.

Ejem. 5.4.- Transformar 72 km/h en m/s:

Ejem. 5.5.- Un móvil con Movimiento Rectilíneo

Uniforme (MRU) tiene una rapidez de 4 m/s. Calcula la distancia que recorre en 6 s. Solución:

De la ecuación:

Despejando:

nortealsmV /20

Rapidez: solo módulo

Velocidad: módulo, dirección y sentido

nortealsmV /20

Rapidez: solo módulo

Velocidad: módulo, dirección y sentido

0

2 s

10 m 20 m 30 m

2 s 2 s

xv

t .x v t

xt

v

tvxtvA

v

tt

v

s

m

s

h

km

m

h

kmv 20

3600

1

1

100027

xv

t

. 4 / 6 24x v t m s s m


Ejem. 5.6.- Un velocista corre los 100 m planos en

10 s. Calcula su rapidez media.

Ejem. 5.7.- Calcula el tiempo que demora un

automóvil en recorrer 800 m, con una rapidez media de 20 m/s.

Ejem. 5.8.- Un barco navega hacia el oriente recorriendo 4 millas en 2 horas. ¿Cuánto es su rapidez media? ¿Cuánto es su velocidad media? Datos:

x = 40 millas t = 2 h v = ? Solución: Conversión de unidades:

Rapidez media:

Velocidad media: v = 8.94 m/s hacia el oriente.

Ejem. 5.9.- Un automóvil parte de Sucre a Potosí

con una rapidez promedio de 60 km/h la distancia entre ambas ciudades es de 162 km. ¿Qué tiempo empleará en recorrerla? Datos:

v = 60 km/h x = 162 km t = ? Solución:

hkm

km

v

xt

t

xv

/60

162

min4227.2 hht

Ejem. 5.10.- Un muchacho para bajar por una

escalera empleó 30 s. ¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace con el triple de velocidad?

Cuando el muchacho baja: L vb30g ..... (1)

Cuando el muchacho sube: L 3vbtg ..... (2)

Resolviendo (1) y (2), se tiene: t 10 s

Ejem. 5.11.- Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 3m/s, después de 1 minuto. ¿Qué distancia los separa?

Solución:

De la ecuación: d

v d v.tt

Para el más veloz:

11d v .t 4 m / s 60 s 240 m

Para el más lento:

2 2d v .t 3 m / s 60 s 180 m

La separación entre atletas es:

1 2x d d 240 m 180 m

x 60 m

10010 /

10

mxv m s

t s

80040

20 /

mxt s

v m s

160940 * 64360

1

mx milas m

milla

36002 * 7200

1

st h s

h

643608.94

7200

mx mv

t s s

x


PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 1. Objetivo General:

- Describir las características del movimiento rectilíneo uniforme. 2. Objetivos específicos: - Construir e interpretar la gráfica de la posición en función al tiempo. - Relacionar la pendiente de la gráfica distancia vs. tiempo, con la rapidez media. - Calcular la rapidez media para diferentes distancias de un tipo de movimiento.

3. Fundamento teórico:

- La cinemática se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que los produce. - El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza por mantener la velocidad constante. - La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se define como:

- La distancia recorrida por un móvil con una velocidad constante es una función lineal:

4. Material: - Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet o del CD (Teoría del error)

- Cronómetro

5. Procedimiento:

tiempo

ciadismediaRapidez

tan

t

xv

tvx


1. Inicie el programa de M.R.U. creado o el disponible en el software. 2. Ponga a funcionar el experimento virtual, mida el tiempo tres veces para cada tramo. Halle el promedio.

3. Proceda para distancias de: 6.0, 8.0, 10.0, 12.0 y 14.0 m 4. Anote los resultados en la tabla I.

TABLA I Tabulación de tiempos y distancias

Ensayo Tiempo para: x = 6

Tiempo para: x = 8

Tiempo para: x = 10

Tiempo para: x = 12

Tiempo para: x = 14

1

2

3

Tiempo promedio

5. Traslade los datos a la tabla II 6. Calcule los valores de la rapidez en cada tramo. Halle el promedio de ellos y anote en la tabla III (medida

experimental) 7. Grafique los pares de datos distancia (x) vs. tiempo (t). de la tabla II.

8. Corrija la curva aplicando regresión lineal. 9. Obtenga la pendiente de la curva. 10. La pendiente representa a la rapidez del móvil. Anote su valor en la tabla III (medida teórica) 11. Compare resultados. Determine el error porcentual, considerando como VMP la pendiente.

TABLA II Tabulación de datos experimentales

Distancia: x (m) 6

8

10

12

14

Tiempo: t (s)

Rapidez: (m/s)

Velocidad experimental promedio: vexp.= ………………

TABLA III Tabulación de resultados

Rapidez:

Resultados analíticos

Resultados experimentales

Er

E%

v (m/s)

6. Discusión y análisis de resultados:

(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, etc.)

1. ¿Qué factores influyen para una toma mejor de tiempos? 2. ¿Cómo son las rapideces obtenidas en la tabla II? ¿Existe mucha dispersión? 3. Para la construcción de la gráfica y posterior corrección mediante regresión lineal de los pares de datos x

vs. t ¿Cómo hizo el trabajo? (manualmente, con RL de la calculadora o Excel) ¿Cuál cree es más conveniente por la facilidad?

4. La pendiente de la gráfica ¿qué representa? 5. ¿Estos dos valores finales difieren mucho? 6. ¿El error porcentual es aceptable o no? 7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)

t

xv


1. ¿Qué velocidad tiene un ciclista que recorre 0.5 km en 5.5 min?

Resp: 1.52 m/s 2. Un automóvil viajó 86.4 km. con una velocidad

constante de 8 m/s, ¿Cuántas horas se requiere para el viaje?

Resp: 3 horas

3. El sonido viaja por el aire con una rapidez de

340 m/s, disparando un cañón, ¿en cuánto tiempo más se oirá el disparo a 1360 m de distancia?

Resp: 4 seg.

4. La velocidad de un avión es de 980 km/h,

mientras que un segundo avión tiene una velocidad de 300 m/s. ¿Cuál es más veloz?

Resp: El segundo

5. A las 9: 30 horas se informa en la estación que

un avión se halla a 108 km del aeropuerto, halle la velocidad del avión, supuesta constante, sabiendo que aterrizará en el aeropuerto a las 11 horas.

Resp: 72 km/h

6. Un estudiante, para llegar a la escuela, camina

3 cuadras al este y 4 cuadras al norte, esto le toma alrededor de 20 minutos, conociendo que el estudiante tiene una rapidez de 0.8 m/s. Calcule la longitud de cada cuadra supuesta de igual medida.

Resp: 137.14 m 7. ¿Cuánto tiempo tardará un niño en patines, que

puede desarrollar una velocidad de 7.4 m/s, recorrer una distancia de 120 m?

Resp: 16.2 s

8. Una rueda se desliza por un camino horizontal.

Si se mueve a razón de 8 m/s, ¿cuánto tardará en recorrer 100 m?

Resp: 12.5 s

9. Un atleta corre una maratón de 42 kilómetros

en 2 horas y 15 min. ¿Cuál es su velocidad? Resp: 5.18 m/s

10. Un auto de juguete avanza según los siguientes

pisos: en madera a 0.5 m/s; en cemento a 0.4 m/s, en baldosa a 0.8 m/s. ¿Cuánto tarda en

recorrer una distancia total de 20 metros, repartidos en 4 metros de madera, 2.5 metros de cemento y el resto en baldosa?

Resp: 31.13 s

11. Un automóvil recorre 40 km en media hora.

a) ¿Cuál es su rapidez? b) Si mantiene esa rapidez, ¿cuánto tardará en recorrer 320 km, desde que partió?

Resp: a) 80 km/h; b) 4 h

12. Un atleta recorre 100 m en 10 s. a) ¿Con qué

rapidez se desplaza?, b) ¿qué distancia recorrería en una hora? (si pudiera mantener esa rapidez).

Resp: a) 10 m/s, b) 36 km

13. Un bus en el trayecto Sucre - Tarabuco, tarda

una hora y tres cuartos. Si la distancia que recorre es de 110 km, ¿con qué rapidez se desplazó? Exprese el resultado en km/h.

Resp: 62.86 km/h

14. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s.

¿Cuánto tarda un espectador de un partido de fútbol en escuchar el ruido de un "chute" que se lanza a 127.5 m de distancia de él?

Resp: 0.375 s

15. Un mach es la velocidad del sonido. Un avión

supersónico viaja a 2.5 mach. ¿Cuánto tardará en recorrer 2448 km?

Resp: 0.8 h = 48 min

16. Desde un mismo punto parten un automóvil, a

razón de 72 km/h, y una motocicleta, a razón de 15 m/s. a) ¿Qué distancia los separará al cabo de media hora si se dirigen hacia un mismo lugar?, b) ¿Qué distancia los separará al cabo de media hora si parten en una misma dirección pero en sentidos contrarios?

Resp: a) 9000 m; b) 63000 m

17. ¿Qué distancia hay entre la Tierra y el sol si la

luz de este astro tarda 8 min 20 seg en recorrer la distancia que los separa?

Resp: 1.5x108 km

18. Un hombre conduciendo un camión a velocidad

constante de 25 m/s, observa el pueblo a 2.5 km ¿en qué tiempo llegará a su destino?

Resp: 1 min y 60 seg.



1. Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición de:

a) 750 m b) 1250 m c) 500 m d) N. A.

2. Un auto viaja en línea recta 200 km; luego

regresa 100 km empleando un tiempo de 5 horas en todo el recorrido, se movió con velocidad media de:

a) 60 km/h b) 20 km/h c) 40 km/h d) 30 km/h 3. La rapidez media del auto del problema anterior

fue: a) 60 km/h b) 20 km/h c) 40 km/h d) 30 km/h 4. Un ciclista que se mueve a razón de 6 m/s, en un

cuarto de hora recorre una distancia de: a) 5400 km b) 90 m c) 90 km d) 5400 m 5. Un coche de carreras recorre la distancia de

2000 m en 1.5 min. ¿Cuál es su rapidez? a) 22.2 m/s b) 1333.3 m/s c) 180000 m d) N. A. 6. El desplazamiento es un: a) Escalar b) Vector c) La rapidez d) La velocidad

7. Un autobús parte de Sucre a las 7:30 de la

mañana y llega a Potosí a las 12:30, si la distancia recorrida es de 160 km, su rapidez media es:

a) 40 km/h b) 60 km/h c) 32 km/h d) 50 km/h 8. Señala el valor de la siguiente velocidad en

unidades del S.I.: v = 36 km/h a) 200 m/s b) 72 m/s c) 20 km/h d) 10 m/s 9. Un coche recorre 3 km en 2 min. Calcula su

velocidad en m/s. a) 25 m/s b) 30 m/s c) 1.5 m/s d) N. A.

10. Un avión se desplaza a una velocidad de 1080 km/h. Calcula la velocidad en m/s

a) 108 m/s b) 300 m/s c) 600 m/s d) N. A. 11. Un coche avanza con una velocidad de 8 m/s.

Calcula el espacio recorrido en un tiempo de 4 segundos.

a) 16 m b) 32 m c) 2 m d) N. A. 12. ¿Qué magnitud permanece constante en un

movimiento rectilíneo uniforme?

a) El tiempo b) La velocidad c) El espacio d) N. A. 13. ¿Cuántos metros recorre en 10 s un coche que

se mueve a una velocidad de 36 km/h? a) 360 m b) 3.6 m c) 100 m d) N. A. 14. Un móvil que va con M.R.U. inicia su

movimiento en x = –12 m y luego de 8 s está en x = + 28 m, hallar su velocidad. a) 4 m/s b) 3 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s

15. Javier un joven estudiante, desea saber a qué

distancia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual emite un grito y cronómetro en mano, comprueba que el eco escucha luego de 3s. ¿Cuál es esa distancia en metros? (velocidad del sonido = 340 m/s) a) 500 m b) 510 m c) 450 m d) 400 m

16. Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de 1 minuto. ¿Qué distancia los separa? a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 150 m

17. Una moto y un auto se encuentran a una distancia de 1000 m. Si parten simultáneamente en la misma dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En qué tiempo se produce el encuentro? a) 16 s b) 20 s c) 25 s d) 30 s

18. Dos móviles con velocidades constantes de 40 y 25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Después de cuánto tiempo estarán separados 13 km? a) 100 s b) 200 s c) 150 s d) 125 s



Cap. 6

CINEMÁTICA II

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE VARIADO

EN LA MADRE TIERRA CONTENIDO:


OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos los procesos de movimiento acelerado estudiando y analizando las características y efectos de los cambios de velocidad, recurriendo al trabajo práctico de laboratorio y solución de problemas numéricos, que permita a los estudiantes aplicar a situaciones creativas en el contexto que les rodea.

CINEMÁTICA CON EDUCAPLUS

Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Movimiento en una dirección.


Introducción.- Muchas personas piensan que

cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error!

- Una aceleración grande significa que la velocidad

cambia rápidamente.

- Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.

- Una aceleración cero significa que la velocidad

no cambia. Aceleración.- Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una interpretación incorrecta de esta relación. La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cómo de rápidos son los cambios de velocidad:

“La aceleración es una magnitud vectorial, se define como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo” “Un objeto se acelera cuando su rapidez aumenta, cuando su rapidez disminuye o cuando cambia la dirección de movimiento” Aceleración media.- Es el cociente de la variación de la velocidad entre el intervalo de tiempo.

a = Aceleración

= Velocidad final

= Velocidad inicial

= Tiempo empleado

Unidades:

Ejem. 6.1.- Un objeto que posee una aceleración

constante de 5 m/s2. Su velocidad se incrementa 5 m/s cada segundo, supongamos que el objeto tiene una velocidad inicial (v0) de 20 m/s en t0 = 0 s, entonces sus rapideces para diferentes tiempos serán:

t (s) 0 1 2 3 4 5

v (m/s) 20 25 30 35 40 45

Incremento de velocidad cada segundo:

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (M. R. U. V.).- Se caracteriza por:

Su trayectoria es una línea recta.

Los cambios de velocidad son iguales en intervalos de tiempos iguales.

El móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.

El cuerpo se mueve con velocidad uniformemente variable.

La aceleración del móvil es constante.

Ecuaciones del M.R.U.V.– Las ecuaciones del movimiento rectilíneo, son de tipo vectorial (velocidad, aceleración y desplazamiento son magnitudes vectoriales). - Si la velocidad y la aceleración tienen sentidos

opuestos, el móvil desacelera, va frenando.

- Si la velocidad y la aceleración tienen igual sentido, el móvil acelera, aumenta su rapidez.

- Si el móvil parte del reposo, la velocidad inicial es

cero. - Si el móvil va frenando y se detiene, la velocidad

final es cero.

t

vv

tt

vv

t

va 0

0

0

v

0v

t

2 2

;m cm

as s

smsmsmvvv /5/20/250

2/51

/5sm

s

sm

t

va


v0 = Velocidad inicial v = Velocidad final

a = Aceleración x = Desplazamiento

a) Velocidad en función del tiempo: De la definición de la aceleración:

b) Velocidad en función del desplazamiento:

c) Desplazamiento en función del tiempo:

También es importante considerar la ecuación:

d) Velocidad media o promedio:

Gráficas del movimiento uniformemente variado: a) Velocidad -vs- tiempo.- Es una recta, cuya pendiente es la aceleración media del móvil:

- La inclinación de la recta depende de la aceleración.

- Para calcular v0 determinar el punto de corte

de la recta con el eje “v”.

- Para calcular la aceleración del movimiento, calcular la pendiente de la recta

- El área comprendida entre la pendiente las

verticales y el eje de los tiempos representa la distancia recorrida por el móvil.

b) Desplazamiento -vs- tiempo.- La gráfica es una parábola: - La aceleración es positiva si la parábola se abre

hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo.

- Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración

- La parábola siempre pasa por el origen,

(desplazamiento inicial x0 = 0)

- Si es cóncava hacia arriba el movimiento es acelerado.

t

vva 0

0v v at

2 2

0 2v v a x

210 2

x v t at

0

2

v vx t

xv

t

2

ov vv

t

v2

v

v1

t2t1

-

-

tanv v

at t

Ot

x


c) Aceleración -vs-tiempo.- La gráfica es una recta

horizontal:

Ejem. 6.1.- Un tren que viaja sobre rieles rectos tiene una velocidad inicial de 45 km/h. Se aplica una aceleración uniforme de 1.50 m/s2 conforme el tren recorre 200 m. a) ¿Cuál es la velocidad del tren al final de este desplazamiento? b) ¿Cuánto tiempo toma al tren recorrer los 200 m? Datos:

a = 1.50 m/s2

x = 200 m a) v = ? b) t = ? Solución: a) Haciendo uso de la ecuación, velocidad final en función del desplazamiento:

b) El tiempo con la ecuación de la velocidad en función del tiempo:

st

sm

smsm

a

vvttavv

10

/50.1

/5.12/5.272

0

0

Ejem. 6.2.- Un automóvil que va a 85 km/h en un

camino recto se detiene en 10 s. ¿Qué tan lejos viajó el auto durante ese tiempo?

Datos:

vo = 85 km/h = 23.6 m/s v = 0 t = 10 s x = ? Solución:

Ejem. 6.3.- Un automóvil que viaja sobre un camino

recto a 90 km/h disminuye la velocidad a 40 km/h en 5 s. ¿Cuál es su aceleración promedio? Datos:

t = 5 s a = ? Solución:

Ejem. 6.4.- Un bote de motor parte del reposo en un

lago y acelera en línea recta a razón de 3 m/s2 durante 8 s. ¿Qué tan lejos viajó el bote durante ese tiempo? ¿Qué velocidad alcanzó? Datos:

vo = 0 a = 3 m/s2 t = 8 s x = ? v = ? Solución: Cálculo de la distancia recorrida:

La velocidad del bote al final de los 8 s, es:

t

a

s

m

s

h

km

m

h

kmv 5.12

3600

1*

1

1000*450

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 (12.5 / ) 2(1.50 / )(200 )

156.25 / 600 / 756.25 /

756.25 / 27.5 /

v v a x m s m s m

v m s m s m s

v m s m s

20 /36.210

/230sm

s

sm

t

vva

2 2 21 10 2 2

(23.6 / )(10 ) ( 2.36 / )(10 )x v t at m s s m s s

236 118 118x m m m

s

m

s

h

km

m

h

kmv 25

3600

1*

1

1000*900

s

m

s

h

km

m

h

kmv 11

3600

1*

1

1000*40

20 11 / 25 / 13 /2.8 /

5 5

v v m s m s m sva m s

t t s s

mssmssmtatvx 96)64()/3()8()/3( 22

2122

212

21

0

smssmtavv /24)8()/3( 20



MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 1. Objetivo General:

- Describir las características del movimiento rectilíneo uniformemente variado. 2. Objetivos específicos: - Verificar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado. - Describir y calcular la aceleración de un cuerpo con movimiento acelerado. - Interpretar la gráfica velocidad vs. tiempo. - Relacionar la pendiente de la gráfica velocidad vs. tiempo, con la aceleración. 3. Fundamento teórico: - El movimiento rectilíneo uniformemente variado se caracteriza por cumplir con:

4. Material: - Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet.

- Construir una simulación de M. R. U. V. para un bloque en un plano inclinado sin rozamiento. - Cronómetro

5. Procedimiento:

1. Inicie el programa de M.R.U.V. creado o el disponible en el software. 2. Ponga a funcionar el experimento virtual y mida el tiempo tres veces para distancias de 6 m, 9 m, 12 m,

15 m y 18 m. Halle el promedio. 3. Anote los resultados en la tabla I.

t

va

atvv 0 axvv 22

0

2 2

21

0 attvx tvv

x

2

0


4. Traslade los valores de la tabla I, a la tabla II

5. Halle la velocidad final de cada tramo (Considerando v0 = 0):

6. Con la velocidad obtenga la aceleración de cada tramo y obtenga el valor promedio:

TABLA I Tabulación de tiempos y distancias

Ensayo Tiempo para: x = 6 m

Tiempo p ara: x = 9 m

Tiempo para: x = 12 m



1

2

3

Tiempo promedio

TABLA II Tabulación de datos experimentales

Distancia:

x (m

6

9

12

15

18

Tiempo: t (s)

Velocidad:

v (m/s)

Aceleración: a (m/s2)

Aceleración experimental promedio aexper.= ……………… 7. Grafique los pares de datos velocidad (v) vs. tiempo (t)

8. Corrija la gráfica aplicando regresión lineal. 9. Obtenga a pendiente de la gráfica. 10. Compare la pendiente con los valores de la aceleración de la tabla II. 11. Determine el error porcentual, considerando como valor más probable la pendiente y el valor medido el

promedio de las aceleraciones de la tabla II.




Er

E%

Aceleración:

a (m/s2)


(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, gráficas, etc.) Preguntas:

1. ¿Cuándo se dice que un cuerpo acelera? 2. ¿Cuándo se tiene un movimiento uniformemente acelerado? 3. Matemáticamente, ¿cómo está definida la aceleración uniforme? 7. Conclusiones:

0

0 2

2v

t

xvt

vvx

t

vva

t

va 0


1. Un niño empieza a resbalar por un tobogán

adquiriendo una aceleración constante de 0.8 m/s2, el descenso dura 3 s, halle el largo del tobogán

Resp: 3.6 m

2. Un tren va con una velocidad de 18 m/s; frena y

se detiene en 15 s, calcule su desaceleración. Resp: 1.2 m/s2

3. La velocidad de un bote salvavidas es de 8 m/s,

a apagarse el motor la fricción del agua produce una desaceleración media de 4m/s, ¿Qué distancia recorrerá el bote desde el instante en que fue apagado el motor hasta detenerse?

Resp: 8 m

4. En un informe técnico se detalla que cierto

automóvil es capaz de acelerar desde el reposo hasta 12 m/s necesitando una distancia de 48 m, calcule el tiempo empleado para esto.

Rpt. t = 8 s

5. Las partículas alfa se disparan con una rapidez

de 4x107 m/s hacia el aire y viajan 8 cm antes de detenerse. Halle su desaceleración media en el tiempo que le toma detenerse.

Rpt. a= 1016 m/s2

6. Un cohete parte del reposo con aceleración

constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?

Resp: a = 19.6 m/s²; x = 8820 m

7. Un móvil que se desplaza con velocidad

constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

Resp: v0 = 32 m/s; a = –1.28 m/s²

8. ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar

una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?

Resp: t = 3 h

9. Un móvil parte del reposo con una aceleración

de 20 m/s ² constante. Calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s? b) ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s?

Resp: vf = 300 m/s; x = 2250 m

10. Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una

velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular: a) ¿Cuánto vale la aceleración? b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s? c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s?

Resp: a = 5 m/s²; x = 62.5 m; vf = 55 m/s

11. Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en

recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h?

Resp: t = 27.8 s

12. Un móvil se desplaza con M.U.V. partiendo del

reposo con una aceleración de 4 m/s², calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s? b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida? c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo.

