Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DEORDEN SUPERIORAmpliación de Matemáticas.

Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General1 Introducción 1

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 3

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Obtenciónde la solución general 4

4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 6

5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecuación diferencial ordinaria 95.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1.2 Muelle sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . . 11

5.2 Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.2 Péndulo sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . 14

5.3 Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.1 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.2 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Solución de los problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4.1 Ecuación x00 + ω2x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4.2 Ecuación x00 +1

τx0 + ω2x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4.3 Ecuación x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 IntroducciónA lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n yse desarrollarán métodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atención a lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en laforma

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x) (1)

para la que admitimos que los coeficientes ai(x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f(x) son funcionesdefinidas en un intervalo I ⊆ R.La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f(x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario,

se dice no homogénea o completa.

1

Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

El problema de valor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)

y(x0) = y0y0(x0) = y00...yn−1)(x0) = y

n−1)0

(2)

donde x0 ∈ I e y0, y00, . . . , yn−1)0 son constantes arbitrarias.

En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una única solucióndel problema de valor inicial.

Teorema 1.1 (Existencia y unicidad)Si las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x) y f(x) son continuas en un intervalo abierto I que con-

tiene al punto x0, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada³y0, y

00, . . . , y

n−1)0

´∈ Rn, definida en dicho intervalo.

En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) y el segundo miembro f(x)de la ecuación (1) son funciones continuas en algún intervalo I. De esta forma, tendremos garantizadoque la ecuación (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I.A continuación introduciremos algunos conceptos que se utilizarán en el estudio de las propiedades

de las E.D.O. lineales.

Definición 1.1 Sean g, g1, g2, . . . , gk funciones reales definidas en el intervalo I.Se dice que la función g es combinación lineal de las funciones g1, g2, . . . , gk en el intervalo I,

cuando existen k números reales C1, C2, . . . , Ck tales que

g (x) = C1g1 (x) + C2g2 (x) + · · ·+ Ckgk (x) , ∀x ∈ ISe dice que las funciones g1, g2, . . . , gk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I cuandolos únicos números reales C1, C2, . . . , Ck para los que se verifica la igualdad

C1g1 (x) + C2g2 (x) + · · ·+ Ckgk (x) = 0, ∀x ∈ Ison C1 = C2 = · · · = Ck = 0. En caso contrario, se dice linealmente dependientes.Cuando las funciones g1, g2, . . . , gk tienen derivadas sucesivas hasta el orden k−1 en el intervalo I, se

llama wronskiano de las funciones g1, g2, . . . , gk a la función que denotaremos por W (g1, g2, . . . , gk) osimplemente W , tal que W : I −→ R

W (x) =

¯̄̄̄¯̄̄̄¯g1 (x) g2 (x) · · · gk (x)g01 (x) g02 (x) · · · g0k (x)...

......

gk−1)1 (x) g

k−1)2 (x) · · · g

k−1)k (x)

¯̄̄̄¯̄̄̄¯ , ∀x ∈ I,

donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyas filas sucesivas están determi-nadas por las funciones gi, y sus derivadas sucesivas hasta el orden k − 1.

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneasTeorema 2.1 Si las funciones y1, y2, . . . , yn son n soluciones en el intervalo I de la ecuación linealhomogénea

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0, (3)

entonces, toda función de la forma C1y1 + C2y2 + · · · + Cnyn, donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R, también essolución de la ecuación.

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Esto es, toda combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea es también soluciónde dicha ecuación.

Lemma 1 Sean y1, y2, . . . , yn n soluciones en el intervalo I de la ecuación

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0,

y sea x0 ∈ I. Entonces:1. y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 se anula.

2. y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 no seanula.

Teorema 2.2 Si y1, y2, . . . , yn son n soluciones l.i. en el intervalo I de la ecuación

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0,

entonces cada solución de la ecuación (3) puede expresarse en la forma

C1y1 + C2y2 + · · ·+ Cnyn,para algunas constantes C1, C2, . . . , Cn ∈ R.

De lo anterior se desprende que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea vienedada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones l.i. como orden tiene dicha ecuación.Además en la solución general, están dadas todas las soluciones que tiene dicha ecuación.

Así, el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea, se reduce al deencontrar tantas soluciones particulares linealmente independientes de dicha ecuación, como orden tengadicha ecuación. Por ello nos surge la siguiente pregunta: ¿Existen n soluciones linealmente independientesde la ecuación homogénea de orden n? Cuando los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) son funcionescontinuas en algún intervalo I, como se ha venido suponiendo, del teorema 1 se puede deducir que larespuesta es afirmativa. Basta tener en cuenta que dicho teorema asegura que hay n soluciones distintaspara los n problemas de valor inicial correspondientes a la ecuación homogénea en los que

³y0, y

00, . . . , y

n−1)0

´sean respectivamente los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) , (0, 0, . . . , 1) .Además dichas soluciones son linealmente independientes puesto que su wronskiano en el punto x0 es

no nulo.

Veremos un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de un ecuación dife-rencial lineal de coeficientes constantes.

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientesconstantes. Obtención de la solución general

En este apartado consideraremos únicamente ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes,y veremos cómo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuacionesde orden dos.

Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes

y00 + a1y0 + a2y = 0 (4)

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para encontrar soluciones de esta ecuación, ensayaremos soluciones de la forma y = erx.Así, observamos que

y = erx es solución de (4) ⇐⇒ (erx)00+ a1 (e

rx)0+ a2 (e

rx) = 0

⇐⇒ erx¡r2 + a1r + a2

¢= 0⇐⇒ r2 + a1r + a2 = 0

Por tanto, las soluciones de la ecuación r2 + a1r + a2 = 0, llamada ecuación característica de laecuación (4), nos determina los números r para los que y = erx es solución de (4).Atendiendo pues, a las posibles soluciones de la ecuación característica se pueden presentar tres casos:

Caso 1: La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas.Si r1, r2 son las dos soluciones reales de la ecuación característica, hemos probado que las funciones

er1x, er2x son soluciones de la ecuación homogénea (4) . Como además son linealmente independientes,ya que su Wronskiano en x = 0 no es nulo, tenemos que la solución general de la ecuación homogénea es

y (x) = C1er1x + C2e

r2x

con C1, C2 ∈ R.Caso 2: La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas.Cuando las raíces r1, r2 de la ecuación característica son complejas conjugadas, entonces las funciones

er1x, er2x son al igual que antes soluciones independientes de la ecuación homogénea, pero ahora sonfunciones complejas de la variable real x. Sin embargo, veremos que es posible, a partir de ellas, obtenersoluciones reales linealmente independientes.

