Queralt Gonfaus i Jordi

Canals

Nom i cognoms Grup

divisibilitat

En aquest dossier aprendràs més coses sobre els nombres naturals, que potser ja coneixes, però de ben segur et caldrà repassar: múltiples, divisors, nombres primers, mínim comú múltiple, màxim comú divisor... També continuaràs resolent problemes matemàtics de la vida quotidiana, el més important! En acabar, estaràs en condicions de...

Comprendre i relacionar els conceptes de múltiple i divisor.

Descompondre un nombre en factors primers.

Trobar el més petit dels múltiples comuns a dos o més nombres.

Diferenciar entre nombres primers i compostos.

Determinar el més gran dels divisors comuns a dos o més nombres.

Resoldre problemes matemàtics de la vida quotidiana relacionats amb la divisibilitat.

2

ÍNDEX

1. Múltiples i divisors d’un nombre natural 3

2. Propietats dels múltiples 8

3. Propietats dels divisors 12

4. Criteris de divisibilitat 14

5. Nombres primers i compostos 17

6. Descomposició d’un nombre en factors primers 20

7. Mínim comú múltiple (mcm) 22

8. Màxim comú divisor (mcd) 26

9. Mcm i mcd de parells de nombres especials 30

10. Model d’examen i solucions dels exercicis 34

divisibilitat

1. Múltiples i divisors d’un nombre natural

MÚLTIPLES D’UN NOMBRE NATURAL

Un múltiple d’un nombre és el resultat de multiplicar el nombre per qualsevol número natural. S’expressa M(a) o on a és el nombre.

ExempleCalculem múltiples de 3: 3 · 1 = 3

3 · 2 = 63 · 3 = 93 · 4 = 12...3 · 10 = 30...

Per tant, M (3) = = {3 , 6 , 9 , 12 ,..., 30,...}

Fixa’t en dos aspectes importants:

a) que els múltiples d’un nombre són infinits i per això s’indica amb el signe de conjunt de nombres { } i

b) que el múltiple obtingut ho és de qualsevol dels dos nombres del producte que el genera.

Exemplesi 3 · 6 = 18 podem dir que

18 és múltiple de 3 però també que 18 és múltiple de 6.

Per tant, en l’exemple anterior, podem escriure 18 = o 18 =

3

divisibilitat

COM PODEM SABER SI UN NOMBRE ÉS MÚLTIPLE D’UN ALTRE?

Un nombre A és múltiple d’un altre B, és a dir A = si en dividir el primer amb el segon A/B, la divisió és exacta, és a dir, de residu 0.

ExempleEl nombre 426 és múltiple de 6?

Fem 426 / 6 ; divisió exacta (residu 0) amb quocient 71

Per tant,

426 = 6 · 71 la qual cosa ens confirma que 426 =

DIVISOR D’UN NOMBRE NATURAL

Un nombre A és divisor d’un nombre B si la divisió B/A dóna exacta o si B és múltiple de A.

ExempleEl 12 és divisor de 156? (en aquest cas A= 12 i B= 156)

S’utilitza el concepte de divisió exacta: 156 : 12 = 13

S’utilitza el concepte de múltiple: 156 = 12 · 13

Tots dos mètodes ens confirmen que 12 és divisor de 156.

Fixa’t però que el nombre 156 té altres divisors a més del 12: l’1, el 2, el 3, el 4, el 6, el 13, el 26, el 39, el 52, el 78 i el propi 156 ! Una bona colla!

4

divisibilitat

Per tant, també podem parlar d’un conjunt { }, en aquest cas finit, de nombres divisors de 156 que s’expressarà

D(156) = {1, 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , 13 , 26 , 39 , 52 , 78 , 156}

DIVISIBLE PER UN NOMBRE NATURAL

I ara, afegim un nou concepte...

ExempleEl número 165 és divisible per 11?

Primer supòsit: 165 = 11 · 15 165 és múltiple d’ 11

Segon supòsit: 165 : 11 = 15 11 és divisor de 165

Tots dos mètodes ens confirmen que 165 és divisible per 11.

També podem relacionar-ho tot plegat dient que...

I sense embolicar-nos!

exercici 1

5

Si un nombre A és múltiple d’un nombre B es compleix que B és un divisor de A i que A és divisible per B.

