12

II. Organización de la clasea) Apertura

Sesión 1

Énfasis en

Esta sesión tiene como propósitos que los alumnos:

examinen, con el análisis de algunas situaciones, la necesidad de modelar por medio de ecuaciones problemas concretos.

revisen algunos modelos propuestos para resolver diversos tipos de problemas.

1. Para iniciar, exponga a los estudiantes el tema del proyecto del bimestre: Construyo un reloj solar, páginas 6 y 7.

a) Plantee el objetivo del proyecto: valorar cómo influye en su vida cotidiana el uso de mecanismos precisos para medir el tiempo, por ejemplo, relojes, teléfonos, iPads o computadoras. Solicíteles que comenten algunas de las implicaciones de utilizar un mecanismo antiquísimo, como el reloj solar, y llevar a cabo actividades cotidianas actuales.

b) Lea y comente las páginas 6 y 7. Explore con el grupo los códigos QR de la página 7.

c) Aclare los conceptos que desconozcan los alumnos.

d) Explique que, al concluir el proyecto, elaborarán gráficas que representen la eficiencia del reloj solar.

2. Durante la sesión, los alumnos trabajarán con la situación inicial de la secuencia, “El huerto de la señora Hernández”, y con la sección “Nuestro trabajo” de la página 8. También resolverán el primer ejercicio de la sección UNO × UNO, página 14.

a) Lea las preguntas planteadas y repase con el grupo los conceptos matemáticos involucrados: notación, variable, ecuación, incógnita, factorización, etcétera.

b) Pregunte cuál es el siguiente paso después de encontrar la solución de un problema matemático. Guíelos para que se den cuenta de que es necesario interpretar el resultado de la expresión matemática resuelta, para aplicarlo a la situación planteada inicialmente.

c) Utilice el final de la sección “El huerto de la señora Hernández” para comparar las diferencias entre las ecuaciones. Pregúnteles cuáles consideran fáciles de resolver y por qué.

3. Para finalizar, revise con el grupo el ejercicio 2 de la sección UNO × UNO, página 14. Aclare las dudas que surjan sobre la actividad y déjela para resolver de tarea.

p. 8

Recursos

13

http://bit.ly/1n3qduL

En el siguiente enlace los alumnos encontrarán una definición del reloj solar.

http://bit.ly/1baGSBD

En el siguiente enlace los estudiantes encontrarán

información acerca de la latitud en que se ubica la ciudad

donde viven.

http://bit.ly/1n3qduL

D

Ecuaciones no linealesenacEc e no in a1Bim

estr

e 1 Secuencia

El huerto de la señora Hernández1. Reúnete con un compañero, lean la situación que se plantea y respondan en

sus hojas de cuaderno. Justifiquen sus respuestas.

La señora Hernández decidió hacer un huerto rectangular en su jardín y, aprovechan-do los 50 m que tiene de malla de gallinero, quiere cercarlo. Quiere que el huertotenga un área de 144 m2 para poder plantar sus hortalizas, pero necesita saber cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo, es decir, su largo y su ancho de tal maneraque satisfagan ambas condiciones. Ayúdenle a resolver el problema.

Si llamamos x al largo del rectángulo y x y al ancho, ¿qué expresiones algebraicas ypermiten representar el perímetro y el área del huerto?En la expresión para el perímetro, escriban el valor de y en términos dey x.Si sustituyen la expresión anterior, ¿cuál es la expresión para el área del huerto? Utilicen lo que saben para obtener una ecuación. ¿Cuál es la incógnita de la ecuación? ¿Qué diferencia hay entre la ecuación que encontraron y las ecuaciones con lasque trabajaron en grados anteriores?Utilizando la factorización, ¿es posible escribir la ecuación que encontraroncomo (x – 9)(x x – 16) = 0?x¿Qué se puede decir de los factores de un producto si se sabe que este es cero?¿Cuánto deben medir el largo y el ancho del huerto de la señora Hernández?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas. En grupo comenten las dife-rencias entre las ecuaciones 0 = –2x + 50 y (x x – 9)(x x – 16) = 0. Anoten los acuerx -rrdos en sus hojas de cuaderno.

A lo largo de las actividades, encontrarán formas de resolver ecuaciones como la anterior. Antes, lean la información del proyecto que realizarán durante lasecuencia.

ContenidoResolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedi-mientos personales u operaciones inversas.

En equipo de tres integrantes diseñarán y armarán tres cajas, sin tapa.

Las cajas serán elaboradas con cartón o cartulina pintadas de distinto color.Deberán indicar la medida de ancho, largo, altura, área de la base y volumen.Decidirán para qué podrían utilizarse según sus dimensiones, por ejemplo,para lápices en el escritorio, pañuelos desechables, cuadernos, etcétera.Al terminarlas, realizarán una exposición dentro del salón de clases.

Más adelante encontrarán indicaciones adicionales para elaborar su proyecto.

Nuestro trabajo

icnce1 ueccu nio

aaSaa ne

tr S

8

Pla

neació

nIn

icio

2) A = x(25 − x)A = 25x − x2

3) Respuesta Modelo (R. M.)Que alguno o los dos factores son igual a cero.

4) R. M. Largo = 16 m, ancho = 9 m

1) 2x + 2y = 50,

y = (50 – 2x)2

= 25 − x

1)

2)

3) 4)

Perímetro: 2x + 2y. Área: xy

25x − x2 = 144; La incógnita de la ecuación es el largo del rectángulo.

