CONTRIBUCIÓN A LA ENSEÑANZA DE LAS CONICAS …

CONTRIBUCIOacuteN A LA ENSENtildeANZA DE LAS CONICAS MEDIANTE EL USO DE LA

ASTRONOMIA

JESUacuteS ALBERTO MURILLO SILVA

Ingeniero Geoacutelogo

Universidad Nacional de Colombia

Maestriacutea en Ciencias exactas y naturales

Medelliacuten Colombia

2012

Tesis presentada como requisito parcial para optar al tiacutetulo de

Magister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales

Director

Carlos Julio Echavarriacutea Hincapieacute

Matemaacutetico


Facultad de ciencias

Escuela de Matemaacutetica


(INCLUYE ANEXO SOBRE EL NUMERO DE ORO)

2012

III

Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea

A WAIRA JEROacuteNIMO Y MELINA POR PERMITIRME COMPARTIR UN SUENtildeO

Y UNA ESTRELLA A ESTE LADO DEL CIELO

Institucioacuten educativa Josefina Muntildeoz Gonzaacutelez Antigua Capilla dedicada ahora a Biblioteca Central

IV


El Universo lleva impreso el ornamento de las

proporciones armoacutenicas pero hay que acomodar

las armoniacuteas a la experiencia Kepler quedoacute

muy afectado al verse en la necesidad de abandonar

una oacuterbita circular y poner en duda su fe en el

divino geoacutemetra Una vez expulsados del establo de

la astronomiacutea los ciacuterculos y las espiacuterales solo le

quedoacute como dijo eacutel una carretada de estieacutercol un

circulo alargado

Carl Sagan Cosmos

V


Agradecimientos

A la Universidad Nacional de Colombia la Maestriacutea en Ensentildeanza de las ciencias exactas

y Naturales y a su director el Profesor Arturo Jessie Manuel quien ha luchado

incansablemente por sacar adelante esta Maestriacutea por permitirme adquirir una nueva

formacioacuten acadeacutemica que fortalece y complementa mis conocimientos bridaacutendome

herramientas pedagoacutegicas para mejorar cada diacutea mi labor docente y enriquecer la

cotidianidad con mis estudiantes

A la Institucioacuten Educativa Josefina Muntildeoz Gonzaacutelez especialmente los estudiantes de

10deg3 con quienes se realizoacute el presente trabajo con el apoyo del docente Jack Navarro

A Carlos Julio Echavarriacutea Hincapieacute Matemaacutetico Profesor de Astronomiacutea en la Maestriacutea

y asesor de este trabajo de grado por su dedicacioacuten su gran colaboracioacuten y sus valiosos

y desinteresados aportes que permitieron el desarrollo y culminacioacuten de un suentildeo

A todos los profesores monitores y compantildeeros de la maestriacutea por sus incansables

aportes

A Mario Arenas y Wilmar Floacuterez (Homero) quienes me ofrecieron su oportuna ayuda en

el momento justo

A Diana Espejo y Aida Zapata Mis compantildeeras de estudio quienes intercambiaron

experiencias enriquecedoras de nuestro quehacer docente y compartimos largos y gratos

momentos de nuestro quehacer cotidiano

VI


Resumen

El bajo rendimiento acadeacutemico en general la apatiacutea y el temor que se manifiesta hacia la

matemaacutetica hace que los docentes desarrollen nuevas estrategias para acercar el

conocimiento a ellos conservando su desarrollo personal y la autonomiacutea escolar

Para los estudiantes de deacutecimo grado el estudio de las leyes fiacutesicas paralelamente con

la trigonometriacutea donde el capiacutetulo de las coacutenicas se ha tomado de uacuteltimo por efectos del

desarrollo del presente trabajo despierta el intereacutes porque se puede ver en estas dos

aacutereas la transversalidad de los conceptos que se han visto en las charlas y videos

relacionados con la matemaacutetica y la astronomiacutea en el proyecto de uso del tiempo libre

El presente trabajo pretende contribuir al acercamiento de las coacutenicas mediante el uso

de las aplicaciones de ellas en la astronomiacutea ademaacutes en la indagacioacuten preliminar se

encuentra que muchos estudiantes de la Institucioacuten educativa josefina Muntildeoz de los

grados deacutecimos evidencian relevante intereacutes por la astronomiacutea y temas afines con la

matemaacutetica gusto desarrollado en los talleres luacutedicos de aprovechamiento del tiempo

libre perteneciente a los proyectos extracurriculares que se desarrollan en las

instituciones educativas y en este caso se aprovecharaacute para potenciar el aprendizaje de

las coacutenicas

Palabras clave Coacutenicas paraacutebola elipse hipeacuterbola circunferencia veacutertice foco eje

focal directriz radio centro asiacutentotas eje conjugados planetas cometas trayectorias y

luna

VII


Abstract

His poor academic performance in general apathy and fear manifested toward math

makes teachers develop new strategies to bring knowledge to them preserving their

personal development and school autonomy

For sophomores the study of the laws of physics parallel with trigonometry where the

conical section of the latter is taken for the purposes of development of this work it

arouses interest you can see in these two areas the mainstreaming of the concepts that

have been in talks and videos related to mathematics and astronomy in the proposed use

of leisure time

This paper aims to contribute to the rapprochement of conics using these applications in

astronomy and in the preliminary investigation found that many students of the

educational institution Josefina Muntildeoz tenth grade show significant interest in astronomy

and issues related to mathematics developed in workshops like playful use of leisure time

part of extracurricular projects that are developed in educational institutions and in this

case will be used to enhance learning of conics

Keywords Conics parabola ellipse hyperbola circle vertex focus focal axis guideline

radio center asymptotes conjugate axis planets comets trajectories and moon

VIII


Contenido

Paacuteg

1 CONTRIBUCIOacuteN A LA ENSENtildeANZA DE LAS COacuteNICAS MEDIANTE

EL USO DELA ASTRONOMIA

Resumenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip XI

AbstracthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipXII

IntroduccioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipXV

11 Formulacioacuten de la Pregunta de Investigacioacuten 14 12 Propuesta 14 13 DESCRIPCIOacuteN DE LA PROPUESTA 16 14 Objetivos de la Propuesta 17

141 Objetivo General 17 142 Objetivos Especiacuteficos 17

15 Referente Teoacuterico 17 16 Referente Disciplinar 19

161 El inicio de la Astronomiacutea 19 162 La astronomiacutea en la educacioacuten 24

2 COacuteNICAS Y SU HISTORIA 26 21 Importancia de las coacutenicas en astronomiacutea 31 22 La Circunferencia en Astronomiacutea 31 23 Galileo Observando Manchas Solares 34

231 La Elipse En La Astronomiacutea 35 232 La Paraacutebola en la Astronomiacutea 40 233 La Hipeacuterbola en Astronomiacutea 42

24 Propiedades generales de las coacutenicas 43 241 Propiedades de la Hipeacuterbola 44 242 Propiedades de la paraacutebola 44 224 La ecuacioacuten general de una seccioacuten coacutenica 45

3 Metodologiacutea de la Intervencioacuten 47 31 Teacutecnicas 47 32 Aplicacioacuten de instrumentos valorativos 48

4 Anaacutelisis de Resultados 51 41 Resultados del ICFES Para los Antildeos Indicados 51 42 Anaacutelisis de resultados de las pruebas implementadashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip54

5Conclusiones y recomendacioneshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip56 51 De los estudianteshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip68 52 Del profesorhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip70 ANEXOShelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74 BIBLIOGRAFIAhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101

IX


Lista de Figuras

PAG

11 Angulo de inclinacioacuten de la tierra helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

21 Cortes de un cono helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13

22 Usos de la circunferencia en astronomiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16

23 Fragmento de la maacutequina Antikiterahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip17

24 Ilustracioacuten de la medida de la circunferencia terrestre por Eratoacutesteneshelliphelliphelliphelliphellip18

25 Manchas solares vistas por Galileohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

26 Ilustracioacuten de la Primera ley de Keplerhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

27 ilustracioacuten de la segunda ley de Keplerhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

28 Cono con cortes mostrando las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25

29 La hipeacuterbola en la semiesfera celestehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26

210 Representacioacuten de una rama de la hipeacuterbolahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip27

X


Lista de Tablas

PAG

11 Recuento histoacuterico de las ideas geomeacutetricas del universohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

21 Excentricidad de los planetas del sistema solarhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

22 Propiedades de la ecuacioacuten general de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

23 Propiedades de los elementos de las coacutenicas 29

24 Las coacutenicas y su excentricidad helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip31

41 Comparativo ICFES institucionalhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip36

42 preguntas del primer testhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip37

43 Aplicaciones cotidianas de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip38

44Razones para estudiar astronomiacutea helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip39

45 Conocimiento particular de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40

46 Naturaleza de la ecuacioacuten de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 41

47 Calificacioacuten de la circunferenciahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

48 Calificacioacuten de la hipeacuterbolahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip44

49 Calificacioacuten de la Elipsehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip47

410 Desempentildeo estudiantes 10deg 3 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip49

411 Calificacioacuten del Crucigrama de astronomiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

412 Notas de la evaluacioacuten final sobre las Coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

XI


Anexos

Paacuteg

AAnexo primer test sobre coacutenicas y astronomia helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip53

BAnexo Guia para construir las coacutenicas sis sus elementos constitutivoshelliphelliphelliphelliphellip82

C Anexo Elaboracioacuten de crucigrama con conceptos de astronomiacutea y matemaacuteticahellip60

D Anexo Guia para construir las coacutenicas con regla y compaacuteshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

E anexo Evaluacioacuten final de la actividadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip73

F Anexo fotograacuteficohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip95


Introduccioacuten

La astronomiacutea incita al alma a

mirar Hacia las alturas y nos conduce

desde este a otro mundo

Platoacuten

Las secciones coacutenicas son aplicables a la mecaacutenica celeste esto fue descubierto

por Johannes Kepler quien utilizoacute los precisos datos tomados por Ticho Brahe

descubriendo que las oacuterbitas o trayectorias que describen los planetas

corresponden precisamente a las secciones coacutenicas inicialmente Eacutel pudo calcular

dichas oacuterbitas con circunferencias pero encontraba en sus caacutelculos errores que

solamente desapareciacutean si se cambiaba la circunferencia por una elipse Para

Kepler fue difiacutecil este cambio por sus creencias religiosas pero lo aceptoacute y con

base en esa oacuterbita eliacuteptica pudo formular sus tres leyes del movimiento de los

planetas la cual se cumple para todo el sistema solar donde el sol estaacute uno de los

focos de la elipse

Las curvas coacutenicas son importantes ya que cuando dos cuerpos masivos

interactuacutean seguacuten la ley de gravitacioacuten universal enunciada por Newton sus

trayectorias describiraacuten secciones coacutenicas si su centro de masa se considera en

reposo Si estaacuten relativamente proacuteximas describiraacuten elipses si se alejan demasiado

describiraacuten paraacutebolas o en el caso de los cometas que describe una hipeacuterbola

cuando se alejan del sol

Para los estudiantes de deacutecimo grado el estudio de las leyes fiacutesicas paralelamente

con la trigonometriacutea donde el capiacutetulo de las coacutenicas se ha tomado de uacuteltimo por

efectos del presente trabajo se despierta el intereacutes porque se puede ver en estas

dos aacutereas la transversalidad de los conceptos que se han visto en las charlas y

videos relacionados con la matemaacutetica y la astronomiacutea

Una de las aplicaciones maacutes importantes de las coacutenicas en astronomiacutea se da al

planear el despegue de una nave espacial ya que para que esta pueda abandonar

la tierra e ir a alguacuten planeta o sateacutelite (por ejemplo la luna) tiene que encontrarse la

