Unidad 5-Aplicaciones de Las Derivadas

8/12/2019 Unidad 5-Aplicaciones de Las Derivadas

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1 B E L E C T R O N I C A

04/01/14

APLICACIONES DE

LAS DERIVADAS

CALCULO DIFERENCIAL

ING.JAVIER BARAJAS ACEVES

AYALA GRANADOS RAUL ALEJANDRO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ZAMORA


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INDICE:

I. INTRODUCCION.pg.02II. PARTE 1...pg.03

III. PARTE 2...pg.08IV. PARTE 3...pg.11V. PARTE 4...pg.12

VI. PARTE 5...pg.14VII. PARTE 6 (ANALIZAR UNA FUNCION).....pg.19

VIII. PROBLEMAS DERIVADAS (RAZON DE CAMBIO)...pg.20IX. PROBLEMAS DE APLICACIN.pg.24X. CONCLUSION.pg.34

XI. BIBLIOGRAFIA...pg.35XII. SOFTWARE.pg.35


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I. INTRODUCCION:

Las aplicaciones de las derivadas son bastante amplias para esto sepresentan a continuacin una serie de ejercicios que van desdeaplicaciones dentro del clculo, como el analizar una funcin que comobien sabemos una funcin contiene varios aspectos que gracias a lasderivadas podremos conocerlos, los cuales son: dominio, continuidad,periodicidad, simetra, asntotas y concavidad por mencionas algunos,estos los podemos conocer por medio del criterio de la primera derivaday la segunda derivada, obteniendo de estas varios resultados y asaplicndolos en frmulas como para conocer la pendiente, la rectatangente la recta normal etc. Otra aplicacin dentro de este mbito es

hallar el ngulo de interseccin entre dos curvas. Las aplicacionestambin tienen sus aplicaciones en la vida diaria con problemas de paraconocer distancias, algn lapso de tiempo, ganancias, optimizaciones,aceleraciones, dimensiones, por mencionar algunas. Siguiendo unossencillos pasos que veremos ms adelante. Para obtener el resultadoque se quiera saber es muy importante en este tipo de problemas llegara una funcin, en base a reglas o formulas ya conocidas para poderderivarla y as tomar decisiones o procedimientos que nos lleven al

resultado buscado. A continuacin se presentan una serie de ejerciciosdonde podremos resaltar lo antes mencionado y se dar a conocer losprocedimientos.


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II. PARTE 1

Obtener las pendientes de las siguientes curvas en el punto que se indica.

1. Y= - 4 en (1,-3)

2. Y= - 4 2x + 1 en abscisa

3. +=13 en (2,3)

4. Y= en x=1

5. Y=

en x=2

6. en (2,1)

7. en (1, )

( )

8. en x=

Obtener las ecuaciones de la tangente y de la normal de cada una de las siguientesfunciones, en los puntos que se indican:9. en (2,-2)


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10.

en (1,2)

11. en (3,3)

12. en (1,-3)

13.

en (1,0)

14. en (1,3)15.

en (1,

)


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Calcular el valor de las pendientes y de las rectas tangentes a las curvas que se indican.

16. Circunferencia desde el punto (-2,7) fuera de la curva.

17. Parbola desde el punto (-3,3) fuera de la curva.Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas que se indican desde lospuntos fuera de ellas. Graficar.

18. Parbola desde (1,4)19. Parbola desde (-3,1)


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Obtener el ngulo que forman las dos curvas que se indican en el punto que se da paracada ejercicio.

20. ; en (2,2)

21. ; en (2,1)

22. ; en (3,)

23. ; en (1,2)


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24. ; en (1,1)

25. ; en ( ,1)

26. ; en (-1,)

27. ; en (2,5)


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III. PARTE 2

Determina si las funciones siguientes son crecientes o decrecientes en los puntos deabscisa que se dan en cada caso. Obtener las ordenadas correspondientes:

1. en x= , x=, x=

2. en x=, x=2, x=

3. en x=, x=0, x=1

4. en x=-, x=


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5. en x= , x=, x=2

6. en x=-, x=

Calcula en que intervalos las curvas siguientes, son cncavas o convexas.

7.

8.

9.


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Calcula los puntos de inflexin de las funciones siguientes:10.

11.

Obtener los puntos de inflexin y el sentido de la concavidad de las funciones siguientes:

12.

13.

14.


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IV. PARTE 3

Calcula mximos y mnimos relativos de las siguientes funciones, aplicando el criterio de laprimera derivada:

1.

2.

3.

4.

5.


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6.

V. PARTE 4

Calcular los mximos y mnimos relativos de las funciones siguientes; aplica el criterio de lasegunda derivada:

1.

2.


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3.

4.

5.

Obtener los mximos y mnimos de las funciones siguientes:

6.


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7.

8.

9.

VI. PARTE 5

Calcula los intervalos en cada una de las funciones siguientes es creciente o decreciente.

Grfica.

1.


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2.

3.

4.

Calcular los mximos y mnimos relativos y los puntos de inflexin de las funcionessiguientes:

5.


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6.

7.

8.


18/36

9.

10.

Bosqueja la grfica correspondiente a cada una de las funciones siguientes:11.

12.


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13.

14.


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VII. PARTE 6 (ANALIZAR UNA FUNCION)1.


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VIII. APLICACIONES DERIVADAS (RAZON DECAMBIO)

1. Una escalera de 14m de largo est recargada contra un edificio vertical, la base

de la escalera resbala horizontalmente a razn de 4 metros por segundo. conque rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12marriba del suelo?


