FCD Guía 3. derivadas y aplicaciones

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 3

Ing. Edgar Vargas Ruiz I-2012 1

UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD TEMÁTICA DERIVADAS Y APLICACIONES

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Interpretar la noción de derivada como razón de cambio y desarrollar métodos para hallarla en las relaciones y funciones, así como también, resolver situaciones problémicas en diferentes áreas del conocimiento usando el concepto de derivación

Deduce la ecuación de la recta tangente según la información presentada.

Calcula la derivada de una función real derivable mediante las reglas de derivación.

Calcula derivadas de orden superior aplicándolas a diferentes disciplinas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Real izar las actividades que a cont inuación se enuncian teniendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes del Profesor ACTIVIDAD No 1 Resuelva los siguientes ejercicios de incrementos 1. Determina para los intervalos dados: a) Los incrementos de las funciones. b) La razón de cambio promedio.

1. 23 5 12y x x ; 1 2

4, 4.8x x 2. 56 12 7y x x ; 4, 0.5x x

3. 25 2

7 1

x xy

x

; 3, 0.1x x 4.

1

4 1y

x

; 6, 0.3x x

2. La función de ingreso para el producto de un fabricante es 3 2( ) 2 90 1,200 0 50I x = x x + x x ,

siendo x el número de unidades vendidas e I el ingreso en miles de pesos. El fabricante actualmente vende 20 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 24 unidades. Calcula el incremento en el ingreso. Determina la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas.

3. Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por

3 2( ) 10 60 90 1,200C x = x x + x+ , calcula el incremento en los costos si la producción x cambia de

5 a 7 unidades diarias. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

4. La función de costo de cierto artículo es 3 2( ) 0.032 16 4000 320,000C x x x x , calcula el

incremento en los costos si la producción x cambia de 100 a 105 unidades. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

5. La función de utilidad de una compañía está dada por 2( ) 0.004 40 20U x = x + x , para 0 65x .

El fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero está considerando incrementar las ventas a 53 unidades. Calcula el incremento en la utilidad. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades extra vendidas.



6. Las ecuaciones de ingreso y de costo para el producto de un fabricante son respectivamente: 2( ) 30 0.3I x x x y ( ) 4.5 100C x x , donde x es el número de unidades. Calcula los

incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si x cambia de 40 a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida.

7. Usa la gráfica de la función f(x) para encontrar cada uno de los siguiente valores.

a) f(l) b) f(3) c) f(5) - f(1) d) La razón de cambio promedio de f(x) cuando x cambia de 1 a 5. e) La razón de cambio promedio de f(x) cuando x cambia de 3 a 5

8. La gráfica muestra las ventas totales en miles de dólares por la distribución de x miles de catálogos.

Encuentra e interpreta la razón de cambio promedio de ventas con respecto al número de catálogos distribuidos para los siguientes cambios en x. a) l0 a 20 b) 20 a 30 c) 30 a 40 d) ¿Qué le está pasando a la razón de cambio promedio de ventas cuando el número de catálogos

distribuidos crece?

9. La gráfica muestra las ventas anuales (en unidades apropiadas) de un juego de computadora. Encuentra la razón de cambio anual promedio en ventas para los siguientes cambios en años.

a) 1 a 4 b) 4 a 7 c) 7 a 9



ACTIVIDAD No 2 Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las reglas de derivación: 1. Obtenga la primera derivada de las siguientes funciones.

a) xxy 22 2 b) xxy 23 (Hacerlas por incrementos)

c) 2(5 3 )(3 2)y x x x d) )1(2 2 xxy e)

1

62

x

xy

f) 23 1y x x g) 4 3 21 3 2 6 5

3y x x x x h)

33 22y x x

i) 2(2 3)(3 1)y x x x j)

3xy Lne k) 32xy e Lnx

2. Dada ( )y f x , calcule la segunda derivada

a. 1

y Lnx

b. 32 xy x c. 2arctan 1y x

3. Calcule las siguientes derivadas implícitamente:

a. 2 32 3 5x y x y b. ,x y k k cte c.

y xx y d. 2y y Ln x

e. 5x y

Lny x

f.