13


tierra en alguacuten punto de la excentricidad correspondiente a la oacuterbita eliacuteptica descrita

por la tierra

Otras aplicaciones en la construccioacuten de telescopios paraboacutelicos con mercurio

liacutequido en puentes colgantes las trayectorias de los proyectiles en cuerpos en la

caiacuteda sobre plano inclinado y ahora se estaacute pensando que a nivel atoacutemico los

electrones se comportan siguiendo dichas trayectorias

La experiencia ha permitido que los docentes notemos como las ciencias exactas y

naturales siempre han sido las asignaturas con mayores dificultades tanto para el

aprendizaje de los estudiantes como para la ensentildeanza de los profesores los

primeros porque las ven muy complejas y los segundos porque tienen que pensar

constantemente en nuevas estrategias pedagoacutegicas y didaacutecticas que les permitan

llegar a los estudiantes posibilitando en eacutestos la formacioacuten y adquisicioacuten de nuevos

conceptos en sus estructuras cognitivas de una forma significativa es por ello que

surge la necesidad de retomar diferentes tipos de herramientas y establecer otras

metodologiacuteas que permitan que el estudiante no solo se acerque al conocimiento

propio de estas aacutereas sino que pueda potenciar las competencias baacutesicas

comunicativas hacieacutendolos responsables de su propio aprendizaje y desarrollando

actitudes favorables dentro de su contexto

Para desarrollar la propuesta se disentildearon e implementaron cuatro guiacuteas

didaacutecticas para cada una de las coacutenicas las cuales fueron construidas teniendo en

cuenta no soacutelo los planteamientos propuestos por Pierre Faure para la elaboracioacuten

de guiacuteas sino los contenidos y nuacutecleos temaacuteticos del aacuterea de matemaacuteticas

propuestos para el grado deacutecimo durante el tercer y cuarto periacuteodos del antildeo

acadeacutemico 2012 La propuesta se desarrolloacute en tres fases diagnoacutestico intervencioacuten

y anaacutelisis de los resultados

14


1 Contribucioacuten a la Ensentildeanza de las Coacutenicas Mediante el Uso de Astronomiacutea

11 Formulacioacuten de la Pregunta de Investigacioacuten

Si he sido capaz de ver maacutes lejos

se debe a que estaba encaramado en

hombros de gigantes

Isaac Newton

iquestCoacutemo contribuir al mejoramiento del aprendizaje de las coacutenicas mediante el uso de

la astronomiacutea en el grado 100 de la Institucioacuten Educativa Josefina Muntildeoz

Gonzaacutelez del municipio de Rio negro

12 Propuesta

El bajo desempentildeo en matemaacutetica en los toacutepicos relacionados con los elementos

de las coacutenicas en la Institucioacuten Josefina Muntildeoz de Rionegro en el grado 10deg

llevaron al planteamiento de una posible solucioacuten que permitiera superar las

debilidades e incrementar las fortalezas encontradas tratando de aprovechar al

maacuteximo el intereacutes por la astronomiacutea

Conviene sin embargo advertir que existe una estrecha relacioacuten entre la

geometriacutea y astronomiacutea por el simple hecho de que en todo el universo lo

gobiernan las formas geomeacutetricas por ejemplo las orbitas de los planetas entorno al

sol como el sistema solar sateacutelites entorno a un planeta meteoritos al penetrar la

atmoacutesfera y cometas en torno a una estrella Las orbitas son secciones coacutenicas es

decir elipses hipeacuterbolas paraacutebolas y circunferencias

15


Debemos reconocer que la astronomiacutea ha tomado ciertos elementos de la

geometriacutea para poder tener referenciados ciertos objetos en la boacuteveda por medio

de las coordenadas celestes tan necesarias para los navegantes e inquietos

observadores del cielo Es de anotar que fue Einstein quien mediante la geometriacutea

pudo establecer que la distancia maacutes corta entre dos puntos es un segmento de

curva (geodeacutesica) y no una liacutenea recta como se pensaba en teacuterminos de la

geometriacutea Euclidiana Para concluir maacutes tarde que el universo es curvo

Es asiacute como se propone la astronomiacutea como una alternativa que contribuya al

mejoramiento del aprendizaje significativo de la matemaacutetica en especial los toacutepicos

geomeacutetricos concernientes a las coacutenicas y a sus elementos constitutivos que

permiten a los estudiantes un mejor manejo de conceptos y estrategias para

graficarlas en plano cartesiano y de este modo comprender las relaciones

existentes entre las partes de ellas y sus muacuteltiples aplicaciones cotidianas Esto se

lograraacute con los grupos que han demostrado intereacutes por dicha disciplina lo que se

manifiesta en los conversatorios e indagaciones que se han sostenido con

estudiantes del grado decimo que son los de maacutes bajo rendimiento en matemaacutetica y

los maacutes interesados por los temas de astronoacutemicos ofrecidos en el proyecto de uso

del tiempo libre

Por otra parte la propuesta pretende brindar a los estudiantes las herramientas

necesarias para ampliar los temas vistos en los talleres relacionados con la

temaacutetica del grado deacutecimo que involucran las coacutenicas aplicadas directamente a

los movimientos ocurridos en el cielo dando un lugar privilegiado a las figuras

geomeacutetricas tan importantes en el desarrollo del conocimiento que ha permitido

comprender el universo del cual hacemos parte

La guiacutea se apoya en la teoriacutea del constructivismo ya que en ella aparece como

requisito el de dar a los estudiantes elementos y herramientas tendientes a que

ellos mismos hagan sus propias deducciones que les permita acercarse a la

resolucioacuten de problemas usando unos conocimientos previos los cuales se

transformaraacuten en la medida que el aprendizaje avance en la direccioacuten de seguir

aprendiendo

En el constructivismo la ensentildeanza y el aprendizaje son dinaacutemicos al ser

manipuladas especialmente por el sujeto que aprende Este es el meacutetodo que maacutes

se practica en la ensentildeanza de las matemaacuteticas pues el estudiante ve lo que se

hace y luego replica lo hecho por el maestro es decir que es participativo e

interactivo

16


13 DESCRIPCIOacuteN DE LA PROPUESTA

Para el desarrollo de la unidad didaacutectica para la ensentildeanza de los elementos que

conforman las coacutenicas se planearaacuten actividades integradoras con la astronomiacutea

que permitan experimentar directamente mediante el uso de material didaacutectico para

adquirir conceptos geomeacutetricos y astronoacutemicos lo cual se realizara en cinco

etapas

Reconocimiento de conceptos previos Inicialmente se plantean preguntas que

permitan al docente identificar los conceptos previos existentes en los estudiantes

en esta etapa el docente es un agente motivador que permite que sus estudiantes

interactuacuteen con las coacutenicas y su aplicacioacuten a la astronomiacutea como una gran lluvia

de ideas

Elaboracioacuten del material de apoyo consiste en el disentildeo de test que recojan la

mayor informacioacuten posible en cuanto a las coacutenicas y su estrecha relacioacuten con la

astronomiacutea y preparacioacuten de guiacuteas que permitan no solo construir las coacutenicas sino

relacionar sus elementos directamente con la astronomiacutea

Experimentacioacuten En este episodio se trabaja con el material requerido por ejemplo

las guiacuteas para construir las coacutenicas con sus elementos constitutivos o el cono de

donde se originan todas las coacutenicas por cortes con planos determinados y

emparentando experiencias con la astronomiacutea como los equinoccios presentados

este antildeo y sus respectivas mediciones donde el maestro toma nota detallada que

haraacute parte del informe final de observaciones

Evaluacioacuten Aquiacute se tendraacute en cuenta las inquietudes y preguntas que los mismos

estudiantes han formulado las cuales se adecuaran y corregiraacute su ortografiacutea pero

de todas maneras seraacuten las relacionadas con el tema pertinente de astronomiacutea y de

las coacutenicas para que el tema quede bien visto en un alto porcentaje deduciendo de

este modo que tan efectiva ha sido la unidad didaacutectica Los datos obtenidos se

compararan con los resultados de la evaluacioacuten inicial para ldquoevaluarrdquo la efectividad

de la unidad didaacutectica

Socializacioacuten de los resultados obtenidos Parte en la que cada estudiante expone

los resultados obtenidos en la experiencia teniendo en cuenta que se deben

relacionar conceptos geomeacutetricos-astronoacutemicos relacionados y las dificultades

presentadas en la experimentacioacuten El docente debe motivar para que los

estudiantes identifiquen clasifiquen organicen las ideas y comparen con los demaacutes

compantildeeros y expliquen el concepto de la forma maacutes indicada

17


14 Objetivos de la Propuesta

141 Objetivo General

Disentildear una propuesta con actividades sobre nociones baacutesicas y conceptos de

Astronomiacutea que permitan motivar el aprendizaje de las coacutenicas de un modo

significativo aprovechando las diferentes interrelaciones entre estas disciplinas

142 Objetivos Especiacuteficos

Identificar los niveles de conocimiento e interpretacioacuten de los estudiantes respecto

de los elementos de las coacutenicas y realizar una revisioacuten teoacuterica de los diferentes

enfoques que utilizan medios de ensentildeanza como recurso didaacutectico en particular el

uso de la astronomiacutea

Hacer de la astronomiacutea un elemento de aproximacioacuten a los conceptos matemaacuteticos

y estructurantes de las coacutenicas

Construir de manera praacutectica las diferentes coacutenicas

Identificar los distintos elementos que constituyen las coacutenicas y localizarlas en cada

una de ellas

Encontrar las coacutenicas en elementos cotidianos

15 Referente Teoacuterico

En pedagogiacutea es importante el concepto de aprendizaje significativo dado que este

facilita el quehacer pedagoacutegico y plantea desde dicho aprendizaje a los estudiantes

aprenden lo que les llama la atencioacuten sea porque es nuevo o por ser novedosa la

metodologiacutea del aprendizaje en la medida que se estaacute modificando su estructura

conceptual

Para Ausubel el aprendizaje significativo es un proceso a traveacutes del cual la

informacioacuten no se toma de manera arbitraria o literal pues se interrelaciona con

una estructura de conocimiento Para Ausubel en la teoriacutea del aprendizaje

significativo aparecen los subsunzores que son como ideas capaces de conectar

unos conceptos con conocimientos ya establecidos ampliando de este modo la

nueva visioacuten de lo aprendido

18


El ldquosubsumidosrdquo es por lo tanto un concepto una idea una proposicioacuten ya

existente en la estructura cognitiva capaz de servir de puente para la nueva

informacioacuten de modo que eacutesta adquiera significado para el individuo (ie que tenga

condiciones de atribuir significaos a esa informacioacuten)rdquo1

A medida que el estudiante incorpora nuevos conceptos baacutesicos de astronomiacutea a

su estructura cognitiva y los contrasta con los elementos conocidos de las coacutenicas

en este caso su aprendizaje se realiza por asimilacioacuten al existir conocimientos

previos en el estudiante se posibilita el establecimiento de nuevos conceptos

favoreciendo el aprendizaje significativo

Una vez adquirido el aprendizaje significativo los nuevos conocimientos son

incorporados en la estructura cognitiva y los subsumidores se convierten en

conceptos maacutes generales abstractos e inclusivos por lo tanto el almacenamiento

de la informacioacuten se da jeraacuterquicamente a traveacutes de la experiencia partiendo de

elementos maacutes sencillos hasta otros de mayor complejidad adquirieacutendose de este

modo un real aprendizaje significativo

En pedagogiacutea es muy difiacutecil tener la seguridad que los estudiantes saben lo que

quieren por tanto es maacutes difiacutecil auacuten saber si les interesa el tema que estaacute

impartiendo el maestro en el aula de clase pero si debe haber seguridad en que es

necesario hacer que el tema sea interesante para que el otro aprenda

ldquoEl cambio conceptual en el sentido de adoptar una concepcioacuten cientiacutefica y

abandonar una no cientiacutefica es una tarea compleja y difiacutecil Tanto los estudios

encarados al respecto como las hipoacutetesis emergentes de los mismos constituyen

aportes de indiscutible importancia al campo de la ensentildeanza especiacutefica de las

ciencias y han contribuido a poner en evidencia la necesidad y el valor de ensentildear

astronomiacutea en las escuelasrdquo2

Interpretando el deseo de los estudiantes de las uacuteltimas generaciones se puede

ver que ellos tienen el ldquochiprdquo incluido para todo pero tienen unas carencias

orgaacutenicas e intelectuales que se manifiestan en la falta de la necesidad de saber

y de explorar es decir que carecen conceptos y datos claros y maacutes especiacuteficos

sobre el movimiento del sol la tierra y la luna y en general sobre el sistema solar y