Un nombre A és divisible per un nombre B si A és múltiple de B o si B és divisor de A.

divisibilitat

Digues quines de les següents afirmacions són certes i quines no ho són. Raona la resposta.

72 és divisible per 24.

19 és divisor de 134.

576 no és múltiple de 24.

7924 és divisible per 4.

7924 és múltiple de 4.

exercici 2Dels següents nombres assenyala quins són múltiples de 10:

79 , 420 , 10 , 100 , 634 , 124 860, 123 456

Quina característica tenen els múltiples de 10 que fa fàcil identificar-los?

exercici 3Posa la paraula que falta als buits que tens a continuació, sabent que

3 · 5 = 15 6 · 5 = 30

3 és …………………………… 15

5 és …………………………… 30

30 és …………………………… 5

30 és …………………………… 6

5 és …………………………… 15

5 és …………………………… 30

exercici 4Set amics, jugant a la travessa, han aconseguit un premi de 4 900 euros.

6

divisibilitat

Es poden repartir aquests diners en parts iguals ? Justifica la teva resposta.

I si fossin 6 amics?

exercici 5Completa els espais:

…… és múltiple de 12. 12 és múltiple de ……

25 és múltiple de …… …… és múltiple de 33.

15 és divisor de …… …… és divisor de 15.

22 és divisible per …… …… és divisible per 13.

16 és divisor de …… …… és divisor de 66.

32 és divisible per …… …… és divisible per 11.

7

divisibilitat

2. Propietats dels múltiples

PROPIETAT 1 (i 1bis)

ExempleSi ens fixem amb el nombre natural 1...

6 és múltiple de 6 perquè 6 · 1 = 6

8 és ........................ perquè ...............

123 és .................... perquè ...............

I com a conseqüència podem escriure que

I 1bis(Si prenem el 0 com a primer nombre natural... també podem arribar a la conclusió

ja que 6 · 0 = 0 ; 8 · 0 = 0 ; 123 · 0 = 0...)

PROPIETAT 2

8

Tot nombre té com a múltiple ell mateix.

El 0 és múltiple de qualsevol nombre,

divisibilitat

Exemple14 és múltiple de 7 21 és múltiple de 7 49 és múltiple de 7

Vegem què passa amb la suma de dos d’aquests:

14 + 21 = 35, que és un múltiple de 7 perquè 7 · 5 = 35

14 + 49 =

21 + 49 =

Per tant,

PROPIETAT 3

Exemple12 és múltiple de 3.

Si multipliquem 12 per qualsevol altre nombre

12 · ....... = ……

Obtenim un altre múltiple de 3 perquè ………………………

Ara repetim el mateix procés però multiplicant 12 per un altre nombre diferent.

12 · ....... = ……

També obtenim un nou múltiple de 3 perquè ………………………

Per tant,

PROPIETAT 4

9

La suma de múltiples d’un nombre és un nou múltiple d’aquest nombre.

El producte d’un múltiple d’un nombre per qualsevol altre nombre és un nou múltiple.

divisibilitat

Exemple120 és múltiple de 40 i 40 és múltiple de 8. És el 120 múltiple de 8 ?

La resposta és afirmativa ja que 120 = 8 · 15

Aquest exemple i d’altres que es podrien proposar ens permeten dir que:

exercici 6Escriu tots els múltiples de 7 que siguin més grans que 50 i més petits que 100.

exercici 7Escriu un múltiple de 13 i multiplica’l després per un nombre natural, el que vulguis. Comprova que aquest nombre obtingut també és un múltiple de 13.

Repeteix aquest procés agafant un altre natural.

Quina propietat és aquesta?

10

Si un nombre és múltiple d’un altre i aquest ho és d’un tercer, el primer dels nombres és múltiple del tercer!

divisibilitat

exercici 8Escriu els 5 primers múltiples de 17.

exercici 9Completa la taula que tens a continuació.

Múltiple de … 2 3 4 5 6 7 8 9 10

64 sí

360

420

56 no

11

divisibilitat

3. Propietats dels divisors

PROPIETAT 1

ExemplePrenem el nombre 23.Els seus divisors són D(23) =

En aquest exemple veiem que no en té més.

