DINÁMICA ROTACIONAL

El torque producido por una fuerza es un cuantificador del efecto racional que

produce la aplicación de una fuerza sobre algun punto.

En la figura al aplicar la fuerza F determina que la masa puntual m gire

alrededor del punto O; se considera que no existe ningún tipo de fricción y que

todas las masas son despreciables, excepto la partícula.

o

r

m

Por facilidad de análisis se considera que la fuerza está contenida e plano de

rotación de la partícula.

El torque producido por la fuerza F respecto al punto O es

y su modulo es :

F sen

Fr = fuerza tangencial

(1)

(2) en (1)

ar = d.r

Fr = m.d.r (2) (3)

Q

es el torque de la fuerza con el eje relacionado.

r: es la distancia perpendicular de la partícula al eje.

aceleración angular de la partícula.

Momento de Inercia

En la ecuación (3) el producto m.r2 se denomina “momento de inercia” o

“inercia rotacional” de la partícula que gira alrededor del punto cero. Se la

representa con la letra I.

I = mr2.

El momento de inercia dependerá de la masa de la partícula y de la distancia

de la partícula al punto de referencia.

Si se tuviere un sistema de n partículas el momento de inercia respecto a un

eje es :

Io = m1r12+ m2r2

2+….+ mnrn2 =

SI

CGS =

O’

O

m

RGO’

O

m3

m1

r2

m2

I=mr2

I = kg*m2

I=mr2

I = gr*cm2

RADIO DE GIRO

En la Fig. anterior el radio de giro es la distancia r o un eje al cual una partícula

de masa igual a la masa igual del sistema, tendría el mismo momento de

Inercia que el sistema original es decir:

I(6o’) = m1r12+ m2r2

2+….+ mnrn2 = MR02

I= MR02

donde:

RG : Es el radio de giro

m: masa total del sistema (m1+m2…..+mn)

Calcular el momento de inercia y el radio de giro del sistema respecto:

a) Al eje perpendicular al plano que pasa por A

b) Al eje perpendicular al plano que pasa por B

c) Respecto al eje AB

d) Respecto al Eje AC

a) r1(A) = 0

r2(A) = 4m

r3(A) = 5m

A

BC

4m r2

r3 5m

3m

m3= 3kg

m2 = 3kg

m1 = 2kg

m=m1+m2+m3

m = 2kg+3kg+3kg = 8kg

b)

= 2kg (16m2)+3kg(9)m2

= 32kgm2 + 27kgm2

= 59 kgm2

c) r1 = 0

r2=0

r3(AB) = 3m

I = 3kg(9)m2

I = 27kgm2

= 1.83m

d) r1 = 0

r2 = 2.4

r3 = 0

AB * CB = AC * r

4 * 3 = 5 * r

r = 2.4

= 3(2.4)2

= 17.28kgm2

Ley de Newton para la rotación:

A

BC

2.4 m

3m

La ecuación , generalmente se denomina Ley de Newton para la

rotación es definida en la traslación, pero no tan fundamental ya que se deriva

de esta.

De lo anterior se deduce que el análogo rotacional de la fuerza es el Torque si

el análogo rotacional de la masa es el momento de Inercia

El agente que causa la rotación es el torque

traslación es la fuerza

La oposición al cambio de estado, en la traslación es la masa y quién

cuantifica la oposición de un cuerpo a la rotación es el momento de inercia. La

corelación entre rotación y traslación se expresa:

Rotación Traslación

Fuerza (F) Torque ( )

Masa (m) Momento de Inercia (I)

Aceleración (a) Aceleración angular

Ej. Una piedra de esmeril de masa 1kg y radio 15cm., esta rodando con una

velocidad angular de 360rpm cuando el motor se apaga. Que fuerza tg. a la

rueda debe aplicar para que se detenga luego de 20rev si el momento de

inercia de la piedra es de ½ mr2

Datos:

m = 1kg

r = 0.15m

Wo = 360rpm = 37.7 rad/s

I = ½ mr2

TRABAJO

Cuando la partícula P se encuentra en la posición en el plano Oxy, se le

aplica una fuerza constante y realiza un desplazamiento , se ha efectuado

trabajo.

El trabajo es la medida de la acción de una fuerza con respecto al recorrido de

su punto de aplicación.

Definición: “El trabajo (W) es el producto escalar del vector fuerza por el vector

desplazamiento”

(1)

La ecuación (1) indica que el trabajo realizado por una fuerza es igual a la

suma algebraica de los trabajos hechos por sus componentes rectangulares.