1MOREIRA Marco Porto Alegre Universidad Porto Alegre La teoriacutea del aprendizaje

significativo de David Ausubel 1983) p 31

2TIGNANELLI Horacio Buenos Aires Cultureacute Astronomiacutea en liliput Diapositivas del curso

de Astronomiacutea 2006 p17

19


las leyes que lo rigen para que la representacioacuten de las trayectorias es decir las

mismas coacutenicas sean efectivamente correspondientes a lo que sucede allaacute en

cielo3

16 Referente Disciplinar

161 El inicio de la Astronomiacutea

La curiosidad con respecto a la duracioacuten del diacutea y la noche a los eclipses de Sol

y de Luna y las vibraciones de las estrellas llevoacute a los hombres primitivos a la

conclusioacuten de que los cuerpos celestes parecen moverse de un modo regular La

primera utilidad de estas observaciones fue por lo tanto la de definir el tiempo en

periodos y como herramienta de orientacioacuten en especial los navegantes que

usaron las estrellas como una bruacutejula

La astronomiacutea solucionoacute los problemas inmediatos de las primeras civilizaciones la

necesidad de establecer con precisioacuten las eacutepocas adecuadas para sembrar y

recoger las cosechas y para las celebraciones y la de orientarse en los

desplazamientos y largos viajes Para los pueblos primitivos el cielo mostraba un

arreglo sistemaacutetico El Sol que separaba el diacutea de la noche saliacutea todas las mantildeanas

desde una direccioacuten el Este se moviacutea uniformemente durante el diacutea y se poniacutea en

la direccioacuten opuesta el Oeste Por la noche se podiacutean ver miles de estrellas que

seguiacutean una trayectoria definida En las zonas tropicales comprobaron que el diacutea y

la noche no duraban exactamente lo mismo a lo largo de un mismo antildeo En los diacuteas

largos el Sol saliacutea maacutes al Norte y ascendiacutea maacutes alto en el cielo al mediodiacutea En los

diacuteas con noches maacutes largas el Sol saliacutea maacutes al Sur y no se veiacutea tan alto Luego

viene el conocimiento de los movimientos ciacuteclicos del Sol de la Luna y de las

estrellas que mostraron su utilidad para la prediccioacuten de fenoacutemenos como el ciclo

de las estaciones de cuyo conocimiento dependiacutea la supervivencia

Cuando la actividad principal del hombre primitivo era la caza se convertiacutea en

primordial el hecho de poder predecir el momento en el que se produciacutea la

3 GIL Quiacutelez M Joseacute y Martiacutenez Pentildea M Begontildea Espantildea Universidad de Zaragoza El

modelo sol-tierra-luna en el lenguaje iconograacutefico de estudiantes de magisterio Ensentildeanza de las ciencias 2005 pp 153ndash166

20


migracioacuten estacional de los animales que les serviacutean de alimento y posteriormente

cuando nacieron las primeras comunidades agriacutecolas era fundamental conocer el

momento oportuno para sembrar y recoger las cosechas ademaacutes de saber con

precisioacuten cuando vendriacutean las lluvias que favoreceriacutea los cultivos y para evitar las

posibles inundaciones en aquellos periodos de crecientes

La alternancia del diacutea y la noche debioacute ser un hecho explicado de manera obvia

desde un principio por la presencia o ausencia del Sol en el cielo y el diacutea pudo ser la

primera unidad de tiempo universalmente utilizada Tambieacuten debioacute de ser de suma

importancia desde un principio el hecho de que la calidad de la luz nocturna

dependiera de las fases de la luna y el ciclo de veintiocho a veintinueve diacuteas

ofreciacutea una manera coacutemoda de medir el tiempo De esta manera los calendarios

primitivos casi siempre se basaban en el ciclo de las fases de la luna

En cuanto a las estrellas para cualquier observador debioacute de ser obvio que ellas

son puntos brillantes que conservan un esquema fijo en la noche

Los primitivos naturalmente creiacutean que las estrellas estaban fijas en una especie

de boacuteveda sobre la Tierra Pero que el Sol y la Luna no deberiacutean estar incluidos en

ella

Se conservan grabados en piedra del megaliacutetico de las figuras de ciertas

constelaciones como la Osa Mayor la Osa Menor y las Pleacuteyades En estos

grabados cada estrella estaacute representada por un alveacuteolo circular excavado en la

piedra Del final del Neoliacutetico se han datado menhires y alineamientos de piedras

la mayor parte de ellos orientados hacia el sol naciente aunque no de manera

exacta sino siempre con una desviacioacuten de algunos grados hacia la derecha Este

hecho hace suponer que suponiacutean fija la Estrella Polar e ignoraban la precesioacuten de

los equinoccios

Con el tiempo se observoacute que el esquema visible de las estrellas realiza un giro

completo en poco maacutes de 365 diacuteas Lo que hace pensar que el sol describe un ciclo

completo contra el fondo de las estrellas en ese intervalo de tiempo Ademaacutes dicho

ciclo de 365 diacuteas del Sol concuerda con el de las estaciones podemos observar que

antes del 2500 aC los egipcios ya usaban un calendario basado en tal ciclo por lo

que cabe suponer que siacute utilizaban la observacioacuten astronoacutemica de manera

sistemaacutetica desde el cuarto milenio

De finales de la eacutepoca egipcia (144 dC) son los llamados papiros de Carlsberg

donde aparece consignado un meacutetodo para determinar las fases de la Luna

procedente de fuentes muy antiguas en los cuales se establece un ciclo de 309

21


lunaciones por cada 25 antildeos egipcios de tal forma que estos 9125 diacuteas se disponen

en grupos de meses lunares de 29 y 30 diacuteas El conocimiento de este ciclo permite

a los sacerdotes egipcios situar en el calendario civil las fiestas moacuteviles lunares

La orientacioacuten de templos y piraacutemides es otra prueba del tipo de conocimientos

astronoacutemicos de los egipcios las caras de las piraacutemides estaacuten orientadas hacia los

cuatro puntos cardinales de forma que por ejemplo la desviacioacuten al Norte de las

piraacutemides de Keops y Kefreacuten es de 2acute28 es decir praacutecticamente despreciable dada

la dimensioacuten del monumento Probablemente esta orientacioacuten la efectuaban

sabiendo que la sombra maacutes corta de un objeto es la que apunta al Norte

Un recuento histoacuterico de las ideas geomeacutetricas del universo se aprecia en la

siguiente tabla

Tabla 11 Conceptos geomeacutetricos del universo de algunos astroacutenomos

FECHA aC ASTRONOMO DESCUBRIMIENTO

Hacia 600 TALES El universo es una burbuja de aire hemisfeacuterica en el seno de una infinita maacutes liacutequida La superficie coacutencava de esa burbuja es el cielo La superficie plana es la tierra La tierra flota en las aguas inferiores lo cual explica las perturbaciones del suelo y la atmoacutesfera

Hacia 570 ANAXIMANDRO La tierra es un astro plano aislado en el universo que es esfeacuterico y compuesto de anillos de fuego el cual aparece a traveacutes de orificios

Principios siglo PITAGORAS ( Pitagoacutericos ) La tierra es esfeacuterica (primera afirmacioacuten de este hecho que se encuentra en la antiguumledad)

Hacia 450 ANAXAGORAS DE CLAZOMENE

La Luna la Tierra y los planetas son grandes piedras en movimiento por el espacio Explicacioacuten de los eclipses de Luna por la sombra que produce la Tierra cuando pasa entre el Sol y la Luna

22


450-400 FILOLAO(Disciacutepulo de Pitaacutegoras)

Todos los astros son esfeacutericos y la Tierra es un astro como los otros animado tambieacuten de un movimiento de rotacioacuten circular en torno al fuego central La duracioacuten de este movimiento (veinticuatro horas) explica el movimiento diurno de las estrellas (movimiento aparente de las estrellas en la boacuteveda celeste en sentido de este a oeste)

427-347 PLATON En el Timeo Platoacuten situacutea la Tierra en el centro del universo pero subraya su caraacutecter esfeacuterico y el hecho de que hay que atribuir a los planetas un movimiento regular (movimiento que estaacute por descubrir)

408-355 EUDOXO(Disciacutepulo de Platoacuten)

Descripcioacuten del movimiento de la Luna y de los planetas Venus Mercurio Juacutepiter y Saturno por la combinacioacuten de movimientos circulares centrados en la Tierra

384-322 ARISTOTELES En De caelo (hacia el 350) Aristoacuteteles reasume el sistema de Eudoxo pero da una realidad concreta a las esferas que sostienen los movimientos circulares Es dar una medida de la dimensioacuten de la Tierra

siglo IV HERACLIDES DE PONTO

Es el primero en suponer que la Tierra gira sobre siacute misma en veinticuatro horas y que Venus gira alrededor del Sol

hacia 290 ARISTARCO DE SAMOS Es el primero en suponer que la Tierra gira no soacutelo

23


sobre siacute misma sino tambieacuten alrededor del Sol Evaluoacute las distancias de Sol y la Luna a la Tierra

hacia 280 APOLONIO Teoriacutea de las exceacutentricas

287-212 ARQUIMEDES Mide la circunferencia de la Tierra y propone una evaluacioacuten de las distancias del Sol y de la Luna a la Tierra

273-192 ERATOSTENES Mide rigurosamente la circunferencia de la Tierra

Hacia 150 SELEUCO Mesopotaacutemico que reasume el sistema de Aristarco

Hacia 140dC HIPARCO Estudioacute con exactitud el movimiento de la Luna y del Sol Descubrioacute la precesioacuten de los equinoccios y establecioacute el primer cataacutelogo de las estrellas Adoptoacute el siguiente orden para el sistema solar Tierra Luna Sol Venus Mercurio Marte Juacutepiter y Saturno Situoacute las estrellas maacutes allaacute del sistema solar

PTOLOMEO Conservoacute la teoriacutea de Hiparco y la completoacute con sus observaciones y las de los astroacutenomos posteriores a Hiparco Su teoriacutea del movimiento de los astros aparece en su libro el Almagesto

1546 - 1601 TICHO BRAHE

1571 - 1630 KEPPLER Formulo tres leyes para el movimiento de los planetas y encontroacute sus relaciones entre aacutereas y tiempo

1564 - 1642 GALILEO Mejoro el telescopio y favorecioacute las observaciones de las fases de la luna

24


1879 ndash 1955 EINSTEIN Con la teoriacutea de la relatividad pudo explicar la oacuterbita de mercurio

1942- HAWKING Trata de aunar la teoriacutea de la gravitacioacuten y la teoriacutea de la relatividad en el cosmos

162 La astronomiacutea en la educacioacuten

En algunas propuestas didaacutecticas de forma impliacutecita y diluida en los programas de

ciencias naturales que va desapareciendo del curriacuteculo a medida que se avanza en

los niveles acadeacutemicos retomando en fiacutesica algunos conceptos de gravitacioacuten

universal y las leyes del movimiento planetario

LA Astronomiacutea tiene una estrecha relacioacuten con la geometriacutea pues en la observacioacuten

del cielo la matemaacutetica es la herramienta precisa para describir lo que sucede en

tanto que la informacioacuten es maacutes completa en la medida que involucra un graacutefico