R. L. (Respuesta Libre)

Sí

14

Ecuaciones de segundo grado 1 Observa la figura y completa las oraciones.

La figura representa un terreno de forma cuadrangular de m2

de

Los lados del terreno se determinan la que se

emplea para encontrar de un cuadrado: A =

En la figura anterior, la longitud de los lados está representada por la literal

y para hallar su valor numérico debe escribirse la fórmula para el

área del cuadrado en términos de esta literal:

Si sustituimos los datos del terreno, se obtiene la ecuación ,

que es una

2 Encierra las ecuaciones que tienen solo dos soluciones.

x 4 = −8x 3

10 = 10

x = x x 2 − 62x = 6

(x + 1)xx 3

= 5 x + 4x = −4

x 2 − 8 = 10 + 7 x 2 −18 = x −18

A partir de la actividad anterior, responde.

¿Qué ecuaciones son polinómicas de primer grado?

¿Cuáles son ecuaciones polinómicas de segundo grado?

¿Cuáles son las dos ecuaciones no polinómicas?

x

x

16 m2

16

área.

despejando

ecuación cuadrática.

x + 4 = – 4

Las ecuaciones x = x 2 – 6, x 2 – 8 = 10 + 7, y x 2 – 18 = x – 18

(x + 1)x 3

= 5; 2x

= 6

el área

x

A = x 2

x 2 = 16

L L

fórmula

R. M.

ProyyyecctooConnnsttruuyooo uun rrreellooj solaaarEn la actualidad, es casi imposible hallar un lugar sin aparatos que nos permitan saber el transcurso exacto del tiempo. ¿Te has percatado de que todas nuestras actividades, en algún momento del día, dependen de la hora en que nos encontramos?

¿Cómo te sentirías si no tuvieras relojes u otros dispositivos para saber el momento en que debes desempeñar tus actividades? ¿Qué tan consciente serías del transcurso del tiempo si no pudieras medirlo con exactitud?

¿Qué tan complicados te parecen los aparatos que ahora llevamos con nosotros para saber la hora exacta (relojes de pulsera y celulares, por ejemplo)? ¿Y los fijos (como los relojes de pared)?

Este bimestre te invitamos a construir un reloj solar del tipo ecuatorial. Luego de hacerlo y practicar con él, registrarás si te fue útil para desarrollar tus actividades o si te ocasionó inconvenientes.

Para terminar, elaborarás una o varias gráficas, utilizando una hoja de cálculo, para mostrar tus resultados a tus compañeros.

6

oPrP o

7

Las Laas clavclavavclaves deses des del plel proyeroyeroyeroyectoctotctoctoto ObsObservObsbservbservObservObservrvvaaaaa los e los e los e los eeee los loos sspaspacioaciospa os librs librs libribres de es de es des de tu esctu esctu etu e uela, uela, a, casa casaccasa y demásdeemásmás lu lugarugar l res donees de ddesarrdeesdesarrolleololles olles o ttutus acus act ctividatividavidades y des y des y des y aproveaprovaproveaprovecha loha locha loo q que eue eq studieudiedies en ls en ens en len a sesecusecua a encia enc a 1 para1 para simplimplisimplipl ficaficacarlcarloficarloc rlrlos en fis en figuras gurasg geométgeométométmétricasricas ricasas sencilsencilsencilnc las, clas, cs, ccomo cuomo cuomo cuo adriláadriláadriláteteroteros.s Considera era elrecorecorrorrrido deido deeeido dellll Sol para bba bbara buscar uscar ar ar scar los eslos elos eslos espapapaciospacios librelibreres más s máss más adecuaadecuaadecuaa dodos.os.

ReflexiReflexiRReflReflexx onaonna sobresobre la pee la rtinenrtinennencia dcia ddea dea losos mos modelodelosodelososo de re de re de re loj quloj quloj quloj q e te pe te p proproporoponddo remos emm constrruir. uPara eeParaa llo, llo, fllo, ffabricaabricaabricaab unouno yo y aplic apl ca lo qqqque ue e ape apraprrendas endas ndanda duranduranuranturantntte lase las a secsecuencuencias 2cias s , 3, 43 4 y 5 p y 5 p5 ppara a ar analizanaliza alaa ar el ar el r ea e funciofuncfunciounciou nanamienmienmiennaam to y lto a faciacicifa liddad ad lil de usode usoouso.

MejoMejoMejorMMejoraMejo aMejorMejoraejorae o tu reutu re tu reee tu reu reloj loj soloj solar, hlar, hazlo aaz o gregangre do odo o qo o qo uitanduitanduitanduitando los o los oo elemenelemenelemenmentos qutos quost e creae creae c s convs convs convvenientenienteenie e. e.ePorPor ejPor er ejPorPorPoror eor e emplo,emploemplo,mp susti susustituye etuye ee l matel matemat rial drial donde mnde mde mondo ararcas las lílas l neas dneaneas da e las e las e l horas horas ss para qpara qara ue estue este este as asas apupupueuedaedanpuupp trazatrazatra rse dse dderse de mejor mejorm manerra, a, mod modmododifica eifica eca el tamal l tam ño de ño tu relu relu reltu loj paroj paoj paroj p a que a queque loolos seos sectoresctoreoresesre circircirculcircuccirculares qares qqqqque apaue apauue apau recen recen cen rec permpermitmp an ln leeeeerr adadecadecr uadamuadamdamedamente lante late late l hora,hora,ora cambiambimam a el ga el gel gl nomonnomon onn para para aququeue lue laqq a sombr sombra queque quee proproyecproyecyeceye ta seata sea más f más fmásss ácil dácil dl e leere leereereer...