Aplicando la definición de producto escalar tenemos:

(2)

y

Trayectoria

x

F

O

Qy

r cosQ

Q

F

F

F cosQ

Q

La ecuación (2) puede interpretarse como el producto del módulo de la fuerza

por el componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza ( )

Interpretación gráfica del trabajo

TRABAJO TRABAJO TRABAJO

F,COS 0 = k F r F.cos k

El trabajo se puede representar gráficamente tomando los valores de la

componente de la fuerza que realiza trabajo en el eje y ,y los valores del

desplazamiento realizado en el eje x. La medida de este trabajo realizado está

representada por la superficie del área especificada como trabajo.

Tipos de Trabajo

Trabajo neto.- Se tiene este tipo de trabajo cuando sobre un cuerpo actúan

varias fuerzas.

Se puede calcular el trabajo neto de dos maneras:

a) sumando algebraicamente los trabajos efectuados por las fuerzas

componentes ( es el mismo para todas las fuerzas que actúan sobre

la partícula).

Wn = W1 + W2 + W3 + W4 + …. + Wn

Wn = ( ).

P

F1 F2F3

F4

Fn

r

b) Determinando la resultante de dichas fuerzas y calculando el trabajo de

la misma.

Wn = ( ).

Wn = .

Trabajo activo.- Es el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas

activas. Una fuerza es considerada activa cuando su dirección forma un ángulo

agudo con la del desplazamiento esta determina que aumente la rapidez de la

partícula a la cual está aplicada.

Trabajo resistivo.- Es el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas

resistivas. Una fuerza es considerada resistiva cuando su dirección forma un

ángulo obtuso con la de desplazamiento, esto determina que disminuya la

rapidez de la partícula a la cual está aplicada.

Trabajo nulo.- Se considera trabajo nulo cuando uno de los factores de la

ecuación

Wn = Fr. es cero

FAC

a) Cuando FR = 0, cuando la suma de todos las fuerzas aplicadas al

cuerpo es cero (En equilibrio estático o dinámico).

b) Cuando = 0 ; cuando se aplica una fuerza a un cuerpo y este no

sufre desplazamiento el trabajo de esta fuerza es nulo.

c) Cuando cos = 0; si la fuerza es 1 al desplazamiento, el trabajo

efectuado por la fuerza es nulo.

cos 900 = 0

Resumiendo el trabajo activo = al trabajo resistivo, el trabajo total es nulo y no

se produce variación en la velocidad de la partícula

Unidades

El trabajo es una magnitud escalar cuyas unidades son las de una fuerza

multiplicada por la de un desplazamiento.

S.I. = N x m = 11 [I] [Julio] [ Joule]

Un Joule es el trabajo que realiza una fuerza de un Newton al desplazarse su

punto de aplicación un metro.

En el sistema CGS DINA x cm [Ergio]

Un Ergio es el trabajo que realiza una fuerza de un DINA al desplazarse su

punto de aplicación a un cm.

En el sistema Técnico la unidad de la fuerza es el Kg. fuerza

Kgf * m = 1 [kgm]

Un kilogrametro es el trabajo que realiza una fuerza de un kilogramo fuerza kgf

a desplazarse su punto de aplicación 1 m.

Equivalencias:

1 joule = 107 ergios

1 kgm = 8 joules

1) Un bloque de 47 kg. es arrastrado a velocidad constante por una fuerza F en

un plano horizontal una distancia de 27m. Si el coeficiente de rozamiento es

igual a 0.25.

Determinar:

a) El trabajo realizado por la Fuerza F

b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento

c) El trabajo realizado por la fuerza normal

d) El trabajo neto.

Utilizar el método vectorial y escalar.

N = mg -fr = Fcos25

N = 47kg * 9.8m/s2 UN = Fcos25

N = 460.6 [N]

F = 127 [N]

a) WF =

WF = (115.15i + 53.7j) (27i)

WF = (115.15)(27) + (53.7) 0

WF = 3109 [J]

WF = F . r .cos25

WF = 127 x 27 cos(25)

WF = 3109 [J]

b) fr = Fcos

fr = 127 [N] .cos 25

fr = 115.15 [N]

fr = (115.15 ; 1800)

fr = (-115.15i) [N]

Wfr = fr x

Wfr = -115.15 x 27m

250

Fr

F

250

mg

F

r = 27m

= -3109[J]

c) WN=0

d) Wr = Wr + Wfr + WN + Wmg

= 3109+ (-3109)[J]

Wr = 0

2) m = 97Kg

U = 0.17

N = my W = 197.27 x

17 x cos35

N = 97 kg (9.8m/s2) W = 2747.2 [J]

N = 950.6 [N]

F = 197.27

F = (161.59i + 113.14j) [N]

W = (161.59i + 113.14j) x 17m

W = 2747.2i [J]

fr = (161.59; 1800)

fr = (-161.59i) [N]

W = 161.53 x 17m

W = -274.1 [J]

