APLICACIONES DERIVADAS

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1 APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir, Si a x f a f = > en creciente es 0 ) ( Si a x f a f = < en e decrecient es 0 ) ( Como 0 ) ( ) ( > + a f h a f ) ( ) ( a f h a f > + ,es decir, la función es creciente en a x = En este caso 0 ) ( ) ( < + a f h a f ) ( ) ( a f h a f < + , es decir, la función es decreciente en x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente. Se procede de la siguiente forma: Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes. Ejemplo 1. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 2 9 6 ) ( 2 3 + + = x x x x f Hallamos la derivada: 9 12 3 ) ( 2 + = x x x f La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 0 9 12 3 2 = + x x 0 3 4 2 = + x x = ± = ± = 1 3 2 2 4 2 12 16 4 x Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos a a+h f(a) f(a+h) t creciente a f(a+h) f(a) a+h decreciente 0 ) ( ) ( ) ( 0 > + = h a f h a f lím a f h 0 ) ( ) ( ) ( 0 < + = h a f h a f lím a f h

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Page 1: APLICACIONES  DERIVADAS

1

APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: ? Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva ? Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir,

Si axfaf =⇒>ʹ′ en creciente es 0)( Si axfaf =⇒<ʹ′ en edecrecient es 0)(

Como 0)()( >−+ afhaf ⇒ )()( afhaf >+ ,es decir, la función es creciente en ax = En este caso 0)()( <−+ afhaf ⇒ )()( afhaf <+ , es decir, la función es decreciente en x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente. Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos

resultantes. Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 296)( 23 ++−= xxxxf Hallamos la derivada: 9123)( 2 +−=ʹ′ xxxf La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

09123 2 =+− xx ⇒ 0342 =+− xx

⎩⎨⎧

=−±

=13

224

212164x

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

a a+h

f(a)

f(a+h) t

creciente

a

f(a+h)

f(a)

a+h

decreciente

0)()()(0

>−+

=ʹ′→ h

afhaflímafh

0)()()(0

<−+

=ʹ′→ h

afhaflímafh

Page 2: APLICACIONES  DERIVADAS

2

)1,(−∞ , )3,1( y ),3( +∞ Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, 9)0( =ʹ′f , es decir, positiva Para x = 2, 3)2( −=ʹ′f , es decir, negativa Para x = 4, 9)4( =ʹ′f , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞)

Signo de la derivada + - + Función Þ à Þ

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía. ? Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto ),( bac∈ , entonces

0)( =ʹ′ cf

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ? Si 0)( =ʹ′ cf y existe la segunda derivada, se verifica: Si 0)( >ʹ′ʹ′ cf , hay un mínimo relativo en el punto c Si 0)( <ʹ′ʹ′ cf , hay un máximo en dicho punto.

Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si 0)( >ʹ′ʹ′ cf la función )(xfy ʹ′= es creciente en c luego )()()( hcfcfhcf +ʹ′<ʹ′<−ʹ′ Y como 0)( =ʹ′ cf , )(0)( hcfhcf +ʹ′<<−ʹ′ , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c. Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: Criterio de la primera derivada:

• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. • Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada:

• Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.

• Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Ejemplo 2.

Halla los máximos y mínimos de la función 33)( xxxf −= Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación 0)( =ʹ′ xf :

033)( 2 =−=ʹ′ xxf ⇒ 12 =x ⇒ 1±=x 2ª derivada: xxf 6)( −=ʹ′ʹ′ Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

Page 3: APLICACIONES  DERIVADAS

3

06)1(6)1( >=−−=−ʹ′ʹ′f ⇒ ∃ mínimo para x = - 1 061.6)1( <−=−=ʹ′ʹ′f ⇒ ∃ máximo para x = 1

Concavidad y convexidad. Los conceptos con convexidad y concavidad son relativos. Adoptaremos el siguiente criterio: La función es convexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en un punto cualquiera del intervalo. La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. ? Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si ),(x ,0)( baxf ∈∀>ʹ′ʹ′ ? Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si ),(x ,0)( baxf ∈∀<ʹ′ʹ′ Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa. Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos

resultantes. Ejemplo 2. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función

46)( 24 +−= xxxf Primera derivada: xxxf 124)( 3 −=ʹ′ Segunda derivada: 1212)( 2 −=ʹ′ʹ′ xxf

01212 2 =−x ⇒ 012 =−x ⇒ 1±=x Dividiendo el dominio R por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes intervalos:

),1(y )1,1( ),1,( +∞−−−∞ Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = -2 03612)2.(12)2( 2 >=−−=−ʹ′ʹ′f , función convexa.

