Divergencia y rotacional

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CALCULO VECTORIAL DIVERGENCIA Y RACIONAL

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 CALCULO VECTORIAL

DIVERGENCIA Y RACIONAL

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OBJETIVO

Funciones vectoriales

El alumno utilizará e interpretará las variaciones de una función vectorial de variable vectorial y las aplicará para resolver problemas físicos y geométricos en el sistema de referencia más conveniente.

El alumno comprenderá la relación entre los resultados de la divergencia y rotación de un campo vectorial y sus interpretaciones físicas.

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ROTACIONAL Se entiende por rotacional al operador vectorial que

muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.

Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo sino solo su componente según la dirección normal a  Δ S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

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ROTACIONAL (PROPIEDADES)

El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.

Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0

Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0

Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

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ROTACIONAL (EJEMPLOS)

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ROTACIONAL (EJEMPLOS)

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ROTACIONAL (INTERPRETACIÓN FÍSICA)

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DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un fluido.

Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros su divergencia es siempre distinta de cero.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero.

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DIVERGENCIA

Para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación.

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el

límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra

dicha superficie S y  es el operador nabla.

La divergencia de un campo es un valor escalar con signo.

Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia

el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente.

Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del

interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero.

Si la divergencia fuese cero el campo neto sería nulo.

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DIVERGENCIA

  En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula.

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren.

De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.

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DIVERGENCIA

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DIVERGENCIA

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DIVERGENCIA (INTERPRETACIÓN FÍSICA)

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DIVERGENCIA (INTERPRETACIÓN FÍSICA)

Si imaginamos que F es el campo de velocidades de un gas (o de un fluido), entonces

div F representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del gas (o del fluido).

Si  div F < 0, el gas (o fluido) se está comprimiendo.

Para un campo vectorial en el plano, la divergencia mide la razón de expansión del área.

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CONCLUSIÓN

El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto dado.

Para un campo vectorial en el plano, la divergencia mide la razón de expansión del área, si la div F( ) = 0 se dice que el fluido es incompresible.

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BIBLIOGRAFÍA Victor L. Streeter. Mecánica de Fluidos. McGraw

Hill, Novena edición.

Marsden, Jerrold E. Calculo vectorial. Pearson Educación, 1998.

Colley, Susan Jane, Análisis vectorial. Pearson Educación. 2013

Rotacional https://www.youtube.com/watch?v=vkYEIjDa3i4

Divergencia https://www.youtube.com/watch?v=SvqQ34kCKnU