Correccin de Anlisis Granulomtricos y Qumicos porMultiplicadores de LagrangeKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio1Universidad Nacional de IngenieraFacultad de Ingeniera Geolgica, Minera y MetalrgicaAv. Tpac Amaru 210 Rmac - Apartado 1301Lima - Per19 de mayo de 20041e-mail: jakobashicawa@terra.com.pendice generalResumen 61. Introduccin 82. Pasos para corregir por Multiplicadores de Lagrange 103. Correccin de Anlisis Granulomtricos en un Nodo - Mtodo General 123.1. Balance de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.1. Notacin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Ecuaciones de Balance de Masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3. Mtodo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Mtodo Lagrangiano usando Factores de Ponderacin . . . . . . . . . . . 273.4.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. Aplicaciones 324.1. Correccin de Anlisis Granulomtricos en un Hidrocicln - Multiplica-dores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.1. Correccin usando los Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . 364.2. Correccin de Anlisis Granulomtricos en un Hidrocicln - Multiplica-dores de Lagrange con Factores de Ponderacin . . . . . . . . . . . . . . 434.2.1. Correccin usando los Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . 464.3. Correccin de Anlisis Granulomtricos en un Hidrocicln - Funcin J(R) 514.3.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2. Aplicacin del Mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.3. Correccin usando los Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . 584.4. CorreccindeAnlisisGranulomtricosenunCircuitoInversodeMo-lienda Clasicacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5. CorreccindeAnlisisGranulomtricosenunCircuitoInversodeMo-lienda Clasicacin tomando Dos Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5.2. Aplicacin del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6. CorreccindeAnlisis Qumicos enunCircuitodeFlotacinPlomo-Cobre-Zinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6.1. Desarrollo del Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 24.6.2. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985. Correccin de Anlisis Qumico en un Nodo - Mtodo General 1006. Aplicaciones 101Bibliografa 102ndice de guras3.1. Esquema del Sistema a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Variacindelosfactoresdeponderacinconrespectoalasfraccionesgranulomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1. Esquema del Hidrocicln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Variacin de la FuncinJ(R) vs. R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasicacin . . . . . . . . . 634.4. Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasicacin (Dos Nodos) . . 734.5. Diagrama de Flujo del Circuito de Flotacin Pb-Cu-Zn . . . . . . . . . 913ndice de cuadros3.1. Anlisis Granulomtricos a Corregir (Forma Simbolica) . . . . . . . . . . 134.1. Hidrocicln: Anlisis Granulomtricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . 354.2. Hidrocicln: Errores para cada intervalo de tamaos . . . . . . . . . . . 354.3. Hidrocicln: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos 354.4. Hidrocicln: Correcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5. Hidrocicln: Anlisis Granulomtricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 374.6. Anlisis Granulomtricos - Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . . 374.7. Hidrocicln: Erroresparacadaintervalodetamaos-FraccionesAcu-muladas Pasantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.8. Hidrocicln: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos- Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.9. Hidrocicln: Correcciones - Fracciones Acumuladas Pasantes. . . . . . . 394.10. Hidrocicln: Anlisis Granulomtricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 394.11. Anlisis Granulomtricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 394.12. Hidrocicln: Factores de Ponderacin para cada intervalo de tamaos. . 454.13. Hidrocicln: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos- usando Factores de Ponderacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.14. Hidrocicln: Correcciones usando Factores de Ponderacin . . . . . . . . 454.15. Hidrocicln: Anlisis Granulomtricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 454.16. Hidrocicln: Factores de Ponderacin para cada intervalo de tamaos -Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.17. Hidrocicln: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos- usando Factores de Ponderacin - Porcentajes Acumulados Pasantes . 474.18. Hidrocicln:CorreccionesusandoFactoresdePonderacin-FraccionesAcumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.19. Hidrocicln: Anlisis Granulomtricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 564.20. Anlisis Granulomtricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 564.21. Hidrocicln: FuncinJ(R), Valores deSu. . . . . . . . . . . . . . . . . 564.22. Hidrocicln: FuncinJ(R), Anlisis Granulomtricos Corregidos . . . . . 604.23. Hidrocicln: FuncinJ(R), Valores deSu. . . . . . . . . . . . . . . . . 604.24. Hidrocicln: FuncinJ(R), Anlisis Granulomtricos Corregidos . . . . . 604.25. Circuito Inverso Molienda Clasicacin: Anlisis Granulomtricos a Corre-gir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.26. Circuito Inverso Molienda Clasicacin: Anlisis Granulomtricos a Corre-gir (Porcentajes Acumulados Pasantes). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 54.27. CircuitoInversoMoliendaClasicacin:Erroresparacadaintervalodetamaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.28. Hidrocicln: Factores de Ponderacin para cada intervalo de tamaos. . 664.29. Circuito Inverso Molienda Clasicacin: Multiplicadores de Lagrange pa-ra cada intervalo de tamaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.30. Circuito Inverso Molienda Clasicacin: Correcciones . . . . . . . . . . . 684.31. Circuito Inverso Molienda Clasicacin: Anlisis Granulomtricos Corre-gidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.32. Anlisis Granulomtricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 694.33. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Anlisis Granulo-mtricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.34. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Anlisis Granulo-mtricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.35. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Errores para cadaintervalo de tamaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.36. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Factores de Ponde-racin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.37. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Multiplicadores deLagrange para cada intervalo de tamaos . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.38. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Correcciones . . . 854.39. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Anlisis Granulo-mtricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.40. Circuito Inverso Molienda Clasicacin (Dos Nodos): Anlisis Granulo-mtricos Corregidos - Porcentaje en Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87ResumenEn el presente trabajo se elabor una serie de pasos para poder establecer en formageneral lacorreccindeAnlisisGranulomtricosy/oQumicos, enformaparticularse desarroll el mtodo general para corregir los Anlisis Granulomtricos y Qumicos(Mallas Valoradas) en un nodo.El mejor mtodo para corregir los Anlisis Granulomtricos se obtuvo usando datosdeunHidrocicln, lasrazonesparaempleardichosdatosfueronbsicamenteporsusimplicidad (un nodo con una entrada y dos salidas), aparte que es un equipo comun-menteusadoenlaindustriadel procesamientodeminerales. Losmtodosaplicadosfueron los Multiplicadores de Lagrange sin y con el uso de Factores de Ponderacin, ynalmente se hace la comparacin con el mtodo de la funcin J(R). Estos tres mtodosse corrigieron usando las Fracciones en Peso y las Fracciones Acumuladas Pasantes.En la correccin de los Anlisis Granulomtricos para el Hidrocicln se observa:Los Anlisis Granulomtricos Corregidos por los mtodos empleados son semejan-tes.Se obtiene un menor error al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes; peroal convertir dichos anlisis a Porcentajes en peso, se observa un ligero incrementoen el error, mayor incluso a las correcciones efecutadas a los Porcentajes en Peso.En el caso de la Correccin por Multiplicadores de Lagrange sin Factores de Pon-deracinylaCorreccinusandolaFuncinJ(R)sepuedenobtenerfraccionesnegativas, esto se presenta bsicamente cuando los Porcentajes en Peso son cero(incluso valores pequeos) los Porcentajes Acumulados Pasantes son 100 %.ElproblemaanteriorquedaresueltoalusarFactoresdePonderacinparacadaintervalo de tamaos, estos Factores tienen la forma:W=1f2 (1 f)2Es decir, los Factores de Ponderacin son siempre positivos y tienden al innitocuando las fracciones tienden a ser cero o uno (100 %) y como esta formulado, a unmayor valor de los Factores de Ponderacin, menor ser el valor de la correccin.Lo anterior ocasiona un error al corregir los Porcentajes en Peso, el cual consisteen que la suma de las Fracciones en Peso es diferente de 1 (100 %), esto se resuelvecorrigiendo los Porcentajes Acumulados Pasantes.6KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 7ElmtodoparalacorreccindeAnlisisGranulomtricosrecomenda-doescorregirlosPorcentajesAcumuladosusandoMultiplicadoresdeLagrange con Factores de Ponderacin.El otro caso aplicado fue el de un Circuito Inverso de Molienda Clasicacin, estopuede representarse en una forma simple como un nodo con dos Entradas y Dos salidas,o desarrollarse en forma detallada usando dos nodos. En esta ltima forma, el algorit-mo se complica pero se obtiene una mayor coherencia con el sistema en la realidad (Seasume que en el molino no existe acumulacin de partculas).Para una mejor comprensin de la forma de corregir se presentan los cdigos de losprogramas en Matlab (R13, versin 6.5). Si se estudia con detenimiento se ver que lospasos para las correcciones son similares, variando nicamente en las ecuaciones usadaspara cada sistema y/o mtodo.Captulo 1IntroduccinEnelprocesamientodemineralesseefectanmuestreoscondiversosnes(deter-minar parmetros de la operacin, eciencia de equipos, deteccin y anlisis de erroresen los procesos, etc.). Existen equipos (Clasicadores, Hidroclasicadores, celdas de o-tacin, mesas gravimtricas, etc.) que pueden tomarse como un nodo en el cual puedehaber varias alimentaciones y salidas.Al obtener los Anlisis Granulomtricos en un nodo determinado, el problema conque uno se encuentra inicialmente es:Los Anlisis Granulomtricos del sistema tienen que ser matemticamente consis-tentes.Qu signica esto?Simplemente que todo lo que entra tiene que ser igual a lo que sale:Exponiendo un caso simple:En un proceso X se sabe que:AR = BR +CRO que: 3 = 1 + 2 (asumiendo esto como real).Pero debido a errores de muestreo, anlisis, o cualquier operacin en la cual se ma-nipule las muestras, nos puede dar valores como: 3,1 = 0,9 + 2,3Lo cual no es correcto o Matemticamente Inconsistente.Es decir tenemos un error de:A(B +C) = M3,1 (0,9 + 2,3) = 0,1Ahora el objetivo es hacer queMsea cero, con lo cual sera Matemticamenteconsistente. Se establecen valores corregidos como:8KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 9A[B +C] = 0(AA) [(B B) + (C C)] = 0Donde:A,B,C : son los valores muestreadosA,B,C : son los valores corregidosA, B, C : son las correcciones.Se puede cumplir dicho objetivo de varias formas. Una de las formas ms simples(pero con una mayor distorsin con respecto a los datos originales) es que las correccio-nes sean iguales:A = B = C(AA) [(B B) + (C C)] = 0A(B +C) = A(B + C) = MCon la cual se obtiene que:A = B = C = M= 0,1Por lo tanto:A = 3,1 0,1 = 3,0B = 0,9 0,1 = 0,8C = 2,3 0,1 = 2,2Obtenindose:A(B +C) = 3,0 (0,8 + 2,2) = 0Ntese que esto se aleja de lo real3,0 (1,0 + 2,0) = 0Con esto se debe de tener en cuenta que las correcciones no darn los datos exac-tos que realmente ocurren en el proceso X, pero sern matemticamente consistentes yaproximados a los valores reales.Msan, detodoslosmtodosdecorreccinquepodranelaborarse, sedebedeescoger el quemenos sedesvedelos datos muestreados (es decir, las correccionesdeben de ser de valores mnimos posibles). Es por esta razn que se escogi el mtodo demultiplicadores de Lagrange (ver [1], [2] ). Este mtodo es simplemente un optimizadorla cual es usado para minimizar una funcin objetivo bajo ecuaciones restrictivas.Captulo 2Pasos para corregir porMultiplicadores de LagrangeSepresentaacontinuacinunaseriedepasosconlanalidaddecomprenderlacorreccin por Multiplicadores de Lagrange en forma sistemtica.1. Obtener los datos a corregir (Anlisis Granulometricos, Qumicos, etc.)2. Establecer las ecuaciones deBalancedeMasa. (Ecuaciones deFlujo, AnlisisGranulomtricos, Leyes, etc.)3. Normalizar las ecuaciones dividiendo por un ujo A(ej: Alimentacin Fresca aun Circuito).4. Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados (Q)Nota 2.1Los Flujos Normalizados deben de ser Linealmente Independientes.5. Denir una funcinla cual representa la suma de los errores al cuadrado (

Q2) =

Q26. Derivar parcialmente la funcin por cada ujo Normalizado (Linealmente inde-pendientes) e igualar a cero.Nota 2.2EnestepasoseobtendrunaecuacincuyasolucindarlosFlujosNormalizados Corregidos que hacen que la funcin tome un valor mnimo.7. Calcular los errores M debido a los Flujos Normalizados Corregidos. ReemplazarlosFlujosNormalizadoscorregidoshalladosenelpaso6yreemplazarlosenlasecuaciones establecidas en el paso 4.