PPractiPractPractiPracractctiPractiPPPPPPPrPracPPP acct cacaa con tcon con ttu reu relorelou rrrr j solaj solaso r paraparr para identidententificar ificar iifi qué requé reé requé relaciónlaciónaciónació t tienetiene t n las n las n lan las horas horas que mque mque maae m rca corca con n las dlas delas deasass dddas dees dlaas delas de la ho la oorara ofica oficficr ial deial del lugal lugar dor dondnde viveves.s.

RegisRegisRegistRegistRegistgistRegisegR gggg rara de mo de mome mm do cuado cuacualitatlitatlitatiaataa vo la la utilididdad qued que quead que posee posee posee posee el u el usl us el uso de to deo deo de tu relreloeloj solaj solaj r en tr en ttrr uus usactiviactiactiviactivactttactivctiviacactaa tiv dades dddades coccotidicoticotidic anaanas.nas. ParaPPPara eara eara era ello, hllo, hllolo haz un az unaz u reregregistregistro de ro dero de d una seuna seuna seuna semana ymana ymana ymana y valídvalíd valíd valídalo coalo coaalo con el qn el qn en el que ueuhagas haghagas agagashagas ashaggash en len lasen llaslasee dos s dos sdos ss ss igiguieniguientes.testestes.te

ElaborElaborEEElaborlaborboraborborE aborbboa oabobo aaaaaaa unauna ouuna ouu ununa ou varia variaiariiaas gráfis gráfis grs gráficas, dcas, ddcas, dcas de acuee acuee acuee ac rdo cordo codo codo coon tus n tustun tus registegistregistegistros deros deros deos uso uso yo yo y lo quo qu lo qu lo que apree apre apreaprendenderásderáserásá enen la secusecusecuesecuenecuencusecuensecuenensecuesecsecuensecuensecuensecue cia cia ccia cia 7cia 7.7..ccia 7cia ciia 7.7c Toma ToToma omao en cuen cuenta lata lata latataa impor imporpori tatanciaciciia de se de sed leccioleccioeccicc nar y ar ar exponnneponer en r en fr en fr en forma aormarma ao decuaddecuuadaa la inla infla infinfia infnfla a infla infinfa nna oormaormaorormaciciormaciiormaormoo aor ón parón parón n arón ónó ara que a quea que eeue loos des des dedes deloloos más pumás puá edan iedan an iidan nterprterprperp etarlaetarlarlla tan bbn ien coen coomo tú.mo tú.mo túmo tú

EscaneEscanescaneEscaEscaneea ea el ca el ca el ca el aa el ódigo y reviy revisa la sa la descridescripción pción de losde lo relojrelo es solares, desddesde desde dd ddesdedesde ssu su su oriorisu osusu gengen haasta lasta la actua actuau lidadlidad.

EscribEscEscribriiEscribi e por e por por orpor qué crquq ees quque un be un buen couen mienzomienzo para par converconvertirte tirten toden toden to o un o un co un co un cn cnn co onstructor dde reloe relojes sojes lares es elaes elae borar b uno deuno de tipo etipo epipo ecuatorcuatorcua oro iial.iaiai

EscanEscaneEscaneEscanEscanEscanean a el sa a el sa egundoegundundoegundoundoeg códigcódigcódig códccód o y buo y bub sca lasca la latit latita ud en ud en n la quela queq se ub se ubica ila ciulala ciuula ciuc dad doddad dodad dodad donde vidndende vie vves, yyes, ya que a qu es un es un u dato qdato qa ue nece nece ne esitaresitarás pars a conoceconconconconocer el ár el ár el ár ngulo ngulo ngulo l de incde inceede idede ie linaciacacaacclin ón deln delón deónn gnomo gnomog n de tn de tu relou reloreloj solaso r.

AnotaAnota Anota Anota la latla lat latatitud ditud ditud du e tu ce tu cu iudad i ai a conta contn inuacinu ónón.n.

http://bit.ly/1baGSBD

http://bit.ly/1n3qduL

Respuesta Libre (R. L.)

R. L.

14

b) Desarrollo

Sesión 2

Énfasis en

Esta sesión tiene como propósitos que los estudiantes:

revisen distintas formas en las que aparecen ecuaciones de segundo grado. analicen diferentes situaciones que se modelan con ecuaciones cuadráticas.

1. Para iniciar la sesión, revise con el grupo el ejercicio 2 de la página 14, que dejó de tarea.

a) Solicite a los estudiantes que planteen sus ideas y dudas acerca de cómo identificar una ecuación cuadrática.

2. Pida a los alumnos que resuelvan y respondan la sección “Ecuaciones de segundo grado” de la página 9. Al terminar, deberán resolver el ejercicio 3 de la sección UNO × UNO, página 15.

a) En el caso del problema en el que deben calcular la medida del lado del cuadrado cuya área es de 36 cm2, no induzca a la obtención de la raíz negativa, los propios estudiantes deberán deducirlo.

b) Cuando revise las respuestas, solicíteles que planteen otras ecuaciones con las que puedan resolver los problemas planteados.

c) Considere la pertinencia de llevar a cabo una breve discusión sobre cómo resolver el ejercicio 3 de la sección UNO × UNO. De esta manera, pueden surgir diversas ideas que todos aprovechen al formular las situaciones problemáticas.