Mínimo(-1,-2)

Máximo(1, 2)

convexa

cóncava

Page 4: APLICACIONES  DERIVADAS

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Para x = 0, 012)0( <−=ʹ′ʹ′f , función cóncava Para x = 2, 036)2( >=ʹ′ʹ′f , función convexa La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, -1) (-1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - +

Función ∪ ∩ ∪ Existen puntos de inflexión para x = -1 y para x = 1 Resolución de problemas de optimización. Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidas. Ejemplo 3.

De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

Volumen de la caja = xxx )210)(210( −−

xxxV )440100( 2+−= xxxV 100404 23 +−= (Función a maximizar)

1008012 2 +−=ʹ′ xxV ; 8024 −=ʹ′ʹ′ xV

01008012 2 =+− xx ⇒ 025203 2 =+− xx ; ⎪⎩

⎪⎨⎧

=355

61020

610020x

040805.24)5( >=−=ʹ′ʹ′V (mínimo, no se forma caja)

408035.24)3

5( −=−=ʹ′ʹ′V (máximo). La solución es 35=x

Ejemplo 4 Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima. Perímetro = x + 2y = 1000 ⇒ x = 1000 – 2y Área = x . y, es decir, )21000( yyA −=

221000 yyA −= (Función a maximizar ) yA 41000 −=ʹ′ ; 4−=ʹ′ʹ′A 041000 =− y ⇒ y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo. 5000250.2100021000 =−=−= yx

10

x x

y

Page 5: APLICACIONES  DERIVADAS

5

Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

Ejercicios resueltos. 1.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se

indican: a) x

xf 2)( = en x = - 1; b) 1245)(

+

−=xxxf en x = 1

Solución:

a) 122)( −== xx

xf ; 2

2 22)(x

xxf −=−=ʹ′ −

0212

)1(2)1( 2 <−=

−=

−=−ʹ′f ⇒ La función es decreciente en x = -1

b) 1245)(

+

−=xxxf

222 )12(

13)12(

810510)12(

)45(2)12(5)(+

=+

+−+=

+

−−+=ʹ′

xxxx

xxxxf

0913

)11.2(13)1( 2 >=+

=ʹ′f ⇒ La función es creciente en x = 1

Obsérvese que en la derivada obtenida el numerador es positivo y el denominador es siempre positivo por estar elevado al cuadrado por lo que la función es creciente no solo en x = 1 sino en todos los puntos de su dominio.

2.- Estudia la monotonía de la función xxey =

Solución:

xxey = )1(..1 xexeey xxx +=+=ʹ′

0)1( =+ xe x ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

=+

=

01

0

xóex

xe es siempre mayor que cero, luego la única solución posible se obtiene de la ecuación 01 =+ x ⇒ x = -1

El dominio de la función dada es R por tratarse del producto de una exponencial (de dominio R) y una polinómica (de dominio también R). Dividiendo el dominio por el punto – 1 se obtienen dos intervalos )1,( −−∞ y ),1( +∞− Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:

Para x = -2, 01)1.(1)21()2( 222 <−=−=−=−ʹ′ −

eeey (negativa)

Para x = 0, 01)01()0( 0 >=+=ʹ′ ey (positiva) Se obtienen así los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Intervalos (-∞, -1) (-1, +∞) Signo de la derivada - +

Función à Þ 3.- Halla los valores de a y b en la función baxxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3

Page 6: APLICACIONES  DERIVADAS

6

Solución: Si pasa por el punto (-2, 1), para x = -2 la función vale 1, es decir,

1)2()2( 2 =−−+− ba ⇒ 3−=−− ba Como tiene un extremo para x = -3 su derivada se anula en dicho punto, es decir,

axxf +=ʹ′ 2)( ⇒ 0)3(2 =+− a ⇒ a = 6 Y sustituyendo en la ecuación –a –b = -3 se obtiene el valor de b

36 −=−− b ⇒ b = -3 4.- Halla a, b y c en la función dcxbxaxxf +++= 23)( sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) un mínimo. Solución:

La función pasa por (0,4), por tanto, 40.0.0. 23 =+++ dcba ⇒ d = 4 La función pasa por (2,0), por tanto, 02.2.2. 23 =+++ dcba Luego 0248 =+++ dcba Por otra parte, el punto P(0, 4) es un máximo lo que indica que su derivada se anula para x = 0, es decir, cbxaxxf ++=ʹ′ 23)( 2 ; 00.20.3)0( 2 =++=ʹ′ cbaf ⇒ c = 0 Como el punto Q(2,0) es un mínimo, su derivada se anula para x = 2:

02.22.3 2 =++ cba ⇒ 0412 =++ cba Formando un sistema con las 4 ecuaciones obtenidas resulta:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=++

=

=+++

=

04120

02484

cbac

dcbad

⇒ ⎩⎨⎧

=+

−=+

0412448

baba

⇒ ⎩⎨⎧

=+

−=+

0312

baba

⎩⎨⎧

=+

=−−

0312

baba

⇒ a = 1; b = -3

5.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?.

Solución:

Perímetro: 1222 =+ yx ⇒ 6=+ yx ⇒ xy −= 6 (condición que se ha de cumplir) Función a minimizar: 222 dyx =+ ⇒ 2222 )6( xxyxd −+=+=

Es decir, 36122)( 2 +−= xxxd que es la función a estudiar.

1862

62

361222

124)(22 +−

−=

+−

−=ʹ′

xx

x

xx

xxd

Igualando )(xd ʹ′ a cero y resolviendo la ecuación resultante se obtiene x = 3

Segunda derivada: 1862

)62.(18622

6418622)( 2

2

2

+−

−+−

−−+−

=ʹ′ʹ′xx

xxx

xxxxd

y d

x

Page 7: APLICACIONES  DERIVADAS

7

Valor de la segunda derivada para x = 3:

032

3.23.22

18183.2018183.22)3( 2

2

2

2

>==+−

−+−=ʹ′ʹ′d (mínimo, se trata de un cuadrado)

6.- Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Solución:

Condición que se tiene que dar: 18 cm2 de texto impreso, es decir, 18)2)(4( =−− yx

4182−

=−x

y ⇒ 4210

+=x

xy

Función a minimizar: Superficie = 4210

4210..

2

+=

+=

xxx

xxxyx , es decir,

4210 2

+=

xxxS . Derivando,

2

2

)4(40162

−−=ʹ′

xxxS . Si hacemos 0=ʹ′S entonces

040162 2 =−− xx ⇒ 02082 =−− xx ⇒ ⎩⎨⎧

−=

±=

±=

210

2128

21448x

La solución negativa no tiene sentido.

4

22

)4()40162)(4(2)4)(164(

−−−−−−=ʹ′ʹ′

xxxxxxS ; 0

6036.24)10( 4 >

−=ʹ′ʹ′S

Para x = 10, la 2ª derivada es positiva, luego es un mínimo. 7.- Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. Solución:

Condición que se tiene que dar: 40022 =+ yx ⇒ 2400 xy −=

Función a maximizar: Área = 2400. xxyx −= ; 2400 xxA −=

2

2

2

22

2

2

400

2400

400400.

4002

2400.1x

x

x

xxxx

xxA−

−=

−−−=

−+−=ʹ′

x

y

Page 8: APLICACIONES  DERIVADAS

8

Si hacemos 0=ʹ′A , 02400 2 =− x ⇒ 2002 =x ⇒ 210±=x Es claro que la solución es 210=x ya que la negativa no tiene sentido. Comprobaremos que es máximo calculando la segunda derivada:

2

2

2

2

400

)2400(4002

24004

x

xx

xxxA

−−

−−−−

=ʹ′ʹ′

Para 210=x , 052002

2000200400210.4)210( <−=

−−−=ʹ′ʹ′A (máximo)

Si ,210=x 210)210(400 2 =−=y . Se trata de un cuadrado.

8.- En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. De distancia de A. Puede aprovecha para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. Solución:

La ruta a seguir es AMP. Aplicando Pitágoras en el triángulo ACP se obtiene:

400300500 22 =−=AC

En el triángulo MCP se obtiene que 22 300+= xMP Y el tiempo que tarda el automóvil en recorrer la distancia AM + MP es:

60300

1004 22 +

+−

=xxt .