M2= min() = min

Q28. Denir las correcciones.10KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 11Correcciones = Datos - Datos Corregidos9. Reemplazarlasecuacionesdel paso8enM(Ecuacionesdadasenel paso7)para obtener las ecuaciones de Men funcin de las correcciones.10. Denir la Funcin LagrangianaL(, ) (Funcin Objetivo y Ecuaciones Restric-tivas).L(, ) = f()

[i gi()]La funcin objetivof() ser la suma de los cuadrados de todas las correc-ciones.Las ecuaciones restrictivasg() deben de cumplirg() = 0 y estarn dadaspor las ecuaciones de Mdenidas en 9 : son los Multiplicadores de Lagrange : son las Correcciones.11. Derivar parcialmente la funcin Lagrangiana (L(, )) por los Multiplicadores deLagrange y las Correcciones e igualar a cero.Nota 2.3En este paso se obtendran las correcciones de los Analisis en funcin delosMultiplicadoresdelagrange.Estascorreccionesharnquelafuncinobjetivof() tome un valor mnimo sujeto a las ecuaciones restrictivasg().12. De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallarlos Multiplicadores de Lagrange en funcin de los errores M13. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en elpaso 11 para obtener las correcciones.14. Corregir los Anlisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8)Datos Corregidos = Datos - CorreccionesCaptulo 3Correccin de AnlisisGranulomtricos en un Nodo -Mtodo General3.1. Balance de MasaSe tiene el sistema de la Figura 3.1:En el mtodo propuesto se considera que existe una Entrada Principal, una SalidaPrincipal,m entradassecundariasyn salidassecundarias.Todasestasentradasysalidas estn aplicadas a un nodo y se considera que en dicho nodo no existen procesosde reduccin de tamaos.Cada una de estas entradas y salidas mencionadas tienen una granulometra deter-minada que se puede representar por la siguiente tabla:NODOEntrada PrincipalA ; fAEntradaEm ; fEmEntradaE3 ; fE3EntradaE2 ; fE2EntradaE1 ; fE1Salida PrincipalZ ; fZSalidaSn ; fSnSalidaS3 ; fS3SalidaS2 ; fS2SalidaS1 ; fS1Figura 3.1: Esquema del Sistema a Corregir12KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 13ENTRADA SALIDAu A E1 E2 . . . Em Z S1 S2 . . . Sn1 fA1fE11fE21. . . fEm1fZ1fS11fS21. . . fSn12 fA2fE12fE22. . . fEm2fZ2fS12fS22. . . fSn23 fA3fE13fE23. . . fEm3fZ3fS13fS23. . . fSn3.................................k 1 fAk1fE1k1fE2k1. . . fEmk1fZk1fS1k1fS2k1. . . fSnk1k fAkfE1kfE2k. . . fEmkfZkfS1kfS2k. . . fSnkCuadro 3.1: Anlisis Granulomtricos a Corregir (Forma Simbolica)3.1.1. Notacin:m : Nmero de Entradas Secundarias.n : Nmero de Salidas Secundarias.u = {1, 2, 3, . . . , k 1, k} : Intervalos de Tamaos.k : Intervalo de tamaos ms no(numricamente igual al nmerode intervalos de tamao).A : Entrada Principal.Z : Salida Principal.E1,E2,. . . ,Em : Entradas SecundariasS1,S2,. . . ,Sn : Salidas SecundariasfXu: Denota la Fraccin ( Porcentaje) del AnlisisGranulomtrico de Xen el intervalo detamaos u.3.2. Ecuaciones de Balance de MasaPaso 1Obtener los datos a corregir (Anlisis Granulometricos, Qumicos, etc.)Para este caso en particular, los datos sern los Anlisis Granulomtricos de Entrada ySalida del Nodo:fAu: Anlisis Granulomtrico correspondiente a la Entrada Principal.fEiu: Anlisis Granulomtricos correspondientes a las Entradas Secundarias.fZu: Anlisis Granulomtrico correspondiente a la Salida Principal.fSju: Anlisis Granulomtricos correspondientes a las Salidas Secundarias.Nota 3.1En el mtodo presentado no se requiere saber los ujos de Entrada y Salidadel Nodo.Paso 2Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, AnlisisGranulomtricos).Se presentan las ecuaciones ideales (error=0) y/o corregidas.KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 14Caudales Corregidos(Flujos):A+m

i=1Ei = Z +n

j=1Sj (3.1)Para un Intervalo de Tamaos u(donde:u = {1, 2, 3, . . . , k 1, k}).fAu A+m

i=1fEiu Ei = fZu Z +n

j=1fSju Sj (3.2)Paso 3Normalizar las ecuaciones dividiendo por un ujo A.Denimos a los ujos reducidos como la relacion de los ujos de Entradas y Salidascon respecto al ujo de la Entrada Principal A:EiA= i , i = {1, 2, 3, . . . , m}ZA= ZSjA= j , j = {1, 2, 3, . . . , n}Con lo cual se tiene en las ecuaciones de balance de masa:1 +m

i=1i = Z +n

j=1j (3.3)fAu +m

i=1fEiu i = fZu Z +n

j=1fSju j (3.4)Paso 4Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados (Q)Para los datos reales se obtendrn los siguientes errores:El error por los caudales normalizados ( y) que se tiene en el anlisis granulo-mtrico por cada malla se toma como:Q1, Q2, Q3, . . . , Qk1, QkSiendo para un Intervalo de Tamaos u:Qu = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j (3.5)Nota 3.2Los Flujos Normalizados deben de ser Linealmente Independientes.KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 15Lasiguienteecuacinmuestraladependencialineal deZconrespectoalosujosnormalizadosi yjZ = 1 +m

i=1i n

j=1j (3.6)Reemplzandolo en la Ecuacin 3.5 obtenemos:Qu = fAu +m

i=1fEiu i fZu (1 +m

i=1i n

j=1j) n

j=1fSju j (3.7)Reordenando obtenemos:Qu = (fAufZu) +m

i=1[(fEiufZu) i] n

j=1[(fSjufZu) j] (3.8)Paso 5Denirunafuncinlacual representalasumadeloserroresal cuadrado(

Q2)Paracorregirlosanlisisgranulomtricosconunavariacinmnima,tenemosquetomar derivadas parciales de la sumatoria de los cuadrados de los errores (

Q2) (lasumatoria es debido a cada intervalo de tamaos) con respecto a los caudales reducidos( y) e igualarlas a cero.Es decir: =k

u=1_Q2u =k

u=1____(fAufZu) +m

i=1[(fEiufZu) i] n

j=1[(fSjufZu) j]__2__Paso 6DerivarparcialmentelafuncinporcadaujoNormalizado(Linealmenteindependientes) e igualar a cero.i=i_k

u=1_Q2u_ = 0 , i = [1, 2, 3, . . . , m]j=j_k

u=1_Q2u_ = 0 , j = [1, 2, 3, . . . , n]Conlocualtendremosm ecuacionesconrespectoayn ecuacionesconres-pecto a , esto con el n de hallar los caudales corregidos: 1, 2, . . ., m, 1, 2, . . ., nPor ejemplo, para1: =k

u=1

(fAu fZu) + [(fE1u fZu) 1] +m

i=2[(fEiu fZu) i] n

j=1[(fSju fZu) j]

2

KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 16Hacemos el siguiente cambio de variables:u = (fE1ufZu)u = (fAufZu) +m

i=2[(fEiufZu) i] n

j=1[(fSjufZu) j]Tenemos: =k

u=1_(u 1 +u)2_Derivamos parcialmenterespectoai, j eigualamos acero(al hacer esto, seobtendrn los valores de y que darn el valor mnimo de.11=1=k

u=1_2_u 1 +u_u = 02k

u=1_2u 1 +u u = 01k

u=12u +k

u=1(u u) = 0Entonces:0 = 1

(fE1u fZu)2+

(fE1u fZu)

(fAu fZu) +m

i=2

(fEiu fZu) i

n

j=1

(fSju fZu) j

Desarrollndolo obtenemos:

[(fE1ufZu) (fAufZu)] +1

_(fE1ufZu)2_+2

[(fE1ufZu) (fE2ufZu)] +. . .. . . +m

[(fE1ufZu) (fEmufZu)] +1

[(fE1ufZu) (fS1ufZu)] +2

[(fE1ufZu) (fS2ufZu)] +. . .. . . +n

[(fE1ufZu) (fSnufZu)] = 0KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 17Anlogamente para2

[(fE2ufZu) (fAufZu)] +1

[(fE2ufZu) (fE1ufZu)] +2

_(fE2ufZu)2_+. . . +m

[(fE2ufZu) (fEmufZu)] +1

[(fE2ufZu) (fS1ufZu)] +2

[(fE2ufZu) (fS2ufZu)] +. . .. . . +n

[(fE2ufZu) (fSnufZu)] = 0Paran

[(fSnufZu) (fAufZu)] +1

[(fSnufZu) (fE1ufZu)] +2

[(fSnufZu) (fE2ufZu)] +. . .. . . +m

[(fSnufZu) (fEmufZu)] +1

[(fSnufZu) (fS1ufZu)] +2

[(fSnufZu) (fS2ufZu)] +. . .. . . +n

_(fSnufZu)2_= 0De las relaciones anteriores se obtendr la siguiente ecuacin lineal:A X = B (3.9)Obsrvese que la matrizA es simtrica de orden ((m+n), (m+n))A=

(fE1 fZ)2

[(fE2 fZ) (fE1 fZ)] . . .

[(fEmfZ) (fE1 fZ)]

[(fS1 fZ) (fE1 fZ)]

[(fS2 fZ) (fE1 fZ)] . . .

[(fSn fZ) (fE1 fZ)]

[(fE1 fZ) (fE2 fZ)]

(fE2 fZ)2

. . .

[(fEmfZ) (fE2 fZ)]

[(fS1 fZ) (fE2 fZ)]

[(fS2 fZ) (fE2 fZ)] . . .

[(fSn fZ) (fE2 fZ)]........................

[(fE1 fZ) (fEmfZ)]

[(fE2 fZ) (fEmfZ)] . . .

(fEmfZ)2

[(fS1 fZ) (fEmfZ)]

[(fS2 fZ) (fEmfZ)] . . .

[(fSn fZ) (fEmfZ)]

[(fE1 fZ) (fS1 fZ)]

[(fE2 fZ) (fS1 fZ)] . . .

[(fEmfZ) (fS1 fZ)]

(fS1 fZ)2

[(fS2 fZ) (fS1 fZ)] . . .

[(fSn fZ) (fS1 fZ)]

[(fE1 fZ) (fS2 fZ)]

[(fE2 fZ) (fS2 fZ)] . . .

[(fEmfZ) (fS2 fZ)]

[(fS1 fZ) (fS2 fZ)]

(fS2 fZ)2

. . .

[(fSn fZ) (fS2 fZ)]........................

[(fE1 fZ) (fSn fZ)]

[(fE2 fZ) (fSn fZ)] . . .

[(fEmfZ) (fSn fZ)]

[(fS1 fZ) (fSn fZ)]

[(fS2 fZ) (fSn fZ)] . . .

(fSn fZ)2

X(m+n,1) =______________12...m12...n______________, B(m+n,1) =______________

[(fE1 fZ) (fAfZ)]

[(fE2 fZ) (fAfZ)]...

[(fEmfZ) (fAfZ)]

[(fS1 fZ) (fAfZ)]

[(fS2 fZ) (fAfZ)]...

[(fSn fZ) (fAfZ)]______________Nota 3.3Por razones de espacio se obviaron los subndices ucorrespondientes a los Intervalos de Tamao.18KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 19De este sistema de ecuaciones obtenemos los caudales corregidos:1,2,. . .,m,1,2,. . .,nZse halla por la Ecuacin 3.6Paso 7Calcular los errores Mdebido a los Flujos Normalizados Corregidos.El siguiente paso es hallar los errores para cada Intervalo de Tamaos M1, M2,M3, . . . , Mkusandolos caudales normalizados corregidos mediantelasiguienteecuacin:Mu = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j (3.10)Nota 3.4 ku=1_M2u = min_

ku=1_Q2u_Paso 8Denir las correcciones.Correcciones = Datos - Datos CorregidosSean: fAu, fE1u, fE2u, . . . , fEmu, fZu, fS1u, fS2u, . . . , fSnu los valores corre-gidos del anlisis granulomtrico. Denimos las correcciones como:fAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}Paso 9Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en M(Ecuaciones dadas en el paso 7)para obtener las ecuaciones de Men funcin de las correcciones.Si reemplazamos las relaciones anteriores en la Ecuacin 3.10 obtenemos:Mu = (fAu+fAu)+m

i=1(fEiu+fEiu)i(fZu+fZu)Zn

j=1(fSju+fSju)jSimplicando:Mu= [fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j]+[fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j]Pero la ecuacin 3.4 se puede expresar de la siguiente manera:0 = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju jKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 20Por lo tanto el error que se comete por las fracciones de un Intervalo de tamaos es:Mu = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j (3.11)3.3. Mtodo LagrangianoSetratadeoptimizarfuncionesrestringidas. Paranuestrocasoesminimizarunafuncin de error con restricciones de igualdad.El procedimiento se desarrolla formalmente como sigue:L(, ) = f() g()L(, ) : Funcin Lagrangiana : Multiplicadores de Lagrangef() : Funcin a Optimizarg() : Funciones RestrictivasDonde:g() = 0Nota 3.5f()yg()sesuponenfuncionesdosvecesdiferenciablescontnuamente.La idea de utilizar derivadas restringidas es encontrar una expresin de forma cerradaparalasprimerasderivadasparcialesde f()entodoslospuntosquesatisfacenlasrestriccionesg() = 01Las ecuaciones:L= 0 ;L= 0Danlascondicionesnecesariasparadeterminarlospuntosestacionariosde f()sujetos ag() = 0Los puntos estacionarios se identican como los puntos en los que estas derivadasparciales se hacen cero.Paso 10Denir la Funcin LagrangianaL(, ) (Funcin Objetivo y Ecuaciones Res-trictivas).Determinamos una funcin la cual es la sumatoria de los cuadrados de los errorespor Intervalo de Tamaos, la cual debe de ser mnima.fu(u) = Su = fA2u +m

i=1fEi2u + fZ2u +n

j=1fSj2uSe tiene slo una ecuacin restrictiva (Ecuacin 3.11).gu(u) = 0 = Mu__fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j__1Hamdy A. Taha: Investigacin de Operaciones, Sexta Edicin, pgina 753.KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 21u = {fAu, fE1u, fE2u, . . . , fEmu, fZu, fS1u, fS2u, . . . , fSnu}La funcin Lagrangiana ser:Lu(u, u) = fA2u +m

i=1fEi2u + fZ2u +n

j=1fSj2uu__Mu__fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j____Paso 11Derivar parcialmente la funcin Lagrangiana (L(, )) por los Multiplicadoresde Lagrange y las Correcciones e igualar a cero.Hallamos los puntos estacionarios:Lu(u, u)u= 0 = Mu__fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j__(3.12)Lu(u, u)fAu= 0 =(fA2u +u fAu +Au)fAu= 2fAu +ufAu = u 12Lu(u, u)fEiu= 0 =(fEi2u +u fEiu i +Eiu)fEiu= 2fEiu +u ifEiu = ui2; i = {1, 2, ..., m}Lu(u, u)fZu= 0 =(fZ2uu fZu Z +Zu)fZu= 2fZuu ZfZu = +uZ2Lu(u, u)fSju= 0 =(fSj2uu fSju j +Sju)fSju= 2fSjuu jfSju = +uj2; j = {1, 2, ..., n}Nota 3.6ues un factor en el cual no est incluido la variable a Derivar.Paso 12Delasrelacionesdelpasoanteriorobtenerunaecuacionquepermitahallarlos Multiplicadores de Lagrange en funcin de los errores MKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 22Sustituimos fAu, fEiu, fSju, fZu en la ecuacion 3.12.0 = Mu__u 12 +m