Suponiendo que r1 = a+ bi, y por tanto r2 = a− bi, se verifica que1

2er1x +

1

2er2x = eax cos bx

1

2ier1x − 1

2ier2x = eaxsen bx

Así, las funciones eax cos bx, eaxsen bx son soluciones de la ecuación dada (por ser combinación linealde dos soluciones de dicha ecuación) y además son linealmente independientes (ya que su wronskiano enx = 0 no es nulo).Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en la forma:

y (x) = eax (C1 cos bx+ C2senbx)

con C1, C2 ∈ R.Caso 3: La ecuación característica tiene una raíz real doble.En este caso, si r es la raíz doble de la ecuación característica, la función erx es una solución de la

ecuación homogénea, y para buscar otra linealmente independiente con ella, podríamos pensar en ensayarcon posibles soluciones de la forma: y(x) = u(x)erx.Se tiene que

y = u (x) erx es solución de (4) ⇐⇒ (u (x) erx)00+ a1 (u (x) e

rx)0+ a2 (u (x) e

rx) = 0⇐⇒

erx£u (x)

¡r2 + a1r + a2

¢+ u0 (x) (2r + a1) + u00 (x)

¤= 0 ⇐⇒

r2 + a1r + a2 = 02r + a1 = 0

u00 (x) = 0⇐⇒ u (x) = Ax+B.

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Luego en particular (para A = 1, B = 0) la función es solución de la ecuación homogénea (4), y porser linealmente independiente con, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en laforma:

y (x) = erx (C1 + C2x)

con C1, C2 ∈ R.Estas ideas desarrolladas para encontrar dos soluciones l.i. de una ecuación lineal homogénea de orden

2 con coeficientes constantes se pueden extrapolar al caso de ecuaciones de mayor orden. La dificultadobvia que surgirá es la determinación de las raíces de la correspondiente ecuación característica que seráuna ecuación polinómica de grado al menos tres.

Todo el desarrollo teórico anterior nos permite dar el siguiente procedimiento para obtener todas lassoluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes.

PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIÓN GENERAL de una ecuación linealhomogénea de orden n con coeficientes constantes.

(a) Encontrar las n raíces de la ecuación característica asociada (dicha ecuación es la que resulta desustituir en la ecuación diferencial cada derivada yk) por la potencia rk).

(b) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica 1, una solución de la ecuación ecuación diferencialhomogénea es y = eλx.

(c) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica m > 1, m soluciones de la ecuación diferencialhomogénea son:

y1 = eλx, y2 = xe

λx, . . . , ym = xm−1eλx

(d) Si α+ iβ y α− iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica 1, entonces dos soluciones dela ecuación diferencial homogénea son:

y1 = eαx senβx, y2 = e

αx cosβx

(e) Si α+iβ y α− iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica m > 1, entonces 2m solucionesde la ecuación diferencial homogénea son:

y1 = eαx cosβx, y2 = xe

αx cosβx, . . . , ym = xm−1eαx cosβx

ym+1 = eαx senβx, ym+2 = xe

αx senβx, . . . , y2m = xm−1eαx senβx

Siguiendo los pasos anteriores, las n soluciones obtenidas y1, y2, . . . , yn son l.i. Por ello, la solucióngeneral de la ecuación diferencial homogénea es

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x),

donde C1, C2, . . . , Cn ∈ R.NOTA: Para las ecuaciones lineales con coeficientes variables, no se cuenta con un método general

para determinar n soluciones linealmente independientes.

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4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogéneade orden n

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)

y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta desustituir f(x) por cero; esto es,

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y0 + an(x)y = 0.

Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general desu ecuación homogénea.

Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x), f(x) son continuas en un intervaloabierto I. Si zp(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e yg(x) es la solución generalde la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea sepueden expresar en la forma

y(x) = yg(x) + zp(x)

y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.

MÉTODOS PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN PARTICULAR de la ecuación linealno homogénea con coeficientes constantes.Vamos ahora a exponer métodos para obtener una solución particular de la ecuación lineal no ho-

mogénea de orden n con coeficientes constantes, que desarrollaremos en el caso de la ecuación de orden2:

y00 + a1y0 + a2y = f (x) (5)

• Método de variación de constantes

El método consiste en obtener una solución particular de la ecuación a partir de la solución generalde la ecuación homogénea asociada, dada por

yg (x) = C1y1(x) + C2y2(x)

Para ello las constantes C1, C2 de dicha solución se consideran funciones de x y se trata de determinarfunciones C1 (x) , C2 (x) para las que

zp (x) = C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x) (6)

sea solución de la ecuación completa dada.La única condición que en definitiva deben cumplir las funciones C1 (x) y C2 (x) es que la función

dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuación diferencial (5).En efecto, de (6) se tiene que

z0p (x) = C01 (x) y1(x) + C1 (x) y

01(x) + C

02 (x) y2(x) + C2 (x) y

02(x)

y para simplificar los cálculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas C1 (x) yC2 (x), supondremos que

C 01 (x) y1(x) + C02 (x) y2(x) = 0 (7)

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con lo que z0p (x) = C1 (x) y01(x) + C2 (x) y02(x) y la derivada segunda es

z00p (x) = C01 (x) y

01(x) + C1 (x) y

001 (x) + C

02 (x) y

02(x) + C2 (x) y

002 (x)

por lo que zp (x) es solución de la ecuación diferencial no homogénea cuando

C 01 (x) y01(x) + C1 (x) y

001 (x) + C

02 (x) y

02(x) + C2 (x) y

002 (x) +

+a1 [C1 (x) y01(x) + C2 (x) y

02(x)] + a2 [C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x)] = f (x)

que podemos escribir, reordenando términos, en la forma

C1 (x) [y001 (x) + a1y

01(x) + a2y1(x)] + C2 (x) [y

002 (x) + a1y

02(x) + a2y2(x)] +

+C 01 (x) y01(x) + C

02 (x) y

02(x) = f (x)

