Contenidos Unidad 3 Funcion Funcion Lineal y Funcion Afin

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UNIDAD N°3

Las funciones reales como modelos descriptivos

Funciones en R Introduccion a la Matematica

Indice general

1. Funciones 4Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1. Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Graficas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. ¿Que es una funcion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Funciones en nuestro entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Definicion de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Evaluacion de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4. Dominio y recorrido de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5. Grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Funcion Afın y la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. Funcion Afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3. Relacion entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4. Ecuacion de la Recta dados 2 puntos de ella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.5. Ecuacion de la Recta dado un punto de ella y su pendiente . . . . . . . . . . . 191.4.6. Ecuacion de los segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.7. Interseccion Entre Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Funciones Exponenciales y Logarıtmicas 23Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1. Graficas de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2. Transformaciones de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3. Funcion Exponencial Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.4. Interes Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Funcion Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1. Graficas de funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2. Logaritmos comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3. Logaritmos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.4. Leyes de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.5. Expansion y combinacion de expresiones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . 402.2.6. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3. Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.1. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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2.3.2. Ecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.3. Interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


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Funciones

Introduccion

Quizas la idea matematica mas util para modelar el mundo real es el concepto de funcion. Paraentender que es una funcion, veamos un ejemplo.

Si un escalador de rocas deja caer una piedra desde un acantilado alto, ¿que sucede con la piedra?.Por supuesto la piedra cae; que tanto ha caıdo en determinado momento depende del tiempo que haestado descendiendo. Esta es una descripcion general, pero no indica de manera exacta cuando lapiedra choca con el suelo.

Figura 1.1: en t segundos la piedra cae 16t2 pies

Lo que necesitamos es una regla que relacione la posicion de la piedra con el tiempo que esta hadescendido. Los fısicos saben que la rgla es: en t segundos la piedra cae 16t2 pies. Si d(t) representala distancia que ha descendido la piedra en el instante t, entonces esta regla se puede expresar como

d(t) = 16t2

Esta “regla” para hallar la distancia en terminos del tiempo se llama funcion. Se dice que ladstancia es una funcion del tiempo. Para entender mejor esta regla o funcion, se puede construir unatabla de valores o dibujar una grafica. La grafica permite ver con facilidad que tan lejos y que tanrapido cae la piedra.

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Tiempo t Distancia d(t)0 01 162 643 1444 256

Usted puede observar por que son importantes las funciones. Por ejemplo, si un fısico encuentrala “regla” o funcion que relaciona la distancia recorrida con el tiempo transcurrido, entonces puedepredecir cuando un misil chocara con el suelo. Si un biologo halla la funcion o “regla” que relacionael numero de bacterias en un cultivo con el tiempo, entonces puede predecir el numero de bacteriaspara algun tiempo futuro. Si un agricultor conoce la funcion o “regla” que relaciona la produccionde manzanas con la cantidad de arboles por acre, entonces puede decidir cuantos arboles plantar poracre para maximizar la produccion.


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1.1. Conceptos Basicos

1.1.1. Plano Cartesiano

Ya vimos antes como representar los numeros reales como puntos en una lınea recta que llamamosrecta numerica. Ese hecho nos permite apreciar mejor algunas relaciones que existen entre distintosnumeros reales. Por ejemplo, si un numero real x es menor que un numero real y, sus puntos co-rrespondientes estan en la recta numerica de modo que el punto de x esta a la izquierda del puntode y.

Figura 1.2: Recta numerica

Mas aun, aprendiste que existe una correspondencia “uno a uno” entre los numeros reales y lospuntos de una recta. Por esa razon es a veces conveniente hablar del numero y de su punto co-rrespondiente en la recta numerica como si fueran la misma cosa.

En esta leccion aprenderas como describir algebraicamente puntos que se encuentran en un plano.Recuerda que un plano puede imaginarse como una pared que se extiende infinitamente a lo anchoy a lo alto.

Para especificar un punto en un plano nos valdremos de un sistema de coordenadas rectangularesformado al intersecar perpendicularmente por el origen de ambas a dos rectas numericas en el plano.A una de las rectas la representamos horizontalmente y la llamamos el eje de abscisas o eje X. Ala otra recta la representamos verticalmente y la llamamos el eje de ordenadas o eje Y.