2 2 4x y

x y e

4. Calcule '( )f g x en el valor indicado de x

2

2( )

1

xf x

x

, 2( ) 10 1, 0g x x x en x

5. Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los siguientes valores en x=2 y x=3

x f(x) g(x) f ’(x) g’(x)

2 8 2 1/3 -3

3 3 -4 2 5

Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados de x



a. ( ) ( ), 3f x g x en x b. ( )

, 3( )

f xen x

g x

c. ( ) , 2f g x en x d. 2 2

( ) ( ) , 2f x g x en x

6. Hallar por incrementos la derivada de .3)( 22 xaxf

7. Utilizando las fórmulas de derivación, hallar la derivada de cada función:

a) ,2

1)(

y

yyf

b) xxy 51)6( ,

c) ,54

1

x

xy

d) 4 531

3

4xy .

8. Hallar el valor de la derivada para el valor dado de “x”.

a) ,5

3 5

xxy x=4

b) ,23

232

2

x

xy x= .

2

1

ACTIVIDAD No 3 Utilice la regla de L’Hôpital para calcular los siguientes limites 1. Calcular:

a. 20

1 coslimx

x

x

b.

0

1limx

xe

x

c.

0lim

ln(1 )x

x xe e

x

d.

30

1 coslim

x

x

x

2. Encuentre:

a. ln

limx

x

x b.

2lim

x

x

e

x c.

22

ln( 2)lim

ln( )x

xxe e

d.

4

lim1x

senx

x

3. Calcular:

a. 0

1 1limx senx x

b. lim

x

xxe

4. Hallar:

a.

3 2

31

2 2lim

7 6x

x x x

x x

b.

30

coslimx

x x sen x

x

c.

1

1lim

12

x

x

xsen

ACTIVIDAD No 4

5. Analizar si se cumple el teorema del valor medio para la función 3 2( ) 1f x x x en [-1; 1] y



encuentre los puntos ( 1,1)x tales que ( ) ( )

'( )f b f a

f xb a

.

6. Trazar la gráfica de las siguientes funciones:

a. 1

( )1

xf x

x

b.

3

2( )

( 1)

xf x

x

c.

3( )

1

xf x

x

7. Aproximarse al gráfico de las siguientes funciones:

a. 2( ) 12 20f x x x b.

3( ) 27f x x x

8. Esbozar gráficamente:

a. ( )x

f xx

e b.

2( ) xf x e c. ( )f x x Lnx

d.

4 3

3

2

1

1( ) 1 2

7

2

x x si x

xf x si x

x x si x

9. Dadas las funciones

a) 3 22 3 1y x x b)

3 23y x x

Grafíquelas obteniendo: Puntos máximos, puntos mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, etc.

ACTIVIDAD No 5 Mediante el análisis marginal resuelva los siguientes problemas

1. La productividad física de cierta empresa esta dada por 40004500)( 23

xxp , donde x es el

numero de maquinas en funcionamiento. Determine la productividad física marginal cuando 5 maquinas están en funcionamiento

b. 2. La cantidad de relojes de pulso demandada por mes de cierta empresa se relaciona con el precio unitario mediante la relación:

2

50, 0 20

0.01 1P x

x

, donde p se mide en dólares y x en miles de unidades.

a. Halle la función de ingreso marginal.

b. Calcule ' (6)I e interprete el resultado

3. El costo total diario de producción de televisores Sony de 20 pulgadas esta dado por: 3 2( ) 0.0001 0.08 40 5000C x x x x en dólares, donde x representa el número de televisores

producidos. a. Hallar la función de costo promedio marginal b. Calcular el costo promedio marginal para x= 500 e interprete el resultado 4. Un fabricante encuentra que en la producción diaria de x unidades se involucran tres tipos de costos: 1. Un costo fijo de 1200 dólares en salarios



2. Un costo de producción de 1.2 dólares por cada unidad fabricada

3. un costo de solicitud de 2

100

x dólares.

a. Determine el costo total marginal. b. calcule el costo marginal para un nivel de producción de 10 unidades 5. Determine el ingreso marginal cuando x=300 unidades, si la ecuación de demanda es

1000 100x p

6. La función de demanda de cierto artículo es 0.1 80p x y la función de costo es

( ) 5000 20c x x . Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y 400

unidades. Interprete los resultados.