Ahora, puesto que los corchetes de la expresión anterior son nulos (ya que y1, y2 son soluciones de laecuación homogénea), llegamos que bajo la hipótesis (7), zp (x) es solución particular de la ecuacióncuando se verifique que

C01 (x) y01(x) + C

02 (x) y

02(x) = f (x) (8)

En definitiva, la función zp (x) es solución de la ecuación cuando existan funciones C1 (x) y C2 (x) queverifiquen las condiciones (7), (8); esto es,

C 01 (x) y1(x) + C02 (x) y2(x) = 0C 01 (x) y

01(x) + C

02 (x) y

02(x) = f (x)

Ahora bien, el sistema de ecuaciones anterior posee solución única pues el determinante de la matrizde coeficientes es el wronskiano de las soluciones l.i. y1, y2.Resolviendo este sistema, obtendremos C01 (x) y C02 (x). Después por integración se obtendrán C1 (x)

y C2 (x) , y así se obtendrá la expresión de una solución particular de la ecuación

zp (x) = −y1(x)Zf (x) y2(x)

W (x)dx+ y2(x)

Zf (x) y2(x)

W (x)dx

NOTA: El razonamiento seguido en el método de variación de constantes se puede emplear paraobtener una solución particular de cualquier ecuación lineal completa de orden n, conocida la solucióngeneral de la ecuación homogénea asociada. La dificultad obvia es que se necesita conocer la solucióngeneral de la ecuación homogénea asociada, para poder aplicar este método.

• Método de los coeficientes indeterminados

Este método nos facilita el cálculo de la solución particular cuando la función f(x) es exponencial,polinómica, seno, coseno o sumas y productos de éstas.

Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el método con algunos casos particulares.

Consideremos la ecuación lineal no homogénea de orden 2

y00 + a1y0 + a2y = f(x) (9)

Caso f(x) = ebx

Puesto que la derivación de la función f reproduce dicha función con un posible cambio en el coeficientenumérico, es natural presuponer que la ecuación (9) posee como solución alguna del tipo y(x) = Bebx,para algún valor del coeficiente B.

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Como resulta que

y(x) = Bebxes solución de (9) ⇐⇒ B¡b2 + a1b+ a2

¢ebx = ebx

⇐⇒ B =1

b2 + a1b+ a2

cuando el denominador no se anula.

Por tanto, cuando b no sea raíz de la ecuación característica (es decir, el denominador anterior es nonulo) tendremos una solución particular de la ecuación (9).

Por otra parte, si b es raíz de la ecuación característica, ensayando y(x) = Bxebxcomo posible soluciónde la ecuación, tenemos

y(x) = Bxebxes solución de (9) ⇐⇒ B¡b2 + a1b+ a2

¢xebx +B(2b+ a1)e

bx = ebx

⇐⇒ B(2b+ a1) = 1

ya que el primer paréntesis se anula, al ser b raíz de la ecuación característica.

Por consiguiente, obtenemos una solución particular de (9) si 2b+ a1 no se anula. Esto es, si b no esraíz doble de la ecuación característica.

Finalmente, cuando b es raíz doble de la ecuación característica, se puede comprobar que la funcióny(x) = x2ebx/2 es una solución particular de la ecuación diferencial (9).

En definitiva, si f(x) = ebx, la ecuación (9) tiene una solución particular de alguna de las tres formassiguientes: Bebx, Bxebx, Bx2ebx, donde el coeficiente indeterminado B se obtendrá de imponer que seasolución particular. Obsérvese que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuando laecuación homogénea asociada posee ese tipo de soluciones.

Caso f(x) = sen bx, f(x) = cos bx o cualquier combinación lineal de ellas

Las derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuación (9) puede admitiruna solución particular de la forma

y(x) = α sen bx+ β cos bx

Se puede comprobar que esto es así, siempre que la ecuación homogénea asociada no posea solucionesdel tipo propuesto. En dicho caso, se ensayará con una solución particular del tipo

y(x) = x(α sen bx+ β cos bx)

Caso f(x) función polinómica de grado m en x

En este caso es lógico pensar que (9) admita como solución particular un polinomio de grado menoro igual que m

y(x) = α0 + α1x+ · · ·+ αmxm

Los casos reseñados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales de orden n. Elsiguiente cuadro muestra el tipo de solución particular zp(x) a ensayar cuando f(x) es de los tiposanteriormente citados o su forma es aún más general.

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f(x) zp(x)

Pm(x) P ∗m(x)

Pm(x)ebx P ∗m(x)ebx

Pm(x)ebx sen(cx) +Qm(x)e

bx cos(cx) P ∗m(x)ebx sen(cx) +Q∗m(x)e

bx cos(cx)

Aquí, Pm, P ∗m, Qm y Q∗m son polinomios de grado m.

Siempre se deberá tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solución propuesta zp(x)es solución de la ecuación homogénea, entonces se deberá ensayar como solución particular una del tipoxkzp(x), donde k será el menor número natural tal que ningún sumando de xkzp(x) sea solución de laecuación homogénea.

Obsérvese que la idea básica de este método no se puede extrapolar a ecuaciones con coeficientes noconstantes.

5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecua-ción diferencial ordinaria

En esta sección vamos a estudiar algunos sistemas físicos que pueden describirse mediante ecuacionesdiferenciales lineales, centrando nuestra atención en distintos movimientos que se realizan en torno auna posición llamada de equilibrio. La permanencia del móvil en una región limitada del espacio, sedebe a la existencia de una fuerza recuperadora que produce en el móvil una aceleración que tiende afrenarlo cuando se aleja de la posición de equilibrio. De la acción de esta fuerza, a la que pueden sumarseotras, como el rozamiento, o fuerzas externas de diversa índole, resulta que el móvil se precipite hacia laposición de equilibrio, donde finalmente se detiene, o bien evolucione hasta permanecer oscilando entredos posiciones extremas, o bien oscile pero con amplitud cada vez mayor, llegando por último a escapary dejar de ser un movimiento limitado (aunque antes de que ocurra eso, probablemente el sistema físicose destruirá).