Resp: vf = 40 m/s; x = 2048 m

13. Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con

una aceleración constante de 8 m/s2. Calcular: a) La velocidad que tiene al cabo de 5 s b) La distancia recorrida, desde el reposo, en los primeros 5 s.

Resp: a) 40 m/s; 100 m

14. La velocidad de un vehículo aumenta

uniformemente desde 15 km/h hasta 60 km/h en 20 s. Calcular: a) La velocidad media en m/s b) La aceleración c) La distancia recorrida durante este tiempo.

Resp: a) 10.42 m/s; b) 0.625 m/s2 ; c) 208.34 m

15. Un automóvil que marcha a una velocidad de

45 km/h, aplica los frenos y al cabo de 5 s su velocidad se ha reducido a 15 km/h. Calcular a) La aceleración b) La distancia recorrida durante los 5 s.

Resp: a) –1,67 m/s2; b) 41.62 m

16. Un tren viaja a 120 km/h y necesita detenerse

en 100 m. ¿Qué aceleración necesita



imprimírsele? ¿Cuánto tiempo tarda en pararse? ¿Qué velocidad media?

Resp: –5.55 m/s2 ; 6 s ; 16.67 m/s

17. Un tren que marcha a la velocidad de 80 km/h,

frena durante 60 m, con lo que su velocidad pasa a ser de 50 km/h. ¿Cuál es el valor de la aceleración?

Resp: –2.51 m/s2

18. El conductor de un camión que va a 100 km/h

aplica los frenos, dando al camión una desaceleración uniforme de 6.50 m/s2 conforme viaja 20.0 m a) ¿Cuál es la velocidad del camión en km/h al final de esa distancia? b) ¿cuánto tiempo empleó?

Resp: 81.43 km/h, 0.8 s

19. Un automóvil parte del reposo con una

aceleración constante de 0.5 m/s², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar: a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos? b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?

Resp: x1 = 3.6 km; x = 212.4 km

20. Un auto se mueve con una rapidez de 20 m/s.

cuando el conductor aplica los frenos. El movimiento pasa a ser uniformemente retardado, haciendo que el auto se detenga totalmente en 4 s.

a) Calcula la desaceleración que los frenos imprimieron al auto.

b) ¿Qué distancia recorre desde el momento que aplicaron los frenos hasta que se detuvo?

Resp: a) –5 m/s2; b) 40 m

21. Un automóvil viaja a 35.0 millas/ h se encuentra

a 110 pies de una barda cuando el conductor aplica los frenos. Cuatro segundos después el auto choca con la barda. a) ¿Cuál es la desaceleración del automóvil antes del impacto? b) ¿Cuál era la rapidez del auto en el momento del impacto? Resp: a) -11.9 pies/s2; b) 3.7 pie/s

22. Un antílope con aceleración constante cubre la

distancia de 70 m entre dos puntos en 7 s. Su rapidez al pasar el segundo punto es 15 m/s. a) ¿Qué rapidez tenía en el primero? b) ¿Qué aceleración tiene? Resp: 5.0 m/s; 1.43 m/s2

23. El anuncio de un auto deportivo dice que

puede alcanzar una velocidad de 90.0 km/h en 6.85 s ¿Cuál es la aceleración media del auto, y compare con la aceleración de la gravedad?

Resp: 3.65 m/s2 aproximadamente un tercio de la aceleración de la gravedad

24. Una bicicleta que avanza a 10 m/s acelera a

razón de 4 m/s2 a) ¿Cuál será su rapidez al cabo de 5 s? b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? Resp: a) 30 m/s; b) 100 m

25. Un carro, inicialmente en reposo, rueda cuesta

abajo en una colina a una aceleración uniforme de 5.0 m/s2. ¿Cuánto tiempo le tomará viajar 150 m, la distancia hasta el fondo de la colina?

Resp: 7.75 s

26. Un tren que se desplaza a 240 km/h aplica los

frenos disminuyendo su velocidad a razón de 4.5 m/s2. ¿Cuál es la velocidad que lleva al cabo de 56 m de recorrido?

Resp: 225.98 km/h

27. Un auto al pasar por dos puntos separados 180

m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por el segundo punto.

Resp: 25 m


constante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada 5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minuto.

Resp: 3600 m


constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que recorre en los 4 s siguientes.

Resp: 96 m

30. Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,

desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para lograr detenerse?

Resp: 6 s

31. Un móvil acelera 10 m/s² durante 10 s,

después mantiene la velocidad durante 15 s y posteriormente frena con una aceleración de 20 m/s². Determinar la distancia recorrida en ese tiempo, así como la velocidad media. Resp: 2250 m; 75 m/s


1. Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza 50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?

a) 2.5 b) 4 c) 6.5 d) 40

2. Una gacela pasa por dos puntos con una velocidad de 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido?

a) 100 s b) 200 s c) 10 s d) 20 s

3. Un móvil parte con una velocidad de 36 km/h y

una aceleración de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s?

a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 50 m/s

4. Un auto al pasar por dos puntos separados 180

m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por el segundo punto?

a) 20 m/s b) 30 m/s c) 25 m/s d) 35 m/s

5. Un cuerpo parte del reposo con aceleración

constante y recorre 12 m en 4 segundos. La velocidad obtenida es de: a) 0 m/s b) 48 m/s c) 3 m/s d) 6 m/s

6. Un automóvil con aceleración constante de 2 m/s2 parte del reposo. Al cabo de 10 segundos, su velocidad es:

a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 50 m/s

7. Un móvil cambia su rapidez de manera uniforme, desde 12 m/s hasta 8 m/s mientras recorre 40 m. La aceleración en m/s2, es:

a) –1 b) 1 c) –0.75 d) 0.75

8. Un automóvil cambia su rapidez de manera

uniforme, desde 3 m/s hasta 7 m/s en un tiempo de 8 segundos. Su aceleración, en m/s2, es:

a) 0.5 b) 1 c) 2 d) 4

9. Un avión parte de reposo y recorre 196 m en 7 s para despegar. Su aceleración es:

a) 8 m/s2 b) 7 m/s2 c) 9 m/s2 d) 10 m/s2

10. Un avión aterriza con una velocidad de 432

km/h y se detiene después de recorrer 1200 m, luego, la aceleración retardadora producida por los frenos es:

a) 4 m/s2 b) 5 m/s2 c) 6 m/s2 d) 7 m/s2 11. Un cuerpo que se mueve a una velocidad de 10

m/s es frenado hasta alcanzar el reposo en una distancia de 20 m, ¿Cuál es su aceleración negativa en m/s2? a) 2.0 b) 2.5 c) 3.0 d) 3.5

12. Un auto se mueve con una velocidad de 15 m/s

cuando el conductor aplica los frenos desacelera uniformemente deteniéndose en 3 s. Halle la distancia recorrida en el frenado. a) 20.5 m b) 21.5 m c) 22.5 m d) 23.5 m

13. Un ciclista se mueve con una rapidez de 6 m/s de pronto llega a una pendiente suave en donde acelera a razón de 0.4 m/s2 terminando de recorrer la pendiente en 10 s. Halle la longitud de la pendiente a) 60 m b) 65 m c) 70 m d) 80 m

14. Un automóvil que se desplaza con una

velocidad de 60 km/h aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante 12 s hasta detenerse, La distancia que recorre en este tiempo es de: a) 160 m b) 100 m c) 144 m d) 60 m

15. Un automóvil pasa por dos puntos con

velocidad de 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido? a) 7 s b) 9 s c) 10 s d) 12 s

16. Un chico empieza a resbalar por un tobogán

adquiriendo una aceleración constante de 0.8 m/s2, el descenso dura 3 s, halle el largo del tobogán a) 2.1 m b) 3.3 m c) 3.6 m d) 4.0 m

17. Un tren va con una velocidad de 18 m/s; frena y

se detiene en 15 s, calcule su desaceleración.

a) 1 m/s2 b) 0.5 m/s2 c) 1.2 m/s2 d) 2 m/s2 18. La velocidad de un bote salvavidas es de 8 m/s,

al apagarse el motor la fricción del agua produce una desaceleración media de 4 m/s2, ¿Qué distancia recorrerá el bote desde el instante en que fue apagado el motor hasta detenerse? a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 9 m



Cap. 7

SABERES Y

CONOCIMIENTOS CULTURALES

EN MOVIMIENTOS TELÚRICOS



Practicamos la responsabilidad entre nuestros estudiantes mediante la investigación de los movimientos telúricos en nuestro planeta, desarrollando prácticas de seguridad personal durante y después de un terremoto y fortalecer el sentido de responsabilidad entre nuestros estudiantes.

TSUNAMI

Un TSUNAMI (del japonés TSU: puerto o bahía, NAMI: ola), es una ola o serie de olas que se producen en una masa de agua al ser empujada violentamente por una fuerza que la desplaza verticalmente. Antiguamente se les llamaba marejadas, maremotos u ondas sísmicas marinas, pero estos términos han ido quedando obsoletos. Terremotos, volcanes, meteoritos, derrumbes costeros o subterráneos e incluso explosiones de gran magnitud pueden generar un tsunami. Para que un terremoto origine un tsunami el fondo marino debe ser movido abruptamente en sentido vertical, de modo que el océano es impulsado fuera de su equilibrio normal. Cuando esta inmensa masa de agua trata de recuperar su equilibrio, se generan las olas. El tamaño del tsunami estará determinado por la magnitud de la deformación vertical del fondo marino. No todos los terremotos generan tsunamis, sino sólo aquellos de magnitud considerable, que ocurren bajo el lecho marino y que son capaces de deformarlo. En un tsunami el brusco movimiento del agua desde la profundidad genera un efecto de latigazo hacia la superficie que es capaz de lograr olas de magnitud impensable. Sólo cuando llegan a la costa comienzan a perder velocidad, al disminuir la profundidad del océano. La altura de las olas, puede incrementarse hasta superar los 30 metros (lo habitual es una altura de 6 o 7 m). Si bien cualquier océano puede experimentar un tsunami, es más frecuente que ocurran en el Océano Pacífico, cuyas márgenes son más comúnmente asiento de terremotos de magnitudes considerables (especialmente las costas de Chile y Perú y Japón). Además el tipo de falla que ocurre entre las placas de Nazca y Sudamericana, de subducción, esto es que una placa se va deslizando bajo la otra, hacen más propicia la deformidad del fondo marino y la aparición de tsunamis. A pesar de lo dicho anteriormente, han ocurrido tsunamis devastadores en los Océanos Atlánticos e Índico, así como el Mar Mediterráneo.


Introducción.- La Tierra no es, una tierra tranquila, posee movimientos provocados por las capas tectónicas, estos hacen que los continentes se

alejen o su acerquen unos a otros, pero esto crea consecuencias, estos son los llamados movimientos telúricos, que se manifiestan por diferentes maneras, en este caso estudiaremos dos formas de movimiento telúrico: los sismos y los maremotos. Placa tectónica o Placa litosférica.- La litosfera,

es la capa sólida más externa de la Tierra, está dispuesta en una suerte de mosaico con muchas fracciones que en algunos puntos, contactan con material menos sólido, generándose fisuras y separaciones en placas separadas. Hoy sabemos que existen más de 28 placas en total, pero son 9 las más grandes e importantes y 6 de ellas reciben nombres su nombre por los continentes incrustados en ellas. Esas 6 placas son la de América del Norte, América del Sur, Eurasia, África, Indoaustraliana y Antártida.

Una placa tectónica o placa de litósfera es un gran bloque sólido de roca, tierra, minerales y muchos otros materiales de la naturaleza que se mueven y

que le dan forma a la Tierra. En los bordes de las placas se concentra actividad sísmica, volcánica y tectónica. Esto da

lugar a la formación de grandes cadenas y cuencas.

Esquema del encuentro de la placa de Nazca (oceánica) con la Sudamericana (continental).

Fallas.- Uno de los accidentes del terreno que se

puede observar más fácilmente son las fallas o rupturas de un plegamiento. Las fallas son un tipo de deformación de la corteza terrestre que finaliza en ruptura, dando lugar a una gran variedad de estructuras geológicas. Cuando esta ruptura se produce de forma brusca, se produce un terremoto. En ocasiones, la línea de falla permite que, en ciertos puntos, aflore el magma de las capas inferiores y se forme un volcán.

Falla de San Andrés; pasa a través de California Estados Unidos y Baja California, México. Partes de una falla.- El plano de falla es la superficie

sobre la que se ha producido el movimiento, horizontal, vertical u oblicuo. Si las fracturas son frágiles, tienen superficies lisas y pulidas por efecto de la abrasión. Durante el desplazamiento de las rocas fracturadas se pueden desprender fragmentos de diferentes tamaños.

Falla normal

Falla de desgarre

http://es.wikipedia.org/wiki/Terremoto


Falla oblicua con desgarre

Falla inversa

Movimientos sísmicos.- Un movimiento sísmico es

un movimiento vibratorio producido por la pérdida de estabilidad de masas de corteza. Cuando el movimiento llega a la superficie y se propaga por ésta se le llama terremoto.

Estas pérdidas de estabilidad se asocian, generalmente, a los límites de placas tectónicas. Ondas sísmicas.- Llamamos ondas sísmicas a las ondas que se propagan en el interior de la Tierra. Mucho de lo que sabemos acerca de la Tierra procede del estudio de las ondas sísmicas y de cómo éstas viajan a través de diferentes tipos de materiales. Las ondas sísmicas se clasifican en ondas internas y ondas superficiales. Las ondas internas son aquellas que se propagan desde su origen hasta la superficie de la Tierra, que se subdividen en ondas P y ondas S.

Por otra parte, las ondas superficiales son las que se propagan sobre la superficie de la Tierra, que a su vez se subdividen en ondas Rayleigh y ondas Love, después de la llegada de las ondas P y S a la superficie de la Tierra.

Las ondas P (ondas primarias) se denominan así porque son las primeras en llegar a la superficie de la Tierra. Su velocidad de propagación es de aproximadamente unos 7.5 km/s, aunque ésta puede cambiar dependiendo de la densidad del medio en el que se transmiten. Las ondas P son ondas longitudinales que se propagan produciendo oscilaciones del material con el que se encuentran en el mismo sentido en el cual se propagan. Las ondas S (ondas secundarias) deben su

nombre al hecho de que llegan a la superficie de la Tierra después de las ondas P, en segundo lugar. Las ondas S tienen una velocidad propagación de alrededor de 4.2 km/s, aunque al igual que las P, estas también varían de acuerdo al material en el que se propagan. Las ondas S son ondas transversales que se propagan produciendo movimientos perpendiculares a la dirección en que se propagan, a través del material en que se transmiten.

Así, las ondas P llegan primero, seguidas por las ondas S y es esta diferencia de tiempo la que permite determinar la distancia entre el punto de


percepción del temblor y su foco. Las ondas superficiales se producen después de la llegada de las ondas internas al epicentro en la superficie de la Tierra. Tanto las ondas Rayleigh como las ondas Love son ondas transversales, lo que asemeja a

las ondas Rayleigh a las olas del mar. En su desplazamiento, las ondas Love producen deformaciones horizontales perpendiculares.

Velocidad de propagación de las ondas sísmicas: Velocidad de las ondas “p”:

3

4

K

v p

Velocidad de las ondas “s”:

sv

K = Módulo de compresibilidad

= Densidad = Rigidez

Cuanto más denso es el material que atraviesan, tanto más lentas son, mientras que cuanto más rígido, tanto más rápidas. Terremotos.- Los terremotos o sísmos, son

reajustes de la corteza terrestre causados por los movimientos de las placas tectónicas. Un terremoto es una sacudida del terreno que se produce debido al choque de las placas tectónicas y a la liberación de energía en el curso de una reorganización brusca de materiales de la corteza terrestre al superar el estado de equilibrio mecánico. El punto interior de la Tierra donde se produce el sismo se denomina foco sísmico o hipocentro, y el punto de la superficie que se halla directamente en la vertical del hipocentro —y que, por tanto, es el primer afectado por la sacudida— recibe el nombre de epicentro. El movimiento de la superficie terrestre que provoca un terremoto no representa un riesgo, salvo en casos excepcionales, pero sí nos afectan sus consecuencias, ocasionando catástrofes: caída de construcciones, incendio de ciudades, avalanchas y tsunamis.

Hipocentro, zona interior profunda, donde se produce el terremoto. Epicentro, área de la superficie perpendicular al

hipocentro, donde repercuten con mayor intensidad las ondas sísmicas Origen.- La causa de un temblor es la liberación súbita de energía dentro del interior de la Tierra por un reacomodo de ésta. Este reacomodo se lleva a cabo mediante el movimiento relativo entre placas tectónicas. Las zonas en donde se lleva a cabo este tipo de movimiento se conocen como fallas geológicas (la falla de San Andrés es un ejemplo) y a los temblores producidos se les conoce como sismos tectónicos.

Tipos de terremotos.- Aunque la mayor parte de

los movimientos sísmicos, se producen por causas tectónicas, algunos de ellos se pueden producir por otras. a) Microsismos: Pequeñas vibraciones en la Corteza terrestre provocadas por causas diversas. Entre las más frecuentes se encuentran grandes tormentas, hundimiento de cavernas, desplomes de rocas, etc. b) Sismos volcánicos: A veces los fenómenos

volcánicos pueden generar movimientos sísmicos. Tal es el caso del hundimiento de calderas volcánicas, destape de las chimeneas en una erupción u otras.

Bloques en reposo Deformación durante elAumento de la tensión

Momento de la ruptura Nuevo equilibrio


c) Sismos tectónicos: Son los verdaderos

movimientos sísmicos y los de mayor intensidad. Generalmente asociados a fracturas (fallas). Se

producen por formación de fallas, movilización de fallas preexistentes o por movimiento de fallas asociadas. Intensidad de los terremotos.- Las ondas sísmicas se registran en aparatos denominados sismógrafos. En ellas quedan registradas las ondas correspondientes a los tres tipos de ondas. Las líneas que describen estas ondas nos aportan la información sobre la intensidad del terremoto.

El 22 de mayo de 1998, la población de Aiquile fue devastado por el mayor terremoto jamás ocurrido en Bolivia.

Las dos escalas sísmicas más utilizadas son la de Mercalli y la de Ritcher. Aunque la primera ha sido muy utilizada, en la actualidad va perdiendo importancia en favor de la segunda. a) Escala de Mercalli: Es una escala subjetiva y mide la intensidad de un terremoto. Tiene 12

grados establecidos en función de las percepciones y de los daños provocados por el terremoto a los bienes humanos.

Grado Intensidad Efectos

I Instrumental Registrado sólo por sismógrafos.

II Muy débil Percibido por algunas personas en pisos altos.

III Ligero

Perceptible en interiores, los objetos suspendidos se balancean, similar al paso de un camión.

IV Moderado

Percibido por la mayoría de las personas en la calle y en interiores, oscilación de objetos colgantes, ventanas y cristalería crujen.

V Algo fuerte

Despiertan las personas dormidas, algunos objetos caen, cuadros, puertas y contraventanas se balancean.

VI Fuerte

Los muebles se mueven, los cuadros se caen, los platos y la cristalería se rompen, las campanas suenan solas y algunas chimeneas se derrumban, los tabiques se resquebrajan.

VII Muy fuerte

Es difícil mantenerse en pie, se caen los aleros de los tejados, tejas chimeneas y cornisas de edificios, se forman olas en los estanques. Suenan todas las campanas.

VIII Destructivo

Caen algunas estatuas y muros, torres y edificios son deteriorados. Aparecen grietas en suelos húmedos y en taludes abruptos. Cambian los niveles de los acuíferos.

IX Ruinoso

Pánico general, las casas comienzan a caer, grietas en el suelo, raíles de tren deformados, puentes y conducciones subterráneas rotas.

X Desastroso Pánico general. Muchos edificios destruidos, graves daños en presas.


Desprendimientos de tierras, desbordamientos de ríos, canales, lagos, etc.

XI Muy

desastroso

Pánico general. Pocos edificios en pie, raíles muy deformados, conducciones subterráneas inservibles. Aparecen fallas en el terreno de salto apreciable.

XII Catastrófico

Destrucción total, los objetos son lanzados al aire, desplazamiento de grandes masas rocosas. La topografía queda cambiada.

b) Escala de Ritcher: Es una escala matemática y, por tanto objetiva. Mide la magnitud del terremoto y está relacionada con la energía liberada en el sismo. Teóricamente no tiene límite, pero un 9 en esta escala equivaldría a un Grado XII de Mercalli, es decir "destrucción total". Se basa en la amplitud de la onda registrada en un sismógrafo situado a menos de 100 km del epicentro.

Grado Intensidad Efectos

Menos de 2.0

Micro Los microsismos no son perceptibles.

2.0 – 2.9

Menor

Generalmente no son perceptibles.

3.0 – 3.9 Perceptibles a menudo, pero rara vez provocan daños.

4.0 – 4.9 Ligero

Movimiento de objetos en las habitaciones que genera ruido. Sismo significativo pero con daño poco probable.

5.0 – 5.9 Moderado

Puede causar daños mayores en edificaciones débiles o mal construidas. En edificaciones bien diseñadas los daños son leves.

6.0 – 6.9 Fuerte

Pueden llegar a destruir áreas pobladas, en hasta unos 160 kilómetros a la redonda.

7.0 – 7.9 Mayor Puede causar serios daños en extensas zonas.

8.0 – 8.9

Gran

Puede causar graves daños en zonas de varios cientos de kilómetros.

9.0 – 9.9 Devastadores en zonas de varios miles de kilómetros.

10.0 + Épico

Nunca registrado; ver tabla de más abajo para el equivalente de energía sísmica.

Terremotos en el mar.- Un maremoto es una

invasión súbita de la franja costera por las aguas oceánicas debido a un tsunami, una gran ola

marítima originada por un temblor de tierra submarino. Cuando esto ocurre, suele causar graves daños en el área afectada. Los maremotos son más comunes en los litorales de los océanos Pacífico e Índico. Los términos maremoto y tsunami se consideran sinónimos. De todos los movimientos sísmicos, el tsunami puede ser el más mortífero, ya que puede recorrer mucha distancia y afecta a las costas, que suelen ser zonas muy densamente pobladas. Tsunamis.- Los terremotos submarinos provocan

movimientos del agua del mar (maremotos o tsunamis). Los tsunamis son olas enormes con longitudes de onda de hasta 100 kilómetros que viajan a velocidades de 700 a 1000 km/h. En alta mar la altura de la ola es pequeña, sin superar el metro; pero cuando llegan a la costa, al rodar sobre el fondo marino alcanzan alturas mucho mayores, de hasta 30 y más metros. El tsunami está formado por varias olas que llegan separadas entre sí unos 15 o 20 minutos. La primera que llega no suele ser la más alta, sino que es muy parecida a las normales. Después se produce un impresionante descenso del nivel del mar seguido por la primera ola gigantesca y a continuación por varias más. La falsa seguridad que suele dar el descenso del nivel del mar ha ocasionado muchas víctimas entre las personas que, imprudentemente, se acercan por curiosidad u otros motivos, a la línea de costa. Cuando la costa tiene poca inclinación el maremoto es menos acentuado, esto hace que las olas pierdan fuerza y altura, pero no dejan de ser no sean peligro.

