UNIVERSIDAD ALAS PERUANASESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL UAP

INDICEINTRODUCCION21DEFINICIONES Y TERMINOLOGIA42CLASIFICACIN SEGN EL TIPO53CLASIFICACIN SEGN EL ORDEN54CLASIFICACIN SEGN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD65SOLUCIONES EXPLCITAS E IMPLCITAS76SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES86.1Familia de soluciones n-parametricas106.2Solucin particular, valores iniciales vs valores de contorno117ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.127.1Ecuaciones separables.137.2Ecuaciones exactas.137.3Factores integrantes.168ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN.199ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES229.1Ecuaciones Diferenciales no lineales de Primer Orden229.2Ecuaciones Diferenciales no lineales y el factor integrando259.3Ecuaciones Diferenciales no lineales de orden Superior27EJERCICIOS PRACTICOS28EJERCICIOS PROPUESTOS38BIBLIOGRAFIA41

INTRODUCCION

La construccin de modelos matemticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos ms importantes en el desarrollo terico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuacin en la que una funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuacin , una derivada puede estar presente de manera implcita a travs de diferenciales. La meta es de encontrar Mtodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la funcin o funciones desconocidas que satisfagan una ecuacin diferencial.

Unaecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.

Un tercer tipo de ecuacin diferencial, usualmente no considerado en los cursos introductorios delclculo, son lasecuaciones diferenciales estocsticasque sirven para definir ejemplos deprocesos estocsticos.

MARCO TEORICO

DEFINICIONES Y TERMINOLOGIAEl descubrimiento independiente del clculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcion el mpetu para los grandes avances que siguieron en las matemticas, ciencias, e ingeniera. Una de las ms importantes y fascinantes ramas de las matemticas que proporcion el medio para las formulaciones matemticas y soluciones de variados problemas en estas reas se llama ecuaciones diferenciales.

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra derivadas de una funcin desconocida de una o ms variables. Si la funcin desconocida depende slo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuacin se llama una ecuacin diferencial ordinaria.Sin embargo, si la funcin desconocida depende de ms de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuacin se llama una ecuacin diferencial parcial.

. (1)

La ecuacin (1) en la cual y es una funcin desconocida de una sola variable x es una ecuacin diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y = f(x) y llamamos a x la variable independiente, y y, la cual depende de x, la variable dependiente. Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadas sucesivas por y(x), y(x), o simplemente y, y.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

CLASIFICACIN SEGN EL TIPOSi una ecuacin slo contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria. Por ejemplo

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin que contiene las derivadas parciales de una o ms variables dependientes, respecto de dos o mgs variables independientes, se llama ecuacin en derivadas parciales. Por ejemplo,

son ecuaciones en derivadas parciales,

CLASIFICACIN SEGN EL ORDEN El orden de una ecuacin diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuacin. Por ejemplo,

es una ecuacin diferencial de segundo orden. Como la ecuacin , se puede escribir en la forma:

Si se divide entre la diferencial dx, es un ejemplo de una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden.Una ecuacin diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los smbolos

En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la derivada de orden mximo, , de una ecuacin diferencial de orden n, como la ecuacin (2); esto es,

CLASIFICACIN SEGN LA LINEALIDADSe dice que una ecuacin diferencial de la forma es lineal cuando f es una funcin lineal de y, y, , . Esto significa que una ecuacin es lineal si se puede escribir en la forma:

En esta ltima ecuacin, vemos las dos propiedades caractersticas de las ecuaciones diferenciales lineales:1. La variable dependiente Y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo trmino donde aparece Y es 1.2. Cuando el coeficiente slo depende de X, que es la variable independiente.Las funciones de y como Sen(y) o las funciones de las derivadas de Y, como no pueden aparecer en una ecuacin lineal. Cuando una ecuacin diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.

Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado,

son ecuaciones diferenciales no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente.

SOLUCIONES EXPLCITAS E IMPLCITAS

Las soluciones heredan su nombre del tipo de funcin que las representa, as tendremos soluciones explicitas cuando las funciones sean soluciones y sean explicitas. Esto es

y tambin

Las soluciones sern implcitas si son representadas por funciones como

Se tiene que seleccionar una rama de la funcin raz.Igualmente ser solucin implcita

y esta segunda no es tan fcil de descubrir como solucin. Para comprobarla derivamos la solucin

simplificando y agrupando tendremos la solucin. Otra vez, la funcin no es univaluada. Al graficarla nos damos cuenta que tenemos tres varias soluciones de funciones univaluadas unas continuas y otras no. La funcin es univaluada fuera del lbulo. Esto es para . Con lo cual tendremos que seleccionar, dentro del lbulo, cul de las partes univaluada corresponde la solucin.

