Ecuaciones DiferencialesEcuaciones DiferencialesEcuaciones diferenciales lineales, reducción del orden

Por: Astrid MedinaEylin CalderónDavid Torres

Ecuaciones diferenciales lineales, Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del ordenreducción del orden

Dada una solución y1(x) de la ecuación diferencial de segundo orden

(4.11)

puede determinarse una segunda solución y´´(x) que sea linealmente independiente con y2(x), de la forma v(x)y1(x), para cierta función v(x) distinta de una constante.

Sea y(x) — y1(x)v(x), entoncesSustituyendo las expresiones anteriores para y, y' y y" en (4.11) y simplificando resulta

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Y como y1 es una solución de (4.11), el primer término en el lado izquierdo de la igualdad anterior es igual a cero. Así que

O bien

Luego, para que la función y1(x)v(x) sea una solución de la ecuación diferencial (4.11), v(x) debe satisfacer la ecuación diferencial de segundo orden (4.12). Nótese que haciendo la sustitución u(x) = v’(x) entonces u’(x) = v“(x) y (4.12) se reduce a la ecuacion

4.12

4.13

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La cual es ahora de primer orden para la función incógnita u. Es por esta razón que al método que estamos desarrollando para calcular y2 se le conoce como Método de Reducción de Orden.

La ecuación (4.13) es lineal en u y también de variables separables. Separando variables tenemos

e integrando y simplificando, obtenemos

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donde c es una constante arbitraria. Aplicando exponencial a ambos lados de la última igualdad encontramos que

Por consiguiente

Tomando c = 1 tenemos el siguiente resultado.

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Teorema 4.3.1 Si y1(x) es solución de la ecuación diferencial

entonces una segunda solución y2(x) de (4.14). linealmente independiente con y1(x) es

4.14

4.15

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EJEMPLO 1. Dado que y1(x) = x^-2 es solución de la ecuación diferencial

encuentre su solución general en el intervalo (0,α). Solución. Verifiquemos que y1(x) es solución de la ecuación diferencial (4.16). Tenemos que

4.16

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Sustituyendo en (4.16) resulta

Así, efectivamente y1 es una solución de (4.16). Ahora utilizaremos el resultado (4.15) del teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación diferencial, l.i. con y1. Primero, reescribimos (4.16) en la forma

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de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces

Note que una segunda solución l.i. con y1(x) es simplemente ỹ2(x) = x^10. De modo que la solución general en (0, α) de la ecuación diferencial (4.16) es

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EJEMPLO 2. Encuentre la solución general en (0,α) de la ecuación diferencial

si y1(x)=cos ln x, es una solución de la ecuación.Solución. Nuevamente emplearemos (4.15) para obtener una segunda solución y2 de (4.17). En este caso p(x) = 1/x , por lo cual

4.17

Ecuaciones diferenciales lineales, Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del ordenreducción del ordenEn consecuencia

De donde la solución general en (0, α) de (4.17) es

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