Mientras más empinada sea la costa, más altura alcanzarán las olas, pero seguirá teniendo forma de onda plana. Hay un cambio de energía de velocidad a amplitud; la ola se frena, pero gana altura, provocando que ésta tenga un poder destructivo indescriptible.


Formación de un tsunami: - Un sismo hace temblar el fondo del mar. - Ese fenómeno desplaza hacia la superficie una

gran masa de agua. - Se forma una oscilación que se propaga a gran

velocidad bajo la superficie aspirada, el agua se retira de la orilla.

- Al acercarse a las costas la onda forma olas gigantes.

RECOMENDACIONES DURANTE EL TERREMOTO:

1. Conserve la calma, domine sus nervios y

temores. Pensar con claridad es lo más importante en ese momento.

2. Evaluar su situación. Si está dentro de un edificio, permanezca ahí, no salga, no corra y protéjase.

3. Protéjase en un lugar seguro, no corra hacia la salida.

4. Agáchese en posición fetal y protéjase al lado de un mueble fuerte, sujetándose a este hasta que cese el movimiento.

5. Avisar a las personas a su alrededor que se protejan.

6. Evitar acercarse a paredes, ventanas, anaqueles, escaleras y al centro de salones grandes.

7. Si esta fuera, manténgase alejado de postes eléctricos, ventanas, edificios u objetos que puedan caer.

8. Si está en su carro estaciónelo lo más pronto posible en un lugar seguro y cúbrase.

RECOMENDACIONES DESPUÉS DEL TERREMOTO: Generalmente un sismo de gran magnitud es acompañado por una serie de temblores secundarios. Estos temblores secundarios serán de menor magnitud pero pueden causar daños adicionales por lo tanto, después de un temblor grande lo que Usted debería hacer es:

1. Reúnase con su familia o en el trabajo en el lugar acordado y cuente por si falta alguien.

2. Verifique si hay heridos y adminístrele primeros auxilios.

3. No encienda fuego. 4. Chequee su cilindro de gas que no esté abierto. 5. Camine con zapatos cerrados. 6. Inspeccione los daños a su alrededor. 7. Manténgase informado mediante la radio o

autoridades pertinentes. 8. Colabore con las autoridades en la localización

de víctimas.

LABORATORIO VIRTUAL Ingresa a Phet, selecciona Ciencias de la Tierra, ubica Tectónica de placas. Descarga o trabaja en línea. Observa en la simulación el movimiento relativo de las placas de nuestro planeta.

TRABAJO PARA INVESTIGAR

Investiga sobre algún terremoto que haya sucedido en cualquier parte del mundo. El trabajo debe estar ordenado de la siguiente manera, mínimo una plana.

- Los daños - Fecha - Medida en cualquiera de las dos escalas:

Mercalli o Ritcher - Fotografías

Presenta a tu profesor(a) como tu tarea de investigación.


Cap. 8

CINEMÁTICA III

CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS

MOVIMIENTO VERTICAL EN

FUNCIÓN DEL CAMPO

GRAVITATORIO

CONTENIDO:



Fortalecemos los procesos del movimiento acelerado a través del estudio de los movimientos verticales afectados por la aceleración de la gravedad, experimentando con prácticas de laboratorio para determinar el valor de la aceleración de la gravedad (g) en Sucre, que permita a los estudiantes aplicar a situaciones creativas en el contexto que les rodea.

¿QUÉ ES LA GRAVEDAD?

La gravedad es una fuerza invisible de la naturaleza, a menudo es difícil de expresar en una forma

que los estudiantes puedan comprenderla.

La gravedad es una fuerza básica del universo que atrae a todos los objetos entre sí. La gravedad

jugó un papel importante en la formación de todos los planetas y otros cuerpos en el universo.

Sal al aire libre para explorar la gravedad. Piensa que la gravedad ocasiona que la tierra gire

alrededor del Sol y que la Luna gire alrededor de la Tierra. ¿La vida sería diferente sin ninguno de

estos cuerpos celestes?

Estudia a los científicos que nos ayudaron a comprender la gravedad. Busca en libros de física y

sitios web que discutan acerca de Galileo e Isaac Newton. Lee con y discute la gravedad y los

cambios que genera gradualmente con tus compañeros(as).

Explica la diferencia entre peso y masa. Usa el concepto de gravedad en lo que respecta a nadar

en el agua. Comparte las diferencias entre la masa de un objeto y su peso, su impacto por la fuerza

de gravedad y los cambios en diferentes ubicaciones.

La materia dispersa tiende a juntarse y la materia que está junta permanezca intacta, pues todo

cuerpo en reposo o en movimiento permanece en el mismo estado hasta que otra fuerza cambie su

estado.

http://www.artinaid.com/wp-content/uploads/2013/02/Manzana-cayendo.jpg


Introducción.- La caída libre es un movimiento vertical en el cual la aceleración del objeto es la gravedad, a la cual se le da el signo positivo ya que ayuda al movimiento y tiene un valor promedio de:

g = 9.8 m/s2 g = 980 cm/s2

Ejemplos de caída libre son: cuerpos lanzados hacia arriba o hacia abajo o cuando se suelta libremente. La única fuerza que actúa en este movimiento es el peso del cuerpo, no se considera la resistencia que ofrece el aire. Consideraciones del movimiento en caída libre.-

Existe la creencia de que cuerpos diferentes en peso caen con diferentes velocidades, se piensa que el cuerpo más pesado debería llegar primero al piso si son soltados al mismo tiempo. Galileo demostró que dos cuerpos diferentes en peso dejados caer simultáneamente desde la torre inclinada de Pisa tocaban el suelo casi al mismo tiempo.

Agarre una pepa y una pluma de ave, déjalas caer simultáneamente desde una altura, ¿estos tocan el piso al mismo tiempo?; si no hay resistencia de aire, esto es posible, pero como existe resistencia, la pepa llega primero al piso y después la pluma.

Con resistencia del aíre

Sin resistencia del aire

La velocidad que adquieren los cuerpos en caída libre es independiente de la masa y del peso. Ecuaciones de la caída libre.- Como vemos, la caída libre tiene los mismos componentes que el Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): M.R.U.V. CAÍDA LIBRE Aceleración (a) gravedad (g) Velocidad inicial (vo) Velocidad inicial (vo) Velocidad fina (v) Velocidad final (v) Distancia (x) Altura (h) Tiempo (t) Tiempo (t)

Igualmente las fórmulas para despejar las variables de la caída libre se corresponden con las del movimiento uniformemente acelerado:

v = vo + g t

2 2

0v v 2gh

21

0 2h v t gt

Movimiento

en descenso

v = vo – g t

2 2

0v v 2gh

21

0 2h v t gt

Movimiento en ascenso

Las unidades convencionales para cada variable, son: g = m/s2 vo = m/s v = m/s h = m t = s


Altura máxima y tiempo de ascenso.- En el

lanzamiento vertical hacia arriba, se tienen dos valores que son importantes determinar: la altura máxima alcanzada y el tiempo de ascenso, juntamente con el tiempo de vuelo. De la ecuación: v = vo – g t En el punto más alto de la trayectoria la velocidad del objeto es cero, ( v = 0 ), puesto que instantáneamente se queda en reposo. De donde despejando el tiempo:

v = vo – g t

Se denomina tiempo de ascenso, es el intervalo que demora un objeto en alcanzar su máxima altura. El tiempo que demora en descender es el mismo; por tanto el tiempo que se mantiene en el aire, es el doble del tiempo de ascenso:

Tiempo de vuelo:

La altura máxima alcanzada por el objeto, se obtiene reemplazando el tiempo de ascenso en la ecuación:

Ejem. 8.1.- ¿Cuánto tiempo tardará un objeto soltado desde una torre para alcanzar la velocidad de 60 mill/h? Datos:

v = 60 mill/h = 26.82 m/s t = ? Solución:

El objeto desciende, por tanto podemos considerar como un movimiento con aumento de velocidad, aceleración positiva:

2

0

0/8.9

0/82.26

sm

sm

g

vvtgtvv

sv 7.2

Ejem. 8.2.- ¿Con qué velocidad se debe lanzar

verticalmente hacia arriba un objeto para que alcance una altura máxima de 12.0 m? Datos: h = 12.0 m vo = ? Solución:

Ejem. 8.3.- Se lanza un objeto verticalmente hacia

arriba con una velocidad de 60 m/s. Determinar la velocidad que tendrá después de haber transcurrido 8 segundos. Datos:

vo = 60 m/s t = 8 s v = ? Solución:

0

2

v v gt

v 60m / s 9.8m / s 8s

v 18.4m / s

El signo indica que el objeto esta de bajada. Ejem. 8.4.- Desde un edificio de 50 m de altura, se

deja caer libremente una piedra. ¿Qué velocidad poseerá al momento de tocar el suelo? Datos: vo = 0 h = 50 m v = ? Solución:

2 2

0

2

v v 2gh 2gh v 2gh

m mv 2 9.8 50m 31.3

s s

0vt

g

02V

vt

g

2

0

max2

vh

g

12 m

smmsmhgv

hgvhgvv

/34.15)12()/8.9(22

22

20

20

20

2

12 m



Ingrese a Educaplus, seleccione Movimientos, luego Caída libre. Investigue, trabaje

Ingrese a Educaplus, seleccione Movimientos, luego Gráficas de caída libre. Investigue, trabaje


1. ¿Qué es la gravedad? ¿Cuál es su valor en

lugares cercanos a la superficie terrestre? ¿En qué unidades se expresa?

La gravedad (o más correctamente aceleración de gravedad) es la aceleración con la cual se mueven los cuerpos al caer. El fenómeno de la caída de un cuerpo se produce debido a la fuerza de gravedad, que es la fuerza con la cual el planeta tierra atrae a los cuerpos cercanos a su superficie.

El valor de la gravedad es de 9.8 m/s2. Sin embargo, para simplificar las operaciones al momento de hacer cálculos, suele utilizarse el valor de 10 m/s2.

Al ser la gravedad un tipo de aceleración sus unidades se expresan en metros sobre segundos al cuadrado.

2. ¿Cómo se compara la aceleración de gravedad en la Luna con respecto a la gravedad en la tierra?

Aunque el valor de la gravedad es menor en la Luna que en la Tierra, se ha podido observar que sus efectos son los mismos. En el caso de la Luna es posible observar con mayor claridad los efectos causados por la gravedad, debido que carece de atmósfera cosa que impide las posibles perturbaciones de los fenómenos.

3. ¿Qué dirección tiene la aceleración de gravedad?

La aceleración de gravedad tiene dirección vertical y sentido hacia abajo. Estrictamente hablando, su dirección es hacia el centro de la Tierra.

4. ¿De qué factores depende la aceleración de gravedad sobre la superficie terrestre?

La aceleración de gravedad es la misma sobre toda la superficie terrestre, por lo que no depende de ningún factor. En ciertos casos puede parecer que cambia como, por ejemplo, cuando dejamos caer una piedra y una pluma. Generalmente, la piedra caerá primero, pero esto se debe a que la resistencia del aire influye sobre la caída de la pluma.

5. Cuando un cuerpo cae libremente, ¿varía su

velocidad o su aceleración?

Todo cuerpo al caer variará su velocidad. La aceleración será constante ya que ésta es, precisamente, la aceleración de gravedad.

6. ¿Qué significa la expresión caída libre?

Significa que al momento de considerar la caída de un cuerpo solamente se tomará en cuenta la aceleración de gravedad, sin incluir la influencia de otros factores presentes como la resistencia del aire.

7. Cómo la afirmaciones de Aristóteles, en relación con la caída libre de los cuerpos, frenaron el avance de la física? ¿Cuál fue el gran aporte de Galileo al respecto?

Aristóteles fue un gran filósofo griego que observó ciertos cuerpos que, al caer simultáneamente, finalizaban su caída en tiempos distintos. Ante esta observación, Aristóteles concluyó que el fenómeno se debía al peso de los cuerpos. Al ser Aristóteles uno de los pensadores más grandes de su época, esta afirmación fue aceptada como cierta por más de dos mil años frenando así el avance de la ciencia.

Galileo, por su parte, realizó ciertos experimentos y observó que lo que decía Aristóteles parecía ser cierto sólo en el caso de objetos livianos. Cuando probó con objetos más pesados, logró comprobar que los mismos caían simultáneamente. Galileo concluyó que el comportamiento no era el mismo con los objetos más livianos debido a la resistencia que el aire les ofrecía.

8. ¿Por qué una pluma cae más lentamente que una moneda cuando se dejan caer desde el aire?

Una moneda cae más rápidamente que una pluma debido a que la vence con facilidad la resistencia del aire. Mientras tanto, la pluma sí se ve frenada por la resistencia del aire por lo que cae más lentamente.

PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE ACELERACIÓN Y CAÍDA LIBRE


1. Calcular la velocidad final de un objeto en caída libre, que parte de reposo y cae durante 5.5 segundos.

Resp. v = 53.96 m/s

2. Calcular la velocidad final de un objeto en caída

libre, con un impulso inicial de 11 m/s y cae durante 7.3 segundos.

Resp: v = 82.54 m/s

3. Calcular la altura desde la que fue lanzado

hacia abajo un objeto en caída libre, que tardó 6.5 segundos en tocar el suelo.

Resp: h = 207.02 m

4. Calcular la altura desde la que fue lanzado un

objeto en caída libre, con una velocidad inicial de 10 m/s, que tardó 4.5 segundos en tocar el suelo.

Resp: h = 144.22 m

5. Un cuerpo se deja caer desde el edificio alto de

la ciudad, ¿Cuál será la velocidad final que este objeto tendrá después de los 10 segundos?

Resp: 98 m/s

6. Una pelota se tira hacia arriba con una

velocidad inicial de 15.0 m/s. ¿Hasta qué altura sube la pelota, y cuanto tiempo permanece en el aire?

Resp: 11.5 m; 3.06 s

7. Un cuerpo es lanzado hacia arriba, desde el

suelo, tardando 20 s en caer en éste. Calcular la altura alcanzada y la velocidad media mientras subía. ¿Con qué velocidad se lanzó? Resp: 490 m; 49 m/s; 98 m/s

8. Una pelota de béisbol se arroja verticalmente

hacia arriba con una velocidad inicial de 9.8 m/s ¿A qué altura vertical llegará y qué tiempo tardará en chocar contra el suelo? Rep: Altura máxima = 4.9 m; t = 2 seg.

9. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba

con velocidad inicial de 39.2 m/s ¿Cuál fue su máxima altura alcanzada? Rep: hm = 78.4 m

RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, EN TODOS LOS CASOS USAR: g = 10 m/s²

10. Desde el balcón de un edificio se deja caer una

manzana y llega a la planta baja en 5 s. a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2.88 m? b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?

Resp: a) Piso 43; b) 50 m/s

11. Si se deja caer una piedra desde la terraza de

un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular: a) A qué altura estaría esa terraza. b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso. Resp: a) 180 m; b) 60 m/s

12. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en

llegar al suelo? Resp: 80 m

13. Un cuerpo cae libremente desde un avión que

viaja a 1.96 km de altura, ¿cuánto demora en llegar al suelo? Resp: 19.8 s

14. A un cuerpo que cae libremente se le mide la

velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar: a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?. b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?. c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B ?. Resp: a) 1.5 s; b) 48.75 m; c) 100 m/s

15. ¿Desde qué altura debe caer el agua de una

presa para golpear la rueda de una turbina con velocidad de 30 m/s? Resp: h = 45 m

16. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba

con una velocidad de 40 m/s. Calcular: a) La altura que alcanza a los 3 segundos b) La velocidad a los 2 segundos c) La altura máxima d) La velocidad al llegar al suelo

Resp: a) 75 m; b) 20 m/s; c) 80 m; d) - 40 m/s



1. Se deja caer una piedra sin velocidad inicial. Al cabo de 1 segundo, la distancia recorrida es:

a) 1 m b) 4.8 m c) 5.5 m d) 4.9 m

2. Se lanza una piedra hacia abajo con velocidad

inicial de 1 m/s. Al cabo de 1 segundo, la distancia recorrida es:

a) 1 m b) 4.9 m c) 5.9 m d) 6.9 m

3. Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo

con una velocidad de 29.4 m/s. El tiempo empleado en caer es de:

a) 4.41 s b) 3.41 s c) 3 s d) 6 s

4. Se deja caer un objeto de un globo, que tarda

en caer 10 segundos. ¿De qué altura se dejó caer el objeto?

a) 500 m b) 480 m c) 490 m d) 510 m

5. Un cuerpo que emplea 7 segundos en caer

libremente, necesariamente cayó de una altura de: (tomar g = 10 m/s2)

a) 490 m b) 250 m c) 70 m d) 245 m

6. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba

con una velocidad de 10 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo la pelota poseerá una rapidez de 40 m/s? (Tomar g = 10 m/s2)

a) 3 s b) 4 s c) 5 s d) 6 s

7. La altura de la que cae un cuerpo libremente si

emplea 3 segundos: (asuma g = 10 m/s2)

a) 450 cm b) 45 cm c) 450 m d) 45 m 8. Se suelta un objeto desde una altura de 250 m.

Determine a que altura del piso se encuentra luego de 6 s de ser soltado (g = 10 m/s2)

a) 40 cm b) 60 cm c) 70 m d) 80 m

9. Un proyectil es disparado verticalmente hacia

arriba. Determínese la rapidez de disparo, si luego de ascender 25 m su velocidad es de 20 m/s. (g = 10 m/s2)

a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 35 m/s

10. Un cuerpo cae verticalmente desde el reposo.

Determine la altura que descendió cuando su velocidad es de 8 m/s. (g = 10 m/s2)

a) 4.3 m b) 6.7 m c) 3.2 m d) 2.8 m

11. Hallar el tiempo que permanece en el aire (g = 10 m/s2)

a) 15 s b) 20 s c) 35 s d) 40 s

12. Hallar la altura máxima alcanzada por el

proyectil. (g = 10 m/s2)

a) 125 m b) 625 m c) 75 m d) 250 m

13. Se deja caer una piedra. Hallar su velocidad

cuando ha transcurrido 6 s. (g = 10 m/s2)

a) 60 m/s b) 40 m/s c) 20 m/s d) 12 m/s

14. ¿Qué velocidad posee el cuerpo luego de 3 s de

haber sido lanzado con v = 60 m/s? (g = 10 m/s2)

a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 15 m/s

15. Hallar el tiempo que demora en llegar a su

punto más alto. (g = 10 m/s2)

a) 28 s b) 34 s c) 49 s d) 50 s

16. Un cuerpo se suelta, luego de 5 s. ¿Qué altura

habrá recorrido? (g = 10 m/s2)

a) 25 m b) 75 m c) 100 m d) 125 m 17. Se deja caer un cuerpo y se observa que luego

de transcurrido 6 s se encuentra a 20 m del piso. ¿De qué altura se soltó? (g = 10 m/s2)

a) 100 m b) 150 m c) 180 m d) 200 m

v = 100 m/s

v = 50 m/s

v0 = 0

v = 60 m/s

v = 490 m/s



Cap. 9

CINEMÁTICA IV

MOVIMIENTO PARABÓLICO Y SU

RELACIÓN SOCIOCOMUNITARIA

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

CONTENIDO:



Fortalecemos los procesos del movimiento acelerado a partir del lanzamiento de proyectiles, experimentado con talleres de laboratorio y resolución de problemas, para aplicar en la solución de problemáticas de nuestra comunidad, para el desarrollo y generación de unidades productivas mecanizadas, en beneficio de la sociedad boliviana.

COHETES PROPULSADOS POR AGUA

Los cohetes propulsados por agua, en los modelos básicos están formados por una botella de plástico de 1.5 o 2 litros, agua para rellenar y un tapón de corcho. En los modelos avanzados se introduce un cono y paracaídas. El funcionamiento es sencillo, se llena la botella con aproximadamente 1/3 de agua, se pone un tapón bien ajustado y la situamos en posición vertical con algún tipo de plataforma, seguidamente, mediante un inflador de bicicleta introducimos aire dentro de la botella, cuando la presión es suficientemente grande el tapón se suelta saliendo hacia abajo el agua y el cohete despega alcanzando alturas variables que pueden llegar a unos 80 m. Para más detalles de la construcción de estos cohetes ingresa a: http://www.astroelda.com/index.htm

http://www.astroelda.com/index.htm


Introducción.- Llamado también movimiento

compuesto, es aquel movimiento en donde la trayectoria que recorre el móvil es una parábola y

está compuesto por dos tipos de movimientos: 1. Movimiento Horizontal: Para el eje x.

- Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) - Velocidad Constante (v = cte) - Aceleración nula (a = 0)

2. Movimiento Vertical: Para el eje y

- Caída libre (M.R.U.V). - Velocidad variable - Aceleración constante (g = 9.8 m/s2)

Estudio del movimiento parabólico.- Se estudian

dos casos: CASO I:

Tiempo de subida = Tiempo de bajada (ts = tb) 1. Tiempo de vuelo (Tv): Tiempo que demora el

Cuerpo para caer nuevamente al suelo.

vuelo subida bajada s bt t t 2t 2t

0v

2v sent

g

2. Altura máxima (Hmax): Es la máxima altura que

logra tener el cuerpo en todo su recorrido.

2 2

0max

v senH

2g

3. Alcance máximo (Rmax): Es la máxima distancia horizontal que alcanza el cuerpo desde su 'punto de lanzamiento hasta que llega nuevamente al suelo

2

0max

v sen(2 )R

g

El alcance es máximo cuando:

El ángulo = 90º Entonces:

CASO II:

1. Movimiento horizontal: Para el eje x se cumple

un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) La componente horizontal de la velocidad se

mantiene constante.

2. Movimiento vertical: Para el eje y se cumple un

movimiento de caída libre (M.R.U.V.) La componente vertical de la velocidad está sometido a la aceleración “– g” dirigida hacia abajo:

Rmax

0(2 ) 1sen

020 45º

0x xv v 0 0cosxv v

0y yv v g t 0 0yv v sen g t


3. Velocidad total: La velocidad total y dirección

del proyectil en cualquier instante, viene dada por la resultante “v” y función tangente:

4. Posición del proyectil en cualquier instante:

Son las coordenadas horizontal (x) y vertical (y) para cualquier tiempo (t): El desplazamiento horizontal:

Para el desplazamiento vertical:

Lanzamiento horizontal.- El ángulo de lanzamiento es:

Lo que significa que:

Reemplazando estos valores en las anteriores ecuaciones, y luego simplificando las mismas se obtienen:

Ejem. 9.1.- Calcular el máximo alcance que se

obtiene con un proyectil que se dispara con una velocidad de 60 m/s y ángulo de elevación de 45º, describiendo un movimiento parabólico. Datos:

v0 = 60 m/s θ0 = 45º R = ?

