“Análisis y Solución de Ecuaciones Diferenciales linealesEcuaciones Diferenciales lineales en el dominio del tiempo y en la

frecuencia (Laplace).”

Doctor Francisco Palomera Palacios

Departamento de Mecatrónica y Automatización,

ITESM, Campus Monterrey

fpalomera@itesm mxfpalomera@itesm.mx

Motivación• Análisis y estudio intuitivo del comportamiento

de sistemas representados ecuacionesdiferenciales lineales c c c a través de ladiferenciales lineales c.c.c. a través de latransformada de Laplace.

• Simulación e interpretación gráfica de una• Simulación e interpretación gráfica de unarespuesta transitoria y en estado estacionario.

Analogía de sistemas físicos (analogía de• Analogía de sistemas físicos (analogía decomportamientos de sistemas de diferentenaturaleza)

ContenidoContenido• Relación causa-efecto en sistemas físicos.• Ecuación Diferencial lineal de Primer Orden c c c eEcuación Diferencial lineal de Primer Orden c.c.c. e

interpretación de sus parámetros.• Función de Transferencia y Respuesta para una

ecuación diferencial lineal c.c.c.• Polos y ceros de una función F(s).• Evaluación de una función respuesta: y(0) y y(∞) en el• Evaluación de una función respuesta: y(0) y y(∞) en el

dominio de la frecuencia.• Analogía de sistemas físicosg• Representación de sistemas cuyo comportamiento de

respuesta transitoria es similar.C• Conclusiones.

• Ejercicios.

ModelaciónModelación de Sistemas Dinámicos utilizandoEcuacionesEcuaciones DiferencialesDiferenciales linealeslineales c c cc c cEcuacionesEcuaciones DiferencialesDiferenciales linealeslineales c.c.cc.c.c..

-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)

Sistemas

- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)

- Sistema térmico (temperatura en un horno)

-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)Físicos

Sistema Eléctrico (velocidad de motores)

- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )

- Sistema Económico ( inflación)

- Sistema de producción (rates de producción entre máquinas)

Sistema Físico

a modelarF ió f t

y(t)u(t)Respuesta del sistemaFunción forzante po función subsidiaria

Relación causalRelación causal

Relación causacausa--efectoefecto a ser modelada por ió dif i luna ecuación diferencial

Horno

Flujo de

Combustible: Temperatura: y(t)

u(t): función de entrada o forzante

Función Respuesta o subsidiaria

Temperatura

Relación causal

K u(t)y(t)dy(t)τ =+ p

)()()()(2

2

tKutydt

tdybty

a

K u(t) y(t) dt

τ

d =++

=+

Flujo de gas2 dtd t

Para obtenerobtener una ecuación diferencial, d tilipodemos utilizar:

• Leyes físicasLeyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés.

• Pruebas experimentalesPruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria del sistema ante una función forzante conocida).

• Por analogíasanalogías de comportamientos entre sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.

• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales y generar un modelo matemático deseado.……

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con fi i t t tcoeficientes constantes

Modelo: K u(t) y(t) dy(t)τ =+ u(t)y(t)dt

τ

Donde:

y(t) : función respuesta o subsidiaria del sistema,

u(t) : señal de entrada al sistema

(τ :Tao ): constante de tiempo (cuyo valor es una medida de la velocidad de la respuesta del sistema. A menor valor de TAO el sistema es más rápido en responder). Un valor de: τ =10 segundos, es tres veces más rápida que un valor de τ = 30 segundos.)