i=1_ui2 i_uZ2 Z n

j=1_uj2 j___Por lo tanto, hallaremos los Multiplicadores de Lagrange () para cada intervalo detamao mediante la siguiente ecuacin:u = 2 Mu1 +

mi=1i2+Z2+

nj=1j2(3.13)Paso 13ReemplazarlosMultiplicadoresdeLagrangeenlasrelacionesdeterminadasen el paso 11 para obtener las correcciones.Se hallan las correcciones para cada Intervalo de TamaofAu= u 12fEiu= ui2; i = {1, 2, ..., m}fZu= +uZ2fSju= +uj2; j = {1, 2, ..., n}Paso 14Corregir los Anlisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8)Datos Corregidos = Datos - CorreccionesSe procede a corregir los Anlisis Granulomtricos mediante las siguientes relaciones:fAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}Se halla el error de la correccin.S =k

u=1Su =k

u=1fA2u +k

u=1m

i=1fEi2u +k

u=1fZ2u +k

u=1n

j=1fSj2u(3.14)KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 233.3.1. Algoritmo1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema.fAu: Anlisis Granulomtrico correspondiente a la Entrada Principal.fEiu: Anlisis Granulomtricos correspondientes a las Entradas Secundarias.fZu: Anlisis Granulomtrico correspondiente a la Salida Principal.fSju: Anlisis Granulomtricos correspondientes a las Salidas Secundarias.donde:i = { 1,2, ..., m }j = { 1,2, ..., n }u = { 1,2, ..., k }m : Nmero de Entradas Secundarias.n : Nmero de Salidas Secundarias.k : Nmero de Intervalo de Tamaos.2. Resolver la Ecuacin LinealA X=B(Ecuacin 3.9) para obtener los caudalesnormalizados (i,j).3. HallarZ(Ecuacin 3.6).Z = 1 +m

i=1i n

j=1jNota 3.7Recurdese: : Caudales Reducidos de Entrada al Nodo. : Caudales Reducidos de Salida del Nodo.EiA= i , i = {1, 2, 3, . . . , m}SjA= j , j = {1, 2, 3, . . . , n}ZA= Z4. Hallar los errores para cada Intervalo de Tamaos (Ecuacin 3.10).Mu = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaos (Ecuacin3.13).u = 2 Mu1 +

mi=1i2+Z2+

nj=1j2KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 246. Hallar las Correcciones.fAu= u 12fEiu= ui2; i = {1, 2, ..., m}fZu= +uZ2fSju= +uj2; j = {1, 2, ..., n}7. Corregir los Anlisis Granulomtricos.fAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}8. Hallar el Error de la Correccin (Opcional) (Ecuacin 3.14).S =k

u=1Su =k

u=1fA2u +k

u=1m

i=1fEi2u +k

u=1fZ2u +k

u=1n

j=1fSj2u3.3.2. PropiedadesLaspropiedadesquesepresentanacontinuacinsecumplencuandolosAnalisisGranulomtricos a Corregir son las Fracciones (Porcentajes) en Peso (No Acumulados).Propiedad 1LasumadelasFraccionesenPesodel AnlisisGranulomtricoes1(100 %)k

u=1fXu = 1Propiedad 2La suma de los errores Mes cero.De la ecuacin 3.10 (Para un solo Intervalo de Tamaos).Mu = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju jHacemos la sumatoria de los errores:k

u=1Mu =k

u=1fAu +k

u=1m

i=1fEiu i k

u=1fZu Z k

u=1n

j=1fSju jKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 25Tomando en cuenta la Propiedad 1 (

ku=1fXu= 1) la relacin anterior se puedeexpresar como:k

u=1Mu = 1 +m

i=1i Z n

j=1jPero la Ecuacin 3.3 es:1 +m

i=1i = Z +n

j=1jPor lo tanto:k

u=1Mu = 0Propiedad 3La suma de los Multiplicadores de Lagrange es cero.De la Ecuacin 3.13u = 2 Mu1 +

mi=1i2+Z2+

nj=1j2Donde el denominador es constante, por lo tanto al hacer la sumatoria obtenemos:k

u=1u = 2

ku=1 Mu1 +

mi=1i2+Z2+

nj=1j2Tomando en cuenta la Propiedad 2 (

ku=1 Mu = 0)k

u=1u = 0Propiedad 4La sumatoria de las correcciones es cero.Se tienen las correcciones:fAu= u 12fEiu= ui2; i = {1, 2, ..., m}fZu= +uZ2fSju= +uj2; j = {1, 2, ..., n}Hacemos la sumatoria:KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 26k

u=1fAu= 12 k

u=1uk

u=1fEiu= i2k

u=1u; i = {1, 2, ..., m}k

u=1fZu= +Z2k

u=1uk

u=1fSju= +j2k

u=1u; j = {1, 2, ..., n}Tomando en cuenta la Propiedad 3 (

ku=1u = 0) obtenemos:k

u=1fAu= 0k

u=1fEiu= 0 ; i = {1, 2, ..., m}k

u=1fZu= 0k

u=1fSju= 0 ; j = {1, 2, ..., n}Propiedad 5Lasumade las Fracciones enPesode los Anlisis GranulomtricosCorregidos es 1 (100 %).De las correcciones:fAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}Hacemos la sumatoria:

ku=1fAu= ku=1fAu

ku=1 fAu

ku=1fEiu= ku=1fEiu

ku=1 fEiu; i = {1, 2, ..., m}

ku=1fZu= ku=1fZu

ku=1 fZu

ku=1fSju= ku=1fSju

ku=1 fSju; j = {1, 2, ..., n}Tomando en cuenta las propiedades 1 y 4 obtenemos:

ku=1fAu= 1

ku=1fEiu= 1 ; i = {1, 2, ..., m}

ku=1fZu= 1

ku=1fSju= 1 ; j = {1, 2, ..., n}KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 273.4. Mtodo Lagrangiano usando Factores de PonderacinEn esta seccin introduciremos los factores de ponderacin. Lo que se trata de haceresunaanalogaalosmtodosderegresinconestudiodelosresiduales, loscualespermiten identicar puntos para los cuales el modelo no ajuste bien (deteccin de ajustesindividuales); es decir, deniremos la funcion objetivo fu() de la seccin 3.3 pero conrespecto a los residuales estandarizados (ver [6] pgina 19) los cuales se denen como:zi =residualPi (1 Pi)(3.15)La expresin 3.15 para nuestro caso toma las siguientes formas:fAu =fAufAu (1 fAu); fZu =fZufZu (1 fZu)fEiu =fEiufEiu (1 fEiu); fSju =fSjufSju (1 fSju)Por lo tanto la funcin objetivo a minimizar es:fu() = Su = fA2u +m

i=1fEi2u + fZ2u +n

j=1fSj2uo tambin:fu() =fA2ufA2u (1 fAu)2 +m

i=1fEi2ufEi2u (1 fEiu)2+fZ2ufZ2u (1 fZu)2 +n

j=1fSj2ufSj2u (1 fSju)2La ecuacin anterior puede tomar la siguiente forma:fu() = Su = WAu fA2u +m

i=1WEiu fEi2u +WZu fZ2u +n

j=1WSju fSj2uDonde:WAu =1fA2u (1 fAu)2; WZu =1fZ2u (1 fZu)2WEiu =1fEi2u (1 fEiu)2; WSju =1fSj2u (1 fSju)2La ecuacin Restrictiva es idntica a la ecuacin 3.11.Por lo tanto, la funcin Lagrangiana ser:KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 28Lu(u, u) = WAu fA2u +m

i=1WEiu fEi2u +WZu fZ2u +n

j=1WSju fSj2uu__Mu__fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j____DerivarparcialmentelafuncinLagrangiana(L(, ))porlosMultiplicadoresdeLagrange y las Correcciones e igualar a cero.Hallamos los puntos estacionarios:Lu(u, u)u= 0 = Mu__fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j__(3.16)Lu(u, u)fAu= 0 =(WAu fA2u +u fAu +Au)fAu= 2 WAu fAu +ufAu = u12 WAuLu(u, u)fEiu= 0 =(WEiu fEi2u +u fEiu i +Eiu)fEiu= 2WEiufEiu+uifEiu = ui2 WEiu; i = {1, 2, ..., m}Lu(u, u)fZu= 0 =(WZu fZ2uu fZu Z +Zu)fZu= 2 WZu fZuu ZfZu = +uZ2 WZuLu(u, u)fSju= 0 =(WSju fSj2uu fSju j +Sju)fSju= 2WSjufSjuujfSju = +uj2 WSju; j = {1, 2, ..., n}Nota 3.8ues un factor en el cual no est incluido la variable a Derivar.De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallar losMultiplicadores de Lagrange en funcin de los errores MSustituimos fAu, fEiu, fSju, fZu en la ecuacin 3.16.0 = Mu__u12 WAu+m

i=1_ui22 WEiu_uZ22 WZun

j=1_uj22 WSju___KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 29Por lo tanto, hallaremos los Multiplicadores de Lagrange () para cada intervalo detamao mediante la siguiente ecuacin:u = 2 Mu1WAu+

mi=1i2WEiu+Z2WZu+

nj=1j2WSju(3.17)Se hallan las correcciones para cada Intervalo de TamaofAu= u12 WAu= u 12 fA2u (1 fAu)2fEiu= ui2 WEiu= ui2 fEi2u (1 fEiu)2; i = {1, 2, ..., m}fZu= +uZ2 WZu= +uZ2 fZ2u (1 fZu)2fSju= +uj2 WSju= +uj2 fSj2u (1 fSju)2; j = {1, 2, ..., n}0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1020004000600080001000012000Fraccion Granulometrica (f)Factor de Ponderacion (W)Variacion del factor de ponderacion con la fraccion granulometrica0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.010.020.030.040.050.060.07Fraccion Granulometrica (f)Inverso del Factor de Ponderacion (1/W)Variacion del inverso del factor de ponderacion con la fraccion granulometricaFigura 3.2: Variacin de los factores de ponderacin con respecto a las fracciones gra-nulomtricasNota 3.9Obsrvesequeconlosfactoresdeponderacin, lasfraccionesquesufrirnuna mayor variacin son las cercanas a 0.5 (50 %) y cuando las fracciones son cero ouno (100 %) estas no sern modicadas.Corregir los Anlisis por las siguientes relaciones:KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 30Datos Corregidos = Datos - CorreccionesfAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}Se halla el error de la correccin.S =k

u=1Su =k

u=1fA2u +k

u=1m

i=1fEi2u +k

u=1fZ2u +k

u=1n

j=1fSj2u(3.18)3.4.1. Algoritmo1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema.fAu: Anlisis Granulomtrico correspondiente a la Entrada Principal.fEiu: Anlisis Granulomtricos correspondientes a las Entradas Secundarias.fZu: Anlisis Granulomtrico correspondiente a la Salida Principal.fSju: Anlisis Granulomtricos correspondientes a las Salidas Secundarias.donde:i = { 1,2, ..., m }j = { 1,2, ..., n }u = { 1,2, ..., k }m : Nmero de Entradas Secundarias.n : Nmero de Salidas Secundarias.k : Nmero de Intervalo de Tamaos.2. Resolver la Ecuacin LinealA X=B(Ecuacin 3.9) para obtener los caudalesnormalizados (i,j).3. HallarZ(Ecuacin 3.6).Z = 1 +m

i=1i n

j=1jNota 3.10Recurdese: : Caudales Reducidos de Entrada al Nodo. : Caudales Reducidos de Salida del Nodo.EiA= i , i = {1, 2, 3, . . . , m}SjA= j , j = {1, 2, 3, . . . , n}ZA= ZKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 314. Hallar los errores para cada Intervalo de Tamaos (Ecuacin 3.10).Mu = fAu +m

i=1fEiu i fZu Z n

j=1fSju j5. Hallar los Factores de Ponderacin para cada Intervalo de Tamaos.WAu =1fA2u (1 fAu)2; WZu =1fZ2u (1 fZu)2WEiu =1fEi2u (1 fEiu)2; WSju =1fSj2u (1 fSju)26. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaos (Ecuacin3.17).u = 2 Mu1WAu+

mi=1i2WEiu+Z2WZu+

nj=1j2WSju(3.19)7. Hallar las Correcciones.fAu= u12 WAu= u 12 fA2u (1 fAu)2fEiu= ui2 WEiu= ui2 fEi2u (1 fEiu)2; i = {1, 2, ..., m}fZu= +uZ2 WZu= +uZ2 fZ2u (1 fZu)2fSju= +uj2 WSju= +uj2 fSj2u (1 fSju)2; j = {1, 2, ..., n}8. Corregir los Anlisis Granulomtricos.fAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}9. Hallar el Error de la Correccin (Opcional) (Ecuacin 3.14).S =k

u=1Su =k

u=1fA2u +k

u=1m

i=1fEi2u +k

u=1fZ2u +k

u=1n

j=1fSj2uCaptulo 4AplicacionesNota 4.1Se deber de tomar en cuenta lo siguiente:Slo las tablas de los Anlisis Granulomtricos y Qumicos se presentan en Por-centaje.Todas las operaciones se harn con respecto a las Fracciones (No Porcentajes).4.1. CorreccindeAnlisisGranulomtricosenunHidro-cicln - Multiplicadores de Lagrange1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del SistemaEn un hidrocicln tenemos una Entrada (m = 0) (Alimento) y dos Salidas (n = 1)(Overow y Underow). El esquema adoptado es el siguiente:Alimento fA : Entrada Principal al NodoOverow fZ : Salida Principal del NodoUnderow fS1 : Salida Secundaria del NodoSe muestra a continuacin los Porcentajes en Peso del Anlisis Granulomtrico deun Hidrocicln1(ver tabla 4.1 en la pgina 35)Observamos que se tiene 7 intervalos de tamao (1 corresponde al material msgrueso y 7al ms no) es decirk = 7.2. Resolver la ecuacin lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados i, j.Como se observa, slo existe una salida secundaria, por lo tanto slo existiran1yZ, consecuentemente la MatrizA,B yXsern de orden (1, 1).A =7

