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Estimacion de curvas de rendimientos aplicacion delModelo Nelson-Siegel para El Salvador.

Luis Ortiz Cevallos

Banco Central de Reserva (BCR)

Octubre 2014

Luis Ortiz Cevallos (BCR) Estimacion de curvas de rendimientos Octubre 2014 1 / 30

Motivacion, dificultad y solucion

Curva de rendimientoLugar geometrico a una determinada fecha de la relacion entre plazos yrendimientos de tıtulos de deuda cero cupon de un mismo emisor.

Utilidad1 Es una herramienta para valorar activos financieros.

2 Es una fuente de informacion prospectiva para el analisis macroeconomico.

Dificultad y solucion

DIFICULTAD Su construccion de manera directa siempre excede el conjunto deinformacion disponible.

SOLUCION Recurrir a procedimientos indirectos. Estimar la curva derendimiento a partir de modelos.

Ejemplo


Objetivo y Justificacion

Objetivo

Estimar una curva de rendimiento para El Salvador aplicando el modelo Nelson ySiegel (1987) (NS).

JustificacionEl modelo NS es el mas utilizado y difundido, tanto por el conjunto debancos centrales de paıses desarrollados que reportan usar una estimacion dela curva de rendimiento en sus analisis monetarios, ası como por lasinvestigaciones aplicadas en America Latina.

Referencia


Caracterizacion del mercado de capitales de El Salvador

1 El Salvador cuenta con un mercado de capitales pequeno y poco desarrolladoen lınea con sus pares centroamericanos y alejado del de otros referenteslatinoamericanos avanzados. Ir a Referencia

2 Entre los diferentes inversionistas institucionales en El Salvador, los bancos,fondos de pensiones y Companıas de Seguros disponen de recursossignificativos para la consecucion de un mercado de capitales masdesarrollado. Ir a Referencia

3 Los recursos que el Gobierno demanda vıa libre contratacion lo hace a travesde instrumentos de renta fija emitidos principalmente por el Ministerio deHaciendo (MH) y el Banco Central de Reserva (BCR). Ir a Referencia

4 De las transacciones realizadas en la BVES las mas relevantes son las dereportos. Ir a Referencia

5 La falta de una curva de rendimiento de deuda publica que sirva deinstrumento para el descubrimiento de precios en el mercado de capitales.


Marco Conceptual: Definiciones previas

Tasa de rendimiento y(t,m)

Es la tasa de interes pagada por un bono cero cupon con madurez m en el momento t.

Tasa forward f(t, t,m)

Es la tasa de rendimiento contratada en t para un bono cero cupon que se entrega en t conmadurez m desde la fecha de entrega.

TIR R(t,m)

Corresponde al promedio ponderado de las tasa de rendimiento de cada uno de los cupones parael caso de un bono tipo “bullet”.

Relacion entre tasa de rendimiento y TIREl precio de un bono tipo “bullet” a 10 anos que paga cupones al final de cada ano pudedeterminarse por la siguiente relacion:

PB(t, 10) =10∑s=1

Cs

(1 +R(t, 10))s=

10∑s=1

Cs

(1 + y(t, s))s(1)


Marco Conceptual: Bono Cero Cupon

Un Bono Cero Cupon es un instrumento que devenga un pago cierto a una fechadeterminada.El precio de un bono cero cupon en t con madurez m que devengue una unidad enel momento t+m puede expresarse como:

PB(t,m) = D(t,m) =1

Y (t,m)m(2)

Lo cual se expresa en version de capitalizacion continua por:

pb(t,m) = −my(t,m) (3)

Sı se define el retorno neto de mantener por un perıodo un bono cero cupon conmadurez m como:

r(t+ 1,m) = pb(t+ 1,m− 1) − pb(t,m) (4)


Marco Conceptual: Bono Cero Cupon

La tasa de rendimiento se define como un promedio de las tasas de retornos ins-tantaneas:

y(t,m) =1

m

m−1∑i=0

rt+1+i,m−i (5)

Con informacion hasta t estos retornos no son conocidos. La hipotesis de expectati-vas indica que el valor esperado de estos retornos condicional a la informacion en t,deben ser similar al valor esperado de la inversion segura: Los forward con madurezinstantanea f(t, t, 1).Por lo tanto la tasa de rendimiento de un bono de madurez m en el periodo t sededuce a partir de ET de las expectativas de la tasa corta.