Una persona sube con una velocidad constante un cuerpo de 50kg. hasta una

altura de 6m, determinar a) El trabajo realizado so se utiliza una polea fija

b) El trabajo realizado si se utiliza una rampa de 12m si tienen

coeficiente de rozamiento de U = 0

F F6m

F

mg.sen0

a)

F = m.g mg

F = 50kg x 9.8

F = 490 [N]

W = 490 x 6 = 2940 [J]

b)

F – 480 sen30 = 0

F =245

W = 245 [N] x 12m

W = 2940 [J]

Potencia

Desde el punto de vista técnico en la selección de una máquina como puede

ser un motor, transformador, etc, la potencia es uno de los criterios más

importantes pues la rapidez con la que puede efectuar un trabajo interesa más

que la cantidad total de trabajo que puede realizar esa máquina.

La rapidez para realizar trabajo se denomina potencia

P = W/T

entre dos máquinas que realicen el mismo trabajo se considerará más potente

aquella máquina que realice dicho trabajo en el menor tiempo.

Potencia Media.- Si la fuerza aplicada es constante, la potencia media también

lo es; es el trabajo por unidad de tiempo.

Pm = FxVm

Pm = F.Vm cos

Potencia media

mg12m

6m

Q

La potencia media aplicada a un cuerpo es el producto escalar de la fuerza por

la velocidad media.

Cuando la fuerza y la velocidad media son paralelas la potencia es igual al

producto de sus módulos; siendo positivo si van en el mismo sentido negativo

si tienen diferentes sentidos.

Potencia Instantánea

Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero se puede calcular la velocidad

instantánea (Vi). Entonces la potencia media se transforma en potencia

instantánea que es la rapidez con que se realiza un trabajo en cualquier

instante.

Unidades

La potencia es una magnitud escalar cuya unidad se obtiene de dividir la

unidad de trabajo para la unidad de tiempo.

Un vatio es la potencia de una máquina que realiza un trabajo de un Joule en

cada segundo.

En el sistema CGS

En el sistema técnico

Equivalencia

1 voltio (w)=

1 kw = 1000 w

1 Mw = 106 w

1 4p = 746 w

1 C.V = 736w

Ejemplo:

1.- Un elevador vacío tiene un peso de 5160 [N] ( 1160 lbs); está diseñado

parta transportar una carga máxima de 20 pasajeros desde la planta baja,

hasta el piso 25. En un tiempo de 18 seg suponiendo que el peso promedio de

un pasajero es de 710 N (160 lbs) y la distancia entre pisos promedio de un

pasajero es 710 N ( 160 lbs ) y la distancia entre pisos es de 3,5 metros. Cuál

es la potencia necesaria del motor del elevador.

F = 5160 [N] +20 (710[N])

F = 5160 N + 14200 N

F = 19360 [N]

W = F x

W = 19360 [N] x 25 (3,5m)

W = 1694000 = 1.69 x 106 [J]

P = 94111.11 W P= 94,1 kw P=126.15 Mp

2. Determinar la potencia de un motor que para alcanzar una velocidad de (45j

+ 40j) km/h , ejerce una fuerza de tracción de (2070i + 1840j ) [N]

P = (2070i + 1840j) [N] . (12.5i + 11.11j) m/seg

P = 25887.5 + 20442.4

P = 46329.9 * 140/746 = 62.10 HP

Escalar:

F= (2070i + 1840j) [N] = 2769,56 [N] = 41.630

V = (12.5i + 11.111j) [m/s] = 16.72 m/s = 41.630

y

P = 46303.6 (W) P = 62 HP

Un motor adquiere una velocidad de (60i + 55j) km/h. Ejerce una fuerza en sus

ruedas de (1500i – 1200j). Determinar la potencia.

V = (60i + 55j) km/h x 1000m/3600s

V = (16.66i + 15.27j) m/s

P= (1500j – 1200j) (16.66j + 15.27j)

P = 24990 – 18333.33

P = 6656.7 W

P = 8.92 Hp

Escalar

V= 22,59 m/s

F = 1920,93

Cos 42,5

321

81,17

P = 22,53 x 1920.93 cos 81,12

P = 6656,7 W

P = 8.92 HP

En el campo existe una hacienda que tiene una pequeña catarata de 17 m de

altura, si cada minuto cae un volumen de agua de 12 m2.

Determinar la potencia que puede desarrollarse en la catarata.

h = 17 m 1m2 = 100kg

t = 1 min m = 12m2 x

vel = 12 m2

x41.630

P = ? W = F. Peso

W = w. W= m.y

W = 117600 N x 17m

W = 1999 200 [J]

P =

Un trailer de carga pesa 170 toneladas y acelerado hacia arriba de una

pendiente de 12 m, la velocidad aumenta de 25 km/h a 45 km/h en una

distancia de 500m tienen un coeficiente de rozamiento de 0.017.

