DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES

1. Calcule los siguientes límites:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto dado, de ser posible repárela:

a) en x = 0 b) en x = 10

c) en x = 4 d) en t = 2

e) f)

en t = 1 en x = 0

1

Si t 1Si t = 1

Si x 0

Si x = 0

3. Calcule el incremento de la función , correspondiente del crecimiento del argumento de a .a) =1 ; =2b) =1 ; =1,1c) =1 ; =1+

4. Encuentre el incremento y la razón para las funciones:

a)

b)c)

5. Encuentre y , correspondientes a la variación del argumento

desde hasta , para las siguientes funciones:a) b) c) d)

e) f)

6. Calcule utilizando la definición la derivada de las siguientes funciones:a)b)

c)

d)

7. Encuentre las derivadas con respecto a x de las siguientes funciones algebraicas:a) R:

b) R:

c) R:

d) R:

e) R:

f) R:

2

g) R:

h) R:

i) R:

j) R:

k) R:

l) R:

8. Calcule las derivadas con respecto a x de las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales:a) R:

b) R:

c) R:

d) R:

e) R:

9. Utilice la regla de la cadena para calcular las derivadas de las siguientes funciones compuestas:a)

b)

c)

d)e)f)g)h)i)

3

10. Hallar las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones:

a) R: b) R: c) R:

d) R:

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

I. RECTA TANGENTE DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

11. Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbola que pasan por el punto (-1; 1). Encuentre la normal en ese punto.

12. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función:

, en los puntos de intersección con el eje de los x.

13. Muestre que las curvas e tienen una tangente común en el punto (0,2).

14. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función: , en los puntos de intersección con el eje de los x.

15. En que puntos de la curva es su tangentea) paralela a la recta b) perpendicular a la recta

II. CONSTRUCCIÓN DE GRAFICOS UTILIZANDO DERIVADAS

16. Construir los gráficos de las funciones que se indican, determinando dominio, los puntos de discontinuidad, asíntotas, puntos extremos, intervalos de crecimiento, puntos de inflexión, dirección de concavidad:

a) b)

4

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m)

III. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

17. Hay que cercar un sitio rectángulo con 150 m de malla. Cuál es la máxima área que se puede cercar?

18. Una sala de piso cuadrado debe tener un volumen de 64 . Se desea revestir el piso con madera que cuesta $ 2.300 por y las paredes con papel mural que cuesta $ 1.600 por . De que dimensiones se debe diseñar la sala para que el costo en materiales para revestir sea mínimo.

19. Hay que construir una caja abierta rectangular con base cuadrada que contenga 6.400 a un costo de $ 0,75 por para la base y $ 0,25 por para los laterales. Hallar las dimensiones más económicas.

20. A una imprenta se le dan instrucciones de tener 24 de material impreso por página. Los márgenes superior e inferior deben ser de 1 cm y de cm en cada lado de la página. Encontrar las dimensiones de la página impresa si quiere utilizarse la mínima cantidad de papel.

21. Se va a construir un deposito usando una pieza de estaño de 12 metros cuadrados, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados. Encontrar las dimensiones del deposito más grande que puede construirse.

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22. Un terreno tiene forma de triángulo rectángulo con lados de 80, 120 y 140 m. Encontrar las dimensiones de un edificio rectangular que se área de la planta baja sea máxima, que se puede construir en el terreno en la posición que se muestra en el dibujo.

80 140

120 23. Se va ha construir un tanque cilíndrico sin tapa para que contenga 64

metros cúbicos de agua. Encontrar la altura y el radio de la base del tanque cuando el área de superficie es mínima.

24. En un terreno 5400 metros cuadrados se debe construir un edificio. Según la ordenanza vigente se deben dejar 5 metros de antejardín y del deslinde del contrafrente , además de 3 metros de distanciamiento de deslindes laterales. ¿ Que dimensiones debe tener el terreno para que el área ocupada por la planta del edificio sea el máximo?

25. Un muro de 8 m de altura está a m de una casa. Hallar la escalera más corta que se puede construir para llegar del suelo a la casa por encima del muro.

26. Una partícula se mueve en línea recta con ( en metros y segundos ). Localizar la partícula con respecto a su posición inicial ( t = 0 ) en el punto 0, hallar su dirección y velocidad y determinar si su rapidez es creciente o decreciente:

a) b) c) d)

27. La distancia de una locomotora desde un punto fijo sobre una vía recta en el instante t viene dada por . ¿ Cuándo la locomotora va marcha atrás?

28. Examine los siguientes movimientos rectilíneo:a) b) c)

29. Un cuerpo se mueve verticalmente desde el suelo hacia arriba con . Probar que en los primeros 48 pies de ascenso su

velocidad se ha reducido a la mitad.

6

EDIFICIO

IV. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

30. Aproximar mediante diferenciales:a) b) c) cos 46° d) tg 44°

31. Usar diferenciales para aproximar el cambio en :a) cuando x cambia de 5 a 5,01 .b) 1/x cuando x cambia de 1 a 0,98.

32. Una placa circular se dilata bajo los efectos del calor de manera que su radio pasa de 5 a 5,06 cm. Hallar el crecimiento aproximado en el área.

33. Una bola de hielo de 10 cm de radio se reduce a un radio de 9,8 cm. Aproximar el decrecimiento en el volumen y en el área.

34. Si un aviador vuela alrededor de la Tierra sobre el Ecuador a una altura de 2 Km. ¿cuántas millas más recorre respecto de una persona que da la vuelta caminando por el Ecuador?

35. El diámetro de un juguete circular varía entre 8,28 + 0,04 cm. ¿Cuál es el error que se produce en la longitud y el área de la circunferencia?

36. Una compañía encarga anuncios en forma de cuadrado, cada uno de ellos con lado 3 metros. Al ser entregados, encuentran que cada anuncio es 1cm más grande por cada lado. ¿ Qué porcentaje adicional de pintura se necesitará?

V. RAZON DE CAMBIO

37. Un depósito rectangular tiene 8 m de largo, 2m de ancho y 4 de profundidad. Si el agua fluye de ella a razón de 2 metros cúbicos/min., ¿ cómo está subiendo el nivel cuando el agua tiene 1 m de profundidad?

38. Está entrando liquido en un depósito cilíndrico vertical de 6 m de radio a razón de 8 metros cúbicos/min. ¿ A que ritmo está subiendo el nivel del liquido?

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39. Un hombre de 1,70 m de altura camina a una velocidad de 2 m/seg. en línea recta de la luz de un farol que tiene 10 m de altura.a) ¿ A que ritmo se mueve el extremo de la sombra?b) ¿ A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra?

40. Se está vaciando un depósito cónico de 3m de radio y 10 m de profundidad, a razón de 4 metros cúbicos / min. ¿ Cómo está bajando el nivel cuando la profundidad del agua es de 6 m? ¿ A qué ritmo está disminuyendo el radio de la superficie del agua?

41. Dos lados paralelos de un rectángulo están aumentando de longitud a razón de 2 m/seg., mientras los otros dos lados están disminuyendo de tal manera que la figura sigue siendo un rectángulo de área 50 metros cuadrados. ¿ Cuál es la razón de cambio de el perímetro P , cuando la longitud de el lado que crece es de 5 m?

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DIFERENCIAL

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RAZON DE CAMBIO

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UNIVERSIDAD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

CARRERA: ARQUITECTURA ASIGNATURA: CALCULO I PROF.:V. FAZIO

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