Lección 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Leccion 8

Sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales

8.1. Introduccion: Sistemas de ecuaciones diferenciales

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o mas ecuaciones en las queaparecen una o mas funciones incognita, pero todas ellas dependiendo de una sola variableindependiente. Para ilustrar este concepto vamos a retomar un ejemplo de cinetica quımicaque estudiamos en la leccion anterior, pero preguntandonos ahora una cuestion diferente y,como veremos, mas complicada.

Ejemplo 8.1 .- Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden quese producen consecutivamente en un reactor:

A + Sk1−→ X

X + Sk2−→ Y

Si inicialmente se anaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cual es la cantidad de sustancia enel reactor en cada instante de tiempo?.

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116 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X] y [Y ] representan las concetraciones molaresde las sustancias presentes en las reacciones, las ecuaciones diferenciales que modelan laevolucion en el tiempo de las concentraciones son:

d[A]dt

= −k1[A][S]

d[Y ]dt

= k2[X][S]

d[X]dt

= k1[A][S]− k2[X][S]

d[S]dt

= −k1[A][S]− k2[X][S]

(8.1)

Esto es un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funcionesincognitas: [A], [S], [X] y [Y ]. Ası pues, resolver el sistema serıa encontrar expresiones paralas cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente). Comoademas se dan unas condiciones iniciales: [A]0 = 1 mol, [S]0 = 2 moles [X]0 = [Y ]0 = 0moles, estamos en presencia de un problema de condiciones iniciales.

Se trata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones que los componen no loson. Salvo para sistemas muy concretos solo disponemos de metodos analıticos generalespara resolver sistemas lineales especiales. Por ello no es esperable que podamos obtener, taly como se nos pide, expresiones analıticas para la evolucion de las concentraciones de lassustancias presentes en el reactor a lo largo del tiempo. Esto no significa que no podamosdecir nada a este respecto: disponemos de buenos metodos cualitativos y numericos que nospermiten conseguir mucha informacion acerca de las soluciones de gran cantidad de sistemasno lineales. En esta y las dos proximas lecciones estudiaremos metodos analıticos para ex-presar las soluciones de los sistemas lineales y en particular de los de coeficientes constantes.Posteriormente estudiaremos tecnicas cualitativas para obtener informacion de las solucionesde los sistemas no lineales. Los metodos numericos se estudiaran en la asignatura de AnalisisNumerico.

8.2. Sistemas de primer orden

En el sistema (8.1) aparecen solo derivadas de primer orden en las funciones incognita[A], [S], etc. Por eso se llama un sistema de primer orden. El orden de un sistema deecuaciones diferenciales es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en el sistema.

La forma general de un sistema de dos ecuaciones y de primer orden es:

x′ = f(t, x, y)y′ = g(t, x, y)

8.2 Sistemas de primer orden 117

donde f y g son funciones de las tres variables x, y y t (variable independiente del sistema).Una solucion del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen

x′(t) = f(t, x(t), y(t))y′(t) = g(t, x(t), y(t))

identicamente para todo t ∈ (a, b).

Ejemplo 8.2 .- Probar que las funciones x(t) = et, y(t) = e−t son soluciones del sistema

x′ = x2yy′ = −xy2.

en toda la recta real.

En efecto, por una parte x′(t) = et y x(t)2y(t) = e2te−t = et. Ası pues x′(t) = x(t)2y(t)y se satisface la primera ecuacion identicamente. Ademas y′(t) = −e−t y −x(t)y(t)2 =−ete−2t = −e−t. Entonces y′(t) = −x(t)y(t)2 con lo que se satisface la segunda ecuacion. Enconsecuencia, las funciones x(t) = et, y(t) = e−t son soluciones del sistema.

Los sistemas no tienen por que ser de dos 2 ecuaciones. En general, un sistema de n ecua-ciones diferenciales con n funciones incognitas x1(t),. . . , xn(t) en la variables independientet, tendra la siguiente forma:

x′1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn)x′2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn)

...x′n = fn(t, x1, x2, . . . , xn)

donde f1, f2, . . . , fn son funciones de las n+1 variables t, x1, x2, . . . , xn. Siempre exigiremosque el numero de ecuaciones y de incognitas sea el mismo. Y a este numero comun lellamaremos la dimension del sistema.

8.2.1. Notacion vectorial

Al trabajar con sistemas es conveniente utilizar la notacion vectorial; es mas manejabley compacta. Por ejemplo para el sistema

x′1 = k1x21x−12 − k2x1

x′2 = k3x21 − k4x2,

si definimos la funcion vectorial

x(t) =

(x1(t)x2(t)

)


tendrıamos que

x′ =(

x′1x′2

)=

(k1x

21x−12 − k2x1

x′2 = k3x21 − k4x2

). (8.2)

Debemos observar dos cosas en relacion con la ecuacion (8.2). Primero, para derivar unafuncion vectorial x(t) lo unico que hay que hacer es derivar cada una de sus componentes:

x′(t) =

(x′1(t)x′2(t)

).

En segundo lugar, la parte de la derecha de la ecuacion (8.2) es una funcion vectorial respectode las componentes del vector x. Por lo tanto, si ponemos

f(x) =

(k1x

21x−12 − k2x1

x′2 = k3x21 − k4x2

),

entonces la ecuacion (8.2) se convierte en

x′ = f(x). (8.3)

En general, para un sistema de dimension n:

x′1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn)x′2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn)

...x′n = fn(t, x1, x2, . . . , xn)

(8.4)

podemos ahorrar mucho espacio y tiempo si usamos notacion vectorial. Si ponemos

x =

x1

x2...

xn

y f(t, x) =

f1(t, x)f2(t, x)

...fn(t, x)

,

entonces el sistema se puede escribirse como

x′ = f(t, x).

Vemos ası que la gran ventaja de usar notacion vectorial consiste en poder expresar unsistema de cualquier dimension casi de la misma forma que una sola ecuacion diferencial. Ladiferencia es que para sistemas, las variables y funciones son vectores, que siempre escribire-mos en negrita para diferenciarlas de las variables y funciones escalares. Por lo general, sinembargo, del contexto se podra deducir facilmente si trabajamos con vectores o con escalares.


Una ultima observacion. Aunque nuestros vectores seran siempre vectores columna, porsencillez, en ocasiones escribiremos estos vectores como una n-tupla. Es decir, un vector

x =

x1

x2...

xn

tambien lo escribiremos como x = (x1, x2, . . . , xn).

8.2.2. El Problema de condiciones iniciales

En las aplicaciones, los sistemas de ecuaciones diferenciales que modelizan procesos rea-les, suelen ir acompanados de ciertas condiciones que deben cumplir las funciones incognitaspara uno o mas valores de la variable independiente t. Ası, en el ejemplo del sistema (8.1)que modeliza la evolucion de las concentraciones de ciertas sustancias en un reactor, estascomienzan con unas concentraciones iniciales de dichas sustancias. Son las condiciones ini-ciales del sistema. Vemos que hay una condicion inicial para cada variable del sistema. Eneste caso las condiciones iniciales se conoceran, muy posiblemente,en el instante en el que sepone en marcha el reactor; es decir, t = 0; pero en otras situaciones bien podrıa suceder queesas condiciones iniciales se dieran en un instante t0 cualquiera.