Las coacutenicas aparecen en el estudio de la astronomiacutea despueacutes de Kepler cuando eacutel

se da cuenta que las oacuterbitas de los planetas no son como lo habiacutean concebido los

griegos desde un comienzo sino que la circunferencia podriacutea transformarse en una

elipse dependiendo de las caracteriacutesticas de su achatamiento (excentricidad)

La astronomiacutea se debe ensentildear favoreciendo la observacioacuten dado que los

astroacutenomos no tienen laboratorio sino observatorio para comprender los

fenoacutemenos del cielo tan cotidianos como las fases de la luna y los movimientos de

la tierra alrededor del sol usado para construir el calendario Estos movimientos se

entienden aplicando las curvas coacutenicas y que toman importancia en astronomiacutea

desde los inicios de la observacioacuten por los primeros astroacutenomos del mundo griego

que matematizaron las observaciones daacutendoles la historia un lugar en la memoria

Dos cuerpos masivos que interactuacutean seguacuten la ley de la gravitacioacuten universal sus

trayectorias describen secciones coacutenicas si su centro de masa se considera en


describiraacuten hipeacuterbolas o paraacutebolas

La vinculacioacuten de las coacutenicas a la astronomiacutea es ejemplificada en los distintos

movimientos de los cuerpos celestes o artificiales de modo que se pueden

ejemplificar La paraacutebola es una oacuterbita tiacutepica de un objeto que no estaacute vinculado a

un centro de gravedad y que viaja a una velocidad llamada de fuga que le es

necesaria para librarse del campo gravitacional por ejemplo realizan oacuterbitas

paraboacutelicas las sondas espaciales interplanetarias que tienen que escapar del

25


campo gravitacional de la Tierra con el fin de dirigirse hacia los planetas

impulsaacutendose en ellos como sucedioacute con el Pioner que se dirigioacute hacia Marte

La elipse es una curva que forma parte de la familia de las Coacutenicas

Matemaacuteticamente se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar un cono

con un plano inclinado en un aacutengulo menor de 90ordm con respecto a la base sin

cortarla

La elipse tiene la forma de un oacutevalo maacutes o menos achatado y es la oacuterbita tiacutepica de

los objetos que giran alrededor de un centro de gravedad como lo hacen por

ejemplo los planetas con el Sol los planetas del sistema solar tienen oacuterbitas

eliacutepticas con una excentricidad muy pequentildea excepto Plutoacuten

La circunferencia tal vez la coacutenica maacutes estudiada porque el mundo griego concibioacute

lo circular como perfecto y lo relacionoacute con lo divino hasta el punto que cuando

Kepler tuvo la necesidad de rehacer sus caacutelculos sobre las orbitas de los planetas y

se dio cuenta que no eran circular el manifestoacute abiertamente que debioacute cambiar las

orbitas circulares por algo asiacute como unas cosas alargadas elipses

Figura 11 Angulo de inclinacioacuten de la tierra

Se sabe que la tierra tiene un ciclo de 25000 antildeos donde su oacuterbita pasa de circular

a eliacuteptica este ciclo lo descubrioacute Milancovich astrofiacutesico Serbio nacido en Daliacute en

1879 y fallecido en 1958 dedujo que se produciacutean cambios en el aacutengulo del eje de

la tierra asiacute como en su rotacioacuten donde se origina un cono y calculoacute todos esas

variaciones Los cambios que tienen lugar en la inclinacioacuten del eje de la Tierra son

los que hacen que las estaciones sean maacutes o menos severas

La hipeacuterbola es una curva coacutenica es decir de las que pueden obtenerse cortando

un cono con un plano Se trata de una curva abierta formada por dos ramas que se

obtiene al cortar una superficie coacutenica mediante un plano que no pasa por el veacutertice

La hipeacuterbola tiene dos asiacutentotas dos rectas cuyas distancias a la curva tienden a

cero cuando la curva se aleja hacia el infinito Las hipeacuterbolas cuyas asiacutentotas son

perpendiculares se llaman hipeacuterbolas equilaacuteteras

26


Desde el punto de vista astronoacutemico y astronaacuteutico la hipeacuterbola es una oacuterbita

abierta tiacutepica de un cuerpo que procede a velocidades superiores a las necesidades

para escapar al centro de atraccioacuten por ejemplo al Sol

Las oacuterbitas de algunos cometas son hipeacuterbolas Estos cometas soacutelo se acercan una

vez al Sol que es uno de los focos de su trayectoria Despueacutes se alejaraacuten

perdieacutendose en los confines del Sistema Solar

Todas estas observaciones se traeraacuten al aula de clase mediante ilustraciones

construcciones con los mismos estudiantes y en lo posible se usaran simulaciones

de software disponibles en la red y visitas al planetario municipal

2 COacuteNICAS Y SU HISTORIA

Si la Luna te ama iquestqueacute te importa que las estrellas se eclipsen

Proverbio Aacuterabe

La astronomiacutea y la geometriacutea estaacuten iacutentimamente ligadas desde el comienzo de la

cultura griega pues se ha descubierto en 1900 cerca de la isla de Antikitera lo que

podriacutea denominarse como la primera computadora mecaacutenica del cielo Los

cientiacuteficos modernos han logrado reconstruir esta maravillosa maacutequina que podiacutea

predecir por medio de ciacuterculos conceacutentricos tangentes y entrelazados los eclipses

de luna de sol y los movimientos de algunos planetas Mas no se trata solamente

de esto tambieacuten predeciacutea la hora en que sucederiacutean y podriacutea comprobarse

directamente en la ldquomaacutequina de Antikiterardquo

Probablemente el desarrollo de la teoriacutea de las coacutenicas se debioacute en absoluto a los

griegos pues ya hacia fines del siglo IV a de C existieron dos obras importantes

desaparecidas La primera es de Aristeo( hacia 330 A C) el Libro de los lugares

soacutelidos (lugares planos eran los que daban lugar a rectas y ciacuterculos lugares soacutelidos

aquellos en los que aparecen las coacutenicas por interseccioacuten de cilindros y conos con

planos) La segunda obra de intereacutes tambieacuten perdida fue de Euclides (330 aC -

275 aC) en cuatro libros cuyo contenido debioacute ser en sus liacuteneas fundamentales

27


el que se encuentra en los cuatro primeros libros de Las Coacutenicas de Apolonio

aunque menos general y menos sistemaacutetico

Las figuras coacutenicas o simplemente coacutenicas se obtienen en la interseccioacuten de

una superficie coacutenica con un plano Se llama superficie coacutenica de revolucioacuten a la

superficie generada por una liacutenea recta que gira alrededor de un eje manteniendo

un punto fijo sobre dicho eje mientras que denominamos simplemente coacutenica a la

curva obtenida al cortar esa superficie con un plano como si tuvieacutesemos un laacutepiz

tomado por la mitad que produzca giros sobre los dedos genera dos conos

conectados por el punto central Las diferentes posiciones de dichos conos en la

interseccioacuten con un plano genera cuatro graacuteficas diferentes llamadas

circunferencia elipse hipeacuterbola y paraacutebola que dependeraacuten del aacutengulo que dicho

plano forme con el eje transversal ver figura

28


Figura 21 diferentes cortes de un cono para genrear las coacutenicas

Fue Hipoacutecrates de Chios quien demostroacute que se podriacutea conseguir la duplicacioacuten del

cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran estas proporciones

de modo tal que ax=xy=y2a y Menecmo (350 AC) Halloacute dichas curvas como

secciones (las secciones en aquellos tiempos soacutelo se consideraban perpendiculares

a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma) agudos (oxitoma) y obtusos

(amblitoma)

Apolonio de Perga (262-190 AC) descubrioacute que las coacutenicas se podiacutean clasificar

en tres tipos a los que dio el nombre de elipses hipeacuterbolas y paraacutebolas

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie coacutenica con un

plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices

Las hipeacuterbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie coacutenica con un

plano que si es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista)

Las paraacutebolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie coacutenica con un

plano paralelo a una sola generatriz (Arista)

29


Apolonio demostroacute que dichas curvas coacutenicas teniacutean muchas propiedades

interesantes Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para

definirlas Quizaacutes las propiedades maacutes interesantes y uacutetiles que descubrioacute Apolonio

de las coacutenicas son las llamadas propiedades de reflexioacuten Si se construyen espejos

con la forma de una curva coacutenica que gira alrededor de su eje se obtienen los

llamados espejos eliacutepticos paraboacutelicos o hiperboacutelicos seguacuten la curva que gira

Apolonio demostroacute que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo

eliacuteptico entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco Si se

recibe luz de una fuente lejana con un espejo paraboacutelico de manera que los rayos

incidentes son paralelos al eje del espejo entonces la luz reflejada por el espejo se

concentra en el foco Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el

foco de un espejo paraboacutelico y el eje del espejo se apunta hacia el sol circunstancia

utilizada por Arquiacutemedes (287-212 AC) que seguacuten la leyenda logroacute incendiar las

naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los

espejos paraboacutelicos De los escritos de Arquiacutemedes solo sobrevivioacute un texto

referente a soacutelidos de revolucioacuten de coacutenicas

A Pappus de Alejandriacutea (290- 350) se le atribuye la introduccioacuten de los conceptos

de foco y directriz En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares las

antenas de televisioacuten y espejos solares La propiedad anaacuteloga que nos dice que un

rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los

automoacuteviles concentren el haz en la direccioacuten de la carretera o para estufas En el

caso de los espejos hiperboacutelicos la luz proveniente de uno de los focos se refleja

como si viniera del otro foco esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para

conseguir una superficie mayor iluminada

En el siglo XVI el filoacutesofo y matemaacutetico Reneacute Descartes (1596-1650) desarrolloacute un

meacutetodo para relacionar las curvas con ecuaciones Este meacutetodo es la llamada

Geometriacutea Analiacutetica En la Geometriacutea Analiacutetica las curvas coacutenicas se pueden

representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y

El resultado maacutes sorprendente de la Geometriacutea Analiacutetica es que todas las

ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones coacutenicas se lo

debemos a Jan de Witt (1629-1672) Sin lugar a dudas las coacutenicas son las curvas

maacutes importantes que la geometriacutea ofrece a la fiacutesica Por ejemplo las propiedades

de reflexioacuten son de gran utilidad en la oacuteptica Pero sin duda lo que las hace maacutes

importantes en la fiacutesica es el hecho de que las oacuterbitas de los planetas alrededor del

sol sean elipses y que maacutes auacuten la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una

fuerza gravitatoria es una curva coacutenica

El astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler (1570-1630) descubrioacute que las oacuterbitas de los

planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el

caso de la tierra la excentricidad es 0017 y los demaacutes planetas variacutean desde 0004

30


de Neptuno a 0250 de Plutoacuten Maacutes tarde el ceacutelebre matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac

Newton (1642-1727) demostroacute que la oacuterbita de un cuerpo alrededor de una fuerza

de tipo gravitatorio es siempre una curva coacutenica Kepler tuvo gran dificultad al

aceptar este importantiacutesimo descubrimiento dado que solo la circunferencia era

perfecta entonces tuvo que cambiar hasta su fe en el divino geoacutemetra por una

carretada de estieacutercol algo asiacute como una circunferencia achatada manifestariacutea

posteriormente4La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas que

estos siguen orbitas eliacutepticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol

Newton tal vez no habriacutea podido descubrir la ley de la Gravitacioacuten Universal de no

haber conocido la geometriacutea de las elipses La orbita que sigue un objeto dentro de

un campo gravitacional constante es una paraacutebola Asiacute la liacutenea que describe

cualquier moacutevil que es lanzado con una cierta velocidad inicial que no sea vert9ical

es una paraacutebola

En el Universo el movimiento maacutes frecuente de estrellas planetas sateacutelites etc es

el descrito mediante trayectorias eliacutepticas (la circunferencia es un caso articular de

elipse) Esto es asiacute porque a grandes distancias y para objetos sin carga eleacutectrica

neta importante la fuerza principal que gobierna este movimiento es la Fuerza

Gravitatoria Fue el gran fiacutesico y matemaacutetico Isaac Newton (16421727) quien

formuloacute la Ley de la Gravitacioacuten que explica los movimientos de los planetas y

sateacutelites en el Sistema Solar

Esta ley reuacutene las tres leyes de Kepler en una sola

En donde

F = fuerza de atraccioacuten

G = la constante de gravitacioacuten universal

M y m = las masas del Sol y el planeta y

R = la distancia al foco de la elipse ocupado por el Sol

F =G Mm

R2

4 SAGAN Carl Bogotaacute Planeta 1984 viajes a traveacutes del espacio Cap VIII 1996

31


Esto no es realmente exacto ya que la gravedad no es constante depende de la

distancia del punto al centro de la Tierra En realidad la curva que describe el moacutevil

es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra

El punto y la recta son coacutenicas degeneradas (aunque cause risa la expresioacuten) Son

los casos liacutemites de las coacutenicas por decirlo de alguna manera asiacute que agregando a

lo anterior todo lo que conlleve puntos y rectas tambieacuten estariacutea inmerso en el

mundo de las coacutenicas

21 Importancia de las coacutenicas en astronomiacutea

Las curvas coacutenicas son importantes en astronomiacutea dos cuerpos masivos que

interactuacutean seguacuten la ley de la gravitacioacuten universal sus trayectorias describen

secciones coacutenicas si su centro de masa se considera en reposo Si estaacuten

relativamente proacuteximas describiraacuten elipses si se alejan demasiado describiraacuten

hipeacuterbolas o paraacutebolas

Las oacuterbitas de planetas como la Tierra son eliacutepticas donde uno de los focos

corresponde al Sol tambieacuten los cometas describen elipses muy grandes y de esta

manera se cree que este razonamiento tambieacuten se puede aplicar a las oacuterbitas de

los aacutetomos

Una de las pocas obras conservadas de Apolonio aunque una de sus obras

fundamentales es las Coacutenicas De todas formas soacutelo se conserva en el original

griego la mitad los cuatro primeros de sus ocho libros pero por suerte un

matemaacutetico aacuterabe Thabit ibn Qurra (836 Haraacuten actual Turquiacutea - 901 Bagdad)

tradujo los tres libros siguientes al aacuterabe antes de que despareciera su versioacuten

griega y esta traduccioacuten se ha conservado En 1710 Edmund Halley publicoacute una

traduccioacuten al latiacuten de los siete libros y desde entonces se han publicado muchas

versiones en lenguas modernas

22 La Circunferencia en Astronomiacutea

Eudoxo (408 aC - 355 aC) fue el primero en concebir el universo como un

conjunto de 27 esferas conceacutentricas que rodean la Tierra la cual a su vez tambieacuten

era otra esfera Platoacuten que era uno de sus maacutes adelantados alumnos y Aristoacuteteles

(384 - 322 aC) mantuvieron el sistema ideado por Eudoxo agregaacutendole no menos

de cincuenta y cinco esferas en cuyo centro se encontraba la Tierra inmoacutevil

32


Figura 22 usos de la circunferencia en astronomiacutea

Ptolomeo (85 - 165 aC) recompiloacute el saber astronoacutemico de su eacutepoca en trece

tomos del laquoAlmagestoraquo Expuso un sistema en donde la Tierra en el centro estaba

rodeada por esferas de cristal de los otros 6 astros conocidos La Tierra no ocupaba

exactamente el centro de las esferas y los planetas teniacutean un epiciclo (sistema

creado por Apolonio de Beacutergamo y perfeccionado por Hiparco) cuyo eje era la liacutenea

de la oacuterbita que giraba alrededor de la Tierra llamada deferente

Figura 23 fragmento de la maacutequina de Antikitera

El epiciclo permitiacutea explicar el movimiento retrogrado observado especialmente el de

Marte como el planeta gira alrededor de su epiciclo se aproxima y se aleja de la

Tierra manifestando un movimiento aparentemente retrogrado visto desde la tierra

Este sistema permitiacutea realizar predicciones de los movimientos planetarios aunque

teniacutea una precisioacuten deficiente pero a pesar de esto fue popularizado y aceptado

maacutes que como modelo verdadero como una ficcioacuten matemaacutetica uacutetil Se calcula que

el universo ptolemaico solo media 80 millones de kiloacutemetros esto porque si fuera

maacutes grande la esfera de las estrellas fijas debiacutea rotar demasiado raacutepido para

cumplir un ciclo en 24 horasFue Eratoacutestenes (Cirene c 284 aJC-Alejandriacutea c

192 aJC) Astroacutenomo geoacutegrafo matemaacutetico y filoacutesofo griego quien por primera

33


vez se atreviera a medir la circunferencia de la tierra Se cuenta que en Alejandriacutea

habiacutea un pozo profundo que se veiacutea iluminado hasta el fondo el 21 de junio

Eratoacutestenes entonces realizoacute las mismas observaciones en Alejandriacutea el mismo diacutea

a la misma hora descubriendo que la luz del Sol se veiacutea reflejada en un pozo de

agua el mismo diacutea y a la misma hora EumlL Asumioacute de manera correcta que si como

el Sol se encontraba a gran distancia sus rayos cuando tocaban la tierra deberiacutean

llegar en forma paralela si esta era plana como se creiacutea en aquellas eacutepocas y no se

deberiacutean encontrar diferencias entre las sombras proyectadas por los objetos a la

misma hora del mismo diacutea independientemente de donde se encontraran Sin

embargo al demostrarse que si lo haciacutean (la sombra dejada por la torre de Siena

actual Aswan formaba 7 grados con la vertical) dedujo que la tierra no era plana y

utilizando la distancia conocida entre las dos ciudades y el aacutengulo medido de las

sombras calculoacute la circunferencia de la tierra en aproximadamente 250 estadios (40

000 kiloacutemetros) bastante exacto para la eacutepoca y sus instrumentos rudimentarios

Figura 23 Ilustracioacuten de la mediada de la circunferencia terrestre por Eratoacutestenes

Tambieacuten calculoacute la distancia al Sol en 804 000 000 estadios y la distancia a la Luna

en 780 000 estadios Midioacute casi con precisioacuten la inclinacioacuten de la ecliacuteptica en 23ordm 51

15 Otro trabajo astronoacutemico fue una compilacioacuten en un cataacutelogo de cerca de 675

estrellas

Creoacute uno de los calendarios maacutes avanzados para su eacutepoca y una historia

cronoloacutegica del mundo desde la guerra de Troya Realizoacute investigaciones en

geografiacutea dibujando mapas del mundo conocido grandes extensiones del riacuteo Nilo y

describioacute la regioacuten de Eudaimon (actual Yemen) en Arabia

Eratoacutestenes vivioacute en Atenas hasta que fue llamado a Alejandriacutea (245 aJC) para

educar a los hijos de Tolomeo III y para dirigir la biblioteca de la ciudad Ceacutelebre en

34


matemaacuteticas por la criba que lleva su nombre utilizada para hallar los nuacutemeros

primos y por su mesolabio instrumento de caacutelculo usado para resolver la media

proporcional

23 Galileo Observando Manchas Solares

Lo primero que comenta Galileo sobre las manchas solares en la segunda de las

cartas escritas sobre este tema el 14 de agosto de 1612 es su convencimiento de

que las manchas se encuentran sobre la superficie solar o muy cerca de ella pero

no en su lejaniacutea como indicaba Schneider Tambieacuten antildeade que no son cuerpos

consistentes como los planetas y que desaparecen y se generan nuevas siendo su

tiempo de duracioacuten variable desde unos pocos diacuteas a maacutes de un mes de existencia

Galileo percibioacute coacutemo las manchas van variando su forma y tonalidad con el paso de

los diacuteas y coacutemo algunas que aparecen en racimos parecen juntarse en una uacutenica

mancha y como otras provenientes de una sola mancha al disgregarse eacutesta se

forman algunas maacutes pequentildeas Cada mancha parece seguir un curso evolutivo

propio diferente al de las demaacutes pero todas tienen una caracteriacutestica en comuacuten

recorren el disco solar siguiendo liacuteneas paralelas entre siacute A raiacutez de este

movimiento Galileo dedujo que el Sol es completamente esfeacuterico y que gira en

torno a su propio eje central aproximadamente en un mes lunar en direccioacuten de

oriente a occidente Tambieacuten apuntoacute que las manchas se encuentran en una franja

que no declina maacutes de 29 grados al norte o sur respecto de su ciacuterculo maacuteximo de

rotacioacuten

Figura 24 manchas solares dibujadas por Galileo

35


231 La Elipse En La Astronomiacutea

Leyes de Kepler

El astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler (1571-1630) formuloacute las tres famosas leyes

que llevan su nombre despueacutes de analizar un gran nuacutemero de observaciones

realizadas por Tycho Brahe (1546-1601) de los movimientos de los planetas sobre

todo de Marte

Kepler haciendo caacutelculos sumamente largos encontroacute que habiacutea discrepancias

entre la trayectoria calculada para Marte y las observaciones de Tycho diferencias

que alcanzaban en ocasiones los 8 minutos de arco (las observaciones de Tycho

poseiacutean una exactitud de alrededor de 2 minutos de arco)

Estas diferencias lo llevaron a descubrir cuaacutel era la verdadera oacuterbita de Marte y los

demaacutes planetas del Sistema Solar

1ra Ley - Oacuterbitas Eliacutepticas

Las oacuterbitas de los planetas son elipses que presentan una pequentildea excentricidad y

en donde el Sol se localiza en uno de sus focos

Figura 24 Elipse con sus focos F1 y F2 desde donde se dirige la distancia

constante

Una elipse es baacutesicamente un ciacuterculo ligeramente aplastado Teacutecnicamente se

denomina elipse a una curva plana y cerrada en donde la suma de la distancia a los

focos (puntos fijos F1 y F2) desde uno cualquiera de los puntos M que la forman es

constante e igual a la longitud del eje mayor de la elipse (segmento AB) El eje

menor de la elipse es el segmento CD es perpendicular al segmento AB y corta a

este por la mitad

36


La excentricidad es el grado de aplastamiento de la elipse Una excentricidad igual a

cero representa un ciacuterculo perfecto Cuanto maacutes grande la excentricidad mayor el

aplastamiento de la elipse Oacuterbitas con excentricidades iguales a uno se denominan

paraboacutelicas y mayores a uno hiperboacutelicas

La excentricidad de la elipse puede calcularse de la siguiente manera

e = F1F2 AB Donde e es la excentricidad F1F2 es a distancia entre los focos y

AB es el eje mayor de la elipse Si la distancia entre los focos F1F2 es cero como

en el caso del ciacuterculo la excentricidad da como resultado cero

Las oacuterbitas de los planetas son eliacutepticas presentando una pequentildea excentricidad

En el caso de la Tierra el valor de la excentricidad es de 0017 el planeta de mayor

excentricidad es Plutoacuten con 0248 y le sigue de cerca Mercurio con 0206

2da Ley - Ley de las Aacutereas

Las aacutereas barridas por el radio vector que une a los planetas al centro del Sol son

iguales a tiempos iguales

Figura 26 Ilustracioacuten de la ley de Kepler

37


La velocidad orbital de un planeta (velocidad a la que se desplaza por su oacuterbita) es

variable de forma inversa a la distancia al Sol a mayor distancia la velocidad orbital

seraacute menor a distancias menores la velocidad orbital seraacute mayor La velocidad es

maacutexima en el punto maacutes cercano al Sol (perihelio) y miacutenima en su punto maacutes lejano

(afelio)