Solución: El alcance máximo se obtiene cuando la altura se vuelve nula:

Ejem. 9.2.- Se dispara un proyectil sobre un terreno

horizontal con una velocidad de 300 m/s y un ángulo de 60º. Calcular el tiempo que demora en llegar al suelo. Datos:

v0 = 300 m/s θ0 = 60º tv = ? Solución:

stsm

sensm

g

senvt vv 53

/8.9

º60/300222

00

Ejem. 9.3.- Se lanza una pelota con una velocidad de 40 m/s y un ángulo de tiro de 40º. Calcular la altura máxima alcanzada y el tiempo que asciende. Datos:

v0 = 40 m/s tv = ? θ = 40º H = ?

2 2

x yv v v tany

x

v

v

0 0cosx v t

210 0 2

y v sen t g t

o0

0 0º 0sen sen

0cos cos0º 1

0vvx tvx 0

tgvy 2

21 tgy

OX

Y

mR

sm

sensm

g

senvR o

35.367

/8.9

)º45*2()/60()2(2

20

2

O

H

X

Y


La altura máxima alcanzada es:

Ejem. 9.4.- Un avión que vuela horizontalmente a

razón de 90 m/s deja caer una piedra desde una altura de 1000 m. ¿Con qué velocidad llega la piedra a tierra si se desprecia el efecto del rozamiento del aire?

Solución: Verticalmente:

2 2 2

y 0 y 0

y

v v 2gh v v 2gh

v 0 2 9.8 1000 140 m / s

Horizontalmente:

x 0v v 90 m / s

Velocidad total:

2 2 2 2

x yv v v 90 140 166.4 m / s

Ejem. 9.5.- En un partido de fútbol, un futbolista

comunica a una pelota la velocidad de 10 m/s con un ángulo de 37º con la horizontal. Si se encuentra en ese instante a 8 m de distancia del arco contrario, ¿hay posibilidades de gol? La altura del arco es de 2.5 m. (g = 10 m/s2)

Solución: Determinemos el tiempo que tarda la

pelota en recorrer horizontalmente los 8 m:

x

x

x x 8 mv t 1s

t v 8 m / s

La altura que alcanza la pelota en 1 s, es:

2 2

0

1 1y v t gt (6)(1) (10)(1) 5 m

2 2

Ejem. 9.6.- Un cañón inclinado en 45º lanza un proyectil con velocidad V logrando derribar una pequeña choza ubicada en la loma. Calcule el valor de V. (g = 10 m/s2)

Solución:

2

0

1y v sen t gt

2 (1)

0x v cos t (2)

Resolviendo (1) y (2), se tiene:

2

2 2

0

gxy xtg

2v cos

Despejar (V0) y reemplazar datos para encontrar su valor:

V0 = 30 m/s

msm

smH

sm

sensm

g

senvH

7.33/6.19

)413.0(*/1600

/8.9*2

)º40(*)/40(

2

2

22

2

220

220


LABORATORIO VIRTUAL - Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas, clic en física y click en movimientos

- Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento parabólico Altura máxima y Alcance máximo Lanzamiento con Ángulos complementarios

Gráficas de lanzamiento horizontal Lanzamiento oblicuo

- Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de un proyectil.

- Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.


1. Una pelota de golf es lanzada con una

velocidad inicial de 30 m/s a un ángulo de 37º

con la horizontal.

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

b) ¿Cuál es el alcance máximo alcanzado?

Resp: H = 16.6 m; R = 88.3 m

2. Si lanzamos desde el piso una piedra con una

velocidad de 50 m/s y formando 37º con la

horizontal. Calcular:

a) El tiempo de vuelo b) El alcance horizontal c) La máxima altura alcanzada. (g = 10 m/s2) Resp: a) 6 s; b) 240.3 m; c) 45 m

3. Un avión en vuelo horizontal a una altura de

300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer

una bomba. Calcula el tiempo que tarda en

llegar al suelo y el desplazamiento horizontal de

la bomba.

Resp: 7.82 s; 469.5 m

4. Una pistola de resorte puede proyectar una

canica con una rapidez inicial de 3.6 m/s. Con la pistola colocada horizontalmente sobre una mesa 1.5 m arriba del piso, ¿Cuál es el alcance de una canica disparada con ella?

Resp: x = 1.99 m

5. Una bomba se deja caer desde un avión que

vuela horizontalmente a una velocidad de 483 km/h. El avión se encuentra a 3048 m sobre el suelo. ¿A qué distancia del blanco debe ser lanzada la bomba?

Resp: 3346.3 m

6. Un proyectil es disparado con un ángulo de 45° y

alcanza el punto más alto de su trayectoria al cabo de 27 s. Calcular la velocidad inicial. Calcular la máxima altura alcanzada. Calcular la máxima distancia horizontal alcanzada.

Resp: v0 = 374.20 m/s; H = 3572.10 m; R = 14288.33 m

7. Una pelota se lanza a 60° sobre la horizontal

con una velocidad de 173.2 m/s. ¿Dónde estará el objeto al cabo de 6 s?

Resp: x = 519.63 m; y = 723.63 m

8. El tiempo de vuelo de un objeto es 20 seg. Calcular la velocidad inicial con la que fue lanzado si lo hizo con un ángulo de lanzamiento de 30° con la horizontal. (g = 10 m/s2)

a) 50 m/s b) 100 m/s c) 150 m/s c) 200 m/s

9. En el diagrama, halle x (g = 10 m/s2)

Resp: 20 m

10. La altura de un acantilado es 20 m, si desde él

se lanza horizontalmente un proyectil con 10 m/s, ¿Con que rapidez este proyectil llegará al mar? (g = 10 m/s2) Resp: 20 m

11. En el diagrama, determine h. (g = 10 m/s2)

Resp: 22.75 m

12. En el siguiente vuelo parabólico halle "V"

(g = 10 m/s2) Resp: 25 m/s

PROBLEMAS PROPUESTOS


1. El movimiento de un proyectil en el vació resulta de la composición de:

a) MRU – MRU b) MRUV – MRUV c) MRUV solamente d) MRU – MRUV

2. ¿Con qué ángulo de elevación debe saltar un atleta de salto de longitud? a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º

3. En el lanzamiento de proyectiles el máximo

alcance horizontal se logra con un ángulo de:

a) 0º b) 30º c) 90º d) 45º

4. Dos cuerpos de masas iguales se lanzan

horizontalmente desde una altura de 20 metros

con velocidades de 10 m/s y 20 m/s. Se puede

asegurar que:

a) El cuerpo de velocidad 20 m/s tiene el mayor

alcance.

b) Los dos cuerpos por tener masas iguales

obtienen el mismo alcance.

c) Los dos cuerpos por tener velocidades

diferentes obtienen el mismo alcance.

d) El cuerpo de velocidad 10 m/s tiene el mayor

alcance.

5. En el movimiento de proyectiles podemos

afirmar que existe aceleración:

a) Inclinada b) Vertical

c) Horizontal d) Oblicua

6. En el lanzamiento de proyectiles, la velocidad

horizontal es:

a) Variable b) Nula

c) Constante d) A veces variable

7. La figura muestra la trayectoria de una pelota.

En el punto C, de altura máxima:

a) La velocidad es cero, pero la aceleración no

es cero

b) La velocidad, no es cero, pero la aceleración

es cero

c) La velocidad y la aceleración son

perpendiculares

d) La rapidez es menor que en D, pero la

aceleración es mayor en D

8. En el lanzamiento de proyectiles el máximo

alcance horizontal se logra con un ángulo de: a) 0º b) 30º c) 90º d) 45º 9. Una piedra se lanza horizontalmente desde un

barranco de 20 m de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. Una segunda piedra se deja caer simultáneamente desde ese barranco. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es la correcta?

a) Ambas chocan con el suelo con la misma

velocidad b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez c) Las dos llegan al mismo tiempo al suelo d) La piedra lanzada llega primero al suelo

10. Un cuerpo es lanzado con una velocidad de 40

m/s y con un ángulo de lanzamiento de 30° con

la horizontal. Calcular el tiempo de vuelo de

dicho cuerpo. (g = 10 m/s2)

a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s

11. El tiempo de vuelo de un cuerpo es 10 s ¿Cuál será el tiempo que emplea dicho cuerpo para subir hasta su punto máximo?

a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 5 s 12. Calcular la altura máxima de un cuerpo que fue

lanzado con una velocidad de 10 m/s y un ángulo de lanzamiento de 60° con respecto a la horizontal. (g = 10 m/s2)

a) 3.5 m b) 3.75 m c) 4.6 m d) 5.75 m

13. Un cuerpo es lanzado con una velocidad inicial

de 20 m/s y un ángulo de lanzamiento de 30°

con respecto a la horizontal. Calcular el alcance

máximo. (g = 10 m/s2)

a) 10 3 m b) 20 3 m

c) 30 3 m d) 40 3 m



Cap. 10

TEORÍA DE ONDAS Y SU

INCIDENCIA EN EL MODO

DE VIDA SOCIOCOMUNITARIO Contenido:



Valoramos la importancia de una comunicación abierta a través del estudio de las ondas y sonido, explorando las diversas formas de comunicación que actualmente se tiene en nuestra comunidad para fortalecer el bienestar del estado plurinacional.

ONDAS DE RADIO

Las ondas de radio son un tipo de radiación electromagnética. Una onda de radio tiene una longitud de

onda mayor que la luz visible. Las ondas de radio se usan extensamente en las comunicaciones.

Las ondas de radio tienen longitudes que van de tan sólo unos cuantos milímetros (décimas de pulgadas), y pueden llegar a ser tan extensas que alcanzan cientos de kilómetros (cientos de millas). En comparación, la luz visible tiene longitudes de onda en el rango de 400 a 700 nanómetros, aproximadamente 5000 menos que la longitud de onda de las ondas de radio. Las ondas de radio oscilan en frecuencias entre unos cuantos kilohertz y unos cuantos terahertz. La radiación "infrarroja lejana" , sigue las ondas de radio en el espectro electromagnético.

Las microondas, que usamos para cocinar y en las comunicaciones, son longitudes de onda de radio cortas, desde unos cuantos milímetros a cientos de milímetros (décimas a decenas de pulgadas). Varias frecuencias de ondas de radio se usan para la televisión y emisiones de radio FM y AM, comunicaciones militares, teléfonos celulares, radioaficionados, redes inalámbricas de computadoras, y otras numerosas aplicaciones de comunicaciones. La mayoría de las ondas de radio pasan libremente a través de la atmósfera de la Tierra. Sin embargo, algunas frecuencias pueden ser reflejadas o absorbidas por las partículas cargadas de la ionosfera.

http://www.windows2universe.org/physical_science/basic_tools/wavelength.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/physical_science/basic_tools/wavelength.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/physical_science/magnetism/em_visible_light.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/spaceweather/effects3.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/physical_science/magnetism/em_infrared.html&lang=sp

http://www.windows2universe.org/earth/Atmosphere/ion_regions.html&lang=sp


Introducción.- Una onda es una perturbación que se propaga. Las ondas materiales (todas menos las electromagnéticas) requieren un medio elástico para propagarse. La perturbación se transmite en todas las direcciones por las que se extiende el medio con una velocidad constante (siempre que el medio sea isótropo). Una onda transporta energía pero no transporta materia, las partículas vibran alrededor de la posición de equilibrio pero no viajan con la perturbación. Ejemplos: - La onda que transmite un látigo lleva una energía

que se descarga en su punta al golpear. Las partículas del látigo vibran, pero no se desplazan con la onda.

- Un corcho en la superficie del agua vibra

verticalmente al paso de las olas pero no se traslada horizontalmente, eso indica que las partículas de agua vibran pero no se trasladan.

Clasificación de las ondas.- Las ondas se pueden

clasificar por su naturaleza y por la forma de propagarse. Por su naturaleza: a) Ondas mecánicas: Son aquellas que para propagarse necesitan de un medio físico (sólido, líquido o gas). Se basan en la elasticidad de la materia. b) Ondas electromagnéticas: Son aquellas que

para poder propagarse no necesitan un medio físico. Estas ondas son creadas por campos eléctricos y magnéticos variables Según la forma de propagarse:

a) Ondas transversales: Son aquellas en las cuales

la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración. Aparecen cuando las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la dirección de propagación del movimiento ondulatorio. Por ejemplo: Las olas en el agua, las ondulaciones que se propagan por una cuerda.

b) Ondas longitudinales: Son aquellas en la cuales

las partículas vibran en la misma dirección de propagación. Aparecen cuando las partículas del medio vibran en la misma dirección en la que se propaga el movimiento ondulatorio. Por ejemplo las compresiones y dilataciones que se propagan por un muelle, el sonido.

Elementos de una onda.- En todo tipo de

movimiento ondulatorio se distinguen los siguientes elementos:

Cresta: Es la parte más elevado de una onda.

Valle: Es la parte más baja de una onda.

Elongación (y): Es el desplazamiento entre la

posición de equilibrio y la posición en un

instante determinado.

Amplitud (A): Es la máxima elongación, es

decir, el desplazamiento desde el punto de

equilibrio hasta la cresta o el valle.

Longitud de onda (λ): Es la distancia

comprendida entre dos crestas o dos valles.

Onda completa: Cuando ha pasado por todas

las elongaciones positivas y negativas (Un

ciclo).

Período (T): El tiempo transcurrido para que se

realice una onda completa.

Frecuencia (f): Es el número de ondas que se

suceden en la unidad de tiempo.


Ecuaciones de las ondas.- Las ondas se mueven

con movimiento uniforme, de tal forma que: 1) La velocidad de propagación (v): Es la distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo. Si consideramos el lapso de tiempo de un pulso, el tiempo será T y la distancia recorrida :

La distancia que recorre una onda (representado por x) será el número de veces que tenemos la longitud de una onda:

La frecuencia es el número de ondas entre el tiempo:

Sustituyendo en la fórmula inicial:

La velocidad de una onda es el producto de la longitud de onda por la frecuencia. 2) Unidades de longitud de onda y de frecuencia.- La longitud de onda se mide en metros (m) en el sistema S.I., en el sistema cgs se mide en centímetros (cm), también se usa la micra (µ) sobre todo para longitudes de onda como la de la luz. La frecuencia se mide en Hertz su abreviación es el Hz y representa:

Se usan mucho: El kilohertz: 1 kHz = 103 Hertz El Megahertz: 1 MHz = 106 Hz (un millón de Hertz) 3) El periodo.- Es la inversa de la frecuencia:

Se mide es seg.

4) La Pulsación ( ): Llamado también frecuencia

angular:

La pulsación se mide en rad/s.

Ejem. 10.1.- El edificio Sears, ubicado en Chicago,

se mece con una frecuencia aproximada a 0.10 Hz. ¿Cuál es el periodo de la vibración? Datos: f = 0.1 [Hz] T = ?

Ejem. 10.2.- Una ola en el océano tiene una longitud

de 10 m. Una onda pasa por una determinada posición fija cada 2 s. ¿Cuál es la velocidad de la onda? Datos:

λ = 10 m T = 2 s v = ?

Ejem. 10.3.- Ondas de agua en un plato poco profundo tienen 6 cm de longitud. En un punto, las ondas oscilan hacia arriba y hacia abajo a una razón de 4.8 oscilaciones por segundo. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas?, b) ¿cuál es el periodo de las ondas? Datos: λ = 6 cm f = 4.8 Hz v = ? T = ?

a)

b)

Ejem. 10.4.- La frecuencia de la luz amarilla es de 5x1014 Hz. Encuentre su longitud de onda. Datos: f = 5x1014 Hz v = 3x108 m/s λ = ?

xv

t v

T

.x n

n nf t

t f

nxv

nt

f

v f

1Hz

s

1T

f

2 f 2

T

1 1 110

0.1T f s

f T Hz

105

2

m mv

T s s

6 4.8 28.8cm

v f cm Hzs

1 10.208

4.8T s

f Hz

87

14

3 10 /6 10

5 10

m svv f m

f Hz


Ejem. 10.5.- Ondas de agua en un lago viajan a 4.4

m en 1.8 s. El periodo de oscilación es de 1.2 s. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas?, b) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas? Datos: Incógnitas:

d = 4.4 m v = ? t = 1.8 s λ = ? T = 1.2 s

a)

b)

Ejem. 10.6.- Se emiten señales de radio AM, entre los 550 kHz hasta los 1600 kHz, y se propagan a 3x108 m/s. a) ¿Cuál es el rango de las longitudes de onda de tales señales? b) El rango de frecuencia para las señales en FM está entre los 88 MHz y los 108 MHz y se propagan a la misma velocidad, ¿cuál es su rango de longitudes de onda? Ondas AM

f1 = 550 kHz = 5.5x105 Hz λ1 = ? f2 = 1600 kHz = 1.6x106 Hz λ2 = ? v = 3x108 m/s

Ondas FM

f1 = 88 MHz = 8.8x107 Hz λ1 = ? f2 = 108 MHz = 1.08x108 Hz λ2 = ? v = 3x108 m/s

Se sabe, que las ondas de radio AM tienen longitudes de onda que oscilan entre 187.5 m y 545.45 m. Mientras tanto, las FM tienen longitudes de onda que oscilan entre 2.78 m y 3.4 m. Ejem. 10.7.- Un grupo de nadadores está

descansando tomando sol sobre una balsa. Ellos estiman que 3 m es la distancia entre las crestas y los valles de las ondas superficiales en el agua. Encuentran, también, que 14 crestas pasan por la balsa en 26 s. ¿Con qué rapidez se están moviendo las olas? Datos: Incógnita: λ = 6 m v = ? t = 26 s Nro. crestas = 14

Calcular primero el período de las ondas, existe 14 crestas en 26 segundos, entonces hay 13 oscilaciones en ese tiempo. Recuerden que hay una oscilación entre cresta y cresta. Si es necesario se para comprender mejor dibujar una onda con 14 crestas.

Por lo tanto:

Ejem. 10.8.- Una señal de un sonar en el agua posee una frecuencia de 106 Hz y una longitud de onda de 1,5 mm. a) ¿Cuál es la velocidad de la señal en el agua?, b) ¿cuál es su periodo?, c) ¿cuál es su periodo en el aire? Datos: Incógnitas:

f = 106 Hz v = ? λ = 1.5 mm = 0.0015 m Tagua = ? vsonido aire= 340 m/s Taire= ?

a)

b)

c) En el aire, la velocidad del sonido es diferente a la que hay en el agua, y debido a que la frecuencia

4.42.44

1.8

md mv

t s s

2.44 1.2 2.93m

v v T s mT s

vv f

f

8

1 5

1

3 10 /545.45

5.5 10

m svm

f Hz

8

2 6

2

3 10 /187.5

1.6 10

m svm

f Hz

8

1 7

1

3 10 /3.4

8.8 10

m svm

f Hz

8

2 8

2

3 10 /2.78

1.08 10

m svm

f Hz

262

. 13

stiempoT s

Nro oscilaciones

63 /

2

mv m s

T s

60.0015 10 1500 /v f m Hz m s

60.001510

1500 /

mv T s

T v m s


del sonar, y de cualquier onda, no se modifica al estar en diferentes medios, entonces la longitud de onda se modifica. Entonces, eso es lo primero que hay que determinar:

Si se observa, el resultado en b) y en c) son iguales. Lo que ocurre es que el periodo T depende solo de la frecuencia, no de la velocidad ni del medio en donde se propaga una onda. Y, como se dijo, la frecuencia no cambia si el sonar funciona en el agua o en el aire. Y si la frecuencia no cambia, el periodo tampoco debe hacerlo. El sonido.- El sonido es una onda mecánica

longitudinal que se puede propagar por sólidos, líquidos y gases. En su desplazamiento por los gases origina variaciones de presión, densidad y desplazamiento de las masas de gas por el que se propaga. Al llegar al oído actúa sobre la membrana del tímpano y, a través de la cadena de huesecillos del oído medio, transmite al cerebro por el nervio auditivo la percepción del sonido. Las ondas sonoras capaces de ser detectadas por el oído humano, van de los que tienen longitud de onda desde 20 Hz (umbral inferior) a 20000 Hz (umbral superior). Por debajo de 20 Hz están los infrasonidos (mareas, ondas sísmicas) y por encima de 20000 Hz, los ultrasonidos (como el sonar, de baja energía, y las vibraciones de las redes cristalinas (cuarzo), de alta energía. Existen muchos otros tipos de ondas, tales como las ondas de radio, la luz, la radiación del calor, las ondas sobre la superficie de un lago, los tsunamis, los movimientos sísmicos, etc. Cuando la onda tiene lugar en un medio líquido o gaseoso se denomina onda acústica. Cuando resulta audible, se llama onda sonora. Velocidad del sonido.- Como todo fenómeno físico

el sonido tiene propiedades que determinan su comportamiento. Una de estas propiedades es la velocidad del sonido, la cual es una propiedad bastante simple, el sonido en un gas depende de la presión y de la densidad del gas.

La velocidad del sonido tiene dos componentes

básicas que son, la longitud de onda () y la frecuencia (F), y para entender bien el fenómeno

debemos conocer estos dos elementos. La longitud de onda tiene que ver con lo siguiente: Cuando el tono o frecuencia sube o baja, el tamaño de la onda varía. Cuando el tono o frecuencia baja, la longitud de onda se alarga y cuando sube es más pequeña. La tabla que se presenta a continuación, nos muestra los diferentes resultados obtenidos en investigaciones hechas acerca de la velocidad del sonido en diferentes medios.

VELOCIDAD DEL SONIDO

MEDIO TEMPERATURA

(C)

VELOCIDAD (m/s)

Aire 0 331.7

Aire 15 340

Oxígeno 0 317

Agua 15 1450

Acero 20 5130

Caucho 0 54

Aluminio 0 5100

Ejem. 10.9.- Una onda sonora recorre en el agua

1km en 0.69s ¿Cuál es la velocidad del sonido en el agua? Datos: x = 1 km = 1000 m t = 0.69 s v = ?

Ejem. 10.10.- Calcular la longitud de onda de una nota con una frecuencia de 261 Hz. Considerando que la velocidad de propagación del sonido en el aire a 15 °C es de 340 m/seg. Datos: v = 340 m/s f = 261 Hz λ = ?

4

6

340 /3.4 10

10

m svv f m

f Hz

463.4 10

10340 /

mv T s

T v m s

10001449.27 /

0.69

mxv m s

t s

3401.3

261

mvm

f Hz


El efecto Doppler.- Cuando una fuente de sonido se acerca o aleja de un observador, el tono del sonido percibido varía.

Por ejemplo la sirena de una ambulancia. Cuando se acerca, las ondas sonoras que se propagan hacia delante están más apretadas, y llegan a nuestros oídos con más frecuencia y la sirena tiene un tono más agudo. Cuando se aleja, las ondas que se propagan hacia atrás están más separadas, de frecuencia más baja y el sonido es más grave. Cuanto mayor es la velocidad de la fuente de sonido mayor es el cambio de frecuencia.

Ingresa a educaplus; física, Efecto Dopler Practique con los fenómenos del Efecto Dopler

Espectro sonoro, Infrasonido y Ultrasonido.- No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia están comprendida entre los 20 y los 20000 Hz, puede variar de una persona a otra Perturbaciones de frecuencia inferior a los 20 Hz se les denomina infrasonidos y a las que la tienen rango superior a 20000 Hz, ultrasonido. Tanto el infrasonido como el ultrasonido no son perceptibles por el oído humano. Existen animales capaces de emitir ondas ultrasonoras: Los delfines, los murciélagos.