Ası pues, el Problema de condiciones iniciales para un sistema de dimension n

x′ = f(t, x)

consiste en encontrar n funciones x1(t), x2(t),. . . , xn(t) ( o en notacion vectorial, una funcionvectorial x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))) que sea solucion del sistema y cumpla una deter-minada condicion inicial x(t0) = x0.

El problema de condiciones iniciales lo escribiremos de forma similar a como lo hacıamospara ecuaciones de primer orden: {

x′ = f(t,x)x(t0) = x0.

8.2.3. Reduccion de sistemas de orden superior a sistemas de pri-mer orden

En el estudio de sistemas nos podemos restringir a los sistemas de primer orden. Estoes debido a que cualquier sistema de orden superior es equivalente a uno de primer orden.


Cuando decimos que dos sistemas son equivalentes nos referimos a que las soluciones de unode ellos conduce a las del otro y recıprocamente. Quiza la forma mas simple de comprenderesta idea es utilizando un ejemplo

Ejemplo 8.3 Consideremos la siguiente ecuacion de tercer orden

x′′′ + xx′′ = cos t. (8.5)

Podemos ver esta ecuacion como un sistema de dimension 1 y orden 3. Vamos a encontrar unsistema de primer orden que es equivalente a esta ecuacion. Para ello introducimos nuevasvariables: x1 = x, x2 = x′ y x3 = x′′. Notemos que hay una componente de x = (x1, x2, x3)por cada derivada de x hasta un orden una unidad menor de la que aparece en el ecuacion.Formamos entonces el siguiente sistema de primer orden:

x′1 = x2

x′2 = x3

x′3 = −x1x3 + cos t(8.6)

Esta claro que si x = x(t) es una solucion de la ecuacion (8.5) entonces el conjunto defunciones x1 = x(t), x2 = x′(t) y x3 = x′′(t) son soluciones del sistema (8.6).

Veamos que el recıproco tambien es cierto. Sean x1 = x1(t), x2 = x2(t) y x3 = x3(t)soluciones del sistema (8.6). Veamos que x = x1(t) es solucion de la ecuacion (8.5). Enefecto, tendrıamos

x′ = x′1(t) = x2(t) y x′′ = x′′1(t) = x′2(t) = x3(t),

de modo que x′′′ = x′3(t) = −x1x3 + cos t = −xx′′ + cos t. Por lo tanto x = x1(t) es solucionde la ecuacion (8.5). Es decir, los sistemas (8.5) y (8.6) son equivalentes.

Observese que cada solucion de la ecuacion es la primera componente de una solucion delsistema, y que cada solucion del sistema se obtiene de una solucion de la ecuacion derivandotantas veces como el orden de la ecuacion menos 1.

De forma general podemos proceder de la misma manera: dada una ecuacion de orden n:

x(n) = f(t, x′, x′′, . . . , x(n−1)) (8.7)

introducimos nuevas variables dependientes para x y cada una de sus derivadas hasta la deorden n− 1:

x1 = x, x2 = x′, x3 = x′′, . . . , xn = x(n−1).


De esta forma x′1 = x′ = x2, x′2 = x′′ = x3, etc. El sistema que obtenemos es

x′1 = x2

x′2 = x3...x′n−1 = xn

x′n = f(t, x1, x2, . . . , xn),

que es un sistema de dimension n pero de primer orden. Para usar notacion vectorialponemos x = (x1, x2, . . . , xn) y F = (F1, F2, . . . , Fn) siendo F1(t, x) = x2, F2(t, x) =x3,. . .Fn−1(t, x) = xn y Fn(t, x) = f(t, x). De esta forma el sistema resultante se puedeescribir abreviadamente como

x′ = F (t, x). (8.8)

Se demuestra, como en el ejemplo que si x = x(t) es solucion de la ecuacion (8.7) entoncesx(t) = (x(t), x′(t), x′′(t), . . . , x(n−1)(t)) es solucion del sistema (8.8). Y recıprocamente, six(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) es solucion del sistema (8.8), entonces x = x1(t) es solucionde la ecuacion (8.7).

En cuanto al problema de condiciones iniciales, hemos visto que para el sistema (8.8)tenemos que especificar un vector de condiciones iniciales x(t0) = x0 = (x0

1, x02, . . . , x

0n). Esto

equivale a especificar en la ecuacion (8.7) n condiciones iniciales: una para x en t0 y una paracada una de sus derivadas hasta la de orden n − 1, todas ellas en t0. Es decir, el problemade condiciones iniciales relativo a una ecuacion diferencial de orden n serıa

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1))x(t0) = x0

1, x′(t0) = x0

2, . . . , xn(t0) = x0n.

Finalmente, si tenemos, no solo una ecuacion sino un sistema de ecuaciones de orden p,reducimos cada ecuacion del sistema a un sistema de ecuaciones de primer orden.

Una ultima observacion. El motivo de reducir una ecuacion o sistema de ecuaciones deorden superior a un sistema de primer orden viene motivado no solo por el hecho de que,de esta forma, podemos reducir el estudio de sistemas a los de primer orden. Tambien tieneuna importancia de tipo practico: los procedimientos para resolver sistemas numericamente,que es casi la unica forma de resolverlos, exigen, todos o casi todos, que el sistema sea deprimer orden. Por lo tanto, para poder aplicarlos, lo primero que hay que hacer es reescribirla ecuacion o sistema que tengamos como un sistema de primer orden.


8.3. Sistemas de ecuaciones lineales

Si cada una de las funciones f1, . . . , fn en el sistema (8.4) son lineales, entonces el sistemase dice que es lineal.

La forma general de un sistema lineal de n ecuaciones de primer orden es

x′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · · a1n(t)xn + b1(t)x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · · a2n(t)xn + b2(t)

...x′n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · · ann(t)xn + bn(t)

(8.9)

Ası los sistemas{

x′1 = 3x1 − 5x2

x′2 = −2x1

{x′ = −2tyy′ = 3etx + 4 cos t

{u′1 = − cos(t)u1 − 5

tu2

u′2 = u1 − sen(t)u2 +√

t

son lineales, mientras que los sistemas

{x′ = 3xy − 5yy′ = −2x

{x′1 = −2x2

x′2 = 3x21 + 4

{u′1 = − cos(tu1)u′2 = u1 − sin(t)

no lo son.

Si cada una de las funciones b1(t), b2(t),. . . , bn(t) son identicamente cero, entonces elsistema se dice que es homogeneo y en caso contrario, no homogeneo.

Los sistemas lineales son los mas simples entre todos los sistemas de primer orden, peroincluso estos son muy difıciles de resolver analıticamente. Suficientemente difıciles son lossistema lineales con coeficientes constantes; es decir, aquellos en los que las funciones aij(t)

son funciones constantes. Estos son los unicos que podremos resolver analıticamente.