De entre estos sistemas físicos, vamos a interesarnos en unos particularmente importantes que recibenel nombre genérico de osciladores, y de ellos vamos a estudiar tres: un muelle, un péndulo y un circuitoeléctrico sencillo, no tanto por su importancia técnica, que sin duda la tienen, pero que cae fuera delalcance de esta asignatura, sino porque constituyen sistemas conocidos, los conceptos físicos involucradosson sencillos, y es muy fácil pasar rápidamente de ellos a las ecuaciones diferenciales que constituyen susmodelos matemáticos. Comprobaremos un hecho crucial: los tres, independientemente de su estructurafísica, se dejan describir por el mismo modelo matemático, las ecuaciones diferenciales lineales. Porello, algunas veces se les llama osciladores lineales y con más frecuencia osciladores armónicos,empleando para ello un término musical debido a que el tipo de oscilaciones que producen es el mismoque el que forma parte de las ondas sonoras.

5.1 Muelle

Un dispositivo elástico, como un muelle o una tira de goma, tienen la particularidad, debido al materialde que están construidos, y a la forma (en el caso del muelle), de recuperar la longitud inicial después

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de ser estirados. Este comportamiento elástico es debido a la existencia de una fuerza recuperadoraque se opone al estiramiento y que de acuerdo con la ley experimental de Hooke, es proporcional (paraestiramientos pequeños) a la longitud estirada. Estudiaremos este primer sistema mecánico en los trescasos siguientes.

1. Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

2. Sometido a rozamiento pero no a fuerzas externas

3. Sometido a rozamiento y a una fuerza externa

5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Supongamos que disponemos de un muelle de masa despreciable que se encuentra suspendido de unextremo, y cuya longitud es l0. Al colgar del otro extremo un cuerpo de masa m, el muelle se estira hastaalcanzar la longitud l1, quedando entonces inmóvil. En ese momento, el sistema está equilibrado, y laposición del cuerpo se toma como origen. Cualquier desplazamiento posterior se considerará positivo sies hacia abajo de esta posición de equilibrio, y negativo si es hacia arriba. Asimismo, las fuerzas queactúen hacia abajo se tomarán positivas y las que actúen hacia arriba, negativas. Dado que el problemaes unidimensional, no será necesario el empleo de vectores.

En la posición de equilibrio hay dos fuerzas actuando, el peso P hacia abajo, y la fuerza recuperadoradel muelle hacia arriba y que de acuerdo con la ley de Hooke, es proporcional a la longitud estirada, esdecir −k(l1 − l0) donde k > 0 se llama constante elástica del muelle. Pero dado que el sistema estáequilibrado, la suma F de todas las fuerzas es cero

F = P − k(l1 − l0) = 0

l0

l1

x

Si ahora desplazamos el cuerpo hacia abajo una distancia x > 0, el estiramiento del muelle hará actuarde nuevo la fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento −kx de modo que la suma F de todaslas fuerzas que actúan sobre el cuerpo es ahora

F = P − k(l1 − l0)− kx = −kx

Llamando a a la aceleración del cuerpo, la segunda ley de Newton permite escribir

ma = −kx

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o bien, teniendo en cuenta que a = x00

mx00 + kx = 0

y si llamamos ω2 =k

m, la ecuación diferencial queda así

x00 + ω2x = 0.

5.1.2 Muelle sometido a rozamiento

La situación descrita en el caso anterior no es realista. Un muelle que se mueve en el aire, está sometidoa fricciones que se traducen en la aparición de una fuerza que tiende a frenarlo. Además, en ciertasaplicaciones industriales, los muelles se diseñan de modo que el efecto de fricción sea importante, comoocurre con los amortiguadores que se emplean en determinados mecanismos.

Admitamos que el rozamiento del aire influye sobre el movimiento del móvil sujeto al muelle, oponiendouna fuerza proporcional y de sentido contrario a la velocidad, es decir

Fr = −bv b > 0

de modo que al añadir esta nueva fuerza, la segunda ley de Newton queda así

ma = −bv − kxo bien

x00 +b

mx0 +

k

mx = 0

donde hemos dividido por m y sustituido a por x00 y v por x0. Por último, llamando1

τ=b

my ω2 =

k

m,

resulta

x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

5.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Una vez analizada la influencia del rozamiento vamos a estudiar el efecto que produce la aplicación deuna fuerza externa. Nos limitaremos, ya que es el caso más interesante, a fuerza externas sinusoidales.

Imaginemos que ahora el punto S del que está colgado, experimenta un movimiento oscilatorio arribay abajo dado por

p(t) = δ cosω0t δ > 0

p(t)

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Si nos situamos en el punto S, es decir, nos colocamos en un sistema de referencia no inercial, y, puestoque

suma de fuerzas activas = −kx− bvfuerza de inercia = mδω20 cosω0t

la segunda ley de Newton, se escribirá así

−kx− bv +mδω20 cosω0t = ma

Recordando que x00 = a y que x0 = v, y reordenando los términos, podemos escribir la ecuación diferencialde esta forma

mx00 + bx0 + kx = mδω20 cosω0t

al dividir por m, queda

x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t

donde, como ya es habitual, hemos llamado1

τ=b

my ω2 =

k

m, además de A0 = δω20.

5.2 Péndulo

Al igual que para el muelle, analizaremos el movimiento del péndulo en los tres casos anteriores.

5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Consideremos un péndulo constituido por un hilo de longitud l inextensible y de masa despreciable delque cuelga un cuerpo de masa m. Las fuerzas que actúan son el peso P = mg y la tensión T del hilo.Tomaremos como positivo el sentido hacia abajo en la dirección vertical, y como origen de ángulos larecta vertical OS. Al desplazarse el péndulo hacia la derecha, el ángulo descrito θ se tomará positivo, asícomo el arco de circunferencia que describe el cuerpo de masa m. Llamaremos s al desplazamiento a lolargo de este arco.

����

������������������������������������

������������������������������������

S

O

+-

T

θ

P

Pt P

n

θs

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El peso P puede descomponerse en una componente tangencial Pt a la trayectoria y en otra normalPn. La diferencia entre esta última y la tensión del hilo produce una aceleración normal en el móvilresponsable de los cambios de dirección de la velocidad en los distintos puntos de la trayectoria. Lacomponente tangencial es la que provoca cambios en el módulo de la velocidad.