Determinar a) La potencia neta

b) La potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento

c) La potencia desarrollada por el peso

d) La potencia desarrollada por el trailer

500m

P = 170 ton * 1000kg /1ton = 170000kg

Vo = 25 km/h * 1000/3600 = 6.94 m/s

Vf = 45 km/h * 1000/3600 = 12.5 m/s

Vm = (Vo + Vf)/2 = 9.72 m/s

=tg -1 12/500 = 1.3740

Vf2 = Vo2 + 2ad

a =

a =

12m

FN

frQ mg

mg

F = m.a

F = 170000 kg x 0,08

F = 18360 N

a) PN = F.Vm

PN = 18360 x 0,72 m/s

PN = 178459,2 wats

b)

N = f y

N = m,y cos 13740

N = 1665520,981 N

Fr = UN

Fr = 0,017 x 1666520,98 = 28313.85 N

P = 38313,85 x 9,72 m/ s

P = 275210.68 wats

c) my = 1666000 N

P = P. V m cos ( 270- 1,3740)

P = -388296,73 watts //

F – fr –px = ma

F = m.a + fr +px

F = 18360 +28313,85 + 39948,22

F = 86622,07

P = FxV

P = 86622 x 07 x 9,72 = 8 4196,55 watts.

RENDIMIENTO

(Eficiencia Mecánica)

El concepto de rendimiento va ligado a la del trabajo, cuando una máquina se

emplea para transformar de un tipo de energía a otra como por ejemplo:

energía mecánica a energía eléctrica, de energía térmica a energía mecánica,

su rendimiento puede expresarse como la razón entre el trabajo que sale y el

trabajo que entra; o también la razón entre la potencia que sale y la potencia

que entra.

El crecimiento mecánico en una máquina ideal es uno ( o) porque no existe

razonamiento y el trabajo que sale es igual al trabajo que entra, por lo tanto la

potencia de salida es igual a la potencia de entrada.

Máquina ideal Pot. entrada = Pot. salida ( o)

El rendimiento de una máquina real es siempre <1 debido a las pérdidas de

energía por el rozamiento interno que se produce durante el funcionamiento de

la máquina.

Generalmente al rendimiento se multiplica por 100 para expresarlo en

porcentaje , Ejemplo:

Un vehículo de 2300 kg recorre con velocidad constante 30 km de una

carretera de rampa ascendente de 70 m de desnivel en 200min. Si el

coeficiente de razonamiento es 0,017 y el rendimiento del motor es de 81%.

Determina:

a) El trabajo útil

b) El trabajo producido

c) La potencia producida por el motor.

tg

F = fr-mg sen N-mg cos =0

F = fr+ mg sen 0,1330 N = 2300kg. 9.8 m/seg2.cos

1330

F = m.g.sen 0,133 N = 22539,9 [N]

F = (0,017 ) ( 22539,9) M +2300kg.9.8m/seg2 -0,0023

F = 435,5 [N]

W útil = F.r

W útil = 435,5 [ N] 30000m

W útil = 13065022,18 [J]

Pprod=

W producido = Pprod =

W prod= Pprod= 1344,16 w

W prod= 16 MJ// P pros= 1,8 HP//

ENERGÍA

La palabra energía proviene del Griego en= dentro, ergo = trabajo, lo que

quiere decir que energía es la capacidad para producir trabajo.

Una de las características más importantes de la energía es la variedad de las

formas o tipos que existen en la naturaleza.

16000000J

Hay energía en cuerpos que se mueven, también en los que no se mueven.

Entre las principales formas de energía tenemos.

*Energía cinética.- Es la que tiene los cuerpos en movimiento (traslación y

rotación).

*Energía potencial gravitacional.- Es la que tiene los cuerpos a determinada

altura con respecto a un plano de referencia.

*Energía potencial elástica.- Es la que proporciona el sol en forma luminosa o

calórico

*Energía química.- Es la energía que proporcionan los combustibles.

*Energía aehólica.- Es la energía que proporciona el viento.

*Energía geotermal.- Es la energía que se encuentra en el interior de la tierra

en forma de calos (principalmente los volcanes).

*Energía hidráulica.- Es la energía que tiene el agua cuando se la conduce y se

la aprovecha adecuadamente.

*Energía nuclear.- Es la energía que se libera en las reacciones nucleares.

Energía Cinética.

Vo 0

el cuerpo de la figura tiene una masa m que inicialmente esta reposa sobre una

superficie horizontal, sin razonamiento ( condición ideal ). Si ejercemos sobre el

cuerpo una fuerza horizontal y constante F, la velocidad del cuerpo irá

aumentando y al cabo de cierto tiempo este recorre una distancia X.