3. Para finalizar, organice una reflexión grupal sobre el trabajo realizado durante la sesión.

a) Guíelos para que reconozcan las dos perspectivas con las que trabajaron: plantear una ecuación de segundo grado para resolver una situación particular; en contraposición, plantear una ecuación cuadrática para representar diversas situaciones.

b) Si lo considera conveniente, solicite que, de tarea, describan algunas situaciones que se puedan resolver mediante ecuaciones cuadráticas.

c) Pídales, también como tarea, que revisen la información de la sección “¿Cómo vamos?” de la página 11, para que consoliden el trabajo de su proyecto de la secuencia.

p. 9

Recursos

15

En el siguiente enlace los alumnos encontrarán una aplicación para resolver y comprobar ecuaciones lineales y cuadráticas.

http://tinyurl.com/rbj3w

En el siguiente enlace los alum

9

Desa

rrollo

Ecuaciones de segundo grado

2. Antes de trabajar en las cajas, realiza con un compañero las actividades:

Representen los enunciados mediante una ecuación e identifiquen el valor de laincógnita.

El número x tiene la propiedad de que el producto del número que le precedex y

el número que le sigue, es igual a 24. x =x

Si al cuadrado de un número x se le resta el mismo número se obtiene 12. x

x = x

El doble del área de un cuadrado de lado x es igual a 32. x

x =x

¿En qué se diferencian estas ecuaciones de las que han resuelto anteriormente?

Si consideramos que y representa un número desconocido, planteen una situaciónysimilar a las anteriores, para cada una de las ecuaciones.

y 2 + 5 = 6y :

(y – 5)(y y – 4) = 3y y :

2y 2 y =y y + 4: y

Si saben que el área de un cuadrado es de 36 cm2, escriban una ecuación que re-presente esta situación y utilícenla para encontrar la información.

¿Cuánto vale cada uno de sus lados?

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

¿Todas esas soluciones son útiles en el problema planteado? Justifiquen su

respuesta.

Escriban una ecuación que represente la situación: si a un número n lo elevamos al ncuadrado y le restamos 25, el resultado es cero.

¿Cuáles números satisfacen la condición dada?

¿Qué semejanzas y diferencias encuentran entre los dos últimos problemas

planteados?

¿Cuántas raíces cuadradas tiene un número positivo?

¿Cuáles son?

Comenten sus respuestas con sus compañeros y valídenlas con el profesor.

http://tinyurl.com/rbj3w

(x + 1) (x − 1) = 24 5 y −5

x 2 − x = 12 4 y −3

2x 2 = 32

R. M. El doble producto del cuadrado de un número menos el

x 2 = 36

6 cm

n2 − 25 = 0

5 y −5

Dos

Dos

4 y − 4. El valor que toma la solución es 4 por tratarse del área de un cuadrado.

R. M. En que tienen dos valores como solución.

No, porque el valor negativo −6 no representa una distancia.

R. M. El cuadrado de un número más cinco unidades es igual al

Los números positivos y negativos que cumplen con la raíz, los

R. M. Que las soluciones de la ecuación se utilizan dependiendo el

R. M. El área de un rectángulo con lados (y− 5) y (y − 4)

es el triple de y.

contexto del problema.

cuales son simétricos a excepción del cero.

séxtuple de ese número.

mismo número, es igual a cuatro.

15

En distintos contextos3 Escribe una situación problemática que pueda representarse mediante las

siguientes ecuaciones en los contextos indicados.

Geometría

x 2

2 = 12x

Gastronomía

c (c c + 4) = 12c

Finanzas

p 2 –9p = 0p

Ciencias

g t 2

2 = 80

Soluciones de ecuaciones4 Une la ecuación de segundo grado con sus dos soluciones.

5 Desarrolla la expresión para que aparezca el término cuadrático. Después,ordena los términos de acuerdo con su grado.

Expresión Expresión desarrollada Expresión ordenada

x (x x 4) 9

2x 2 4xx 2x 2

x2 (x 10) 0

1 4x 2 + x − 2 = 0x

5 7

8 5

7 2

x 2 – 49 = 0

x 2 – 10x + 25 = 0x

x 2 + 4x – 32 = 0x

La mitad del área de un cuadrado es igual a tres veces el valor de su perímetro.

La cantidad de un ingrediente multiplicado por el resultado de agregar cuatro unidades a esa misma cantidad, es igual a doce unidades.

El cuadrado del precio de un producto menos nueve veces ese precio, es igual a cero.

El tiempo que tarda en caer un objeto de una altura de ochenta metros.

x 2 – 4x = 9 x 2 – 4x – 9 = 0

2x 2 + 4x = 2x 3 x 3 – x 2 – 2x = 0

x 2 + 10x = 0 x 2 + 10x = 0

R. M.

16

Sesión 3

Énfasis en

Esta sesión tiene como propósito que los menores reafirmen el análisis de problemas y su modelación mediante ecuaciones, en particular, las posibles respuestas que pueden encontrar a partir de una ecuación de segundo grado.