Para los vectores tangenciales seguiremos adoptando el mismo convenio: un vector tangencial en unpunto Q de la trayectoria tiene sentido positivo, si su proyección sobre la recta horizontal que pasa porQ, está situada a la derecha de Q, y negativo si está a la izquierda. Aplicando este convenio a Pt, vemosque tiene sentido negativo si θ > 0, y positivo si θ < 0.

Dado que no hay movimiento en la dirección normal (aunque sí hay aceleración), sólo nos interesare-mos, a efectos de desplazamientos, en la dirección tangencial. De acuerdo con todo esto, la segunda leyde Newton aplicada al péndulo sería

mat = Pt

Si llamamos t al vector unitario de sentido positivo tangente a la trayectoria, podremos escribir

Pt = −mg sen θt

y por lo tanto

at = −g sen θ

Pero la trayectoria es un arco de circunferencia de radio l, con lo cual s = θ l. Además at =dv

dt=

d2s

dt2= s00, así que

θ00l = −g sen θ

Esta ecuación diferencial no es lineal. En su resolución intervienen ciertos tipos de integrales llamadasintegrales elípticas, pero ello cae fuera del alcance de esta lección. En lugar de eso vamos a hacer lasuposición de que las oscilaciones del péndulo son de pequeña amplitud, es decir, vamos a suponer que elmovimiento se realiza con valores pequeños de θ. En tal caso, del desarrollo en serie de la función seno,

sen θ = θ − θ3

3!+

θ5

5!− · · ·

tomamos una aproximación de primer orden

sen θ ' θ para valores pequeños de |θ|

con lo que la ecuación diferencial ahora es lineal

θ00l + gθ = 0

y si llamamos ω2 =g

ly también θ = x, queda así

x00 + ω2x = 0.

5.2.2 Péndulo sometido a rozamiento

Admitamos que el rozamiento que el aire opone al movimiento del péndulo produce efecto sólo sobre elmódulo de la velocidad, pero no sobre su dirección y sentido. Es decir, que el rozamiento no afecta a laforma de la trayectoria, lo cual es una hipótesis bastante plausible. Admitamos además que el rozamiento

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es una fuerza proporcional al módulo de la velocidad, y puesto que sólo afecta a ese módulo, su direcciónes tangencial y su sentido el opuesto a v. Es decir

Fr = −bvt b > 0

donde t es un vector unitario tangente y de sentido positivo, de acuerdo con el criterio expuesto en lasección 2.1. A este respecto, es conveniente resaltar el hecho de que v es la componente tangencial de v,no su módulo, por lo que puede ser positiva o negativa.

Recordando además, que estamos en la hipótesis de ángulos pequeños, podemos escribir la segundaley de Newton aplicada al péndulo en estas nuevas condiciones

ma = −mgθ − bv

Puesto que la trayectoria es circular, tenemos que s = θl, de donde resultan s0 = θ0l y s00 = θ00l. Siahora reordenamos los términos y dividimos por ml, queda

θ00 +b

mθ0 +

g

lθ = 0

Por último, llamando x = θ,1

τ=b

my ω2 =

g

l, la ecuación diferencial queda así

x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

5.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Supongamos que el punto S del que está suspendido el péndulo, experimenta un desplazamiento horizontalp que en función del tiempo es

p(t) = δ cosω0t δ > 0

����

O

+-

θS

p(t)

Para estudiar el movimiento vamos a situarnos sobre ese punto, con lo cual estamos en un sistema dereferencia no inercial. La segunda ley de Newton en un sistema de tal tipo queda así

suma de todas las fuerzas activas + fuerza de inercia = ma

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donde las fuerzas activas son el peso, la tensión del hilo y el rozamiento (si lo hay), mientras que la fuerzade inercia Fi es

Fi = −manidonde ani es la aceleración del sistema no inercial, que de acuerdo con la figura, tiene (y por tanto,también Fi) dirección horizontal.

����

O

+-

θS

p(t)

Fin

Fit

Fi

De las dos componentes, tangencial y normal (a la trayectoria) de la fuerza de inercia, sólo conside-raremos la tangencial, ya que es la única que contribuye al movimiento y esta componente tangenciales

Fit = Fi cos θ ' Fiya que en la hipótesis de ángulos pequeños, cos θ ' 1.Tomando pues sólo las componentes tangenciales de las fuerzas, ya que son las únicas que contribuyen

al movimiento, podemos escribir la segunda ley de Newton (en la aproximación de ángulos pequeños) así

−mgθ − bv +mδω20 cosω0t = ma

pero como v = s0 = θ0l y a = s00 = θ00l, resulta

−mgθ − bθ0l +mδω20 cosω0t = mθ00l

si ahora reordenamos los términos y dividimos por m y l

θ00 +b

mθ0 +

g

lθ =

δ

lω20 cosω0t

Por último, llamando x = θ,1

τ=b

m, ω2 =

g

ly A0 =

δ

lω20, queda

x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t.

5.3 Circuito eléctrico

En el caso del circuito eléctrico, y al no ser éste un sistema mecánico, términos como fuerza, velocidado desplazamiento carecen de sentido. No obstante las similitudes en el comportamiento de este sistemaeléctrico con los anteriores sistemas mecánicos es tan grande, como quedará de manifiesto al establecer laecuación diferencial que lo rige, que el estudio de los tres sistemas merece ser abordado conjuntamente.

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5.3.1 Circuito LC

Un condensador es un componente eléctrico capaz de almacenar carga estableciéndose como consecuenciade ello una diferencia de potencial entre sus extremos. Una autoinducción es otro componente quereacciona a las variaciones de la corriente eléctrica que la recorre, creando asimismo una diferencia depotencial entre sus extremos. Para el condensador, la relación entre la diferencia de potencial vC y lacarga q viene dada por

vC =q

C

donde C es una constante positiva característica de cada condensador llamada capacidad.

Para la autoinducción, la relación entre la diferencia de potencial vL y la variación de la corrienteviene dada por la Ley de Faraday

vL = Ldi

dt

donde i es la intensidad de la corriente y L una constante positiva característica de cada autoinducción,llamada inductancia.

Supongamos que cargamos un condensador con una carga q, y a continuación lo conectamos con unaautoinducción.