Figura 1.3: Plano Cartesiano


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Asociaremos a un punto A en el plano, un par ordenado de numeros reales (x, y), de los cuales,el primero, x , es el punto en el eje X intersectado por una recta vertical que pasa por el punto A; yel segundo de los numeros, y, es el punto en el eje Y, intersectado por una recta horizontal que pasapor el punto A.

Al par ordenado (x, y) lo llamamos las coordenadas de A y a cada uno de los numeros en elpar ordenado lo llamamos un componente o coordenada. Note que el orden en que escribimoslos componentes del par ordenado es muy importante. En el dibujo previo puedes apreciar que lascoordenadas (1, 2) corresponden a un punto distinto del que corresponde a las coordenadas (2, 1).

Para cada par de numeros reales (x, y), existe solamente un punto en el plano que le corresponde y,recıprocamente, para cada punto en el plano existe solo un para ordenado (x, y) que le corresponde.Por eso decimos que existe una correspondencia “uno a uno” entre los puntos del plano ylos pares ordenados de numeros reales.

El sistema de coordenadas rectangulares que estamos describiendo divide al plano en cuatro re-giones o cuadrantes. Al cuadrante que esta arriba del eje X y a la derecha del eje Y lo llamamosel cuadrante uno (cuadrante I). Al cuadrante a la izquierda del cuadrante uno lo llamamos elcuadrante dos (cuadrante II). Debajo del cuadrante dos esta el cuadrante tres (cuadrante III).A la derecha del cuadrante III esta el cuadrante cuatro (cuadrante IV). Puedes verificar que paratodos los puntos del cuadrante I ambas coordenadas son positivas; para los puntos del cuadrante II,la coordenada x es negativa y la y es positiva. En el cuadrante III ambas coordenadas son negativasy en el cuadrante IV la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa. El siguiente dibujoresume esas observaciones.

Figura 1.4: Cuadrantes Plano Cartesiano


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1.1.2. Graficas de ecuaciones

Una solucion a una ecuacion en las variables x e y es una pareja de un valor a para x y un valorb para y, que al sustituir a x y a y en la ecuacion, producen un enunciado cierto. A esa pareja devalores la podemos representar con un par ordenado (a, b).

Por ejemplo, la ecuacion 3x + 5y = 30 tiene entre sus soluciones a (5, 3) pues si x = 5 y y = 3,la ecuacion se convierte en 3 · 5 + 5 · 3 = 30 , lo cual es un enunciado cierto. Tambien (10, 0) es unasolucion, e infinidad de otros pares ordenados son solucion a la ecuacion. Como un par ordenadopuede representarse con un punto, la coleccion de todas las soluciones de una ecuacion puede serrepresentada con un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. A tal coleccionde puntos la llamamos la grafica de la ecuacion.

Ejemplo 1.1.1. Para hacer la grafica de la ecuacion y = 2x + 1 comenzaremos determinando unconjunto de pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuacion, lo cual es facil para esta si asignamosvalores a x y determinamos el correspondiente valor de y como en la siguiente tabla:

xxx yyy-2 -3-1 -10 11 32 53 7

A la derecha de la tabla hemos representado con un punto a cada pareja (x, y) dada por cadafila en la tabla. Notese que todos los puntos se encuentran en una lınea recta que dibujamos contrazo punteado en rojo. Si determinaramos mas soluciones a la ecuacion y las representaramos enel sistema de coordenadas a la derecha, encontraremos que todas ellas se encuentran en la rectadibujada. Por otra parte, podremos verificar que las coordenadas (x, y) de cada punto en la rectasatisfacen la ecuacion y = 2x+ 1. Esto sugiere que la recta dibujada contiene exactamente todos lospuntos que corresponden a una solucion de la ecuacion. Entonces concluimos que la grafica de laecuacion es la lınea recta que sugerimos con el trazo punteado.

1.2. ¿Que es una funcion?

Exploremos la idea de funcion y despues se da su definicion matematica.

1.2.1. Funciones en nuestro entorno

En casi todo fenomeno fısico se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estaturadepende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar por correo un paquetedepende de su peso. Se usa el termino funcion para describir esta dependencia de una cantidad sobreotra. Es decir, se expresa lo siguiente:


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La altura es una funcion de la edad.