K: ganancia en estado estacionario (es una medidag (

de la sensibilidad del sistema. Un valor de K= 3 es dos veces más sensible que un valor de K= 1.5)

Ejemplos de ecuacionesdif i ldiferenciales

dy(t)

( )( )dy(t)

)...( u(t)..... y(t) dt

dy(t)

)(

1426 =+

)((t)(t)dy(t)

... u(t).... y(t) dt

dy(t)

3602

)2(2.14 =+

)...( u(t).... y(t) dty( ) 36.02 =+

¿Cuál ecuación diferencial representa al sistema con la respuesta más rápida? Justifique

¿Cuál es la ecuación diferencial que representa al sistema más sensible a un cambio de entrada? Justifiquesensible a un cambio de entrada? Justifique

Ejemplos de ecuacionesdif i l d P i O ddiferenciales de Primer Orden

)1(426 ... u(t)..... y(t) dt

dy(t) =+

)3(6.02

)2(2.14

... u(t).... y(t) dt

dy(t)

... u(t).... y(t) dt

dy(t)

=+

=+

dt

)1(]422[426

d ( )

a...tCost . y(t) dt

dy(t) e−+=+

)3(]422[6.02

)2(]422[2.14

a....tCost y(t) dt

dy(t)

a....tCost y(t) dt

dy(t)

e

e−+=+

−+=+

dt e

Respuesta ante una entrada escalón

Respuesta ante una entrada: escalón y una senoidal (t) 2 + 2 0 5tsenoidal. u(t) = 2 + 2 sen 0.5t

La transformada de LaplaceLa transformada de Laplace en la

modelación, estudio y soluciónmodelación, estudio y solución de, y, y

las ecuaciones diferencialesecuaciones diferencialeslas ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales.

Relación entre f(t) y su equivalente F(s).

{ }f(t)L 0-st df(t) te

∞

∫F(s)F(s)

f(t)

F(s)F(s)

Plano Complejo: s = σ + jω

tiempojω: Eje Imaginario

Eje realEjemplosEjemplos{ } 1

s 6-6te =

+L

σ : Eje real

4 8

EjemplosEjemplos

16 16

4 82

22 Se{ }

st =4

sn

2=

+ +L

3t 2 10 102 6s 9 6s4 132

-3t 2 10 102 2 2(s+3) s

Sen2t5 =s

{ } 5e = =+ + + + ++

L

Principales funciones en el dominio de la frecuencia: G(s) y YY(s) (s) ( ) y ( )( )

Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés:

1) Y(S):1) Y(S): La La funciónfunción respuestarespuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante)

Y(s)U(s)

=c.i.=02 ︶ G ︵s ︶

u c ó o a te)

; FunciónFunción de de transferenciatransferencia del sistema (considera c.i.=0 y no se sustituye la función forzante.

jwTanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:

n(s)

n(s) 0;ceros

K( K

:d

s a)... ;(s b)(s (s)c)...

(o)

+=

+=

+ σ

x

o o x

xn(s) 0;ceros

K : ganancia

:d(s) 0;polos

(o) : (X)

==

x

Funciones de transferencia y R tRespuesta

F ió d F ió R tFunción de Transferencia: G(s)G(s)

Función Respuesta: Y(s)Y(s)

Las condiciones iniciales se consideran idé ti

Se sustituyen las condiciones iniciales d didénticas a cero. dadas.

No se sustituye la ió i l t

Se sustituye la ió i l texpresión equivalente

de la transformada de la señal de entrada

expresión equivalente de la transformada de la señal de entradala señal de entrada. la señal de entrada.

Polos y Ceros de una función F(s)F(s)o os y Ce os de u a u c ó (s)(s)

⎥⎤

⎢⎡

+ 8472s4.2)(sG

Ceros Finitos: no tieneP l fi it ( 1/6)

Ceros Finitos: s = - 4.8/72;P l fi it 0 1/6

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣+

+=

)61(36

8.472)(ss

ssY16)(

+=

ssG

Polos finitos: (s = -1/6) Polos finitos: s = 0, -1/6

Información de los Polos Finitos de G( )

Información de los Polos Finitos de Y( )G(s) Y(s):

i) Indicará si la respuesta del sistema reproducirá la forma de la señal

i) Señales que forman a la función respuesta o subsidiaria (a través

de entrada en estado estacionario (polos o raíces con σ < 0).

de su expansión en fracciones parciales),

ii) Comportamientos que agregará a la respuesta del sistema ante cualquier entrada (misma información

l d λ)

ii) Forma de la señal en estado estacionario (polos dominantes).