u=1((fS1ufZu)2)1Datos extrados de [4] pgina 12732KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 33AlimentoA, fAuOverflow(Slidos Finos)Z, fZuUnderflow(Slidos Gruesos)S1, fS1uFigura 4.1: Esquema del HidrociclnA = (0,180 0,000)2+ (0,177 0,001)2+. . . + (0,078 0,517)2= 0,3404B =7

u=1((fS1 fZ) (fAfZ))B = (0,180 0,000) (0,119 0,000) + (0,177 0,001) (0,122 0,001) +. . .+(0,078 0,517) (0,220 0,517) = 0,2290X = 1 = A1 B1 = 0,34041 0,2290 = 0,67283. HallarZZ = 1 1Z = 1 0,6728 = 0,3272KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 344. Hallar los Errores para cada Intervalo de TamaosMu = fAufZu Z fS1u 1M1= 0,119 0,000 0,3272 0,180 0,6728 = 0,0021M2= 0,122 0,001 0,3272 0,177 0,6728 = 0,0026.........M7= 0,220 0,517 0,3272 0,078 0,6728 = 0,0016Los errores para cada intervalo de tamaos son: (ver tabla 4.2 en la pgina 35)5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaosu = 2 Mu1 +Z2+12Donde:1 +Z2+12= 1 + 0,32722+ 0,67282= 1,55971= 2 0,00211,5597= 0,00272= 2 0,00261,5597= 0,0033.........7= 2 0,00161,5597= 0,0021Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos son (ver tabla4.3 en la pgina 35):6. Hallar las correccionesfAu= u 12fZu= +uZ2fS1u= +u12Para el primer intervalo de tamaosfA1= (0,0027) 12= 0,0014fZ1= +(0,0027) 0,25302= 0,4422 103fS11= +(0,0027) 0,74702= 0,0009Las correcciones son (ver tabla 4.4 en la pgina 35):KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 35u Fraccin fAufZufS1uR1 +m65 11.9 % 0.0 % 18.0 % 1.9512 65/100 12.2 % 0.1 % 17.7 % 2.2003 100/150 18.0 % 2.1 % 25.9 % 2.0134 150/200 15.9 % 12.0 % 18.1 % 1.7735 200/270 11.5 % 17.2 % 8.1 % 1.6766 270/400 8.5 % 16.9 % 4.4 % 2.0497 -m400 22.0 % 51.7 % 7.8 % 2.095Cuadro 4.1: Anlisis Granulomtricos a Corregiru Mu1 -0.00212 0.00263 -0.00114 -0.00205 0.00426 0.00017 -0.0016Cuadro 4.2: Errores para cada intervalo de tamaosu u1 0.00272 -0.00333 0.00154 0.00265 -0.00546 -0.00017 0.0021Cuadro 4.3: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaosu fAufZufS1u1 -0.0014 0.0004 0.00092 0.0017 -0.0005 -0.00113 -0.0007 0.0002 0.00054 -0.0013 0.0004 0.00095 0.0027 -0.0009 -0.00186 0.0001 -0.0000 -0.00007 -0.0010 0.0003 0.0007Cuadro 4.4: CorreccionesKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 367. Corregir los Analisis GranulometricosfAu= fAufAufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1uLos Analisis Granulomtricos corregidos son (ver tabla 4.5 en la pgina 37):8. Hallar el error de la correccionS =7

u=1(fA2u) +7

u=1(fZ2u) +7

u=1(fS12u)S = ((0,0014)2+ (0,0017)2+. . . + (0,0010)2) +((0,4422 103)2+ (0,5419 103)2+. . . + (0,3422 103)2) +(0,00092+ (0,0011)2+. . . + 0,00072) = 2,3789 105ClculodeR(EnuncircuitocerradodirectodeMolienda-ClasicacinseraelPorcentaje de Carga Circulante)R =1ZR =0,67280,3272= 2,0564 (205,64 %)4.1.1. Correccin usando los Porcentajes Acumulados Pasantes1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema(ver tabla 4.6 en la pgina 37):2. Resolver la ecuacin lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados i, j.A =7

u=1((fS1ufZu)2)A = 1,4518B =7

u=1((fS1 fZ) (fAfZ))B = 0,9760KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 37X = 1 = A1 B1 = 0,67233. HallarZZ = 1 1Z = 0,32774. Hallar los Errores para cada Intervalo de TamaosMu = fAufZu Z fS1u 1(ver tabla 4.7 en la pgina 37)5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaosu = 2 Mu1 +Z2+12(ver tabla 4.8 en la pgina 39)6. Hallar las correccionesfAu= u 12fZu= +uZ2fS1u= +u12(ver tabla 4.9 en la pgina 39)7. Corregir los Analisis GranulometricosfAu= fAufAufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1uLos Analisis Granulomtricos corregidos son (ver tabla 4.10 en la pgina 39):8. Hallar el error de la correccionS =7

u=1(fA2u) +7

u=1(fZ2u) +7

u=1(fS12u)KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 38u fAufZufS1u1 12.0351 % -0.0442 % 17.9091 %2 12.0344 % 0.1542 % 17.8114 %3 18.0725 % 2.0763 % 25.8512 %4 16.0309 % 11.9572 % 18.0119 %5 11.2290 % 17.2887 % 8.2823 %6 8.4934 % 16.9022 % 4.4044 %7 22.1046 % 51.6658 % 7.7296 %Cuadro 4.5: Anlisis Granulomtricos Corregidosu fAufZufS1u1 88.10 % 100.00 % 82.00 %2 75.90 % 99.90 % 64.30 %3 57.90 % 97.80 % 38.40 %4 42.00 % 85.80 % 20.30 %5 30.50 % 68.60 % 12.20 %6 22.00 % 51.70 % 7.80 %7 0.00 % 0.00 % 0.00 %Cuadro 4.6: Anlisis Granulomtricos - Porcentajes Acumulados Pasantesu Mu1 0.00202 -0.00073 0.00034 0.00235 -0.00186 -0.00197 0.0000Cuadro 4.7: Errores para cada intervalo de tamaos - Fracciones Acumuladas Pasantesu u1 -0.00262 0.00093 -0.00044 -0.00305 0.00246 0.00247 -0.0000Cuadro 4.8: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos - FraccionesAcumuladas PasantesKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 39S = 1,0869 105CalculodeR(EnuncircuitocerradodirectodeMolienda-ClasicacinseraelPorcentaje de Carga Circulante)R =1ZR = 2,0514 (205,14 %)Pasando los Analisis Corregidos a Porcentajes en Peso obtenemos (ver tabla 4.11en la pgina 39):Calculamos el error S pero con respecto las diferencias de los Porcentajes en Peso.S = 2,3860 105Nota 4.2Si comparamos los errores (con respecto a las fracciones en peso) vemosqueal corregirlosPorcentajesAcumuladosPasantesobtenemosunerrorligera-mentemayorqueal corregirlosPorcentajesenPeso(2,3860 105respectoa2,3789 105).Cdigo del programa en Matlab para el clculo: hidrociclon.m%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%CorrecciondeAnalisisGranulometricosporMultiplicadoresdeLagrange:%Sistema:% Hidrociclon%%hidrociclon.m%%KOBASHICAWACHINEN,JuanAntonio%UNIVERSIDADNACIONALDEINGENIERIA%FACULTADDEINGENIERIAGEOLOGICA,MINERAYMETALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%AnalisisGranulometricos%Paso1:ObtenerlosAnalisisGranulometricosdelSistema%AnalisisGranulometricos%FraccionesenPesoKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 40u fAufZufS1u1 0.0013 -0.0004 -0.00092 -0.0004 0.0001 0.00033 0.0002 -0.0001 -0.00014 0.0015 -0.0005 -0.00105 -0.0012 0.0004 0.00086 -0.0012 0.0004 0.00087 0.0000 -0.0000 -0.0000Cuadro 4.9: Correcciones - Fracciones Acumuladas Pasantesu fAufZufS1u1 87.9711 % 100.0422 % 82.0867 %2 75.9429 % 99.8859 % 64.2712 %3 57.8786 % 97.8070 % 38.4144 %4 41.8498 % 85.8492 % 20.4010 %5 30.6177 % 68.5614 % 12.1209 %6 22.1199 % 51.6607 % 7.7194 %7 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %Cuadro 4.10: Anlisis Granulomtricos Corregidosu fAufZufS1u1 12.0289 % -0.0422 % 17.9133 %2 12.0282 % 0.1563 % 17.8155 %3 18.0643 % 2.0789 % 25.8568 %4 16.0288 % 11.9578 % 18.0134 %5 11.2321 % 17.2878 % 8.2801 %6 8.4978 % 16.9007 % 4.4015 %7 22.1199 % 51.6607 % 7.7194 %Cuadro 4.11: Anlisis Granulomtricos Corregidos - Fracciones en PesoKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 41%AlimentoalHidrociclonfA=[11.912.218.015.911.58.522.0]/100.;%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)fZ=[00.12.112.017.216.951.7]/100.;%UnderflowdelHidrociclon(SalidaSecundaria)fS1=[18.017.725.918.18.14.47.8]/100.;%AnalisisGranulometricos%FraccionesenPesoAcumuladosPasantes%AlimentoalHidrociclon%fA=1-cumsum([11.912.218.015.911.58.522.0]/100.);%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)%fZ=1-cumsum([00.12.112.017.216.951.7]/100.);%UnderflowdelHidrociclon(SalidaSecundaria)%fS1=1-cumsum([18.017.725.918.18.14.47.8]/100.);%Paso2:ResolverlaecuacionlinealA*X=Bparaobtenerloscaudales%normalizadosalpha_i,beta_jA=sum((fS1-fZ).^2)B=sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))X=A\Bbeta_1=X%Paso3:HallarbetaZbeta_Z=1-beta_1%Paso4:HallarlosErroresparacadaIntervalodeTamaosDM=fA-fZ*beta_Z-fS1*beta_1%Paso5:HallarlosMultiplicadoresdeLagrangeparacadaIntervalode%Tamaoslambda=-2/(1+beta_Z^2+beta_1^2)*DM%Paso6:HallarlascorreccionesDfA=-lambda*(1/2)DfZ=lambda*(beta_Z/2)DfS1=lambda*(beta_1/2)KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 42%Paso7:CorregirlosAnalisisGranulometricosfAc=fA-DfAfZc=fZ-DfZfS1c=fS1-DfS1%Paso8:HallarelerrordelacorreccionS=sum(DfA.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)%CalculodeR(EnuncircuitocerradodirectodeMolienda-Clasificacion%seriaelPorcentajedeCargaCirculante)R=beta_1/beta_Z%VerificaciondelacorreccionDMc=fAc-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 434.2. CorreccindeAnlisisGranulomtricosenunHidro-cicln-MultiplicadoresdeLagrangeconFactoresdePonderacinLos datos son los empleados en la seccin 4.1, por lo tanto, los pasos del 1 al 4 sernidenticos a la seccin referida:1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema2. Resolver la ecuacin lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados i, j.3. HallarZ4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaos5. Hallar los Factores de Ponderacin para cada Intervalo de Tamaos.WAu=1fA2u (1 fAu)2WZu=1fZ2u (1 fZu)2WS1u=1fS12u (1 fS1u)2Para el primer intervalo de tamaos:WA1=10,1192 (1 0,119)2= 90,9817WZ1=10,0002 (1 0,000)2= WS11=10,1802 (1 0,180)2= 45,9015Los factores de Ponderacin obtenidos son (ver tabla 4.12 en la pgina 45):6. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaos (Ecuacin3.17).u = 2 Mu1WAu+Z2WZu+12WS1u(4.1)1= 2 0,0021190,98+0,32722+0,6728245,90= 0,20222= 2 0,0026187,15+0,327221002003,00+0,6728247,13= 0,2451.........7= 2 0,0016133,96+0,3272216,04+0,67282193,35= 0,0848Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos son (ver tabla4.13 en la pgina 45):KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 447. Hallar las Correcciones.fAu= u12 WAu= u 12 fA2u (1 fAu)2fZu= +uZ2 WZu= +uZ2 fZ2u (1 fZu)2fS1u= +u12 WS1u= +u12 fS12u (1 fS1u)2Para el primer intervalo de tamaosfA1= (0,2022) 12 90,9817= 0,0011fZ1= +(0,2022) 0,32722 = 0,0000fS11= +(0,2022) 0,67282 45,9015= 0,0015Las correcciones son (ver tabla 4.14 en la pgina 45):8. Corregir los Anlisis Granulomtricos.fAu= fAufAufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1uLos Analisis Granulomtricos corregidos son (ver tabla 4.15 en la pgina 45):Nota 4.3Aqu se comete un error al usar las fracciones en peso ya que la sumade las fracciones no da 1 (100 %)Para el Alimento: fAc = 0,999871Para el Overow: fZc = 1,000813Para el Underow: fS1c = 0,9994139. Hallar el Error de la Correccin (Opcional) (Ecuacin 3.14).S =k