Figura 2: Grafica de la funcin implcita

SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARESVeamos las siguientes ecuaciones y soluciones

Cada una de las soluciones representa familias de soluciones, una para cada constante. Este tipo de soluciones las denominaremos soluciones generales. Es decir, llamaremos solucin general de una ecuacin diferencial aquella que queda indeterminada por un conjunto de constantes . En contraste, cuando particularizamos los valores de las constantes C3; C2; C1 tendremos una solucin particular par cada una de las ecuaciones. Adicionalmente, cuando nos referimos a las ecuaciones no lineales el concepto de solucin particular vara. Soluciones particulares en este tipo de ecuaciones sern aquellas que se cumplen para rangos (o puntos) muy particulares. Vale decir

Tambin en este caso llamaremos a este tipo de soluciones, particulares. De igual modo puede darse casos para los cuales no exista solucin en un determinado intervalo.

Ecuaciones de la forma

para: -1 < x < 0 ^ 0 < x < 1, tienen soluciones particulares para intervalos de la variables x.

Del mismo modo

tendr dos soluciones particulares.

Familia de soluciones n-parametricas

Si y(x) = f (x, C1, C2 , Cn) es solucin de una ecuacin diferencial

para n constantes arbitrarias. Entonces diremos que es una familia n-paramtrica de solucionesExiste una diferencia entre una solucin general de una ecuacin y una solucin nparametrica. La solucin general tiene que contener todas las soluciones de una ecuacin diferencial determinada.Una solucin nparamtrica no necesariamente. Veamos

Uno llega a estar tentado de llamar solucin general a la solucin 1paramtrica . Sin embargo, deja por fuera otra solucin que no tiene que ver con un valor particular de las constantes C .Otro ejemplo, lo constituye

pero tambin

es solucin con Una solucin paramtrica se denominara solucin general si contiene todas las soluciones de una determinada ecuacin diferencial. En el caso de ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones n-paramtricas constituyen las soluciones generales a las ecuaciones diferenciales.

Solucin particular, valores iniciales vs valores de contornoDependiendo de la situacin fsica que estemos modelando quiz_a podamos determinar las constantes arbitrarias de una familia n-paramtrica con informacin para un nico punto . Esto es

En este caso diremos que tendremos un problema de valores iniciales, ya que determinamos las constantes arbitrarias a partir de la informacin de la funcin y sus derivadas en un solo punto. Si consideramos

Si por el contrario, para determinar el valor de las constantes arbitrarias disponemos de informacin de la funcin y sus derivadas en dos o ms puntos, diremos que tendremos un problema de contorno. Esto es

Ntese que tambin pudimos haber tenido informacin del tipo

y para cada uno de estos caso tendremos una solucin distinta.Demostraremos que los problemas de valores inciales para ecuaciones diferenciales lineales siempre tienen solucin particular (siempre se pueden determinar las constantes a partir de la informacin de la funcin y las derivadas en UN punto). No as__ los problemas de valores de contorno.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.Las EDO de primer orden del tipo (2)son de la forma(3)Seauna solucin de (3) para. Entonces. Si en la ecuacin (3), entoncescualquier funcin constantees solucin de la ecuacin, as que reviste inters el caso en que.

Las EDO de primer orden se clasifican en dos : lineales y no lineales. Una EDO (3) eslinealsi ella se puede escribir en la forma. Las dems se llamarnno lineales.Frecuentemente es conveniente escribir la ecuacin (3) en la forma(4)

Siempre es posible hacer esto poniendoy.En otras ocasiones se escribe la ecuacin (3) en la forma equivalente(5)llamada ecuacin en diferenciales totales.Recprocamente, sien la ecuacin(4)o (5)se tiene que, entonces sta se puede escribir en la forma(3)con.

En uno u otro caso se recurre a la representacin ms conveniente.Se presentan casos especiales en que la ecuacin (3)(o la ecuacin (5)) se puede resolver en forma cerrada (porcuadraturas). Ecuaciones separables. La ecuacin(3) es una ecuacin en variables separables sif(x,y)se puede escribir en la formaf(x,y) = g(x)h(x),En este caso, (3) equivale a, o bien,. En esta ecuacin las variables aparecen separadas, lo cual permite integrar ambos lados de la misma para obtener.