Lo mismo que sucede con los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, la notacionmatricial es util a fin de simplificar la exposicion y destacar las propiedades de estos sistemas.En este punto si no se esta suficientemente familiarizado con la teorıa basica de matrices,conviene estudiar o repasar el Anexo sobre matrices

Tal y como hemos hecho en la seccion anterior para sistemas en general, llamaremos x(t)al vector (funcion vectorial):

x(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

8.3 Sistemas de ecuaciones lineales 123

de forma que

x′(t) =

x′1(t)x′2(t)

...x′n(t)

es el vector derivada de x(t). Y si ponemos

A(t) =

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)a21(t) a22(t) · · · a2n(t)

...... · · · ...

an1(t) an2(t) · · · ann(t)

y b(t) =

b1(t)b2(t)

...bn(t)

entonces el sistema (8.9) se puede escribir abreviadamente

x′(t) = A(t)x(t) + b(t),

y si es homogeneo (i.e. el vector b(t) = 0) entonces

x′(t) = A(t)x(t).

Por ejemplo, el sistemax′1 = x1 + 2x2 + cos tx′2 = 2x1 + x2 + t2

se puede escribir en notacion matricial como

x′ =(

1 22 1

)x +

(cos tt2

),

de forma que la matriz del sistema es

A(t) =

(1 22 1

)

(constante, en este caso) y el vector de los terminos independientes es

b(t) =

(cos tt2

).

Se trata, entonces, de un sistema no homogeneo, cuya parte homogenea es

x′ =(

1 22 1

)x (8.10)


Se puede comprobar, mediante sustitucion, que los dos siguientes conjuntos de funciones sonsoluciones del sistema homogeneo (8.10):

x1(t) = e−t, x2(t) = −e−t,y1(t) = e3t, y2(t) = e3t.

Estos dos conjuntos de soluciones se pueden escribir de forma mas compacta usando lanotacion vectorial

x(t) =

(e−t

−e−t

), y(t) =

(e3t

e3t

).

En efecto, sustituyendo directamente en (8.10) tendrıamos

x′(t) =

(−e−t

e−t

)y Ax(t) =

(1 22 1

)(e−t

−e−t

)=

(−e−t

e−t

).

Y lo mismo para y(t). Diremos, simplemente, que los vectores x(t) y y(t) son solucionesdel sistema (8.10).

Al estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales, lo primero que analizamos, como eshabitual, es la existencia y unicidad de soluciones. Para sistemas lineales tenemos el siguienteresultado que es mas fuerte que el correspondiente para sistemas no lineales:

Teorema 8.4 .- Si todas las componentes de la matriz A(t) y del vector b(t) son continuasen un intervalo (a, b), entonces para cada t0 ∈ (a, b) y para cada vector x0 ∈ Rn el sistema

x′(t) = A(t)x(t) + b(t)

con la condicion inicialx(t0) = x0

tiene una unica solucion definida en el intervalo (a, b).

Este teorema tiene dos partes. La primera de ellas asegura que si las funciones compo-nentes de la matriz A(t) y del vector b(t) son continuas entonces existe una funcion vectorialx(t), definida en el intervalo donde son continuas las funciones componentes de A(t) y b(t),tal que x′(t) = Ax(t)+b(t) y x(t0) = x0. Hay una diferencia importante entre este resultadoy los anteriores teoremas de existencia de soluciones que hemos visto hasta ahora: el campode existencia de las soluciones no se restringe a un, posiblemente, pequeno entorno de t0 sinoque puede ser muy amplio, tanto como el campo donde A(t) y b(t) son continuas. Ası, si elsistema es de coeficientes constantes y homogeneo, las soluciones estan definidas en toda larecta real porque las funciones constantes son siempre continuas.

La segunda parte del teorema dice que la solucion del problema de condiciones inicialeses unica. La unicidad significa que si x(t) e y(t) son dos funciones vectoriales que satisfacen

8.4 Propiedades de los sistemas lineales homogeneos 125

el sistema de ecuaciones diferenciales y la misma condicion inicial, entonces x(t) = y(t) paratodo t.

Nuestro objetivo es disenar un metodo para encontrar todas las soluciones de los sistemasdiferenciales lineales. Una vez logrado, lo aplicaremos a la resolucion de los sistemas de ecua-ciones diferenciales de coeficientes constantes. Para ello necesitamos estudiar las propiedadesmas importantes de los sistemas lineales.

8.4. Propiedades de los sistemas lineales homogeneos

Nos centramos, por simplicidad, en los sistemas lineales de dimension 2, aunque las ideasque vamos a desarrollar son validas para sistemas de cualquier dimension. Los resultadosgenerales los enunciaremos para sistemas de dimension n.

Los sistemas lineales de dimension dos son de la forma:{x′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + b1(t)x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + b2(t)

⇔ x′ = A(t)x + b(t), (8.11)

siendo

A(t) =

(a11(t) a12(t)a21(t) a22(t)

)y b(t) =

(b1(t)b2(t)

).

A estos sistemas tambien se les llama sistemas planos (o planares, segun autores).

La primera propiedad que observamos de los sistemas lineales es que las soluciones deestos sistemas cumplen el principio de superposicion. Es decir, si

u(t) =

(u1(t)u2(t)

)y v(t) =

(v1(t)v2(t)

)

son soluciones del sistema (8.11) y a y b son numeros reales entonces au(t) + bv(t) tambienes solucion del sistema (8.11). Hay una forma en matematicas de expresar esta idea:

Proposicion 8.5 .- Las soluciones del sistema lineal x′ = A(t)x forman un espacio vecto-rial.

Se trata, en realidad, de un subespacio vectorial del espacio vectorial de las funcionescontinuas, pero esto no tiene, aquı, ninguna importancia.

Veamos que para los sistemas planos, en efecto funciona el principio de superposicion:sea w(t) = au(t) + bv(t), y veamos que w′(t) = A(t)w(t):

w′(t) = au′(t) + bv′(t) = aA(t)u(t) + bA(t)v(t) = A(t)(au(t) + bv(t)) = A(t)w(t)


La funcion vectorial w(t) = au(t) + bv(t) se dice que es una combinacion lineal de lasfunciones u(t) y v(t). Ası pues, el principio de superposicion dice que cualquier combinacionlineal de soluciones de un sistema lineal homogeneo es tambien una solucion del sistema.

El principio de superposicion es una propiedad de los sistemas lineales que no es verdaderaen general para sistemas no lineales. Por ejemplo, si consideramos el sistema

{x′1 = x2

1

x′2 = x1x2

entonces

u(t) =

(−1t

0

)

es una solucion del sistema porque

u′(t) =

(1t2

0

)y

(u2

1

u1u2

)=

(1t2

0

)

con lo que

u′(t) =

(u2

1

u1u2

).

Tambien la funcion vectorial v(t) =

(00

)es solucion del sistema. Sin embargo, w(t) =

2u(t) + 0v(t) =

(−2t

0

)no es solucion del sistema. En efecto

w′(t) =

(2t2

0

)y

(w2

1

w1w2

)=

(4t2

0

).