¿Qué es el sonar?

Del inglés SONAR, iniciales de Sound Navigation And Ranging, (navegación y alcance por sonido)

Es una técnica que usa la propagación del sonido bajo el agua (principalmente) para navegar, comunicarse o detectar otros buques. En la actualidad el moderno sonar de pesca se usa para detectar cardúmenes. El sonar puede usarse como medio de localización acústica, funcionando de forma similar al radar, con la diferencia de que en lugar de emitir señales de radiofrecuencia (ondas electromagnéticas) se emplean impulsos sonoros (ondas acústicas). Básicamente hay dos tipos de Sonar: pasivo y activo. Sonar Activo: Para detectar objetos bajo el agua, emplea el eco devuelto por dicho objeto al incidir sobre él las ondas acústicas emitidas por un transmisor. El objeto sobre el que inciden las ondas devolverá parte de ellas. El camino recorrido por las ondas es el doble del camino entre emisor y objeto.

Sonar Pasivo: escucha directamente los sonidos de los objetos que permanecen sumergidos. En este caso la onda recorre únicamente la distancia entre el objeto y el receptor.

http://www.profesorenlinea.cl/fisica/sonidoEfecto_Doppler.htm


1. Calcular la longitud de onda que emite una emisora de radio si su frecuencia de emisión es 0.50 MHz. Resp: 600 m

2. Un pescador observa que el corcho de la caña

realiza 40 oscilaciones por minuto, debidas a unas olas cuyas crestas están separadas 60 cm. ¿Con qué velocidad se propaga la onda? Resp: 0.4 m/s

3. El edificio Sears, ubicado en Chicago, se mece

con una frecuencia aproximada a 0.10 Hz. ¿Cuál es el periodo de la vibración? Resp: 10 seg.

4. Una ola en el océano tiene una longitud de 10 m.

Una onda pasa por una determinada posición fija cada 2 s. ¿Cuál es la velocidad de la onda? Resp: 5 m/s

5. Ondas de agua en un plato poco profundo tienen

6 cm de longitud. En un punto, las ondas oscilan hacia arriba y hacia abajo a una razón de 4.8 oscilaciones por segundo. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas? b) ¿cuál es el periodo de las ondas? Resp: a) 28.8 cm/s ; b) 0.21 seg.

6. Ondas de agua en un lago viajan a 4.4 m en 1.8

s. El periodo de oscilación es de 1.2 s. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas? b) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas? Resp: a) 2.44 m/s ; b) 2.93 m

7. La frecuencia de la luz amarilla es de 5x1014 Hz.

Encuentre su longitud de onda. Resp: 6x10 – 7 m

8. Un grupo de nadadores está descansando

tomando sol sobre una balsa. Ellos estiman que 3 m es la distancia entre las crestas y los valles de las ondas superficiales en el agua. Encuentran, también, que 14 crestas pasan por la balsa en 20 s. ¿Con qué rapidez se están moviendo las olas? Resp: 1.95 m/s

9. Se emiten señales de radio AM, entre los 550

kHz hasta los 1600 kHz, y se propagan a 3x108 m/s. a) ¿Cuál es el rango de las longitudes de onda de tales señales?

b) El rango de frecuencia para las señales en FM está entre los 88 MHz y los 108 MHz y se propagan a la misma velocidad, ¿cuál es su rango de longitudes de onda? Resp: a) 545.45 m ; 187.5 m, b) 3.41 m ; 2.78m

10. Una señal de un sonar en el agua posee una

frecuencia de 106 Hz y una longitud de onda de 1.5 mm. a) ¿Cuál es la velocidad de la señal en el agua? b) ¿cuál es su periodo? c) ¿cuál es su periodo en el aire? Resp: a) 1500 m/s ; b) 10– 6 seg ; c) 10 – 6 seg

11. Una onda sonora se produce durante 0.5 s.

Posee una longitud de onda de 0.7 m y una velocidad de 330 m/s. a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda? b) ¿cuántas ondas completas se emiten en tal intervalo de tiempo? c) luego de 0.5 s, ¿a qué distancia se encuentra el frente de onda de la fuente sonora? Resp: a) 471.43 Hz ; b) 235.7 ondas ; c) 165 m

12. La rapidez del sonido en el agua es de 1498

m/s. Se envía una señal de sonar desde un barco a un punto que se encuentra debajo de la superficie del agua. 1.8 s más tarde se detecta la señal reflejada. ¿Qué profundidad tiene el océano por debajo de donde se encuentra el barco? Resp: 1348.2 m

13. El tiempo requerido por una onda de agua para

cambiar del nivel de equilibrio hasta la cresta es de 0.18 s. a) ¿Qué fracción de la longitud de onda representa? b) ¿Cuál es el periodo de la onda? c) ¿Cuál es la frecuencia? Resp: a) 0.25 % ; b) 0.72 seg ; c) 1.39 Hz

14. La rapidez de una onda en una cuerda de una

guitarra es de 265 m/s y su longitud de 63 cm. Se pulsa la cuerda en el centro levantándola un poco y luego soltándola. Los pulsos se mueven en ambas direcciones y se reflejan en los extremos de la cuerda. a) ¿Cuánto tiempo le toma a los pulsos moverse hasta los extremos y regresar al centro? b) Cuando los pulsos regresan, ¿está la cuerda por encima o por debajo de su posición de reposo? c) Si se pulsa la cuerda a 15 cm de uno de los extremos, ¿dónde se encontrarán los dos pulsos? Resp: a) 2.38x10 – 3 s; b) A 48 cm del mismo extremo



1. Una onda es una:

a) Perturbación en un medio b) Perturbación que se propaga transportando

solamente materia c) Perturbación que se propaga transportando

energía pero sin transporte de materia d) Perturbación que se propaga transportando

materia y energía 2. Las ondas mecánicas:

a) Necesitan de un medio elástico para su

propagación b) No necesitan de un medio elástico para su

propagación c) Se diferencian de las demás ondas porque

no poseen ni periodo, ni longitud de onda d) Se propagan a la velocidad de la luz

3. Uno de los ejemplos de ondas NO es una onda

mecánica:

a) Las ondas que se propagan en un resorte b) Las ondas sonoras c) Las ondas que se propagan en una cuerda d) Las ondas de la luz

4. Cuando una onda viaja se va alterando todo el

medio

a) No se altera ningún punto del medio b) El medio viaja con ella c) El medio solo se altera en la región de la

perturbación d) N. A.

5. Las ondas mecánicas longitudinales se

caracterizan por:

a) Las partículas del medio donde la onda se propaga no se mueven

b) Las partículas del medio donde la onda se propaga se mueve en la misma dirección en que se mueve la onda

c) Las partículas del medio donde la onda se desplaza se mueve perpendicular a la dirección de propagación de la onda

d) Las partículas se mueven adelante y hacia atrás en el período de la onda

6. Se tiene una onda transversal si:

a) Las partículas del medio oscilan atrás y adelante

b) La perturbación mueve todas las partículas del medio

c) Las partículas oscilan paralelamente a la dirección de propagación de la onda

d) Las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda

LOS EJERCICIOS 7 AL 11 SE REFIEREN A LA SIGUIENTE FIGURA:

7. Observa la imagen y responde. La amplitud

del movimiento es: a) 2 cm b) 1 cm c) 5 cm d) 4 cm 8. Observa la imagen y responde. La longitud de

onda es: a) 2 cm b) -2 cm c) 4 cm d) 5 cm 9. Observa la imagen y responde. La elongación es

cero cuando la perturbación llega a: a) 1 cm del punto 0

b) 3 cm del punto 0 c) 5 cm del punto 0 d) 2 cm del punto 0

10. Observa la imagen y responde. Las crestas

están a: a) 1 y 5 cm b) 0, 2, 4 cm

c) 3, 7 cm d) 0, 1, 2, 3 y 4 cm 11. Observa la imagen y responde. Uno de los

Valles está a: a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 5 cm 12. Las ondas que se propagan en la superficie del

agua son:

a) Longitudinales b) Electromagnéticas c) Transversales d) N. A.

13. La distancia entre dos puntos similares en dos

ondas consecutivas se llama:

a) Amplitud b) Longitud de onda c) Elongación d) Frecuencia



14. El número de ondas completas que pasa por un

punto fijo en un segundo, se llama:

a) Longitud de onda b) Frecuencia c) Amplitud d) Período

15. El tiempo que tarda en pasar una onda completa

por un mismo punto dado del medio se llama:

a) Frecuencia b) Período c) Longitud de onda d) Elongación

16. Un diapasón que vibra 250 veces por segundo

produce una onda de 130 cm de longitud de onda, luego, su velocidad es:

a) 1.9 cm/s b) 325 m/s c) 5 m/s d) 325 cm/s

17. Una nota musical de frecuencia 440 Hz se

propaga a la velocidad del sonido (340 m/s). Su longitud de onda es:

a) 0.77 m b) 1.33 m c) 1.77 m d) 0.33 m

18. ¿Podría oírse desde la Tierra una explosión

gigantesca que tuviera lugar en la Luna?

a) No, porque la distancia Tierra-Luna es muy grande.

b) Sí, aunque la intensidad con que llega el sonido a la Tierra sería muy pequeña.

c) No, porque el sonido no se propaga en el vacío.

d) Sí, se oiría perfectamente, porque en el vacío el sonido no es absorbido y por tanto su intensidad no disminuye.

19. ¿De qué depende la velocidad de un movimiento

ondulatorio?

a) Amplitud de vibración b) Energía de la fuente c) Características físicas del medio d) Frecuencia de la vibración

20. El sonido es una onda:

a) Transversal estacionaria b) Longitudinal c) Transversal. d) Transversal polarizada.

21. La luz y el sonido son ondas que tienen en

común:

a) Ser longitudinales b) Ser transversales c) Transportar energía d) Necesitar un medio material para propagarse

PREGUNTAS Y RESPUESTAS

1. ¿Cuántos métodos generales existen para transferir energía? De dos ejemplos de cada uno.

R. Por transporte: las ondas lo hacen, otro ejemplo puede ser el caso de un conductor eléctrico, que transporta energía eléctrica.

Por transferencia: a través de un golpe por ejemplo, cuando un jugador patea la pelota la energía de movimiento de la pierna se transfiere a la pelota y ésta adquiere movimiento.

Por irradiación: la energía solar nos llega por el mecanismo de radiación solar, el calor de una fogata, en parte, se debe a la radiación.

2. ¿Cuál es la diferencia principal entre una

onda mecánica y una electromagnética? R. La mecánica necesariamente requiere de un

medio material para que se produzca en cambio la electromagnética puede producirse tanto en un medio material como en el vacío.

3. ¿Cuál es la diferencia entre ondas

transversales, longitudinales y superficiales? R. En las ondas transversales el desplazamiento de

las partículas del medio es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, en las longitudinales ambas direcciones son paralelas y en las superficiales se produce una combinación del comportamiento de ondas transversales y longitudinales, lo que se traduce en que las partículas materiales describen una curva cerrada (circunferencia, elipse o alguna forma similar) mientras la dirección de propagación de la onda sigue un camino rectilíneo.

4. ¿Cuál es la diferencia entre un pulso y una

onda? R. Un pulso se produce por una vibración en un

medio. La onda es producida por una sucesión de vibraciones.

5. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia de

una onda y su velocidad? R. La frecuencia de la onda determina la cantidad

de vibraciones u oscilaciones que se producen en un segundo, la velocidad de propagación nos dice qué distancia recorre la onda en determinado tiempo.

6. Suponga que se produce una onda

transversal al agitar un extremo de un resorte. ¿Cuál es la frecuencia de la mano comparada con la de la onda?

R. La misma frecuencia, en este caso la mano es la que produce la vibración.


Cap. 11

EL COSMOS SU REPRESENTACIÓN

METROLÓGICA Y FENOMENOLÓGICA

LAS ESTRELLAS Y LAS GALAXIAS

Contenido:


OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECIFICO:

Valoramos las variables del movimiento ejercido por las fuerzas cósmicas, estudiando, analizando y discutiendo las características y propiedades de las estrellas y galaxias para el desarrollo y generación de elementos y núcleos en todos los campos pertinentes de la producción, en beneficio de la salud, la economía y la cultura de nuestro país.

GALAXIA ANDRÓMEDA

Un astrónomo persa, al-Sufi, ha sido reconocido como el primero en describir el débil fragmento de luz en la constelación Andrómeda que sabemos ahora que es una galaxia compañera de la nuestra. En 1780, el astrónomo francés Charles Messier publicó una lista de objetos no estelares que incluía 32 objetos que son, en realidad, galaxias. Estas galaxias se identifican ahora por sus números Messier (M); la galaxia Andrómeda, por ejemplo, se conoce entre los astrónomos como M31. En la primera parte del siglo XIX, miles de galaxias fueron identificadas y catalogadas por William y Caroline Herschel, y John Herschel. Desde 1900, se han descubierto en exploraciones fotográficas gran cantidad de galaxias. Éstas, a enormes distancias de la Tierra, aparecen tan diminutas en una fotografía que resulta muy difícil distinguirlas de las estrellas. La mayor galaxia conocida tiene aproximadamente trece veces más estrellas que la Vía Láctea. En 1912 el astrónomo estadounidense Vesto M. Slipher, trabajando en el Observatorio Lowell de Arizona (EEUU), descubrió que las líneas espectrales de todas las galaxias se habían desplazado hacia la región espectral roja. Su compatriota Edwin Hubble gracias al efecto Doppler interpretó esto como una evidencia de que todas las galaxias se alejaban unas de otras y llegó a la conclusión de que el Universo se expandía. No se sabe si continuará expandiéndose o si contiene materia suficiente para frenar la expansión de las galaxias, de forma que éstas, finalmente, se junten de nuevo.


Astronomía.- La astronomía es la ciencia que se

ocupa del estudio de los cuerpos celestes del universo, incluidos los planetas y sus satélites, los cometas y meteoritos, las estrellas y la materia interestelar, los sistemas de materia oscura, estrellas, gas y polvo llamados galaxias y los cúmulos de galaxias; por lo que estudia sus movimientos y los fenómenos ligados a ellos. Las estrellas.- Una estrella es una gran masa de gas a alta temperatura que emite una gran cantidad de calor y de luz. El hidrógeno es el combustible de las estrellas. Las estrellas se clasifican según su tamaño, su brillo o su color. Un sistema planetario es una estrella alrededor de la cual giran otros cuerpos de menor masa (planetas, rocas, etc.) Una estrella es una gran masa de gas con una elevada temperatura que emite una gran cantidad de calor y de luz. La energía de las estrellas.- Hay dos clases de reacciones nucleares, las de fisión y las de fusión.

a) En las reacciones de fisión, un núcleo pesado como el de uranio se divide en dos o más fragmentos desprendiendo energía. b) Las reacciones de fusión consiste en que, núcleos de átomos ligeros se unen para dar núcleos de átomos más pesados con un enorme desprendimiento de energía.

Las reacciones de fisión no pueden aportar la energía necesaria para mantener la luminosidad de una estrella, sobre todo, porque se requiere elementos más pesados que el hierro, que son poco abundantes en el universo. Son las reacciones de fusión las responsables de la generación de energía en las estrellas.

La temperatura de las estrellas.- La clasificación

de las estrellas se hace según su espectro luminoso y su temperatura superficial. Una medida simple de esta temperatura es el índice de color de la estrella.

La temperatura superficial determina el color de la estrella. De esta manera, las estrellas O son azules, mientras que estrellas de menor temperatura superficial (clases K o M) son rojizas, como Betelgeuse o Antares. Nuestro Sol pertenece al tipo de estrellas G. Dimensiones espaciales.- Para determinar

distancias estelares, se tienen las siguientes unidades: a) La unidad astronómica (UA).- Es la distancia

media entre la Tierra y el Sol, equivalente a:

1 UA = 1.50x108 km = 1.50x1011 m

Expresadas en UA, las distancias de los

planetas al Sol son: Mercurio 0.39 UA Venus 0.72 UA Tierra 1.00 UA Marte 1.52 UA Júpiter 5.20 UA Saturno 9.54 UA Urano 19.19 UA Neptuno 30.06 UA Plutón 39.44 UA. b) El año-luz (ly).- Un año-luz es la distancia que

recorre un rayo de luz durante un año en el vacío. Su equivalencia en el S.I. es de: 1 año luz = 1 ly = 9.47x1012 km = 9.47x1015 m


El año-luz se usa para indicar las distancias entre las estrellas y entre galaxias. La estrella más cercana al Sol es Próxima Centauri, que pertenece al sistema estelar de Alfa

Centauri, y está a 4.22 años-luz; lo que significa que está prácticamente a 40000000000000 km. c) El parsec (pc).- Corresponde a la distancia a la

cual se encontraría un astro que tuviera un paralaje de 1” (segundo) de arco.

1 Parsec (pc) = 3.09x1013

km = 3.09x1016

m Resumen de equivalencias:

1 UA = 1.50x108 km 1 ly = 9.47x1012 km

1 pc = 3.09x1013 km 1 pc = 3.26 ly 1 pc = 206265 UA

Ejem. 11.1.- Expresar en años luz, la distancia de 3 parsec. Solución:

3.26 ly3 pc 9.78 ly

1pc

Ejem. 11.2.- Expresar en UA, la distancia de 5 ly. Solución:

1pc 206265 UA5 ly 316357.4 UA

3.26 ly 1pc

Determinación de la Distancia.- El método más

usado para medir distancias grandes que sean inaccesibles, como la distancia hasta una estrella, es conocida como triangulación. La solución se la encuentra colocando al árbol en uno de los vértices del triángulo rectángulo ABC. Luego se construye el triángulo equivalente abC.

AC es conocida como la línea base del primer

triangulo. aC es la línea base del segundo triangulo.

AB es la distancia que se desea averiguar.

Note que se cumple la siguiente equivalencia:

AB AC

ab aC

De donde: AC

AB abaC

Al ser las distancias: ab, AC y aC “fáciles” de medir, la distancia AB será también fácil de calcular. La dirección del árbol, visto desde A, es diferente a la dirección del árbol visto desde C. Cálculo de distancias a las estrellas.- Paralaje es

el cambio aparente en la posición de un objeto, cuando se mira desde diferentes lugares. La posición de una estrella cercana sobre el fondo mucho más lejano parece cambiar cuando se ve desde dos ubicaciones diferentes.

Fig. 1

El ángulo de paralaje “p” es el ángulo bajo el que se ve la distancia Tierra-Sol desde la estrella.


Para que el paralaje sea apreciable, se toma como distancia base la mayor posible, que es el diámetro de la órbita terrestre alrededor del Sol (Fig. 1).

Fig. 2

Conocido el ángulo se puede calcular la distancia D al objeto.

Por ejemplo, si observamos una estrella próxima respecto al fondo estrellado, desde dos posiciones A y B de la órbita terrestre (figura 2), separadas por seis meses, podremos calcular la distancia D a la

que se encuentra la estrella próxima, deduciendo:

AB / 2tgp

D

Como “p” es un ángulo muy pequeño, su tangente se puede aproximar al ángulo medido en radianes:

AB / 2 AB / 2p D

D p

La base del triángulo AB/2 es la distancia Tierra-Sol, es decir 150 millones de km. Si tenemos el ángulo de paralaje “p”, la distancia a la estrella, en kilómetros será:

150000000 km 1UAD

p p

Con el ángulo “p” expresado en radianes. Por ejemplo, si el ángulo p es un segundo de arco (1”), la distancia de la estrella será: Ángulo:

1' 1º 2 rad 2p 1" rad

60'' 60' 360º 60 60 360

Reemplazando:

1UAD 206265 UA

2

60 60 360

A esta distancia se la denomina 1 parsec.

1 pc = 206265 UA Si una estrella se viese con un paralaje de (1”) de arco, se diría que está a 1 parsec (pc), que equivale a 1pc = 3.26 años luz. Cuanto más pequeño sea el paralaje, mayor es la distancia de la estrella. La relación entre distancia (en pc) y paralaje (en segundos de arco) es:

Dp

1

La sencillez de esta expresión es la razón por la que se usa tanto. Ejem. 11.3.- Calcule la distancia a la que se

encuentra una estrella cuyo ángulo, p = 5x10–5 rad. Solución:

5 4

5

1 1UAD 0.2 10 UA 2 10 UA

p 5 10

Las Galaxias.- Las galaxias son enormes colecciones de estrellas, polvo y gas. Usualmente contienen varios millones de estrellas y pueden variar en tamaño desde algunos miles a varios cientos de miles de años luz de diámetro. Hay cientos de billones de galaxias en el Universo. Las galaxias se presentan en muchos diferentes tamaños, formas y brillantez, y como las estrellas, son encontradas solas, en pares o en grandes grupos llamados cúmulos. Las galaxias están divididas en tres tipos básicos: espirales, elípticas e irregulares. a) Galaxia espiral.- Las galaxias espirales son

nombradas de acuerdo a la forma de sus discos. En una galaxia espiral, las estrellas, el gas y el polvo son recolectados en brazos espirales que se esparcen hacia fuera desde el centro de la galaxia. Las galaxias espirales tienen una gran cantidad de gas, polvo y nueva formación de estrellas.


Como tienen una gran cantidad de estrellas jóvenes y calientes, se cuentan frecuentemente entre las galaxias más brillantes en el Universo. Alrededor del 20% de todas las galaxias son espirales. Nosotros vivimos en una galaxia espiral llamada Vía Láctea.

b) Galaxia elíptica.- Las galaxias elípticas tienen

formas como las elipses (círculos alargados). Las galaxias elípticas están hechas mayormente de estrellas antiguas, y no tienen mucho gas o polvo. Las galaxias elípticas también presentan muchos tamaños. Las galaxias más grandes que nosotros vemos son elípticas, pero las galaxias elípticas pueden ser también pequeñas. Alrededor del 60% de todas las galaxias son elípticas.

c) Galaxia irregular.- Las galaxias irregulares no

tienen una forma particular. Ellas están entre las galaxias más pequeñas y están llenas de gas y polvo. Teniendo una gran cantidad de gas y polvo, significa que estas galaxias tienen una gran cantidad

de formación de estrellas llevándose a cabo en el interior de ellas. Esto puede hacerlas muy brillantes. Las Nubes de Magallanes Grande y Pequeña, son ejemplos de galaxias irregulares. Ellas son dos galaxias pequeñas que viajan en órbita alrededor de nuestra propia galaxia, la Vía Láctea. Alrededor del 20% de todas las galaxias son irregulares.

La Vía Láctea es nuestra galaxia.- El Sistema

Solar está en uno de los brazos de la espiral, a unos 30000 años luz del centro y unos 20000 del extremo.

¿Cómo es la Vía Láctea?- Si pudiéramos observar la Vía Láctea desde fuera de ella, veríamos el centro abultado, amarillo y brillante, con forma de balón de rugby, y un delgado disco de color azulado girando alrededor.