El trabajo realizado por esta fuerza será:

W= F.X

W= m.a.x (1)

La velocidad del cuerpo cuando a recorrido una distancia x es igual:

V2 = Vo2 +2ax ax= (2)

V2 =2ax

m m

Vo=0FF

x

(2) en ( 1)

w = m (3)

La expresión (3) representa la energía cinética del cuerpo en el instante que

tiene una rapidez de:

Ec= //.

A la energía cinética se la define como la capacidad que tiene un cuerpo para

producir trabajo en virtud para su rapidez se puede deducir lo siguiente:

- La energía cinética es directamente proporcional a la masa del cuerpo.

- La energía cinética es directamente proporcional a la rapidez o velocidad del

cuerpo.

- Las unidades de la energía cinética son los mismos del trabajo ( si: Joule; cys

: ergio)

Ejercicio:

Se lanza una piedra que tiene una masa de 450 g, con un a velocidad inicial de

25j m/s. determinar a los tres segundos:

a) La rapidez del cuerpo

b) La energía cinética Ec= ½ mv2

a) y Dt

Ec= 0,5 (0,45 kg )( -4,4

m/seg)2

Ec= 4,35 J //

Un cuerpo de 700 g posee una energía cinética de 20 J, gira con movimiento

circular uniforme en un radio de 2 metros. Determinar:

a) La rapidez con que está girando el cuerpo.

b) La fuerza que actúa sobre el cuerpo

700g = 0,7 kg

Ec = 20 J ac =

r= 2m ac=

20J = 0.5 (0,7 kg) v2

20 b) Fc= m.ac

Fc= 0,7 kg. 28,57 m/seg2

Fc= 19,9 M

V= 7,55 m/seg

Un cuerpo tiene una velocidad inicial ( 35 ) m/ seg, sis u masa es de

7.5 kg. Determinar:

a) La rapidez del cuerpo a los 12 seg

b) La energía cinética.

m= 7,5 kg

v= ? t = 12 seg

Ec = ?

V =

V = 57,008 m/seg

Ec = mv2

Ec = ( 0,5 ) ( 7,5 kg ) ( 57,008 m/seg)

Ec = 12187,17 [ J] //

Variación de la energía cinética

El cuerpo de la figura tiene una masa m y una velocidad en el instante que

empieza a actuar la fuerza horizontal y constante f, la velocidad del cuerpo ira

variando constantemente y al cabo de cierto tiempo habrá recorrido una

distancia x.

El trabajo realizado por la fuerza F sobre el cuerpo es.

W = F.X

F = m.g => F = m.a

W = m.a X

La velocidad del cuerpo cuando ha recorrido una distancia x será

( 2)

Reemplazando ( 2) en (1 )

m mF F

X

w = m

w= WAB = E CB – E CA

WAB = D Ec (3)

En resumen el trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre un

cuerpo es igual a la variación de su energía cinética (D Ec) ; Además :

*Si VB > VA, la variación de la energía cinética será una cantidad positiva y la

fuerza nata aplicada también realiza un trabajo positivo, la partícula tiene un

movimiento acelerado.

*Si VB= VA La variación de la energía cinética es nula, la fuerza neta aplicada no

realiza trabajo. La partícula tiene movimiento uniforme

*Si VB < VA la variación de la energía cinética es una cantidad negativa, la fuerza

neta aplicada realiza un trabajo negativo, la partícula tiene un movimiento

retardado.

Ejercicio:

Una partícula pesa 500 g y se mueve con una rapidez de 14 km/ h , si le

aplicamos una fuerza de 17 m para que la rapidez alcance los 22 km/ h

determinar:

a) La energía cinética inicial

b) La energía cinética final

c) El trabajo realizado por el cuerpo

d) La distancia recorrida

V1 = 14 km / h x 0,277 Ec1 = ½ m v2

V1= 3,88m / seg Ec1 = ( 0,5 ) ( 0.5kg) ( 3,88 m/seg )2

V2 = 29 km/ h 0.277 Ec1 = 3,76 ( J ) //

V2 = 5,55m/ seg

Ec2 = ½ m V2 W1-2 = Ec2 - E c1

Ec2 = 7,7 ( J ) // W1-2 = 7,7 ( J ) – 3,76 ( J )