Derivando, 2222 30060100

1

3002

2601

1001

++

−=

++

−=ʹ′

x

x

x

xt

Si hacemos 0=ʹ′t , 030060100

122=

++

x

x ⇒ 1001

30060 22=

+x

x

Es decir, 22 300610 += xx ⇒ 222 300.3636100 += xx ⇒

22 300.3664 =x ⇒ 64300.36 2

2 =x ⇒ 225±=x

La solución negativa no tiene sentido. 175225400 =−=AM El automóvil deja la carretera a 175 Km. de la ciudad A. Podemos comprobar que es mínimo hallando la segunda derivada:

)300(60300

60)300(60

)300(603002

2.6030060.1

222

22

22

222

22

22

++

−+

=+

+−+

=ʹ′ʹ′xx

xx

xxxx

t ⇒

22222

22

300)300(60

60)300(60

++

−+=ʹ′ʹ′

xx

xxt . Para x = 225, 0)225( >ʹ′ʹ′t (mínimo)

Page 9: APLICACIONES  DERIVADAS

9

9.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

Solución:

La función que tenemos que minimizar es el área del depósito: xyxA 42 += Con la condición de que el volumen yxV 2= sea de 4000 litros.

40002 =yx ⇒ 2

4000x

y = , por tanto, 2

2 4000.4x

xxA +=

xxA 160002 += (función a minimizar)

12 1600 −+= xxA ; 2

3

22 16000216000216000.12

xx

xxxxA −

=−=−=ʹ′ −

Si hacemos 0=ʹ′A , 0160002 3 =−x ⇒ 80003 =x ⇒ 20=x

Segundo derivada: 3

3

4

322 320002)160002(2.6x

xxxxxxA +

=−−

=ʹ′ʹ′

Para x = 20, 0203200020.2)20( 3

3

>+

=ʹ′ʹ′A ⇒ para x = 20 la superficie es mínima.

Si x = 20, 10204000

2 ==y

luego la caja debe tener 20 dm. de lado y 10 dm. de altura. Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determina su generatriz y su radio.

Solución: El área total de un cilindro es: Área = generatrizradio××π2 + el área de las dos bases )( 22 radioradio ×+× ππ

es decir, 150.2..2 2 =+= xyxA ππ (Condición que se tiene que cumplir)

Y de aquí, 75... 2 =+ xyx ππ ⇒ xxy

ππ 275 −

=

El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura, por tanto, 3

222 .7575 xx

xxxyxV π

ππ

ππ −=−

== (función a maximizar)

Derivando, 2.375 xV π−=ʹ′

Page 10: APLICACIONES  DERIVADAS

10

Si hacemos 0=ʹ′V , 0.375 2 =− xπ ⇒ ππ25

3752 ==x ⇒

π

5±=x

Segunda derivada: xV .6π−=ʹ′ʹ′

030.305.65<−=

−=−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ʹ′ʹ′ π

πππ

ππ

πV

Para π

5=x el volumen es máximo.

ππ

ππ

π

π

ππ

ππ 10

550

550

5.

2575===

−=y

Ejercicios propuestos

1.- Estudia la monotonía de la función xexxf )1()( −= 2.- Estudia la monotonía de la función )33()( 2 +−= xxexf x y determina los máximos y mínimos relativos.

3.- Dada la función 1

)(2

−=xxxf , halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los

extremos relativos.

4.- Halla los máximos y mínimos de la función Lxxy =

(Solución: mínimo para x = e ) 5.- Estudia la curvatura de la función 24 2)( xxxf −= y determina los puntos de inflexión. 6.- Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de 462)( 23 +−= xxxf en su punto de inflexión.

(Solución: y = - 6x + 6 ) 7.- Halla los valores de b y c para que la curva 123 +++= cxbxxy tenga en el punto (0, 1) una inflexión y la pendiente de la recta tangente en dicho punto valga 1.

(Solución: b = 0; c = 1 ) 8.- Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo? 9.- Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo. 10.- Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos, tal como se indica en la figura. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo.

(Solución: las dimensiones son 1, 2 y 4/3 )

Page 11: APLICACIONES  DERIVADAS

11

APLICACIÓN DERIVADA

VARIACIONES RELACIONADAS:

1) El radio de un círculo está creciendo a razón de 2 cm/min. Calcular el ritmo de cambio el área cuando r = 24 cm. Resp: 96 π (cm2/min)

2) El radio de una esfera está creciendo a razón de 2 pulg/min. Calcular el ritmo de cambio del

volumen cuando cuando r = 6 pulg. Resp: 216π (pulg3/min) 3) Un globo esférico se hincha con gas a razón de 500 cm3/min. ¿ A qué ritmo está creciendo su

radio cuando el radio es 30 cm? . Resp: min)/(365 cmπ

4) Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada sobre la pared. Su base se desliza por el

suelo a razón de 2 pie/seg. ¿ A qué ritmo está bajando su extremo superior por la pared

cuando la base dista de ella 7 pies?. Resp: 127

− (pie/seg)