u=1Su =k

u=1fA2u +k

u=1fZ2u +k

u=1fS12uS = ((0,0011)2+ 0,00142+. . . + (0,0012)2) +(0,00002+ (0,0000)2+. . . + 0,00092) +(0,00152+ (0,0017)2+. . . + 0,00012) = 2,7534 105Calculo de RR =1ZR =0,67280,3272= 2,0564 (205,64 %)KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 45u WAuWZuWS1u1 90.98 45.902 87.15 1002003.00 47.133 45.90 2365.90 27.154 55.93 89.68 45.515 96.54 49.30 180.476 165.32 50.70 565.177 33.96 16.04 193.35Cuadro 4.12: Factores de Ponderacin para cada intervalo de tamaosu u1 0.20222 -0.24513 0.05884 0.14075 -0.56226 -0.02297 0.0848Cuadro 4.13: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos usando Fac-tores de Ponderacinu fAufZufS1u1 -0.0011 0.0000 0.00152 0.0014 -0.0000 -0.00173 -0.0006 0.0000 0.00074 -0.0013 0.0003 0.00105 0.0029 -0.0019 -0.00106 0.0001 -0.0001 -0.00007 -0.0012 0.0009 0.0001Cuadro 4.14: Correcciones usando Factores de Ponderacinu fAufZufS1u1 12.0111 % 0.0000 % 17.8518 %2 12.0594 % 0.1000 % 17.8750 %3 18.0640 % 2.0996 % 25.8272 %4 16.0258 % 11.9743 % 17.9960 %5 11.2089 % 17.3865 % 8.2048 %6 8.4931 % 16.9074 % 4.4014 %7 22.1249 % 51.6135 % 7.7852 %Cuadro 4.15: Anlisis Granulomtricos CorregidosKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 464.2.1. Correccin usando los Porcentajes Acumulados PasantesPasos del 1 al 4 ver 4.1.11. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema2. Resolver la ecuacin lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados i, j.3. HallarZ4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaos5. Hallar los Factores de Ponderacin para cada Intervalo de Tamaos.WAu=1fA2u (1 fAu)2WZu=1fZ2u (1 fZu)2WS1u=1fS12u (1 fS1u)2Los factores de Ponderacin obtenidos son (ver tabla 4.16 en la pgina 47):6. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaos (Ecuacin3.17).u = 2 Mu1WAu+Z2WZu+12WS1u(4.2)Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos son (ver tabla4.17 en la pgina 47):7. Hallar las Correcciones.fAu= u12 WAu= u 12 fA2u (1 fAu)2fZu= +uZ2 WZu= +uZ2 fZ2u (1 fZu)2fS1u= +u12 WS1u= +u12 fS12u (1 fS1u)2Las correcciones son (ver tabla 4.18 en la pgina 47):8. Corregir los Anlisis Granulomtricos.fAu= fAufAufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1uLos Analisis Granulomtricos corregidos son (ver tabla 4.19 en la pgina 56):KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 47u WAuWZuWS1u1 90.98 45.902 29.89 1002003.00 18.983 16.83 2160.12 17.874 16.85 67.37 38.205 22.26 21.55 87.156 33.96 16.04 193.357 Cuadro4.16: FactoresdePonderacinparacadaintervalodetamaos-PorcentajesAcumulados Pasantesu u1 -0.19292 0.02343 -0.00794 -0.06445 0.06666 0.09727 IndeterminadoCuadro 4.17: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos usando Fac-tores de Ponderacin - Porcentajes Acumulados Pasantesu fAufZufS1u1 0.0011 0.0000 -0.00142 -0.0004 0.0000 0.00043 0.0002 -0.0000 -0.00014 0.0019 -0.0002 -0.00065 -0.0015 0.0005 0.00036 -0.0014 0.0010 0.00027 0.0000 0.0000 0.0000Cuadro4.18: CorreccionesusandoFactoresdePonderacin-FraccionesAcumuladasPasantesKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 489. Hallar el Error de la Correccin (Opcional) (Ecuacin 3.14).S =k

u=1Su =k

u=1fA2u +k

u=1fZ2u +k

u=1fS12uS = 1,3138 105Calculo de RR =1ZR = 2,0514 (205,14 %)Pasando los Analisis Corregidos a Porcentajes en Peso obtenemos (ver tabla 4.20en la pgina 56):Nota 4.4En este mtodo se obtiene la suma de las fracciones igual a 1 (100 %).Calculamos el error S pero con respecto las diferencias de los Porcentajes en Peso.S = 2,8310 105Nota 4.5Sicomparamosloserrores(conrespectoalasfraccionesenpeso)ve-mos queal corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes obtenemos unerrorligeramente mayor que al corregir los Porcentajes en Peso2,8310 105respectoa 2,7534 105.Cdigo del programa en Matlab para el clculo: hidrociclon_FP.m%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%CorrecciondeAnalisisGranulometricosporMultiplicadoresdeLagrange:%Sistema:% Hidrociclon%%hidrociclon_FP.m%%KOBASHICAWACHINEN,JuanAntonio%UNIVERSIDADNACIONALDEINGENIERIA%FACULTADDEINGENIERIAGEOLOGICA,MINERAYMETALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%AnalisisGranulometricosKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 49%Paso1:ObtenerlosAnalisisGranulometricosdelSistema%AnalisisGranulometricos%FraccionesenPeso%AlimentoalHidrociclonfA=[11.912.218.015.911.58.522.0]/100.;%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)fZ=[00.12.112.017.216.951.7]/100.;%UnderflowdelHidrociclon(SalidaSecundaria)fS1=[18.017.725.918.18.14.47.8]/100.;%AnalisisGranulometricos%FraccionesenPesoAcumuladosPasantes%AlimentoalHidrociclon%fA=1-cumsum([11.912.218.015.911.58.522.0]/100.);%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)%fZ=1-cumsum([00.12.112.017.216.951.7]/100.);%UnderflowdelHidrociclon(SalidaSecundaria)%fS1=1-cumsum([18.017.725.918.18.14.47.8]/100.);%Paso2:ResolverlaecuacionlinealA*X=Bparaobtenerloscaudales%normalizadosalpha_i,beta_jA=sum((fS1-fZ).^2)B=sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))X=A\Bbeta_1=X%Paso3:HallarbetaZbeta_Z=1-beta_1%Paso4:HallarlosErroresparacadaIntervalodeTamaosDM=fA-fZ*beta_Z-fS1*beta_1%Paso5:HallarlosFactoresdePonderacionparacadaIntervalodeTamaosWA=1./(fA.*(1-fA)).^2;WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2;KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 50WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2;%Paso6:HallarlosMultiplicadoresdeLagrangeparacadaIntervalode%Tamaoslambda=-2./(1./WA+beta_Z^2./WZ+beta_1^2./WS1).*DM%Paso7:HallarlascorreccionesDfA=-lambda.*(1./(2*WA))DfZ=lambda.*(beta_Z./(2*WZ))DfS1=lambda.*(beta_1./(2*WS1))%Paso8:CorregirlosAnalisisGranulometricosfAc=fA-DfAfZc=fZ-DfZfS1c=fS1-DfS1%Paso9:HallarelerrordelacorreccionS=sum(DfA.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)%CalculodeR(EnuncircuitocerradodirectodeMolienda-Clasificacion%seriaelPorcentajedeCargaCirculante)R=beta_1/beta_Z%VerificaciondelacorreccionDMc=fAc-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 514.3. CorreccindeAnlisisGranulomtricosenunHidro-cicln - Funcin J(R)Acontinuacinsemuestraunmtodoalternativo(ver[3])paralacorreccindeAnlisis Granulomtricos en un Hidrocicln, la cual consiste en minimizar la siguientefuncin:J(R) =k

u=1Ju(R) (4.3)Donde:k = Nmero de Intervalos de Tamao.Ju= Es la suma de los cuadrados ajustados para cada Intervalo de tamaos.Ju(R) = (fAufAu)2+ (fZufZu)2+ (fS1ufS1u)2La ecuacin anterior puede expresarse como sigue:Ju(R) =[(fAufZu) +R (fAufS1u)]22 (1 +R +R2)(4.4)Nota 4.6Tomamos la misma notacin que en el ejemplo anterior:Alimento fA : Entrada Principal al NodoOverow fZ : Salida Principal del NodoUnderow fS1 : Salida Secundaria del NodoSi reemplazamos la Ecuacin 4.4 en la Ecuacin 4.3 obtendremos:J(R) =k

u=1[(fAufZu) +R (fAufS1u)]22 (1 +R +R2)Expandiendo la ecuacin anterior obtendremos:J(R) =A R2+B R +C2 (1 +R +R2)(4.5)donde:A =k

u=1_(fAufS1u)2B = 2 k

u=1[(fAufZu) (fAufS1u)]C =k

u=1_(fAufZu)2Si derivamoslaEcuacin4.5eigualamosacero, obtendremosel valordeRqueminimizar la funcinJ(R) el cual se hallar por medio de la siguiente relacin:KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 52J(R)RR=RMin=( AB) R2+ 2 ( AC) R + ( B C)2 (1 +R +R2)2R=RMin= 0RMin =C A_A2+B2+C2AB B C C AAB(4.6)Nota 4.7RMin +Los valores ajustados que minimizan la funcionJ(R) estn dados por:Parau = {1, 2, , k 1}fAu= fAu(1 +RMin) SufZu= fZu +SufS1u= fS1u +RMin SuParau = k (Intervalo de tamaos ms no)fAk= 1 k1

u=1fAufZk= 1 k1

u=1fZufS1k= 1 k1

u=1fS1uEl valor seSu vara para cada Intervalo de Tamaos y est dado por:Su =(fAufZu) +RMin (fAufS1u)2 (1 +RMin +R2Min)4.3.1. AlgoritmoEl mtodo puede resumirse en los siguientes pasos:1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema.fAu: Anlisis Granulomtrico correspondiente al AlimentofZu: Anlisis Granulomtrico correspondiente al Overow (Finos)fS1u: Anlisis Granulomtricos correspondientes a Underow (Gruesos).donde:u = { 1,2, ..., k }k : Nmero de Intervalo de Tamaos.KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 532. Obtener los Coecientes ptimosA =k

u=1_(fAufS1u)2B = 2 k

u=1[(fAufZu) (fAufS1u)]C =k

u=1_(fAufZu)23. Clculo de R que minimiza la funcinJ(R)RMin =C A_A2+B2+C2AB B C C AABNota 4.8RMin +4. Clculo de los valores deSuSu =(fAufZu) +RMin (fAufS1u)2 (1 +RMin +R2Min)5. Correccin de los Anlisis Granulomtricosu = {1, 2, ..., k 1}fAu= fAu(1 +RMin) SufZu= fZu +SufS1u= fS1u +RMin Su6. Correccin de los Anlisis Granulomtricosu = kfAk= 1 k1

u=1fAufZk= 1 k1

u=1fZufS1k= 1 k1

u=1fS1u7. Hallar el error de la correccinS =7

u=1(fA2u) +7

u=1(fZ2u) +7

u=1(fS12u)KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 544.3.2. Aplicacin del Mtodo1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema.Con el n de establecer una comparacin con el mtodo de los Multiplicadores deLagrange utilizaremos los mismos datos que en 4.1.2. Obtener los Coecientes ptimosA =7

u=1_(fAufS1u)2B = 2 7

u=1[(fAufZu) (fAufS1u)]C =7

u=1_(fAufZu)2A = _(0,119 0,180)2+ (0,122 0,177)2+. . . + (0,220 0,078)2 = 0,0365B = 2 [(0,119 0,000) (0,119 0,180) + (0,122 0,001) (0,122 0,177) +. . .+(0,220 0,517) (0,220 0,078)] = 0,1498C = _(0,119 0,000)2+ (0,122 0,001)2+. . . + (0,220 0,517)2 = 0,15413. Clculo de R que minimiza la funcinJ(R)RMin =C A_A2+B2+C2AB B C C AABRMin1= 2,0567RMin2= 0,7934RMin = 2,0567 (205,67 %)Nota 4.9RMin +Nota 4.10Obsrvese que la forma de la curvaJ(R) tiene un valor mximo y unvalor mnimo. En este caso la curva tiende a converger en un valor de 0.018217cuandoR .KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 5510 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1000.050.10.150.2RJ(R)Variacion de J(R) vs. R5000 4000 3000 2000 1000 0 1000 2000 3000 4000 500000.050.10.150.2RJ(R)Variacion de J(R) vs. RFigura 4.2: Variacin de la FuncinJ(R) vs. R4. Clculo de los valores deSuSu =(fAufZu) +RMin (fAufS1u)2 (1 +RMin +R2Min)S1=(0,1190,000)+2,0567(0,1190,180)2(1+2,0567+2,05672)= 0,4430 103S2=(0,1220,001)+2,0567(0,1220,177)2(1+2,0567+2,05672)= 0,5410 103.........S7=(0,2200,517)+2,0567(0,2200,078)2(1+2,0567+2,05672)= 0,3399 103Los valores deSu obtenidos son (ver tabla 4.21 en la pgina 56):5. Correccin de los Anlisis Granulomtricosu = {1, 2, ..., 6}fAu= fAu(1 +RMin) SufZu= fZu +SufS1u= fS1u +RMin SuKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 56u fAufZufS1u1 87.9940 % 100.0000 % 82.1413 %2 75.9391 % 99.9000 % 64.2586 %3 57.8766 % 97.8001 % 38.4148 %4 41.8090 % 85.8157 % 20.3566 %5 30.6496 % 68.5494 % 12.1743 %6 22.1431 % 51.6007 % 7.7831 %7 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %Cuadro 4.19: Anlisis Granulomtricos Corregidosu fAufZufS1u1 12.0060 % 0.0000 % 17.8587 %2 12.0549 % 0.1000 % 17.8827 %3 18.0624 % 2.0999 % 25.8438 %4 16.0676 % 11.9844 % 18.0581 %5 11.1593 % 17.2663 % 8.1823 %6 8.5066 % 16.9487 % 4.3912 %7 22.1431 % 51.6007 % 7.7831 %Cuadro 4.20: Anlisis Granulomtricos Corregidos - Fracciones en Pesou Su1 0,4430 1032 0,5410 1033 0,2386 1034 0,4286 1035 0,8870 1036 0,0222 1037 0,3399 103Cuadro 4.21: Valores deSuKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 57fA1= 0,1190 (1 + 2,0567) (0,4430 103) = 0,120354 (12,0354 %)fZ1= 0,0000 + (0,4430 103) = 0,000443 (0,0443 %)fS11= 0,1800 + 2,0567 (0,4430 103) = 0,179089 (17,9089 %)fA2= 0,1220 (1 + 2,0567) 0,5410 103= 0,120346 (12,0346 %)fZ2= 0,0010 + 0,5410 103= 0,001541 (0,1541 %)fS12= 0,1770 + 2,0567 0,5410 103= 0,178113 (17,8113 %)fA6= 0,0850 (1 + 2,0567) 0,0222 103= 0,084932 (8,4932 %)fZ6= 0,1690 + 0,0222 103= 0,169022 (16,9022 %)fS16= 0,0440 + 2,0567 0,0222 103= 0,044046 (4,4046 %)u fAufZufS1u1 12.0354 % -0.0443 % 17.9089 %2 12.0346 % 0.1541 % 17.8113 %3 18.0729 % 2.0761 % 25.8509 %4 16.0310 % 11.9571 % 18.0118 %5 11.2289 % 17.2887 % 8.2824 %6 8.4932 % 16.9022 % 4.4046 %6. Correccin de los Anlisis Granulomtricosu = 7fA7= 1 k1