X w / f W1-2 = 3,94 ( J ) //

W = F x

X = X = 0, 232m //

Una fuerza de 170 dinos arrastra una distancia de 36 cm. a una partícula de 17

g que posee una rapidez inicial de 5cm / seg. Determinar:

a) El trabajo realizado por la fuerza

b) La energía cinética inicial

c) La energía cinética final

d) La rapidez final del cuerpo

a) b) Eco = 1/ 2 (m) V

W 0 F.X

W = 170 dinas. 36 cm Eco = ( 0.5 ) ( 17g ) ( 5cm / seg ) 2

W = 6120 Ergios // E co = 212,5 ergios

Ec = Ec- Eco E C = ½ m. V2

V2 = 2Ec/m

Ec = 212,5 ergios + 6120 ergios

V=27.29 m/s

Ec = 6332,5 ergios

Energía cinética de rotación

Eje

r1

m1

Una partícula de masa mi realiza un giro de radio ri alrededor de su eje, cuando

vi y la Ec de la partícula es:

Eci = 172 mi Vi2

Vi = Wri

Eci = ½ m. ri2 .w2

I = mr2

Eci = ½ I w2 (1)

La expresión 1 representa la energía cinética de rotación en el instante que

tiene una velocidad angular w. Se define a la energía cinética de rotación ( Ecr)

como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su

velocidad angular.

Las unidades de Ecr son los mismos del trabajo:

SI = Joul

Cyu = ergio

1.- Ejemplo.- Una varilla de 10 kg y 2m de largo gira alrededor de un eje vertical

que posa por un extremo. Si aumentamos su velocidad de 15 rpm a 30 rpm.

Determinar:

a) El momento de inercia de la varilla respecto a su eje.

b) La energía cinética inicial del sólido en rotación.

c) Ecf del sólido en rotación.

d) El trabajo realizado.

W0 0 15 rpm.

Wf = 30 rpm.

V1

1 = 2mm = 10kg

a) IB = 1/3 mr2

= 1/3 (10) (2)2

= 13,33 kg m2

b) Ecwo 172 I ( Wo)2

= ½ x 13,33 kg m2

= 16,4 J

c) Ecp = ½ I ( W)2

= ½ x13,33 ( 3,14 rad / s )2

= 65,7 J

d) W =

= Ecwo- Ecw

= 65,7 J – 16,4 J

= 49.3 [J]

Energía potencial Gravitacional.

B

m

m

A

h

mg

NR

el cuerpo de la figura tiene una masa m y se mueve verticalmente por la acción

de su propio peso ( mg) desde el punto A hasta el punto B situado en el N.R..

El trabajo efectuado por el peso sobre el cuerpo es.

W = F. h

W = mgh. (1)

La expresión 1 representa la energía potencial gravitacional del cuerpo en el

instante que tiene una altura con respecto a un nivel de referencia.

Epg = mgh

Se define a la energía potencial gravitacional como la capacidad que tiene un

cuerpo para producir trabajo en virtud de su posición, no existe un N. R fijo para

determinar la energía potencial gravitacional, razón por la cual podemos formar

cualquier nivel como referencia, todos estos niveles de referencia serán

horizontales.

Se acostumbra elegir como nivel de referencia aquel que está bajo el cuerpo

para tener valores positivos y así evitar los negativos.

Ejemplo

1.- Un cuerpo de masa 2,70 kg se encuentra a 14mm de h respecto al nivel de

referencia se lanza con una velocidad de 175 m/s. Determinar la altura del

cuerpo con respecto al N.R a los 1,4 seg, bl Epg.

h = ho + Vot- ½ g t2

h = 14m + ( 17m/s x 1,4 seg ) – 0,5 x 9,8 m/s2

h = 14m + 23.8 -9.6

h = 28.2m

Epg = mgh

= 2.7 kg x 9.8 m/s2 x 28.2 m

= 746 [J]

MAQUINAS SIMPLES

Maquinas Simple.- Son aparatos destinados a equilibrar unas fuerzas con otras y trasladar el punto de aplicación de unas aplicando ligeramente la intensidad de otras. En toda máquina simple se distinguen dos fuerzas:

(Q) Resistencia, que es la aplicada al cuerpo que se quiere mover(F) Potencia, que representa la fuerza que debe actuar a fin de equilibrar la resistencia del cuerpo y desplazar su punto de aplicación.

Se puede medir el trabajo de las máquinas calculando el producto de la fuerza por la distancia recorrida, en su misma dirección. Por ejemplo, si una persona levanta una caja que pesa diez kilogramos a una altura de un metro y medio, ha hecho diez kilogramos por un metro y medio, o sea quince kilográmetros de trabajo.

Hoy en día existen máquinas de todas clases y tamaños, pero no importa cuán complejas puedan parecer, todas ellas son una combinación de vanas máquinas simples o modificaciones dé una máquina simple. Por máquina simple se entiende una máquina que se mueve por una sola fuerza.

Hay seis máquinas simples: la palanca, el torno, la polea, el plano inclinado, el tornillo y la cuña.

