Universidad del RosarioEconomıa Matematica - 2012-II

Taller 8 - Kuhn Tucker

1. En los siguientes problemas de optimizacion:

a. Dibuje el conjunto K de puntos factibles y las curvas de nivel de la funcion objetivo.

b. ¿Es el conjunto K compacto, convexo y cumple la condicion de Slater?

c. Solucione el problema y justifique porque es una solucion.

(1)

Max x1x2

s.a x1 + x2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0

Solucion. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), convexo y cumple conSlater (tiene puntos interiores). Todos los puntos son cualificados, por lo tanto las condicionesde Kuhn- Tucker son necesarias para ser la solucion al problema de maximizacion. Hay dospuntos que satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, pero el que resuelve el problema es(x∗1, x

∗2) = (12 ,

12), con multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones)

λ1 = 12 , λ2 = 0,λ3 = 0.

Figura 1: Q1(1)

(2)

Min (x1 − 1)2 + x22

s.a − x1 + x22 ≤ 1

x1 + x2 ≤ 2

Solucion. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), convexo y cumple conSlater (tiene puntos interiores). Todos los puntos son cualificados, por lo tanto las condiciones deKuhn- Tucker son necesarias para ser la solucion al problema de minimizacion. Aca claramenteel punto que resuelve el problema de optimizacion y satisface las condiciones de Kuhn-Tuckeres (x∗1, x

∗2) = (1, 0), con multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones)

λ1 = 0 y λ2 = 0 (Note que las restricciones no estan activas).

1

Figura 2: Q1(2)

(3)

Max 4x+ 3y

s.a x2 + y2 ≤ 1

x ≥ yy ≥ 0

Solucion. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), convexo y cumple conSlater (tiene puntos interiores). Todos los puntos son cualificados, por lo tanto las condicionesde Kuhn- Tucker son necesarias para ser la solucion al problema de maximizacion. El puntoque resuelve el problema de optimizacion es (x∗, y∗) = (45 ,

35), con multiplicadores de lagrange

asociados (en el orden de las restricciones) λ1 = 52 , λ2 = 0 y λ3 = 0 .

-1 0 1 2

-1

0

1

A = (0:8;0:6)

Figura 3: Q1(3)

(4)

Max x2 + y

s.a x2 + y2 ≤ 4

x2 ≥ yx, y ≥ 0

2

Solucion. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), NO es convexo ycumple con Slater (tiene puntos interiores). Existe un punto no cualificado (x, y) = (0, 0)en donde f(0, 0) = 0, se deben verificar otros posibles puntos usando el procedimiento de

Kuhn- Tucker. El punto que resuelve el problema de optimizacion es (x∗, y∗) = (√152 , 12), con

multiplicadores de lagrange asociados (en el orden de las restricciones) λ1 = 1, λ2 = 0, λ3 = 0 yλ4 = 0. Note que en este punto la funcion es mayor que en el punto no cualificado, f(x, y) = 17

4 .

Figura 4: Q1(4)

2. Considere el siguiente problema de optimizacion

Max x1

s.a x2 − (1− x1)2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0

a. Dibuje el conjunto de puntos factibles y las curvas de nivel de la funcion objetivo. ¿Es compactoy convexo? ¿Cumple la condicion de Slater?

b. Calcule las condiciones de Kuhn Tucker. ¿Existe algun punto donde se cumplan?

c. Encuentre la solucion del problema. ¿Es este punto un punto cualificado?

d. Agregue la restriccion adicional 2x1 +x2 ≤ 2. Calcule las condiciones de Kuhn Tucker. ¿Existealgun punto donde se cumplan?

Solucion. El conjunto K es cerrado y acotado (por lo tanto compacto), NO es convexo y cumplecon Slater (tiene puntos interiores). Existe un punto no cualificado (x, y) = (1, 0) que resulta serel optimo. Sin la restriccion adicional no hay ningun punto que cumpla las condiciones de Kuhn-Tucker, con la restriccion adicional el procedimiento de Kuhn- Tucker si encuentra el punto optimo¿Porque?.

3. Resuelva el siguiente problema:

max x2

s.a x ≥ y2 − 4

x ≤ 4− y2

3

Figura 5: Q2

Solucion. El conjunto de restricciones K es cerrado, convexo y cumple la condicion de Slater, en-tonces la solucion del problema debe cumplir las siguientes condiciones de Kuhn-Tucker:

(KT1)

{2x = −λ1 + λ2

0 = 2yλ1 + 2yλ2 − λ3(KT2)

λ1(x− y2 + 4) = 0

λ2(x− 4 + y2) = 0

λ3y = 0

(KT3)

λ1 ≥ 0

λ2 ≥ 0

λ3 ≥ 0

Figura 6: Q3

(i) Solucion interior: λ1 = λ2 = λ3 = 0 ⇒ x = 0, entonces los puntos (0, a) con a ∈ (0, 2) sonposibles soluciones.