7. Si la ecuación de demanda de cierto artículo es 210 0.01 700p x x

a. Calcule el ingreso marginal cuando el precio es de 10 dólares

b. Si la función de costo es 2( ) 1000 0.1 ,C x x evalúe la función de utilidad marginal si:

x=100 unidades

p=10 dólares ACTIVIDAD No 6 En los siguientes problemas C(x) es el costo total de producción de x unidades de cierto bien y p(x) es el precio al cual se venderán todas las x unidades. Suponga que p(x) y C(x) están en dólares. a. Determine el costo marginal y el ingreso marginal b. Utilice el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad c. Encuentre el costo real de producir la cuarta unidad d. Utilice el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido por la venta de la cuarta unidad e. determine el ingreso real obtenido de la venta de la cuarta unidad

1. 21 1( ) 4 57; ( ) 36

5 4C x x x p x x

2. 2 25

( ) 5 73; ( ) 2 339

C x x x p x x x

3. 21 3 2

( ) 43; ( )4 1

xC x x p x

x

4. 22 12 2

( ) 65; ( )7 3

xC x x p x

x

ACTIVIDAD No 7 Resuelve los siguientes ejercicios de razones relacionadas 1. Una empresa determina que en la producción de x artículos la ecuación de la oferta esta dada por

0120210 xppx . ¿Con que rapidez esta cambiando el precio si las unidades están

aumentando a razón de 3 unid/día y el precio actual es de 10 dólares para un nivel de producción de 10 unidades?

2. La función de costo de un fabricante es 32 002.01.0102000)( xxxxC y la función de ingreso

esta dada por 2005.065)( xxxR . Si el nivel de producción actual es x= 100 y esta creciendo a

una tasa de 2 al mes, calcule la tasa en que la utilidad esta creciendo. 3. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, el fabricante ofrece x cientos de unidades,



donde 123 22 xp

¿Con qué rapidez cambia la oferta x cuando el precio es de 4 pesos por unidad y se incrementa a la tasa de 87 centavos por mes?

4. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran x cientos de

unidades, donde 793 22 ppxx

¿Con qué rapidez cambia la demanda x, con respecto al tiempo, cuando el precio es de 5 pesos por unidad y la tasa es de 30 centavos por mes?

5. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran x cientos de

unidades, donde 240 12x p p

¿Con qué rapidez cambia la demanda x, con respecto al tiempo, cuando el precio es de 5 dólares por unidad y el precio esta aumentando a razón de 0.30 dólares por mes?

6. En cierto mercado, p dólares es el precio de una caja de naranjas, x es el número de miles de cajas

de naranjas que se surten a la semana, y la ecuación de la oferta es 24 12x p p . ¿Con que

rapidez cambia la oferta x cuando el precio es de 3 dólares y la tasa esta aumentando a razón de 0.5 dólares por semana?

7. La ecuación de oferta de cierta mercancía es 23 20 6x p p , donde cada mes se surten x

unidades cuando el precio por unidad es p dólares. Calcule la rapidez de cambio de la oferta x si el precio actual es de 20 dólares y el precio está aumentando a razón de 0.80 dólares por mes.

ACTIVIDAD No 8 Resuelve los siguientes ejercicios de elasticidad Prueba que la elasticidad puntual de la demanda, para los valores indicados de p o x, es la que se expresa a la derecha de cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 12 0.03p x , para x = 300 unidades Rta: 0.3333

2. 2

1000p

x , para x = 156 unidades Rta: 0.5

3. 100x p , para p = $50/unidad Rta: 1

4. 4000 10x p , para p = $90,000/unidad y p = $1600/unidad Rta: 1

1.5 , 2

0.056

Cada ecuación representa una función de demanda para cierto producto donde p denota precio por unidad para x unidades. Encuentra la función de elasticidad de la demanda.