Palanca.- Es una barra rígida que puede girar libremente alrededor de un punto de apoyo o de un eje, por la acción de dos fuerzas, la resistencia y la potencia y que se usa para mover cargas pesadas.Arquímedes, descubrió la ley de la palanca y dijo “Dadme una palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo”. La barra rota alrededor de un punto fijo llamado punto de apoyo o fulcro. El punto de aplicación de la resistencia es el lugar donde se ubica la carga a mover. El punto donde se aplica la fuerza para mover la carga es el punto de aplicación de la potencia. Cuanto más cerca de la carga esté el fulcro, menor fuerza se realiza para mover la carga.La fuerza rotatoria es directamente proporcional a la distancia entre el fulcro y la fuerza aplicada. Por ejemplo, una masa de 1 Kg que está a 2 m del fulcro equivale a una masa de 2 Kg a una distancia de 1 m del fulcro.

Los elementos de una palanca son:

a) Punto de apoyo (O).b) Resistencia (Q) = Fuerza que se quiere vencer.

c) Potencia (F) = Fuerza que se aplica.d) Brazo de resistencia (bQ) = distancia desde el punto de apoyo a la recta de acción de la resistencia.e) Brazo de potencia (bF) = distancia desde el punto de apoyo a la recta de acción de la potencia.

El momento de la resistencia tiende a producir una rotación de la barra en sentido contrario a las agujas de un reloj, mientras que el momento de la potencia trata de efectuar la rotación en el mismo sentido que dichas agujas.

En consecuencia:

Mq= Q.bQ y Mf= -F.bF

Géneros de palanca

1) Palanca de primer género:Una palanca es de primer género cuando el punto de apoyo está ubicado entre la resistencia y la potencia.

2) Palanca de segundo género:Una palanca es de segundo género cuando la resistencia se halla entre el punto de apoyo y la potencia. Como en las palancas de segundo género el brazo de potencia es siempre mayor que el brazo de resistencia, en todas ellas se gana fuerza.

3) Palanca de tercer género:Cuando la potencia se encuentra entre el punto de apoyo y la resistencia, la palanca es de tercer genero.En este género de palancas, el brazo de potencia siempre es menor que el brazo de resistencia y, por lo tanto, la potencia es mayor que la resistencia. Entonces, siempre se pierde fuerza pero se gana comodidad.

Resumiendo los géneros o clases:

.

La ley de la palanca se enuncia así:

"Fuerza, F, es a Resistencia, R, como brazo de la resistencia, lr, es a

brazo de la fuerza, lf"

F/R= lr/lf

Se llama brazo a la mínima distancia desde el apoyo O, a la línea de aplicación de las fuerzas motriz o resistente.

Torno.- Formada por dos ruedas o cilindros concéntricos de distinto tamaño y que suele transmitir la fuerza a la carga por medio de una cuerda arrollada alrededor del cilindro mayor; en la mayoría de las aplicaciones la rueda más pequeña es el eje. El torno combina los efectos de la polea y la palanca al permitir que la fuerza aplicada sobre la cuerda o cable cambie de dirección y aumente o disminuya. Un torno puede emplearse para levantar un objeto pesado, como el cubo de un pozo. A veces, el torno es simplemente un eje con una manivela. La rueda exterior o la manivela son concéntricos con la rueda interior o el eje. Una fuerza relativamente pequeña aplicada a la rueda grande puede levantar una carga pesada colgada de la rueda pequeña. Por tanto, el torno actúa como una palanca de primera clase donde el eje constituye el punto de apoyo y los radios de ambas ruedas los respectivos brazos de palanca. El principio de la palanca afirma que FR = fr, donde F y f son las fuerzas aplicadas, y R y r los respectivos brazos de palanca. Por ejemplo, si el radio de la manivela es 10 veces mayor que el del eje, la fuerza ejercida sobre la carga es 10 veces mayor que la aplicada a la manivela.

Se compone de un cilindro de radio r, con una cuerda que arrastra una

resistencia R, y un manubrio de longitud m,en donde se aplica la fuerza

F.

Por la ley de la palanca, en el equilibrio:

F/R=r/m

Tornillo.- Dispositivo mecánico de fijación, por lo general metálico, formado esencialmente por un plano inclinado enroscado alrededor de un cilindro o cono. Las crestas formadas por el plano enroscado se denominan filetes, y según el empleo que se les vaya a dar pueden tener una sección transversal cuadrada, triangular o redondeada. La distancia entre dos puntos correspondientes situados en filetes adyacentes se denomina paso. Si los filetes de la rosca están en la parte exterior de un cilindro, se denomina rosca macho o tornillo, mientras que si está en el hueco cilíndrico de una pieza se denomina rosca hembra o tuerca. Los tornillos y tuercas empleados en máquinas utilizan roscas cilíndricas de diámetro constante, pero los tornillos para madera y las roscas de tuberías tienen forma cónica.