Hemos visto que si x1(t), x2(t) son soluciones del sistema plano x′ = A(t)x entoncescualquier combinacion lineal de ellas tambien lo es. ¿Sera posible expresar todas las solucionesdel sistema como combinacion de dos de ellas solamente? Consideremos un ejemplo:

Ejemplo 8.6 .- Dado el sistema

x′ =(

1 22 1

)x

comprobar que x1(t) =

(e−t

−e−t

)y x2(t) =

(e3t

e3t

)son soluciones del sistema y probar que

cualquier otra solucion es combinacion lineal de estas dos.


En realidad ya hemos visto que x1(t) y x2(t) son soluciones (ver sistema (8.10)). Veamosahora que si x(t) es una solucion del sistema, entonces x(t) es una combinacion lineal dex1(t) y x2(t). Es decir, vamos a ver que existen unos numeros c1 y c2 tales que x(t) =c1x1(t) + c2x2(t) para todo t. Encontrar estos numeros c1 y c2 para un valor de t concretoes muy facil. Por ejemplo, si supieramos el valor de x(t) en t = 0, digamos

x(0) =

(3−1

),

podrıamos encontrar enseguida valores para c1 y c2 de modo que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0).

En efecto, como x1(0) =

(1−1

)y x2(0) =

(11

)tendrıamos que

x(0) = c1x1(0) + c2x2(0) ⇔(

3−1

)= c1

(1−1

)+ c2

(11

)=

(c1 + c2

−c1 + c2

)⇔

⇔{

3 = c1 + c2

−1 = −c1 + c2.

Solo hay que resolver este sencillo sistema de dos ecuaciones con dos incognitas. Pero estesistema no siempre tiene solucion, ello depende de que la matriz de los coeficientes tengadeterminante distinto de cero. Este es el caso en este ejemplo:

det

(1 1−1 1

)= 2 6= 0,

de modo que el sistema tiene solucion y ademas es unica. En concreto c1 = 2 y c2 = 1.

Debemos observar dos cosas:

Si el valor de x en t = 0 fuera otro, digamos x(0) =

(x0

1

x02

), entonces el sistema lineal

a resolver serıa {x0

1 = c1 + c2

x02 = −c1 + c2

(8.12)

que tambien tendrıa solucion porque la existencia o no de soluciones de este sistemano depende de los terminos independientes sino de la matriz de los coeficientes.

La matriz de los coeficientes depende exclusivamente de las funciones solucion dadas:x1(t) y x2(t). Es, en efecto, la matriz cuyas columnas son x1(0) y x2(0):

(x1(0) x2(0)

)=

(1 1−1 1

)


Resumiendo, hemos visto hasta ahora que si la matriz(x1(0) x2(0)

)tiene determinante

distinto de cero -o lo que es lo mismo, si los vectores x1(0) y x2(0) son linealmente indepen-dientes (ver Anexo sobre matrices si no se recuerda lo que significa este concepto)-, entoncesse pueden encontrar numeros c1 y c2 de modo que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0). Pero lo quenosotros pretendemos es mucho mas ambicioso: pretendemos encontrar unos numeros c1 yc2 tales que x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) para todo t y no solo para t = 0. Claro que de existirtales numeros, estos deberıan ser los hallados al resolver el sistema x(0) = c1x1(0)+ c2x2(0)(que es el sistema (8.12)) porque este sistema tiene una unica solucion. Debemos probar,entonces, que si c1 y c2 son los numeros para los que x(0) = c1x1(0) + c2x2(0) entoncesx(t) = c1x1(t) + c2x2(t) para todo t. Esto parece una tarea difıcil pero no lo es tanto por-que hay una propiedad fundamental de x(t) que todavıa no hemos utilizado: es solucion delsistema x′ = A(t)x. Ademas es la solucion de este sistema que cumple la condicion inicial

x(0) =

(x0

1

x02

). Ahora bien, si ponemos y(t) = c1x1(t) + c2x2(t) con c1 y c2 los numeros que

solucionan el sistema (8.12), tenemos que, por el principio de superposicion y(t) es soluciondel sistema x′ = A(t)x y cumple que y(0) = c1x1(0) + c2x2(0) = x(0). Es decir, y(t) es unasolucion del sistema que cumple la misma condicion inicial que x(t). El teorema de unicidadnos dice que esto solo es posible si x(t) = y(t). Como y(t) = c1x1(t) + c2x2(t) concluımosque x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) para todo t.

En el caso considerado mas arriba, en el que x(0) =

(3−1

), habıamos encontrado que

los numeros c1 y c2 para los que x(0) = c1x1(0)+ c2x2(0) eran c1 = 2 y c2 = 1. Por lo tanto,la unica solucion del sistema

x′ =(

1 22 1

)x

que cumple la condicion inicial x(0) =

(3−1

)es x(t) = 2x1(t) + x2(t) =

(2e−t + e3t

−2e−t + e3t

).

Definicion 8.7 .- Si x1(t),x2(t), . . . , xn(t) son exactamente n soluciones del sistema linealhomogeneo x′ = A(t)x tales que cualquier otra solucion del sistema, x(t), se puede po-ner como combinacion lineal de ellas, se dice que forman un sistema fundamental desoluciones del sistema.

En el ejemplo anterior, las soluciones

x1(t) =

(e−t

−e−t

)y x2(t) =

(e3t

e3t

)

forman un sistema fundamental de soluciones del sistema

x′ =(

1 22 1

)x.


A la vista de este ejemplo y todo su desarrollo podemos enunciar el siguiente resultado:

Proposicion 8.8 .- Si x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son n soluciones de un sistema lineal ho-mogeneo x′ = A(t)x definido en el intervalo (a, b), entonces forman un sistema fundamentalde soluciones si y solo si los vectores x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0) son linealmente independien-tes para algun t0 ∈ (a, b). Es decir, si y solo si det

(x1(t0) x2(t0) · · · xn(t0)

) 6= 0 paraalgun t0 ∈ (a, b).

En realidad, en el ejemplo de mas arriba ya se han dado las ideas basicas para obteneruna demostracion formal de esta Proposicion para el caso n = 2. El caso general es similar.

Veremos mas adelante que todo sistema lineal homogeneo de dimension n admite un sis-tema fundamental de n soluciones. Este hecho, junto a la Proposicion 8.8, se puede enunciarmatematicamente de la siguiente forma

Teorema 8.9 .- El conjunto de soluciones de un sistema n-dimensional lineal homogeneode primer orden x′ = A(t)x forma un espacio vectorial de dimension n.

Si {x1(t),x2(t), . . . , xn(t)} es un tal sistema, a la matriz

X(t) =(x1(t) x2(t) · · · xn(t)

)

cuyas columnas son los vectores solucion, se le llama matriz fundamental de soluciones.Podemos observar que

X ′(t) =(x′1(t) x′2(t) · · · x′n(t)

)=

(A(t)x1(t) A(t)x2(t) · · · A(t)xn(t)

)= A(t)X(t),

donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad del producto de matrices: si expresamosla matriz B en funcion de sus columnas: B =

(b1 b2 · · · bn

), entonces las columnas de la

matriz producto AB so Ab1, Ab2,. . . , Abn; es decir,

AB =(Ab1 Ab2 · · · Abn

).