u=1fAufZ7= 1 k1

u=1fZufS17= 1 k1

u=1fS1ufA7= 1 (0,120354 + 0,120346 +. . . + 0,084932) = 0,221039fZ7= 1 (0,000443 + 0,001541 +. . . + 0,169022) = 0,516660fS17= 1 (0,179089 + 0,178113 +. . . + 0,044046) = 0,077301Los Anlisis Granulomtricos Corregidos son (ver tabla 4.22 en la pgina 60):7. Hallar el error de la correccinS =7

u=1_(fAufAu)2+7

u=1_(fZufZu)2+7

u=1_(fS1ufS1u)2KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 58S =

(0,119000 0,120354)2

+

(0,122000 0,120346)2

+

(0,220000 0,221039)2

+

(0,000000 (0,000443))2

+

(0,001000 0,001541)2

+

(0,517000 0,516660)2

+. . .+

(0,180000 0,179089)2

+

(0,177000 0,178113)2

+

(0,078000 0,077301)2

S = 2,3789 1054.3.3. Correccin usando los Porcentajes Acumulados Pasantes1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del Sistema.Con el n de establecer una comparacin con el mtodo de los Multiplicadores deLagrange utilizaremos los mismos datos que en 4.1.2. Obtener los Coecientes ptimosA =7

u=1_(fAufS1u)2B = 2 7

u=1[(fAufZu) (fAufS1u)]C =7

u=1_(fAufZu)2A = 0,1559B = 0,6397C = 0,65623. Clculo de R que minimiza la funcinJ(R)RMin =C A_A2+B2+C2AB B C C AABRMin1= 2,0514RMin2= 0,7940RMin = 2,0514 (205,14 %)Nota 4.11RMin +KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 594. Clculo de los valores deSuSu =(fAufZu) +RMin (fAufS1u)2 (1 +RMin +R2Min)Los valores deSu obtenidos son (ver tabla 4.23 en la pgina 60):5. Correccin de los Anlisis Granulomtricosu = {1, 2, ..., 6}fAu= fAu(1 +RMin) SufZu= fZu +SufS1u= fS1u +RMin Suu fAufZufS1u1 87.9711 % 100.0423 % 82.0867 %2 75.9428 % 99.8860 % 64.2712 %3 57.8785 % 97.8070 % 38.4144 %4 41.8497 % 85.8493 % 20.4011 %5 30.6176 % 68.5615 % 12.1209 %6 22.1198 % 51.6607 % 7.7194 %6. Correccin de los Anlisis Granulomtricosu = 7 - Para el caso de las FraccionesAcumuladas Pasantes, en el ltimo intervalo de tamaos corresponde un valor decerofA7= 0fZ7= 0fS17= 0Los Anlisis Granulomtricos Corregidos son (ver tabla 4.24 en la pgina 60)::7. Hallar el error de la correccinS =7

u=1_(fAufAu)2+7

u=1_(fZufZu)2+7

u=1_(fS1ufS1u)2S = 1,0869 105Cdigo del programa en Matlab para el clculo: hidrociclon_JR.m%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%CorrecciondeAnalisisGranulometricosporlaFuncionJ(R):%Sistema:% Hidrociclon%KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 60u fAufZufS1u1 12.0354 % -0.0443 % 17.9089 %2 12.0346 % 0.1541 % 17.8113 %3 18.0729 % 2.0761 % 25.8509 %4 16.0310 % 11.9571 % 18.0118 %5 11.2289 % 17.2887 % 8.2824 %6 8.4932 % 16.9022 % 4.4046 %7 22.1039 % 51.6660 % 7.7301 %Cuadro 4.22: Anlisis Granulomtricos Corregidosu Su1 0,4225 1032 0,1404 1033 0,0704 1034 0,4926 1035 0,3854 1036 0,3927 1037 0,0000 103Cuadro 4.23: Valores deSuu fAufZufS1u1 87.9711 % 100.0423 % 82.0867 %2 75.9428 % 99.8860 % 64.2712 %3 57.8785 % 97.8070 % 38.4144 %4 41.8497 % 85.8493 % 20.4011 %5 30.6176 % 68.5615 % 12.1209 %6 22.1198 % 51.6607 % 7.7194 %7 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %Cuadro 4.24: Anlisis Granulomtricos CorregidosKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 61%hidrociclon_JR.m%%KOBASHICAWACHINEN,JuanAntonio%UNIVERSIDADNACIONALDEINGENIERIA%FACULTADDEINGENIERIAGEOLOGICA,MINERAYMETALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%AnalisisGranulometricos%AnalisisGranulometricos%FraccionesenPeso%AlimentoalHidrociclonfA=[11.912.218.015.911.58.522.0]/100.;%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)fZ=[00.12.112.017.216.951.7]/100.;%UnderflowdelHidrociclon(SalidaSecundaria)fS1=[18.017.725.918.18.14.47.8]/100.;%AnalisisGranulometricos%FraccionesenPesoAcumuladosPasantes%AlimentoalHidrociclon%fA=1-cumsum([11.912.218.015.911.58.522.0]/100.);%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)%fZ=1-cumsum([00.12.112.017.216.951.7]/100.);%UnderflowdelHidrociclon(SalidaSecundaria)%fS1=1-cumsum([18.017.725.918.18.14.47.8]/100.);%Paso2:ObtenerlosCoeficientesOptimosA=sum((fA-fS1).^2);B=2*sum((fA-fZ).*(fA-fS1));C=sum((fA-fZ).^2);%Paso3:CalculodeRqueminimizalafuncionJRR=(C-A+sqrt(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-C*A))/(A-B)R1=(C-A-sqrt(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-C*A))/(A-B)%Paso4:CalculodelosvaloresdeSkKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 62Sk=((fA-fZ)+R*(fA-fS1))/(2*(1+R+R^2));%Paso5:CorrecciondelosAnalisisGranulometricosu=1,2,...,k-1k=length(fA);fAc=fA(1:k-1)-(1+R)*Sk(1:k-1);fZc=fZ(1:k-1)+Sk(1:k-1);fS1c=fS1(1:k-1)+R*Sk(1:k-1);%Paso6:CorrecciondelosAnalisisGranulometricosu=kfAc(k)=1-sum(fAc);fZc(k)=1-sum(fZc);fS1c(k)=1-sum(fS1c);%FraccionesenPesoAcumuladosPasantes%fAc(k)=0;%fZc(k)=0;%fS1c(k)=0;%Paso7:HallarelerrordelacorreccionS=sum((fA-fAc).^2)+sum((fZ-fZc).^2)+sum((fS1-fS1c).^2)figure(1)%FuncionJ(R)Ri=-10:0.1:10;J=(A*Ri.^2+B*Ri+C)./(2*(1+Ri+Ri.^2));subplot(2,1,1),plot(Ri,J)xlabel(R);ylabel(J(R));title(VariaciondeJ(R)vs.R)%FuncionJ(R)Rii=-5*10^3:0.1:5*10^3;Jii=(A*Rii.^2+B*Rii+C)./(2*(1+Rii+Rii.^2));subplot(2,1,2),plot(Rii,Jii)xlabel(R);ylabel(J(R));title(VariaciondeJ(R)vs.R)print-f-deps variajr_exp %creavariajrexp.epsKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 634.4. Correccin de Anlisis Granulomtricos en un CircuitoInverso de Molienda Clasicacin1. Obtener los Anlisis Granulomtricos del SistemaEnesteejemplo, tomaremosal Hidrociclncomounnodoel cual setienedosEntradas(m=1)(AlimentacionFrescayDescargadel Molino); ydosSalidas(n = 1) (Overow y Underow). El esquema adoptado es el siguiente:Overflow(Slidos Finos)Z, fZuUnderflow(Slidos Gruesos)S1, fSuDescarga delMolinoE1, fE1uAlimentoA, fAuFigura 4.3: Esquema del Circuito Inverso de Molienda ClasicacinAlimentacin Fresca al Circuito fA : Entrada Principal al NodoDescarga del Molino fE1 : Entrada Secundaria al NodoOverow del Hidrocicln fZ : Salida Principal del NodoUnderow del Hidrocicln fS1 : Salida Secundaria del NodoNota 4.12La alimentacin compuesta (Alimentacin Fresca & Descarga del Mo-lino) no se tomar como dato para la correccin.SemuestraacontinuacinlosAnlisisGranulomtricosdeunCircuitoInversode Molienda Clasicacin2(Porcentaje en Peso: ver tabla 4.25 en la pgina 64;Porcentaje Acumulados Pasantes: ver tabla 4.26 en la pgina 64):Observamos que se tiene 13 intervalos de tamao (1 corresponde al material msgrueso y 13al ms no) es decirk = 13.2. Resolver la ecuacin lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados i, j.Comoseobserva, soloexistenunaentradasecundariayunasalidasecundaria,porlotantosoloexistiran1, 1yZ,consecuentementelaMatrizAserdeorden (2, 2),B de orden (2, 1) yXde orden (2, 1).A =_ 13u=1[(fE1ufZu)2]

13u=1[(fS1ufZu) (fE1ufZu)]

13u=1[(fE1ufZu) (fS1ufZu)]

13u=1[(fS1ufZu)2]_2Datos extrados de [1], pgina 157.KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 64Malla Tyler fAufE1ufZufS1u+m8 0.1 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %-m8 +m10 0.4 % 0.0 % 0.0 % 0.3 %-m10 +m14 1.0 % 0.0 % 0.0 % 0.2 %-m14 +m20 1.2 % 0.1 % 0.0 % 0.2 %-m20 +m28 1.6 % 0.1 % 0.0 % 0.3 %-m28 +m35 2.2 % 0.2 % 0.0 % 0.6 %-m35 +m48 2.9 % 0.7 % 0.0 % 1.2 %-m48 +m65 4.7 % 1.5 % 0.1 % 2.1 %-m65 +m100 8.1 % 4.9 % 0.3 % 5.7 %-m100 +m150 9.3 % 9.3 % 0.8 % 9.9 %-m150 +m200 12.8 % 24.6 % 2.6 % 25.4 %-m200 +m325 14.1 % 32.0 % 13.8 % 33.5 %-m325 41.6 % 26.6 % 82.4 % 20.6 %Cuadro 4.25: Anlisis Granulomtricos a Corregiru Malla Tyler fAufE1ufZufS1u1 -m8 99.9 % 100.0 % 100.0 % 100.0 %2 -m10 99.5 % 100.0 % 100.0 % 99.7 %3 -m14 98.5 % 100.0 % 100.0 % 99.5 %4 -m20 97.3 % 99.9 % 100.0 % 99.3 %5 -m28 95.7 % 99.8 % 100.0 % 99.0 %6 -m35 93.5 % 99.6 % 100.0 % 98.4 %7 -m48 90.6 % 98.9 % 100.0 % 97.2 %8 -m65 85.9 % 97.4 % 99.9 % 95.1 %9 -m100 77.8 % 92.5 % 99.6 % 89.4 %10 -m150 68.5 % 83.2 % 98.8 % 79.5 %11 -m200 55.7 % 58.6 % 96.2 % 54.1 %12 -m325 41.6 % 26.6 % 82.4 % 20.6 %13 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %Cuadro 4.26: Anlisis Granulomtricos a Corregir (Porcentajes Acumulados Pasantes)KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 65A =_0,482884 0,5420890,542089 0,610345_B =_ 13u=1[(fE1 fZ) (fAfZ)]