1. Para iniciar, plantee a los estudiantes algunas preguntas, por ejemplo: ¿Qué tipo de ecuaciones revisaron la sesión anterior? ¿Son más fáciles de resolver que las ecuaciones lineales? ¿Qué tipo de problemas pueden resolverse con tales ecuaciones?

a) Invítelos a compartir sus resultados, pida que argumenten las respuestas de las preguntas y el uso de las soluciones de las ecuaciones.

2. Solicite que desarrollen la sección “En distintos contextos”, página 10, y al terminar, los ejercicios 4, 5 y 6 de la sección UNO × UNO, páginas 15 y 16.

a) Se espera que los estudiantes determinen que no siempre las dos soluciones de las ecuaciones cuadráticas resuelven los problemas de los cuales se obtuvieron.

b) Organice una discusión con respecto a las preguntas: ¿Qué significa la raíz negativa en el contexto de cada problema? ¿Nunca es solución? ¿De qué depende que sí lo sea?

c) Aproveche el contexto del trabajo realizado en clase para pedirles que comenten procedimientos rápidos para resolver ecuaciones cuadráticas. Resalte los métodos iterativos, vinculándolos con los procesos que siguen los programas de computadora (software) para realizar la misma tarea.

d) Revise con los estudiantes las soluciones de los ejercicios de la sección UNO × UNO, páginas 15 y 16.

3. Para finalizar, revise los problemas de la actividad 4, sección “Tareas”, de la página 10.

a) Considere que, en estas situaciones, solo se solicita que planteen la ecuación; sin embargo, si algunos alumnos las resuelven, comente las soluciones con el grupo.

b) Organice a los equipos para que continúen con su producto final. Dígales que desarrollen la actividad 5, sección “¿Cómo vamos?”, página 11.

pp. 10 y 11

Recursos

17

16

6 Completa el cuadro con las expresiones matemáticas que se muestran y anotala explicación del procedimiento que les corresponde.

x 2 = 16

x 2 + 4 – 4 = 20 – 4 x1xx = 4; x 2 = −4 x 2 = 16

Expresiones matemáticas Explicación del procedimiento

x 2 + 4 = 20

Se resta 4 a cada miembro de la igualdad,ya que es la operación inversa de la suma.

x 2 + 0 = 16

Se obtiene una igualdad más sencilla.

Se aplica la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación para determinar el valor de x.

x =x 4

Son las dos soluciones de la ecuacióncuadrática.

7 Analiza la información. Luego, calcula el valor positivo que satisface la Aecuación y anota una interpretación con base en lo que leíste.

Para calcular la posición vertical de un objeto que se deja caer desde unaaltura de 75 m, se usa la ecuación h = −5h t 2 + 75, donde h se mide en hmetros y t en segundos. En esta ecuación, el tiempo se empieza a medirtjusto cuando se deja caer el objeto.

Ecuación cuadrática Solución positiva Interpretación física

−5t 2 + 75 = 70

−5t 2 + 75 = 37.5

−5t 2 + 75 = 5

−5t 2 + 100 = 95

x 2 + 4 – 4 = 20 – 4

Es la ecuación que deseamos resolver.

Se simplifican los términos semejantes.

Se obtiene la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad.

x 2 = 16

x 2 = ± 16

x1 = 4; x 2 = −4

t1 = 1

t1 = 2.7

t1 = 3.7

t1 = 1

El tiempo que tarda un objeto en caer 5 m desde 75 m de altura.

El tiempo que tarda en recorrer un objeto la mitad de la altura (75 m).

El tiempo que tarda un objeto en llegar a 5 m del suelo, desde 75 m de altura.

El tiempo que tardaría un objeto en recorrer 5 m, si se deja caer desde 100 m de altura.

R. M.

10

En distintos contextos

3. Resuelve individualmente las actividades. Escribe una ecuación que represente cada situación y encuentra la o las soluciones.

El producto de un número por otro, que es 10 unidades menor, es −24:

Solución o soluciones:

El cuadrado de la edad de Jorge más uno, es igual a 10.

¿Cuáles son las soluciones?

¿Todas las soluciones de la ecuación son soluciones del problema? ¿Por qué?

¿Cuál es la edad de Jorge?

Describe en tus hojas de cuaderno el procedimiento que seguiste para encontrar las respuestas.Discute con el grupo y con tu profesor tus resultados y tu procedimiento. Elijan elprocedimiento más eficiente para resolver este tipo de problemas.

Cuando elevamos un número al cuadrado, el resultado siempre es un número posi-tivo, independientemente de su signo. De este modo si tenemos dos números simé-tricos (7 y –7, por ejemplo), al elevarlos al cuadrado obtenemos el mismo resultado (49). Es por eso que una ecuación donde la variable está elevada al cuadrado puede tener dos soluciones, una negativa y una positiva.

Es importante analizar cada solución para saber si tiene sentido en el contexto delproblema. Por ejemplo, si se habla de edades o distancias, no puede considerarsecomo posible solución un número negativo.

4. Resuelve en tus hojas de cuaderno, utiliza una ecuación para representarcada situación.

La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 85.

¿Qué parejas de números satisfacen la situación?

El área de un rectángulo mide 84 cm2. Si la base es 5 cm mayor que la

altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

El cuadrado de un número más 8 es igual a 129. ¿De qué número se

trata?

Calcula la medida de la base y de la altura de un triángulo, cuya base

mide 3 cm menos que la altura y tiene un área de 35 cm2.

Si a un número le sumas 3 y lo elevas al cuadrado el resultado es 9. ¿Qué

número es? ¿Puede ser otro número?