y(t,m) =1

m

m−1∑i=0

f(t, t+ i, 1) (6)


Presentacion del modelo

Nelson y Siegel (1987)Un modelo parametrico flexible para representar diferentes formas asociadas conla curva de rendimiento. Su propuesta es que la tasa de rendimiento puede sergenerada por una ecuacion diferencial y por tanto la tasa forward de maduracioninstantanea serıa la solucion de dicha ecuacion.

f(t,m, θt) = β0,t + β1,texp−mτt + β2,t

m

τtexp−

mτt (7)

En base a esta ecuacion se deduce la tasa de rendimiento y el precio de un bonocero cupon con valor final uno.

y(t,m, θt) = β0,t + (β1,t + β2,t)1 − exp−

mτt

mτt

− β2,texp−mτt (8)

PBit(θt) = exp−my(t,m,θt) (9)


Interpretacion del modelo

El modelo Nelson y Siegel (1987) asigna una interpretacion a sus parametros:

β0 Es la tasa de largo plazo (β0 ≈ lımm→∞ y(t,m)).

β1 Indica la diferencia entre la tasa corta con respecto la tasa larga(β0 + β1 ≈ lımm→0 y(t,m)).

El signo de β2 indica sı la curva tiene “joroba” en el caso positivo o “U” en elcaso negativo.

τ Indica la posicion de la “joroba” o “U” y la velocidad en que converge latasa corta hacia la tasa de largo plazo.

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Aplicacion del modelo Nelson-Siegel: Proceso

Instrumentos de referencias:En la estimacion se utiliza dos clases de tıtulos de renta fija emitidos por el estadosalvadoreno (renta fija soberana):

Los Letes o papeles de tipo cero cupon de plazo menores o iguales a 360 dıas.

Los bonos o papeles tipo “bullet” de plazo menores a treinta anos.

Fuentes de datos y seleccion de muestras:

Transacciones cerradas diarias llevadas a cabo en la Bolsa de Valores de ElSalvador (BVES), realizadas en los mercados primario, secundario y reportos.

Transacciones correspondientes a una semana comprendida de lunes a viernes.

Tratamientos de los datos:Expresar a “precios sucios” los precios de las transacciones de los instrumentos derenta fija soberana incluidas en las muestras.


Aplicacion del modelo Nelson-Siegel: Estimacion Econometrica

En las estimaciones de los vectores de parametros del modelo NS (θt) se aplica elmetodo de mınimos cuadrados no lineales generalizados (GNLLS) del que resultaun problema de minimizacion dado por:

mınθt

n∑i=1

Wit(PBit − PBit(θt))2 (10)

El presente trabajo considera el vector de ponderadores (Wit) en el que cada ele-mento es igual al inverso del producto de la duracion modificada con el precio decada bono en la muestra.La solucion del problema es a traves de metodos numericos, donde el programa parteasignando valores iniciales a los parametros: β0 = 6,5 %, β1 = −5,0 %, β2 = 0 yτ = 2.


Aplicacion del modelo Nelson-Siegel: Resultados

Las estimaciones de curvas de rendimientos presentadas corresponden al perıododel 6 de enero al 12 de septiembre 2014, implicando las estimaciones de 29 curvasde rendimientos, una para cada semana, sin incluir las semanas del 17 al 21 defebrero, del 3 al 7 de marzo, del 24 al 28 de marzo, del 11 al 15 de agosto y del25 de agosto al 5 de septiembre por no tranzarse suficientes tıtulos mayores a 360dıas, y la semana del 14 al 18 de abril y del 4 al 8 de agosto por ser festiva.

Un hallazgo importante es verificar un cambio en la forma de las curvas de rendi-mientos a partir de la semana del 28 de abril al 2 de mayo 2014; debido al cono-cimiento anticipado de una emision de bonos de parte del Gobierno con el fin deconvertir su deuda de corto a largo plazo y de proveer recursos para la continuidadde sus gastos. Resultados


Analisis de resultados

Analisis prospectivoLa curva forward muestra claramente la trayectoria que los agentes esperan de la tasa corta atraves del tiempo.Las pendientes positivas en las curvas forward pueden ser interpretadas, bajo la “hipotesis de lasexpectativas puras”, como que los agentes anticipan una expansion economica.