La Vía Láctea tiene forma espiral barrada, como un molinillo. En el centro hay un agujero negro, que los científicos llaman Sagitario A. El centro no es redondo, sino algo alargado. Cerca de él están las estrellas más viejas, rojas y amarillas.

Del centro nacen cuatro brazos: Brazo de Perseo, Brazo de Orión, Brazo de Sagitario y Brazo de Cruz Centauro.

Forman un disco que gira lentamente en espiral. En los brazos están las estrellas más jóvenes, las blancas y azules. También hay muchas nebulosas; en la mayoría de ellas se forman nuevas estrellas. El Brazo de Sagitario es el más brillante de todos.

La Vía Láctea es una galaxia grande. Mide 100.000 años luz de diámetro y contiene más de 200.000 millones de estrellas. Su gravedad es tan poderosa, que atrae a otras galaxias cercanas más pequeñas.

La Tierra está a 25.000 años luz del centro de la galaxia, en una zona poco poblada del Brazo de Orión. Nuestro Sistema Solar tarda 225 millones de años en dar una vuelta completa a la Vía Láctea.


Cap. 12

FUERZAS DE LOS OBJETOS

EN EQUILIBRIO MECÁNICO EN

LA MADRE TIERRA.

LAS FUERZAS FUNDAMENTALES

Y LA LEY DE HOOKE

Contenido:



Valoramos la importancia del equilibrio en nuestra comunidad a partir del estudio de las cuatro fuerzas fundamentales y sus aplicaciones para producir movimiento, construyendo una variedad de ejercicios gráficos, que permitan fortalecer iniciativas creativas entre nuestros estudiantes.

LAS CUATRO FUERZAS FUNDAMENTALES

Las interacciones del Universo están gobernadas por cuatro fuerzas fundamentales (fuerte, débil, electromagnética y gravitacional).

Los físicos están tratando de encontrar una teoría que pueda describir todas las fuerzas de la naturaleza en una sola ley. Hasta ahora han logrado producir una teoría que describe a la fuerza débil y electromagnética (llamada fuerza electro débil). La fuerza fuerte y gravitacional aún no han sido descritas por esta teoría.

LAS CUATRO FUERZAS FUNDAMENTEALES

Interacción Intensidad Relativa Alcance Partícula Mediadora

Fuerte 1 Corto Gluon

Electromagnética 0.0073 Largo Fotón

Débil 10 – 9 Muy corto

W,Z

Gravitacional 10 – 38 Largo Gravitón


Introducción.- La fuerza es cualquier jalón o

empujón, también decimos que es la acción o influencia que modifica el estado de reposo o de movimiento de un objeto. Siempre que haya una interacción entre dos objetos, habrá una fuerza entre cada uno de esos

objetos. Cuando la interacción termina, los objetos ya no experimentarán la fuerza por lo que podemos concluir que las fuerzas solo existen como el resultado de una interacción. Fuerzas Fundamentales.- Las interacciones del Universo están gobernadas por cuatro fuerzas fundamentales:

Gravitacional Nuclear Débil Nuclear Fuerte Electromagnética

De estas cuatro fuerzas, solamente la gravedad actúa a escala cósmica y es una fuerza de atracción, no de repulsión. a) Interacción gravitacional.- Es la responsable de la interacción entre las partículas con masa y, por extensión, de la configuración a escala macroscópica del Universo y de su estabilidad.

Acción: Actúa sobre todas las partículas. Es de naturaleza atractiva. Alcance: Prácticamente infinito. Fuerza: Es la más débil. Tomando como unidad la más fuerte de las cuatro, ésta sería 10–39 veces más débil, aproximadamente. b) Interacción nuclear débil.- Es la responsable de la desintegración de ciertas partículas inestables; es decir, de aquellos procesos en los que algunas partículas se descomponen (decaen) en otras más ligeras.

Por extensión, es la que origina algunos procesos radiactivos (desintegración beta).

Acción: Actúa sobre las partículas denominadas leptones y quarks. Alcance: Menos de 10–15 cm. Fuerza: 10–5 (en la escala anterior). c) Interacción nuclear fuerte.- Es la responsable de la interacción entre los nucleones, esto es, las partículas que forman el núcleo atómico (protones y neutrones). Mantiene el núcleo unido (obsérvese que al tener los protones carga eléctrica positiva y los neutrones carga nula, por efecto de la fuerza electromagnética repulsiva entre los primeros, el núcleo sería inestable de no existir esta fuerza). Por extensión, es la responsable de la estabilidad de toda la materia.

Acción: Actúa sobre las partículas denominadas quarks. Es de naturaleza atractiva. Alcance: 10–13 cm. Fuerza: 1. Es la más fuerte (en la escala anterior). c) Interacción electromagnética.- Es la responsable de la interacción entre las partículas con carga eléctrica y de todas las reacciones químicas.


Acción: Actúa sobre todas las partículas cargadas eléctricamente. Es de naturaleza atractiva o repulsiva. Alcance: Prácticamente infinito. Fuerza: 10–2 (en la escala anterior). Tipos de fuerzas.- Para todas las fuerzas o

interacciones entre los objetos podemos simplificar en dos categorías importantes: a) Fuerzas de contacto.- Fuerzas resultantes por

la interacción a distancia. Las fuerzas de contacto son las que resultan cuando dos objetos interactúan mientras se contactan físicamente y algunos ejemplos son: Fuerza de fricción, o rozamiento entre dos objetos

Fuerza de tensión, en cuerdas

Fuerza normal, en cuerpos apoyados

Fuerza de resistencia del aire, fricción del aire

Fuerza aplicada, llamada fuerza externa

Fuerza de empuje, de los líquidos a los objetos

Fuerza de resorte o Restauradora, cuando se

comprime o estira un resorte o una liga b) Fuerzas de acción a distancia.- Son las que resultan de la interacción de dos objetos que no estan en contacto físico de uno con el otro y son capaces de ejercen un empujón o jalón debido a esa separación física. Algunos ejemplos de este tipo de fuerza son:

Fuerzas gravitacionales, atracción entre dos masas Fuerzas electromagnéticas, atracción o repulsión

de origen eléctrico y/o magnético

Representación gráfica de una fuerza.- Las

fuerzas se representan por medio de vectores.

Unidades de Fuerza.- Son las siguientes:

c.g.s.

S. I.

Sist. técnico

Sist. Inglés Téc.

Sist. Inglés Abs.

dyna

dyn

Newton

N

kilopon-

dio

kp

libra

fuerza

lbf

poundal

pdl

En el sistema técnico, es el kilogramo fuerza (kgf) o kilopondio (kp), peso de un kilogramo masa. Existe también el gramo fuerza (gf) o pondio: Equivalencias:

1 N = 105 dyn 1 lbf = 4.45 N 1 kp = 9.8 N 1 kp = 2.2 lbf 1 kp = 1000 grf 1 lbf = 32.2 pdl 1 lbf = 0.454 kp

Ley de Hooke.- Cuando una fuerza externa actúa

sobre un resorte o muelle se produce una deformación que es directamente proporcional a la intensidad de la fuerza aplicada. Esta ley se basa en las propiedades elásticas de los materiales. Por ejemplo, si se cuelgan sucesivamente varias pesas del extremo libre de un resorte, se obtienen diferentes variaciones de su longitud con respecto a la longitud natural del resorte, como se observa en la figura.

Dirección o recta de acción

Sentido

Punto de aplicación

Módulo


En una tabla se anotan las deformaciones (x) y los pesos o fuerzas (F), obtenidos experimentalmente Luego se determina el cociente entre cada fuerza aplicada y su respectivo alargamiento del resorte y se obtiene un valor constante, denominado Constante del resorte (K)

Representar gráficamente los resultados obtenidos, la gráfica es una recta cuya pendiente es igual al valor de los cocientes. Por ejemplo, con los siguientes valores:

Fuerza:

F N

Alargamiento:

x cm

Cociente:

NK

cm

10 2 5.0

20 4 5.0

30 6 5.0

40 8 5.0

50 10 5.0

Representando en una gráfica los datos, se obtiene una recta cuya pendiente es el valor de K.

A partir de la gráfica se obtiene que: La fuerza (F) es directamente proporcional con el alargamiento (x) del resorte.

Es decir: FK

x

En el ejemplo anterior, K tiene el valor:

NK 5

cm N 100 cm N

K 5 500cm 1m m

Cada resorte tiene un valor distinto de K, que depende de las características del material del que está hecho.

Despejando de la anterior relación la fuerza aplicada se obtiene la expresión de la ley de Hooke, en honor al físico inglés Robert Hooke en el siglo XVII.

F K x

F = Fuerza de restitución k = Constante del resorte x = Desplazamiento, deformación del resorte

Dinamómetros.- Son instrumentos utilizados para la

medición de fuerzas, basados en las propiedades elásticas de los cuerpos. Los cuerpos elásticos son aquellos que una vez que ha cesado la fuerza que los deformó, recuperan su forma primitiva. Estos instrumentos cumplen la ley de Hooke que

relaciona la fuerza de restitución con el estiramiento.

Ejem. 12.1.- Al colgar un objeto de 50 kp de peso de

un resorte, éste se estira 15 cm. Calcular la constante elástica del resorte expresada en N/cm. Datos: F = 50 kp x = 15 cm k = ?

F = 50 kp x 9.8 N / 1kp = 490 N

Ejem. 12.2.- ¿Cuánto se podrá comprimir un resorte

de 48 cm de longitud mediante una fuerza de 25 kp si la constante elástica del resorte es 1500 N/m? Datos: L0 = 48 cm F = 25 kp k = 1500 N/m x = ?

F = 25 kp x 9.8 N / 1kp = 245 N

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

Fue

rza

(N

)

Alargamiento (cm)

Ley de Hooke

490. 32.67 /

15

NFF k x k N cm

x cm

245. 0.163 16.3

1500 /

NFF k x x m cm

k N m


Ejem. 12.3.- Calcular la fuerza aplicada a un resorte

de constante 20 N/m, que se estira 5 cm. Datos:

k = 20 N/m x = 5 cm = 0.05 m F = ?

N

F K x 20 0.05 m 1Nm

Sistemas de fuerzas.- Es un conjunto de fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo. A) Fuerzas colineales.- Similar al de los vectores.

Ejem. 12.4.- Fuerzas de igual sentido:

F1 = 25 kg ( 2.5 cm) F2 = 50 kg ( 5 cm)

R = 75 kg (7.5 cm)

Ejem. 12.5.- Fuerzas de sentido contrario:

F1 = 25 kg ( 2.5 cm) F2 = – 50 kg ( 5 cm)

R = –25 kg (2.5 cm)

B) Fuerzas Paralelas.- Son aquellas fuerzas cuyas rectas de acción son líneas paralelas entre sí. Pueden ser de igual o distinto sentido. a) Fuerzas paralelas de igual sentido.- La

resultante es:

- Es paralela y del mismo sentido que las componentes.

- Su módulo es igual a la suma de los componentes.

- Su punto de aplicación divide al segmento que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas.

Método Gráfico.- Para obtener gráficamente la

resultante de un sistema de fuerzas paralelas de igual sentido:

Fuerza resultante: Relación de Stevin:

Ejem. 12.6.- Calcular analítica y gráficamente la

resultante de un sistema de fuerzas paralelas de igual sentido de 150 N y 350 N que se encuentran separadas por una distancia de 5 cm. Datos: F1 = 150 N Escala: 1 cm : 100 N F2 = 350 N AB = 5 cm Solución gráfica:

b) Fuerzas paralelas de sentido contrario.- La resultante es: - Es paralela a ambas fuerzas y del mismo sentido

de la mayor. - Su módulo es igual a la diferencia de los módulos

de sus componentes. - Su punto de aplicación es exterior al segmento

que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas, situado siempre del lado de la mayor.

R

F1 F2

R F1

F2

R

A O B

F1

F2

1 2R F F OBFOAF 21

R

A O B

F2

F1

NRNNFFR 50035015021


Método Gráfico.- Para obtener gráficamente la

resultante de un sistema de fuerzas paralelas de sentido contrario:

Fuerza resultante: Relación de Stevin:

Ejem. 12.7.- Calcular analítica y gráficamente la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de sentido contrario de 150 N y 350 N que se encuentran separadas una distancia de 5 cm. Datos: F1 = 150 N F2 = 350 N AB = 5 cm Solución gráfica:

C) Fuerzas Concurrentes.- Son aquellas cuyas rectas de acción pasan por un mismo punto.

2 2

1 2 1 2R F F 2 F F cos

Ejem. 12.8.- Calcular gráficamente la resultante de

un sistema de fuerzas concurrentes 150 N y 350 N que forman entre sí un ángulo de 30º. Utilizar ambos métodos. Datos: F1 = 300 N Escala: 1 cm = 100 N F2 = 200 N α = 45º Solución gráfica:

Solución analítica:

cos2 21

2

2

2

1 FFFFR

º45cos2003002200300 22 R

)71.0(1200004000090000 R

215200852004000090000 R

R 463.9 N

Equilibrio de fuerzas.- Dos fuerzas colineales

aplicadas a un mismo punto se equilibran cuando son de igual intensidad, misma dirección y sentidos contrarios.

Un objeto se encuentra en equilibrio traslacional cuando la fuerza total o resultante que actúa sobre él es nula.

Fuerzas en equilibrio: Resultante = 0

R

B A O

F2

F1

1 2R F F OBFOAF 21

R

A B O

F2

F1

2 1 350 150

200

R F F N N

R N

RF2

F1

RF2

F1

F1 = 30 NF2 = –30 N

12

1

2


LABORATORIO VIRTUAL

Ingresa a Educaplus, Física, Dinámica y luego Tipos de fuerzas; practica e investiga.

Ingresa a Educaplus, Física, Dinámica y luego Ley de Hooke; practica e investiga.

Ingresa a Phet, Física, Laboratorio de resortes y masas. Descarga o trabaja en línea:


PRACTICA DE LABORATORIO VIRTUAL

LEY DE HOOKE

1. Objetivo General:

- Determinar la relación matemática entre una fuerza aplicada a un resorte y el aumento de su deformación. 2. Objetivos específicos: - Determinar experimentalmente la constante de elasticidad de un resorte. - Comprobar experimentalmente la Ley de Hooke. 3. Fundamento teórico:

- Para los cuerpos elásticos se puede afirmar que su deformación, al someterlos a tracción, es proporcional a la fuerza que se aplica sobre ellos.

- La Ley de Hooke se expresa matemáticamente:

xkF .

Dónde: F = Fuerza aplicada al resorte, (N) k = Constante elástica del resorte, (N/m) x = Deformación del resorte, (m)

4. Material: - Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet. - Abrir la práctica correspondiente a la Ley de Hooke del CD proporcionado, en su caso armarse uno similar.

5. Procedimiento:

- Inicie el programa.

- La práctica consta de un resorte de longitud inicial: L0 = 2 m

- La masa del platillo más sus accesorios es de 0.5 kg.

- Las esferitas tienen una masa de 0.5 kg cada una.


- Mida la deformación producida por la masa del platillo sobre el resorte: 0LLx f

- Luego tome una esfera e introduzca en el platillo y observe la longitud del resorte. Anote su valor.

- Repita el procedimiento para las esferas que vea conveniente.

- La fuerza aplicada al resorte es el peso: F mg Aceleración de la gravedad: g = 9.8 m/s2

- Anote su valor para cada medida en la Tabla I. Seguidamente calcule F y x, anote en la tabla II

- Posteriormente calcule la constante K para cada medida con: F

F K x Kx

Tabla I Datos experimentales Tabla II Datos calculados

Ensayo 1 2 3 4 5 6 7 8 Ensayo 1 2 3 4 5 6 7 8

m (kg) F (N)

Lf (m)

x (m)

K

(N/m)

- Calcule el promedio de los valores de K:

Valor obtenido experimentalmente: i

exp.

KK ...........

n

- Grafique los pares de datos F vs. x. Variable independiente: (x), Variable dependiente: (F)

- Corrija la gráfica aplicando regresión lineal.

- Obtenga el valor de la pendiente de la gráfica: F K x

Valor teórico o analítico de la constante: teor.K …………

- Compare la pendiente con los valores experimentales de la tabla II.

- Determine el error porcentual, considerando como valor más probable, la pendiente y el valor medido el

promedio de la tabla II.




Er

E%

Constante del resorte:

K (N/m)


(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, gráficas, etc.) 7. Conclusiones:

(Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)


1. ¿Qué efectos puede producir una fuerza sobre un cuerpo?

2. La fuerza es una magnitud vectorial. Explica qué significa esto.

3. Clasifica los siguientes cuerpos en rígidos, elásticos o plásticos en relación con la fuerza que eres capaz de ejercer con tus propias manos: a) llave b) muelle c) azulejo d) almohada de lana e) plastilina

4. Enuncia la Ley de Hooke.

5. ¿Qué es la constante de elasticidad de un muelle? ¿En qué unidad se mide en el SI?

6. Un muelle tiene una constante de elasticidad de

1750 N/m. Al aplicar una fuerza en su extremo libre observamos que se estira 20 cm. ¿Qué fuerza hemos aplicado? Resp: 350 N

7. Si se aplica una fuerza de 520 N en el extremo

de un muelle, se observa que se alarga 12 cm. Calcula la constante de elasticidad del muelle. Resp: 4333 N/m

8. Un muelle tiene 25 cm de longitud. Aplicamos

sobre su extremo libre una fuerza de 90 N y medimos su longitud, observando que ahora vale 32 cm. Calcula su constante elástica. Resp: 1286 N/m

9. Un muelle de 30 cm de longitud, que tiene una

constante elástica de 2500 N/m, se cuelga de un soporte. Enganchamos en su extremo inferior una esfera de plomo que tiene un peso de 60 N. a) ¿Cuánto se estira el muelle? b) ¿Cuál es su longitud final? Resp: a) 2.4 cm; b) 32.4 cm

10. Aplicamos una fuerza de 118 N en el extremos

libre de un muelle de 25 cm de longitud que tiene una constante elástica de 2450 N/m. Calcula la longitud final del muelle. Resp: 29.8 cm

11. a) Calcular el valor de la constante elástica de

un muelle de longitud inicial de 30 cm que al colgar del mismo un peso 40 N adquiere una longitud de 40 cm. b) Calcula también la longitud del muelle al colgar del mismo un peso de 100 N.

Resp: a) 400 N/m; b) 0.55 m

12. A un muelle le estiramos con una fuerza de 30

N y producimos un estiramiento de 20 cm. ¿Cuánto vale su constante elástica? Resp: 150 N/m

13. Nos dicen que un muelle tiene una constante

de elasticidad de 100 N/m ¿Cuál es el alargamiento que sufre el muelle si le aplicamos una fuerza de 200 N? Resp: 2 m

14. Si al aplicar una fuerza de 18 N a un muelle,

éste se alarga 12 cm. Calcula su constante elástica. Resp: 150 N/m

15. Halla gráfica y analíticamente la resultante de dos fuerzas de 3 N y 4 N: a) Si tienen la misma dirección y sentido b) Si tiene la misma dirección y sentidos contrarios. c) Si sus direcciones son perpendiculares. Resp: a) 7 N; b) 1 N; c) 5 N

16. Halla gráfica y analíticamente la resultante

(módulo y punto de aplicación) de dos fuerzas de 10 N y 20 N aplicadas perpendicularmente a los extremos de una barra de 1 m de longitud: a) Las dos fuerzas tienten el mismo sentido. b) Las dos fuerzas tienen sentidos opuestos. Resp: a) R = 30 N; x = 1/3 m b) 10 N; x = 1 m

17. Calcular la resultante y su punto de aplicación

de un sistema de fuerzas paralelas de sentido contrario de 250 N y 450 N separadas una distancia de 4 cm.

Resp: 200 N ; A 5 cm de la fuerza de – 450 N 18. Se tienen dos fuerzas de 4 N y 6 N que forman

entre sí un ángulo de 120º. Dibujarlas a escala y hallar la fuerza resultante.

Resp: 5.29 N 19. Sobre los extremos de una barra rígida de 28

cm de longitud se aplican dos fuerzas de 30 N y 40 N respectivamente. Ambas fuerzas tienen el mismo sentido. Calcula el módulo, dirección y sentido de la fuerza resultante. Resp: 70 N A 16 cm de la fuerza de menor intensidad



1. La fuerza es una magnitud:

a) Escalar, como la masa. b) Vectorial, como la aceleración. c) Depende del sistema de referencia elegido d) N. A.

2. Si sobre un cuerpo actúan dos fuerzas en la

misma dirección y sentido, la fuerza resultante:

a) Es la resta de las dos y va en el sentido de la fuerza de mayor intensidad

b) Es la suma de las dos y va en el mismo sentido que las dos fuerzas

c) Se calcula con el teorema de Pitágoras, porque los vectores forman 90º

d) N. A. 3. ¿Es correcto expresar el peso en kg?

a) Si b) No c) Falta información d) N. A.

4. Efecto estático de una fuerza:

a) Cambio de movimiento b) Deformación c) Movimiento d) N. A.

5. El ................ de un cuerpo es la fuerza con que

la Tierra lo atrae

a) Trabajo b) Peso c) Movimiento d) N. A.

6. ¿Cuál es el valor de la constante de

recuperación de un muelle si al colgar de él un peso de 3 N se alarga 25 cm?

a) K = 0.083 N/m b) K = 0.12 N/m c) K = 12 N/m d) K = 8.3 N/m

7. Sirve para medir el peso de un cuerpo:

a) Dinamómetro b) Manómetro c) Barómetro d) N. A.

8. Dos fuerzas colineales de diferente sentido

tienen módulos 30 N y 40 N. Su resultante es:

a) 70 N b) 10 N c) 50 N d) N. A. 9. Dos fuerzas perpendiculares tienen módulos 30

N y 40 N. Su resultante es: a) 70 N b) 10 N c) 50 N d) N. A.

10. Dos fuerzas concurrentes tienen módulos 30 N y 40 N, forman 60º. Su resultante es:

a) 70 N b) 10 N c) 50 N d) 60.8 N 11. Dos fuerzas colineales de igual sentido tienen

módulos 30 N y 40 N. Su resultante es: a) 70 N b) 10 N c) 50 N d) N. A.

12. Dos fuerzas de 80 lbf y 40 lbf forman un ángulo

de 90º, luego la resultante de estas fuerzas es:

a) 30 lbf b) 120 lbf c) 70 lbf d) 89.4 lbf

13. Un resorte tiene una constante de resorte de 0.5

N/m. ¿Cuánto se estirará el resorte si se cuelga de éste una masa de 200 g? Utiliza la aceleración debido a la gravedad, g = 10 m/s2. a) 1.9 m b) 2.9 m c) 3.9 m d) 4.9 m

14. Un resorte se estira 5 cm cuando una masa de 300 g se cuelga de éste. ¿Cuál es el valor de la constante de resorte? Utiliza la aceleración debido a la gravedad, g = 10 m/s2. a) 5.8 N/m b) 58.8 N/m c) 5883 N/m d) 0.05 N/m

15. La constante de resorte de un resorte es 30 N/m. ¿Cuánto se estirará el resorte al aplicar una fuerza de 6 N? a) 0.2 m b) 2 m c) 5 m d) 180 m

16. Si el cuerpo está colgando de un resorte de constante de rigidez K = 50 N/cm. Determinar el peso del cuerpo, si el resorte está deformado 3 cm y se encuentra en equilibrio.

a) 50 N b) 80 N c) 150 N d) 200 N

17. Un bloque está reposando sobre un resorte, el cual le comprime 5 cm. Determinar el peso del bloque si K = 30 N/cm

a) 50 N b) 80 N c) 150 N d) 200 N

K

K



Cap. 13

ANÁLISIS DEL TORQUE O

MOMENTO DE UNA FUERZA Y

SU INTERRELACIÓN EN LOS

PROCESOS SOCIOPRODUCTIVOS

MOMENTO DE UNA FUERZA

Contenido:



Valoramos la importancia del equilibrio en nuestra comunidad a partir del estudio de las cuatro fuerzas fundamentales y sus aplicaciones para producir movimiento y rotación, construyendo una variedad de ejercicios gráficos, que permitan fortalecer iniciativas creativas entre nuestros estudiantes.