C

L

VL

VC

i

El condensador comenzará a descargarse, estableciéndose un transporte de carga, es decir una corrienteeléctrica variable con el tiempo a través de la autoinducción. Como inicialmente la corriente era cero yahora no lo es, la autoinducción reaccionará oponiendo una diferencia de potencial entre sus extremos.De acuerdo con la ley de Kirchhoff de las tensiones

vC + vL = 0

o lo que es lo mismo

q

C+ L

di

dt= 0

pero recordando que q0 = i, podemos escribir

Li00 +1

Ci = 0

que es una ecuación diferencial lineal. Si llamamos ω2 =1

LCy también x = i, queda

x00 + ω2x = 0.

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5.3.2 Circuito LCR

Una resistencia es un dispositivo eléctrico que reacciona al paso de la corriente con una caída de potencialentre sus extremos proporcional a la intensidad de la corriente que la recorre. Si llamamos vR a estacaída de potencial, la Ley de Ohm establece que

vR = iR

donde R es una constante de proporcionalidad llamada también resistencia.

C

L

VL

VC

i

R

RV

Si al circuito LC que teníamos, le añadimos una resistencia en serie, la ley de Kirchhoff de las tensionesquedará ahora así

vC + vR + vL = 0

o bien

q

C+ iR+ L

di

dt= 0

Ahora derivamos esta igualdad, recordando quedq

dt= i, reordenamos los términos y dividimos por L

i00 +R

Li0 +

1

LCi = 0

Por último, llamamos x = i,1

τ=R

L, ω2 =

1

LC, y la ecuación diferencial queda definitivamente

así

x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

5.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal

Una fuente de tensión es un dispositivo eléctrico que a diferencia de otros, como por ejemplo las resis-tencias, mantiene entre sus extremos una diferencia de potencial determinada con independencia de laintensidad de la corriente que la atraviese.

Vamos a incorporar al circuito LCR, una fuente de tensión que mantiene entre sus extremos unadiferencia de potencial que depende del tiempo de esta forma:

v(t) = v0 sen ω0t

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C

L

VL

VC

R

i

VR

V(t)

+

Al emplear la ley de Kirchhoff de las tensiones queda

vC + vR + vL = v0 sen ω0t

pero recordando que

vC =q

CvR = iR vL = L

di

dt

podemos escribir

q

C+ iR+ L

di

dt= v0 sen ω0t

Si ahora derivamos y tenemos en cuenta quedq

dt= i

1

Ci+ i0R+ Li00 = v0ω0 cosω0t

reordenando los términos y dividiendo por L queda

i00 +R

Li0 +

1

LCi =

v0Lω0 cosω0t

Por último, llamando x = i,1

τ=R

L, ω2 =

1

LCy A0 =

v0Lω0, tenemos

x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t.

5.4 Solución de los problemas de valores iniciales

En lo que sigue, resolveremos las diferentes ecuaciones diferenciales obtenidas aplicando las técnicasestudiadas anteriormente y a la vista de las soluciones interpretaremos el movimiento.

5.4.1 Ecuación x00 + ω2x = 0

Las soluciones de la ecuación característica r2 +ω2 = 0 son r = ±ωi, por lo que la solución general de laecuación diferencial es

x(t) = C1 cosωt+ C2 sen ωt

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Es costumbre escribir esta expresión de otra forma, para lo que introducimos las constantes A y φ demodo que

C1 = A cosφ C2 = −A sen φ

siendo A > 0 y 0 ≤ φ < 2π. De este modo resulta

x(t) = A cos(ωt+ φ)

que, como puede comprobarse, es una función periódica de período T =2π

ω, independientemente de los

valores de A y φ. A la expresión ωt + φ se le llama fase instantánea o simplemente fase, al númeroA, amplitud. ω es la pulsación, también llamada frecuencia angular, y a φ se llama constante defase, fase inicial o ángulo de fase.

Vamos ahora a dar condiciones iniciales que permitan calcular la amplitud y la constante de fase.Sean

x(0) = x0 x0(0) = x00

entonces, al sustituir en x y en x0 queda x0 = A cosφ, x00 = −Aω sen φ y de aquí podemos obtener Ay φ para estas condiciones iniciales.

En el siguiente cuadro, se resumen algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo conlos valores de x0 y x00

Cond. iniciales Solución Gráfica Ang. de fasex0 > 0 x00 = 0x0 < 0 x00 = 0

x (t) = x0 cosωtAB

φ = 0φ = π

x0 = 0 x00 > 0x0 = 0 x00 < 0

x (t) =x00ωsenωt

CD

φ = 3π/2φ = π/2

t

x(t)

x0

Gráfica A

t

x(t)

x0

Gráfica B

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t

x(t)

Gráfica C

t

x(t)

Gráfica D

5.4.2 Ecuación x00 +1

τx0 + ω2x = 0.

La correspondiente ecuación característica r2 +1

τr + ω2 = 0 tiene dos raíces que pueden ser reales

(distintas o iguales) o complejas, según como sea el signo del discriminante1

τ2− 4ω2.

1

τ2− 4ω2 > 0 raíces reales distintas

1

τ2− 4ω2 = 0 raíces reales iguales

1

τ2− 4ω2 < 0 raíces complejas conjugadas

Raíces reales distintas. Sobreamortiguamiento

Cuando el discriminante es positivo, las dos raíces reales resultan ser, como es fácil comprobar, nega-tivas

r1 =−12τ

+

r1

4τ2− ω2 < 0 r2 =

−12τ−r

1

4τ2− ω2 < 0

y la solución general de la ecuación diferencial es

x(t) = C1er1t + C2e

r2t

Las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 permiten calcular las constantes C1 y C2

C1 =x00 − r2x0r1 − r2 C2 = −x

00 − r1x0r1 − r2

así que la solución del problema de valores iniciales es

x(t) =

∙1

r1 − r2 (x00 − r2x0)er1t − (x00 − r1x0)er2t

¸

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De la observación de esta solución se desprende que el oscilador pasa por la posición de equilibriocuando

(x00 − r2x0)er1t − (x00 − r1x0)er2t = 0

y ello sólo ocurre cuando x00−r2x0 y x00−r1x0 tienen el mismo signo. El paso por la posición de equilibriose da una sola vez en el instante

t0 =1

r1 − r2 lnx00 − r1x0x00 − r2x0

Así pues, o bien el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio, o lo hace una sola vez, osiempre permanece en ella en el caso trivial de que x00 = x0 = 0. En cualquier caso, decimos que el sistemaestá sobreamortiguado. El amortiguamiento debido al término de fricción es tan grande que el sistemano llega a experimentar oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio.

