Royal American School Matemática

Ficha 7 8vo “Proporcionalidad directa e inversa”

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

Al aumentar una variable la otra aumenta

Al disminuir una variable la otra disminuye

Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta 600 pesos, 2 kg costarán 600 pesos y ½ kg costará 300 pesos. Es decir: Al aumentar los kilógramos de tomate aumenta el valor a pagar. Al disminuir los kilógramos de tomate disminuye el valor a pagar.

Regla de tres simple y directa Consiste en que, dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se relacionen de manera directamente proporcional. Ejemplos Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Magnitudes inversamente proporcionales

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

Al aumentar una variable la otra disminuye

Al disminuir una de las variables la otra aumenta.

Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:

A más velocidad corresponde menos tiempo.

A menos velocidad corresponde más tiempo.

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Regla de tres simples inversas Consiste en que, dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

*Nota: El establecer la relación de proporcionalidad inversa se debe invertir la primera razón de la proporción antes de obtener el valor de la incógnita.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establece una proporcionalidad inversa Ejemplo Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

18 l/min 14 h

7 l/min x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

ACTIVIDADES

I. Responde V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justifica las falsas.

a) ___ Una razón es el cociente entre dos cantidades.

b) ___ La razón a: b, se lee “b es a a”.

c) ___ Una razón se compone por antecedente y consecuente.

d) ___ El gráfico de una proporcionalidad directa es una hipérbola.

e) ___ Una proporción es la igualdad entre dos razones.

f) ___ “a” es inversamente proporcional a “b” si al aumentar (disminuir) a, b disminuye (aumenta)

en la misma proporción.

g) ___ En la razón a: b, el antecedente es a y el consecuente b.

h) ___ El gráfico de una proporcionalidad inversa es una recta que pasa desde el origen.

i) ___ Dos variables son directamente proporcionales si el cociente entre las cantidades da una constante.

II. Completa las siguientes tablas:

a) A y B son dos variables directamente proporcionales. Completa la tabla y construye el gráfico:

A 32 2 40

B 4 16

CONSTANTE 8

b) A y B son dos variables inversamente proporcionales. Completa la siguiente tabla y construye el gráfico:

A 9 2 6

B 4 3

CONSTANTE 36

III. Desarrolla cada una de las siguientes situaciones:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA 1. Tres metros de género valen $800 ¿Cuánto valen 8 metros del mismo género?

2. Un ciclista recorre 35 Km. En una hora, a la misma velocidad. ¿En cuántas horas recorrerá 175 Km?

3. Si tres kilogramos de manzanas cuestan $750, ¿cuánto cuestan 2,5 kilogramos de manzanas?

4. El rendimiento de un vehículo es de 12 kilómetros por cada litro de bencina. Si el estanque tiene una

capacidad para 48 litros de bencina, ¿cuántos kilómetros andará con el estanque lleno?

5. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y

media?

6. Una modista calculó que para hacer un abrigo de uniforme necesita 3,5 metros de género. ¿Cuánto

género tendrá que comprar si le encargaron 5 abrigos y tiene 8 metros de género?

7. Sí 25 metros de tela valen $50.000 ¿cuánto valen 40 metros?

8. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 6.000¿Cuánto cobrará por 8 horas?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

1. Cinco pintores pintan una casa en 6 días. ¿Cuánto tiempo ocuparían 15 pintores en pintar la casa?

2. Diez personas consumen una determinada provisión en 9 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 18 personas

en consumir la misma provisión?

3. Este año se ordenó un estudio de música en 30 días con 40 obreros. Este año se requiere limpiarlo sólo

en 12 días. ¿Cuántos obreros se necesitarán?

4. Si 40 animales consumen cierta cantidad de avena en 12 días. ¿Cuántos días durará esta misma avena

para 48 animales?

5. Para construir una casa se disponen de 9 obreros que demoran 30 días. ¿Cuántos días demorarán 15

obreros?

6. Dos cuidadores alimentan a 13 animales en un zoológico en 3 horas. ¿Cuántas horas demorarán en

alimentar la misma cantidad de animales 6 cuidadores?

7. Realizo un viaje en el que llevo comida para 6 días. Si llevo la misma comida, pero ahora voy con dos

personas más. ¿Para cuántos días me alcanzará la comida?

8. Una patrulla de scouts compuesta por 1000 niños, tienen víveres para 150 días. Si tuviera que

permanecer en el campamento 50 días más de lo previsto. ¿Cuántos niños deberán abandonar la

patrulla de manera que los víveres alcancen para todos?

I. Desarrolla e indica si la situación problemática presentada corresponde a la proporción directa o

inversa.

1. 5 kg. De arroz valen $2.300. ¿Cuánto valen 7 Kilos?

2. Una provisión de maíz alcanza 20 días para 300 aves. ¿Cuánto durará la provisión para 600 aves?

3. Un auto puede recorrer 200 metros en 4 segundos. ¿Cuánto puede recorrer en 3 minutos?

4. Si 40 mecánicos arman 16 máquinas en un día. ¿Cuántos hombres se necesitan para armar en un día

24 máquinas?

5. Para realizar un trabajo 14 obreros emplean 140 horas. ¿En cuántas horas lo realizarán 4 obreros?

6. Un ciclista recorre 60 Km. en una hora. ¿Cuánto recorrerá en tres horas?