5. 108

2p =

x + Rta: →

2x

x

6. x + 750

p = x + 50

Rta: → ( 50)( 750)

700

x x

x

7. 315

x

p e

Rta: → 3

x

8. 2250 30x p p Rta: → 2

( 30 2 )

250 30

p p

p p

9. Si la función de demanda de un producto se expresa como 0.6 0.315 0.1 0.3p x x , donde



0 1700x , evalúa para 1,050x unidades:

a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: 1.316 , demanda elástica.

b) El cambio aproximado en el precio, si la demanda aumenta 12%.Rta: El precio disminuye 9.12%. c) Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece, decrece o permanece constante? Rta:

El ingreso crece 1.8%

10. Si la función de demanda de un producto se expresa como 1402

p x , donde 0 4900x ,

evalúa para x = 3600

a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: 0.667 , demanda

inelástica. b) El cambio aproximado en el precio, si la demanda aumenta 10%. Rta: El precio disminuye 15%. c) Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece, decrece o permanece constante? Rta: El

ingreso decrece 6.5%

11. Si la función de demanda de un producto se expresa como 1000

5 20x=

p+, evalúa para p = 16:

a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: 0.8 , demanda inelástica.

b) El cambio aproximado en el precio, si la demanda disminuye 10%. Rta: El precio aumenta 12.5%.

c) Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece ó permanece constante? Rta: El ingreso crece 1.25%.

12. La demanda de bebidas destiladas está dada por 0.00375 7.87x p , donde p es el precio en

dólares de una caja de licor y x es el número promedio de cajas compradas en un año por un consumidor.

a) Calcula e interpreta la elasticidad cuando p1 = $118/caja y cuando p2 = $1200/caja.

Rta:1

0.0596 Demanda inelástica y 2

1.3353 demanda elástica.

b) Determina el precio por caja para el que la demanda tendrá elasticidad unitaria. Rta:

$1,0490.33/unidad. A este precio el fabricante percibe el mayor ingreso posible. 13. Hace algunos años, las investigaciones indicaban que la demanda de heroína estaba dada por

0.17100x p .

a) Calcula la elasticidad de la demanda. Rta: 0.17

b) ¿Es la demanda de heroína elástica o inelástica? Rta: Inelástica.

EVALUACIÓN

1. Se sabe que 3)(3

lim20

xx

xsen

x, encuentre el error que se cometió en el siguiente procedimiento, si se

utilizó la regla de L’hopital.

02

)0)(3(

2

)(3lim

21

)cos(3lim

)(3lim

0020

xsen

x

x

xx

xsen

xxx



2. El valor de b para el cual la función

2

2)(

2 xsibx

xsixxf es continua en todos los reales es:

a) – 2 b) 2

1 c) 1 d)

4

1

3. Suponga que las aristas x, y, z de una caja rectangular cerrada, están cambiando con respecto al

tiempo de la siguiente manera: ./1./2./1 segmdt

dzsegm

dt

dysegm

dt

dx Cuando x = 4,

y = 3, z = 2. Se tiene que:

I. La razón de cambio del volumen (V) de la caja con respecto al tiempo es: 2dt

dV

II. La tasa a la que cambia el área (A) superficial de la caja con respecto al tiempo es: 0dt

dA

Con relación a las anteriores proposiciones es correcto afirmar que: a. I y II son verdaderas b. Solo I es verdadera c. Solo II es verdadera d. I y II son falsas 4. Complete la expresión de manera que el procedimiento sea correcto:

La derivada de la función 3

)13()(

2

x

xsenxf es:

22

2

22 )3(

)13cos()93(

)3(

)13()())(13cos(3)('

x

xx

x

xsenxxf

5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, colocando una (V) o una (F)

respectivamente dentro del paréntesis.

a. La derivada de la función 3)4()( xxf es

2192)(' xxf ………………….. ( )

b. Si una función es continua en un punto entonces es derivable en dicho punto…. ( )

BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DEL DOCENTE

STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson

HOFFMANN,BRADLEY,ROSEN , CALCULO APLICADO PARA ADMINISTRACIÓN,ECONOMIA, EDITORIAL MC Graw Hill

LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill

FCD Guía 3. derivadas y aplicaciones

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