La temperatura es una funcion de la fecha.

El costo de enviar por correo un paquete es una funcion del peso.

Es una regla simple el determinar el costo de enviar un paquete con base en su peso. Pero no esfacil describir la regla que relaciona el peso con la edad o la temperatura con la fecha.

He aquı algunos ejemplos de otras funciones:

El area de un cırculo es una funcion de su radio

El numero de bacterias en un cultivo es una funcion del tiempo

El peso de un astronauta es una funcion de su elevacion

El precio de un artıculo es una funcion de la demanda de ese artıculo

1.2.2. Definicion de funcion

Una funcion es una regla. Para hablar acerca de una funcion, se requiere asignarle un nombre. Seemplearan letras como f , g, h, . . . para representar funciones. Por ejemplo, se puede usar la letra fpara representar una regla como sigue:

“f” es la regla “cuadrado del numero”

Cuando se escribe f(2), se entiende “aplicar la regla f al numero 2”. Al aplicar la regla se obtienef(2) = 22 = 4. De manera similar, f(3) = 32 = 9, f(4) = 42 = 16, y en general f(x) = x2.

Definicion 1.2.1 (Funcion). Una funcion f es una regla que asigna a cada elementox en un conjunto A (dominio) exactamente uno y solo un elemento, llamado f(x), en unconjunto B (codominio)

Por lo general, se consideran funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos denumeros reales.

Observacion 1.2.1. .

El sımbolo f(x) se lee “f de x” y se llama el valor de fff en xxx, o la imagen de xxx bajo fff

El conjunto A se llama dominio de la funcion

El conjunto B se llama codominio de la funcion

El rango (o recorrido)(o imagen) de f es el conjunto de los valores posibles de f(x) cuandox varıa a traves del dominio, es decir,

rango de f = Im(f) = Rec(f) = R(f) = {f(x)/x ∈ A}


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El recorrido de f se define como el subconjunto de B formado por todas las imagenes de losnumeros de A

El sımbolo que representa un numero arbitrario en el dominio de una funcion f se llamavariable independiente

El sımbolo que representa un numero en el rango de f se llama variable dependiente

Si f es funcion de A en B se denota tambien como f : A −→ B, donde A es el dominio y B elcodominio

Observacion 1.2.2. Ası, si se escribe y = f(x), entonces x es la variable independiente e y es lavariable dependiente.

Una forma de ilustrar una funcion es mediante un diagrama de flechas (o diagrama sagital)como se muestra en la figura. Cada flecha conecta un elemento de A con un elemento de B. La flechaindica que f(x) se relaciona con x, por ejemplo en la figura vemos que f(1) = 2, f(2) = 4 y f(3) = 8

Figura 1.5: Diagrama sagital

1.2.3. Evaluacion de una funcion

En la definicion de una funcion la variable independiente x desempena el papel de “marcador deposicion”. Por ejemplo, la funcion f(x) = 3x2 + x− 5 se puede considerar como

f( ) = 3 · 2 + −5

Ejemplo 1.2.1 (Evaluacion de una funcion). Sea f(x) = 3x2 + x − 5. Evalue cada valor de lafuncion.

a) f(−2) b) f(0) c) f(4) d) f(1

2)

Respuesta: Para evaluar f en un numero, se sustituye x por el numero en la definicion de f .

a) f(−2) = 3 · (−2)2 + (−2)− 5 = 5

b) f(0) = 3 · 02 + 0− 5 = −5

c) f(4) = 3 · 42 + 4− 5 = 47

d) f(1

2) = 3 · (1

2)2 +

1

2− 5 = 5


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1.2.4. Dominio y recorrido de una funcion

El dominio de una funcion puede describirse explıcitamente, o bien implıcitamente mediante laecuacion empleada para definir la funcion. El dominio implıcito es el conjunto de todos los numerosreales para los que esta definida la ecuacion, mientras que un dominio definido explıcitamente es elque se da junto con la funcion. Por ejemplo, la funcion dada por

f(x) =1

x2 − 4, 4 ≤ x ≤ 5

tiene un dominio definido explıcitamente como {x : 4 ≤ x ≤ 5}. Por otra parte, la funcion

g(x) =1

x2 − 4

tiene el dominio implıcito {x : x 6= ±2}.