Como conclusion de todo este proceso tenemos el siguiente teorema

Teorema 8.10 .- Una matriz X(t) =(x1(t) x2(t) · · · xn(t)

)es una matriz fundamen-

tal de soluciones del sistema lineal homogeneo x′ = A(t)x de dimension n en el intervalo(a, b) si y solo si cumple las dos siguientes propiedades:

(i) X ′(t) = A(t)X(t)


(ii) det X(t0) 6= 0 para algun t0 ∈ (a, b).

La primera condicion indica que los vectores x1(t), x2(t), . . . , xn(t) (las columnas deX(t)) son solucion del sistema x′ = A(t)x. Y la segunda significa que estos vectores sonlinealmente independientes en (a, b). Es decir, el conjunto {x1(t),x2(t), . . . , xn(t)} forma unsistema fundamental de soluciones del sistema x′ = A(t)x.

Este Teorema nos indica el camino que debemos seguir para obtener la solucion generaldel sistema homogeneo x′ = A(t)x:

1. Encontrar n soluciones del sistema x1(t),x2(t), . . . , xn(t). Equivalentemente, encontraruna matriz de n soluciones.

2. Comprobar que son linealmente independientes; es decir, que si (a, b) es el intervalo en elque esta definido el sistema entonces det

(x1(t0) x2(t0) · · · xn(t0)

)= det X(t0) 6= 0

para algun t0 ∈ (a, b).

3. Escribir la solucion general del sistema como combinacion lineal de las soluciones en-contradas. Es decir, la solucion general del sistema serıa

x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · ·+ cnxn(t)

siendo c1, c2,. . . , cn constantes arbitrarias.

Si observamos que

c1x1(t) + c2x2(t) + · · ·+ cnxn(t) =(x1(t) x2(t) · · · xn(t)

)

c1

c2...cn

= X(t)c

con

c =

c1

c2...cn

,

la solucion general del sistema se podrıa escribir, en notacion matricial, de la siguiente forma:

x(t) = X(t)c.


Ejemplo 8.11 .- Dado el sistema x′ =(

0 1−2 2

)x, comprobar que las funciones vectoriales

x1(t) =

(et cos t

et(cos t− sen t)

)y x2(t) =

(et sen t

et(cos t + sen t)

)

forman un sistema fundamental de soluciones, escribir la solucion general del sistema y hallar

la unica solucion del sistema que cumple la condicion inicial x(0) =

(23

).

En primer lugar hay que observar que la matriz del sistema A(t) =

(0 1−2 2

)es continua

en toda la recta real, de modo que el intervalo de defincion del sistema es (−∞, +∞). Acontinuacion tenemos que comprobar que x1(t) y x2(t) son soluciones del sistema:

x′1(t) =

(et(cos t− sen t)−2et sen t

)A(t)x1(t) =

(0 1−2 2

)(et cos t

et(cos t− sen t)

)=

=

(et(cos t− sen t)−2et sen t

).

x′2(t) =

(et(sen t + cos t)

22et cos t

)A(t)x2(t) =

(0 1−2 2

)(et sen t

et(cos t + sen t)

)=

=

(et(sen t + cos t)

2et cos t

).

Calculamos

det(x1(t) x2(t)) =

(et cos t et sen t

et(cos t− sen t) et(sen t + cos t)

)= et(sen2 t + cos2 t) = et

Ası pues det(x1(0) x2(0)) = e0 = 1 6= 0. esto significa que x1(t) y x2(t) son linealmenteindependientes y forman un sistema fundamental de soluciones. Equivalentemente, la matriz

X(t) =(x1(t) x2(t)

)=

(et cos t et sen t


)

es una matriz fundamental de soluciones.

La solucion general del sistema sera

x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) = c1

(et cos t

et(cos t− sen t)

)+ c2

(et sen t

et(cos t + sen t)

)=

=

(c1e

t cos t + c2et sen t

c1et(cos t− sen t) + c2e

t(cos t + sen t)

).


Notese que si pusieramos

x(t) = X(t)c =

(et cos t et sen t


)(c1

c2

)=

=

(c1e

t cos t + c2et sen t

c1et(cos t− sen t) + c2e

t(cos t + sen t)

)

obtendrıamos el mismo resultado.

Finalmente, la solucion que cumple la condicion inicial x(0) =

(23

)sera la que se obtiene

imponiendo esta condicion en la solucion general:

(23

)=

(c1 · 1 + c2 · 0c1 · 1 + c2 · 1

).

Ası c1 = 2 y c2 = 1 y la solucion pedida sera

x(t) =

(et(2 cos t + sen t)et(3 cos t− sen t)

).

O, escrito en funcion de las componentes x(t) =

(x1(t)x2(t)

):

x1(t) = et(2 cos t + sen t)x2(t) = et(3 cos t− sen t).

En conclusion: para hallar la solucion general de cualquier sistema lineal homogeneo hayque disenar un metodo para calcular n soluciones que sean linealmete independientes, oequivalentemente, una matriz fundamental de soluciones. Este es el objetivo de la siguienteleccion para los sistemas lineales con ceficientes constantes; los unicos para los que, como yahemos dicho, tenemos metodos analıticos generales de resolucion. Para su estudio necesitamosalgunos preparativos de Algebra Lineal que presentamos en la proxima seccion.

8.5. Valores y vectores propios de matrices

En esta seccion se hace uso de algunos conceptos basicos de Algebra Lineal tales comolas operaciones con matrices y vectores y, en especial, la teorıa relacionada con la resolucionde sistemas homogeneos de ecuaciones (algebraicas) lineales; en particular, los conceptos derango y determinante de una matriz son basico. Quienes no esten familiarizados con estosconceptos o quieran repasarlos, pueden hacerlo en el Anexo sobre Matrices.

8.5 Valores y vectores propios de matrices 133

De ahora en adelante representaremos por In la matriz identidad. Es decir

In =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

,

Comenzamos con la definicion de valor y vector propio de una matriz.

Definicion 8.12 .- Dada una matriz A ∈ Rn×n se dice que el numero complejo λ ∈ C esun valor propio de A si existe un vector v 6= 0 tal que Av = λv. A este vector, v, se lellama vector propio de A asociado al valor propio λ.

Un ejemplo puede clarificar el significado de esta definicion:

Ejemplo 8.13 .- Compruebese que v =

1−11

es un vector propio de la matriz

A =

0 −1 −32 3 3−2 1 1

Debemos comprobar que hay un numero λ (real o complejo) tal que Av = λv. Para ellomultiplicamos A por v:

Av =

0 −1 −32 3 3−2 1 1

1−11

=

−22−2

.

Y como v =

1−11

, tenemos que

Av = (−2)v,

de modo que λ = −2 hace que Av = λv.