Si x son los meses que han transcurrido desde que se lanzó un productoó uxal mercado y la cantidad de municipios que lo conocen se define comox 2 + 3, ¿cuántos meses han pasado cuando el producto es conocido en

39 municipios?

4. Resuelve en tus hojas

x (x − 10) = −24 6 y 4

x 2 + 1 = 10

3 y −3

No. Porque no hay edades negativas.

3 años

R. M. Se igualó la ecuación a cero y se factorizó.

x 2 + 8 = 129, el número puede ser 11 o −11

x 2 + 3 = 39, han pasado 6 meses.

1)

2)

3)

4)

1) x 2 + (x + 1)2 = 85. Los números son 6 y −7.

2) x (x + 5) = 84. Las dimensiones son 12 cm de base y 7 cm de altura.

3) x (x – 3)2

= 35. La base mide

7 cm y la altura 10 cm.4) (x + 3)2 = 9. R. M. 0 y −6

cumplen con la condición.

11

x

a

Soluciones de ecuaciones

6. Analicen en pareja las expresiones algebraicas y resuelvan.

x 2 − x = −2x 6x 2 = 864 z (z + 6) = 16z

¿Las expresiones dadas son ecuaciones? ¿Por qué?

¿Cuántas incógnitas tiene cada una? ¿Cuáles son?

¿Cuántas soluciones pueden tener esas ecuaciones? ¿Por qué?

Planteen en sus hojas de cuaderno una situación que se represente con cada unade las expresiones anteriores y encuentren la o las soluciones de estas.Utilicen dos métodos: una estrategia ideada por ustedes y un método de solución que conozcan.Expliquen su estrategia. Una vez que encuentren las soluciones, sustitúyanlas en las ecuaciones para verificar que son correctas.Comparen sus procedimientos y resultados con otros compañeros. Comenten losmétodos que emplearon y valídenlos con el profesor.

¿Cómo vamos?

5. Reúnete con tu equipo para trabajar en la elaboración de sus cajas.

Para diseñar las cajas, consideren que la base de cada caja será cuadraday que su lado está dado por x y su altura es a. Como el modelo que se muestra: Encuentren una expresión algebraica que les permita calcular la cantidad de cartón que necesitan para cada caja.Discutan cómo calcularían la cantidad de cartón que deben emplear en cada caja.Las cajas deberán cumplir con los siguientes requisitos:

Una tendrá altura de 15 cm y necesitan 700 cm2 de cartón para hacerla.Otra tendrá una altura de 15 cm y requieren 350 cm2 de material.La tercera tendrá una altura de 4 cm y necesitan 32 cm2 de cartón.

Escriban una ecuación que represente cada caso, encuentren la o las solu-ciones y determinen las medidas de la base.Anoten en sus hojas de cuaderno el método que utilizaron para calcular ellado de la base (x).xx

¿Cuál es el volumen de cada caja?

Tracen los planos correspondientes a cada caja, recórtenlos, armen sus cajasy decórenlas para la presentación. Decidan qué uso les darán.

Una. Las primeras dos x y la tercera z.

R. M. Dos, porque son de segundo grado.

1)

2)

4ax + x 2

R. M. Se factorizaron las ecuaciones pero no son exactas.

1 500 cm3; 430 cm3; 12.81 cm3

1) a) x 2 + 60x − 700 = 0, el lado de la base es de 10 cm. b) x 2 + 60x − 350 = 0, el lado de la base es 5.35 cm. c) x 2 + 16x − 32 = 0, el lado de la base es de 1.79 cm.

2) La primera ecuación no tiene solución. R. M. El cuadrado de un número menos ese número es menos dos. Para la segunda las soluciones son 12 y –12. R. M. El área de un cuadrado de lado x multiplicada por seis es igual a 864 cm2. Para la tercera, las soluciones son 2 y –8. R. M. El área de una ventana de lados z y z + 6 es 16 cm2.

Sí. Porque una ecuación

R. L.

R. L.

es una igualdad entre expresiones.

18

Sesión 4

Énfasis en

Esta sesión tiene como propósitos que los colegiales:

revisen situaciones concretas que se modelan con ecuaciones de segundo grado. analicen casos particulares en las soluciones de las ecuaciones cuadráticas.

1. Para iniciar, invite a los jóvenes a responder preguntas como: ¿Existen distintos tipos de ecuaciones de segundo grado? Si son diferentes, ¿sus raíces también lo son? ¿La complejidad de un problema indica cómo será la ecuación que lo representa?

a) Después, revise la tarea y proponga a diversos estudiantes comentar las situaciones que plantearon.

2. Solicite a los alumnos que trabajen con la sección “Soluciones de ecuaciones” en las páginas 11 y 12, y luego resuelvan los ejercicios 7 y 8 de la sección UNO × UNO, páginas 16 y 17.

a) Hasta el momento, los estudiantes han resuelto ecuaciones cuadráticas con dos soluciones reales. Pregunte: ¿Creen que todas las ecuaciones planteadas son cuadráticas? Es probable que consideren que la tercera ecuación es lineal; en ese caso, no los corrija y pídales que resuelvan el ejercicio, para que identifiquen el error y lo señalen.

b) Aproveche los ejercicios en que se requiere plantear problemas para que los alumnos utilicen diferentes contextos cotidianos, por pesos y medidas lineales, figuras y geometría, entre otros, que puedan modelarse con ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, la tercera ecuación se puede interpretar como el área de un rectángulo.

c) Después de comentar con el grupo la información del ejercicio 7 de la sección UNO × UNO de la página 16, invite a los estudiantes a discutir sobre cómo se interpretan las ecuaciones.