Ejemplo 1.2.2 (Calculo del dominio y recorrido). El dominio de la funcion

f(x) =√x− 1

es el conjunto de los valores de x tales que x− 1 ≥ 0, es decir {x : x ≥ 1}.

Para hallar el recorrido, observemos que f(x) =√x− 1 nunca es negativo. Ası, el recorrido es

{y : y ≥ 0}

Ejemplo 1.2.3 (Funcion por partes). Determinar el dominio y el recorrido de la funcion{1− x, x < 1√x− 1, x ≥ 1

Respuesta: Dado que f esta definida para x < 1 o x ≥ 1, su dominio es toda la recta real. En laparte del dominio donde x ≥ 1, la funcion se comporta como en el ejemplo anterior. Para x < 1,todos los valores de 1− x son poaitivos. Por consiguiente, el recorrido de la funcion es {y : y ≥ 0}


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1.2.5. Grafica de una funcion

La grafica de una funcion esta formada por todos los puntos (x, f(x)), donde x pertenece aldominio de f . En la figura, puede observarse que

x = distancia dirigida desde el eje Y

f(x) = distancia dirigida desde el eje X

Una recta vertical puede cortar la grafica de una funcion de x a lo sumo una vez. Esta observacionproporciona un criterio visual adecuado (denominado criterio de la recta vertical) para funcionesde x.Por ejemplo, veamos que la primera grafica no define y como funcion de x, ya que hay una rectavertical que corta a la grafica dos veces, mientras que en las siguientes 2 graficas, estas sı definen ycomo funcion de x.

Figura 1.6: Criterio recta vertical


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1.3. Funcion lineal

Las funciones lineales son todas aquellas que estan determinadas por una ecuacion de primer gradode la forma:

y = f(x) = mx con m constante

Se conoce a m como constante de de proporcionalidad debido a que la funcion lineal relaciona a xy a y de manera proporcional, pero principalmente desde el punto de vista de funciones llamaremosa m pendiente, pues al ver representada graficamente la funcion lineal, m sera la que determine lainclinacion de la grafica.


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Ejemplo 1.3.1. Grafiquemos la funcion y = x donde m = 1; para hacerlo debemos dar valores ax, para obtener valores para y, luego ubicaremos estos puntos en el plano cartesiano y los uniremos:

Ejemplo 1.3.2. Grafiquemos la funcion y = 2x donde m = 2; para hacerlo debemos dar valores ax, para obtener valores para y, luego ubicaremos estos puntos en el plano cartesiano y los uniremos:


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Ejemplo 1.3.3. Grafiquemos la funcion y = −12x donde m = −1

2; de la misma manera anterior le

daremos valores a x, para obtener valores para y:

Como puedes darte cuenta en las diferencias entre los graficos anteriores, lo unico que cambia esla pendiente m, lo que significa que esta determina por completo la forma del grafico. Por lo tantonos lleva a concluir:

Si m es positivo (m > 0) entonces el grafico de la funcion pasara entre el 3er y el 1er cuadrante,es decir, sera un funcion creciente.

Si m es negativo (m < 0) entonces el grafico de la funcion pasara entre el 2do y el 4to cuadrante,es decir, sera una funcion decreciente.

Si m1 es mayor que m2 (m1 > m2) entonces el grafico de la funcion y = m1x sera “masinclinado” que el grafico de la funcion y = m2x, en este caso se dice que la primera funciontiene una mayor pendiente.

1.4. Funcion Afın y la Recta

1.4.1. Funcion Afın

Definicion 1.4.1. Una funcion afın es aquella que esta determinada por una ecuacionde primer grado de la forma:

y = f(x) = mx+ n con m y n constantes

La ecuacion de una funcion afın es conocida como ecuacion de la recta, precisamente porque lasgraficas de todas las funciones de esta forma son precisamente lıneas rectas.

Observacion 1.4.1. Las funciones lineales son un caso particular de las funciones afines, puessi en una funcion afın de la forma y = f(x) = mx + n se tiene que n = 0, tendremos entonces laecuacion de una funcion lineal.


