LA DERIVADA COMO UNA

FUNCION

CALCULO DIFERENCIAL

FORMAS DE REPRESENTAR UNA DERIVADA

𝑓′ 𝑥

FORMULA

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

PRIMERO: AGREGAR INCREMENTO TANTO A X COMO A Y

𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥

SEGUNDO: DESPEJAR ∆𝑦 Y TRANFORMAR 𝑦 a 𝑓(𝑥). EN OCASIONES HAY QUE REALIZAR SU REDUCCION (ESE DETALLE SE MOSTRARÁ EN LOS EJEMPLOS)

𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦

∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥

TERCERO: SUSTITUIR VALORES A LA SIGUIENTE FORMULA

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥

∆𝑥

CUARTO: DIVIDIR EL RESULTADO DE ∆𝑦 ENTRE ∆𝑥

QUINTO: EVALUAR EL LIMITE CON RESPECTO A ∆𝑥 (∆𝑥 CUANDO TIENDE A CERO)

SEA 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 ENCONTRAR 𝑓′ 𝑥

SOLUCION:

𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4

PASO 1:𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥

𝑦 + ∆𝑦 = 3 𝑥 + ∆𝑥 2 − 5 𝑥 + ∆𝑥 + 4

𝑦 + ∆𝑦 = 3 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 − 5 𝑥 + ∆𝑥 + 4

𝑦 + ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4

PASO 2:

𝑦 + ∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4

∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 𝑦

∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 𝑓 𝑥

∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 3𝑥2 − 5𝑥 + 4

∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 4 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 4

∆𝑦 = 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5∆𝑥

PASO 3:

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5∆𝑥

∆𝑥

PASO 4:

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5∆𝑥

∆𝑥= lim

∆𝑥→06𝑥 + 3∆𝑥 − 5

PASO 5:lim∆𝑥→0

6𝑥 + 3∆𝑥 − 5 = 6𝑥 − 5

ENTONCES EL RESULTADO DE LA DERIVADA DE LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4ES:

NOTA: SI YA SABES DERIVAR, LO PUEDES COMPROBAR DERIVANDO ESA

FUNCION CON LAS FORMULAS DE DERIVACION BASICAS

𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4 −−−−−−→ 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 − 5

DADA LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 ENCONTRAR 𝑓′ 𝑥

SOLUCION:

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 3𝑥 + 7

PASO 1:

𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥

𝑦 + ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7

PASO 2:

𝑦 + ∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7

∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 𝑦

∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 𝑓 𝑥

∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 3𝑥 + 7

∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 7 − 3𝑥 − 7

∆𝑦 = 3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥

PASO 3:

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥

∆𝑥

ANTES DEL CONTINUAR, RECORDEMOS UN POCO DE RACIONALIZACION:

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

3(𝑥 + ∆𝑥) − 3𝑥

∆𝑥

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

3 𝑥 + ∆𝑥 − 3𝑥

∆𝑥

3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥

3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥

= lim∆𝑥→0

3 𝑥 + ∆𝑥 − 3𝑥

∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥= lim

∆𝑥→0

3∆𝑥

∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥

PASO 4:

lim∆𝑥→0

3∆𝑥

∆𝑥 3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥= lim

∆𝑥→0

3

3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥

PASO 5:

lim∆𝑥→0

3

3 𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑥=

3

3 𝑥 + 0 + 3𝑥=

3

3𝑥 + 3𝑥=

3

2 3𝑥

ENTONCES EL RESULTADO DE LA DERIVADA DE LA FUNCION 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 ES:

NOTA: SI YA SABES DERIVAR, LO PUEDES COMPROBAR DERIVANDO ESA

FUNCION CON LAS FORMULAS DE DERIVACION BASICAS

𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 7 −−−−−→ 𝑓′ 𝑥 =3

2 3𝑥

BILBIOGRAFIA

W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica,

2da. Edición, Panamericana, Colombia, 1989, 1097

págs.