Prenem el nombre 6.Els seus divisors són D(6) =

En aquest cas veiem que n’hi ha més de dos...

PROPIETAT 2

És a dir,

Si A és un divisor de B i B és un divisor de C, llavors A és un divisor de C.

Exemple12 és un divisor de 36.

36 és un divisor de ……… .

Llavors 12 és un divisor de ……… .

12

Tot nombre té, com a mínim, dos divisors: l’ 1 i ell mateix

Si un nombre és divisor d’un altre i aquest ho és d’un tercer, el primer dels nombres és divisor del tercer.

divisibilitat

exercici 10Troba els divisors de 12 i de 48.

És 12 divisor de 48? Si la resposta és afirmativa, comprova que tots els divisors de 12 ho són també de 48.

Quina propietat és aquesta?

exercici 11Un comerciant té 5 garrafes d’oli de 87 litres cada una. Vol col·locar aquest oli en unes altres garrafes de 3 litres de capacitat cada una. Quantes en necessitarà ?

exercici 12Els nombres 12 i 18, tenen divisors comuns? Quins són?

exercici 13Troba els divisors de 72 que també ho són de 24.

13

divisibilitat

4. Criteris de divisibilitat

Hi ha unes regles que permeten de saber si un nombre és divisible per un altre sense fer la divisió. S’anomenen criteris de divisibilitat. Ara veurem els que s’utilitzen més.

DIVISIBILITAT PER 2Un nombre A és divisible per 2 si...

Exemple:

DIVISIBILITAT PER 3Un nombre A és divisible per 3 si...

Exemple:

DIVISIBILITAT PER 5Un nombre A és divisible per 5 si...

Exemple:

DIVISIBILITAT PER 9Un nombre A és divisible per 9 si...

Exemple:

14

divisibilitat

DIVISIBILITAT PER 10Un nombre A és divisible per 10 si...

Exemple:

DIVISIBILITAT PER 11Un nombre A és divisible per 11 si...

Exemple:

Hi ha d’altres criteris, però amb els presentats ja en tenim prou!

exercici 14Digues quins dels següents nombres

270 , 3 455 , 648 , 74 220 , 95 , 120 , 3 339

són:divisibles per 2:

divisibles per 3:

divisibles per 5:

divisibles per 10 :

Els nombres divisibles per 2 que també ho són per 5 són els divisibles de …

15

divisibilitat

exercici 15Completa la xifra que falta en cada un dels nombres següents perquè siguin múltiples de 3.

4 72_

_19

7_3

98 5_2

236 84_

exercici 16Escriu un nombre de 4 xifres que sigui múltiple de 2 i de 3 a la vegada.Comprova que aquest nombre també és múltiple de 6.

exercici 17El nombre 24 és divisible per 2 i per 4 i també ho és per 8. Busca un nombre de dues xifres que sigui divisible per 2 i per 4 i, en canvi, no ho sigui per 8.

exercici 18Escriu un nombre de 3 xifres que sigui divisible per 2, 3, 5 i 10 a la vegada.

16

divisibilitat

5. Nombres primers i compostos

DEFINICIÓ DE NOMBRE PRIMER

Els nombres primers són aquells que tenen com a únics divisors l’ 1 i ell mateix.

(Nota: el nombre 1 no és primer perquè té un únic divisor que és 1).

Exemple:

D(23) = 1, 23

D(47) = 1, 47 El 23, el 47 i el 83 són nombres primers.

D(83) = 1 , 83

EL GARBELL D’ERATÒSTENES: LA LLISTA DELS NOMBRES PRIMERS

Eratòstenes fou un matemàtic grec del s.II a.C. El seu mètode va permetre definir la primera llista de nombres primers.

Donada la llista dels primers 100 nombres naturals:

Eliminem els múltiples de 2, excepte el 2: 4, 6, 8, 10,...

A continuació, els múltiples de 3, excepte el 3: 6, 9, 12, 15,...

Tot seguit, els múltiples de 5, excepte el 5: 10, 15, 20, 25,...

Després, els múltiples de 7, excepte el 7: 7, 14, 21, 28, 35,...

Ara toca els múltiples d’ 11, però aquests veuràs que ja els hem eliminat abans!