3. Para cerrar, haga una revisión grupal de las respuestas a la pregunta final del ejercicio 8 de la sección UNO × UNO, página 17.

a) Deje de tarea la actividad 8, sección “Tareas” de la página 13. Tenga en cuenta que son ejercicios de distinta naturaleza; le sugerimos que lo haga notar al comentar los problemas planteados en la sección.

b) Si lo considera pertinente, asigne también como tarea la lectura de la sección “Historias de vida” de la página 13, y la búsqueda de información complementaria.

c) Finalmente, comente a los estudiantes que la siguiente sesión deben presentar ante el grupo sus tres cajas terminadas.

pp. 12 y 13

Recursos

19

17

8 Obtén la solución de las siguientes ecuaciones y escribe tu procedimiento.Después, contesta.

Ecuación Solución Procedimiento de cálculo

3x 2 + 8x = 0x

(x 1) 2 5x4

89 0

x 2 + 1.5x – 2.5 = 0x

¿Tiene alguna ventaja ordenar los términos para calcular con más facilidad la raíz de una ecuación? ¿Por qué?

9 Revisa las ecuaciones e indica cuáles tienen las siguientes soluciones.

x1 = 8 o x 2 = 6

x 2 – 10x + 16 = 0x x 2 – 6x = 72x x 2 – 2x = 48x

Poorrtaafoolio 111Connstrruyyoo unn relooojj sollarPara comenzar, identifica lugares en los que puedas ubicar tu reloj solar.

Observa las áreas despejadas de tu escuela, casa o lugares donde permanezcas una parte importante del día y regístralas a continuación.

Como viste en esta primera secuencia, con una expresión algebraica puedes indicar el área de una figura. Aplica lo que aprendiste y escribe con qué figuras o expresiones identificas las áreas que registraste.

x = 0

x = –1

x = 1

R. L.

R. L.

R. L.

R. M. Sí, porque puede detectarse si es posible factorizar la ecuación para resolverla

más rápido.

R. M.

Las ecuaciones x 2 – 10x + 16 = 0 y x 2 – 2x = 48 tienen como solución x1 = 8;

mientras que x 2 = −6 es solución de las ecuaciones x 2 – 6x = 72 y x 2 – 2x = 48

R. L.

R. L.

12

Las ecuaciones pueden clasificarse según los exponentes de sus variables. Si el ma-yor exponente al que está elevada la variable es dos, se trata de una ecuación de segundo grado, a la que también se le llama ecuación cuadrática.

En general las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones distintas, pero en ocasio-nes, solamente tienen una solución. Por ejemplo, la ecuación (x − 4)2 = 0 tiene como única solución x = 4. En esos casos se considera que la ecuación tiene dos soluciones pero que consisten en el mismo número, se dice que la solución tiene multiplicidad 2.

7. Reúnete con un compañero, lean nuevamente la información del problema de la actividad inicial y resuelvan la actividad.

¿Cuántas soluciones tenía la ecuación: x 2 – 25x + 144 = 0? Argumenten sux

respuesta.

Si la señora Hernández quisiera que el área del huerto fuera de 150 m2, con-

servando el mismo perímetro, ¿cuál sería la ecuación?

Encuentren un método de solución de la ecuación y resuélvanla.

¿Cuántas soluciones encontraron? ¿Todas son soluciones posibles del proble-

ma? Argumenten su respuesta.

¿Cuáles serían ahora las dimensiones del huerto?

La señora Hernández decidió cercar un nuevo huerto con 80 m de malla de ga-llinero, pero duda, entre tres superficies disponibles, cuál elegir: una de 144 m2, otra de 396 m2 o una tercera de 400 m2.

Escriban una ecuación para el terreno de 144 m2 y usen su método de solución

para resolver la ecuación.

¿Cuántas soluciones encontraron para el área de 144 m2? ¿Todas ellas son so-

luciones posibles del problema? Argumenten su respuesta.

Usen su método de solución para resolver en sus hojas de cuaderno la ecuaciónpara el terreno de 396 m2.

¿Cuántas soluciones encontraron? ¿Todas ellas son soluciones posibles del pro-blema? Argumenten su respuesta.

Usen su método de solución para resolver en sus hojas de cuaderno la ecuaciónpara el terreno de área 400 m2.

¿Cuántas soluciones encontraron? ¿Todas ellas son soluciones posibles del pro-blema? Argumenten su respuesta.¿Cuál de los terrenos le recomendarían usar y por qué?

¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones de esta actividad y las ecuacionesy l

lineales que han resuelto en sus cursos anteriores?

Comparen sus métodos de solución y sus respuestas con las de otros equipos. Si tienen dudas, coméntenlas con el profesor.

Dos. 16 y 9 porque (16)2 − 25(16) + 144 = 0 y también

x 2 − 40x + 144 = 0

2)

3)

x 2 − 40x + 396 = 0

x 2 − 40x + 400 = 0

1) 1) 15 cm de ancho y 10 cm de largo ó 15 cm de largo y 10 cm de ancho, cualquiera de estas medidas genera el mismo rectángulo.

2) Dos, 18 y 22. Sí, ambas son solución del problema porque representan los lados del terreno.