(ii) Solucion en sobre la restriccion 1 pero no en las intersecciones: λ2 = λ3 = 0

⇒ (KT1)+(KT2)

2x = −λ10 = 2yλ1

x = y2 − 4

⇒ tenemos x = 0 o y = 0, contradiccion!!

4

(iii) Solucion en sobre la restriccion 2 pero no en las intersecciones: λ1 = λ3 = 0

⇒ (KT1)+(KT2)

2x = λ2

0 = 2yλ2

x = 4− y2⇒ tenemos x = 0 o y = 0, contradiccion!!

(iv) Solucion en sobre la restriccion 3 pero no en las intersecciones: λ1 = λ2 = 0

⇒ (KT1)+(KT2)

2x = 0

0 = −λ3y = 0

⇒ tenemos que (0, 0) es candidato a ser solucion.

(v) Solucion en A(4, 0) que es la interseccion de las representaciones de las restricciones 2 y 3:λ1 = 0

⇒ (KT1)

{8 = λ2

0 = −λ3⇒ tenemos que (4, 0) es candidato a ser solucion.

(vi) Solucion en B(0, 2) que es la interseccion de las representaciones de las restricciones 1 y 2:λ3 = 0

⇒ (KT1)

{0 = −λ1 + λ2

0 = 4λ1 + 4λ2⇒ tenemos que (0, 2) es candidato a ser solucion.

(vii) Solucion en C(−4, 0) que es la interseccion de las representaciones de las restricciones 1 y 3:λ2 = 0

⇒ (KT1)

{−8 = −λ10 = −λ3

⇒ tenemos que (−4, 0) es candidato a ser solucion.

Conclusion: los candidatos a ser solucion son los puntos (0, a) con a ∈ [0, 2], (4, 0) y (−4, 0). Seaf(x, y) = x2 entonces

f(0, a) = 0 ≤ f(4, 0) = f(−4, 0) = 16

entonces las soluciones son (4, 0) y (−4, 0)

4. Un granjero tiene un terreno de h hectareas, y un tractor que puede usar por t horas. Con cadahora de tractor, planta una hectarea, que produce 1 tonelada de soya. El precio de la soya es $1 portonelada. No tiene costos de usar la tierra, o el tractor y cualquier recurso ocioso no produce nada(no puede alquilarlo a un vecino). Para cada una de las tres posibilidades (h menor o igual que t;igual, o mayor), determine cuanto esta dispuesto a pagar el granjero por agrandar “un poquito”suterreno.

Solucion:

Consideramos primero el caso en que h < t:

Es obvio que el granjero utilizara todas sus hectareas, y que por tanto sus beneficios seran π = h.Tenemos entonces que dπ/dh = 1: Esa es la respuesta. Pero para hacerlo mas largo y tecnico,tenemos que el granjero debe elegir H, T para maximizar

max mın{H,T}

sujeto a

H ≤ hT ≤ t.

5

El Lagrangiano de este problema es

L = mın{H,T}+ λ1(h−H) + λ2(t− T ).

Como h es menor que t; queda L = H + λ1(h−H) + λ2(t− T ) ; por lo que la condicion de primerorden es λ1 = 1 y H = h (esto sale de Kuhn-Tucker). Por supuesto, los beneficios son π = h (comoya sabıamos). Si queremos hacer dπ/dh, podemos hacerlo directamente, o con el Teorema de laEnvolvente: como π(h) = maxH L(H;h); tenemos

dπ

dh=∂L∂h

= λ = 1.

Siguiendo razonamientos parecidos a este, obtenemos que en los otros casos el granjero esta dispuestoa pagar 0 por ampliar su terreno. El unico caso “curioso.es cuando h = t; en cuyo caso las dosrestricciones estan activas, pero el granjero no esta dispuesto a pagar nada por relajarlas.

5. Considere el problema

max xy

sujeto a x2 + a2y2 ≤ 1.

Encuentre V ′(a) de la funcion de maximo valor cuando a = 1.

Solucion:

El Lagrangiano de este problema es

L = xy + λ(1− x2 − a2y2).