Una pregunta natural es si toda matriz cuadrada tiene valores y vectores propios. Pararesponder a esta cuestion observamos que la condicion Av = λv es equivalente a (λv−Av) =0. O, tambien, sacando v factor comun:

(λIn − A)v = 0. (8.13)

Para cada valor de λ, (8.13) es un sistema lineal homogeneo de n ecuaciones con n incognitas:las componentes del vector v. Esto se puede ver con mas claridad si desarrollamos la ecuacion(8.13):

(λ− a11) v1 − a12v2 − · · · − a1nvn = 0−a21v1 + (λ− a22) v2 − · · · − a2nvn = 0

......

......

−an1v1 − an2v2 − · · · + (λ− amn) vn = 0

(8.14)

Por ser un sistema homogeneo hay siempre un solucion obvia (o trivial): v1 = v2 = · · · =vn = 0. Pero para que v sea un vector propio, por definicion, debe ser distinto de cero.Ası pues, la solucion trivial no nos sirve.

Ahora bien, se sabe que un sistema homogeneo de n ecuaciones lineales con n incognitastiene una solucion no trivial si y solo si, el determinante de la matriz de coeficientes es iguala cero. Ası, para hallar una solucion v distinta de cero de la ecuacion (8.14) se debe cumplir

det (λIn − A) = 0 (8.15)

Al desarrollar el det(λIn − A) obtenemos un polinomio de grado n del que tenemos queobtener los λ que lo hacen cero; es decir, sus raıces, que deben ser n, igual al grado delpolinomio, aunque puede haber raıces repetidas. Una vez obtenidas estas n raıces, digamosλ1, λ2, . . . , λn, podemos obtener, para cada una de las que no estan repetidas, un vectorpropio sin mas que resolver el sistema (8.13). Clarifiquemos este proceso con un ejemplo.

Ejemplo 8.14 .- Dada la matriz

A =

1 −1 43 2 −12 1 −1

se pide calcular sus valores propios y para cada uno de ellos un vector propio asociado.

Debemos calcular el det(λI3 − A) e igualarlo a 0:

det(λI3 − A) = det

λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ + 1

= λ3 − 2λ2 − 5λ + 6 = 0.


Llamamos p(λ) a este polinomio:

p(λ) = λ3 − 2λ2 − 5λ + 6 = 0 (8.16)

A continuacion debemos calcular los valores de λ que hacen cero esta ecuacion; es decir lasraıces de p(λ). En este caso hay una raız entera que se puede hallar por la regla de Ruffini,que es λ1 = 1. En efecto

13 − 2 · 12 − 5 · 1 + 6 = 0

Una vez obtenida la primera raız, dividimos p(λ) por λ−1 y obtenemos el polinomio λ2−λ−6cuyas raıces son λ2 = 3 y λ3 = −2.

Vamos a calcular un vector propio asociado a λ1 = 1. Para calcular un vector propio vasociado a λ1 = 1 debemos resolver el sistema

(λ1I3 − A)v = 0 ⇔

0 1 −4−3 −1 1−2 −1 2

v1

v2

v3

=

000

⇔

v2 − 4v3 = 0−3v1 − v2 + v3 = 0−2v1 − v2 + 2v3 = 0

Este es un simple sistema homogeneo de tres ecuaciones con tres incognitas. Como ya sa-bemos que la matriz del sistema tiene determinante igual a cero, el sistema tiene infinitassoluciones que se pueden expresar en funcion de una o dos variable segun que la matrizdel sistema tenga rango 1 o 2. Ahora bien, si nos fijamos en las dos primeras ecuacionesobservamos que

det

(0 1−3 −1

)6= 0 (8.17)

de modo que rang(λ1I3 − A) = 2. Esto significa que el subespacio de soluciones del sistema(λ1I3−A)v = 0 es 1: el numero de incognitas menos el rango de la matriz de los coeficientes.Esto significa que dos de las incognitas se pueden poner en funcion de una tercera. Para elegiresta escogemos una submatriz de tamano 2× 2 (el rango de la matriz del sistema λ1I3 −A)cuyo determinante sea distinto de cero. De hecho, ya hemos seleccionado tal submatriz,(8.17), al calcular el rango de λ1I3 − A. Esta submatriz corresponde a las incognitas v1 yv2 y a las ecuaciones primera y segunda. Por consiguiente, la solucion general del sistemala podemos obtener despejando estas dos incognitas en funcion de la tercera, v3, haciendoloen el subsistema correspondiente a la submatriz seleccionada; i.e. en el correspondiente a lasdos primeras ecuaciones:

v2 = 4v3

3v1 + v2 = v3

De aquı obtenemos que v2 = 4v3 y v1 = −v3. La solucion general del sistema (λ1I3−A)v = 0sera

v =

−v3

4v3

v3


Hay, en efecto, infinitas soluciones: una para cada posible valor de v3. Cualquiera distintade cero nos sirve porque nos piden un vector propio. Por ejemplo, dando a v3 el valor 1 ysustituyendo: v1 = −1 y v2 = 4. Ası pues un vector propio asociado al valor propio λ1 = 1serıa

v1 =

−141

Procedemos de la misma forma con λ2 = 3. Planteamos el sistema

(λ2I3−A)v = 0 ⇔ (3I3−A)v = 0 ⇔

2 1 −4−3 1 1−2 −1 4

v1

v2

v3

=

000

⇔

2v1 + v2 − 4v3 = 0−3v1 + v2 + v3 = 0−2v1 − v2 + 4v3 = 0

Hallamos el rango de la matriz del sistema 3I3 − A. Para ello miramos a ver si hay unasubmatriz de orden 2 que sea no singular; i. e. con determinante distinto de cero. Hay varias,una de ellas es (

1 1−1 4

)

cuyo determinante es 5. Ası que rang(3I3 −A) = 2 y la dimension del espacio de solucioneses 1. Usando la submatriz elegida, podemos despejar las incognitas v2 y v3 en funcion de v1:

{v2 + v3 = 3v1

−v2 + 4v3 = 2v1

De aquı sacamos que v3 = v1 y v2 = 2v1. La solucion general del sistema sera

v =

v1

2v1

v1

Y dando a v1 un valor distinto de cero, por ejemplo v1 = 1, obtenemos un vector propioasociado al valor propio λ2 = 3:

v2 =

121

.

Para obtener un vector propio asociado al tercer valor propio, λ3 = −2, procederıamosde la misma forma.

En el ejemplo que acabamos de ver se aprecia que el metodo para obtener los valorespropios y un vector propio asociado a cada uno de ellos es rutinario y se puede concretar dela siguiente forma: Dada la matriz A, de tamano n× n


1. Se calcula det(λIn − A) que es un polinomio de grado n monico (i.e. el coeficiente delmonomio λn es 1). A este polinomio se le llama polinomio caracterıstico de A.