Quan això passa, el procés ha acabat. Aquells nombres que han quedat a la taula sense ratllar són els nombres primers (entre 1 i 100).

Endavant!

17

divisibilitat

Construeix el garbell d’Eratòstenes utilitzant la següent taula. Decideix un codi (colors, ratllat...) per eliminar els múltiples de 2, 3, 5, 7 i 11.

Codi:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Entre els nombres 1 i el 100, quins són primers?

2, 3, 5,...

DEFINICIÓ DE NOMBRE COMPOST

Direm que un nombre és compost quan no és primer; és a dir, quan té més de dos divisors.

Exemple:

D(8) = 1, 2, 4, 8

D(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50 El 8, el 50 i el 81 són nombres compostos.

D(81) = 1, 3, 9, 27, 81

exercici 19

18

divisibilitat

Utilitzant els criteris de divisibilitat, classifica en primers o compostos els nombres següents:

27, 28 , 29 , 31 , 33 , 35 , 37 , 39 , 51 , 57 , 91.

exercici 20Un nombre està format per 5 xifres que sumen 18. Podem dir que aquest nombre és primer? Justifica la teva resposta.

exercici 21Un nombre de dues xifres és més petit que 50. Sabem que no és divisible per 2, ni per 3, ni per 5, ni per 7. És primer? Per què?

exercici 22Són primers els múltiples d’un nombre primer?

6. Descomposició d’un nombre en factors primers

19

divisibilitat

Sabem que tot nombre o bé és primer o és compost. En aquest apartat aprendràs a fer la partició d’un nombre compost com a producte de nombres primers. Aquest procés en matemàtiques s’anomena descomposició en factors primers o descomposició factorial.

Exemple

Agafem el nombre 252.

L’anirem dividint pels diferents nombres primers que ho permetin d’una manera ordenada i tantes vegades com sigui possible.

Per escriure les diferents divisions, utilitzarem una simbologia on a la dreta d’una línia situarem, verticalment, els successius nombres primers que siguin divisors (començant pel més petit) i a l’esquerra els quocients que s’obtenen. El procés s’acaba quan s’obté quocient = 1.

252 2 (divisors i primers) (quocients) 126 2

63 3 21 3 7 7

(final del La descomposició factorial de 252 s’escriurà com: procés) 1

252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 22 · 32 · 7

Exemple:

51 91 31 13

La descomposició d’un nombre en factors primers és única.

20

divisibilitat

exercici 23Descompon en factors primers els nombres següents:

96 , 273 , 360 , 750 , 117 , 225 , 540 , 1800 , 385 .

21

divisibilitat

7. Múltiples comuns a dos o més nombres Mínim comú múltiple: mcm

El mínim comú múltiple o mcm de dos o més nombres és, com diu l’expressió, el més petit dels múltiples coincidents d’aquests dos o més nombres. S’expressa, en el cas de dos nombres A i B, mcm (A, B).

ExempleVolem saber el mínim comú múltiple de 6 i 14, és a dir el mcm (6,14).

Per tal de trobar-lo, calculem els múltiples de 6 i 14 i ens fixem amb el més petit dels comuns obtinguts:

= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48... mcm (6, 14) = 42

= 14, 28, 42, 56...

Per tant, el mínim comú múltiple de 6 i 14 és el 42.

Pensa... i confirma-ho!:

a) el mcm serà més gran que els dos (o més) nombres. Excepcionalment, pot coincidir amb el nombre més gran.

Exemple mcm (3, 6) = mcm (4,7) =

b) hi ha molts múltiples comuns a dos o més nombres; de fet, infinits.

Exemple múltiples comuns de 2 i 6 =

Trobar el mcm de diversos nombres i, sobretot, si són grans, pot resultar una mica llarg i pesat tal i com ho hem presentat. És per això que es proposa un mètode més ràpid.

22

divisibilitat

MÈTODE PER TROBAR EL mcmFem la descomposició factorial dels nombres.

Multipliquem els factors comuns i no comuns amb major exponent.Recordeu:

Factors comuns: que surten a totes les descomposicions.

Factors no comuns: que surten a alguna de les descomposicions, no a totes.

ExempleCalculeu el mcm (6, 4) utilitzant el mètode anterior.