G(s)G(s) y Y(s)Y(s))(tdy

; . . 8.0)0(

);(2.1)()(10

=

=+

ideuy

tutydt

tdyPara la ecuación diferencial

Obtener: a) G(s)G(s) y, b), b) Y(s)Y(s)0 ., . 2)( ≥= tparaideutu

tttdy )}(21{)}()(10{ + LL

Solución:

Obtener: a) G(s)G(s) y, b) , b) Y(s)Y(s)

sYsUyssY

sUsYyssY

tutydty

12021)();( 1.2 )0(10]110)[(

);( 2.1 )()0(10)(10

)}( 2.1{)}()(10{

|=−+

=+−

=+ LLjw

σXciaTransferendeFunción

sssG

icsUsY :

1.012.0

1102.1)(

0..)()( | +

=+

=== -0.1

)}(2.1{)}()(10{ =+ tutydt

tdyLL

4282

;22.1)8.0(10]110)[(

);(2.1)()0(10)(10

+⎞⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−+

=+−

ss

ssY

sUsYyssYdt

jw

σo X X

RespuestaFunción :)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

4.28822.1]110)[(

++

=+

+=

+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+

sss

ssssY

ss

sssY -0.3 -0.1 0

Obtención del valor inicial y final de Obtención del valor inicial y final de y(t) a partir y(t) a partir dede Y(s)Y(s)de de Y(s)Y(s)

RespuestaFunción :)10()3.0(8.0

)110(4.28)(

++

=+

+=

sss

ssssY

jw

X X)1.0()110( ++ ssss

6142b

σo X X

-0.3 -0.1 0

1.06.14.2

1.0)(

+−=

++=

sssb

sasY

:inicialvalordelTeorema

Polo dominante

0.8==+

+=

++

==∞→∞→∞→∞→ 1

8.0)1.0(

)3.0(8.0)1.0()3.0(8.0.)(.)0(

:

limlimlimlimssss s

ssssssYsy

inicialvalordelTeorema

2.4

4)3.0)(8.0()3.0(8.0)3.0(8.0)()(

:final valor del Teorema

2++ ssY

0.8

t4.

1.0)3.0)(8.0(

)1.0()3.0(8.0

)1.0()3.0(8.0.)(.)( limlimlim

0002==

+=

+==∞

→→→ ss

sssssYsy

sss

Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)Y(s)

Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada

80)0(;0)()(200 °==+ Cytytdy

por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y(∞)

1600]1200)[(;0)()0(200)(200

80)0( ;0)(200

=+=+−

==+

ssYsYyssY

Cytydt 80 ºC

12001600)(

])[(

+=

ssY

16001600

tValor mínimo , ºC

80200

16001200

1600)()0( limlim ==+

==∞→∞→ s

sssYyss

1600

Teorema del valor inicial:

01200

1600)()( limlim00

=+

==∞→→ s

sssYyss

Teorema del valor final:

Análisis en el dominio de la Frecuencia(L l )(Laplace)

A partir de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes nos interesa analizar mediante la transformada deconstantes, nos interesa analizar mediante la transformada de Laplace

i) Si la respuesta del sistema podrá reproducir la forma de la señal de entrada [Función de TransferenciaFunción de Transferencia],

ii) Formas de respuesta que agregará el sistema ante cualquier entrada [Función de TransferenciaFunción de Transferencia],[ ],

iii) Diferentes funciones que forman la función respuesta [Función [Función Respuesta (expansión en fracciones parciales)]Respuesta (expansión en fracciones parciales)]

iv) La forma de la respuesta en estado estacionario [Función [Función Respuesta]Respuesta]

)()()(tdy )( 4.2 )( )()( 6 tuty

tytdy

=+

Funciones de transferencia y Respuestau c o es de t a s e e c a y espuesta

yictutyy

;41)0(:)( 4.2 )( ´6 =+

Ejemplo 2: Dada una ecuación diferencial obtener:

i) Su función de transferencia, G(s),G(s),

ladosambosenLaplacededatransformalaAplicando :

escalónfunciónttuyic

:0 ,2)(;4.1)0(:. .