El empleo del tornillo como mecanismo simple (en ese caso también se denomina husillo o tornillo sin fin) aprovecha la ganancia mecánica del plano inclinado. Esta ganancia aumenta por la palanca que se suele ejercer al girar el cilindro, pero disminuye debido a las elevadas pérdidas por rozamiento de los sistemas de tornillo. Sin embargo, las fuerzas de rozamiento hacen que los tornillos sean dispositivos de fijación eficaces.

Polea.- Dispositivo mecánico de tracción o elevación, formado por una rueda o roldana montada en un eje, con una cuerda que rodea la circunferencia de la rueda. Tanto la polea como la rueda y el eje pueden considerarse máquinas simples que constituyen casos especiales de la palanca. Una polea fija no proporciona ninguna ventaja mecánica, es decir, ninguna ganancia en la transmisión de la fuerza: sólo cambia la dirección o el sentido de la fuerza aplicada a través de la cuerda, mientras una polea móvil disminuye la mitad del peso del cuerpo.

A.- Polea fija

Aplicando momentos respecto a O (ver figura 9.8.), tenemos:

F1r=F2r

siendo r el radio de la polea,con lo que simplificamos:

F1=F2

"La fuerza motriz y la resistencia son iguales, así como el camino

recorrido por ambas"

B.- Polea móvil

Va casi siempre acompañada de una polea fija, pero ésta no cuenta por

no alterar la fuerza.

Aplicando la ley de la palanca:

F*OC=R*OA

Por semejanza de triángulos:

OA/OC=OD/OB Luego F/R=OD/OB

Que se enuncia "Fuerza es a resistencia como radio de la polea es a cuerda abrazada por el cordón"

Plano Inclinado.- Es todo plano que forma con la horizontal un ángulo

menor a los 90º. Mediante el plano inclinado se elevan a la altura

deseada objetos que no podrían izarse directamente sin emplear fuerzas

muy superiores.

La resistencia R es el peso del cuerpo, que recorre en su dirección el

camino BC (altura del plano inclinado), mientras el camino de la fuerza F

es a el largo AB del plano.

La resistencia R se descompone en dos fuerzas: una normal al plano N,

que se destruye contra él, y otra F´ paralela, que se equilibra con la

fuerza motriz igual y opuesta. Por semejanza de triángulos:

F´/R=BC/AB

Máquinas compuestas:

Estas resultan del acoplamiento de varias máquinas simples; de modo que la

potencia de cada una de las intermedias viene a ser la resistencia de la

anterior, a partir de una primera máquina sobre la cual actúa la verdadera

potencia, y hasta llegar a la última, que debe vencer a la resistencia final.

Sistema de palancas.- Sean AOB, A’B’O’, y A’’O’’B’’ tres palancas; P la

potencia aplicada en A, y R la resistencia aplicada en B’’: La palanca AOB está

unida a la A’B’O’ Mediante la barra A’B y la O’A’B’ unida a la O’’A’’B’’ por medio

de la barra A’’B’.

Las condiciones de equilibrio en cada palanca son: representando por P’ y P’’

las fuerzas en B y B’:

De donde:

Luego:

En un sistema de palancas la potencia y la resistencia están en razón inversa

de los productos de sus respectivos brazos de palanca.

Sistema de poleas.- La aplicación de poleas móviles con otras fijas puede hacerse de varias formas. Sea P la potencia que actúa en el extremo del cordón libre, y R la resistencia aplicada en el gancho de la armadura de las poleas móviles; representando por pel desplazamiento de la potencia y por r el correspondiente a la resistencia, se tendrá:

P * p = R *r ;

P y r guardan la siguiente relación: p/r =n, siendo n el número de cordones que sujetan la armadura móvil; por lo tanto:

P * r.n = R * r ;Luego, en los sistemas de poleas móviles y fijas, la potencia y la resistencia se hallan en razón inversa del número de cordones.

Rendimiento de las máquinas simples

Aún en las máquinas simples el principio de la conservación del trabajo está aplicado solo en teoría. La experiencia demuestra que en la práctica el trabajo útil producido por la máquina es siempre inferior al trabajo motor suministrado para accionarla, a causa de las fricciones que se originan en los órganos de transmisión.El trabajo motor es siempre igual a la suma del trabajo útil más las fricciones. De donde se deriva la noción del rendimiento que se determina por el cociente:

trabajo útiltrabajo motor

Este rendimiento resulta menor que la unidad y es del orden de 0.7 en las máquinas estudiadas.

La eficacia de funcionamiento de una máquina se obtiene del cociente entre la energía generada (la salida) y la cantidad de energía empleada (la entrada). La eficacia, que se expresa en tanto por ciento, siempre inferior al 100 por ciento.