Sin embargo existe evidencia como las presentadas por Shiller y otros (1983) y Harris (2001)

respecto a estructuras temporales de tasa de interes nominales, donde se muestran que las

pendientes positivas se deben interpretar tambien como existencias de premios por liquidez. Ver

Adopcion de curva externaUna de las recomendaciones del Financial Sector Assessment Program (FSAP) El Salvador 2010(FMI/BM), trata sobre la adopcion de una curva de rendimiento externa como un referente parala valoracion de portafolios.La adopcion de parte de un paıs de una curva de rendimiento de otro, implica que los cambiosde estado de cada economıa afecten ambos mercados.

Pero cambios en la polıtica fiscal de El Salvador no tiene efectos significativos en el mercado de

Estados Unidos. Ver


Conclusiones

La curva de rendimiento es un instrumento que contribuye a transparentar elmercado de capitales como a ampliar la participacion de diferentes agentes enel; por ello, su divulgacion de forma periodica es una practica habitualemprendida por institutos financiero publicos o privados alrededor del mundo.Este trabajo presenta y aplica una metodologıa para obtener curvas derendimientos de tıtulos publicos para El Salvador, con el objeto de servir deuna herramienta para que el BCR divulgue su resultado de manera periodica.

La metodologıa aplicada es la propuesta por Nelson y Siegel (1987), el cualexige para la consecucion de un instrumento con suficiente robustezestadıstica, acompanar la divulgacion de las curvas de rendimientos de tıtulospublicos con otras acciones que fomenten una mayor profundidad y liquidezen el mercado de renta fija soberana. Unas de estas acciones es implementarun programa de creadores de mercados similar a la experiencias ejecutadas enEspana, Peru y Colombia.


Conclusiones

Las estimaciones semanales de curvas de rendimientos de tıtulos publicospara El Salvador, realizadas entre el 6 de enero y el 12 de septiembre 2014,muestran un cambio importante en sus formas a partir de la semana del 28de abril al 2 de mayo 2014 anticipando el anuncio del Gobierno de un mayorendeudamiento y cambio en el plazo de su deuda.

La curva de rendimiento y forward podrıa contribuir al analisismacroeconomico prospectivo, para esa utilidad se advierte la necesidad derealizar un modelo de premio de liquidez como complemento.


MUCHAS GRACIAS

Luis Ortiz [email protected]


mailto:[email protected]

Bibliografıa

Bank for International Settlements (BIS) (2005). ((Zero-coupon yieldcurves: technical documentation)). BIS Papers 25, Bank for International Settle-ments.

Harris, Richard D F (2001). (( The Expectations Hypothesis of the TermStructure and Time-Varying Risk Premia: A Panel Data Approach)). OxfordBulletin of Economics and Statistics, 63(2), pp. 233–45.

Nelson, Charles R y Siegel, Andrew F (1987). ((Parsimonious Modeling ofYield Curves)). The Journal of Business, 60(4), pp. 473–89.

Shiller, Robert J.; Campbell, John Y. y Schoenholtz, Kermit L.(1983). ((Forward Rates and Future Policy: Interpreting the Term Structure ofInterest Rates)). Cowles foundation discussion papers, Cowles Foundation forResearch in Economics, Yale University.

Waggoner, Daniel F. (1997). ((Spline methods for extracting interest ratecurves from coupon bond prices)). working papers, Federal Reserve Bank ofAtlanta.


Grafico 1 : Ilustracion de Curva de Rendimiento

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Cuadro 1 : Modelos aplicados en la estimacion de curvas de rendimientos por BancosCentrales de algunas economıas desarrolladas

Banco Central Metodo de Estimacion

Belgica Nelson-Siegel o SvenssonCanada Merrill Lynch Exponential SplinesFinlandia Nelson-SiegelFrancia Nelson-Siegel o SvenssonAlemania Nelson-Siegel o SvenssonItalia Nelson-SiegelJapon Smoothing SplinesNoruega SvenssonEspana Nelson-Siegel y Svensson*Suecia Smoothing Splines y SvenssonSuiza SvenssonReino Unido Splines metodo Waggoner (1997)Estados Unidos Smoothing Splines

Nota:* Espana utilizo el metodo NS antes de 1995, luego utilizo el metodo de Svensson.