PRACTICANDO CON LOS TORQUES

Ingresa a Phet, selecciona física, clic en la pestaña Dinámica, luego busca Malabarismos.

Póngase a jugar aplicando los conocimientos de los momentos.


Introducción.- Uno de los efectos de una fuerza, es

producir movimiento de rotación en cuerpos rígidos. Veamos ejemplos de la vida de cada día. ¿Te has “encontrado” con una puerta que tiene un cartelito que dice TIRAR o EMPUJAR?

Se tiene dos puertas: En la 1ª se lee “EMPUJAR” y en la 2ª “TIRAR”. Los muñecos indican la acción que se debe realizar cuando uno se encuentre con una puerta con uno de los dos avisos. Las puertas y ventanas que por medio de las bisagras están unidas al marco, forman un eje vertical que giran a su alrededor:

Otros casos son el manejo de la “llave inglesa” para apretar o aflojar tuercas.

Si la llave se gira en el sentido que marchan las agujas de un reloj el signo del giro es menos

(negativo). Se está apretando la tuerca:

En el sentido anti-horario, se afloja y se adopta el signo más (positivo).

Cuando empujamos una puerta, apretamos una tuerca, movemos el volante de un coche, etc., estamos produciendo movimientos de rotación. Al referirnos a los movimientos de rotación se debe tener en cuenta que se produce alrededor de un punto o un eje.

En el momento de aplicar una fuerza tanto en el caso de las puertas como en el de las tuercas tienes que tener en cuenta:

1. Punto o eje de giro 2. Fuerza que aplicas 3. Distancia entre el lugar donde aplicas la

fuerza y el objeto que gira. Fíjate bien en la figura siguiente:


- Las bisagras forman el eje de giro. Cuando

empujes la puerta, ésta girará con respecto al eje de giro.

- d es la distancia entre el punto o eje de giro y del

lugar donde se aplica la fuerza. - En el momento de empujar la puerta ¿dónde

pondrás la mano para aplicar la fuerza: en la posición 1, 2 o 3? ¿Por qué?

- Creo que elegirías la 3ª porque necesitarás

emplear menos fuerza para que la puerta se abra.

- Dos factores están interviniendo directamente

que son la fuerza y la distancia existente entre el punto o eje de giro y el punto donde aplicamos la fuerza.

- La fuerza que aplicamos la expresamos en

Newton y la distancia en metros. Momento de una fuerza.- Se denomina momento

de una fuerza con respecto a un punto, al producto de la intensidad de la fuerza por la distancia tomada perpendicularmente a la recta de acción de la fuerza hasta dicho punto:

MOMENTO POSITIVO

Sentido antihorario

MOMENTO NEGATIVO

Sentido horario

MOMENTO NULO

Brazo de palanca:

d = 0

El momento o torque de una fuerza es una magnitud vectorial que posee las siguientes

características: UBICACIÓN: Sobre el eje de rotación DIRECCIÓN: Perpendicular al plano de rotación. SENTIDO: Determinado por la regla de la “mano

derecha”

MÓDULO:

M = Momento de la fuerza (N.m) F = Fuerza (N) d = Brazo de palanca (m)

Nota: El brazo de palanca y la dirección de la fuerza deben formar 90º, si el caso no se da, el estudiante deberá calcular haciendo uso de las formulas trigonométricas. Teorema de Varignon.- El momento de la resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos individuales de las componentes con respecto a dicho punto.

= 0

.M F d

Se

nti

do

de

l

Ve

cto

r (

M )

Rotación del brazo de palanca ( d )

O

R

OA

F2

F1

B

R iM M


Par de fuerzas.- Se trata de dos fuerzas que tienen

el mismo valor o módulo, misma dirección y de sentidos opuestos. La resultante vale cero al ser las fuerzas de la misma intensidad y sentidos opuestos. Si la barra rígida en su mitad tuviese un punto de apoyo, al aplicar el par de fuerzas produce un giro. Aplicaciones de un par de fuerzas nos encontramos en muchas situaciones al cabo de un día:

Fuerzas paralelas sentidos contrarios, misma intensidad y misma dirección.

:

La aplicación de un par de fuerzas produce un movimiento de rotación

en el manillar (manos) y pedales (pies)

Volante de un coche. Todo giro del mismo procede de la aplicación de un par de fuerzas.

Se define momento de una cupla al producto de la intensidad de una de sus fuerzas ( F ) por la distancia que las separa ( d ):

Una cupla se representa mediante un vector perpendicular al plano determinado por ambas fuerzas, cuya intensidad es igual al momento de la

misma. Ejem. 13.1.- En los siguientes gráficos, determinar el

signo y valor de los momentos: a)

Sentido horario del momento

b)

Sentido anti horario del momento

c)

No existe rotación, momento nulo, debido a que el brazo de palanca d = 0.

.M F d

. 80 7.6

608 .

M F d N cm

M N cm

. 45.6 4.5

205.2 .

M F d kp cm

M kp cm

. 10 0

0

M F d kp

M


d)

Cálculo del brazo de palanca:

Cálculo del momento de rotación:

Ejem. 13.2.- En la siguiente figura, determinar el momento resultante con respecto al punto A.

M1 = F1 x d1 = 20 kp x 0 = 0 M2 = F2 x d2 = 60 kp x 0 = 0 M3 = F3 x d3 = - 40 kp x 1.5 m = - 60 kp.m M4 = F4 x d4 = 40 kp x 3 m = 120 kp.m M5 = F5 x d5 = - 30 kp x 2.5 m = - 75 kp.m M6 = F6 x d6 = 30 kp x 3 m = 90 kp.m M7 = F7 x d7 = 40 kp x 5 cm = 200 kp.m M8 = F8 x d8 = 60 kp x 0 = 0

MA = ΣMA = 275 kp.m

Ejem. 13.3.- En la siguiente figura, determinar el

momento resultante con respecto al punto A.

Momentos para un eje perpendicular al plano en el punto A: M1 = F1.d1 = (60 kp)(1.5 m) = 90 kp.m

M2 = F2.d2 = – (90 kp)(5 m) = – 450 kp.m MA = ΣMi = – 360 kp.m Ejem. 13.4.- En la figura, calcular la suma de momentos con respecto al punto A. (cada rectángulo mide 5 cm de largo)

Momentos para un eje perpendicular al plano en el punto A: M1 = F1.d1 = (20 kp)(0) = 0

M2 = F2.d2 = (10 kp)(15 cm) = 150 kp.cm

M3 = F3.d3 = - (50 kp)(20 cm) = - 1000 kp.cm

M4 = F4.d4 = - (20 kp)(35 cm) = - 700 kp.cm M5 = F5.d5 = (30 kp)(45 cm) = 1350 kp.cm

M6 = F6.d6 = (20 kp)(0) = 0

M7 = F7.d7 = - (15 kp)(10 cm) = - 150 kp.cm

M8 = F8.d8 = (60 kp)(30 cm) = 1800 kp.cm

M9 = F9.d9 = - (25 kp)(50 cm) = - 1250 kp.cm MA = ΣMi = 200 kp.cm

60º 60º 2 0.866

1.73

dsen d L sen m

L

d m

. 20 2 40 .M F d kp m kp m


TRABAJO PRÁCTICO I

UTILIZANDO UNA ESCUADRA DIBUJAR EL BRAZO DE PALANCA DE CADA FUERZA CON RESPECTO AL PUNTO “O” E INDICAR EL SIGNO DEL MOMENTO

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)


TRABAJO PRÁCTICO II

ANOTAR EL VALOR Y SIGNO DEL TORQUE EN CADA FIGURA:

a)

M =……………….

b)

M =……………….

c)

M =……………….

d)

M =……………….

e)

M =……………….

f)

M =……………….

g)

M =……………….

h)

M =……………….

i)

M =……………….


1. Calcular el momento de torsión que actúa sobre la barra AB considerando que el eje está ubicado en el punto A

Resp: 34 N.m

2. Una fuerza de 80 N actúa en el extremo de una

llave de 12 cm como se muestra. Encuentre el momento de torsión.

Resp: 8.31 N m

3. Calcular el momento resultante respecto a un eje imaginario ubicado en el apoyo. Resp: – 165 Nm

4. Averiguar a qué distancia se debería aplicar una

fuerza de 200 N para mantener el equilibrio en el siguiente sistema donde hay un peso de 500 N del otro lado. Resp: 3.75 m

5. Calcular el valor de la fuerza F para mantener el equilibrio. Resp: 61.54 kp

6. Calcular el momento de torsión con respecto a los ejes B y C.

Resp: MB = 400 kp.cm ; MC = 700 kp.cm

7. Calcular el momento de torsión con respecto a

los puntos B y C. Resp: MA = 5 kp.m; MB = –245

F3 = 25 N

2 m 2 m 3 m

F2 = 10 N

F1 = 20 N

P = 500 N

1.5 m x = ?

F = 200 N

P = 40 kp

2 m 1.3 m

F = ?



1. Sean las dos fuerzas de la figura. La suma de las fuerzas es:

a) 7 kp b) 12 kp c) 5 kp d) 1 kp 2. En el ejercicio 1, la suma de momentos respecto

a O es:

a) 16 kp.m b) –16 kp.m c) 12 kp.m d) –12 kp.m

3. La suma de momentos respecto al punto O es:

a) 50 kp.m b) –50 kp.m c) 150 kp.m d) –150 kp.m 4. Sean las dos fuerzas de la figura, el momento

resultante con respecto a uno de los extremos, es:

a) 200 kp.m b) –400 kp.m c) 20 kp.m d) –20 kp.m

5. El valor del torque respecto al punto O, es:

a) 50 N.m b) –60 N.m c) 60 N.m d) –15 N.m

6. El valor del torque respecto al punto O (solo módulo), en (N.m) es:

a) 50 2 b) 25 2 c) 25 3 d) 5 2


a) 100 N.m b) –160 N.m c) 160 N.m d) –150 N.m


a) 32 N.m b) –32 N.m c) 40 N.m d) –40 N.m


a) 20 N.m b) –20 N.m c) 40 N.m d) –40 N.m


a) 40 N.m b) –40 N.m c) 14 N.m d) –14 N.m



Cap. 14

APLICACIONES DE LOS

TORQUES EN

PROCESOS TECNOLÓGICOS

MAQUINAS SIMPLES

Contenido:


OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECIFICO:

Valoramos las variables del movimiento ejercido por las fuerzas mecánicas, estudiando, analizando y discutiendo las características y propiedades de las máquinas simples para el desarrollo y generación de elementos y núcleos en todos los campos pertinentes de la producción, en beneficio de la salud, la economía y la cultura de nuestro país.

MAQUINAS SIMPLES

¿Te imaginas ir a un supermercado y no tener como transportar los productos comprados? ¿Bajar una caja pesada de un piso a otro? o tal vez ¿subir varios materiales para la construcción del segundo piso de una casa?, pero para la buena suerte de nosotros, esto no pasa. Gracias al progreso tecnológico nos valemos de medios que contribuyen en estas tareas tan cotidianas y necesarias de realizar. Desde la prehistoria el hombre se las ha ingeniado realizar distintas labores, creando distintos mecanismos, para ello están las máquinas simples. Las máquinas simples son ciertos aparatos que se utilizan para transformar una fuerza resistente o levantar un peso en mejores condiciones, pues la fuerza aplicada es menor ya que esta se multiplica. Además sirve para cambiar la dirección de determinados elementos. Algunas máquinas simples son: las ruedas, las poleas, engranajes y torno, siendo las de mayor simpleza la palanca y el plano inclinado.


Introducción.- Cuando se habla de máquinas se

nos vienen muchas ideas a los cuales relacionamos con máquinas y herramientas, máquinas de musculación, máquinas industriales, etc. Las máquinas se conocen como un conjunto de mecanismos que son capaces de transformar una fuerza aplicada en otra saliente, habiendo modificado previamente la dirección o sentido, la magnitud de la fuerza o una combinación de ellas.

En física se conoce que la fuerza multiplicada por el espacio recorrido se denomina trabajo. Clasificación.- Las máquinas simples se clasifican en seis tipos: Palancas, Poleas, Ruedas y Ejes, Planos inclinados, Tornillos, Cuñas. a) Palancas.- La palanca es una barra rígida que oscila sobre un punto de apoyo (fulcro) debido a la acción de dos fuerzas contrapuestas (potencia y resistencia).

La palanca puede emplearse para dos finalidades: 1. Modificar la intensidad de una fuerza. En este

caso podemos vencer grandes resistencias aplicando pequeñas potencias

2. Modificar la amplitud y el sentido de un

movimiento. De esta forma podemos conseguir grandes desplazamientos de la resistencia con pequeños desplazamientos de la potencia

Elementos de una palanca.- Cuando empleamos la

palanca para vencer fuerzas podemos considerar en ella cuatro elementos importantes:

1. Potencia (P): Fuerza que tenemos que aplicar.

2. Resistencia (R): Fuerza que tenemos que

vencer; es la que hace la palanca como consecuencia de haber aplicado nosotros la potencia.

3. Brazo de potencia (BP): distancia entre el

punto en el que aplicamos la potencia y el punto de apoyo (fulcro).

4. Brazo de resistencia (BR): distancia entre el

punto en el que aplicamos la resistencia y el (fulcro).

Clasificación de palancas.- Según la combinación de los puntos de aplicación de potencia y resistencia y la posición del fulcro se pueden obtener tres tipos de palancas: 1. Palanca de primer género.- Se obtiene cuando colocamos el fulcro entre la potencia y la resistencia. Como ejemplos clásicos podemos citar la pata de cabra, el balancín, los alicates o la balanza romana.

2. Palanca de segundo género.- Se obtiene cuando colocamos la resistencia entre la potencia y el fulcro. Según esto el brazo de resistencia siempre será menor que el de potencia, por lo que el esfuerzo (potencia) será menor que la carga (resistencia). Como ejemplos se puede citar el cascanueces, la carretilla o la perforadora de hojas de papel.

http://www.iesmarenostrum.com/departamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_basica/operadores/ope_pal_primergrado.htm

http://www.iesmarenostrum.com/departamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_basica/operadores/ope_pal_segundogrado.htm


3. Palanca de tercer género.- Se obtiene cuando

ejercemos la potencia entre el fulcro y la resistencia. El brazo de resistencia siempre sea mayor que el de potencia, por lo que el esfuerzo siempre será mayor que la carga (caso contrario al caso de la palanca de segundo grado). Ejemplos típicos de este tipo de palanca son las pinzas de depilar, las paletas y la caña de pescar. A este tipo también pertenece el sistema motriz del esqueleto de los mamíferos.

Ley de las palancas.- Con los cuatro elementos de

una palanca se elabora una sumatoria de momentos con respecto al fulcro o apoyo:

Desarrollando:

P = Potencia p = Brazo de potencia R = Resistencia r = Brazo de resistencia La "potencia" por su brazo es igual a la "resistencia" por el suyo. Rendimiento de una palanca.- La eficiencia de una máquina se determina por su rendimiento:

De la ley de palancas:

Si:

La máquina es ventajosa

La máquina es indiferente

La máquina es desventajosa

Ejem. 13.1.- Resolver la siguiente palanca:

Datos: Incógnitas:

P = 45 kp R = ? p = 2 m η = ? r = 5 m

Solución:

a) La palanca es de tercer género

b) m

mkp

r

pPRrRpP

5

245

kpR 18

0AM

P p R r

ReRe dim

sistencian iento

Potencia

R

P

P pP p R r R

r

P p

R P pr

P P P r

p

r

1

1

1

http://www.iesmarenostrum.com/departamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_basica/operadores/ope_pal_tercergrado.htm


c)


Datos: Incógnitas:

R = 45 kp P = ? p = 43 cm η = ? r = 12.5 m Solución: a) La palanca es de segundo género.

b) cm

cmkp

p

rRPrRpP

43

5.1245

kpR 1.13

c)


Datos: Incógnitas: P = 30 kp r = ? R = 250 kp η = ? p = 4.5 m Solución:

a) La palanca es de primer género.

b) kp

mkp

R

pPrrRpP

250

5.430

mr 54.0

c)


Datos: Incógnitas: P = 14 kp R = ? p = 6.5 m – 2.3 m = 4.2 m η = ? r = 6.5 m Solución: a) La palanca es de tercer género.

b) m

mkp

r

pPRrRpP

5.6

2.414

kpR 05.9

c)

Ejem. 13.5.- Se quiere equilibrar un peso de 80 kp

con una palanca de 2.5 m de largo apoyada a 0.70 m del punto de aplicación de la resistencia. Calcular la potencia.

Datos: Incógnitas: R = 80 kp P = ? l = 2.5 m r = 0.70 m p = 2.5 m – 0.70 m = 1.8 m Solución:

m

mkp

p

rRPrRpP

8.1

70.080

kpP 1.31

180.4

45

kpR

P kp

453.44

13.1

kpR

P kp

2508.33

30

kpR

P kp

9.050.65

14

kpR

P kp


Ejem. 13.6.- Un mecanismo para poner tapones

manualmente a las botellas de vino es como se muestra en el esquema de la figura. Si la fuerza necesaria para introducir un tapón es 50 N. ¿Qué fuerza es preciso ejercer sobre el mago? Datos: R = 50 N P = ? r = 20 cm p = 50 cm

Solución:

Al estar el punto de apoyo a un extremo y la resistencia situada entre éste y la fuerza, se trata de una palanca de 2do. género.

cm

cmN

p

rRPrRpP

50

2050

NP 20

Ejem. 13.7.- El mecanismo de la figura debe levantar el peso de 4 toneladas. Calcular la fuerza que se debe ejercer en el émbolo para lograrlo. Datos: R = 4 Ton. P = ? r = 4 m p = 1 m

Solución: Del esquema se deduce que el mecanismo es una palanca de 3er. género, por lo que aplicando su ley y poniendo valores se obtiene:

m

mTn

p

rRPrRpP

1

44

TnP 16

Palanca pesada.- Cuando la palanca posee peso propio considerable, éste dato deberá tomarse en cuenta en las resolución del problema. Se aplica el teorema de los momentos con respecto al punto de apoyo. El peso de la barra ( ) se encuentra ubicado en el

centro de la misma a ( ) de uno de los

extremos.

La sumatoria de momentos con respecto al punto (A) es cero por estar en equilibrio:

= Brazo de palanca el peso

En este caso es: 2

lpa

Ejem. 13.8.- Calcular los datos que faltan en la

siguiente figura, tomando en cuenta que la barra pesa 40 kp y tiene una longitud de 6 m.

Datos: P = 70 kp p = 6 m -2 m = 4 m r = 2 m w = 40 kp a = 4 m – 3 m = 1 m R = ?

Solución: 0AM

0 rRawpP

awpPrR

w

/ 2l

0 0AM P p w a R r

a


m

mkpmkp

r

awpPR

2

140470

kpm

kpm

m

kpmkpmR 160

2

320

2

40280

Poleas.- Las poleas, al igual que las palancas, son

máquinas simples. Una polea no es más que una rueda que puede girar libremente alrededor de un eje que pasa por su centro. Una polea o un sistema de poleas es un dispositivo con el cual se puede variar la dirección y la magnitud de una fuerza para obtener alguna ventaja mecánica. a) Polea fija.- La fuerza aplicada es igual a la

resistencia que se quiere vencer:

b) Polea móvil.- La fuerza aplicada es igual a la

mitad de la resistencia que se quiere vencer:

Una polea fija solo permite cambiar la dirección o sentido de la aplicación de la fuerza y la polea móvil permite “ahorrar fuerza”. Poleas compuestas.- Están formadas por más de dos poleas en el sistema, pueden ser una fija y otra móvil, o dos fijas y una móvil etc. a) Aparejo factorial.- Está compuesto por “n” poleas fijas (fijas entre sí en una misma armadura) y “n” poleas móviles (también fijas entre sí en otra armadura).

F = Fuerza aplicada R = Peso a elevar (resistencia) n = Número de poleas móviles

La fuerza de equilibrio es igual al peso dividido con 2n, siendo n la cantidad de poleas móviles:

F R

2

RF

2

RF

n


b) Aparejo potencial.- Está compuesto por “n”

poleas móviles y una polea fija. Permite realizar una menor tensión de equilibrio que en el caso del aparejo factorial.

La fuerza de equilibrio se calcula como:

F = Fuerza aplicada R = Peso a elevar (resistencia) n = Número de poleas móviles

c) Poleas concéntricas.- Están constituidas por dos

poleas de diferentes diámetros cuyos ejes tienen el mismo centro. - La fuerza resistente se une a una cuerda que

pasa por la polea menor. - La fuerza aplicada pasa por la polea mayor.

r1 = Radio polea mayor r2 = Radio polea menor F = Fuerza aplicada R = Peso a elevar (resistencia)

d) Polea diferencial.- Es la combinación de una polea móvil con dos poleas fijas de distinto radio y sólidamente unidas entre sí. Las poleas poseen dientes que llevan una cadena sin fin enrollada en sus bordes.

Tomando la polea móvil, la carga R queda dividida en 2, tal como se vio (R/2).

r1 = Radio polea mayor r2 = Radio polea menor F = Fuerza aplicada R = Peso a elevar (resistencia)

Ejem. 13.9.- El sistema que eleva el ascensor de un

edificio está formado por una polea fija y una móvil. El peso del ascensor cargado es de 450 kp. Calcular la fuerza que debe hacerse para levantarlo. Datos:

R = 450 kp F = ?

2n

RF

1 2F r R r

1 2

12

R r rF

r

450225

2 2

kpRF kp


Ejem. 13.10.- Un sistema de cuatro poleas móviles y

una fija se utiliza para elevar un peso de 3800 N, ¿cuánto vale la fuerza aplicada? Datos: n = 4 R = 3800 N F = ? Solución: Se trata de un aparejo potencial.

Ejem. 13.11.- Un polipasto está formado por 4

poleas móviles y 4 poleas fijas, se desea levantar un peso de 600 kp. Averiguar que fuerza se debe aplicar. Datos:

n = 4 R = 600 kp F = ? Solución: Se trata de un aparejo factorial.