El radio vector de un planeta es la liacutenea que une los centros del planeta y el Sol en

un instante dado El aacuterea que describen en cierto intervalo de tiempo formado entre

un primer radio vector y un segundo radio vector mientras el planeta se desplaza por

su oacuterbita es igual al aacuterea formada por otro par de radio vectores en igual intervalo de

tiempo orbital

3ra Ley - Ley Armoacutenica

Los cuadrados de los periacuteodos orbitales sideacutereos de los planetas son proporcionales

a los cubos de sus distancias medias al Sol

El periacuteodo sideacutereo se mide desde el planeta y respecto de las estrellas estaacute referido

al tiempo transcurrido entre dos pasajes sucesivos del Sol por el meridiano de una

estrella

Donde T1 y T2 son los periacuteodos orbitales y d1 y d2 las distancias a las cuales

orbitan del cuerpo central La foacutermula es vaacutelida mientras las masas de los objetos

sean despreciables en comparacioacuten con la del cuerpo central al cual orbitan

Para dos cuerpos con masas m1 y m2 y una masa central M puede usarse la

siguiente foacutermula

Esta ley fue publicada en 1614 en la maacutes importante obra de Kepler Harmonici

Mundi solucionando el problema de la determinacioacuten de las distancias de los

planetas al Sol Posteriormente Newton explicariacutea con su ley de gravitacioacuten

universal las causas de esta relacioacuten entre el periacuteodo y la distancia

Ejemplo Supongamos que queremos calcular la distancia entre Sol y Marte

Sabemos que su periacuteodo orbital es de 18809 antildeos Luego necesitamos tener una

referencia conocida la cual puede ser la Tierra (ya que tambieacuten oacuterbita al Sol) con

un periacuteodo orbital de 1 antildeo y a una distancia de 1 UA (Unidad Astronoacutemica

distancia media entre el Sol y la Tierra)

Utilizando la tercera ley de Kepler y sin tomar en cuenta las masas de los cuerpos

involucrados podemos calcular el semieje de la oacuterbita de Marte en UA

38


Despejando D2 tenemos que

El caacutelculo nos da como resultado 15237 UA De la misma manera puede calcularse

la distancia o el periacuteodo orbital de los demaacutes planetas

Pero la oacuterbita de Marte es una elipse por tanto el caacutelculo nos da el semieje de la

oacuterbita (ver graacutefico de ejemplo excentricidad exagerada para mayor claridad) Para

calcular el perihelio y el afelio debe introducirse la excentricidad en la ecuacioacuten

Perihelio = a (1 - e)

Afelio = a (1 + e)

Donde a es el resultado de nuestro caacutelculo anterior (semieje) y e representa la

excentricidad orbital del planeta 0093 en el caso de Marte Reemplazando y

calculando

Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA

Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA

El caacutelculo se acerca bastante a los datos reales del planeta (1381 y 1666 para el

perihelio y afelio respectivamente)

Podemos calcular tambieacuten la longitud de los ejes El eje mayor es loacutegicamente la

suma entre la distancia en el perihelio y el afelio unas 30473 UA La longitud del

eje menor puede calcularse de la siguiente manera

Donde b es la longitud del semieje menor (o sea la mitad del eje menor) al semieje

de la oacuterbita y e la excentricidad orbital Calculando con los datos anteriores

tenemos que la longitud del semieje menor es de 15171 UA lo cual parece loacutegico

al pensar que debe ser mayor que la distancia en el perihelio y menor que la

distancia en el afelio La longitud del eje menor es 15171 x 2 = 30342 UA

39


Debe notarse que al calcular el semieje se estaacute calculando la distancia entre los

centros de ambos cuerpos En el caso de los planetas la diferencia es miacutenima (un

radio planetario maacutes un radio solar) entre el caacutelculo de la distancia entre los centros

y las superficies pero en el caso de un sateacutelite artificial la diferencia entre la

distancia en el perigeo y el radio vector en ese momento es de un radio planetario

(6378 km en el caso de la Tierra) algo bastante significativo en comparacioacuten con la

altitud de la oacuterbita del sateacutelite

Kepler encontroacute sus leyes empiacutericamente pero fue Newton utilizando el Caacutelculo

Diferencial que acababa de inventar y su modelo de gravitacioacuten universal quien

proboacute dichas leyes

En la tabla siguiente aparece la excentricidad de las oacuterbitas planetarias asiacute como la

distancia media del planeta al sol medida en unidades astronoacutemicas (UA) una

unidad astronoacutemica es por definicioacuten la distancia media de la tierra al sol

En la siguiente tabla se muestren a la excentricidad de la orbita de los planetas y la

distancia en unidades astronoacutemicas

Tabla 21 excentricidad de los planetas del sistema solar

Planeta Excentricidad Distancia media (UA)

Mercurio 0206 0387

Venus 0007 0723

Tierra 0017 100

Marte 0093 152

Juacutepiter 0048 520

Saturno 0056 954

Urano 0047 1918

Neptuno 0009 3006

Plutoacuten 025 3944

Si medimos el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta alrededor del sol en

antildeos terrestres la constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler es 1 es

decir su foacutermula es p2 = a3 donde p es el periacuteodo y a es el radio mayor de la

elipse

Ejemplos Encontrar la diferencia entre el radio mayor y el radio menor de la oacuterbita

de la tierra sabiendo que el radio mayor es aproximadamente de 149600 000 Km

Solucioacuten Como la excentricidad de la oacuterbita terrestre es e = c

a = 0017 y el radio menor es b = (a2-c2) 12

Entonces c = 0017a y b = (a2 ( 1-00172) ) 12 = 0999855 a = 149578308 Km

40


Asiacute que la diferencia entre el radio mayor y el radio menor es 149600000-

149578308 = 21692 Km

que es menos de dos veces el diaacutemetro de la tierra es decir es insignificante

comparada con el tamantildeo de la oacuterbita

Encontrar el periacuteodo de Urano

Solucioacuten La distancia media de Urano al sol es a = 1918 UA asiacute que su

periacuteodo de acuerdo a la tercera ley de Kepler es p = Ouml 19183 = 84 antildeos

No nada maacutes los planetas satisfacen las leyes de Kepler sino que tambieacuten todos

los cuerpos que giran alrededor de otros por ejemplo los cometas girando

alrededor del sol los sateacutelites girando alrededor de los planetas y auacuten el sistema

solar girando alrededor del centro de la Viacutea Laacutectea La constante de

proporcionalidad de la tercera ley depende baacutesicamente de la masa del cuerpo

central

232 La Paraacutebola en la Astronomiacutea

Figura 27 cono con sus diferentes cortes

Hubo uno en 1677 otro de especial brillo en 1680 y un tercero en 1682 Todos ellos

fueron observados cuidadosamente por los astroacutenomos de la eacutepoca anotando cada

noche sus distancias a estrellas fijas y estableciendo asiacute la direccioacuten relativa en que

se moviacutean respecto a la Tierra Sin embargo ninguna conclusioacuten definitiva se

obtuvo de estas observaciones De acuerdo con la mecaacutenica de Newton si un

cometa entraba en el sistema solar procedente de una regioacuten muy alejada deberiacutea

rodear el Sol seguacuten una oacuterbita paraboacutelica (a pesar de que Kepler juroacute que se

desplazaban en liacutenea recta) y partir hacia el infinito Halley basaacutendose en este

hecho comenzoacute un estudio general de los cometas a partir de antiguas

observaciones y calculando sus oacuterbitas tan exactamente como podiacutea

41


Al analizar sus resultados con maacutes de dos docenas de cometas encontroacute una serie

de coincidencias en los cometas de 1531 1607 y 1682 Todos ellos teniacutean en

comuacuten un nodo ascendente de unos 200 en Tauro una inclinacioacuten orbital de 180deg

(aacutengulo que forma el plano orbital del cometa con el plano de la ecliacuteptica) un

perihelio proacuteximo a 2 en Acuario y una distancia periheacutelica de 58 millones de

kiloacutemetros

Halley calculoacute estas oacuterbitas como paraacutebolas pero eacutel sabiacutea perfectamente que en la

regioacuten proacutexima al foco una paraacutebola diferiacutea muy poco de una elipse alargada Llegoacute

a la conclusioacuten de que no se trataba de tres cometas distintos sino de tres

apariciones del mismo cometa que se desplazaban en una oacuterbita muy eliacuteptica con

un periodo de setenta y cinco a setenta y seis antildeos En ese caso el cometa que eacutel

habiacutea presenciado en Islington en 1682 deberiacutea regresar en 1758 Halley murioacute en

1742 y por tanto no vivioacute lo suficiente para comprobar su prediccioacuten ()

Despueacutes de 11 meses de angustiosa espera el cometa fue visto por vez primera el

diacutea de Navidad de 1758 por un campesino alemaacuten llamado Paacutelizsch y alcanzoacute el

perihelio el 12 de marzo de 1759 El pequentildeo retraso con respecto a las

predicciones de Halley era debido a las perturbaciones producidas por Urano y

Neptuno desconocidos en 1704 y por tanto no tenidos en cuenta en los caacutelculos de

Halley Indirectamente la influencia de estos planetas en el periodo del cometa

Halley constituyoacute uno de los primeros triunfos de la teoriacutea de Newton de la

gravitacioacuten universal Por vez primera en la historia de la humanidad un cometa

habiacutea regresado cuando y donde le esperaban los astroacutenomos Era pues razonable

pensar que los otros cometas tambieacuten eran miembros regulares del sistema solar

Halley no descubrioacute laquosu cometa en el sentido de ser el primero en verle ni siquiera

en estudiarle

Para su descubrimiento necesitoacute apoyarse en las observaciones previas de otros

astroacutenomos como Peter Apiano Longomontanus y Kepler Ninguacuten astroacutenomo pudo

observar dos venidas de un cometa de setenta y seis antildeos y pocas personas

pueden verle dos veces en su vida Sus trabajos sobre los cometas estaacuten

compendiados en la obra Synopsis astronomiae cometicae

Si una oacuterbita tiacutepica de un objeto que no estaacute vinculado a un centro de gravedad y

que viaja a una velocidad llamada de fuga que le es necesaria para librarse del

campo gravitacional Por ejemplo realizan oacuterbitas paraboacutelicas las sondas espaciales

interplanetarias que deben escapar al campo gravitacional de la Tierra con el fin de

dirigirse hacia los planetas

Desde el punto de vista geomeacutetrico (matemaacutetico) la paraacutebola pertenece a la familia

de las Coacutenicas Se trata de una curva plana abierta que se obtiene al cortar una

superficie coacutenica mediante un plano que no pasa por el veacutertice pero corta la base

dejando fuera un aacutengulo menor de 180ordm La paraacutebola se puede definir como el

42


lugar geomeacutetrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

foco y de una recta fija llamada directriz

233 La Hipeacuterbola en Astronomiacutea

Pero es maacutes hay sateacutelites que describen paraacutebolas alrededor de la Tierra y algunas

estrellas describen la mitad de una hipeacuterbola (ya que entera seriacutea imposible porque

las estrellas no se tele trasportan todaviacuteahellip)

Figura 2 8 La hipeacuterbola en la semiesfera




Una vez al Sol que es uno de los focos de su trayectoria Despueacutes se alejaraacuten

perdieacutendose en los confines del Sistema Solar Las oacuterbitas de algunos cometas son

hipeacuterbolas Estos cometas soacutelo se acercan al sol y luego se pierden en el espacio

El siguiente avance significativo lo hizo Johannes Kepler quien establecioacute la ciencia

fiacutesica moderna como una extensioacuten de estos antiguos descubrimientos griegos tal

como Nicolaacutes de Cusa Luca Pacioli y Leonardo da Vinci los redescubrieron Kepler

citando a Cusa a quien llamo ldquodivinordquo dio una particular importancia a la diferencia

entre la curva (geomeacutetrica) y la recta (aritmeacutetica) Kepler escribioacute en su Mysterium

Cosmographicum ldquoPero despueacutes de todo por que las distinciones entre la curva y

la recta y la nobleza de una curva en la intencioacuten de Dios cuando creo el Universo