Fuente: Bank for International Settlements (BIS) (2005), pag. 11 y 12.

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Cuadro 2 : Indicadores del mercado de capitales y de inversores institucionales en ElSalvador y un conjunto de paıses

Mercado de Capitales

Indicadores El Salvador Costa Rica Panama Chile Colombia Mexico PeruNumero de Companıas Listada en Bolsa 2012 64.0 9.0 25.0 225.0 76.0 131.0 213.0Capitalizacion del mercado de valores / PIB( %) 2012 45.0 4.5 34.6 116.1 70.9 44.6 47.5Valor total de acciones negociadas/PIB( %) 2012 0.2 0.1 0.3 17.3 7.0 10.0 2.4Cartera de activos de renta variable/PIB( %) 2011 4.9 0.8 0.7 43.7 n.d. n.d. 10.0

Inversores Institucionales

Indicadores El Salvador Costa Rica Panama Chile Colombia Mexico PeruVolumen de primas por seguros de vidas/PIB( %) 2010 0.8 0.2 0.8 2.2 1.0 0.9 0.7Volumen de primas por seguros no de vidas/PIB ( %) 2010 1.9 1.6 2.1 1.4 1.1 0.8 0.7Activos de companıas de seguro/PIB( %) 2010 25.5 6.1 5.6 19.7 5.5 4.2 4.0Fondo de pension/PIB( %) 2011 26.4 8.7 7.6 58.5 17.8 10.9 16.7

Fuente: Economic Data of Federal Reserved Bank of St. Louis y Superintendencia del Sistema Financiero de El Salvador.

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Cuadro 3 : Activos de bancos e instituciones de inversion de El Salvador

2010 2011 2012 2013

Activos de bancos (US$ millones) 12,936.1 12,840.0 13,432.0 14,259.9Activos de bancos ( % del PIB) 61.0 54.7 58.3 59.9

Composicion de activos bancarios ( % del total de activos)

Depositos 13.0 12.2 13.1 12.9Tıtulos del Gobierno 13.2 13.8 13.1 11.4Bonos corporativos 3.09 1.77 1.71 1.45Credito 62.2 65.2 66.4 67.6Acciones - - - -Instrumento de deuda externa 3.90 1.92 1.25 1.88Otros 4.9 4.9 4.5 4.2

Activos de fondos de pensiones (US$ millones) 5,688.2 6,181.4 6,863.4 7,397.6Activos de fondos de pensiones ( % del PIB) 26.8 26.4 29.8 31.1

Composicion de activos de fondos de pensiones ( % del total de activos)Depositos 17.5 13.6 9.5 9.9Tıtulos del Gobierno 81.5 82.3 83.3 81.2Bonos corporativos 0.9 0.8 0.7 0.7Acciones - - - -Instrumento de deuda externa 0.1 3.2 6.4 8.1

Activos de companıas de seguros (US$ millones) 625.3 628.5 663.5 724.4Activos de companıas de seguros ( % del PIB) 2.9 2.7 2.9 3.0

Composicion de activos de companıas de seguros ( % del total de activos)

Depositos 51.4 50.8 62.4 77.4Tıtulos del Gobierno 34.1 39.4 41.8 37.6Bonos corporativos 9.0 14.2 17.0 19.8Acciones 0.4 0.5 0.4 1.6Instrumento de deuda externa 5.1 6.5 4.7 4.1

Fuente: Superintendencia del Sistema Financiero de El Salvador.

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Cuadro 4 : Caracterısticas de los instrumentos publico de renta fija en El Salvador

Instrumentos Emisor Terminos Cupon Funcion

LETES Ministerio de Hacienda (MH) 3, 6, 9 y 12 meses Cero Necesidades temporales de liquidezCENELI Banco Central de Reserva (BCR) 12 meses Cero Necesidades temporales de liquidez

Bonos del BCR BCR Maximo. 5 anos Libor + spread Necesidades temporales de liquidezBonos del MH MH 3, 5, 7, 10 anos Fijo Financiamiento del Gobierno

Eurobonos MH 18, 25, y 30 anos Fijo Financiamiento del Gobierno

Fuente: Bolsa de Valores de El Salvador.