13u=1[(fS1 fZ) (fAfZ)]_B =_0,4475970,514465_X =_ 11_ = A1 BX =_ 6,58376,6904_1 = 6,58371 = 6,6904Nota 4.13SegnlaFigura4.3, si consideramosquenoexisteacumulacindematerial dentro del molino, el ujo del Alimento al Molino (Undeow del Hidro-ciclnS1)debedeserigual al ujodelaDescargadel Molino(fE1), esdecir1 = 1.3. HallarZZ = 1 +1 1Z = 0,89344. Hallar los Errores para cada Intervalo de TamaosMu = fAu +fE1u 1 fZu Z fS1u 1Los Errores para cada intervalo de tamaos son (ver tabla 4.27 en la pgina 66):5. Hallar los Factores de Ponderacin para cada Intervalo de Tamaos.WAu=1fA2u (1 fAu)2WE1u=1fE12u (1 fE1u)2WZu=1fZ2u (1 fZu)2WS1u=1fS12u (1 fS1u)2Los factores de Ponderacin obtenidos son (ver tabla 4.28 en la pgina 66):KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 66u Mu1 -0.00102 0.01513 0.01854 0.01325 0.01076 0.01577 0.02098 0.01659 -0.003010 -0.038811 -0.063812 0.052913 0.0000Cuadro 4.27: Errores para cada intervalo de tamaosu WAuWE1uWZuWS1u1 1002003.00 2 40403.02 111780.793 4580.84 40403.024 1448.93 1002003.00 20696.915 590.53 251003.01 10203.046 270.74 63003.02 4034.327 137.88 8449.33 1350.058 68.17 1559.32 1002003.00 460.529 33.52 207.78 63003.02 111.3610 21.48 51.18 7114.16 37.6511 16.42 16.99 748.31 16.2212 16.94 26.23 47.55 37.3813 Cuadro 4.28: Factores de Ponderacin para cada intervalo de tamaosKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 676. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaosu = 2 Mu1WAu+12WE1u+Z2WZu+12WS1u(4.7)Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaos son (ver tabla4.29 en la pgina 68):7. Hallar las correccionesfAu= u12 WAu= u 12 fA2u (1 fAu)2fE1u= u12 WE1u= u12 fE12u (1 fE1u)2fZu= +uZ2 WZu= +uZ2 fZ2u (1 fZu)2fS1u= +u12 WS1u= +u12 fS12u (1 fS1u)2Las correcciones son (ver tabla 4.30 en la pgina 68):8. Corregir los Analisis GranulometricosfAu= fAufAufE1u= fE1ufE1ufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1uLos Analisis Granulomtricos corregidos son (Porcentajes Acumulados Pasantes:ver tabla 4.31 en la pgina 69; Porcentajes en Peso: ver tabla 4.32 en la pgina69):9. Hallar el error de la correccionS =13

u=1(fA2u) +13

u=1(fE12u) +13

u=1(fZ2u) +13

u=1(fS12u)S = 1,7791 104Cdigo del programa en Matlab para el clculo: cinverso_mc.m%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%CorrecciondeAnalisisGranulometricosporMultiplicadoresdeLagrange:%Sistema:KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 68u u1 2004.012 -70.893 -27.834 -9.155 -3.436 -2.037 -0.928 -0.249 0.0110 0.0411 0.0212 -0.0413 0.00Cuadro 4.29: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaosu fAufE1ufZufS1u1 -0.0010 0.0000 0.0000 0.00002 0.0009 0.0000 0.0000 -0.00213 0.0030 0.0000 0.0000 -0.00234 0.0032 0.0000 0.0000 -0.00155 0.0029 0.0000 0.0000 -0.00116 0.0037 0.0001 0.0000 -0.00177 0.0033 0.0004 0.0000 -0.00238 0.0017 0.0005 -0.0000 -0.00179 -0.0001 -0.0001 0.0000 0.000310 -0.0009 -0.0024 0.0000 0.003311 -0.0007 -0.0046 0.0000 0.004912 0.0011 0.0045 -0.0003 -0.003213 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000Cuadro 4.30: CorreccionesKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 69u fAufE1ufZufS1u1 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %2 99.4123 % 100.0000 % 100.0000 % 99.9122 %3 98.1963 % 100.0000 % 100.0000 % 99.7304 %4 96.9843 % 99.8970 % 100.0000 % 99.4479 %5 95.4093 % 99.7955 % 100.0000 % 99.1126 %6 93.1251 % 99.5894 % 100.0000 % 98.5683 %7 90.2670 % 98.8642 % 100.0000 % 97.4275 %8 85.7262 % 97.3500 % 99.9000 % 95.2721 %9 77.8141 % 92.5150 % 99.6000 % 89.3716 %10 68.5868 % 83.4398 % 98.7998 % 79.1687 %11 55.7723 % 59.0604 % 96.1986 % 53.6099 %12 41.4932 % 26.1460 % 82.4340 % 20.9238 %13 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %Cuadro 4.31: Anlisis Granulomtricos CorregidosMalla Tyler fAufE1ufZufS1u+m8 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m8 +m10 0.5877 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0878 %-m10 +m14 1.2160 % 0.0000 % 0.0000 % 0.1818 %-m14 +m20 1.2120 % 0.1030 % 0.0000 % 0.2825 %-m20 +m28 1.5750 % 0.1015 % 0.0000 % 0.3353 %-m28 +m35 2.2842 % 0.2061 % 0.0000 % 0.5442 %-m35 +m48 2.8581 % 0.7252 % 0.0000 % 1.1408 %-m48 +m65 4.5407 % 1.5142 % 0.1000 % 2.1554 %-m65 +m100 7.9121 % 4.8350 % 0.3000 % 5.9005 %-m100 +m150 9.2273 % 9.0752 % 0.8002 % 10.2029 %-m150 +m200 12.8145 % 24.3794 % 2.6012 % 25.5589 %-m200 +m325 14.2791 % 32.9144 % 13.7646 % 32.6861 %-m325 41.4932 % 26.1460 % 82.4340 % 20.9238 %Cuadro 4.32: Anlisis Granulomtricos Corregidos - Fracciones en PesoKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 70% CircuitoInversodeMoliendaClasificacion%%cinverso_mc.m%%KOBASHICAWACHINEN,JuanAntonio%UNIVERSIDADNACIONALDEINGENIERIA%FACULTADDEINGENIERIAGEOLOGICA,MINERAYMETALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%Nota:TomaralHidrocicloncomounNodo.%AnalisisGranulometricos%Paso1:ObtenerlosAnalisisGranulometricosdelSistema%AlimentoFresco(EntradaPrincipal)%fA=[0.10.41.01.21.62.22.94.78.19.312.814.141.6]/100.;%ProductodeMolienda(EntradaSecundaria)%fE1=[0000.10.10.20.71.54.99.324.632.026.6]/100.;%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)%fZ=[00000000.10.30.82.613.882.4]/100.;%UnderflowdelHidrociclon(SalidaPrincipal)%fS1=[00.30.20.20.30.61.22.15.79.925.433.520.6]/100.;%AlimentacionCompuesta(AlimentoalHidrociclon)%Nota:NOSETOMAENCUENTAPARALACORRECCION.%fA_HC=[0000.40.30.30.91.74.78.921.630.930.3]/100.;%FraccionesAcumuladasPasantes:%AlimentoFresco(EntradaPrincipal)fA=1-cumsum([0.10.41.01.21.62.22.94.78.19.312.814.141.6]/100.);%ProductodeMolienda(EntradaSecundaria)fE1=1-cumsum([0000.10.10.20.71.54.99.324.632.026.6]/100.);%OverflowdelHicrociclon(SalidaPrincipal)fZ=1-cumsum([00000000.10.30.82.613.882.4]/100.);%UnderflowdelHidrociclon(SalidaPrincipal)fS1=1-cumsum([00.30.20.20.30.61.22.15.79.925.433.520.6]/100.);KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 71%AlimentacionCompuesta(AlimentoalHidrociclon)%Nota:NOSETOMAENCUENTAPARALACORRECCION.fA_HC=1-cumsum([0000.40.30.30.91.74.78.921.630.930.3]/100.);%Paso2:ResolverlaecuacionlinealA*X=Bparaobtenerloscaudales%normalizadosalpha_i,beta_jA=[sum((fE1-fZ).^2) sum((fS1-fZ).*(fE1-fZ))sum((fE1-fZ).*(fS1-fZ)) sum((fS1-fZ).^2)];B=[sum((fE1-fZ).*(fA-fZ))sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))];X=A\Balpha_1=-X(1);beta_1=X(2);%Paso3:HallarbetaZbeta_Z=1+alpha_1-beta_1%Paso4:HallarlosErroresparacadaIntervalodeTamaosDM=fA+fE1*alpha_1-fZ*beta_Z-fS1*beta_1%Paso5:HallarlosFactoresdePonderacionparacadaIntervalodeTamaosWA=1./(fA.*(1-fA)).^2;WE1=1./(fE1.*(1-fE1)).^2;WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2;WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2;%Paso6:HallarlosMultiplicadoresdeLagrangeparacadaIntervalode%Tamaoslambda=-2./(1./WA+alpha_1^2./WE1+beta_Z^2./WZ+beta_1^2./WS1).*DMk=length(lambda);lambda(k)=0;%F(0)=0%Paso7:HallarlascorreccionesDfA=-lambda.*(1./(2*WA))DfE1=-lambda.*(alpha_1./(2*WE1))DfZ=lambda.*(beta_Z./(2*WZ))DfS1=lambda.*(beta_1./(2*WS1))%Paso8:CorregirlosAnalisisGranulometricosfAc=fA-DfAfE1c=fE1-DfE1fZc=fZ-DfZKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 72fS1c=fS1-DfS1%Paso9:HallarelerrordelacorreccionS=sum(DfA.^2)+sum(DfE1.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)%CalculodelalimentoCompuestofA_HC_calc=(fAc+alpha_1*fE1c)/(1+alpha_1)%ErrorErrAC=fA_HC_calc-fA_HC%VerificaciondelacorreccionDMc=fAc+fE1c*alpha_1-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 734.5. Correccin de Anlisis Granulomtricos en un CircuitoInverso de Molienda Clasicacin tomando Dos Nodos1. Obtener los datos a corregirPara este caso los anlisis granulomtricos a corregir son:Overflow(Slidos Finos)Z, fZuUnderflow(Slidos Gruesos)S1, fSuDescarga delMolinoE1, fE1uAlimentoA, fAuAlimento CompuestoAC, fACu1 2Figura 4.4: Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasicacin (Dos Nodos)En este caso tomaremos dos nodos:Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentacin Fresca al Circuitoy la Descarga del Molino (Carga Circulante)Nodo 2 : HidrociclnAlimentacin Fresca al Circuito fA : Entrada Principal al Nodo 1Descarga del Molino fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1Alimentacin Compuesta fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/oEntrada Principal al Nodo 2Overow del Hidrocicln fZ : Salida Principal del Nodo 2Underow del Hidrocicln fS1 : Salida Secundaria del Nodo 22. Establecerlas ecuaciones deBalancedeMasa. (Ecuaciones deFlujo, AnlisisGranulomtricos, Leyes, etc.)A+E1 = AC (4.8)AC = Z +S1 (4.9)fAu A+fE1u E1 = fACu AC (4.10)fACu AC = fZu Z +fS1u S1 (4.11)3. Normalizar las ecuaciones dividiendo por un ujo A(ej: Alimentacin Fresca aun Circuito).KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 74E1A= 1ACA= ZA= ZS1A= 11 +1 = (4.12) = Z +1 (4.13)fAu +fE1u 1 = fACu (4.14)fACu = fZu Z +fS1u 1 (4.15)4. Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados (Q)Nota 4.14Los Flujos Normalizados deben de ser Linealmente Independientes.Por la Figura 4.4 y asumiendo que no existe acumulacin de material en el molinotomamos al ujo de ingreso del molino igual al ujo de salida del molino.1 = 1Por lo tanto de las ecuaciones 4.12 y 4.13Z = 1Se sabe tambin que el ujo es linealmente dependiente de1 por lo tanto, lasecuaciones para cada nodo resultan:Nodo 1:Q1u= fAu +fE1u 1 fACu (1 +1)Q1u= (fAufACu) + (fE1ufACu) 1Nodo 2:Q2u= fACu (1 +1) (fZu +fS1u 1)Q2u= (fACufZu) + (fACufS1u) 1Nota 4.15Como se puede apreciar, las dos ecuaciones de error estn en funcinde slo una variable independiente (1).KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 755. Denir una funcinla cual representa la suma de los errores al cuadrado (

Q2) =

Q2 =k

u=1_Q12u + Q22u_ =k

u=1[(fAufACu) + (fE1ufACu) 1]2+k

u=1[(fACufZu) + (fACufS1u) 1]26. Derivar parcialmente la funcin por cada ujo Normalizado (Linealmente inde-pendientes) e igualar a cero.Nota 4.16En este paso se obtendr una ecuacin cuya solucin dar los FlujosNormalizados Corregidos que hacen que la funcin tome un valor mnimo.11=1= 2 k

u=1{[(fAufACu) + (fE1ufACu) 1] (fE1ufACu)} +2 k

u=1{[(fACufZu) + (fACufS1u) 1] (fACufS1u)} = 0Reordenando obtenemos:1 =

ku=1 [(fAufACu) (fE1ufACu) + (fACufZu) (fACufS1u)]

ku=1 [(fE1ufACu)2+ (fACufS1u)2]7. Calcular los errores M debido a los Flujos Normalizados Corregidos. ReemplazarlosFlujosNormalizadoscorregidoshalladosenel paso6yreemplazarlosenlasecuaciones establecidas en el paso 4.

M2= min() = min

Q2M1u= (fAufACu) + (fE1ufACu) 1M2u= (fACufZu) + (fACufS1u) 1KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 76Los errores tambin pueden expresarse como:M1u= fAu +fE1u 1 fACu M2u= fACu fZu Z fS1u 18. Denir las correcciones.Correcciones = Datos - Datos CorregidosfAu= fAufAufEiu= fEiufEiu; i = {1, 2, ..., m}fACu= fACufACufZu= fZufZufSju= fSjufSju; j = {1, 2, ..., n}9. Reemplazarlasecuacionesdel paso8enM(Ecuacionesdadasenel paso7)para obtener las ecuaciones de Men funcin de las correcciones.M1u= (fAufACu) + (fE1ufACu) 1M2u= (fACufZu) + (fACufS1u) 1Nota 4.17Reordenando las Ecuaciones 4.14 y 4.15 obtenemos:0 = (fAufACu) + (fE1ufACu) 10 = (fACufZu) + (fACufS1u) 1Los errores tambin pueden expresarse como:M1u= fAu + fE1u 1 fACu M2u= fACu fZu Z fS1u 110. Denir la Funcin LagrangianaL(, ) (Funcin Objetivo y Ecuaciones Restric-tivas).L(, ) = f()