Precisamente por queacute Salvo que para el Creador maacutes perfecto fuera

absolutamente necesario crear la maacutes bella obrardquo ldquoComo parte de su investigacioacuten

astronoacutemica Kepler domino Las Coacutenicas de Apolonio que es una compilacioacuten de

los descubrimientos griegos sobre estas curvas superiores

43


Como resultado de su investigacioacuten sobre la refraccioacuten de la luz Kepler aporto un

concepto nuevo y revolucionario de las secciones coacutenicasrdquo5

Y por primera vez Kepler considero a las secciones coacutenicas como una multiplicidad

proyectiva ldquoentre estas liacuteneas sucede lo siguiente en razoacuten de sus propiedades

pasa de la liacutenea recta a traveacutes de una infinidad de hipeacuterbolas a una paraacutebola y de

ahiacute a traveacutes de una infinidad de elipses al ciacuterculordquo Asiacute por un lado la paraacutebola

tiene dos cosas en naturaleza infinitas la hipeacuterbola y la liacutenea recta la elipse y el

ciacuterculo6

Figura 29 representacioacuten de una hipeacuterbola

La hipeacuterbola la conforma la esquina B del rectaacutengulo OABC En tanto los lados del

rectaacutengulo cambian el aacuterea entendida

24 Propiedades generales de las coacutenicas

Las coacutenicas en general tienen propiedades importantes que son aplicables a

diferentes campos de la ciencia por consiguiente se enunciaraacuten las propiedades

geomeacutetricas maacutes interesantes de las coacutenicas

La suma de los radios vectores de un punto cualquiera de la elipse es igual a

Los radios vectores de los extremos del eje menor son iguales al semieje mayor


6 Ibid

44


El semieje mayor a es la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos son

perpendiculares el semieje menor b y la sami-distancia focal

Los ejes y centro de la elipse son respectivamente ejes de simetriacutea y centro de

simetriacutea de la curva

La tangente a la elipse en un punto de la curva es bisectriz del aacutengulo formado en

dicho punto por un radio vector y la prolongacioacuten del otro La normal de una elipse

biseca al aacutengulo formado por los radios vectores del punto de tangencial

241 Propiedades de la Hipeacuterbola

La diferencia de los radios vectores de un punto cualquiera de la hipeacuterbola es igual a

Los dos semiejes y son los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es

sami-distancia focal

Una propuesta de ensentildeanza aprendizaje para la construccioacuten y aplicacioacuten de las

coacutenicas

Cuando los dos semiejes a y b son iguales la hipeacuterbola se llama equilaacutetera

Los ejes y el centro de la hipeacuterbola son respectivamente ejes de simetriacutea y centro de


La tangente a la hipeacuterbola en un punto de la curva es bisectriz del aacutengulo formado

por los radios vectores correspondientes a dicho punto

La normal de una hipeacuterbola biseca al aacutengulo formado por un radio vector del punto

de tangencia y la prolongacioacuten del otro radio

242 Propiedades de la paraacutebola

El eje de la paraacutebola es el eje de simetriacutea de la curva

La tangente a la paraacutebola en un punto de la curva es bisectriz del aacutengulo formado

por el radio vector correspondiente a dicho punto y la perpendicular a la directriz

trazada por el mismo punto

El foco equidista de los puntos de interseccioacuten de la tangente con la curva y con el

eje

La tangente que pasa por el veacutertice de la paraacutebola es perpendicular al eje de la

paraacutebola y paralela a la directriz

45


El lugar geomeacutetrico de las proyecciones del foco sobre las tangentes es la tangente

en el veacutertice

La normal de la paraacutebola es la bisectriz del aacutengulo formado por el radio vector del

punto tangente y la prolongacioacuten de la recta que es perpendicular a la directriz que

pasa por el punto de tangencia

243 La ecuacioacuten general de una seccioacuten coacutenica

El tipo de seccioacuten coacutenica puede ser descubierta por el signo de B2 - 4AC en la

ecuacioacuten

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Tabla 22 propiedades generales de una coacutenica

Si B2 - 4AC es pues la curva es

lt 0 un elipse un ciacuterculo un punto o ninguna curva

= 0 una paraacutebola 2 liacuteneas paralelas 1 liacutenea o ninguna curva

gt 0 una hipeacuterbola o 2 liacuteneas intersectadas

Las Secciones Coacutenicas Para en cada uno de los abajo mencionados casos lograr

un centro (j k) en vez de (0 0) reponga cada teacutermino x con un (x-j) y cada teacutermino y

con un (y-k)

Tabla 23 propiedades de los elementos de las coacutenicas

Ciacuterculo Elipse Paraacutebola Hipeacuterbola

Ecuacioacuten (veacutertice horizontal)

x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1

4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1

Ecuaciones de las asiacutentotas

y = plusmn (ba)x

Ecuacioacuten (veacutertice vertical)

x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1

4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1


x = plusmn (ba)y

Variables r = el radio del ciacuterculo

a = el radio mayor (= 12 la longitud del eje mayor)


Excentricidad 0 ca ca

El Relacioacuten al Foco

p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2

Definicioacuten es la distancia al la suma del la distancia al la diferencia

46


el conjunto de todos los puntos que cumple la condicioacuten

origen es constante

las distancias a cada foco es constante

foco = la distancia a la directriz

entre las distancias a cada foco es constante

Toacutepicos Similares

La Seccioacuten Geomeacutetrica sobre Ciacuterculos




x2 a2 + y2 b2 = 1 (elipse cuando a = b circunferencia)

x2 a2 + y2 b2 = -1 (elipse imaginaria)

x2 a2 + y2 b2 = 0 (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real)

x2 a2 - y2 b2 = 1 (hipeacuterbola)

x2 a2 - y2 b2 = 0 (par de rectas reales que se cortan)

x2 - 2py = 0 (paraacutebola)

y2 - 2px = 0 (paraacutebola)

x2 - a2 = 0 (par de rectas reales paralelas)

x2 + a2 = 0 (par de rectas imaginarias paralelas)

x2 = 0 (par de rectas reales coincidentes)

La excentricidad de una circunferencia es cero (ε = 0)

La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0ltε lt 1)

La excentricidad de una paraacutebola es 1 (ε = 1)

La excentricidad de una hipeacuterbola es mayor que 1 (ε gt 1)

Tabla 24 las coacutenicas y su excentricidad

Seccioacuten coacutenica ecuacioacuten cartesiana

excentricidad (ε)

circunferencia X2 + y2 = a2 0

elipse X2a2 + y2b2= 1 radic )

paraacutebola Y2 =4ax 1

hipeacuterbola X2a2 - y2b2= 1 radic )

47


3 Metodologiacutea de la Intervencioacuten

ldquoTodos los efectos de la Naturaleza son soacutelo la

consecuencia matemaacutetica de un pequentildeo

Nuacutemero de leyes inmutablesrdquo

Pierre Simoacuten Laplace

Para aplicar las pruebas dentro del aula se llevoacute a cabo un trabajo previo

preparatorio con los estudiantes padres de familia tendiente a facilitar el proceso

para que se pueda incluir en el plan curricular y ademaacutes coincida con el periodo de

desarrollo del trabajo de grado

31 Teacutecnicas

Aplicacioacuten de encuesta diagnostica a los estudiantes del grado 10deg 3 para

determinar las causas de la apatiacutea hacia las matemaacuteticas y establecer una base

sobre los conceptos previos sobre el tema de astronomiacutea dado su intereacutes por el

aacuterea ( 48 encuestas)

Anaacutelisis inicial el cual se basa en el estudio de los resultados de las pruebas

externas e internas se realizara en el primer periodo escolar para las externas del

antildeo 2011 y 2012 y los resultados internos del primer y segundo periodos de 2012

Revisioacuten y articulacioacuten de las mallas curriculares de matemaacuteticas

Realizacioacuten de talleres en equipo lo cual permite la interaccioacuten y el trabajo

cooperativo respetaacutendose asiacute los ritmos de aprendizaje

Implementacioacuten de diferentes estrategias pedagoacutegicas para brindar variedad y hacer

divertido el aprendizaje (charlas magistrales videos visita a la biblioteca de

Empresas Puacuteblicas de Medelliacuten al planetario y talleres con Alianza

Realizacioacuten de pruebas internas con preguntas estructuradas seguacuten estaacutendares

curriculares y modelo nacional para aproximar los estudiantes a los modelos

realizados por el ICFES

Comparacioacuten y anaacutelisis de los resultados internos en el primer segundo y tercer

periodos

Realizar Sensibilizacioacuten y motivacioacuten a los estudiantes docentes y padres de

familia sobre la necesidad de un conocimiento matemaacutetico significativo donde todos

tenemos compromiso por hacer parte de la comunidad educativa

48


Utilizar diferentes materiales didaacutecticos como dibujos y recursos virtuales juegos

pasatiempos etc para crear alternativas de motivacioacuten entendimiento y aprendizaje

Puesta en escena de videos relacionados con la matemaacutetica y la astronomiacutea

Organizar la informacioacuten obtenida para crear el enlace necesario de los planes de

aacuterea que permitan una verdadera continuidad el proacuteximo antildeo en el proceso

ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en el grado once

Realizar anaacutelisis de pruebas externas e internas despueacutes de la aplicacioacuten de las

estrategias y comparacioacuten con los anaacutelisis iniacuteciales (uacuteltima semana de clase en

noviembre)

El trabajo disciplinar propiamente dicho que se realizoacute en el aula fue fundamental

ya que a partir de ella se demuestra la calidad de la formacioacuten en los estudiantes y

se obtuvieron las conclusiones las que se haraacuten extensivas al total de la poblacioacuten y

orientaran las futuras intervenciones Para la recoleccioacuten de la informacioacuten inicial

se utilizara una metodologiacutea cuantitativa7 la cual permite obtener datos que

proporcionan mediciones y permiten el anaacutelisis estadiacutestico tambieacuten se empleara

metodologiacutea cualitativa pues se realizaran anaacutelisis de condiciones individuales

Para el diagnoacutestico inicial se analizaron los resultados de las pruebas externas

(Icfes y saber) y los resultados de las pruebas internas (resultados acadeacutemicos 1deg2deg

y 3deg periodos)

32 Aplicacioacuten de instrumentos valorativos

El trabajo realizado en el aula se resume de la siguiente manera

Test inicial

Trabajo de seguimiento

Aplicacioacuten de las guiacuteas de construccioacuten de las coacutenicas con laacutepiz alfileres y curda

Construccioacuten de las coacutenicas mediante el uso detallado utilizando medidas con la

regla compas laacutepiz y escuadra

Realizacioacuten de un crucigrama con palabras tanto de conocimientos de astronomiacutea

como de las coacutenicas una evaluacioacuten o test final de las coacutenicas

En la realizacioacuten del primer test se combinaron los temas tanto de la astronomiacutea

como las coacutenicas porque esa era la finalidad de integrar la astronomiacutea con las

coacutenicas

49


El test se preparoacute en una sesioacuten de dos horas donde previamente se habiacutean

resuelto preguntas e inquietudes asiacute mismo se presentoacute previamente un video

sobre los griegos La Armoniacutea de los mundos donde se explica el movimiento

retrogrado de los planetas vistos desde la tierra las formas de sus trayectorias

fotografiadas con caacutemaras de exposicioacuten continua las galaxias y de las teoriacuteas de

Copeacuternico y Kepler asiacute como de sus historias y el vuelco que se dio al mundo

cientiacutefico por sus teoriacuteas y explicaciones maacutes satisfactorias sobre el sistema solar y

el suentildeo de Kepler de su misterio coacutesmico en relacioacuten con los soacutelidos pitagoacutericos