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2. A las 11:00hrs una lancha A se encuentra a 25 km al sur de otra lancha B; lalancha A navega hacia el oeste a razn de 16 km/h y la B navega hacia el sur a20km/h. obtener la razn de cambio de la distancia entre las dos lanches a las11:30hr.


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3. Una persona de 1.60m de estatura corre alejndose de un poste de alumbradoque tiene una altura de 8 metros. Si se desplaza a razn de 4 metros porsegundo, qu tan rpido cambia la longitud de la sombra?


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4. una escalera de 13 metros de largo esta recargada contra una pared vertical; labase de la escalera resbala horizontalmente alejndose de la base de la pared arazn de 2 m/s. con que rapidez resbala hacia debajo de la pared la parte altade la escalera, cuando la parte baja de la misma se encuentra a 4 metros deaqulla?


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IX. PROBLEMAS DE APLICACIN1. 2. Una maquiladora puede vender 1000 aparatos por mes a $5.00 cada uno; si acepta

bajar el precio unitario en dos centavos podr vender 10 piezas ms. Calcula

cuantas piezas se deben vender para obtener la utilidad mxima y cul sera elingreso al venderlas.

3. Un fabricante de acuerdo con sus registros de produccin considera que el costo defabricacin de unos radios de pilas depende del nmero de unidades fabricadassegn la funcin . calcular la cantidad de radios porfabricar para que el costo de cada unidad sea el mismo.


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4. 5. Calcular dos nmeros cuya suma sea 125 y el producto de uno de ellos por el

cuadrado del otro sea mximo.

6. Obtener dos nmeros cuya suma sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo delprimero ms el segundo sea mnimo.


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7. Obtener dos nmeros cuya suma sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo del otrosea el producto mximo.

8. 6 es la suma de un nmero y el triple de otro nmero. Calcular entre todos losnmeros reales que satisfacen esta condicin cuyo producto sea el mximo.


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9. Calcular las dimensiones de un rectngulo con un permetro de 240m, de maneraque el rectngulo sea el rea mxima.

10. En el costado de un terreno se encuentra una barda de piedra y se disponen de600m de maya de acero de la misma altura que la barda; se desea hacer un corralrectangular utilizando el muro de piedra como uno de sus costados. Calcular lasdimensiones que debe tener para encerrar el corral la mayor rea posible.


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11. Se desea construir una caja cuadrada abierta por arriba y del mayor volumenposible, cortando las esquinas cuadradas iguales y doblando hacia arriba paraformar las caras laterales. Si se dispone de una pieza de hojalata de 32cm por lado,Cunto debe medir el cuadro que se recorta para obtener el volumen mximo?

12. Una imprenta se decide que un volante debe incluir24cm cuadrados de texto, losmrgenes superior e inferior deben tener 1.5cm de ancho y los laterales de 1 cm.Calcula las dimensiones mnimas de la hoja de cada impreso.

13. Se quiere construir una caja rectangular sin tapa utilizando una lmina de plata de16 por 10cm. Calcula la altura de la caja para que tenga el mayor volumen posiblecon el material disponible.


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14. Se quiere construir un recipiente cilndrico circular, sin tapa, de base circular y de64cm cbicos de volumen. Calcula las dimensiones que debe tener para que lacantidad de metal sea mnima.

15. Calcular el radio y la altura del cilindro circular recto de volumen mximo que puedeinscribirse en un cono que tiene un radio de 4cm y una altura de 12cm.


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16. Si un punto se mueve segn la ley . Calcula su velocidad en uninstante cualquiera y al cabo de 4 seg.

17. La trayectoria de un punto en movimiento est da por .Calcular su aceleracin en un instante cualquiera y en 3seg.a por

18. La ley del movimiento de un cuerpo est dada por . Calcula la distanciarecorrida en 2 seg.


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19. Dada la ley de una partcula en movimiento. Calcula en quinstante la velocidad es cero, y la distancia recorrida hasta detenerse.

20. Calcula la velocidad, la aceleracin instantnea y el espacio recorrido en 2 seg, delpunto que se mueve rectilneamente segn la ley


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21. Una partcula con movimiento rectilneo se desplaza segn la ley donde b, c, d son constantes, calcular la velocidad y la aceleracin instantnea y ladistancia recorrida en 3 seg.

22. Calcular la aceleracin en un tiempo t de .

23.

24. Con la ley calcular la aceleracin en 2 seg.


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25. La ley que regula el movimiento de una partcula calcula en queinstante la aceleracin es 0.


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X. CONCLUSION

Con lo que acabamos de ver podemos saber que con las derivadas se puedenresolver problemas muy especiales o muy adentrados en clculo, sino quetambin podemos adentrarnos en problemas de fsica, econmicos,geomtricos, etc. Y esto es muy importante porque si tmanos un problemade fsica donde necesitemos encontrar una cantidad, cuya cantidad no lapodemos encontrar con las formulas habituales o ya conocidas, pues ahoracon estos conocimientos sabemos que esa cantidad la podemos cambiar poruna variable, y los datos que tengamos acomodarlos en cierta formarazonable y sobre todo correcta para que consigamos una funcin, con estafuncin llevar a cabo el procedimiento y obtener ese resultado. As que

podemos tomar esto como algo ms aprendido o mejor an como unaexcelente herramienta para calcular prcticamente lo que nosotros queramossiempre y cuando se pueda expresar en una funcin.


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XI. BIBLIOGRAFIA CALCULO DIFERENCIAL / N. PISKUNOV / MIR MOSC

APUNTES DE CALCULO DIFERENCIAL / JAVIER BARAJAS

XII. SOFTWARE DERIVE 6

GEOGEBRA

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