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Ejemplo 1.4.1. Grafiquemos la funcion y = x + 1; debemos dar valores a x, para calcular losvalores de y para poder graficar.

Notemos que la inclinacion es la misma que la de la funcion y = x, pues tiene la misma pendiente.

1.4.2. La Recta

Una Recta es la representacion grafica de una funcion afın. Si un punto del plano XY pertenecea la recta, diremos entonces que ese punto satisface la ecuacion de la recta. Existen basicamente dosformas de presentar la ecuacion de la recta:Forma General:

ax+ by + c = 0

Forma Principal:

y = mx+ n

La diferencia principal que existe con la ecuacion de una funcion lineal (y = f(x) = mx) es queaparece el coeficiente n, conocido como coeficiente de posicion o simplemente intercepto, sunombre es debido a que nos indica la posicion de la recta en el plano a traves del lugar que cortael eje de las ordenadas, mientras que la pendiente m nos dice la inclinacion de la recta. Ası,por ejemplo en la ecuacion y = x + 5 podemos deducir que estara inclinada en 45°, pues m = 1, ycortara el eje Y en el punto (0, 5).


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1.4.3. Relacion entre rectas

1. Rectas paralelas

Dos rectas se dicen paralelas si ambas tienenigual pendiente, pero distinto coeficiente deposicion, es decir; sean L1 : y = m1x + n1 yL2 : y = m2x+ n2, entonces L1//L2 si y solosi m1 = m2 y n1 6= n2.

2. Rectas coincidentes

Dos rectas se dicen coincidentes si ambastienen igual pendiente e igual coeficiente deposicion, es decir; sean L1 : y = m1x + n1 yL2 : y = m2x+n2, entonces L1 es coincidentecon L2 si y solo si m1 = m2 y n1 = n2.

3. Rectas Perpendiculares

Dos rectas se dicen perpendiculares si el pro-ducto entre las pendientes de ambas es iguala -1, es decir; sean L1 : y = m1x + n1 yL2 : y = m2x+ n2, entonces L1⊥L2 si y solosi m1 ·m2 = −1.

4. Rectas Secantes

Dos rectas son secantes si entre ellas no sonparalelas, perpendiculares ni coincidentes,solo se cruzan.


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1.4.4. Ecuacion de la Recta dados 2 puntos de ella

Para determinar la ecuacion de una recta basta conocer dos puntos que pertenezcan a ella. Supon-gamos que conocemos 2 puntos (x1, y1) y (x2, y2) que pertenecen a la recta L : y = mx+ n, entoncesambos puntos, por el hecho de pertenecer a la recta, deben satisfacer su ecuacion, ası tenemos:

mx1 + n = y1mx2 + n = y2

Hemos formado un sistema de ecuaciones, ocupando el metodo de reduccion, podemos restarambas ecuaciones:

mx1 + n = y1− mx2 + n = y2

mx1 −mx2 + 0 = y1 − y2⇒ m(x1 − x2) = y1 − y2

Y al dividir por (x1 − x2), se tiene la formula para encontrar la pendiente de una recta:

m =y1 − y2x1 − x2

m =y1 − y2x1 − x2

m =y1 − y2x1 − x2

Luego, para encontrar el intercepto reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales delsistema y de esta manera determinamos la ecuacion de una recta.

Ejemplo 1.4.2. Determinemos la ecuacion de la recta que pasa por los puntos A = (2, 3) yB = (3, 4):

Respuesta:

m =y1 − y2x1 − x2

=4− 3

3− 2

=1

1= 1

Luego, sabemos que:

y1 = mx1 + n

3 = 1 · 2 + n

3− 2 = n

n = 1(intercepto)

Por lo tanto tenemos que la ecuacion de la recta buscada es:

y = x+ 1


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En general, la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos podemos escribirla como:

y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1)y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1)y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1)