[i gi()]La funcin objetivof() ser la suma de los cuadrados de todas las correc-ciones.Las ecuaciones restrictivasg() deben de cumplirg() = 0 y estarn dadaspor las ecuaciones de Mdenidas en 9 : son los Multiplicadores de LagrangeKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 77 : son las Correcciones.La funcin objetivo a minimizar es:fu() = fA2u + fE12u +

fAC2u + fZ2u + fS12uDonde:fAu =fAufAu (1 fAu); fZu =fZufZu (1 fZu)fE1u =fE1ufE1u (1 fE1u); fS1u =fS1ufS1u (1 fS1u)

fACu =fACufACu (1 fACu)La ecuacin anterior puede tomar la siguiente forma:fu() = WAufA2u+WE1ufE12u+WACufAC2u+WZufZ2u+WS1ufS12uDonde:WAu =1fA2u (1 fAu)2; WZu =1fZ2u (1 fZu)2WE1u =1fE12u (1 fE1u)2; WS1u =1fS12u (1 fS1u)2WACu =1fAC2u (1 fACu)2g1() = M1u_(fAufACu) + (fE1ufACu) 1g2() = M2u_(fACufZu) + (fACufS1u) 1Las ecuaciones restrictivas pueden expresarse tambin como:g1() = M1u_fAu + fE1u 1 fACu g2() = M2u_fACu fZu Z fS1u 111. Derivar parcialmente la funcin Lagrangiana (L(, )) por los Multiplicadores deLagrange y las Correcciones e igualar a cero.L(, )1u= M1u_(fAufACu) + (fE1ufACu) 1 = 0L(, )2u= M2u_(fACufZu) + (fACufS1u) 1 = 0KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 78L(, )fAu= 2 WAu fAu +1u = 0L(, )fE1u= 2 WE1u fE1u +1u 1 = 0L(, )fACu= 2 WACu fACu1u (1 +1) +2u (1 +1) = 0L(, )fZu= 2 WZu fZu2u = 0L(, )fS1u= 2 WS1u fS1u2u 1 = 0fAu= 1u12 WAufE1u= 1u12 WE1ufACu= (1u2u) (1 +1)2 WACu= (1u2u) 2 WACufZu= 2u12 WZu= 2uZ2 WZufS1u= 2u12 WS1u= 2u12 WS1u12. Delasrelacionesdel pasoanteriorobtenerunaecuacionquequepermitahallarlos Multiplicadores de Lagrange en funcin de los errores M2 M1u= 1u_1WAu+2WACu+12WE1u_+2u2WACu2 M2u= +1u2WACu2u_Z2WZu+2WACu+12WS1u___1WAu+2WACu+12WE1u2WACu2WACuZ2WZu+2WACu+12WS1u___1u2u_ = 2 _M1uM2u_13. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en elpaso 11 para obtener las correcciones.14. Corregir los Anlisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8)Datos Corregidos = Datos - CorreccionesKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 794.5.1. Algoritmo1. Obtener los datos a corregirSe deber de tener los Anlisis Granulomtricos de los siguientes ujos:Alimentacin Fresca al Circuito fA : Entrada Principal al Nodo 1Descarga del Molino fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1Alimentacin Compuesta fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/oEntrada Principal al Nodo 2Overow del Hidrocicln fZ : Salida Principal del Nodo 2Underow del Hidrocicln fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentacin Fresca al Circuitoy la Descarga del Molino (Carga Circulante)Nodo 2 : Hidrocicln2. Obtener el Flujo Normalizado11 =

ku=1 [(fAufACu) (fE1ufACu) + (fACufZu) (fACufS1u)]

ku=1 [(fE1ufACu)2+ (fACufS1u)2]1 = 1Z = 1 = 1 +13. Calcular los errores M1u y M2u debido a1 para cada Intervalo de TamaosM1u= fAu +fE1u 1 fACu M2u= fACu fZu Z fS1u 14. Hallar los Factores de Ponderacin para cada Intervalo de Tamaos.WAu =1fA2u (1 fAu)2; WZu =1fZ2u (1 fZu)2WE1u =1fE12u (1 fE1u)2; WS1u =1fS12u (1 fS1u)2WACu =1fAC2u (1 fACu)25. Calcular los Multiplicadores de Lagrange1u y2u para cada Intervalo de Tama-os__1WAu+2WACu+12WE1u2WACu2WACuZ2WZu+2WACu+12WS1u___1u2u_ = 2 _M1uM2u_KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 806. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en elpaso 11 para obtener las correcciones.fAu= 1u12 WAufE1u= 1u12 WE1ufACu= (1u2u) 2 WACufZu= 2uZ2 WZufS1u= 2u12 WS1u7. Corregir los Anlisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8)Datos Corregidos = Datos - CorreccionesfAu= fAufAufE1u= fE1ufE1ufACu= fACufACufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1u4.5.2. Aplicacin del Algoritmo1. Obtener los datos a corregirSe deber de tener los Anlisis Granulomtricos de los siguientes ujos:Alimentacin Fresca al Circuito fA : Entrada Principal al Nodo 1Descarga del Molino fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1Alimentacin Compuesta fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/oEntrada Principal al Nodo 2Overow del Hidrocicln fZ : Salida Principal del Nodo 2Underow del Hidrocicln fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentacin Fresca al Circuitoy la Descarga del Molino (Carga Circulante)Nodo 2 : HidrociclnLosAnlisisGranulometricosausarsonlosmismosqueenlaSeccin4.4peroutilizando los Anlisis Granulomtricos de la Alimentacin Compuesta 3(ver tabla4.33 en la pgina 81):KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 81Malla Tyler fAufE1ufACufZufS1u+m8 0.1 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %-m8 +m10 0.4 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.3 %-m10 +m14 1.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.2 %-m14 +m20 1.2 % 0.1 % 0.4 % 0.0 % 0.2 %-m20 +m28 1.6 % 0.1 % 0.3 % 0.0 % 0.3 %-m28 +m35 2.2 % 0.2 % 0.3 % 0.0 % 0.6 %-m35 +m48 2.9 % 0.7 % 0.9 % 0.0 % 1.2 %-m48 +m65 4.7 % 1.5 % 1.7 % 0.1 % 2.1 %-m65 +m100 8.1 % 4.9 % 4.7 % 0.3 % 5.7 %-m100 +m150 9.3 % 9.3 % 8.9 % 0.8 % 9.9 %-m150 +m200 12.8 % 24.6 % 21.6 % 2.6 % 25.4 %-m200 +m325 14.1 % 32.0 % 30.9 % 13.8 % 33.5 %-m325 41.6 % 26.6 % 30.3 % 82.4 % 20.6 %Cuadro 4.33: Anlisis Granulomtricos a Corregiru Malla Tyler fAufE1ufACufZufS1u1 -m8 99.9 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 100.0 %2 -m10 99.5 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.7 %3 -m14 98.5 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.5 %4 -m20 97.3 % 99.9 % 99.6 % 100.0 % 99.3 %5 -m28 95.7 % 99.8 % 99.3 % 100.0 % 99.0 %6 -m35 93.5 % 99.6 % 99.0 % 100.0 % 98.4 %7 -m48 90.6 % 98.9 % 98.1 % 100.0 % 97.2 %8 -m65 85.9 % 97.4 % 96.4 % 99.9 % 95.1 %9 -m100 77.8 % 92.5 % 91.7 % 99.6 % 89.4 %10 -m150 68.5 % 83.2 % 82.8 % 98.8 % 79.5 %11 -m200 55.7 % 58.6 % 61.2 % 96.2 % 54.1 %12 -m325 41.6 % 26.6 % 30.3 % 82.4 % 20.6 %13 0 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %Cuadro 4.34: Anlisis Granulomtricos a CorregirKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 82Como se vi en la seccin 4.2, se deber de corregir con las Fracciones Acumuladas(ver tabla 4.34 en la pgina 81)2. Obtener el Flujo Normalizado11 =

ku=1 [(fAufACu) (fE1ufACu) + (fACufZu) (fACufS1u)]

ku=1 [(fE1ufACu)2+ (fACufS1u)2]1 = 4,78911 = 1 = 4,7891Z = 1 = 1 +1 = 5,78913. Calcular los errores M1u y M2u debido a1 para cada Intervalo de TamaosM1u= fAu +fE1u 1 fACu M2u= fACu fZu Z fS1u 1Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaos:M11= 0,9990 + 1,0000 4,7891 1,0000 5,7891 = 0,0010M21= 1,0000 5,7891 1,0000 1 1,0000 4,7891 = 0,0000Los errores obtenidos son (ver tabla 4.35 en la pgina 83):4. Hallar los Factores de Ponderacin para cada Intervalo de Tamaos.WAu =1fA2u (1 fAu)2; WZu =1fZ2u (1 fZu)2WE1u =1fE12u (1 fE1u)2; WS1u =1fS12u (1 fS1u)2WACu =1fAC2u (1 fACu)2Los Factores de Ponderacin obtenidos son (ver tabla 4.36 en la pgina 83):3Datos extrados de [1], pgina 157.KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 83u M1uM2u1 -0.0010 0.00002 -0.0050 0.01443 -0.0150 0.02394 -0.0086 0.01045 -0.0121 0.00746 -0.0263 0.01877 -0.0367 0.02418 -0.0571 0.02739 -0.1007 0.031110 -0.1238 -0.002011 -0.1795 -0.010012 -0.0642 -0.056513 0.0000 0.0000Cuadro 4.35: Errores para cada intervalo de tamaosu WAuWE1uWACuWZuWS1u1 1002003.00 2 40403.02 111780.793 4580.84 40403.024 1448.93 1002003.00 63003.02 20696.915 590.53 251003.01 20696.91 10203.046 270.74 63003.02 10203.04 4034.327 137.88 8449.33 2878.42 1350.058 68.17 1559.32 830.31 1002003.00 460.529 33.52 207.78 172.63 63003.02 111.3610 21.48 51.18 49.30 7114.16 37.6511 16.42 16.99 17.74 748.31 16.2212 16.94 26.23 22.42 47.55 37.3813 Cuadro 4.36: Factores de PonderacinKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 845. Calcular los Multiplicadores de Lagrange1u y2u para cada Intervalo de Tama-os__1WAu+2WACu+12WE1u2WACu2WACuZ2WZu+2WACu+12WS1u___1u2u_ = 2 _M1uM2u_Para el primer intervalo de tamaos obtenemos:_11002003,00 +5,78912+4,789125,789125,7891212 +5,78912+4,78912__1u2u_ = 2_ 0,00100,0000_Resolviendo obtenemos:11= 2004,0121= 0,00Los Multiplicadores de Lagrange obtenidos son (ver tabla 4.37 en la pgina 85):6. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en elpaso 11 para obtener las correcciones.fAu= 1u 12fE1u= 1u12fACu= (1u2u) (1 +1)2fZu= 2u 12fS1u= 2u12Las correcciones obtenidas son (ver tabla 4.38 en la pgina 85):7. Corregir los Analisis GranulometricosfAu= fAufAufE1u= fE1ufE1ufACu= fACufACufZu= fZufZufS1u= fS1ufS1uLos Anlisis Granulomtricos Corregidos son (ver tabla 4.39 en la pgina 87):KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 85u 1u2u1 2004.01 0.002 404.03 -140.043 137.43 -84.364 9.83 -9.455 6.58 -1.056 6.32 -1.867 3.19 -0.398 1.74 0.179 0.71 0.1910 0.31 0.1611 0.17 0.1012 0.15 0.1613 0.00 0.00Cuadro 4.37: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaosu fAufE1ufACufZufS1u1 -0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 -0.0050 0.0000 0.0000 0.0000 -0.00303 -0.0150 0.0000 0.0000 0.0000 -0.00504 -0.0034 -0.0000 0.0009 0.0000 -0.00115 -0.0056 -0.0001 0.0011 0.0000 -0.00026 -0.0117 -0.0002 0.0023 0.0000 -0.00117 -0.0116 -0.0009 0.0036 0.0000 -0.00078 -0.0127 -0.0027 0.0055 0.0000 0.00099 -0.0106 -0.0082 0.0088 0.0000 0.004110 -0.0071 -0.0143 0.0083 0.0000 0.010511 -0.0051 -0.0235 0.0107 0.0001 0.015012 -0.0044 -0.0137 -0.0011 0.0017 0.010213 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000Cuadro 4.38: CorreccionesKOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 868. Hallar el error de la correccinS =13

u=1(fA2u) +13

u=1(fE12u) +13

u=1(fAC2u) +13

u=1(fZ2u) +13

u=1(fS12u)S = 0,00276315151037Los anlisis granulomtricos corregidos expresados en Porcentajes en peso son (vertabla 4.40 en la pgina 87):El error de la correccin usando las fracciones en peso resulta:S = 0,00117523516467Cdigo del programa en Matlab para el clculo: cinverso_mc_total.m%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%CorrecciondeAnalisisGranulometricosporMultiplicadoresdeLagrange:%Sistema:% CircuitoInversodeMoliendaClasificacion%%cinverso_mc_total%%KOBASHICAWACHINEN,JuanAntonio%UNIVERSIDADNACIONALDEINGENIERIA%FACULTADDEINGENIERIAGEOLOGICA,MINERAYMETALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------%Nota:TomaralHidrocicloncomounNodo.%AnalisisGranulometricos%Paso1:ObtenerlosAnalisisGranulometricosdelSistema%AlimentoFresco(EntradaPrincipal)%fA=[0.10.41.01.21.62.22.94.78.19.312.814.141.6]/100.;%ProductodeMolienda(EntradaSecundaria)%fE1=[0000.10.10.20.71.54.99.324.632.026.6]/100.;%AlimentacionCompuesta(AlimentoalHidrociclon)%fAC=[0000.40.30.30.91.74.78.921.630.930.3]/100.;KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 87u fAufE1ufACufZufS1u1 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %2 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %3 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %4 97.6392 % 99.9023 % 99.5114 % 100.0000 % 99.4094 %5 96.2572 % 99.8063 % 99.1932 % 100.0000 % 99.0248 %6 94.6674 % 99.6240 % 98.7678 % 100.0000 % 98.5105 %7 91.7555 % 98.9903 % 97.7406 % 100.0000 % 97.2688 %8 87.1749 % 97.6669 % 95.8545 % 99.9000 % 95.0098 %9 78.8629 % 93.3213 % 90.8238 % 99.5998 % 88.9913 %10 69.2126 % 84.6320 % 81.9684 % 98.7988 % 78.4541 %11 56.2080 % 60.9516 % 60.1322 % 96.1932 % 52.6023 %12 42.0445 % 27.9747 % 30.4051 % 82.2331 % 19.5830 %13 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %Cuadro 4.39: Anlisis Granulomtricos CorregidosMalla Tyler fAufE1ufACufZufS1u+m8 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m8 +m10 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m10 +m14 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m14 +m20 2.3608 % 0.0977 % 0.4886 % 0.0000 % 0.5906 %-m20 +m28 1.3820 % 0.0961 % 0.3182 % 0.0000 % 0.3846 %-m28 +m35 1.5898 % 0.1823 % 0.4254 % 0.0000 % 0.5142 %-m35 +m48 2.911