Fem la descomposició factorial de 4 i 6:

4 = 22 Factors comuns elevats al major exponent: 22

6 = 2 · 3 Factors no comuns:3

Per tant, mcm (4, 6) = 22 · 3 = 12

ExempleCalculeu el mcm (50, 90).

Si en comptes de fer el mcm de dos nombres es fa de tres o més, s’ha de procedir de la mateixa manera, considerant tots els factors alhora.

ExempleCalculem el mcm (12, 16, 18)

23

divisibilitat

exercici 24Troba el mcm (8, 32) i el mcm (36 ,40).

exercici 25Calcula el mcm (21, 36, 50) i el mcm (25, 49, 36).

exercici 26Tres ciclistes recorren un mateix circuit tancat. El primer triga 12 minuts a fer una volta completa, el segon en triga 15 i el tercer, 20. Si els tres ciclistes surten alhora del mateix punt del circuit, quant temps trigaran a coincidir per primera vegada? Quantes voltes haurà fet cada ciclista?

24

divisibilitat

exercici 27L’Aleix i la Núria són dos cosins que visiten els avis tot sovint.L’Aleix hi va cada 8 dies i la Núria, cada 10.Si van coincidir a casa dels avis el dia de Nadal, quan s’hi tornaran a trobar?Quantes visites haurà fet als avis cada cosí?

exercici 28Una sirena sona cada 250s, una altra cada 450s i una tercera cada 600s. Si a les 8 del matí han sonat totes tres alhora, quant temps ha de passar perquè tornin a sonar les tres juntes?

exercici 29Un cotxe necessita fer canvi d’oli cada 15 000km, el canvi de filtre cada 20 000km i el canvi de bugies cada 50 000km. Quin és el nombre mínim de quilòmetres que ha de fer el cotxe perquè facin els tres canvis alhora?

25

divisibilitat

8. Divisors comuns a dos o més nombres.Màxim comú divisor: mcd

El màxim comú divisor o mcd de dos o més nombres és, com diu l’expressió, el més gran dels divisors coincidents d’aquests dos o més nombres. S’expressa, en el cas de dos nombres A i B, mcd (A, B).

ExempleVolem saber el màxim comú divisor de 6 i 14, és a dir el mcd (6, 14).

Per tal de trobar-lo, calculem els divisors de 6 i 14 i ens fixem amb el més gran dels comuns obtinguts:

D(6) = 1, 2, 3, 6 mcd (6, 14) = 2

D(14) = 1, 2, 7, 14

Per tant, el màxim comú divisor de 6 i 14 és el 2.

Pensa... i confirma-ho!:

a) el mcd serà més petit que els dos (o més) nombres. Excepcionalment pot coincidir amb el nombre més petit.

Exemple mcd (3, 6) =

b) poden haver-hi diversos divisors comuns, però sempre un nombre finit.

Exemple divisors comuns de 12 i 18 =

c) pot passar que dos o més nombres només tinguin l’ 1 com a divisor comú. Llavors es diu que aquests nombres són primers entre si (que no s’ha de confondre amb el concepte de nombre primer).

Exemple mcd (4, 9) = 1 El 4 i el 9 són primers entre si.

26

divisibilitat

Igual que amb el mcm, trobar el mcd de varis nombres i, sobretot si són grans, pot resultar una mica llarg i pesat tal i com ho hem presentat. És per això que es proposa un mètode més ràpid.

MÈTODE PER TROBAR EL mcdFem la descomposició factorial dels nombres.

Multipliquem els factors comuns amb menor exponent.Recordeu:

Factors comuns: que surten a totes les descomposicions

ExempleCalculeu el mcd (12, 18) utilitzant el mètode anterior.

Fem la descomposició factorial de 12 i 18:

12 = 22 · 3 Factors comuns elevats al menor exponent: 2 i 3 18 = 2 · 32

Per tant, mcd (12, 18) = 2 · 3 = 6

ExempleCalculeu el mcm (50, 90).

Si en comptes de fer el mcd de dos nombres es fa de tres o més, s’ha de procedir de la mateixa manera, i considerar tots els factors alhora.

ExempleCalculem el mcd (12, 16, 18)

27

divisibilitat

exercici 30Troba el mcd (24, 36), el mcd (42, 91) i el mcd (52, 65).

exercici 31Calcula el mcd (20, 60, 140) i el mcd (120, 300, 410).