Observacion 1.4.2. Note que no para cualquier par de puntos es posible determinar la ecuacionde la recta con esta formula. Por ejemplo, si quisieramos encontrar la ecuacion de la recta que pasa

por los puntos (2,−1) y (2, 3) tendrıamos que la pendiente es−1− 3

2− 2=−4

0(@), decimos que la

pendiente no existe o que tiene “pendiente infinita”. En esta situacion el problema es que las primerascomponentes de los puntos son iguales (y las de todos los demas puntos de la recta). Luego, la recta esuna recta vertical la que por convencion se escribirıa como: x = 2. En general, las recta verticalestienen la forma x = k, k ∈ R

1.4.5. Ecuacion de la Recta dado un punto de ella y su pendiente

Sabemos que m =y1 − y2x1 − x2

m =y1 − y2x1 − x2

m =y1 − y2x1 − x2

es la pendiente de la recta determinada por dos puntos A(x1, y1) y

B(x2, y2) del plano. Este valor mas la eleccion de algunos de los puntos A o B nos permiten tambienencontrar la ecuacion de la recta, utilizando la ecuacion punto-pendiente:

y − y1 = m(x− x1)y − y1 = m(x− x1)y − y1 = m(x− x1)

donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un punto de ella.


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Ejemplo 1.4.3. Calculemos la ecuacion de la recta que tiene pendiente 4 y que pasa por el puntoA(3, 4).

Respuesta: Tenemos entonces que m = 4 y A(x1, y1) = (3, 4), reemplazando:

y − y1 = m(x− x1)y − 4 = 4(x− 3)

y − 4 = 4x− 12

Por lo tanto L : y = 4x− 8

1.4.6. Ecuacion de los segmentos

Le diremos “ecuacion de los segmentos” a la ecuacion de una recta en la que utilizamos los puntosdonde ella intersecta a los ejes coordenados X e Y. El nombre deriva debido a que dichos puntosdeterminan un segmento en cada uno de los ejes X e Y. Para entender mejor esto, determinemos laecuacion de la recta que pasa por los puntos A (p, 0)︸︷︷︸

(x1,y1)

(punto que “vive” en el eje X) y B (0, q)︸︷︷︸(x2,y2)

(punto

que “vive” en el eje Y). Utilizando la ecuacion que pasa por dos puntos tenemos que:

y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1)

y − 0 =q − 0

0− p(x− p)

y =q(x− p)−p

y

q=−xp

+p

p

Despejando y simplificando tenemos entonces:

x

p+y

q= 1

x

p+y

q= 1

x

p+y

q= 1 Ecuacion de los segmentos


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Ejemplo 1.4.4. Calculemos la ecuacion de los segmentos de una recta que intersecta a los ejescoordenados en (5, 0) y (0,−2).

Respuesta: Note que el punto (5, 0) pertenece al eje X por lo que p = 5; del mismo modo (0,−2)pertenece al eje Y entonces q = −2. Luego, reemplazando en la ecuacion de los segmentos tenemosque:

L :x

5+

y

−2= 1

1.4.7. Interseccion Entre Rectas

Con las herramientas que ya disponemos nos sera muy facil encontrar la interseccion entre dosrectas (que claramente es un punto). Como este punto debe pertenecer a ambas rectas debe cumplircon sus respectivas ecuaciones, de manera que si queremos encontrar el punto de interseccion entredos rectas debemos resolver el sistema que forman las ecuaciones de ambas rectas.

Ejemplo 1.4.5. Determinar el par ordenado donde se intersectan las rectas L1 : y = 2x + 3 yL2 : 5y = 6x+ 1.

Respuesta: Debemos resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones, de modo que:

y = 2x+ 3 / · −35y = 6x+ 1

−3y = −6x− 95y = 6x+ 1

Ahora sumamos las nuevas ecuaciones:

−3y = −6x− 9+ 5y = 6x+ 1

2y = 0− 8y = −4


22

Ahora, reemplazamos este valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales:

y = 2x+ 3

(−4) = 2x+ 3

−7 = 2x

=⇒ x = −7

2

Ası, el punto de interseccion entre las rectas es

(−7

2,−4

)Observacion 1.4.3. Podemos encontrar los puntos de interseccion de una recta y = mx + n conlos ejes ordenados haciendo y = 0 si queremos la interseccion con el eje X;y x = 0 si queremos lainterseccion con el eje Y


Contenidos Unidad 3 Funcion Funcion Lineal y Funcion Afin

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