A continuación se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con losvalores de x0 y x00.

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

Raíces reales iguales. Amortiguamiento crítico

Cuando el discriminante es cero, sólo hay una raíz real (distinta) que resulta ser negativa

r =−12τ

< 0

La solución general de la ecuación diferencial es ahora

x(t) = ert(C1 + C2t)

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Con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 podemos calcular C1 y C2

C1 = x0 C2 = x00 − rx0

así que la solución del problema de valores iniciales es

x(t) = ert[x0 + (x00 − rx0)t]

Si (x00 − rx0)t = 0, el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio a no ser que x0 = x00 = 0 encuyo caso no saldría de ella. Si x0 = 0 pero x00 6= 0, el oscilador parte de la posición de equilibrio a laque no regresa jamás. Cuando x0 y x00 − rx0 tienen signos distintos, el oscilador pasa por la posición deequilibrio en el instante

t0 = − x0x00 − rx0

después de haberse iniciado el movimiento, pero si tienen el mismo signo, no pasa nunca por esa posición.

Así pues, ya que excluido el caso trivial de que x0 = x00 = 0, el oscilador solo pasa como máximouna vez (pudiera no pasar ninguna) por la posición de equilibrio, el movimiento no es oscilatorio. Comoantes, el amortiguamiento es tan grande que impide las oscilaciones. En este caso decimos que el sistemaestá críticamente amortiguado, ya que una pequeña variación en la fuerza de fricción o en la fuerzarecuperadora hará que el discriminante pase a ser positivo o negativo, es decir, el sistema seguirá sinoscilar o comenzará a hacerlo.

En la realidad, el amortiguamiento crítico es extremadamente difícil de conseguir, ya que cualquiervariación en las condiciones ambientales (por ejemplo, un pequeño cambio en la temperatura) puedeinfluir sobre los valores de la constante elástica del muelle, o sobre el valor de la resistencia eléctrica, oquizá sobre la longitud del hilo del péndulo.

Raíces complejas conjugadas. Subamortiguamiento

Al ser negativo el discriminante, las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas

r1 = α+ iβ r2α− iβ

donde

α =−12τ

< 0 β =

rω2 − 1

4τ2> 0

y la solución general de la ecuación diferencial es

x(t) = eαt(C1 cosβt+ C2 sen βt)

Ahora introducimos, como hicimos antes, las constantes A y φ de modo que

C1 = A cosφ C2 = −A sen φ

con lo que la solución general queda así

x(t) = Aeαt cos(βt+ φ)

Al sustituir las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 en x(t) y en x0(t), resulta

x0 = A cosφx00 = αA cosφ− βA sen φ

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de donde podemos obtener los valores de A y de φ para diferentes condiciones iniciales. A continuaciónse muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los valores de x0 y x00.

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

Como se puede observar en las gráficas, x(t) no es una función periódica, no obstante el tiempo quetarda en efectuarse un ciclo es siempre el mismo y puede calcularse, resultando T = 2π/β.

5.4.3 Ecuación x00 +1

τx0 + ω2x = A0 cosω0t.

La ecuación diferencial que debemos resolver ahora, es de nuevo lineal, pero ahora tiene segundo miembro.Como ya sabemos, la solución general viene dada por la suma de la solución general de la correspondienteecuación homogénea que ya ha sido obtenida en el segundo caso y de una solución particular de la ecuacióncompleta. Dado que el segundo miembro de la ecuación diferencial es una función coseno, para obteneresta solución particular, emplearemos el método de coeficientes indeterminados.

Vamos pues a ensayar como solución una función de la forma

z(t) = A sen ω0t+B cosω0t

donde A y B son coeficientes a determinar con la condición de que z sea solución de la ecuación diferencial.

Si derivamos z dos veces, sustituimos z, z0 y z00 en la ecuación diferencial, igualamos coeficientes yresolvemos el sistema que se obtiene, encontramos que los valores de los coeficientes son

A =

A0τω0

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

B =A0(ω

2 − ω20)

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

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Es conveniente expresar z(t) de otra manera. Para ello, introducimos los coeficientes

E > 0 0 ≤ φ0 < 2π

de acuerdo con las igualdades

A = −E sen φ0 B = E cosφ0

con lo cual resulta que

z(t) = A senω0t+B cosω0t

= −E sen φ0 sen ω0t+E cosφ0 cosω0t

= E cos(ω0t+ φ0)

donde

E =A0∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial completa es

x(t) = g(t, C1, C2) +E cos(ω0t+ φ0)

en la que g(t, C1, C2) es la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Ahora bien, laforma de la función g depende, como hemos visto en la sección 5.4.2, del signo del discriminante de laecuación característica. Recordemos que puede tomar una de estas tres formas

g(t, C1, C2) = C1er1t + C2e

r2t

g(t, C1, C2) = ert(C1 + C2t)

g(t, C1, C2) = eαt(C1 cosβt+ C2 sen βt)

que tienen en común, como es fácil comprobar, el que

limt→∞ g(t, C1, C2) = 0

independientemente de los valores de C1 y C2, o lo que es lo mismo, de las condiciones iniciales. Así pues,el movimiento comienza como la superposición (es decir, la suma) de un movimiento amortiguado dadopor g(t, C1, C2), y un movimiento oscilatorio no amortiguado E cos(ω0t+ φ0). En esta situación, se diceque el sistema se encuentra en estado transitorio. Pero conforme pasa el tiempo, el primero de ellos vadecayendo, por lo que su contribución al movimiento va siendo cada vez menor, mientras que el segundopermanece. Al cabo de mucho tiempo, sólo este último se mantiene, y entonces se dice que el sistema haalcanzado el estado estacionario, en el que permanece indefinidamente.

El estado transitorio es pasajero como indica su nombre, y ello es así por el efecto del amortiguamiento.En cambio, el estado estacionario permanece mantenido por la acción de la fuerza externa.

Vamos a centrar nuestra atención en el estado estacionario del sistema

z(t) =A0∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2 cos(ω0t+ φ0)

Observemos que el movimiento es oscilatorio con una frecuencia angular ω0 que coincide con la de la fuerzaexterna. El amortiguamiento que tendería a frenar el oscilador es compensado por la acción impulsorade la fuerza externa de tal modo, que el movimiento se lleva a cabo con una amplitud constante comosi el amortiguamiento no existiera. Pero sí existe. Una simple inspección de la expresión que da la

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amplitud de la oscilación, permite descubrir que un aumento en el factor 1/τ disminuye la amplitud.También podemos observar que una disminución en la diferencia entre la frecuencia angular propia ω deloscilador y la de la fuerza externa ω0, la aumenta. Estudiemos con más detalle estos fenómenos para loque escribimos la amplitud de esta manera

E =A0∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2e introducimos la la función

M(ω0) =1∙

(ω2 − ω20)2 +

ω20τ2

¸1/2Esta función presenta un máximo para aquel valor de ω0 en el que el denominador alcanza el mínimo, yello ocurre cuando

ω0 =

rω2 − 1

2τ2si ω2 − 1

2τ2> 0 o cuando ω0 = 0 si ω2 − 1

2τ2< 0.

Veamos los dos casos:

— Si ω2 − 1

2τ2< 0, esto es b2 > 2mk, la función M(ω0) es decreciente y el máximo se alcanza con

ω0 = 0.

— Si ω2 − 1

2τ2> 0, esto es b2 < 2mk, el máximo se alcanza cuando ω0 =

qω2 − 1

2τ2 . A este valor se

le llama frecuencia de resonancia del sistema.

Observese que como se debe tener b2 < 2mk, para que haya resonancia, un sistema no puede estaren resonancia a menos que sea subamortiguado.

0( )M ω

0ω

b=1/4

b=1/2

b=3/2

b=2

b=1

ω

0( )M ω

0ω

b=1/4

b=1/2

b=3/2

b=2

b=1

ω

En la figura se muestran diversas gráficas de la función M(ω0) para distintos valores del factor b.De la observación de la misma se deduce que la amplitud del estado estacionario alcanza valoresgrandes cuando ω ' ω0.

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Este aumento en el tamaño de la amplitud (tanto mayor mientras más pequeño sea el factor b) recibeel nombre de resonancia, y por ello, las curvas de la figura reciben el nombre de curvas de resonancia.El hecho de que la resonancia aumente al disminuir el valor de b es debido a que al oponer el osciladorun amortiguamiento débil, la fuerza impulsora externa encuentra pocas dificultades para excitarlo.

Veamos qué ocurre en el caso extremo (que naturalmente no se da en la práctica) de que el amorti-guamiento fuera nulo. La ecuación diferencial adoptaría entonces la forma

x00 + ω2x = A0 cosω0t

que vamos a resolver. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea es

C1 cosωt+ C2 sen ωt

y una solución particular de la ecuación completa puede obtenerse por el método de los coeficientesindeterminados, ensayando una del tipo

z(t) = A sen ω0t+B cosω0t

Al derivar dos veces y sustituir z y z00 en la ecuación diferencial resulta, tras reducir términos semejantes

A(ω2 − ω20) sen ω0t+B(ω2 − ω20) cosω0t = A0 cosω0t

y por lo tanto

A = 0 B =A0

ω2 − ω20

de modo que la solución general de la ecuación diferencial es

C1 cosωt+ C2 sen ωt+A0

ω2 − ω20cosω0t

Al determinar el valor de las constantes C1 y C2 mediante las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00resulta

C1 = x0 − A0ω2 − ω20

C2 =x00ω

de modo que el movimiento del oscilador queda descrito mediante

x (t) = x0 cosωt+x00ωsen ωt+

A0ω2 − ω20

(cosω0t− cosωt)

que puede escribirse, empleando la expresión trigonométrica de la diferencia de cosenos, de esta forma

x (t) = x0 cosωt+x00ωsen ωt+

2A0ω2 − ω20

senµω − ω02

t

¶sen

µω + ω02

t

¶De la observación de esta última expresión se deduce que el movimiento del oscilador es la superposi-

ción de un movimiento vibratorio armónico de amplitud constantepx20 + x

020 y de frecuencia angular ω

representado por los dos primeros términos, y de un movimiento oscilatorio de amplitud

2A0ω2 − ω20

senµω − ω02

t

¶y de frecuencia angular

ω + ω02

. Esta amplitud, como puede verse, no es constante, sino que varía

sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia angularω − ω02

.

Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 27

t

x(t)

Supongamos por último, que además de ser nulo el amortiguamiento, ocurriera además ω = ω0. Laecuación diferencial adoptaría la forma

x00 + ω20x = A0 cosω0t

y entonces la función

z(t) = A sen ω0t+B cosω0t

sería solución de la ecuación homogénea. Vamos por lo tanto a ensayar esta otra posible solución

z(t) = t(A sen ω0t+B cosω0t)

Si derivamos dos veces

z0(t) = (−Bω0t+A) sen ω0t+ (Aω0t+B) cosω0tz00(t) = (−Aω20t− 2Bω0) sen ω0t+ (−Bω20t+ 2Aω0) cosω0t

y sustituimos z y z00 en la ecuación diferencial, resulta al agrupar términos semejantes

−2Bω0 sen ω0t+ 2Aω0 cosω0t = A0 cosω0t

igualando coeficientes, obtenemos

A =A02ω0

B = 0

Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial es

x(t) = C1 cosω0t+ C2 sen ω0t+A02ω0

t sen ω0t

Si introducimos las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00, podemos calcular los valores de lasconstantes C1 y C2, que son

C1 = x0 C2 =x00ω0

Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 28

de modo que el comportamiento del oscilador queda descrito por

x(t) = x0 cosω0t+x00ω0

sen ω0t+A02ω0

t sen ω0t

que consiste en la superposición de un movimiento vibratorio armónico representado por los dos primeros

términos y de una oscilación cuya amplitudA02ω0

t es creciente con el tiempo y cuya frecuencia angular

es ω0. El movimiento resultante es oscilatorio pero con una amplitud cada vez más grande, lo que traecomo consecuencia, desde el punto de vista matemático que la validez de las suposiciones de linealidadhechas hasta ahora en base a considerar pequeñas oscilaciones, dejaría de tener lugar, y desde el puntode vista físico, la destrucción del sistema.

t

x(t)