DIVISIBILITAT

MATEMÀTIQUES 1r ESO

Dos nombres estaran en relació de divisibilitat si la divisió entre ells és exacta ( residu 0 ).

Per exemple: 224 i 16 estàn en relació de divisibilitat ?

224 16064 14 0 residu 0

SÍ, 224 i 16 estàn en relació de

divisibilitat.

Si dos nombres a i b estàn en relació de divisibilitat alehores:

a és multiple de b

ib és divisor de a

EXEMPLE: (44,11) tenen relació de divisibilitat aleshores :

44 és multiple de 1111 és divisor de 44

a i b tenen relació maternofilial

a b

a és multiple de b

b és divisor de a

ALESHORES

a és la mare de b

b és el fill de a

a i b tenen relació de divisibilitat

a b 0 c

•Els múltiples d’un nombre a s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre k.

Per exemple: 6 multiples de 1313 (13.1),26 (13.2),39 (13.3),52 (13.4),65

(13.5),78 (13.6)

•Els divisors d’un nombre a s’obtenen buscant-ne les divisons exactes.

Per exemple: divisors de 30

302 30 3 30 6 0 15 o 10 0 5 2,3,6,15,10,5

•La suma de dos multiples d’un nombre a , és un altre múltiple de a. Per exemple: 34 és múltiple de 17 85 és múltiple de 17 aleshores

119 és múltiple de 17

+

•Si a és multiple de b i b multiple de c, aleshores a és multiple de c.•Si c és divisor de b i b es divisor de a, aleshores c és divisor de a.

a30

b15

c5

DivisorMúltiple

•Els nombres que tenen diversos divisors s’anomenen compostos.

•Els nombres que només tenen com a divisors l’ 1 i ell mateix s’anomenen primers.

COMPOST

Exemple:

131 0 13 Divisors: 1,13

12 2 12 3 0 6 0 4 Divisors:

1,2,3,4,6,12

Exemple:

PRIMER

•Un nombre és multiple de 2 si acaba en xifra parella. ex: 246, 458, 9234568134 •Un nombre és multiple de 5 si acaba en 5 o en 0.

ex: 345 , 570 , 4567834565

• Un nombre és multiple de 10 si acaba en 0.ex: 360 , 6750 , 4563728970

•Un nombre és multiple de 3 si la suma de les seves xifres és multiple de 3. ex: 45 , 612 , 312121212

•Un nombre és multiple de 9 si la suma de les seves xifres és multiple de 9. ex: 684 , 9855 , 9999999558

•Un nombre és multiple de 25 si la suma de les seves 2 últimes xifres és multiple de 25.

ex: 725 , 8975 , 567453650

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Múltiples de 2Múltiples de 5

Múltiples de 3

Múltiples de 7

Per descompondre un nombre en factors primers ( factoritzar) , el dividim entre els seus divisors primers: primer entre 2 tantes vegades com es pugui, desprès igual amb el 3, el 5, el 7 ,… i aíxí fins arribar a en el quocient 1.

Descomposició : 504 = 22 . 3. 41

504 acaba en parell

252 acaba en parell

La suma de les xifres 123 és multiple de 3

és primer

Exemple: 504 2

252 123 41 1

2341

Per calcular el màxim comú divisor de diversos nombres: 1.- Descomponem els nombres en factors primers2.- En prenem només els factors primers comuns, elevat cadascun al menor exponent amb què apareix.

Exemple: màxim comú divisor de 140 i 210

m.c.d( 140,210) = 2.5 = 10

140 2 210 2 70 2 105 5 35 5 51 51 7 7 1 1

22 . 5 . 7 2. 5 . 51

Per calcular el mínim comú divisor de diversos nombres: 1.- Descomponem els nombres en factors primers2.- En prenem només els factors primers comuns i no comuns, elevat cadascun al major exponent amb què apareix.Exemple: mínim comú múltiple de 140 i 210

m.c.m( 140,210) = 22.5.7.51= 7140

140 2 210 2 70 2 105 5 35 5 51 51 7 7 1 1

22 . 5 . 7 2. 5 . 51

•Un metge, en pràctiques, té visita al CAP cada 16 dies i a la consulta privada cada 18 dies.Cada quant temps li coincideixen les dues visites el mateix dia ?

Hem de buscar el mínim comú multiple entre 16 i 18 per saber cada quants dies coincidiran les visites, perquè serà en els dies multiples comuns de 16 i 18 que tindrà doble visita.

16 = 24 18 = 2 . 32

m.c.m(16 , 18) = 24. 32 = 144

Resposta: cada 144 diesResposta: cada 144 dies

16 2 18 2 8 2 9 3 4 2 3 3 2 2 1 1

•Volem embalar 24 xupa-xups de maduixa i 38 xupa-xups de cola en bosses de manera que n’hi capiguen el màxim nombre possible i sense barrejar els gustos. Quants xupa-xups posarem a cada bossa ?

Hem de trobar el màxim comú divisor entre 24 i 38 així obtindrem el divisor comú més gran perquè poguem fer bosses amb cada gust de xupa-xups.

Resposta: en bosses de 2 xupa-xupsResposta: en bosses de 2 xupa-xups

24 2 38 225 2 19 1926 2 127 11

m.c.d (24,38) = 2