≥==

ii) Su función respuesta, Y(s).Y(s).

sYsUssY

sUsYyssYtutyty

42)()(4.2]16)[(

)(4.2)()0(6)(6)}(4.2{)}({)}´(6{

=+=+−

=+ LLL

ciaTransferendeFunciónssU

sYsG :16

4.2)()()(

+==

)}(4.2{)}({)}´(6{:

tutytyladosambosenLaplacededatransformalaAplicando

=+ LLL

8472847284

68.424.212]16)[(

)(4.2)()0(6)(6

ss

ssssY

sUsYyssY

⎥⎤

⎢⎡

+⎤⎡ +⎤⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−+

=+−

asubsidiarioespuesta :)

61(36

8.472)16(6

8.472)16/(6

8.412)( RFunciónss

sss

sss

sY

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

Sistemas de Primer Orden y AnalogíasR

( ) fi(t):

p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.

Cvi(t): fuente de voltaje

vo(t)

vi(t): fuente de voltaje( ) l j d lid

qi(t): Caudal de entrada

h(t): altura del tanquevo(t): voltaje de salida

C: Capacitancia [Farads]

R: Resistencia [Ohms]

qo(t): Caudal de salida

A:área del tanque

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidráulica

(t)di

oo

o

v (t)v (t) v (t)

v (

ddt

d () ) )t (

R.C + = qi(t)dq0(t)dt

R.A + q0(t) =

io

ov (ddt

v (t) t) )t v (τ + =

KK: ganancia en estado estacionario

0(t)qddt

qi(t)+ q0(t) =τ

)(td KK: ganancia en estado estacionario

ττ: Constante de tiempo)()()( tuKty

dttdy =+τ

Analogía de Sistemas por la forma de su t t it irespuesta transitoria.

Prubas de Nivel de GlucosaPrubas de Nivel de Glucosa

Dos personas asisten al mismo evento social. Los dos realizaron el mismo consumo de calorías. Al salir del lugar, les piden realizarse

áuna análisis del grado de glucosa en la sangre.

EscenarioEscenario: Dos jóvenes asisten a una misma prueba experimental sobre intolerancia a la glucosa. A los dos les dieron el mismo

( ) Sconsumos de agua limonada (muy concentrada y dulce). Se les midió el grado de glucosa en 4 muestras (cada 30 minutos)

Respuesta TransitoriaRespuesta Transitoria

142)(;

145)(;

1105)(;

1)(

)()(

321 +=

+=

+=

+==

ss

ss

ss

sKs

sUsY

GGGGi τ

Valor de la respuesta y(t) = c(t) cada vez que t ti ttranscurre un tiempo t = τ.

++=

+=

+=

s

bsa

ss

AKssAKsY ττ 1)1(

/)1(

)(

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −−= et

AKty τ

ττ

1)(

)(

Modelación de una ecuación diferencial Modelación de una ecuación diferencial mediante Diagrama a bloquesmediante Diagrama a bloquesmediante Diagrama a bloquesmediante Diagrama a bloques.

Caudal deCaudal

==

p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.