Ejem. 13.12.- Dos poleas concéntricas cuyos diámetros son de 24 cm y 12 cm se utilizan para levantar un peso de 800 kp. Determinar qué fuerza se debe aplicar. Datos: D1 = 24 cm → r1 = 12 cm D2 = 12 cm → r2 = 6 cm R = 800 kp F = ? Solución: Se trata de poleas concéntricas.

Ejem. 13.13.- Si r1 = 10 cm y r2 = 8 cm, ¿cuál será

la fuerza necesaria para levantar un peso de 1 tonelada mediante una polea diferencial? Solución:

cm

cmTn

cm

cmcmTn

r

rrRF

20

)2(1

)10(2

)810(1

2

)(

1

21

kpTnTn

F 1001.020

2

Ejem. 13.14.- Con una polea diferencial cuyos

radios de las poleas concéntricas miden 15 cm y 30 cm. Se eleva un peso aplicando una fuerza de 10 kp. ¿Qué peso se levanta? Solución:

kpcm

cmkp

cmcm

cmkpR

rr

rFR

r

rrRF

4015

60

)1530(

)30)(10(2

2

2

)(

21

1

1

21

Torno.- El torno es una máquina simple formada por un cilindro y una manivela, que permite levantar un cuerpo pesado haciendo menos fuerza.

Sus elementos esenciales son:

La fuerza que equilibra el torno se calcula como:

F = Fuerza aplicada al torno R = Peso a elevar (resistencia) a = Radio de la palanca (manivela) r = Radio del torno

4

3800 3800237.5

162 2n

N NRF N

600 60075

2 2(4) 8

kp kpRF kp

n

2

1 2

1

800 6

12

400

kp cmR rF r R r F

r cm

F kp

F a R r


El producto de la potencia por la longitud de la manivela es igual al producto de la resistencia por el radio del cilindro. Ejem. 13.15.- ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un torno, si el radio del cilindro es de 7 cm y el que describe la manivela es de 25 cm?. Carga a elevar 250 kp. Datos: r = 7 cm a = 25cm R = 250 kp F = ? Solución: Se trata de un torno

Ejem. 13.16.- El diámetro del cilindro de un torno

mide 24 cm, la longitud de la manivela es de 40 cm. ¿Qué peso se podrá levantar cuando se aplica una fuerza de 38 kp? Datos:

D = 7 cm → r = 12 cm a = 40 cm F = 38 kp R = ? Solución: Se trata de un torno

Ejem. 13.17.- ¿Qué fuerza se necesita para levantar una caja que pesa 225 kp con un torno cuyo cilindro tiene, un radio de 15 cm y una manivela con 27 cm de radio? Datos: r = 15 cm a = 27 cm R = 225 kp F = ? Solución: Se trata de un torno

Ejem. 13.18.- Un torno tiene un cilindro cuyo radio

mide 9 cm, se tiene que elevar un peso de 350 kp mediante una fuerza de 45 kp. ¿Qué longitud deberá tener la manivela? Datos:

r = 9 cm F = 45 kp R = 350 kp a = ? Solución: Se trata de un torno

Plano inclinado.- El plano inclinado es una máquina

simple que permite subir objetos realizando menos fuerza. Una superficie plana que forma un ángulo (α) con la línea horizontal, constituye un plano inclinado.

Un cuerpo de peso R ubicado sobre dicho plano, puede ser sostenido mediante una fuerza F menor que su peso. Al apoyar el cuerpo sobre el plano inclinado, éste aplica una fuerza normal N sobre el cuerpo, que es perpendicular al plano. Los elementos del plano inclinado son:

AB = Longitud del plano ( l ) BC = Su altura ( h ) AC = Su base ( b )

= Su inclinación

250 7

2570

kp cmR rF a R r F

a cmF kp

r

aFRrRaF

kpcm

cmkpR 7.126

12

4038

a

rRFrRaF

kpcm

cmkpF 125

27

15225

F

rRarRaF

cmkp

cmkpa 70

45

9350


La fuerza (F) requerida para vencer la resistencia (R) es:

El producto de la fuerza aplicada por la longitud del plano inclinado es igual al producto de la resistencia por la altura del mismo. El tornillo es una de las aplicaciones más útiles del plano inclinado, que en este caso está enrollado, al introducirse en algún material el rozamiento es demasiado, evitando de esta manera que sea expulsado por la fuerza de resistencia. La cuña.- Es una modalidad de plano inclinado: son

dos planos inclinados, unidos por sus bases. Ejemplos: El hacha, la navaja, el cincel y, en esencia, todo cuerpo cortante es una “cuña”.

Dónde: a = Cabeza (base) l = Lados F = Fuerza que es perpendicular a la cabeza R = Resistencia a vencer

De la gráfica:

El producto de la fuerza aplicada por la longitud de la cara lateral es igual al producto de la resistencia por la longitud de la cabeza Ejem. 13.19.- ¿Qué fuerza necesita aplicar un individuo para subir un barril a un camión que pesa 150 N por un plano inclinado de 3 m de longitud, colocado a una altura de 1.50 m? Datos: R = 150 N l = 3 m h = 1.50 m F = ?

Solución: Se trata de un plano inclinado

Ejem. 13.20.- Encuentra la longitud del plano

inclinado para levantar una caja que pesa 390 kp, cuya altura es de 5 m mediante una fuerza de 120 kp. Datos:

R = 390 kp F = 120 kp h = 5 m l = ? Solución: Se trata de un plano inclinado

Ejem. 13.21.- Una cuña cuya cabeza mide 7.5 cm y la longitud de cualquiera de sus caras es de 12 cm se utiliza para separar un peso de 400 kp del suelo. ¿Qué fuerza se deberá aplicar para realizar éste trabajo? Datos:

a = 7.5 cm l = 12 cm R = 350 kp F = ? Solución: Se trata de un plano inclinado

cm

cmkp

l

aRFaRlF

12

5.7350

kpF 75.218

hF R

l

F l R a

150 1.5075

3

N mR hF N

l m

390 516.25

120

kp mR h R hF l m

l F kp


Aplicaciones de las máquinas simples.- Algunos datos de interés:

PALANCAS DE PRIMER GRADO

BALANZA:

El objeto que se pesa es la carga, y los contrapesos realizan la fuerza para equilibrar el mecanismo. Ambos pesos son iguales y se encuentran a la misma distancia.

ROMANA

El punto de apoyo no está en el centro, y el peso se desplaza por la barra hasta que equilibra el objeto que debe ser pesado.

SACACLAVOS

La fuerza realizada por el operador se aumenta para extraer el clavo. La carga es la resistencia del clavo al ser extraído.

ALICATES

Los alicates son una palanca combinada (una pareja de palancas unidas en el punto de apoyo). La carga es la resistencia que el objeto opone al cierre de la herramienta.

CARRETILLA DE DOS RUEDAS

Basta inclinar las varas de la carretilla para poder transportar una pesada carga con un pequeño esfuerzo.

TIJERAS

Las tijeras son palancas combinadas de primer grado. Realizan una fuerte acción de corte cerca del punto de apoyo. La carga es la resistencia del material a la acción de corte de las hojas de la tijera.

PALANCAS DE SEGUNDO GRADO

CARRETILLA DE UNA RUEDA:

Al elevar las varas es posible levantar una pesada carga que se halla más cerca del punto de apoyo, la rueda.

ABRIDOR DE BOTELLAS

Al levantar el mango, se supera la fuerte resistencia de la tapa.


CASCANUECES

El cascanueces es una palanca combinada de segundo grado. La carga es la resistencia que la cáscara de la nuez opone a ser partida

PALANCAS DE TERCER GRADO

EL MARTILLO:

El martillo actúa como una palanca de tercer grado cuando se utiliza para clavar un clavo. El punto de apoyo es la muñeca y la carga es la resistencia que opone la madera. La cabeza del martillo se mueve a mayor velocidad que la mano al golpear.

CAÑA DE PESCAR

Mientras una de las manos actúa como punto de apoyo, la otra provee la fuerza para mover la caña. La carga es el peso del pez., que se puede levantar a gran altura con un movimiento de mano corto.

PINZAS

Un par de pinzas es una palanca de tercer grado compuesta. El esfuerzo que ejercen los dedos se reduce en los extremos de la pinza, lo cual le permite tomar objeto

PALANCAS MÚLTIPLES:

CORTAÚÑAS

Los cortaúñas son una combinación clara de dos palancas que permiten realizar una potente acción de corte y son fáciles de manipular. El mango es una palanca de segundo grado que presiona las dos hojas de corte hasta unirlas. Las hojas actúan con gran fuerza, y dan lugar a una combinación de palancas de tercer grado. Los filos de las hojas realizan un movimiento corto para vencer la dura resistencia que ofrece la uña.

EXCAVADORA

La excavadora es un ensamble rotativo de tres palancas (el pescante, el móvil y la cuchara) montadas sobre orugas. estas tres palancas accionadas por pistones hidráulicos que permiten colocar la cuchara en cualquier posición, van montadas sobre una plataforma


1. En las siguientes figuras: indicar el género de palanca, calcular el dato que falta y determinar su rendimiento.

a)

b)

c)

d)

Resp: a) 1er. G, P = 21.6 kp, = 2.8; b) 3er. G,

P = 892.6 kp, = 0.64; c) 1er. G, r = 41.9 cm,

= 8.1; d) 2do. G, P = 612.5 N, = 5.7

2. Calcular la fuerza que equilibrará una palanca de 3 m de largo, apoyada a 2.4 m de la misma, si en el otro extremo se ha colocado un peso de 200 kp. Resp: P = 50 kp

3. Calcular a que distancia de una potencia de 60

kp estará apoyada una barra rígida de hierro, para equilibrar un cajón de 300 kp que está a 0.75 m del apoyo. Resp: 3.75 m

4. Calcular el valor de la potencia aplicada a una palanca, cuyos brazos de potencia y resistencia, son respectivamente, 1.20 m y 30 cm, siendo la resistencia de 80 N, ¿de qué género es la palanca? Resp: 20N

5. Una persona emplea una caña de pescar de 2 m

de longitud. ¿Qué fuerza aplica para mantener en equilibrio la pieza lograda, si pesa 50 kp y toma la caña 1.20 m del apoyo? Resp: 83.33 kp

6. Un minero necesita levantar una roca que pesa

400 kp con una palanca cuyo brazo de palanca mide 3 m, y el de resistencia 70 cm, ¿qué fuerza se necesita aplicar para mover la roca? Resp: 93.3 kp

7. ¿Qué longitud tiene el brazo de palanca de una

carretilla, si al aplicarle una fuerza de 4 kp levanta una carga de 20 kp de arena y su brazo de palanca mide 0.20 m? Resp: 1 m

8. Se quiere equilibrar un peso de 230 kp con un

palanca de 1.5 m de largo apoyada a 0.20 m del punto de aplicación de la resistencia. calcular la potencia. Resp: 35.4 kp

9. ¿Cuál es la potencia que equilibra una palanca

pesada, homogénea de 3 m de longitud y 25 kp de peso, si está apoyada en un punto que dista 90 cm del extremo donde se ha aplicado una resistencia de 350 kp? Resp: 142.8 kp

10. Una palanca de tercer género mide 50 cm y tiene

un peso de 250 grf, si a 30 cm del punto de apoyo se coloca un peso de 300 grf. ¿Qué resistencia se podrá equilibrar? Resp: 305 gf

11. Una palanca de segundo género pesa 15 kp y

mide 2.40 m, se quiere sostener un peso de 400 kp a una distancia de 0.8 m del apoyo. ¿Qué fuerza habrá que proporcionar para mantener el equilibrio? Resp: 140.8 kp

12. ¿Cuál es la fuerza que es necesario aplicar a una

polea fija, para levantar un peso de 80 kp?



Resp: 80 kp

13. ¿Qué potencia se aplicará para equilibrar un

peso de 90 kp, mediante una polea móvil? Resp: 45 kp

14. En los extremos de una soga, que está sobre una

polea fija, se han colocado dos cargas de 5 kp y 7 kp. Si el radio de la polea es de 12 cm, ¿cuál es el momento que hace girar la polea? Resp: 0.24 kp.m

15. Un cuerpo de 200 kp se levanta mediante un

aparejo potencial de 3 poleas móviles. ¿Cuál es el valor de la potencia? Resp: 25 kp

16. Un cuerpo es sostenido mediante un aparejo

potencial de 5 poleas. Si la potencia aplicada es de 60 N, ¿cuál es el peso del cuerpo? Resp: 1920 N

17. Mediante un aparejo factorial de 4 poleas, se

equilibra un cuerpo de 500 kp. ¿Cuál es la potencia aplicada? Resp: 62.5 kp

18. En un aparejo potencial de 4 poleas móviles, se

aplica una fuerza de 30 N para mantener el sistema en equilibrio, se desea saber cuál es el valor de la resistencia. Resp: 480 N

19. Sobre un cilindro de 30 cm de diámetro (que puede girar en torno a un eje), está arrollada una soga. Si se le aplica una fuerza de 1.8 kp, ¿cuál es el valor del momento que hace girar el cilindro? Resp: 0.27 kp.m

20. Calcular el peso de un cuerpo suspendido de la

soga de un torno de 18 cm de radio y una manivela de 45 cm de longitud, equilibrado mediante una fuerza de 60 kp. Resp: 150 kp

21. ¿Cuál será la longitud de la manivela de un torno

que, para equilibrar un peso de 150 kp, es necesario aplicar una fuerza de 40 kp? El radio del cilindro es de 20 cm. Resp: 75 cm

22. Mediante un torno cuyo radio es de 12 cm y su

manivela es de 60 cm, se levanta un balde que pesa 3.5 kp, cargado con 12 litros de agua.

¿Cuál es la potencia aplicada? (para el agua solamente, 1 litro pesa 1 kp) Resp: 3.1 kp

23. Se levanta un cuerpo con un torno de 20 cm de

radio, al cual se aplica 40 kp. ¿Cuál será el peso del cuerpo si la manivela es de 80 cm? Resp: 160 kp

24. En un taller mecánico, se levanta el motor de un

automóvil, cuyo peso es de 350 kp, por medio de un aparejo diferencial. Si los radios de las poleas son r1 = 15 cm y r2 = 12 cm, ¿cuál es la fuerza que equilibra ese peso? Resp: 35 kp

25. Los radios de un aparejo diferencial son r1 = 20

cm y r2 = 15 cm. Si se aplica una fuerza de 80 kp, ¿cuál es el peso del cuerpo que la equilibra? Resp: 640 kp

26. Encuentra la fuerza necesaria para levantar una caja que pesa 390 kp, por un plano inclinado, cuya longitud es de 8 m y su altura es de 5 m. Resp: 243.8 kp

27. ¿Qué fuerza necesita una persona para subir un

barril que pesa 150 kp a un camión mediante un plano inclinado de 3 m de longitud, colocado a una altura de 1.50 m? Resp: 75 kp

28. ¿Qué fuerza se necesita aplicar a un torno, si el

radio del cilindro es de 7 cm y el que describe la manivela es de 25 cm, la carga es de 250 kp? Resp: 70 kp

29. Un plano inclinado tiene una longitud de 3.2 m y

una altura de 1.70 m, calcular la fuerza que debe emplearse para subir un peso de 3.5 toneladas. Resp: 1859.4 kp = 1.86 Ton

30. Una cuña está formada por una cabeza de 15 cm

y una longitud en su cara de 40 cm, ¿qué fuerza se deberá emplear para vencer una resistencia de 5 toneladas? Resp: 1875 kp = 1.88 Tn

31. Mediante una fuerza de 50 kp se quiere levantar

un peso de 1000 kp, utilizando para eso una cuña que tiene una cabeza de 40 cm. ¿Cuál es la longitud de una de sus caras? Resp: 8 m


1. En el siguiente grafico del esqueleto humano, se muestra una palanca ¿de qué grado es?

a) Primer grado b) Segundo grado c) Tercer grado d) Cuarto grado

2. Una balanza romana puede considerarse como una máquina:


3. Los caninos de la dentadura de un carnívoro son

máquinas simples ¿a qué grupo podemos considerar que pertenecen?

a) Rueda b) Palanca c) Cuña d) Émbolo

4. La fuerza que provoca el movimiento en las

palancas recibe el nombre de:

a) Fuerza b) Resistencia c) Potencia d) Fulcro

5. ¿Qué esfuerzo (potencia) será necesario para

compensar la carga (resistencia) en el sistema de poleas de la figura?

a) 150 kp b) 100 kp c) 75 kp d) 50 kp

6. ¿En qué máquinas simples se basa el funcionamiento de un sacacorchos?

a) Palanca b) Palanca y plano inclinado c) Rueda d) Palanca y rueda

7. ¿Qué pasará en el sistema técnico de la figura?

a) Bajará “A” b) Bajará “B” c) Se quedará todo como está d) Bajará “B” y luego subirá

8. ¿Qué tipo palancas se emplean en la

construcción de un cascanueces?


9. Cuando usamos un destornillador para abrir un bote de pintura ¿Qué tipo de palanca estamos empleando?


10. De los siguientes inventos humanos ¿cuál puede

ser considerado como "máquina”? a) Puente b) Sacacorchos c) Silla d) Árbol. 11. Desde el punto de vista de su construcción

¿Qué elementos mínimos necesita una palanca para funcionar correctamente?

a) Un eje y una barra b) Un punto de apoyo y una barra c) Un eje, una barra y un soporte d) Una barra

PotenciaResistencia

Fulcro



APÉNDICE

UNIDADES DERIVADAS DEL S.I. Y OTROS SISTEMAS

Magnitud

Simb.

Sistema c. g. s.

S. I

Sistema Técnico

S. Inglés Técnico

S. Inglés absoluto

Longitud

L

cm

m

m

ft

ft

Masa

M

g

kg

u.t.m.

slug

lbm

Tiempo

T

s

s

s

s

s

Fuerza

F

dyn

= g cm/s2

N

= kg m/s2

kp

= utm m/s2

lbf

=slug ft/s2

pdl

= lbm ft/s2

Área

A

cm2

m2

m2

ft2

ft2

Volumen

V

cm3

m3

m3

ft3

ft3

Peso

w

dyn

= g cm/s2

N

= kg m/s2

kp

= utm m/s2

lbf

= slug ft/s2

pdl

= lbm ft/s2

Trabajo

W

erg

= dyn.cm

J

= N. m

kpm

= kp.m

lbf.ft

pdl.ft

Potencia

P

erg/s

W

= J/s

kpm /s

lbf.ft /s

pdl. ft /s

Energía

E

erg

= dyn.cm

J

= N m

kpm

= kp m

lbf.ft

pdl.ft

Densidad

ρ

g/cm3

kg/m3

u.t.m./m3

slug/ft3

lbm /ft3

Peso específico

γ

dyn/cm3

N/m3

kp/m3

lbf /ft3

pdl /ft3

Algunos nombres de unidades usuales:

Longitud:

ft = pie m = metro cm = centímetro in = pulgada km = kilómetro Å = Ángstrom

Masa:

u.t.m. = unidad técnica de masa slug = slug lbm = libra masa kg = kilogramo g = gramo

Fuerza:

dyn = dina N = Newton kp = kilopondio lbf = libra fuerza pdl = poundal kgf = kp

Trabajo:

erg = ergio J = Julio kpm = kilopondímetro lbf. ft = libra fuerza pie pdl. ft = poundal pie Btu = unidad térmica británica cal = caloría

Potencia:

W = vatio o watts HP = Horse power (caballo de fuerza) CV = Caballo vapor kW = kilovatio o kilowatt


RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE

RAZONAMIENTO Cap. 1 Mediciones y errores 1.- c 2.- b 3.- b 4.- d 5.- d 6.- a 7.- b 8.- c 9.- d 10.- b 11.- d 12.- a 13.- a 14.- a Cap. 3 Vectores: Métodos analíticos

1.- d 2.- b 3.- d 4.- d 5.- c 6.- b 7.- a 8.- c 9.- c 10.- c 11.- d 12.- b 13.- a 14.- c 15.- c 16.- d Cap. 4 Movimiento rectilíneo uniforme 1.- d 2.- d 3.- c 4.- b 5.- a 6.- d 7.- b 8.- a 9.- b 10.- c 11.- d 12.- a 13.- d 14.- b 15.- a 16.- a 17.- b 18.- b 19.- b 20.- d 21.- c 22.- b 23.- b 24.- a 25.- c 26.- a 27.- c 28.- c 29.- a 30.- b 31.- a 32.- d 33.- d 34.- c 35.- d 36.- a 37.- a 38.- a 39.- d 40.- a Cap. 5 Ondas y sonido

1.- c 2.- a 3.- d 4.- c 5.- b 6.- d 7.- a 8.- c 9.- d 10.- a 11.- c 12.- c 13.- b 14.- b 15.- b 16.- b 17.- a 18.- c 19.- c 20.- b 21.- c Cap. 6 Las tecnologías de la comunicación

1.- c 2.- c 3.- a 4.- c 5.- a 6.- a 7.- c 8.- c 9.- a 10.- c 11.- a 12.- b 13.- c 14.- b 15.- c 16.- a 17.- b 18.- a

Cap. 8 Fuerzas y momentos 1.- b 2.- b 3.- b 4.- b 5.- b 6.- c 7.- a 8.- b 9.- c 10.- d 11.- a 12.- d 13.- c 14.- b 15.- c 16.- d Cap. 9 Máquinas simples

1.- b 2.- a 3.- b 4.- c 5.- d 6.- b 7.- a 8.- c 9.- a 10.- b 11.- b Cap. 10 Hidrostática

1.- b 2.- c 3.- b 4.- b 5.- d 6.- b 7.- d 8.- b 9.- d 10.- d 11.- d 12.- c 13.- c 14.- b 15.- c 16.- c Cap. 11 Hidrodinámica 1.- b 2.- b 3.- a 4.- d 5.- a 6.- c 7.- d 8.- d

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

Raymond A Serway

Física. Tomo II. Editorial Normos S.A.

Jerry D. Wilson Física Lander University. Segunda edición. PHH. Prentice Hall

Paul Hewitt. Física Conceptual,

Michel Valero Física Fundamental 2. Editorial Norma

Halliday - Resnick

Física. Parte II. Compañía Editorial Continental S. A. Mx.

Felix Aucalllanchi Velásquez.

Física. Editorial “San Marcos”. Lima - Perú

Jorge Mendoza Física. Teoría y Problemas. Ediciones Félix Maguiño. Lima – Perú

Páginas de la WEB en Internet consultadas: http://www.cmark-

gip.es/jano/fisica/mecanica/mecanica3.htm

http://www.lafacu.com/

http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/inde

x.htm

http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Ri

ncon-C/Enlaces/FQ.htm

http://www.mitareanet.com/fisica4.htm

http://www.itm.edu.co/Archivos%20FTP/Unida

des%20y%20Dimensiones.htm

http://www.geocities.com/petersonpipe/

http://www.ejerciciosresueltos.com/

http://www.geocities.com/quiquepena/index.

http://galilei.iespana.es/galilei/fis/problemas

http://www.cienciafacil.com/fisica.html

Los

ejercicios

faltan

resolverl

os,

espero

sus

opinione

s

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