De igual manera, la ecuacin(5) es una ecuacin en variables separables sies posible escribirMyNen la formaM(x,y)=g1(x)h1(y)yN(x,y)=g2(x)h2(y). Si este es el caso, la ecuacin (5) se escribe en la forma, en la cual las variables aparecen separadas, lo cual permite integrar ambos miembros y obtener la solucin en cuadraturas.Ecuaciones exactas. Supongamos que la ecuacindefine implcitamenteuna funcin diferenciableen algn intervalo. Si derivamos ambos lados de la ecuacincon respecto axresulta, que se puede escribir en la forma (5) cony, de manera que la ecuacin diferencialtiene por solucin la funcin definida por la ecuacin.

Recprocamente, supongamos que se da la ecuacin diferencial(5). Si existe una funcintal quey(6)de modo quela ecuacindefina implcitamenteuna funcin diferenciableen algn intervalo, entonces

En este caso, se dice que la ecuacin (5) es unaecuacin diferencial exacta. El siguiente teorema nos proporciona un criterio de exactitud.Teorema 1. Sean las funcionesM,N,ycontinuas en la regin rectangularR:,. Entonces la ecuacin (5) ,

es exacta enRsi, y slo si, (7)

Si la ecuacin (5) es exacta, entonces es posible obtener su solucin en cuadraturas en la forma. En efecto, de (6) se sigue que, luego si se integra esta ecuacin con respecto axse obtiene :(8)

La funcinhes una funcin arbitraria deyque hace las veces de la constante arbitraria. Adems, siempre es posible escogerhde modo que. En efecto,Derivando ambos lados de (8) con respecto ayresulta :(9)

Pero, de (6),, luego si se sustituye esta expresin en (9), entonces al despejarnos queda:(10)Para determinarh(y)de (10) es esencial que, independientemente de su apariencia, el miembro del lado derecho de la ecuacin (10) sea slo funcin dey, para lo cual basta demostrar quesu derivada con respecto axes idnticamente igual a cero. En efecto, de acuerdo a la ecuacin(7),.De esta manera, para obtenerh(y)se integra la expresin del lado derecho de (10) con respecto ay(sin sumar la constante arbitraria de integracin). Al conocerh(y), de la ecuacin (10) se obtiene la primera integral de la ecuacin(5) en la forma

siendocuna constante arbitraria.

Factores integrantes.Cuando la ecuacin (5) no es exacta, algunas veces es posible obtener una funcintal que si se multiplican ambos lados de la ecuacin (5) por esta funcin, entonces se obtiene una ecuacin exacta. Tal funcin se llamafactor integrantede la ecuacin. La condicin de exactitud equivale aencontrar al menos una funcinque satisfaga la siguiente ecuacin diferencial en derivadas parciales :.Sin embargo, esta ecuacin puede resultar tanto o ms difcil de resolver que la ecuacin(5). Existen casos especiales que permiten encontrar un factor integrante, los cuales se describen a continuacin:I. La expresindepende solamente de, digamos, es igual a. Un factor integrante es. Este es el caso de la ecuacin lineal, para la cualy. Al multiplicar ambos lados de esta ecuacin porse obtiene una ecuacin exacta.II. La expresindepende solamente dey, digamos, es igual ah(y). Un factor integrante es.III. La expresines una funcin del productoo de la suma. Un factor integrante es.IV. Las funcionesM(x,y)yN(x,y)son homogneas y del mismo grado, es decir, existental quey. Un factor integrante es, siempre y cuando.Cabe anotar queal hacer la sustituciny = ux, siendou = u(x),se obtiene una ecuacin en variables separables.V. Las funcionesMyNsatisfacen las ecuaciones de Cauchy Riemann en cierta regin del planoxy, de modo quey.Un factor integrante es.VI. Las funcionesMyNse pueden representar en la formay, en donde. En este caso, un factor integrante es,siempre y cuando.VII. La expresinpuede representarse en la forma. Un factor integrante se puede buscar en la forma. En este caso, se puede tomary.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN.Estas ecuaciones son de la forma. Consideraremos dos tipos especiales de estas ecuaciones, las cuales se pueden resolver por mtodos de primer orden.a. Falta la variable dependiente. Siyno se encuentra explcitamente presente, nuestra ecuacin podr escribirse(11)

En este caso, se presenta una nueva variable dependientep = p(x), escribiendoy( 12)

Esta sustitucin transforma (11) en la ecuacin de primer orden(13)Si se puede encontrar una solucin para(13), se puede reemplazarpen esa solucin pory'ytratar de resolverla. Este procedimiento permite resolver dos ecuaciones de primer orden en sucesin, en lugar de la ecuacin de segundo orden (11).b. Falta la variable independiente. Sixno se encuentra explcitamente presente, la ecuacin de segundo orden podr escribirse como(14)En este caso se presenta la nueva variable dependientep = p(y)en la misma forma; pero, esta vez, se expresay''en trminos de una derivada con respecto ay:y' = py(15)

Esto nos permite escribir(14)en la forma(16)

y,a partir de este punto,se procede como antes,resolviendo dos ecuaciones de primer orden en sucesin.