28

divisibilitat

exercici 32En una classe hi ha 24 alumnes i en una altra, 32. Per fer una activitat comuna, es formen a cada classe grups del mateix nombre d’alumnes, de manera que hi hagi el menor nombre de grups possibles (fixa’t que si no es digués això, els grups podrien ser d’una persona!; per tant, el nombre màxim de gent a cada grup!!!)

Quants alumnes componen cada grup? Quants grups tenim en total?

exercici 33Un pagès té tres prats de 1260m2, 1500m2 i 2760m2. Per una qüestió d’herència els vol dividir en parts iguals amb la superfície més gran possible i repartir-les entre els seus 5 fills. Les parts que sobrin les donarà al municipi.De quina superfície seran les parts realitzades? Quina superfície rebrà cada fill? Quina superfície serà donada al municipi?

exercici 34En una col·lecció de segells en trobem 154 d’Història, 165 de Ciències i 121 d’Esports. Els volem ordenar per temes en un àlbum de manera que a cada pàgina hi hagi el mateix nombre de segells i aquest sigui el més gran possible. Quants segells hi haurà a cada pàgina? Quantes pàgines necessitarem?

29

divisibilitat

9. mcm i mcd de parelles de nombres especials

Et presentem a continuació unes situacions relacionades amb el mcm i mcd una mica especials:

ExempleTenim dos nombres, A = 6 i B = 12, i veiem que 12 és múltiple de 6 …

Descomponem 6 i 12: 6 = 2 · 3 i 12 = 22 · 3

Calculem el mcd: mcd (6, 12) = 2 · 3 = 6

Calculem el mcm: mcm (6, 12) = 22 · 3 = 12

RECORDEU: que siguin primers entre ells no vol dir que siguin primers.

ExempleTenim el 25 i el 36 que no són primers.

Calcula el mcd (25, 36).

Podem dir que 25 i 36 són ..................................

30

Si tenim dos nombres A i B, on A és múltiple de B, llavors:

mcd (A , B) = B i mcm (A , B) = A

Si el mcd de dos nombres és 1, llavors diem que aquests dos nombres són primers entre ells.

divisibilitat

ExempleCalcula el mcd (16, 21)

Podem dir que 16 i 21 són ............................

Calcula el mcm (16 i 21)

Observa que dóna el mateix que 16 · 21

exercici 35Troba el mcm i el mcd de les parelles de nombres que tenim a continuació, utilitza el que has après abans i t’estalviaràs molts càlculs:

mcm (14, 42) =

mcd (14, 42) =

mcm (16, 18) =

mcd (16, 18) =

mcm (8, 9) =

mcd (8, 9) =

31

El mcm de dos nombres primers entre ells és igual al seu producte.

divisibilitat

exercici 36Escriu dues parelles de nombres que siguin primers entre ells.

exercici 37El mcm de dos nombres primers entre ells és 156. Quin és el seu mcd? Si un dels nombres és 12, quin és l’altre?

exercici 38Les descomposicions factorials parcials de dos nombres són 23·5 i 32·7.Quin és el seu mcd ? Podem dir que són primers entre ells ? Per què ?

exercici 39La Joana té dos taulons de fusta i decideix construir una prestatgeria per col·locar-hi la seva col·lecció de discs.Un dels taulons mesura 75 cm i l’altre, 50 cm. Els vol tallar a trossos de la mateixa mida, però que siguin el més llarg possible i desitja aprofitar tota la fusta.Quant ha de mesurar cada tros ? Quants trossos tindrà ? .

32

divisibilitat

exercici 40La mare del Francesc va a la perruqueria cada 8 dies i la de la Lluïsa, cada 10. Si el dia 2 de maig hi van coincidir, quin dia tornaran a fer-ho per primera vegada?

exercici 41Quin és el menor nombre que és divisible per 7 i per 8 a la vegada?

exercici 42Quin és el nombre més gran que és alhora divisor de 28 i 35?

exercici 43Troba dos nombres que són primers entre ells i tals que el seu mcm és 72.

exercici 44Determina tots els divisors de 20 i 24. Quins són comuns ?