Entonces, las condiciones de primer orden son:

∂L∂x

= y − 2λx = 0⇒ y = 2λx

∂L∂y

= x− 2λa2y = 0⇒ x = 2λa2y

Entonces, x2 = y2a2. Suponga que λ > 0, y2a2 + a2y2 = 1. Entonces,

y∗ = ∓√

1

2

1

aand x∗ = ∓

√1

2.

Entonces, λ∗ = 12a . Si λ = 0, x = 0, y = 0, f(0, 0) = 0 < f(x∗, y∗) =

√12

√121a .

V ′(a) =∂L∂a

= −2λ∗a(y∗)2 = − 1

2a2

Cuando a = 1,

V ′(1) = −1

2.

6

6. Considere el siguiente problema donde a ∈ IR:

max ax+ y

s.a. x2 − 1 ≤ yy ≤ 1− x2

(a) ¿Que puede decir sobre la existencia de la solucion del problema (P)?

Solucion. Como el conjunto de restricciones es compacto y la funcion objetivo es continua,entonces existe al menos una solucion.

(b) ¿Puede usar el teorema de Kuhn-Tucker para resolver el problema (P)? Justifique su respuesta.

Solucion. Como el conjunto de restricciones es cerrado, convexo y cumple Slater, entonces lasolucion debe cumplir las condiciones de Kuhn-Tucker.

(c) Resuelva el problema (P) para todo a ∈ IR. Muestre que hay tres posibles soluciones: una paraa ∈ (−∞;−2], otra para a ∈ (−2; 2) y una ultima para a ∈ [2;∞).

Solucion. Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

(KT1)

{a = 2λ1x+ 2λ2x

1 = −λ1 + λ2(KT2)

{λ1(x

2 − 1− y) = 0

λ2(y − 1 + x2) = 0(KT3)

{λ1 ≥ 0

λ2 ≥ 0

Si λ2 = 0 tenemos λ1 = −1 lo cual es una contradiccion. Por lo tanto λ2 6= 0 y la solucionesta en la restriccion 2.

(i) Solucion en la restriccion 2 pero no en los puntos de interseccion.

Entonces λ1 = 0, λ2 = 1, x∗ = a2 , y∗ = 1 − a2

4 . En este caso x∗ ∈ (−1, 1), por lo tantonecesitamos que a ∈ (−2, 2).

(ii) Solucion en (-1,0), tenemos{a = −2λ1 − 2λ2

1 = −λ1 + λ2⇒ λ2 = 1+λ1 ⇒ a = −2λ1−2−2λ1 ⇒ λ1 =

−a− 2

4, λ2 =

2− a4

Para tener λ1 ≥ 0 necesitamos −2 ≥ a.

(iii) Solucion en (1,0), tenemos{a = 2λ1 + 2λ2

1 = −λ1 + λ2⇒ λ2 = 1 + λ1 ⇒ a = 2λ1 + 2 + 2λ1 ⇒ λ1 =

a− 2

4, λ2 =

a+ 2

4

Para tener λ1 ≥ 0 necesitamos a ≥ 2.

Conclusion: Cuando a ∈ (−∞;−2] la solucion es (x∗, y∗) = (−1, 0),

cuando a ∈ (−2; 2) la solucion es (x∗, y∗) = (a2 , 1−a2

4 )cuando a ∈ [2;∞) la solucion es (x∗, y∗) = (1, 0).

(d) Encuentre cuanto cambia la funcion de maximo valor de (P) con respecto al parametro a. Aligual que al solucionar el problema (P), debe encontrar tres casos que dependen de los valoresque puede tomar a.

Solucion. La funcion de maximo valor es: V (a) = ax∗ + y∗

V (a) =

−a si a ∈ (−∞;−2]a2+44 si a ∈ (−2; 2)

a si a ∈ [2; +∞)

⇒ V ′(a) =

−1 si a ∈ (−∞;−2]a2 si a ∈ (−2; 2)

1 si a ∈ [2; +∞)

Usando el Teorema de la Envolvente se encuentra el mismo resultado.

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7. ¿Por que no se pueden usar las condiciones de KT para resolver este problema?

max f(x, y) = −y s.a. y3 − y2 = 0

Solucion. Primero, note que (0, 0) es solucion del problema de optimizacion. Observe que∇f(x, y) =(0,−1) y∇g(x, y) = (−2x, 3y2), que en (0, 0) es∇g(0, 0) = (0, 0). Lo anterior indica que no es posibleencontrar λ∗ tal que

∇f(0, 0) = λ∗∇g(0, 0),

es decir, el punto optimo no satisface la CKT1. El hecho es que el vector ∇g(0, 0) no es linealmenteindependiente (pues el el vector nulo).

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