3) Una, 20. Sí es solución del problema porque representa el lado del terreno, que en este caso sería cuadrado.

Dos. Sí, porque los valores que cumplen la ecuación

Dos, 4 y 36. Sí,

R. M. Depende de

R. M. Que estas tienen un

Si conserva el mismo

(9)2 − 25(9) + 144 = 0

perímetro, la ecuación es: x 2 − 25x + 150 = 0.

son 15 y 10, lo que significa que el largo del rectángulo puede tomar alguno de ellos.

ambas son solución del problema porque representan los lados del terreno.

sus necesidades, podría ser el de 400 m2 porque ocupa mayor superficie.

término elevado al cuadrado.

20

x

x

4 m2

p. 13

Recursos

c) Cierre

Sesión 5

Énfasis en

El objetivo de esta sesión es que los jóvenes presenten las cajas que elaboraron con base en la interpretación de la información proporcionada; además, que revisen de manera constructiva, el trabajo de sus compañeros.

1. Inicie con una reflexión sobre la tarea. Formule a los alumnos preguntas como: ¿Qué tipo de números encontraron al resolver las ecuaciones? ¿Las respuestas dependen de cómo es la ecuación? ¿Las ecuaciones siempre pueden escribirse de manera ordenada (término cuadrático, lineal e independiente)?

a) Compare cómo se inicia, desarrolla y concluye cada inciso de la tarea. Por un lado, hay ecuaciones por resolver; por el otro, un problema genera una ecuación cuya solución debe interpretarse.

2. Organice al grupo en equipos para desarrollar el ejercicio 9, sección UNO × UNO, página 17. Luego, pídales que trabajen la actividad 9, secciones “Presentación de nuestro trabajo” y “¿Cómo nos fue?”, página 13. a) Coordine la presentación de los proyectos para comparar las estrategias de cada

equipo y solicite que en grupo decidan cuáles resultan más convenientes y por qué.

3. Para cerrar, continúe con el proyecto del bimestre: Construyo un reloj solar.

a) Invite a los jóvenes a leer el texto del portafolio 1 en la página 17. Propóngales que, en los recesos, recorran con sus respectivos equipos las áreas abiertas de su escuela, para identificar dónde pueden instalar sus relojes solares.

b) Adviértales la importancia de identificar las áreas en que la distribución del espacio disponible coincida con el recorrido del Sol.

Evaluación

Cuantitativaa) Proponga a los estudiantes este problema:

El área de un par de habitaciones cuadradas es de 29 m2. Si la menor es de 4 m2, ¿cuáles son las dimensiones de la habitación mayor?

Cualitativab) Invite a los jóvenes a reflexionar acerca del uso que darían a las ecuaciones de

segundo grado para plantear o resolver una situación en su vida diaria.

5 m por lado.

21

13

¿Cómo nos fue?

¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Cuántos métodos distintos para resolver ecuaciones se propusieron? ¿Cuál te pareció el mejor? ¿Por qué?¿Cuál es la relación de tu trabajo al hacer las cajas con la solución de las ecuaciones cuadráticas?¿Qué papel jugaste en tu equipo durante la elaboración del proyecto?

Presentación de nuestro trabajo

9. Reúnanse en equipos para presentar sus cajas al grupo. Expliquen el uso que asignaron a cada una.

Compartan la expresión que escribieron para representar el volumen de las cajas y las ecuaciones correspondientes.Comparen los procedimientos que emplearon para resolver las ecuaciones.

¿Todos usaron el mismo procedimiento? ¿Cuál resultó más adecuado?¿Son iguales las cajas de todos los equipos? ¿Por qué?

En grupo comenten sus experiencias y registren sus conclusiones acerca del con-tenido trabajado en la secuencia.

8. Resuelve las actividades.

Encuentra las soluciones de las ecuaciones.

(x 2 – 9)10

= 4 x 2 – 3x = –x 2

Un ingeniero agrónomo asegura a un hortelano que obtendría mayor ren-dimiento de un pequeño huerto de manzanas si añadiera 40 árboles a losque hay actualmente. Ha calculado que si planta x árboles, la producción de xtoneladas de manzanas se puede obtener con la ecuación:

R = –R 12

x 2 + 5x + 1024.x

¿Cuántos árboles más debe sembrar para obtener 1012 toneladas de manzanas? Explica tu respuesta.

Compara en clase tus resultados con los de algunos compañeros y validen en grupo sus estrategias de solución.

8. Resuelve las actividad

Diofanto, nacido alrededor del año 200 y fallecido por el año 284 d. de C., llamado el padre del álge-bra, consideró estos tres tipos de ecuaciones cuadráticas ax 2 + bx = x c, ax 2 = bx +x c yc ax 2 + c = c bx.La razón por la cual para Diofanto existen tres casos es que no tenía ninguna noción del cero y evitaba los coeficientes negativos considerando los números dados a, b, c como positivos.c

Fuente: www.astroseti.org/articulo/3629/ (consulta: 14 de abril de 2014)

Cie

rre

R. L.

Sí, porque tenemos las mismas ecuaciones.

2) Una ecuación en donde la incógnita está elevada al cuadrado.

R. L.

R. L.R. L.

7 y −7 2 y 1

1) La ecuación es x 2

2 − 5x − 12 = 0,

las soluciones son 12 y −2. R. M. Debe plantar 12 árboles más, aparte de los 40.

1)

2)