33

divisibilitat

1.- Són correctes les següents afirmacions? En cas que siguin correctes, encercleu la C (correcta) i si no ho és, la I (incorrecta). Si l’ afirmació és incorrecta, canvieu la paraula subratllada per una altra que faci l’afirmació correcta.

Si un número és divisible per 3 i 2, també ho és per 5. ................. C - I

Si un número és divisible per 2 i 5, també ho és per 10. ................. C - I

El m.c.m (8, 12) és 96. ................. C - I

El m.c.d. (2, 3) és 6. ................. C - I

Si el m.c.d. de dos nombre és 1, llavors aquests nombres ................. C - Ipodem dir que són primers.

Si un nombre és divisible per un altre, aquest segon ................. C - Iés múltiple del primer.

Dos números primers entre ells, només tenen un múltiple comú. ................. C - I

Un nombre primer té com a únics múltiples 1 i ell mateix. ................. C - I

La suma de les xifres d’un nombre dóna 789, llavors aquest ................. C - Inombre és múltiple de 9.

Els múltiples d’un nombre primer són primers. ................ C - I

2.- Situa els següents nombres als grups que li corresponen:

280 774 656 222 3333

múltiples de 3

múltiples de 2 i 5 múltiples de 10

34

nom i cognoms grup curs matemàtiques

divisibilitat

3.- Fes la descomposició en factors primers d’aquests nombres 500 i 759.

4.- Troba el mcd (45, 20) , el mcd (60, 100, 180) i els corresponents mcm.

5.- A casa del Martí són molts germans i es tenen repartides les feines de la casa. Al Martí, cada 3 dies li toca escombrar el menjador, cada 5 dies parar la taula per sopar, i cada 7 dies treure les deixalles. Avui, li ha tocat fer les tres coses. Quants dies passaran fins que li torni a tocar fer els tres serveis ?

Cada quants dies li toca escombrar el menjador i parar la taula a la vegada?

6.- Un nombre, quan es divideix per 4, per 5 o per 7, dóna residu 3. Troba aquest nombre .

35

divisibilitat

Solucions dels exercicis

1. Cert, fals, fals, cert, cert.

2. 420, 10, 100, 124860.

3. Divisor, divisor, múltiple / múltiple, divisor, divisor.

4. 700€ a cadascú ja que 4900 és un múltiple de 7. Si fossin 6 no és possible ja que 4900 no és múltiple de 6.

6. 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

8. 17, 34, 51, 68, 85.

10. D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; D(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48.

11. 145 garrafes de 3 litres.

12. 1, 2, 3 i 6.

13. 1, 2, 3, 4, 8, 12 i 24.

14. Divisibles per 2: 270, 648, 74220 i 120

Divisibles per 3: 270, 648, 120 i 3339

Divisibles per 5: 270, 3455, 74220, 95 i 120

Divisibles per 10: 270, 74220 i 120

19. 29, 31, 37 i 91 són primers, la resta són nombres compostos.

20. Si la suma de les cinc xifres és 18, el número serà divisible, com a mínim, per 3 i, per tant, no és primer.

21. Sí, ja que el primer nombre divisible per 11 però no per 2, 3, 5 ni 7 és 121!

22. No, són múltiples i, per tant, divisibles pel nombre primer com a mínim

23.

24. mcm (36,40) =

36

divisibilitat

25. mcm (25, 36, 49) =

26. 60 minuts

27. 3 de febrer

28. Dues hores i mitja

29. 300 000 km

30. mcd (24, 36) = 12mcd (42, 91) = 7

31. mcd (20, 60, 140) = 20

32. grups de 8; 7 grups en total

33. Parts de prat de 60m2 . En sobren 2 superfícies, és a dir 120m2.

34. 11 segells per pàgina. Necessitarem 40 pàgines.

35. mcm (14, 42)= 42mcd (14, 42)= 14mcm (16, 8)= 16mcd (16, 8)= 8mcm (8, 9)= 72mcd (8, 9)= 1

37. mcd = 113

38. mcd=1Sí, no tenen cap factor comú, el seu mcd és 1

39. 25 cm i 5 trossos

40. 11 de juny

41. 56

42. 7

43. 8 i 9

44. Divisors comuns: 1, 2 i 4

37