5) Se arroja arena en un montón cónico a razón de 100 pie3/min. Hallar la razón de cambio de la

altura del montón , cuando su altura es de 10 pies. ( Suponga que el radio del cono es igual a

su altura ). Resp: π1 (pie/min )

6) Un cierto producto se vende a p dólares la unidad, los consumidores comprarán:

2

18000)(pppD +

⋅= Se estima que, dentro de t años , el precio del producto será de

23)( ++= tttp dólares. Calcúlese el ritmo al que la demanda anual está cambiando con respecto al tiempo, dentro de 108 meses. Resp: La demanda disminuirá a razón de 33 unidades al año.

7) En una cierta fábrica, el costo de q unidades durante el proceso diario es de

1100)(

2

+⋅=qqqC dólares. Se ha estimado que, durante las t primeras horas, se fabrican

14)( += ttq unidades. Calcúlese la razón a la que está cambiando el costo total respecto del tiempo, 4 horas después de comenzar la producción. Resp: El costo diario aumentará a razón de 99 dólares por hora.

GRÁFICA DE FUNCIONES En los siguientes ejercicios, encuentre:

a) Los puntos de inflexión b) Los máximos y mínimos relativos, utilizando el criterio de la segunda derivada c) Los intervalos de concavidad d) Haga una gráfica de la curva

34

23

23

2

2

4)()5

331)()4

1834)()332)()2123)()1

xxxf

xxxf

xxxxfxxxfxxxf

+=

+−=

++−=

−+=

+−=

Respuestas:

1) a) no hay b) (31 , 32 ) mín. rel. c) para todo x

2) a) no hay b) (-1,-4) mín. rel. c) para todo x

Page 12: APLICACIONES  DERIVADAS

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3) a) (41 ,

837 ) b) (

23 ,

481 ) máx. rel. (-1, -11) mín. rel. c) ⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤∞−41, hacia arriba

⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤∞,

41 hacia abajo

4) a) (1, 37 ) b) (0,3) máx. rel. (2,

35 ) mín. rel. c) ] [∞,1 hacia arriba

] [1,∞− hacia abajo 5) a) (-2, -16)) , (0,0) b)(-3, -27) mín. rel. c) ] [ ] [∞−∞− ,02, y hacia arriba ] [0,2− hacia abajo

MÁXIMOS  Y  MÍNIMOS   Resuelva los siguientes problemas: a) El producto de dos números positivos es 16. Hallar los números si su suma es mínima. Resp.

4 y 4.

b) Se dispone de 320 metros de malla de alambre para encerrar un campo rectangular. ¿Cuales deben ser las dimensiones de dicho campo para el mejor aprovechamiento de dicha malla? Resp: x = 80 mt e y = 80 mt

c) Se requiere cercar un área rectangular de 200 mt2 de superficie por 3 lados, aprovechando na

pared ya construída. ¿ Cuánto es el mínimo de cerco que se necesita?. Resp. 40 mt

d) Un agricultor desea utilizar 240 mt de cerca sobrante para hacer un corral rectangular a lo largo del establo. Encuentre las dimensiones del corral de mayor área que puede cercar con el sobrante de cerca. Resp. El área máxima del corral será de 7200 mt2

e) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64 mt3. el material de la

parte de encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por mt2 y el material de los lados $500 el mt2. Calcular las dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo. Resp: Base. 2 3 4 mt y altura 4 3 4

f) En la ribera de un río de 3 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, 4 km

corriente arriba, hay una fábrica. El costo de tender un cable por tierra ( línea aerea ) es de US$30 por mt y de US$50 por mt si se tiende bajo el agua ( cable submarino ). ¿ Cuál es la ruta más económica para tender el cable de la planta eléctrica a la fábrica? Resp. En

kmx49

= , C(x) es mínimo.

g) Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada, abierta por arriba. Calcular el

volumen de la mayor caja que se puede obtener con 1200 cm2 de material. Resp: 4000 cm3 es máximo

h) Dos antenas de teléfonos móviles separados 10 metros son fijadas mediante un único

cable tensor a un punto del suelo en el segmento que une sus bases. Si el cable se ata a 4 mt. de altura en una antena y a 7 mt. en la otra, se desea conocer el punto de fijación del

cable en el suelo de forma que la longitud del cable sea mínima. Resp: En x = 1140 tiene el

mínimo absoluto y el punto de fijación en el suelo debe estar a 1140 mt. de la primera antena