2. Se calculan las raıces del polinomio caracerıstico. Esto no es una tarea facil en lapractica salvo para n ≤ 2. Si el polinomio resulta tener raıces enteras, estas se puedenobtener por tanteo o el metodo de Ruffini. Una vez obtenida una de tales raıces,digamos λ0, se puede reducir el grado del polinomio caracterıstico dividiendolo por(λ − λ0). Y continuar de esta forma mientras haya raıces enteras. Por lo general, sedeben emplear metodos numericos y ayuda de un ordenador para hallar las raıces delpolinomio caracterıstico. El programa Factoris del sistema WIMS que se encuentra enhttp://wims.unice.fr/wims/ es muy util y facil de usar. No se debe olvidar pincharen Menu of options para seleccionar C como base de la factorizacion de los polinomios.

3. El polinomio caracterıstico tiene n raıces porque es de grado n, aunque estas puedenser complejas. Por ejemplo, si

A =

(0 −11 0

)

su polinomio caracterıstico es

det(λIn − A) = det

(λ −1−1 λ

)= λ2 + 1 = (λ + i)(λ− i)

siendo i =√−1 la unidad imaginaria. Lease el Anexo sobre numeros complejos si no se

esta familiarizado con ellos. Si hay raıces complejas todas las operaciones posterioreshay que hacerlas usando aritmetica compleja.

Tambien puede suceder que entre las n raıces del polinomio caracterıstico haya valoresrepetidos. Si un numero, digamos λi, aparece mi veces como raız del polinomio carac-terıstico, se dice que λi es una raız de multiplicidad mi. Teniendo en cuenta que lasraıces del polinomio caracterıstico son los valores propios de A, tambien se dice que λi

es un valor propio de A de multiplicidad algebraica mi. Es decir, la multiplicidadalgebraica de un valor propio es su multiplicidad como raız del polinomio caracterıstico:el numero de veces que aparece como raız de este. Por ejemplo, el polinomio carac-terıstico de la matriz

A =

7 5 −3 20 1 0 012 10 −5 4−4 −4 2 −1

esp(λ) = λ4 − 2λ3 + 2λ− 1

que se factoriza (usando Factoris) de la siguiente forma:

p(λ) = (λ + 1)(λ− 1)3.


Por lo tanto A tiene dos valores propios distintos λ1 = 1 y λ2 = −1. El primero aperece3 veces como raız de p(λ), ası que su multiplicidad algebraica es 3. El segundo aparecesolamente una vez; su multiplicidad algebraica es 1.

4. Para cada uno de los distintos valores propios se pueden calcular vectores propios. Paraello, si λ0 es un valor propio del que se quieren calcular vectores propios, se planteael sistema (λ0In − A)v = 0. A este sistema se le llama sistema caracterıstico de Aasociado o relativo al valor propio λ0.

El sistema caracterıstico es un sistema lineal homogeneo que es compatible (i.e. tienesolucion distinta de la trivial porque det(λ0In−A) = 0) e indeterminado porque tieneinfinitas soluciones. Cada una de ellas es un vector propio de A asociado al valor propioλ0. Todos estos vectores propios junto con el vector 0, que es la solucion trivial del sis-tema caracterıstico, forman un subespacio vectorial de vectores de n componentes. Es elespacio de soluciones del sistema caracterıstico, tambien llamado subespacio propiode A asociado al valor propio λ0. La dimension de este subespacio (esto es, el numero desoluciones linealmente independientes del sistema caracterıstico) es n−rang(λ0In−A).A este numero tambien se le llama multiplicidad geometrica de λ0 como valor pro-pio de A. Hay tantos vectores propios linealmente independientes asociadosa λ0 como su multiplicidad geometrica.

5. Para hallar tantos vectores propios linealmente independientes asociados a un valorpropio λ0 como su multiplicidad geometrica(es decir, para hallar una base del subes-pacio propio), se resuelve el sistema caracterıstico de la forma habitual:

(i) Se calcula el rango de la matriz del sistema buscando una submatriz cuadrada demaximo tamano con determinante distinto de cero. Supongamos rang(λ0In−A) =r, lo que significa que la dimension del espacio de soluciones es n− r.

(ii) Utilizando la submatriz encontrada, se despejan las correspondientes r incognitasen funcion de las restantes n− r.

(iii) Se resuelve el correspondiente sistema compatible determinado r × r obteniendola solucion general del sistema que dependera de n− r incognitas.

(iv) Se dan valores apropiados a las n − r incognitas para obtener n − r vectoreslinealmente independientes.

El siguiente ejemplo puede ilustrar todo el proceso anterior

Ejemplo 8.15 .- Hallar los valores propios y una base del correspondiente subespacio propiopara la matriz

A =

0 −1 04 4 0−1 −1 2


Calculemos su polinomio caracterıstico

det(λI3 − A) = det

λ 1 0−4 λ− 4 01 1 λ− 2

= (λ2 − 4λ + 4)(λ− 2) = (λ− 2)3

Ası que A solo tiene un valor propio λ = 2 de multiplicidad algebraica 3. Vamos calculartantos valores propios linealmente independientes como sea posible. Planteamos el sistemacaracterıstico:

(λI3 − A)v = 0 ⇔ (2I3 − A)v = 0 ⇔

2 1 0−4 −2 01 1 0

v1

v2

v3

= 0

Se ve enseguida que solo hay una columna que es linealmente independiente en 2I3 − A: laprimera o la segunda. Por lo tanto, solo podemos encontrar submatrices de tamano 1 × 1con determinante distinto de cero. (Esto tambien se puede ver planteando las 6 submatricesposibles de tamano 2 × 2 y comprobando que sus determinantes son cero). Una de talessubmatrices de tamano 1 × 1 distintas de cero es, por ejemplo, la formada por el elementoen la posicion (1, 1): 2. Ası

rang(2I3 − A) = 1

y la dimension del espacio propio de A asociado a λ = 2 (o la multiplicidad geometricade λ = 2) es 2. Debe haber dos vectores propios asociados a λ = 2 que son linealmenteindependientes. Calculemoslos utilizando la submatriz elegida. Despejamos v1 en funcion dev2 y v3 en la primera ecuacion:

2v1 = −v2

(v3 no aparece en este caso porque esta afectado por el coeficiente 0). La solucion generaldel sistema caracterıstico sera

v =

−v2/2

v2

v3

.

Ahora debemos dar valores a v2 y v3 para conseguir dos vectores linealmente independientes.Hay una forma de hacerlo que funciona bien: v2 = 1, v3 = 0 y al reves: v2 = 0 , v3 = 1. Dehecho lo que hay que hacer es escoger dos vectores de la forma

(v2

v3

)

que sean linealmente independientes. La eleccion hecha corresponde a los vectores

(10

)y

(01

).


En conclusion, una base del subespacio propio sera:

v1 =

−1/2

10

y v2 =

001

En este ejemplo hemos visto que la multiplicidad geometrica del valor propio λ = 2es 2 mientras que la algebraica es 3. Esto no es una casualidad, es verdad siempre que lamultiplicidad algebraica es mayor o igual que la multiplicidad geometrica. Estapropiedad que la asumiremos sin demostracion resultara ser my importante a la hora dehallar las soluciones de los sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes, que espara lo que estamos introduciendo todos estos conceptos.