MARCO METODOLOGICO

ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALESEcuaciones Diferenciales no lineales de Primer Orden

Sea:

donde ai (x, y) para i = 1 . . . n son funciones reales y continuas en una reginR del plano XY .Casos:i) Se puede despejar y.ii) Se puede despejar y.iii) Se puede despejar x.

CASO ISi hacemos

En caso que sea posible que la ecuacin anterior se pueda factorizar enFactores lineales de p, se obtiene lo siguiente:

donde fi(x, y) para i = 1, . . . , n son funciones reales e integrables en una regin R del plano XY .Si cada factor tiene una solucin i(x, y, c) = 0, para i = 1, . . . , n.entonces la solucin general es

CASO IISon ecuaciones de la forma F(x, y, p) = 0 y de la cual puede despejarse y, es decir: y = f(x, p), donde x y p se consideran como variables independientes, la diferencial total es:

Luego

o sea que

y por tanto

es una E.D. de primer orden en x y p. Generalmente (teniendo buena suerte)

se puede factorizar, quedando as:

a) Con el factor h(x, p, p) = 0 se obtiene una solucin h1(x, p, c) = 0, se elimina p entre h1(x, p, c) = 0 y F(x, y, p) = 0 y se obtiene la solucin general.b) Con (x, p) = 0 se obtiene una solucin singular, al eliminar p entre (x, p) = 0 y F(x, y, p) = 0.

CASO IIISi en la ecuacin F(x, y, p) = 0, se puede despejar x = g(y, p) con y y p como variables independientes; hacemos

y como

Luego

por tanto

Donde

Ecuaciones Diferenciales no lineales y el factor integrando

Del mismo modo, y con la misma idea, podemos incorporar el factor integrador u(x; y) para extender la idea a ecuaciones que no sean, necesariamente lineales. As para una ecuacin diferencial que pueda ser escrita como

es decir

Entonces tendremos que la condicin necesaria y suficiente para que una ecuacin diferencial sea exacta es:

y, obviamente, esta condicin de integrabilidad depender del u(x; y) que propongamos.Si u(x; y) = u(x) entonces la condicin es

con lo cual, si se cumple que

podremos determinar el factor integrador.Una vez identificado procedemos a integrar, formalmente f(x; y)

con lo cual

Ecuaciones Diferenciales no lineales de orden SuperiorNo existe un mtodo para integrar ecuaciones no lineales de orden n.Pero si la ecuacin diferencial de orden n tiene una dependencia de alguno de los tipos siguientes, es posible resolverla como se indica.ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN EN LAS QUE NO APARECE YSea una ecuacin diferencial de la forma: F(x, y , y) = 0 Se introduce el cambio de variable: y = p De este modo la ecuacin reduce su orden a 1: F(x, p, p ) = 0 Se resuelve (1ra Integracin) y se obtiene p = (x, C), es posible que tras la 1a integracin no sea posible despejar p, en ese caso la solucin se da de forma paramtrica en funcin del parmetro p: x = a(p;C); y = b(p;C;D) dy /dx = (x, C) dy = (x, C)dx (2da integracin) y = f(x, C, D)dx Se puede generalizar a cualquier orden.Dada una ecuacin diferencial de orden n de la forma Se introduce el cambio de variable: De este modo la ecuacin reduce su orden a 1: F(x; p; p) = 0 Es necesario integrar n vecesECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN EN LAS QUE NO APARECE XSea una ecuacin diferencial de la forma: F(y; y; y) = 0 Se introduce el cambio de variable: y= p Se considera p funcin de y: De este modo la ecuacin reduce su orden a 1: F(y; p; p) = 0 Se resuelve (1a integracin) y se obtiene p = (y;C) ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN HOMOGNEAS EN Y, Y, YSe trata de ecuaciones diferenciales de la forma F(x; y; y; y) = 0, que satisfacen:

Se introduce el cambio de variable: y'/y = u

De este modo la ecuacin reduce su orden a 1

EJERCICIOS PRACTICOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

1)

2)

BIBLIOGRAFIA

Juan Luis Varona Malumbres, METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, Profesor del Departamento de Matemticas y Computacin de la Universidad de La Rioja, ED 2009. Jaime Escobar A., ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones en Maple, Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en Matemticas de la Universidad Nacional. MURRAY R. SPIEGEL, Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Eduardo Espinoza Ramos, Anlisis Matemtico IV24ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES | ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES