105757747 Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Lineales

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158http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA

JOS ANTONIO ANZOTEGUI MATEMTICAS PARA INGENIEROS

APLICACIONESDEECUACIONESDIFERENCIALESCOMOMODELOSLINEALESCRECIMIENTOBACTERIANO.

Uncultivotieneunacantidad inicial 0N debacterias.Cuando 1t h= , lacantidadmedidade bacterias es 0

32N . Si la razn de reproduccin es proporcional a la cantidad de

bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de losmicroorganismos.PrimeroseresuelvelaecuacindiferencialdN kNdt

= (2) sujeta a ( ) 00N N= . A continuacin se define la condicin emprica( ) 031 2N N= parahallark, laconstantedeproporcionalidad.Conello, laecuacin (2)es

separableylineal,alavez.Cuandoseescribeenlaforma

0dN kNdt

= ,podemosverporinspeccinqueelfactorintegrantees kte .Multiplicamos

ambosladosdelaecuacinporesefactoryelresultadoinmediatoes 0ktd e Ndt

= .Integramosambosladosdelaltimaecuacinparallegaralasolucingeneral

kte N c = ,osea ( ) ktN t ce= .Cuando 0t = , 00N ce c= = y, por consiguiente, ( ) 0 ktN t N e= Cuando 1t = , entonces

0 032

kN N e= ,obien 32

ke = .Conlaltimaecuacinobtenemos 3ln 0.40552

k = = .As( ) 0.40550 tN t N e= .

Paraestablecerelmomentoenquesetriplica lacantidaddebacterias,despejamostde0.4055

0 03tN N e= ;porconsiguiente,0.4055 ln 3t = yas

ln 3 2.710.4055

t h=

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Nota:Losproblemasdedescribirelcrecimiento(Seadepoblaciones,bacteriasocapitales)se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene undecrecimiento(comoladesintegracinradiactiva),setieneunvalornegativodek.Porlotanto, se dice que k es una constante de crecimiento ( 0k > ) o una constante dedescrecimientoodedeclinacin( 0k < ).PERIODO MEDIO. En fsica, el periodomedio es unamedida de la estabilidad de unasustanciaradiactiva.Es,simplemente,eltiempoquetranscurreparaquesedesintegreotransmutelamitaddelostomosenunamuestrainicial, 0A yseconviertanentomosdeotroelemento.Mientrasmayorseasusemivida,msestableesunasustancia.PERIODO MEDIO DEL PLUTONIO. Un reactor de cra convierte al uranio 238,

relativamenteestable,enplutonio239,un istoporadiactivo.Alcabode15aos,seha

desintegradoel0.043%de lacantidad inicial, 0A deunamuestradeplutonio.Calculeel

periodomediodeeseistopo,silarazndedesintegracinesproporcionalalacantidad

presente.

Sea ( )A t la cantidad de plutonio que queda en cualquiermomento t, la solucin delproblemadevalorinicial: dA kA

dt= , ( ) 00A A= ( ) 0 ktA t A e=

Sisehadesintegradoel0.043%de lostomosde 0A ,quedael99.957%.Paracalcularlaconstante k (o declinacin) empleamos ( )00.99957 15A A= , esto es, 150 00.99957 kA A e= Despejamoskytenemos 1 ln 0.99957 0.00002867

15k = = .Enconsecuencia,

( ) 0.000028670 tA t A e= Sielperiodomedioeselvalorquecorrespondea ( ) 0

2AA t = ,despejandoatseobtiene

0.00002867002

tA A e= ,esdecir, 0.0000286712

te= Deacuerdoconestaecuacin,ln 2 24,180

0.00002867t = Aos

LA TEORA DE DATACIN CON RADIOCARBONO. Mtodo que emplea al carbonoradiactivoparadeterminar lasedadesaproximadasdefsiles.Laraznde lacantidaddeC l4al carbonoordinarioen laatmsferaparece ser constantey,en consecuencia, lacantidadproporcionaldel istopopresenteentodos losorganismosvivoses igualque ladelaatmsfera.CuandomuereunorganismolaabsorcindelCl4seaporrespiracino

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alimentacin cesa.As, si se compara la cantidadproporcionaldeC 14presentes,porejemplo en un fsil, con la relacin constante que existe en la atmosfera, es posibleobtenerunaestimacinrazonabledesuantigedad.ANTIGEDADDEUNFSIL.Seanalizunhuesofosilizadoyseencontrquecontena lacentsimapartedelacantidadoriginaldeC14.Determinelaedaddelfsil.

Elpuntodepartidaes,denuevo, ( ) 0 ktA t A e= Paracalcularelvalorde laconstantededecaimiento aplicamos el hecho que ( )0 5600

2A A= , o sea, 56000 02

kA A e= Entonces,

15600 ln ln 22

k = = dedonde ( )ln 2 0.000123785600

k = = ;porconsiguiente

( ) 0.000123780 tA t A e= .Tenemos,para ( ) 01000AA t = ,que 0.000123780 01000

tA A e= ,demodoque10.00012378 ln ln1000

1000t = = .As ln1000 55,800

0.00012378t = aos

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/ CALENTAMIENTO (supondremos que mT esconstante)(consultargua#3)ENFRIAMIENTODEUNPASTEL.Alsacarunpasteldelhorno,sutemperaturaes300F.Despusde3minutos,200F.Encuntotiemposeenfriarhastalatemperaturaambientede70F?

( )70dT k Tdt

= , ( ) 300T O = ydeterminarelvalordekdetalmodoque ( )3 200T = . Laecuacineslinealyseparable,alavez.Alsepararlasvariables,

70dT kdt

T=

Vemosque 70mT = .Porconsiguiente,debemosresolverelproblemadevalorinicialcuyoresultadoes 1ln 70T kt c = + ,yas 270 ktT c e= + .Cuando 0t = , 300T = demodoque

2300 70 c= + definea 2 230c = .Entonces, 70 230 ktT e= + Por ultimo, la determinacin ( )3 200T = conduce a 3 13

23ke = , o sea,

1 13ln 0.190183 23

k = = As ( ) 0.1901870 230T t e= + MEZCLAS. Almezclar dos fluidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales deprimerorden(verguademodelosmatemticos)

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Supusimosquelaraznconquecambialacantidaddesal ( )A r ,eneltanquedemezclaesunaraznneta:Supongamosqueeltanquemezcladorgrande contiene inicialmente300galonesdeunasolucin de salmuera.Otra solucin de salmuera entra al tanque con una razn de 3

galonesporminuto3mingal ;laconcentracindesalqueentraes 2 lb

gal.Cuandolasolucin

eneltanqueestbienmezclada,saleconlamismarapidezconqueentra.

Si ( )A t denota lacantidaddesal(medidaen libras)eneltanquealtiempot,entonces laraznconlaque ( )A t cambiaesunaraznneta:

1 2

razn con que razn con queentra la sustancia sale la sustancia

dA R Rdt

= = Laconcentracindelasolucinentranteera;porconsiguiente,laentradadesalera

1 2 3 6min minlb gal lbRgal

= = ;Ahora,puestoque la solucin saledel tanque con lamisma razn con laqueentra,elnmero de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300galones.Porloquelaconcentracindelasaleneltanqueascomoenelflujodesalida

es.

( )( )300 /

A tc tlb gal

=

Porloquelarazndesalidaes 2 3 min 300 100 mingal A lb A lbR

gal = = .

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Laraznneta 1 2 6 6100 100dA A dA AR Rdt dt

= = + = AhoraSepregunta,sihaba50lbdesaldisueltasenlos300galonesiniciales.Cuntasalhabreneltanquepasadoungrantiempo?

Parahallar ( )A t ,resolvemoselproblemadevalorinicial6

100dA Adt

= , ( )0 50A = .Aquobservamosquelacondicinadjuntaeslacantidadinicialdesal, ( )0 50A = ynolacantidadinicialdelquido.

Comoelfactorintegrantedeestaecuacindiferenciallineales 100t

e ,podemosformularlaecuacinas:

100 1006t td e A e

dt =

Al integrar esta ecuacin y despejar A se obtiene la solucin general 100600t

A ce= + .

Cuando 0t = , 50A = demodoque 550c = .Entonces,lacantidaddesaleneltanqueenelmomentotestdefinidapor ( ) 100600 550 tA t e= Sepuedever,que 600A cuando t .Estoes loquecabraesperarenestecaso;pasado un largo tiempo, la cantidad de libras de sal en la solucin debe ser

( )300 2 600lbgal lbgal

= .Enelcasoquelasalmueramezcladasepuedesacaraunflujomayoromenorqueelflujode entrada de la otra solucin; por ejemplo, si la solucin bienmezclada del ejemplo

anteriorsaleaunflujomenor,digamosde 2mingal ,seacumularlquidoeneltanqueauna

tasa de ( )3 2 1min mingal gal = . Cuando haya transcurrido tminutos, en el tanque habr

300 t+ galonesdesalmuera.Laraznconquesalelasales,entonces,2 2 min 300

gal A lbRt gal

= + .As, la ecuacin (6) se transforma en26

300dA Adt t

= + o sea2 6

300dA Adt t

+ =+ .Debecomprobarquelasolucindelaltimaecuacin,sujetaa ( )0 50A = ,es( ) ( )( ) 27600 2 4.95 10 300A t t x t = + + .

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CIRCUITOENSERIE.(Verteoraenlaguademodelosmatemticos)Unacumuladorde12voltsseconectaauncircuitoenserieLR,conuna inductanciade12Henryyunaresistenciade10Ohm.Determinar lacorriente i,si lacorriente iniciales

cero.

Segn la ecuacin ( )diL Ri E tdt+ = entonces 1 10 12

2di idt+ = sujeta a ( )0 0i = . Primero

multiplicamos laecuacindiferencialpor2,yvemosqueel factor integrantees 20te .A

continuacinlosustituimos20 2024t td e i e

dt = .

Al integrarcada ladodeestaecuacinydespejar iobtenemos 2065

ti ce= + .Si ( )0 0i = ,entonces 60

5c= + ,obien 6

5c = ;porconsiguiente,larespuestaes ( ) 206 6

5 5ti t e= .

Apartirdelaecuacin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) : ; ( )p x dx p x dx p x dx p x dx p x dx p x dx

c py ce e e f x dx donde y ce y e e f x dx = + = =

Podemosformularunasolucingenerales ( ) ( )R t R RL t t

L Lei t e E t dt ceL

= + Enespecial,cuando ( ) 0E t E= esunaconstante,laecuacinsetransformaen( ) 0 R tLEi t ce

R

= + Observamos que cuando t , el segundo trmino de la ecuacintiendeacero.Aesetrminoselesuelellamartrminotransitorio;losdemsmiembrossellamanpartedeestadoestable(oestadoestacionario)delasolucin.VACIADODETANQUES

Muchosproblemasfsicosdependendealgunamaneradelageometra.Unodeelloseslasalidadelquidodeuntanqueatravsdeunorificiosituadoalfondodelmismo.Laformageomtricadelrecipientedeterminaelcomportamientofsicodelagua.Considereun recipiente llenodeaguahastaunaaltura h .Supongaqueelagua fluyeatravsdeunorificiodeseccintransversala ,elcualestubicadoenlabasedeltanque.Sedeseaestablecer laalturade lquidoeneltanqueencualquier instante t yeltiempoqueestedemoraenvaciarse.

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Sea ( )h t laalturade lquidoeneltanqueencualquier instante t y ( )V t elvolumendeaguadeltanqueeneseinstante.Lavelocidad v delaguaquesaleatravsdelorificioes:

2v gh= (1),donde g es lagravedad.Laecuacin (1)representa lavelocidadqueunagotadeaguaadquiriraalcaerlibrementedesdelasuperficiedelaguahastaelagujero.En condiciones reales,hayque tomaren cuenta la contraccinque sufreun chorrode

agua en un orificio, por lo que se tendr 2v c gh= (2), donde c es el coeficiente dedescargacomprendidoentre0y1 ( )0 1c< < .Nota:Cuandoelvalordelcoeficientededescarga c noseindica,seasumeque 1c = Segn laLeydeTorricelli, la razn con laqueelagua saleporelagujero (variacindelvolumende lquidoenel tanque respectodel tiempo) sepuedeexpresar comoelrea

a del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es dV avdt

= (3)

sustituyendolaecuacin(2)enlaecuacin(3) 2dV ac ghdt

= (4)Si ( )A h denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h ,aplicandoelmtododel volumenpor secciones transversales seobtiene ( )

0

h

V A h dh= derivandorespectode t yaplicandoelteoremafundamentaldelclculo ( )dV dhA h

dt dt= (5)

Comparandolasecuaciones(3)y(5) ( ) 2dhA h ac ghdt

= (6)Seanh laalturadelquidoeneltanqueencualquierinstante t ,a elreadelorificiode

salida el cual est ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de

descarga y ( )A h el rea de la seccin transversal del tanque. La ecuacin diferencialasociadaalproblemadevaciadodeltanquees ( ) 2dhA h ac gh

dt=

Estaesunaecuacindiferencialdevariablesseparables, lacualalresolversesujetaa la

condicindeconocer laaltura inicial 0h paraeltiempo 0t = ,permiteobtener la leydevariacindelaalturadelquidoeneltanqueenfuncindeltiempo.

Si,adems,hayaportedelquidoaltanque,laecuacindiferenciales:

( ) 2dhA h Q ac ghdt

=

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Uncilindrorectocircularde10piesderadioy20piesdealtura,estllenoconagua.TieneunpequeoorificioenelfondodeunapulgadadedimetroCundosevaciartodoeltanque?

LaecuacindiferencialasociadaalosproblemasdeVaciadodetanqueses:

( ) 2A h dh ac ghdt= (1)Eldimetrodelorificiopordondefluyeelaguafueradeltanqueesde1pulgada,por lo tantoel radioespulgada.Como lasdimensionesdel tanque

estndadasenpie,utilizandolaequivalenciade1pulgada= 112

piesypuestoqueelrea

delorificiodesalidaeselreadeunacircunferencia ( )( )2radio ,resultaqueelreaa delorificiodesalidaes

221

24 576a pie = = .Elcoeficientededescargac noestdado

porlotantoseasume 1c = ylagravedades232

piesgseg

=

UNIDADESYNOTACIONES

Elemento Notacin Unidades

Altura ( )h t cm mt pies Volumen ( )V t 3cm 3mt 3pies Tiempo t seg seg seg

Gravedad g2981

cmseg

29,81mtseg

232piesseg

readelorificiodesalida a 2cm 2cm 2pies

readelaseccinTransversal ( )A h 2cm 2cm 2pies Coef.dedescarga c SinUnidades

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Paradeterminar ( )A h ,queeselreadelaseccintransversaldeltanqueenfuncindelaaltura h , obsrvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque soncircunferencias de radio constante 10r pies= . Por lo tanto, el rea de la seccintransversaleslamisma,independientementedelaaltura h alacualseefecteelcorte.As, ( ) ( )2 210 100A h pies = = Sustituyendo a, c, g, y ( )A h en la ecuacin (1) 8100 64

576 576dh hdt h = =

multiplicandopor 1 ysimplificando110072

dh hdt= (2)Laecuacin(2)eslaecuacindiferencialasociadaalproblema;lamismadeberesolversesujetaalacondicinqueparaeltiempo 0 0t seg= ,laalturainiciales 0 20h pies= ,puesenelenunciadosedicequeeltanqueesttotalmentelleno.La ecuacin diferencial (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para

separarlasvariables,laecuacin(2),semultiplicaporelfactor 72h

7200 dh dth

= Integrando 17200 dh dth

= (3)Ambasintegralessoninmediatas1 12 2

1 21 2 2dh h dh h h k dt t kh

= = = + = + Sustituyendo los resultados de lasintegralesenlaecuacin(3) 14400 h t k = + (4)Paradeterminarelvalordelaconstante k deintegracin,seusalacondicininicial,esto

es,sesustituyeen laecuacin(4) 0t seg= y 20h pies= ,resultando 14400 20k = .Estevalor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4) 14400 14400 20h t =

multiplicandopor 114400

yelevandoalcuadrado ( ) 22014400

th t = + (5)

Laecuacin (5)es la leyde variacinde la alturade lquidoenel tanqueen cualquier

instante t .

Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparael

cualdejadehaberlquidoeneltanque,sedebesustituir 0h = enlaecuacin(5)14400 20 64398,75t = =

Luegoeltanquesevacaenuntiempo 64398,75t seg= ,esdecir,17 53min19h seg

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GravitacinUniversalSegn la leyde lagravitacinuniversaldeNewton laaceleracinadecada libredeuncuerpo, como el satlite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una grandistanciahasta la superficie terrestrenoes la constanteg.Adems, laaceleracinaes

inversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadesdeelcentrodelaTierra 2kar

= dondekeslaconstantedeproporcionalidad.UtiliceelhechodequeenlasuperficiedelaTierra r R= y a g= paradeterminark.Si ladireccinpositivaeshaciaarriba,utilice lasegundaleyparadeducirlaecuacindiferencialparaladistanciar.

Loprimeroaconoceraqu,esaqueesiguallafuerzagravitacionalenm: 2TmF kMr

= Sin

embargoMdelatierrapodemosescribirlacomo: 3 3tMM rR

= Sustituyendoyreduciendo

enlaecuacindelafuerzagravitacional:

33

2 2 3r

mr MM m mMRF k k k rr r R

= = = LaLeydela Gravitacin Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partculapuntualconmasa 1m sobreotraconmasa 2m esdirectamenteproporcionalalproductodelasmasas,einversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaquelassepara:Segn lasegunda leydeNewton tenemosque, la fuerzaeselproductode lamasay laaceleracin, donde esta ltima tambin puede expresarse como la derivada de lavelocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posicin respecto del

tiempo:2 2

2 2 3

d r d r mMF ma F m m k rdt dt R

= = = Eliminandolamasadeambosladosde

laecuacin.2

2 3

d r kM rdt R

=

MODELODECRECIMIENTOPOBLACIONAL.

Ciertoingenierodecideconstruirunaedificacinenunazonaurbanaconunadinmicade

crecimientodictadaporlasiguienteecuacindiferencial: ( )cosdP k t Pdt

= dondekesuna

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constantepositivade la funcinP(t)de lazonaescogidaparaelestudio.Eldeseasaberqu tipodecrecimiento tiene lapoblacin.Grafiqueelcomportamientode laecuacin.Analiceuna interpretacinpara la solucindeestaecuacin,ydeterminequ clasedepoblacinconsideraquedescribelagrfica.

LaEDpuederesolverseporelmtododelaseparacindevariables: ( )cosdP k t Pdt

=

cos cos ln ksent CdP dPk tdt k tdt P ksent C P edt P

+= = = + =

DINMICADECADACuandouncuerpo,comoelparacaidistaqueapareceenlafigura,descendiendoantesdequeseabraelparacadassemuevecongranrapidezenelaire,laresistenciadelmismoesms cerca a a una cierta potencia de la velocidad instantnea v(t). Determine unaecuacin diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si laresistenciadelaireesproporcionalalcuadradodelavelocidadinstantnea.

La segunda ley deNewton podra describirmuy bien este principio. Ya dijimos que lafuerzapodrallevarseaunadiferencialsimpleF ma=

dvF mdt

= y aplicando lamisma ley a la fuerzaqueprovee la sustentacin tendramos:2dvm kv mg

dt= + . En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la

condicindelaecuacin,asdeberafluctuarlacadaparaunosvaloresdev(t)de0a140m/s.

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EJERCICIOSRESUELTOS.

1.Unatazadecafcalientequeinicialmenteseencuentraa95C,seenfrayllegaa80Cen5minutosmientraspermanece servidaenun cuarto cuya temperaturaesta21C.Determineenqumomentoelcafestaralatemperaturaidealde50C.

( ) ( ) ( )ln kta a aa

dT dTk T T kdt T T kt C T t Ce Tdt T T

= = = + = + Sabemosquelatemperaturadelcuartoes21C( ) 21ktT t Ce= +

En 0t = elcafesta95C

( ) ( )( )

00 21 95 95 21 74

74 21

k

kt

T Ce C

T t e

= + = = == +

En 5mint = elcafesta80C

( ) ( )5 0.045359ln

745 74 21 80 0.0453 74 215 min

k tCT e k T t e = + = = = = +

En 1 mint t= elcafesta50C

( ) 10.04531 129ln7474 21 50 20.67 min

0.0453tT t e t

= + = = =

2.Elsbado24defebrerodel2007alas07h00A.M.unconserjedelbsicoencuentraelcuerpodeunestudiantedeecuacionesdiferencialesenelauladonderindisuexamenelda anterior, que se conserva a temperatura constante de 26C. En ese momento latemperaturadelcuerpoesde28Cypasadahoraymedia latemperaturaesde27.5C.Considere la temperaturadelcuerpoenelmomentode lamuertede37CyquesehaenfriadosegnlaLeydeEnfriamientodeNewton,culfuelahoradelamuerte?

LeydeenfriamientodeNewton:

( )c adT K T Tdt =

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dTdt

:(Variacindelatemperaturaconrespectoaltiempo)

cT :(Temperaturadelcuerpo)

aT :(Temperaturadelaula)

t :Tiempoenhoras

26aT C= Latemperaturadelcuerpocuandoeshalladoes 28C

Eltiempoenquelatemperaturaesde28C es 1t . ( )1 28T t C = Despusdeunahoraymedialatemperaturadelcuerpodesciendea27.5C .

Eltiempoenquelatemperaturaesde27.5C serentonces: 1 1.5t +

( )( )

( ) ( )( )

1

ln 26

1.5 27.5

26 ;

ln 2626 26

26 26c

c

cc c

T Kt C Kt C Ktc c

T t CdT K TdtdT dTKdt Kdt T Kt C

T T

e e T Ce T t Ce + +

+ ==

= = = + = = = +

Silatemperaturaantesdemorirerade37C entonces:

( ) ( )0 37 37 26 11 11 26ktcT C C C T t e= = + = = + Si ( ) ( ) 1 1 11 1 228 11 26 28 11 2 11Kt Kt KtT t C T t e e e = = + = = =

1 11

2 1.7047ln 1.704711

kt kt kt

= = = (Ecuacin1);

Si ( )1 1.5 27.5T t C+ = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11.5 1.5 1.51 1.51.5 11 26 27.5 11 1.5 ;11K t K t K tT t e e e + + + + = + = = =

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( ) ( )1 11

1.5 1.99241.5 ln 1.5 1.992411 1.5

K t k t kt

+ = + = = + (Ecuacin2);

Siseigualaecuacin1y2:

( )1 1 1 11 1

1 1 1

1.7047 1.9924 1.5 1.7047 1.9924 1.7047 2.55705 1.99241.5

2.557051.9924 1.7047 2.55705 8.891.9924 1.7047

t t t tt t

t t t horas

= + = + =+ = = =

Porlotantoelestudiantemuri8.89horasantesdeserencontradoesdecir,alas22h06.

3.Supongamosqueunalumnode laUNIVERSIDADesportadordelvirusde lagripeyapesardeellavaalaescueladondehay5000estudiantes.Sisesuponequelaraznconlaquesepropagaelvirusesproporcionalnosoloalacantidaddeinfectadossinotambinala cantidaddeno infectados.Determine lacantidaddealumnos infectadosa los6dasdespus,siseobservaquealos4daslacantidaddeinfectadoserade50.

: #x deinfectados

5000 : #x desanos

( ) ( )( ) 50005000

15000 ln5000 5000 5000

5000ln 50005000 1

kt

kt

dx dx xkx x kdt kt Cdt x x x

x Cekt C x tx Ce

= = = + = + =

En 0, 1t x= =

( ) ( ) ( )0 5000 500005000 10 11 4999 1kt

ktCe ex C x t x t eCe

= = = = =

En 4, 50t x= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0.25 ln 5020000 0.25

0.25*6 1.5

ln 504 50 50

200006 50 50 353infectados

tk tx e k x t e x t

x

= = = = = = = =

4.Enuncultivodelevaduralarapidezdecambioesproporcionalalacantidadexistente.Silacantidaddecultivoseduplicaen4horas,Qucantidadpuedeesperarsealcabode16horas,conlamismarapidezdecrecimiento?x:cantidadexistente.

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( ) ( )ln ktdx dxkx kdt x kt C x t Cedt x

= = = + = en 00,t x x= = ( ) 0 0 00x Ce x C x= = =

en 04, 2t x x= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

ln 24 4 4

0 0 0 0

1644

0 0 0

ln 24 2 2

4

16 2 2 32

t tkx x e x k x t x e x t x

x x x x

= = = = =

= = =

5.Unobjetoquepesa30Kgsedejacaerdesdeunaalturade40m,conunavelocidadde3m/s.supngaseque laresistenciadelaireesproporcionala lavelocidaddelcuerpo.Sesabequelavelocidadlmitedebeser40m/s.Encontrarlaexpresindelavelocidadenuntiempot.Laexpresinparalaposicindelcuerpoenuntiempotcualquiera.

( ) ( )( ) ( ) 30

ln ln

1 1 300

x

k kt tm

dv dvmg f m mg kv mdt dt

dv m km dt kv mg t C kv mg t Ckv mg k m

v t Ce mg v t Cek k

= =

= = + = + = + = +

en 0, 3mt vs

= =

( ) 010 300 3 3 300v Ce C kk = + = =

en , 40 mt vs

= =

( )( )( ) ( ) ( )( )( )

0.25

0.25 0.25

0.25

1 300300 40 40 7.5 277.5

37 40

37 40 148 40

148 40

t

t t

t

v Ce k Ck k

v t edxv t x t v t dt Cdt

x t e dt C e t C

x t e t C

= + = = = = += = +

= + + = + + = + +

en 0, 0t x m= = ( ) ( )( )

0

0.25

0 148 40 0 0 148

148 40 148tx e C C

x t e t= + + = = = +

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6.La fuerzaresistentedelaguaqueoperasobreunboteesproporcionalasuvelocidadinstantnea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg la resistencia es de 40Newton. Se conoce que elmotor ejerce una fuerza constantes de 50 Newton. En ladireccindelmovimiento.Elbotetieneunamasade420Kg.yelpasajerode80Kg.a)Determineladistanciarecorridaylavelocidadenlcualquierinstantesuponiendoqueelbotepartedelreposo.b)Determinelamximavelocidadalaquepuedeviajarelbote.AplicandolasegundaleydeNewtonseobtiene:

xF ma= Partea) Fm :FuerzadelmotorFr :FuerzaderesistenciadelaguaFm :50NewtonFr kv= Comolavelocidadesde20m/segylafuerzaderesistenciade40Newton.

Entonces 40 2 220

Newtonsk kmseg

= = =

50xdvF ma Fm Fr ma kv mdt

= = = uur m :masatotaldelsistema 420 80 500 50 500 , 2dvm kg kg kg kv k

dt= + = = =

500 2 50dv vdt

+ = Ecuacindiferencialseparable

( )( )

ln 25 250 250 250

500 50 250 2 500 2 25 500

ln 2525 250 250

25 25t t tCv

dv dv dt dv dtvdt v vdv dt tC v C

v

e e v ke v ke+

= = = = + = +

= = = +

Silvelocidadiniciales0porpartirdelreposoentonces ( )0 0v = ;0 25 25k k= + = Laecuacindelavelocidad: 25025 25

t

v e= Como dxv

dt=

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

250

250 250 250

25 25

25 25 25 25 250 25 25 250

t

t t t

dx edt

x t e dt t e C x t t e C

= = = + + = + +

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Sipartedelreposo ( )0 0x = ; ( ) ( )0 25 250 25 250C C= + = Laecuacindelmovimientoes: ( ) ( ) ( )25025 25 250 25 250tx t t e = + b)Lavelocidadlmiteomximaes: 250max lim 25 25 25

t

t

piesv eseg

= =

7. Un circuito RL tiene una f.e.m. de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una

inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente para 15

t = segundos.

( )( ) 30

19 30 ln 30 930 9 30

130 9 30 930

t

di di div iR L i dt i t Cdt dt i

i t C i t Ce

= + = + = = + = + = +

en 0, 0t i= = ( )( ) ( )

0

30 30

10 9 21301 21 9 0.7 0.330

t t

i Ce c

i t e i t e

= + = = + = +

en 15

t =

( ) 6 10.7 0.3 0.3015

i t e i amp = + =

8.UnaF.e.m.de 5200 te voltiosseconectaenserieconunaresistenciade20Ohmiosyunacapacitanciade0.01Faradios.Asumiendoque lacarga inicialdelcapacitorescero.Encuentrelacargaylacorrienteencualquierinstantedetiempo.dq qR femdt C

+ = EcuacindiferencialparaelcircuitoRC .R :Resistencia 20R ohmios = q :CargaC :Capacitancia 0.01e C F =

5200 tfem e=

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5 520 20 20 100 200.01

t tdq q dqe q edt dt

+ = + = 55 tdq q e

dt + = Ecuacindiferenciallineal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

5 5 5 5 5 5 5

5 5 5

1dt t t t t t t

t t t

u t e e q t u t e dt q t e e e dt dt e t cu t

q t e t c e t e c

= = = = = = + = + = +

Siinicialmentenohaycargaenelcapacitor,entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 5

5 5

5 5 5 5 5

0 0;0

1;5

1 1 15 5 5 25

t t

t t

t t t t t

q c q t e i t q t dt e tdt

u t du dt dv e dt v e

ti t e tdt e e dt i t e e C

= = = = == = = =

= = + = +

Silacargainicialescero,entonceslacorrienteinicialescero:

( ) ( ) 5 510 05 25

t tti i t e e = =

9.Sesabequelapoblacindeciertacomunidadaumentaconunaraznproporcionalalacantidaddepersonasquetieneencualquiermomento.Silapoblacinseduplicencincoaos,encuntotiemposetriplicarycuadruplicar?

Dejar ( )P P t= ser la poblacin en el tiempo t , y 0P la poblacin inicial. De dP kPdt = obtenemos 0

ktP P e= . Usando ( ) 05 2P P= encontramos 1 ln 25k = y( )ln 2

50

t

P P e= .

Ajustando ( ) 03P t P= tenemos( ) ( )ln 25 ln 2 5ln 33 ln 3 7.9aos

5 ln 2

t te t= = =

Ajustando ( ) 04P t P= tenemos:( ) ( )ln 25 ln 24 ln 4 10aos.

5

t te t= = =

10.Supongaque lapoblacinde lacomunidaddelproblema1esde10000despusdetresaos.Culeralapoblacininicial?Culseren10aos?Ajustando 10000P = y 3t = enelproblemaanteriorseobtuvo

( )ln 2 30.6ln 25

0 010,000 10,000 6597.5P P e= = Entonces ( ) 2ln 20 010 4 26,390.P Pe P= =

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11. Lapoblacindeuna comunidad crece conuna tasaproporcional a lapoblacinencualquiermomento.Supoblacininiciales500yaumentael15%en10aos.Culserlapoblacinpasados30aos?

Dejar ( )P P t= serlapoblacineltiempo t .De dP ktdt

= y ( ) 00 500P P= = obtenemos

500 ktP e= .Usando ( )10 575P = encontramos 1 ln1.1510

k = .Entonces ( ) 3ln1.1530 500 760P e= aos.12.Encualquiermomentodado lacantidaddebacteriasenuncultivocreceauna tasaproporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicial debacterias?Dejar ( )N N t= serelnmerodebacteriasenelmomento t y 0N elnmero inicial.DedN kNdt

= obtenemos 0 ktN N e= . Usando ( )3 400N = y ( )10 2000N = encontramos

0400ktN e= o

13

0

400keN

= .De ( )10 2000N = tenemosentonces

310

77310 3

0 0 0 010 100 3 3

400 2000 20002000 201400 400

kN e N N NN

= = =

13.Cuandopasaunhazverticaldeluzporunasustanciatransparente,larapidezconquedecrecesu intensidad I esproporcionala ( )I t ,donde,trepresentaelespesor,enpies,delmedio.Enaguademar clara, la intensidada3piesbajo la superficiees25%de laintensidad inicial I del haz incidente, cul es la intensidad del haz a 15 pies bajo lasuperficie?Dejar ( )I I t= serlaintensidad, t elespesor,y ( ) 00I I= .Si dI kI

dt= y ( ) 03 0.25I I= entonces 1, ln 0.253ktoI I e k= = ,y ( ) 015 0.00098I I= .

14.Cuandoelinterssecapitaliza(ocompone)continuamente,encualquiermomentola

cantidaddedinero,S,aumentaaunatasaproporcionala lacantidadpresente: dS rSdt

= dondereslatasadeintersanual.

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a)Calculelacantidadreunidaaltrminodecincoaos,cuandosedepositan$5000enuna

cuentadeahorroquerindeel 35 %4

deintersanualcompuestocontinuamente.

b)Encuntosaossehabrduplicadoelcapitalinicial?c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el valor de

( )5 40.05755000 14

S = + Este valor representa la cantidad reunida cuando el inters secapitalizacadatrimestre.

De dS rSdt

= obtenemos 0 rtS S e= donde ( ) 00S S= .a)Si 0 $5000S = y 5.75%r = entonces ( )5 $6665.45S = .b)Si ( ) $10,000S t = entonces 12t = aos.c) $6651.82S .15.ElPb209,istoporadiactivodelplomo,sedesintegraconunaraznproporcionalalacantidadpresenteencualquiermomentoytieneunperiodomediodevidade3.3horas.Si al principio haba 1 gramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que sedesintegreel90%?

Dejar ( )N N t= ser la cantidad de plomo en elmomento t .De dN kNdt

= y ( )0 1N = obtenemos ktN e= .Usando ( ) 13.3

2N = encontramos 1 1ln

3.3 2k = . Cuando 90% de la

iniciativahadecado,0.1 gramospermanecer.Ajustando ( ) 0.1N t = tenemos1 1ln

3.3 2 1 3.3ln 0.10.1 ln ln 0.1 10.9613.3 2 ln2

t te t = = = Horas.

16.Cuando 0t = ,haba100miligramosdeunasustanciaradiactiva.Alcabode6horas,esa cantidaddisminuyel3%.Si la razndedesintegracin,en cualquiermomento,esproporcionalalacantidaddelasustanciapresente,calculelacantidadquequedadespusde24horas.

Dejar ( )N N t= ser la cantidaden el tiempo t .De dN ktdt

= y ( )0 100N = obtenemos100 ktN e= .Usando ( )6 97N = encontramos 1 ln 0.97

6k = .

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Entonces ( ) ( ) ( )1 ln 0.97 24 4624 100 100 0.97 88.5N e = = mg.17.Calculeelperiodomediodevidadelasustanciaradiactivadelproblema6.Ajustando ( ) 50N t = enelproblema8seobtiene

1ln1 250 100 ln 136.512 ln 0.976

kte kt t= = = Horas

18.a)Elproblemadevalorinicial dA kAdt

= , ( ) 00A A= eselmodelodedesintegracindeunasustancia radiactiva.Demuestreque,engeneral,elperiodomediodevida,T,de la

sustanciaes( )ln 2Tk

= .b)Demuestrequelasolucindelproblemadevalorinicialenlapartea)sepuedeescribir

( ) 0 2iTA t A

= c)SiunasustanciaradioactivatienelavidamediaTdescritaenlaparte(a)cuntodurar

unacantidadinicial 0A deellaparadecaerhasta 018A ?

a) La solucin de dA kAdt

= es ( ) 0 ktA t A e= .Dejando 012A A= y resolviendo para t seobtienelavidamedia

( )ln 2Tk

= .

b)Desde( )ln 2kT

= tenemos ( ) ( )ln 20 0 2t t

T TA t A e A = =

c)Escribiendo 0 01 28

tTA A

= como 32 2tT

= yresolviendopara t obtenemos 3t T= .As,

comocantidadinicial 0A decaera 018A entresvidasmedias.

19.Enuntrozodemaderaquemadaocarbnvegetalsedeterminqueel85.5%desuCl4 se haba desintegrado. Con la informacin del ejemplo 3 determine la edadaproximadade lamadera.stossonprecisamente losdatosqueusaron losarquelogosparafecharlosmuralesprehistricosdeunacavernaenLascaux,FranciaSupongamos que 0

ktA A e= y 0.00012378k = . Si ( ) 00.145A t A= entonces 15,600t aos.

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20.ElsudariodeTurnmuestraelnegativode la imagendelcuerpodeunhombrequeparecequefuecrucificado,muchaspersonascreenqueeselsudariodelentierrodeJessdeNazaret. En1988elVaticanootorgautorizacinparadatarconcarbonoelsudario.Tres laboratorios cientficos independientes analizaron el pao y concluyeron que elsudario tena una antigedad de 660. Una antigedad consistente con su aparicinhistrica.Usandoestaantigedad,determinequporcentajede la cantidadoriginaldec14quedabaenelpaoen1988.De ejemplo anterior, la cantidad de carbono presente en el momento t es( ) 0.000123780 tA t A e= . Dejando 660t = y resolviendo para 0A tenemos( ) ( )0.0001237 6600 0660 0.921553A A e A= = .

As,aproximadamente 92% de lacantidadoriginaldeC14semantuvoen latelacomodel1988 .21.Untermmetrosesacadeunrecintodondelatemperaturadelairees70Fyselleva

alexterior,donde latemperaturaes10F.Pasado 12minutoeltermmetro indica50F.

Culeslalecturacuando 1t = min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetrolleguea15F?

Supongamosque ( )10dT k Tdt

= demodoque 10 ktT ce= + .Si ( )0 70T = y 1 502

T =

entonces 60c = y 22ln3

k = de modo que ( )1 36.67T = . Si ( ) 15T t = entonces3.06t = minutos.

22.Un termmetro se llevadeun recinto interiorhastaelambienteexterior,donde latemperaturadelairees5F.Despusdeunminuto,eltermmetroindica55F,ydespusdecincomarca30F.Culeralatemperaturadelrecintointerior?

Supongamos que ( )5dT k Tdt

= demodo que 5 ktT ce= + . Si ( )1 55T = y ( )5 30T = entonces 1 ln 2

4k = y 59.4611c = demodoque ( )0 64.4611T = .

23.Siunabarrametlicapequea,cuya temperatura iniciales20C sedejacaerenunrecipienteconaguahirviente,cuntotiempotardaraenalcanzar90Csisesabequesutemperaturaaument2Cenunsegundo?Cuntotiempotardarenllegara98C?

Supongamosque ( )100dT k Tdt

= demodoque 100 ktT ce= + Si ( )0 20T = y ( )1 22T =

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Entonces 80c = y 39ln40

k = demodoque ( ) 90T t = implica 82.1t = segundos.Si ( ) 98T t = entonces 145.7t = segundos.24.Un termmetroque indica 70Fsecolocaenunhornoa temperaturaconstante.Atravsdeunaventanadevidriodelhorno,unobservadorregistraque latemperaturaes

de110F.Pasado 12minutoeltermmetroindica145F.Culeslalecturacuando 1t =

min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetrolleguea15F?

Uso de la separacin de variables para resolver ( )mdT k T Tdt = obtenemos( ) ktmT t T ce= + Usando ( )0 70T = encontramos 70 mc T= , as ( ) ( )70 ktm mT t T T e= + .

Usandolasobservacionesdadas,seobtiene

( )( ) ( )

21 70 1102

1 70 145

k

m m

km m

T T T e

T T T e

= + = = + =

Entonces ( )( )211070

km

m

Te

T= y

( )2 2 22 22 2

110110 145 14570 70 70

12100 220 10150 250 390

k kmm m

mm m m

m m m m m

TT Te e TT T T

T T T T T

= = = = + = + =

LaTemperaturaenelhornoes390 .

25.Un tanque contiene 200 1de agua enque sehandisuelto 30 gde sal y leentran

4minL

desolucincon1gdesalporlitro;estbienmezclado,ydelsalelquidoconel

mismoflujo 4minL .Calcule lacantidadA(t)degramosdesalquehayeneltanqueen

cualquiermomentot.

De 450

dA Adt

= obtenemos 50200t

A ce= + . Si ( )0 30A = entonces 170c = y

50200 170t

A e= .

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26.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoqueentraaguapura

De 050

dA Adt

= obtenemos 50t

A ce= .Si ( )0 30A = entonces 30c = y 5030 tA e= .

27.Untanquetiene500galdeaguapurayleentrasalmueracon2Ib.desalporgalna

unflujode 5mingal .Eltanqueestbienmezclado,ysaledelelmismoflujodesolucin

Calcule lacantidadA(t)de librasdesalquehayeneltanqueencualquiermomentot.Culeslaconcentracindelasolucineneltanquealos5minutos?

De 10100

dA Adt

= obtenemos 1001000t

A ce= + . Si ( )0 0A = entonces 1000c = y

1001000 1000t

A e= .

En ( )5, 5 48.77t A= puntos.28.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoque lasolucinsaleaunflujode10

mingal ,

permaneciendoiguallodems.Cundosevacaeltanque?

De ( )10 210 10

500 10 5 100dA A Adt t t

= = obtenemos ( )21000 10 100A t c t= + . Si

( )0 0A = entonces 110

c = .Acontinuacin,eltanqueestvacoen100 minutos.

29.Un tanque est parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 Ib de sal

disuelta.Leentrasalmueracon 12lb desalporgalnaunflujode6

mingal .Elcontenidodel

tanqueestbienmezcladoydelsaleunflujode 4mingal

desolucin.Calculelacantidad

delibrasdesalquehayeneltanquealos30minutos.

De ( )4 23 3

100 6 4 50dA A Adt t t

= = + + obtenemos ( )250 50A t c t = + + + . Si ( )0 10A =

entonces 100,000c = y ( )30 64.38A = libras.30.Enelejemplo terico (dadoalprincipiodeestegua),el tamaodel tanque con lasolucinsalinanoaparecientrelosdatos.Comosedescribienlapgina78elflujocon

que entra la solucin al tanquees igual,pero la salmuera sale conun flujode 2mingal .

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Puestoque la salmuera seacumulaenel tanqueauna rapidezde 4mingal ,encualquier

tanquefinitoterminaraderramndose.Supongaqueeltanqueestabiertoporarribayquesucapacidadtotalesde400galones.a)Cundosederramareltanque?b)Cuntaslibrasdesalhabreneltanquecuandosecomienzaaderramar?c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera contina entrando al flujo de

3mingal ,queelcontenidoestbienmezcladoyquelasolucinsiguesaliendoaunflujode

2mingal .Determine unmtodo para calcular la cantidad de libras de sal que hay en el

tanquecuandot=150min.d)Calculelaslibrasdesaleneltanquecuando t .Surespuestacoincideconloquecabraesperar?a) Inicialmenteel tanquecontiene 300 galonesdesolucin.Lasalmuerasebombeaen

unaproporcinde gal3min

y lasolucinsebombeaaunavelocidadde gal2min

,elcambio

netoesunaumentode gal1min

.As,en100 minutoseltanquecontendrsucapacidadde

400 galones.b) La ecuacin diferencial que describe la cantidad de sal en el tanque es

( ) ( )26

300AA tt

= + consolucin ( ) ( )( )7 2600 2 4.95 10 300A t t t= + + 0 100t As,lacantidaddesaleneldepsitocuandosedesbordaes:

( ) ( )( ) 27100 800 4.95 10 400 490.625lbsA = = c)Cuando eldepsito estdesbordando la cantidadde sal en el tanque se rigepor laecuacindiferencial

gal lb lb gal 33 2 3 6min gal 400 gal min 400

dA A Adt

= = ( )100 490.625A = Resolviendo la ecuacin obtenemos ( ) 3400800 tA t ce= + . Los rendimientos de lascondicionesiniciales 654.947c = ,demodoque( ) 3400800 654.947 tA t e= Cuando ( )150, 150 587.37 lbst A= = .

d)como t ,lacantidaddesales800lbs ,queesdeesperar( ) lbs400gal 2 800lbs

gal = .

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31. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v aun circuito en serie LR con 0.1 h deinductanciay50deresistencia.Determinelacorrientei(t),si ( ) 0i O = .Hallelacorrientecuando i Asumir ( ) , 0.1, 50diL Ri E t L R

dt+ = = = y ( ) 50E t = de modo que 5003

5ti ce= + . Si

( )0 0i = entonces 35

c = y ( ) 3lim5t

i t = .

32. Resuelva la ecuacin ( )diL Ri E tdt+ = suponiendo que ( ) 0E t E senwf= y que

( ) 00i i= .Asumir ( ) ( ) 0,diL Ri E t E t E sen tdt + = = y ( ) 00i i= demodoque

0 02 2 2 2 2 2 cos

RtLE R E Li sen t t ce

L R L R

= ++ + .

Desde ( ) 00i i= obtenemos 00 2 2 2E Lc i L R

= + + .

33. Se aplicauna fuerzaelectromotrizde100 volts aun circuitoen serieRC,donde laresistenciaes200y lacapacitanciaes 410 f .Determine lacargaq(t)delcapacitar,si

( )0 0q = .Hallelacorriente ( )i t Asumir ( ) 41 , 200, 10dqR q E t R C

dt c + = = = y ( ) 100E t = demodoque

501100

tq ce= + .

Si ( )0 0q = entonces 1100

c = y 5012

ti e= .

34. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que laresistenciaes1000ylacapacitanciaes 5 10x f .Determinelacarga ( )q t delcapacitar,si ( ) 0.4i O = amp.Hallelacargacuando t Asumir ( ) 61 , 1000, 5 10dqR q E t R C

dt c + = = = y ( ) 200E t = . Entonces

20011000

tq ce= + y 200200 ti ce= . Si ( )0 0.4i = Entonces( )1 , 0.005 0.003coulombs

500c q= = y ( )0.005 0.1472ampsi = .As 1

1000t q

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35.Seaplicaunafuerzaelectromotriz ( ) 1: 20,0 200, 20

tE t

t = > auncircuitoenserieLR,en

quelainductanciaes20hylaresistenciaes2.Determinelacorriente,i(r),si ( )0 0i = .Para0 20t laecuacindiferenciales 20 2 120di i

dt+ = .Unfactordeintegracines 10

t

e ,

as 10 106t td e i e

dt =

y 10160t

c e+ . Si ( )0 0i = entonces 1 60c = y 1060 60

t

i e= . Para

20t > laecuacindiferenciales20 2 0di idt+ = y 102

t

i c e= .

En 20t = queremos 2 22 60 60c e e = demodoque ( )22 60 1c e= .As

( ) ( )10

2 10

60 60 , 0 20;

60 1 , 20.

t

t

e ti t

e e t

= >

36. Supongaqueun circuitoen serieRC tieneun resistor variable. Si la resistencia,encualquiermomento t es 1 2R k k t= + , donde 1k y 2 0k > son constantes conocidas, la

ecuacin ( ) ( )

R t R RL t tL Lei t e E t dt ce

L

= + setransformaen ( ) ( )1 2 1dqk k t q E tdt C+ + = .Demuestrequesi ( ) 0E t E= y ( ) 00q q= ,entonces ( ) ( ) 2

1

10 0 0

1 2

Ckkq t E C q E Ck k t

= + + Separacindelasvariablesqueobtenemos

( ) 20

0 1 2 1 211 2 2

0 1 2

1ln ln

C

k

qEdq dt q CC E k k t c cq k k t C kE k k t

C

= = + + =+ +.

Ajustando ( ) 00q q= encontramos2

00

1

1

C

k

qEC

k

,as

( )2

2 2

1

1000

0 10 01 1

21 2

CC

CC k

k k

qq EEq kqCC E E

C C k k tk k t k

= = + +

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( )2 21 1

0 1 10 0 0 0 0

2 2

Ck Ckq k kqE E q E C q E CC C k k t k k t

= = + + + 37.Unaecuacindiferencialquedescribelavelocidadvdeunamasamencadasujetaa

unaresistenciadelaireproporcionalalavelocidadinstantneaes dvm mg kwdt

= ,enquekesunaconstantedeproporcionalidadpositiva.a)Resuelvalaecuacin,sujetaalacondicininicial ( ) 0v O v= .b)Calculelavelocidadlmite(oterminal)delamasa.

c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio de ds vdt

= , deduzca unaecuacinexplcitaparas,sitambinsesabequ ( ) 00s s= .a)De dvm mg kv

dt= obtenemos

ktmgmv ce

k= + .Si ( ) 00v v= entonces 0 gmc v k= y la

solucindelProblemadevaloriniciales 0ktmgm gmv v e

k k = +

b)Como t lavelocidadlmitees gmk

.

c)De ds vdt

= y ( )0 0s = obtenemos 0 0ktmgm m gm m gms t v e v

k k k k k = +

38.Qutanalto?(Sinresistenciadelaire)Supongaqueunapequeabaladecanquepesa16librassedisparaverticalmentehaciaarriba,comosemuestraenlafiguraconunavelocidadinicialdev0=300pies/s.Larespuestaalapregunta"Qutantosubelabaladecan?"dependedesiseconsideralaresistenciadelaire.a)Supongaquesedesprecialaresistenciadelaire.Siladireccinespositivahaciaarriba

entoncesunmodeloparalabaladelcanestdadopor2

2

d s gdt

= .Puestoque ( ) dsv tdt

=

la ltima ecuacin diferencial es la misma que la ecuacin dv gdt

= donde se toma

232piesgs

= g.Encuentrelavelocidad ( )v t delabaladecanaltiempot.b)Utiliceelresultadoqueseobtuvoenel incisoa)paradeterminar laaltura ( )s t de labaladecanmedidadesdeelniveldelsuelo.Determinelaalturamximaquealcanzalabala.

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a)La integracinde2

2

d s gdt

= seobtiene ( ) dsv t gt cdt

= = + .De ( )0 300v = encontramos300c = ,porloquelavelocidades ( ) 32 300v t t= + .

b) La integracindeuna yotrautilizando ( )0 0s = obtenemos ( ) 216 300s t t t= + . Laalturamxima se alcanza cuando 0v = , es decir, a 9.375at = . La altura mxima ser( )9.375 1406.25fts = .

39.Qutanrpido? (Resistencia linealdelaire)Repitaelproblemaanterior,peroestavezsupongaquelaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidadinstantnea.Estaeslaraznporlaquelaalturamximaquealcanzalabaladelcandebesermenorqueladel inciso b) del problema anterior. Demuestre esto suponiendo que la constante deproporcionalidadesk=0.0025.Cuandolaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidad,elmodelodelavelocidades

dvm mg kvdt

= (utilizando el hecho de que la direccin positiva es hacia arriba).Resolviendo la ecuacin diferencial mediante separacin de variables obtenemos

( ) ktmmgv t cek

= + .De ( )0 300v = obtenemos ( ) 300 ktmmg mgv t ek k

= + + .

Laintegracinyelusode ( )0 0s = encontramos ( ) 300 1 ktmmg m mgs t t ek k k

= + +

Ajustando 160.0025, 0.532

k m= = = y 32g = tenemos( ) 0.0051,340,000 6,400 1,340,000 ts t t e= y ( ) 0.0056,400 6,700 tv t e= +

Laalturamximasealcanzacuando 0v = ,esdecir,a 9.162at = .Laalturamximaser( )9.162 1363.79fts = ,queesmenorquelaalturamximaenlapartea).

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40.Una paracaidista pesa 125 libras y su paracadas y equipo juntos pesan juntos 35libras.Despusdesaltardelavindesdeunaalturade15OOOpies,laparacaidistaespera15 segundos y abre su paracadas. Suponga que la constante de proporcionalidad delmodelodelproblema35tieneelvalork=05durante lacada libreyk=10despusdequeseabrielparacadas.Supongaquesuvelocidad inicialalsaltardelavines igualacero.Cules lavelocidadde laparacaidistayqudistanciaharecorridodespusde20segundos de que salt del avin? Vea la figura. Cmo se compara la velocidad de laparacaidista a los20 segundos con su velocidad terminal? Cunto tardaren llegar alsuelo?[Sugerencia:Piense.enfuncindedosdiferentesPVI]

De ( )0 0v = obtenemos ( ) 1 ktmmgv t ek = .Dejarque

1600.5, 532

k m= = = y 32g =

tenemos ( ) ( )0.1320 1 tv t e= . La integracin, nos encontramos con( ) 0.1320 3200 ts t t e= + . En 15t = , cuando el paracadas se abre, ( )15 248.598v = y( )15 5514.02s = .Enestepuntoelvalorde k cambiaa 10k = ylanuevavelocidadinicial

es 0 248.598v = .Suvelocidadconelparacadasabierto (conel tiempomedidodesdeelinstantede laapertura)es ( ) 216 232.598 tpv t e= + .La integracin,nosencontramoscon( ) 216 116.299 tps t t e= . Veinte segundos despus de salir del avin cinco segundos

despus de que el paracadas se abre. Su velocidad en este momento es

( )5 16.0106secpftv = y ha cado ( ) ( )15 5 5514.02 79.9947 5594.01ftps s+ = + = . Su

velocidadmximaes ( )lim 16pt v t = ,por loque casihaalcanzado suvelocidad terminalcinco segundosdespusdequeelparacadas seabre.Cuando seabreelparacadas, ladistanciaalsueloes15,000 5514.02 9485.98ft = .

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Resolviendo ( ) 9485.98ps t = obtenemos 592.874 9.88mint s= = .Por lotanto, la llevaraproximadamente 9.88 minutospara llegaralsuelodespusdequesuparacadasseha

abiertoyuntotalde( )592.874 15 10.13

60+ = minutosdespusdequeellasaledelplano.

41.Evaporacindeunagotade lluvia.Cuandocaeunagotade lluvia,sta seevaporamientrasconservasuformaesfricaSisehacensuposicionesadicionalesdequelarapideza la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su rea superficial y que sedesprecia laresistenciadelaire,entoncesunmodelopara lavelocidadv(t)de lagotade

lluviaes( )

( ) 03 k

k

dv v gdt t r

+ =+ Aqu es ladensidaddelagua, 0r eselradiode lagotade

lluvia en 0, 0t k= < es la constante de proporcionalidad y la direccin hacia abajo seconsiderapositiva.a)Determinev(t)silagotadelluviacaeapartirdelreposo.

b)Demuestrequeelradiodelagotadelluviaeneltiempotes ( ) 0( ) kr t t r= + e)Si 0 0.01 ; 0.007r pie r pies= = 10segundosdespusdeque lagotacaedesdeunanube,determineeltiempoenelquelagotadelluviasehaevaporadoporcompleto.

a)Laecuacindiferencialesdeprimerorden,lineal.Dejarquekb = ,elfactorintegrante

es ( ) ( )03

30

bdtbt re r bt+

= + .Entonces( ) ( )3 30 0d r bt v g r btdt + = + y ( ) ( )

3 40 04

gr bt v r bt cb

+ = + + .

La solucin de la ecuacin diferencial es ( ) ( ) ( ) 30 04gv t r bt c r btb

= + + + . Usando

( )0 0v = encontramos 404grcb

= ,demodoque

( ) ( ) ( )4 4

0 00 03 3

00

4 444

gr g rg g kv t r bt r tb kb r bt ktk r

= + = + + +

.

b) Integrandodr kdt = obtenemos

ktrc= + . Usando ( ) 00r r= tenemos 0c r= , as

( )0

ktr tr= + .

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c)Si 0.007 ftr = cuando 10t s= ,a continuacin, la solucinde ( )10 0.007r = para k ,obtenemos 0.0003k = y ( ) 0.01 0.0003r t t= . Resolviendo ( ) 0r t = obtenemos

33.3t = ,porloquelagotadeaguasehanevaporadoporcompletoa33.3 segundos.

42.Laecuacindiferencial ( )cosdP k t Pdt

= ,enquekesunaconstantepositiva,seusaconfrecuencia para modelar una poblacin que sufre fluctuaciones estacionales anuales.DetermineP(t)ygrafiquelasolucin.Supongaque ( ) 00P P= Separandolasvariablesobtenemos 1cos ln

k sentdP k t dt P k sent c P c eP

= = + =

Si ( ) 00P P= entonces 1 0c P= y 0 k sentP P e= .

43.EnunmodelodemogrficodelapoblacinP(t)deunacomunidad,sesuponequedP dB dDdt dt dt

= , en donde dBdt

y dDdt

son las tasas de natalidad y mortalidad,

respectivamente.

a)DetermineP(t)si 1dB k Pdt

= y 2dD k Pdt = .b)Analiceloscasos 1 2k k> , 1 2k k= y 1 2k k<

a)Para ( )1 2dP k k Pdt = obtenemos( )1 2

0k k tP Pe = donde ( )0 0P P= .

b)Si 1 2k k> entonces P como t .Si 1 2k k= entonces 0P P= paracada t .Si 1 2k k< entonces 0P como t .44.Enelsiguientesistemadeecuacionesdiferencialesaparecealestudiarunaseriede

elementosquesedesintegranporsuradioactividad 1 1 2;dx dyx x ydt dt

= =

Determine ( ); ( )x t y t sujetasa ( ) 00x x= ( ) 00y y= Laprimeraecuacinsepuederesolverporseparacindevariables.Obtenemos 11

tx c e = .

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Para ( ) 00x x= obtenemos 1 0c x= y as 10 tx x e = . La segunda ecuacin se convierteentonces

10 1 2

tdy x e ydt

= o 12 0 1 tdy y x edt + =

queeslineal.Unfactordeintegracines 2te .As( ) ( )2 1 2 12 1 2 2

1 2

0 10 1 0 1 2

2 1

0 12

2 1

t tt t t t

t t

xd e y x e e x e e y e cdt

xy e c e

= = = + = +

De ( ) 00y y= obtenemos ( )( )0 2 0 1 0 12 2 1y y x

c

= .Lasolucines

1 20 1 0 2 0 1 0 1

2 1 2 1

t tx y y xy e ey

= + 45.Cuandosetieneencuentaloolvidadizodeunindividuo,larapidezconquememoriza

est definida por ( )1 2dA k M A k Adt = , enque 1 0k > , 2 0k > ( )A t es la cantidaddematerialmemorizadoenel tiempo t,Mes lacantidad totalpormemorizaryMAes lacantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique la solucin. Suponga que

( )0 0A = .DetermineelvalorlmitedeAcuando t einterpreteelresultadoa)Resolviendo ( )1 2 0k M A k A = para A nosencontramosconlasolucindeequilibrio

( )11 2k MAk k

= + .Desdelafaseretratovemosque ( ) ( )11 2limtk MA tk k

= + .

Desde 2 0k > ,elmaterialnuncasercompletamentememorizadoymayorseael 2k es,menorserlacantidaddematerialsememorizaeneltiempo.

b)Escribir laecuacindiferencialen la forma ( )1 2 1dA k k A k Mdt + + = .Acontinuacin,unfactordeintegracines ( )1 2k k te + ,y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 11

1 2 1 2

k k t k k t k k t k k t k k tk M k Md e A k Me e A e c A cedt k k k k

+ + + + + = = + = + + +

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Usando ( )0 0A = obtenemos 11 2

k Mck k

= + y( )( )1 21

1 2

1 k k tk MA ek k

+= + . Como

1

1 2

, k Mt Ak k

+ .

46.Laraznconquesediseminaunamedicinaeneltorrentesanguneosedescribeconla

ecuacindiferencial dx r kxdt

= ,ryksonconstantespositivas.Lafuncinx(t)describelaconcentracindelfrmacoensangreenelmomentot.Determineelvalorlmitede ( )x t cundo t .Encuntotiempolaconcentracineslamitaddelvalorlmite?Supongaque ( )0 0x = a)Resolviendo 0r kx = para x nosencontramos con la solucindeequilibrio rx

k= .

Cuando , 0r dxxk dt

< > y donde , 0r dxxk dt

> < . Desde la fase retrato vemos que

( )limt

rx tk

= .

b)De dx r kxdt

= y ( )0 0x = obtenemos ktr rx ek k

= asquerxk

como t .Si

( )2rx Tk

= entonces ( )ln 2Tk

= .

47.Supongaqueunforensequellegaalaescenadeuncrimenvequelatemperaturadelcadveres82F.Propongadatosadicionales,peroverosmiles,necesariosparaestableceruna hora aproximada de la muerte de la vctima, aplicando la ley de Newton delenfriamiento.Esnecesarioconocer latemperaturadelairedesdeelmomentode lamuertehastaquellegueelmdicoforense.Vamosasuponerquelatemperaturadelaireesunaconstante65 F .PorlaleydeNewtondeenfriarentoncestenemos

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( ) ( )65 , 0 82dT k T Tdt

= = Usodelalinealidadolaseparacindevariablesobtenemos65 ktT ce= + .De ( )0 82T = obtenemos 17c = ,asque 65 17 ktT e= + .Paraencontrar k

necesitamosmsinformacinporloqueasumimosquelatemperaturadelcuerpoen2t = horaera75 F .Entonces 275 65 17 ke= + y 0.2653k = y ( ) 0.265365 17 tT t e= + .

En el momento de la muerte, a ( )0 98.6 FT t = , as 0.265398.6 65 17 te= + , que da2.568t = . Por lo tanto, el asesinato tuvo lugar alrededor de 2.568 horas previas al

descubrimientodelcuerpo.

48.ElSr.Prezcolocaalmismotiempodostazasdecafenlamesadeldesayunador.Deinmediatoviertecremaen su taza,conuna jarraqueestabadesdehacemuchoenesamesa.Leeeldiariodurantecincominutosytomasuprimersorbo.LlegalaSra.Prezcincominutosdespusdeque las tazas fueron colocadasen lamesa, vierte crema la suya ytomaunsorbo.Supongaque laparejaagregaexactamente lamismacantidaddecrema.Quin y por qu toma su caf ms caliente? Base su aseveracin en ecuacionesmatemticas.Vamos a suponer que la temperatura de la habitacin y la crema es 72 F , y que latemperatura del caf cuando se ponga primero en la tabla es 175 F . Si dejamos que( )1T t representanlatemperaturadelcafentazaSr.Jone`senelmomento t ,entonces

( )1 1 72dT k Tdt = ,loqueimplica 1 172 ktT c e= + .Enelmomentode 0t = ElSr.Jonesagregacremaparaelcafqueinmediatamentereducesutemperaturaenunacantidad ,asque ( )1 0 175T = .As ( )1 1175 0 72T c = = + ,loqueimplica 1 103c = ,asque( ) ( )1 72 103 ktT t e= + .En ( ) ( ) 515, 5 72 103 kt T e= = + .Ahoradejamosque ( )2T t

representanlatemperaturadelcafentazaseoraJone.De 2 272ktT c e= + y ( )2 0 175T =

obtenemos 2 103c = ,asque ( )2 72 103 ktT t e= + .Ent ( ) 525, 5 72 103 kt T e= = + .CuandolacremaseagregaalcafLaseoraJone`s,latemperaturasereducirenunimporte .Utilizandoelhechodeque 0k < tenemos( ) ( ) ( )5 5 5 52 15 72 103 72 103 72 103 5k k k kT e e e e T = + < + = + =

As,latemperaturadelcafenelSr.Jonecopaesmscaliente.VACIADODETANQUES

49.Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista.Debido a un pequeoorificio situado en el fondo del tanque, de 2pulgadas cuadradas de rea, presenta un

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escape.Sieltanqueestinicialmentellenohastalastrescuartaspartesdesucapacidad,determine:a)Cundoestaralamitaddesucapacidad?b)Cundoestarvaco?

a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses

( ) 2A h dh ac ghdt= (1)Como lasdimensionesdeltanqueestndadasenpie,ypuestoque1pulg=1/12pies,entonceshaciendolaconversin,elreaorificiodesalidaser

2 2 21 12pulg 2144 72

a pies pies = = =

Elcoeficientededescargaes 1c = ylagravedad 232 piesg seg= Como puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque van a sercuadradosde ladosconstantese igualesa12pies, independientementede laalturaa lacual se efecta el corte, por lo tanto, el rea de las seccin transversal ser

( ) 2144A h pies= Ya que las secciones transversales son de rea constante y puesto que el tanque estinicialmente llenohasta3/4desucapacidad,resultaque laaltura inicialser iguala3/4de laalturatotal.As,como laaltura totaldeltanquees 12th pies= ,entonces laalturainiciales 0

3 94 t

h h pies= = .Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1)1 8144 6472 72

dh h dt h dt= = simplificando 11449

dh h dt= (2)La ecuacin (2) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanqueplanteadoydeberesolversesujetaalacondicin ( )0 9h pies= .La ecuacin (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessemultiplicalaecuacin(2)porelfactor 9 1296 dh dth h

= integrando

1296 dh dth

= (3)

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Ambas integrales son inmediatas12

1 22dh h dh h k dt t kh

= = + = + sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(3) 2592 h t k = + (4)Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial( )0 9h = , esto es, se sustituye en la ecuacin (4) 0t seg= y 9h pies= , resultando

7776k = . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4)2592 7776h t = multiplicando por 1

2592 y elevando al cuadrado

( ) 232592th t = + (5)Laecuacin(5)eslaleydevariacindelaalturadellquidoenel

tanqueencualquierinstante t .Sequieredeterminareltiempoparaelcualelvolumendelquidoeneltanqueesigualalamitaddesucapacidad;esdecir,cuando laalturade lquidoenel tanquees iguala6

pies.Paraello,sesustituye 6h pies= en laecuacin(5)2

6 32592t = + elevandoa la

12 entonces, 6 3

2592t= + Multiplicando por ( )1 3 6

2592t = sumando 3 y

multiplicandopor 2592 ( )2592 3 6 7776 6350,4 1425,6t = = = Deaquque,debetranscurriruntiempo 1425,6 23min 45t seg seg= = ,paraqueeltanquesevacehastalamitaddesucapacidad.Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparaquelaalturadelquidoeneltanqueseacero,sesustituye 0h = enlaecuacin(5)ysebuscat ;

2

3 02592t + = elevandoa

12entonces; 3 0

2592t + = multiplicandopor ( )2592

7776 0t = despejando t 7776t seg= Luego,debentranscurrir 7776seg ,esdecir,2horas9min36seg,paraqueeltanquesevacetotalmente.50.Untanqueenformadeconocircularrecto,dealturaHradioR,vrticepordebajodela base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si

212 , 5 , 1pulgH pies R pies a= = = y 0,6c =

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Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanquees

( ) 2A h dh ac gh dt= (1)Elreadeorificiode salidaes 21pulga = pero como lasdimensionesdel tanqueestndadasenpies,hayquerealizarlaconversin.

Puestoque 11pulg12

pies= ,entonces2

2 21 11pulg12 144

a pies pies = = =

Elcoeficientededescargaes 0,6c = ylagravedades 232 piesg seg= .Segn puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque soncircunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a cual se efecte la seccintransversal.Sea h laalturaalacualseefectaelcortey r elradiodelacircunferencia.Elreadelaseccintransversalesvariableyestdadapor ( ) 2A h r= (2)

Para expresar r en funcin de h , debe hacerse una abstraccin, en el sentido devisualizareltanque,nocomounslido,sinocomounafiguraplana.ObservandoeltanquedefrentecomounafiguraplanasevetalycomosemuestraFigura.Si seubican los ejes coordenadosde tal formaque el vrticedel cono coincida con elorigendelsistemadecoordenadas,entoncessetieneunafigurasimtricarespectodelejey ,talycomosemuestraenlaFigura.Porsimetra,sersuficientetrabajarconunodelostringulos.

Por semejanza de tringulos (ver Figura) se tiene entonces la siguiente relacin de

proporcin 512

rh= despejando 5

12r h= (3)sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2)

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( ) 2 25 2512 144

A h h h = = Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1)225 1 6 64

144 144 10h dh h dt = Multiplicandopor144

2 24255

h dh h dt = (4)Laecuacin(4)eslaecuacindiferencialasociadaalvaciadodetanqueplanteadoenesteproblemaydeberesolversesujetaa lacondicin inicialqueparaeltiempo 0t = seg, laalturaes 12h = pies,estoes ( )0 12h = .La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessemultiplicaporelfactor 524 h

,entonces2125

24h dh dth

= integrando2125

24h dh dth

= (5)Ambasintegralessoninmediatas1 3 52

2 2 2 21 2

25

h dh h h dh h dh h k dt t kh

= = = + = + Sustituyendo los resultadosde lasintegralesenlaecuacin(5)

52125 2

24 5h t k = + efectuandooperaciones

5225

12h t k = + (6)

Paradeterminarelvalordelaconstante k deintegracinseusalacondicininicial( )0 12h = ,estoes,sesustituyeenlaecuacin(6) 0t = seg.y 12h = pies,resultando

( )5225 1212

k = .Estevalorobtenidopara k sesustituyeenlaecuacin(6)

( )5 52 225 25 1212 12

h t = (7)multiplicandopor 1225

yelevandoala25

( ) ( )2

5 52

12 1225

h t t = + (8)Laecuacin(8)es la leydevariacinde laalturadel lquido

eneltanqueencualquierinstante t .El tiempodevaciado totalseobtienecuando laalturade lquidoenel tanquees 0h = pies.Sustituyendoestevalorenlaecuacin(7) ( )52250 12

12t = despejando t

( )5225 12 3264,8312

t seg= = Deaquque,eltanquedemoraenvaciarse3264,83seg ,esdecir,54min25seg

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51.UnatazahemisfricaderadioRestllenadeagua.Sihayunpequeoorificioderadiorenelfondodelasuperficieconvexa,determineeltiempodevaciado

Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses:

( ) 2A h dh ac gh dt= (1) Como el radio de la taza hemisfrica es R y el tanque seencuentrallenoentonceslaalturainicialdelquidoeneltanquees R ,talycomopuedeobservarseenlaFig.1,esdecir, ( )0h R= Elorificiodesalidatieneradio r ,porlotanto,elreadelorificiodesalidaes 2a r= .Seac elcoeficientededescargay g lagravedad.Lasseccionestransversalesdeltanquehemisfrico,soncircunferenciasderadiovariable,segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de laseccintransversal.Porsercircunferencia,elreaes ( ) 2A h x= (2)Sedebeestablecerunarelacinentreelradio x ylaaltura h ,detalformaqueelreadelaseccintransversalquedeexpresadaenfuncindelaalturah .

Observandoel tanquede frente comouna figuraplana yubicndoloenun sistemadecoordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Figura. Puesto que laresultante es simtrica respecto del eje y , ser suficiente trabajar con lamitad de lafigura.

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Eltringuloqueseforma,tienecomobaseelradio .x ,altura. ( )R h .e .HipotenusaR .Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Figura ( )22 2R x R h= + desarrollando 2 2 2 22R x R Rh h= + + simplificando 2 22x Rh h= (3) sustituyendo laecuacin(3)enlaecuacin(2) ( ) ( )22A h Rh h= (4)Ahorasesustituyen ( )A h yaenlaecuacin(1) ( )2 22 2Rh h dh r c gh dt = (5)La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessemultiplicalaecuacin(5)porelfactor2

12r c gh ,entonces:

( )22 1 22 Rh h dh dtr c gh = (6)A partir de la ecuacin diferencial (5) y sabiendo queparaeltiempo 0t = laalturaes h R= ,sedebedeterminareltiempodevaciado vt ,estoeseltiempoparaelcuallaalturadelquidoeneltanqueescero.Seplanteaas,elproblemadevalordefrontera

( )( )

2

2

22

0

0v

Rh h dh dtr c gh

h R

h t

= = =

Integrando la ecuacin diferencial (6) de forma definida: el tiempo vara entre 0t = yvt t= ( vt tiempoadeterminar)laalturavaraentreh R= y 0h =

0 2

20

1 22

vt

R

Rh h dh dtr c g h

= (7)Resolviendolasintegralesdefinidas

3 50 1 32 2 2 2

2 2

0 0 00 0

5 5 52 2 2

00

2 2 4 223 5

4 2 143 5 15

vv

R RR R R

R

tt

v

Rh h Rh h Rh hdh dh R h dh h dhh h

R R R dt t t

= = + = + =

= + = = =

sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)52

2

1 14152 vR t

r c g

=

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Porlotanto,eltiempoquedemoraenvaciarseeltanquees2

2

1415 2

R Rtr c g

=

52. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva43y x=

alrededordel eje y . Siendo las 11:27de lamaana se retiraun tapnque esten elfondoyenesemomentolaprofundidaddelaguaeneltanquees12pies.Unahoramstardelaprofundidaddelaguahadescendidoalamitad.Determinea)Aquhoraestarvacoeltanque?b)Aquhoraquedaraeneltanque25%delvolumendelquidoinicial?

a)Lacurva43y x= quesehacegiraralrededordeleje y paragenerareltanquetienesu

vrtice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de lamxima profundidad delquidoeneltanque,estoes, 12y = lavariable x querepresentaelradiodegirotomaelvalor ( )3412 6, 45x = = .EnlaFig.1semuestralaformaaproximadadeltanque.Laecuacindiferencialasociadaaunproblemadevaciadodetanquees

( ) 2A h dh ac gh dt= (1)Elcoeficientededescargaes 1c = y lagravedades 232 piesg seg= .Elreaadelorificiodesalidadebedeterminarse.Lasseccionestransversalessoncircunferenciasderadiovariable r .Por lotanto,elreadelasseccionestransversaleses ( ) 2A h r= (2)Elradio r debeexpresarseenfuncindelaaltura h .Paraellodebeobservarseeltanque

comounafiguraplana,vistadesdeelfrente.LaFiguramuestralacurvaplana43y x=

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Observeen laFig.2queelpunto ( ),P r h pertenecea lacurva 43y x= ;estoquieredecirquelascoordenadasdelpunto P satisfacenlaecuacindelacurva.

Sustituyendo ,x r y h= = entonces43h r= Despejando r

34r h= (3) sustituyendo la

ecuacin(3)enlaecuacin(2) ( ) 32A h h= Unavezqueelreadelaseccintransversaldeltanquehaquedadoexpresadaenfuncin

delaaltura,sesustituyen ( ) ,A h c y g enlaecuacin(1) 32 64h dh a h dt = (4)Laecuacin (4)es laecuacindiferencial asociada alproblemade vaciadoplanteado ydeberesolversesujetaadoscondiciones:laprimeracondicinesqueparaeltiempo 0t = seg, la altura es 12h = pies; la segunda condicin es que luego de una de iniciado elproceso de vaciado, es decir, para 3600t = seg, la altura de lquido en el tanque hadescendidoalamitad,estoes, 6h = pies.Porlotanto,loquedeberesolverseeselproblemadevalordefrontera

( )( )

32 80 12

3600 6

h dh a h dth

h

= = =

La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor 1 164 8h h

= 32

8h dh a dth

= (5) integrando definidamente; el tiempo vara entre 0t = seg y

3600t = seg;laalturavaraentre 12h = piesy 6h = pies3

6 36002

12 08h dh a dth

= (6)Resolviendolasintegrales

( ) ( )3 12 2 26 12 360022 36000

12 6 06

12 672 18 54 3600

2 2 2h hdh hdh dt th

= = = + = + = = =

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6) ( )54 36008

a =

multiplicandopor 13600

,entonces 1 273600 4

a = simplificando 3600a=

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Estevalorqueseobtuvoparaa(readelorificiodesalida)sesustituyeenlaecuacin(5)

1600

32 3

8 1600h dh dth

= multiplicandopor1600

3 ysimplificando200

3hdh dt = (7)

Sepidedeterminarel tiempo vt quedemoraenvaciarseel tanque,esdecir,el tiempoparaelcual laalturade lquidoenel tanquesehacecero.Paraellosedeberesolverelproblemadevalordefrontera

( )( )

2003

0 12

0v

h dh dt

h

h t

= = =

Laecuacindiferencial(7)se integradeformadefinida:eltiempovaraentre 0t = segyvt t= ;laalturavaraentre 12h = piesy 0h = pies

0

12 0

2003

vt

h dh dt = (8)Resolviendolasintegralesdefinidas120 12 2

012 0 00

722

vv

tt

vhh dh hdh dt t t= = = = = sustituyendo los resultados de las

integralesenlaecuacin(8) ( )200 72 48003v

t = = Deaqusetieneque,eltanquedemoraenvaciarse 4800t = seg,loqueequivalea1horay20min.Sielprocesodevaciadoseinicioalas11:27am,entoncesparasaberaquhoraeltanqueestarvaco,debesumarseeltiempodevaciado vt alas11:27.Luego,eltanqueestarvacoalas12:47pm.b)Parasaberaquhoraquedaeneltanqueel25%desucapacidad,sedebecomenzarpor establecer cul es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% de sucapacidad.Comoseconocelaalturainicialdelquidoeneltanque,elvolumentotalsedeterminaporelmtododelvolumenporseccionestransversales

( ) ( )0125 5

12 3 2 22

0 00

2 1225 5

h hV A h dh h dh= = = = luegoel25%delvolumentotales

( ) ( )5 52 22 12 122525%100 5 10

V = =

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Conocidoelvolumen cuando restael25%de lquidoenel tanque,utilizandoelmismomtodoporseccionestransversales,sepodrdeterminarculeslaalturadelquidoenel

tanqueenestecaso ( )25%0

25%h

V A h dh= sustituyendo ( )A h y25%V ( ) 25%5

322

0

1210

h

h dh = (9)

Resolviendo la integral definida( ) ( )

25%

25%5

3 522 2

25%0

0

2 12 25 5

hh

h dh h = = sustituyendo el

resultadodelaintegralenlaecuacin(9)( ) ( )

5522

25%

12 210 5

h = multiplicandopor 5

2

( ) ( )5

5 22

25%

124

h = elevandoa 25entonces

( )25% 2512 6,894

h = =

Unavezconseguida laalturade lquidoeneltanquecuandoquedael25%delvolumentotal, seprocedeabuscarel tiempoquedemoraen llegaraesaaltura.Paraellodeberesolverseelproblemadevalordefrontera

( )( ) ( )25% 25

2003

0 1212

4

hdh dt

h

h t

= = =

Laecuacindiferencial(7)se integradeformadefinida:eltiempovaraentre 0t = segy25%t t= ;laalturavaraentre 12h = piesy ( )25

12

4h =

( )25 25%12

4

12 0

2003

t

h dh dt = (10)Resolviendolasintegralesdefinidas( )

( ) ( )( )

25 25%

25%

2255

122

124 12 2

25%2 0121212 0544

1 1272 72 23,75 48, 252 2 4

tthh dh hdh dt t t

= = = + = + = = =

sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(8)

( )25% 200 48,25 3216,663t = =

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Deaqu se tieneque,el tanquedemora 3216,66t = segenvaciarsehastael25%de sucapacidadinicial,loqueequivalea53miny36seg.Sielprocesodevaciadoseinicioalas11:27am,entoncesparasaberaquhoraeltanquetendrsloel25%desucapacidad,hayqueagregaralas11:27los53miny36seg.Luegotendrel25%desucapacidadalas12:20:36pm.

53.El tanqueque semuestraen la figuraest totalmente llenode lquido. Se iniciaelprocesodevaciado,porunaperforacincircularderea 21cm ubicadaenlabaseinferiordeldepsito.Sisehaestablecidoelcoeficientededescarga 0,447c = y lagravedades

210mg

seg=

Determine:a)Tiempoquedebetranscurrirparaquequedeeneltanqueuncontenidoequivalenteal18,75%desucapacidadb)TiempodevaciadototaldeltanqueSOLUCIN:Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses

( ) 2A h dh ac gh dt= = (1)Elreadelorificiodesalidaes 21a cm= ,perocomolasdimensionesdeltanqueestnenmetros debe efectuarse la conversin. Puesto que 21 0,01 10cm mt mt= = , entonces

( ) ( )222 2 4 21 1 10 10a cm cm mt mt = = = = .Enelenunciadodelproblemadanelcoeficientededescarga 3447.10c = ylagravedad 210 mtg seg= Segnpuedeobservarseen laFigura, lasseccionestransversalessonrectngulos,dosdelos lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitudvariable r .Elreadelaseccintransversalesentonces ( ) 8A h r= (2)Debeexpresarselalongitud r enfuncindelaaltura h .Paraellosiseobservaeltanquede frente, como una figura en una plana, ubicada en un sistema de coordenadascartesianasrectangulares,severcomolomuestralasiguienteFigura

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Obsrveseque el punto ( ),P r h pertenece a la recta que pasa por los puntos ( )1,0 y( )2, 4 . La pendiente la recta es 4 0 4

2 1m = = La ecuacin de la recta que pasa por el

punto ( ) ( )( )1,0 2, 4o ytienependiente4es ( ): 4 1L y x= Yaqueelpunto ( ),P r h pertenecea larecta L entoncessatisface laecuacindedicharecta, por lo tanto sustituyendo ,x r y h= = entonces ( )4 1h r= despejando r

14hr = + (3)Sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2),setieneelreadelasecciones

transversales en funcinde la altura h ( ) ( )8 1 2 44hA h h = + = + Ahora se sustituyen

( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1) ( ) 4 32 4 10 .447.10 20h dh h dt + = simplificando( ) 17 22 4 447.10 20h dh h dt+ = (4)

La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin diferencial de variables separables y deberesolversesujetaalacondicindequelaalturainicialdelquidoeneltanquees 4mt ,esdecir, ( )0 4h = .Parasepararlasvariables,laecuacin(4)debemultiplicarseporelfactor

7

12

10

447 20h entonces

7

12

2.10 4447 20

h dh dth

+ = integrando

7

12

2.10 4447 20

h dh dth

+ =

(5)Ambasintegralessoninmediatas

1 1 3 12 2 2 2

1 212

4 24 83

h dh h dh h dh h h k dt t kh

+ = + = + + = + sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(5)

3 172 22.10 2 8

3447 20h h t k

+ = + (6)

Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial( )0 4h = ,estoes,sesustituyeenlaecuacin(6) 0t = segy 4h = mt,

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3 1 17 7 7 72 2 22.10 2 2.10 2 4.10 32 128.104 8 4 4 4 8

3 3 3447 20 447 20 447 20 1341 20k

= + = + = =

estevalorobtenidopara k sesustituyeenlaecuacin(6)3 17 72 22.10 2 128.108

3447 20 1341 20h h t

+ = despejando t

3 172 22.10 64 2 8

3 3447 20t h h

= (7)

Laecuacin(7)representalarelacinfuncionalentrealturaytiempo.Yaquesedebedeterminareltiempoquedebetranscurrirparaqueeneltanquequedesolo el 18,75% del volumen total de lquido, para usar la ecuacin (7) ser necesarioconocer laalturade lquidoenel tanque,cuandoenestequedael18,75%delvolumentotal.Secomienzapordeterminarelvolumentotaldelquidoeneltanque.Comoeltanqueseencuentra lleno, la altura total de lquido en el tanque coincide con la altura inicial.Aplicandoelmtododelasseccionestransversalesparahallarelvolumentotal

( ) ( )0 4 4 4 4 42 000 0 0 0

2 4 2 8 8 16 32 48h

V A h dh h dh hdh dh h h= = + = + = + = + = As,elvolumentotaldelquidoeneltanquees 348V mt= .Luego,el18,75%delvolumentotales

( )( )18,75 48 90018,75% 9100 100

V = = = Ahora, usando lamisma ecuacin anterior para calcular volumen, se puede establecercul ser la altura 1h del lquido en el tanque, si se sabe que el volumen es

319,75% 9V mt= entonces ( )10

18,75%h

V A h dh= sustituyendolosdatos( ) ( ) ( )1 1 22 1 10

0

9 2 4 8 8h

hh dh h h h h= + = + = + se tiene entonces una ecuacin de segundo

gradoen 1h ( )21 18 9 0h h+ = Resolviendolaecuacindesegundogrado( ) ( )( )

( )2

1

8 8 4 1 9 8 100 8 102 1 2 2

h = = = dedonderesulta 9h = y 1h =

Yaque h debeserpositivo,puesrepresentaunaaltura,elvalor 9h = sedescarta,porlotanto,laalturadelquidoeneltanquecuandoelvolumenesde18,75%delvolumentotales 1h = m. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta18,75%delvolumentotal,sersuficienteconsustituir 1h = menlaecuacin(7)

72.10 64 2 8 126727,19343 3447 20

t = = As,eltanquedemoraenvaciarsehastael18,75%delvolumentotal

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126727,1934t = seg=35horas12min7seg=1da11horas12min7seg.b)Paradeterminarel tiempodevaciado totaldel tanque,esdecir,cuando laalturadelquidoeneltanqueescero,sesustituye 0h = enlaecuacin(7)

7 72.10 64 128.10 213435, 2733447 20 1341 20v

t = = = As, el tanque demora en vaciarsetotalmente 213435,273t = seg=59hora17min15seg=2das11horas17min15seg

54.Eltanquequesemuestraenlafiguraseencuentrallenoenun100%:Ellquidoescapaporunorificiode 25cm rea,situadoenelfondodeltanque.Determinea)Tiempodevaciadototalb)Tiempoparaqueelvolumendelquidoeneltanquedescienda5m

Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses

( ) 2A h dh ac gh dt= (1)Elcoeficientededescargaes 1c = ;lagravedades 29,81 mtg seg= El readelorificiode salida estdado en cm2,pero como lasdimensionesdel tanqueestn dadas en m, debe realizrsela conversin a una sola unidad, As

2 4 25 5.10a cm mt= = Segn semuestra en la Figura, las secciones transversalesdel tanque son rectngulos,cuyoladosvaranenfuncindelaalturaalacualseefectelaseccintransversal,seanLy M las longitudes de los lados. Entonces el rea de la seccin transversal es

( )A h LM= (2)Sedebenexpresaramboslados(LyM)enfuncindelaaltura.Siseobservaeltanqueporunadesuscarasyseconsideraunafiguraplana,ubicndolaenunsistemadecoordenadascartesianasrectangulares,seobtieneloquesemuestraenlaFigura.

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Comopuedeobservarse laFiguraes simtrica respectoaleje y ,por lo tanto,a findeestablecerlarelacinentreLyhsetrabajaconlamitaddeltrapecioqueseforma,comosemuestraenlaFigura

Sepuedeobtener la relacinentre L yh, a travsde la rectaquepasapor lospuntos

3 ,02

y ( )4,12 ,rectaalacualperteneceelpunto ,2L h .Sinembargo,semostrarotro

procedimiento,elcualnosconducealamismarelacin.ObservequelaFiguraseformaconunrectnguloyuntringulo.Considreseeltringulo.EnlaFig.4seindicanlasdimensionesdelosladosdedichotringulo.SiseaplicasemejanzadetringulosalosdostringulosdelaFig.4

3 5

2 2 212

L

h

= Simplificando 3 512

Lh = despejandoL 5 3

12L h= + (3)

Ahora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a laanterior.Lafiguraplanaqueseobserva,resultaigualaladelaFiguraanterior,loquevarasonlasdimensionesdelasaristas,talycomosemuestraenlasiguienteFigura.

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Comopuedeobservarseessimtricarespectoalejey,porlotanto,afindeestablecerlarelacinentreMyhsetrabajaconlamitaddeltrapecioqueseforma

Sepuedeobtener la relacinentremyh,a travsde la rectaquepasapor lospuntos

3 ,02

y ( )4,12 ,rectaalacualperteneceelpunto ,2L h .Sinembargo,semostrarotro

procedimiento,elcualnosconducealamismarelacin.ObservequelaFiguraanteriorseformaconunrectnguloyuntringulo.Considreseeltringulo.EnlaFigurasiguienteseindicanlasdimensionesdelosladosdedichotringulo.Siseaplicasemejanzadetringulosalosdostringulos

112

12

M

h

= Simplificando 2 12 12

Mh = despejandoM 1 2

6M h= + (4)

Las ecuaciones (3) y (4) se sustituyen en la ecuacin (2), resultando que el rea de laseccintransversaldeltanqueenfuncindelaalturaes

( ) ( )( ) 25 36 125 1 5 96 4323 212 6 72 72

h h h hA h h h+ + + + = + + = =

Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1) 2 45 96 432 5.10 19,6272

h h dh h dt + + =

(5)

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Laecuacin(5)eslaecuacindiferencialasociadaalproblemaydeberesolversesujetaalacondicin ( )0 12h = ,esdecir,paraeltiempo 0t = seglaalturaes 12h = mLa ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessedebemultiplicardichaecuacinporelfactor4

15.10 19,62h

2

4

1 5 96 432725.10 19,62

h h dh dth + + =

Efectuandolasoperaciones

3 1 132 2 210 5 96 432

36 19,62h h h dh dt

+ + = (6)

Apartirde laecuacin (6)debedeterminarseel tiempodevaciado totaldel tanque,esdecir, el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque es 0h = m. Para ello seintegrade formadefinida laecuacin (6):el tiempovarade 0t = sega

105757747 Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Lineales

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