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Cuadro 5 : Importancia del mercado de Repos en El Salvador

2010 2011 2012 2013

Total de Transacciones de Repo (US$ Millones) 1,772.9 2,234.8 1,876.9 1,990.9Total de Transacciones de Repo/Total de Transacciones en la BVES ( %) 68.4 62.9 54.9 62.9Total de Transacciones de Repo/PIB ( %) 8.4 9.5 8.1 8.4Transacciones de Repo con instrumentos publicos (US$ Millones) 1,599.0 2,194.6 1,807.9 1,826.1Total de Transacciones de Repo con instrumentos publicos/PIB ( %) 7.5 9.4 7.8 7.7Numero total de operaciones 5,930 6,017 5,786 4,973Dıas de operaciones 248 252 251 250Valor de transacciones promedio diario (US$ Millones) 7.1 8.9 7.5 8.0

Fuente: Bolsa de Valores de El Salvador.

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DemostracionSi partimos de:

pb(t,m) = −my(t,m) (1)

r(t+ 1,m) = pb(t+ 1,m− 1)− pb(t,m) (2)

Al sustituir 1 en 2 tenemos:

y(t,m) =m− 1

my(t+ 1,m− 1) +

1

mr(t+ 1,m) (3)

Analogamente tenemos que:

y(t,m− 1) =m− 2

m− 1y(t+ 1,m− 2) +

1

m− 1r(t+ 1,m− 1) (4)

Adelantando un perıodo tenemos:

y(t+ 1,m− 1) =m− 2

m− 1y(t+ 2,m− 2) +

1

m− 1r(t+ 2,m− 1) (5)

Sustituyendo en 3 tenemos:

y(t,m) =m− 2

my(t+ 2,m− 2) +

1

m(r(t+ 2,m− 1) + r(t+ 1,m)) (6)

Repitiendo este procedimiento tenemos:

y(t,m) =1

m

m−1∑i=0

rt+1+i,m−i (7)

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Grafico 2 : Curva de rendimiento simulada

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Cuadro 6 : Estimaciones de las tasas de rendimiento de largo plazo e instantanea en laaplicacion del modelo NS

Estimacion Semanas lımm→∞

y(t,m) lımm→0

y(t,m) Desviacion Estandar

1 del 6 al 10 de Enero 8.1 % 2.8 % 8.63 del 20 al 24 de Enero 7.0 % 0.8 % 30.05 del 3 al 7 de Febrero 8.3 % 2.8 % 15.57 del 24 al 28 de Febrero 8.3 % 1.8 % 7.29 del 10 al 14 de Marzo 7.1 % 0.6 % 18.511 del 31 de Marzo al 4 de Abril 7.5 % 1.9 % 9.613 del 21 al 25 de Abril 7.0 % 2.1 % 21.815 del 5 al 9 de Mayo 10.1 % 3.6 % 0.817 del 19 al 23 de Mayo 8.2 % 3.8 % 1.019 del 2 al 6 de Junio 8.3 % 3.7 % 4.121 del 16 al 20 de Junio 7.6 % 3.3 % 4.823 del 30 de Junio al 4 de Julio 7.0 % 2.8 % 10.125 del 14 al 18 de Julio 7.1 % 2.1 % 8.227 del 28 del Julio al 1 de Agosto 6.8 % 1.7 % 13.029 del 8 al 12 de Septiembre 6.5 % 1.8 % 7.3

Fuente: Elaboracion propia.


Grafico 3 : CURVAS DE RENDIMIENTOS ESTIMADAS 1 DIA A 2 ANOS

Fuente: Elaboracion propia.


Grafico 4 : CURVAS DE RENDIMIENTOS ESTIMADAS DE 2 A 30 ANOS

Fuente: Elaboracion propia. Regresar


Grafico 5 : Tasa forward estimada (eje Y) vs. rendimiento de reportos contıtulos del Gobierno de El Salvador de 1 a 7 dıas, desde el 13 de enerohasta el 21 de marzo del 2014

Fuente: Elaboracion propia. Regresar


Grafico 6 : Spread anterior y posterior al 28 de abril 2014 y diferenciasde los tıtulos del Gobierno de El Salvador respecto a tıtulos delGobierno de Estados Unidos

Fuente: Elaboracion propia en base a estimaciones propias y Daily Treasury Yield Curve Rates; U.S. Department of the Treasury. Regresar


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