Observaciones 8.16 .- Una consecuencia de la propiedad acerca de la desigualdad de lasmultiplicidades es que si λ0 es un valor propio de A y su multiplicidad algebraica es 1,entonces, como la multiplicidad geometrica no puede ser mayor que la algebraica, y tampocopuede ser cero porque λ es valor propio y por lo tanto el sistema caracterıstico correspondientesiempre tiene solucion no trivial, debe resultar que la multiplicidad geometrica del valorpropio tambien es 1. Ası, para valores propios simples (de multiplicidad algebraica 1) loscorrespondientes subespacios propios siempre son de dimension 1; nunca habra dos vectorespropios linealmente independientes asociados a dicho valor propio.

Observaciones 8.17 .- (a) Con el programa Matrix Calculator de WIMS se pueden cal-cular rapidamente valores y vectores propios de matrices con total facilidad. Conviene utili-zarlopara comprobar que los resultados que se obtienen a mano son correctos.

(b) Los programas Factoris y Solucionador de sistemas lineales facilitan muchısimola tarea de calcular valores y vectores propios de matrices.

He aquı un ejemplo del modo correcto de proceder ante un problema tipo:

Ejemplo 8.18 .- Calcular los valores propios y bases de los subespacios propios para lamatriz

A =

7 5 −3 20 1 0 012 10 −5 4−4 −4 2 −1

Esta matriz ya ha aparecido anteriormente y hemos dicho que su polinomio caracterısticoes

p(λ) = λ4 − 2λ3 + 2λ + 1.


Veamos como calcularlo con ayuda de WIMS desde el principio. Al entrar en la pagina prin-cipal de WIMS, http://wims.unice.fr/wims/, escogemos la opcion Online calculators

and plotters o su equivalente en frances Outils de calcul et de graphisme en ligne.Y en la nueva pagina, una vez seleccionado el lenguaje castellano, pinchamos en Matrix

calculator. Siguiendo las instrucciones que allı vienen escribimos la matriz A y selecciona-mos characteristic polynomial. Comprobamos que el resto de opciones no estan marcadosy pinchamos en Show obteniendo:

characteristic polynomial = X4 − 2X3 + 2X − 1

de modo que el polinomio caracterıstico es p(λ).

A continuacion calculamos sus raıces utilizando el programa Factoris. Para ello volvemosal menu de calculadores en lınea y lo seleccionamos. Introducimos el polinomio en el cuadrocorrespondiente en la siguiente forma

x^4-2*x^3+2*x+1

Pinchamos en Menu Options y seleccionamos C como base para la factorizacion de polino-mios. A continuacion pinchamos en factor para hallar las raıces del polinomio. Obtenemos

x4− 2x3 +2x− 1 = (x+(1,0+0,0i))(x+(−1,0+0,0i))(x+(−1,0+0,0i))(x+(−1,0+0,0i))

Esto significa que las raıces son

λ1 = 1 + 0 · i = 1 y λ2 = −1 + 0 · i = −1,

la primera 3 veces. Por lo tanto λ1 = 1 tiene multiplicidad algebraica q1 = 3 y λ2 = −1 tienemultiplicidad algebraica q2 = 1.

Calculamos vectores propios (tantos como podamos) para el valor propio λ1 = 1. Paraello seleccionamos el calculador Solucionador de sistemas lineales. Y allı el metodo

matricial. En el cuadro correspondiente a la matriz A escribimos la matriz

λ1I4 − A = I4 − A =

−6 −5 3 −20 0 0 0−12 −10 6 −44 4 −2 2

(Esto se puede automatizar usando el programa Matrix calculator, merece la pena estu-diarlo cuando se va a realizar muchas veces). Escribimos en el cuadro correspondiente a lamatriz B el vector cero

0000

,


y pinchamos en resolver el sistema. El programa escribe el sistema de forma explıcita ya continuacion pone

Este sistema tiene infinitas soluciones, las cuales son (con parametros ri):

{x1 = (r2 + r1)/2, x2 = −r1, x3 = r2, x4 = r1}.

Utilizando nuestra notacion esto significa que la solucion general del sistema (λ1I4−A)v =0 es

v =

(v2 + v1)/2−v1

v2

v1

(8.18)

Ası pues, las soluciones dependen de dos parametros v1 y v2. O lo que es lo mismo elsubespacio de soluciones del sistema (λ1I4 − A)v = 0 es de dimension 2. Podıamos haberlosabido de antemano si, usando Matrix calculator, calculamos el rang(λ1I4 −A) (rango esrank en ingles). Habrıamos visto que este es 2, por lo que la dimension del subespacio propioes n − rang(λ1I4 − A) = 4 − 2 = 2. Entonces la multiplicidad geometrica de λ1 = 1 es 2 ypara conseguir dos vectores linealmente independientes; i.e., una base del subespacio propio,hay que dar valores apropiados a v1 y v2: debemos escoger dos vectores de la forma

(v1

v2

)

que sean linealmente independientes. Por ejemplo(

20

)y

(02

)

Ası, sustituyendo en (8.18), obtendrıamos los vectores propios

v1 =

1−202

y v2 =

1020

Si hacemos lo mismo con el valor propio λ2 = −1, obtenemos que la dimension delsubespcio propio correspondiente es 1 y que la solucion general del sistema caracterıstico(λ2I4 − A)v = es

v =

−v1

0−2v1

v1

.


Tomando v1 = −1 obtenemos un vector propio que genera todo el subespacio propio:

v3 =

102−1

.

Ahora podemos comprobar si estos resultados coinciden con los que proporciona Matrix

calculator directamente. Escribiendo la matriz A original y seleccionando Eigenvalues

and eigenvectors, y pinchando en Show obtenemos la siguiente tabla

Value Multiplicity Vector−1 1 (1, 0, 2,−1)1 3 (1, 0, 2, 0), (0, 1, 1,−1)

Casi todo coincide: los valores propios coinciden, el vector propio asociado al valor propioλ2 = −1 es el mismo que el obtenido por nosotros. Lo mismo pasa con uno de los vecto-res propios asociados al valor propio λ1 = 1, pero el otro no. Esto no debe asustarnos. Enrealidad, los vectores propios que da el programa y los que obtenemos nosotros no tienenpor que coincidir: recordemos que nosotros obtenemos la solucion general del sistema carac-terıstico y despues elegimos como queremos los parametros. Dos personas diferentes puedendar valores diferentes y ambas obtener respuetas correctas. Lo mismo pasa con el ordena-dor. Para estar seguros de que nuestro resultado es correcto, basta comprobar que el vectorobtenido por nosotros

v1 =

1−202

y el dado por el programa Matrix calculator:

011−1

son vectores que corresponden a dar valores concretos a los parametros de la solucion general:

v =

(v2 + v1)/2−v1

v2

v1

El nuestro corresponde a la eleccion: v1 = 2 y v2 = 0. Y el del programa a la eleccion v1 = −1y v2 = 1. Por lo tanto ambas respuestas son correctas.

Lección 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

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