Caudal de Caudal de salida Acumulado

q (t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

h(t): altura del tanque

entrada

)1( ...... dt

dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq acum0i ===−qo(t): Caudal de salida

A:área del tanque

Rh: resistencia Hidráulicadt

(2) ..... Rhh(t)(t)q0 =

o 0iH(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh − = = =

Q ( ) Q ( )1

As1

Rh

Qi(s) + H(s)H(s) QQoo(s)(s)Qi(s) – Qo(s)

Qo(s)

Simulación del sistema hidráulico utilizandol h i t t i l M tl bM tl b Si li kSi li kla herramienta computacional MatlabMatlab--SimulinkSimulink

Quedo a sus órdenesQuedo a sus órdenes

• Francisco Palomera Palacios, PhD

• fpalomera@itesm.mx

• Departamento de Mecatrónica y Automatización Campus MonterreyAutomatización, Campus Monterrey

Dos Tanques

dttdhAtttt qqqq acumi

)()()()()( 0201 ==−−

th )(

)( )()()()( 0201 sHsAssss QQQQ acumi ==−−p(t)

q

Rq

h

tht

tht1

01

)()(

;)()(

=

=

Q

RQ

h

sHs

sHs1

01

)()(

;)()(

=

=qi(t)

Rq

h

t2

02 )(R

Qh

s2

02 )( =

1Q ( )

h(t) Rh1Rh2

q01(t)A

q02(t)

V1 V2

1

Rh1

1

H(s)H(s)Q (s)Qi(s) – Q01(s) – Q02(s)

Q01(s)

-

As1

1

H(s)H(s)Qi(s) i( ) 01( ) 02( )

Q02(s)

+

-

Rh2

1Q02(s)

Ejercicio 1:Ejercicio 1:

• Para la función )5)(2(40210)(

2

++++

=sssssY s

)5)(2( ++ sss

Obtenga:1) Su expansión en fracciones parciales sin

calcular el valor de los coeficientes.2) ¿A qué función en el tiempo corresponde cada ) ¿ q p p

uno de los término de la expansión realizada en el inciso anterior? Graficar cada una de ellas de manera individualellas de manera individual

3) Obtenga el valor de y(0) y de y(∞) a partir de lafunción Y(s).

Ejercicio 2: Parámetros de una ecuación dif i l li l d i ddiferencial lineal de primer orden

)2(1110

)1.......(822.4

u(t)y(t)dy(t)

u(t) y(t) dt

dy(t)

+

=+

)3.....(2210

)2.....(1.11.0

u(t) y(t) dt

dy(t)

u(t) y(t) dt

=+

=+

a) Calcule el valor de la constante de tiempo y de la ganancia en estado estacionario para cada ecuación diferencial.p

b) Indique cuál es el sistema con velocidad de respuesta más lenta. Justifique.

c) Indique que valor de la respuesta (o función subsidiaria) alcanzará un mayor valor en estado estacionario ante una entrada escalón de magnitudmayor valor en estado estacionario ante una entrada escalón de magnitud 3.

Gráficas de Simulación(t 1 t d 2 lid )(tanque_1entrada_2salidas)

h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque

Qi(t): Flujo de entrada

Flujo de salida q02(t)

h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque

Flujo de salida q02(t)

Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques mediante SIMULINK.dos tanques mediante SIMULINK.

Sistema Físico:Llenado de un tanqueSistema Físico:Llenado de un tanque

TanqueCaudal de entrada

q (t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida q (t)p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.

qi(t) Salida, qo(t)

Relación causal

qi(t): Caudal de entrada

qo(t): Caudal de salida

h(t): altura del tanque

A:área del tanque

Rh: resistencia Hidráulica

Parámtros (τ y K)Parámtros (τ y K)

• τ ( Resistencia * Capacitancia): [segundos]τ ( Resistencia Capacitancia): [segundos]• Resistencia: oposición al flujo de

corriente eléctrica calor aire caudalcorriente eléctrica, calor, aire, caudal,…• Capacitancia: almacenamiento de materia o

í ( lé t i fl id l )energía (carga eléctrica, fluido, calor,…)•• KK (ganancia en estado estacionario)

[incremento de la respuesta/incremento de la señal de entrada]