El test se disentildeoacute con 20 preguntas muy generales que permiten tener un

acercamiento a los conocimientos previos sobre la astronomiacutea y propiamente de ella

aplicada a las coacutenicas asiacute como de cultura general

Como actividades intermedias cabe destacar la medicioacuten de la sombra el del

equinoccio de junio 23 para ver la inclinacioacuten del eje terrestre fecha que sirvioacute para

la preparacioacuten del mismo evento en septiembre 21 el cual no se pudo ver por la

lluvia pero dejo en los estudiantes una aguda inquietud sobre el tema sus causas y

el significado en teacuterminos climaacuteticos para las diferentes zonas del planeta

La visita guiada al planetario de Medelliacuten Jesuacutes Emilio Ramiacuterez S J permitioacute ampliar

el tema visto en clase y salpicado por la curiosidad del video de Carl Sagan donde

empiezan a aparecer las coacutenicas como caminos de los astros seguacuten palabras de un

estudiante

Luego de tener identificadas las coacutenicas por lo menos con sus nombres se

presenta la guiacutea de construccioacuten de las cuatro coacutenicas de manera luacutedica y

utilizando una curda unos soportes como alfileres o chinchetas y una escuadra los

estudiantes logran comprender de manera casi inmediata obtener todas las

coacutenicas

Luego de este abrebocas se presenta una guiacutea para construir las coacutenicas pero en

este caso si se presentan los elementos constituyentes y con la facilidad de

identificar cada elemento ubicarlo en el plano cartesiano y deducir sus ecuaciones

Como un material que sirvioacute de apoyo intermedio se presentoacute un crucigrama que

entrelaza teacuterminos relacionados con la astronomiacutea y las coacutenicas

La puesta en escena de esta actividad generoacute momentos gratificantes porque el

estudiante se encuentra con algo praacutectico y alejado del pedestal de la

incompresibilidad del tema porque ya teniacutean elementos suficientes para identificar

todas las coacutenicas con sus respetivos elementos y sobretodo poder plasmarlas en el

tablero en cartulinas inclusive en el mismo piso

Antes de hacer la evaluacioacuten final del tema donde ya se ha presentado suficiente

ilustracioacuten en cuanto a divulgacioacuten y ampliacioacuten del tema por parte de los

50


estudiantes que haciacutean lecturas tendientes a complementar las clases y por la

inquietud de ver algunos programas del canal History que los estudiantes del club

de Astronomiacutea proponiacutean como temas centrales

Por uacuteltimo se presentoacute la evaluacioacuten final de las actividades donde se evaluacutean

todas las actividades propias de las coacutenicas donde se identifican rectas y puntos

significativos orientacioacuten de las graacuteficas en los ejes coordenados asiacute como

distancias dirigidas en el plano cartesiano La identificacioacuten de elementos en el

plano de modo analiacutetico aplicacioacuten de sus propiedades deducidas de la ecuacioacuten

general y ejercitacioacuten mediante la aplicacioacuten de cada una de las coacutenicas

51


4 Anaacutelisis de Resultados

ldquoEl final de toda exploracioacuten seraacute llegar al punto de partida y conocer el lugar por

primera vez

Thomas S Eliot

Tabla 41 cuadro comparativo del ICFES de la IE Josefina Muntildeoz G

41 Resultados del ICFES Para los Antildeos Indicados

Se inicia el anaacutelisis de datos obtenidos poniendo de manifiesto los resultados de las

pruebas ICFES del colegio donde se evidencia el bajo desempentildeo acadeacutemico

especialmente en matemaacutetica donde los resultados estaacuten muy por debajo de la

media y aunque el colegio ha mejorado de puesto el desempentildeo en matemaacutetica

sigue siendo muy bajo teniendo en cuenta otros factores como la cantidad de

estudiantes que pasan a las universidades puacuteblicas entre 6 y 10 en los uacuteltimos ocho

antildeos

A continuacioacuten se haraacute una descripcioacuten detallada de los datos obtenidos en el

primer test sobre coacutenica y astronomiacutea para los estudiantes de 10deg 3 cuyo objetivo

0

10

20

30

40

50

60

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

52


principal era conocer los conceptos previos de las coacutenicas para relacionarlos con la

astronomiacutea

Tabla 42 preguntas del primer Test

El graacutefico muestra que los estudiantes en su gran mayoriacutea en el grupo 10deg 3

conocen sobre el origen del nombre de las coacutenicas y tambieacuten sobre el gusto por la

astronomiacutea ademaacutes de poder identificarlas en un dibujo y sobre todo que conocen

el trabajo de Johannes Kepler en su curso de fiacutesica y lo maacutes importante es el gusto

por el curso cuando planteamos la relacioacuten con la astronomiacutea que aunque solo fue

un capiacutetulo se notoacute desde el comienzo el gran intereacutes de todos los estudiantes que

veiacutean en este tema un capitulo sin tanta matemaacutetica y sobretodo foacutermulas difiacuteciles

de deducir o aplicar en palabras de ellos mismos

Con los estudiantes tanto dentro como fuera del aula pero conectados al tema de

intereacutes surgen cuestionamientos sobre las coacutenicas y en el escrito manifiestan que

conocen muchos elementos con tales formas unos de pronto extrantildeos otros muy

comunes pero estaacuten de acuerdo que las coacutenicas parecen en la cotidianidad de una

u otra forma y lo expresan libremente porque en alguna parte las han visto Se

puede afirmar que la mayoriacutea del grupo tiene conocimiento de esas formas

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

si

No

53


Tabla 43 aplicaciones cotidianas de las coacutenicas

Tabla 44 razones para estudiar astronomiacutea

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

El hombrebusca

explicarcomo

funciona elunivrso

La cienciabusca

respuestas

El hombrehace

modelos conlo queconoce

El universoes

matemaacutetica

Lanaturalezasigue leyes

Dios esmatemaacutetico

Si

No

No se sabe

54


Tratando de encontrar una relacioacuten entre la astronomiacutea y la matemaacutetica se formuloacute

la pregunta sobre que pensaban los estudiantes con respecto a la astronomiacutea y su

funcioacuten social a lo que contestaron que la matemaacutetica tiene su aplicacioacuten en todo lo

que el hombre quiere responder sobre el origen del universo y su funcionamiento

haciendo modelos y aplicaciones de cosas que conoce para generalizarlas

mediante el uso de foacutermulas y ecuaciones que describen de manera matemaacutetica los

modelos

Tabla 45 Conocimiento particular de cada una de las coacutenicas

Del graacutefico se puede observar como hay una gran cantidad de estudiantes que

pueden definir las coacutenicas con sus propias palabras teniendo sentido y loacutegica

matemaacutetica de acuerdo a lo establecido en los programas curriculares aunque

muchas veces se nota la dificultad para expresar correctamente algo de lo que un

estudiante estaacute seguro

De las coacutenicas maacutes conocidas y que presentan mayor apropiacioacuten de conceptos

baacutesicos es la circunferencia graacutefica que los mismos estudiantes han catalogado

como la rdquo elipse con dos centrosrdquo pues sus experiencias cotidianas con elementos

de esta forma ayudan a tener conceptos asociados a dicha figura como el

movimiento circular los rines de sus bicicletas tapas de ollas frisbi monedas y en

general objetos cotidianos tanto en sus casas como en el colegio

0

5

10

15

20

25

30

35

40

define con tuspalabras cada

coacutenica

identificar losfocos en las

conicas

localiza elcentro

dibuja el eje desimetria

puedes usas elcompas para

dibjurlas

identificaobjetos conestas formas

parabola

eleipse

hiperbola

circulo

55


La elipse es la segunda coacutenica la cual es estudiada con mayor detenimiento en

fiacutesica y en quiacutemica donde se aplica en las leyes de Kepler y para las orbitales de los

electrones alrededor del nuacutecleo

La paraacutebola se estudia el movimiento de proyectiles es el descrito por un cohete

cuando sale hacia un sateacutelite hacia otro planeta Por supuesto que la paraacutebola es

maacutes conocida y aplicada en la vida cotidiana puesto que de esta forma son todas

las antenas que se observan en las azotes de los edificios las repetidoras de

celulares y el gran uso en la astronomiacutea dado que los telescopios son de esta forma

y en especial el de Arecibo en Puerto rico con una gran paraboloide de 305 m de

diaacutemetro Por el contrario la hipeacuterbola es la coacutenica de la que menos conocen es

menos familiar y no manifiestan conoces muchos objetos o representaciones de

dicha coacutenica En astronomiacutea referida a los cuerpos celestes solo se conocen las

trayectorias de los cometas como aplicaciones

Tabla 46 naturaleza de la ecuacioacuten de una coacutenica

Ya adentraacutendose a la estructura de las ecuaciones de las coacutenicas es claro que la

mayoriacutea saben que sus ecuaciones son de tipo cuadraacutetico dado que una ecuacioacuten o

foacutermula que tenga exponentes distintos de uno (1) no pueden ser liacuteneas rectas y

estas graacuteficas representan curvas en el buen sentido del lenguaje

Califica de 2 a 5 cada uno de los iacutetems presentados para tener idea de la valoracioacuten

que se da a cada coacutenica donde cada valor representa un atributo siendo 2 el valor

maacutes bajo o desfavorable y siendo 5 el maacuteximo valor o valor maacutes favorable a cada

calificativo

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Lineal Cuadratica Radical Exponencial

56


Para la evaluacioacuten de la uacuteltima actividad se realizoacute una prueba con preguntas sobre

el componente de las coacutenicas puesto que ese era el objetivo inicial poner las

coacutenicas en manos de la astronomiacutea los resultados se pueden ver en las graacuteficas

De la circunferencia

pregunta 2 3 4 5

1 La facilidad para la construccioacuten de la graacutefica es

4 2 2 40

2 La loacutegica de la deduccioacuten algebraica de sus ecuacioacuten es

1

6 2 39

3 Conoces aplicaciones de la circunferencia

2

6

20

20

4 los cuerpos celestes se aproximan a formas circulares

1 6 1 40

5 la importancia de la circunferencia es para el desarrollo humano

2 2

2

42

57


Tabla 47 calificacioacuten de la circunferencia

De la paraacutebola

pregunta 2 3 4 5

6 La complejidad de la deduccioacuten algebraica de sus ecuacioacuten

23

16

1

10

7 Conoces aplicaciones de la paraacutebola

4

6

2

36

8 Identificas claramente todos sus elementos

3

12

3

30

9 La facilidad de construccioacuten de su graacutefica es

28

12

7

1

10 La teoriacutea se contrasta con la praacutectica

2

6

22

18

11 Identificas la trayectoria de una pelota e golf

4

6

21

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5

La facilidad para la construccioacutende la graacutefica es

La loacutegica de la deduccioacutenalgebraica de sus ecuacioacuten es

Conoces aplicaciones de lacircunferencia

los cuerpos celestes seaproximan a formas circulares

la importancia de lacircunferencia es para eldesarrollo humano

58


como una coacutenica

12 Comprendes la utilidad de la ecuacioacuten de la paraacutebola

1

4

13

30

13 Identificas la paraacutebola con eventos astronoacutemicos

2

15

14

17

Tabla 47 calificacioacuten de la paraacutebola

De la elipse se puede decir

2 3 4 5

14 La facilidad en la construccioacuten de la graacutefica es

2 18 2 26

15 Identificacioacuten de los diversos elementos

9

3

1

35

4 6

2

36

3

12

3

30 28

12

7

1 2

6

22

18

4 6

21

17

1

4

13

30

2

15 14

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5

La complejidad de la deduccioacutenalgebraica de sus ecuacioacuten

Conoces aplicaciones de laparaacutebola

Identificas claramente todos suselementos

La facilidad de construccioacuten desu graacutefica es

La teoriacutea se contrasta con lapraacutectica

Identificas la trayectoria de unapelota e golf como una coacutenica

Comprendes la utilidad de laecuacioacuten de la paraacutebola

Identificas la paraacutebola coneventos astronoacutemicos

59


16 Anaacutelisis algebraico se facilita

5 9 4 30

17 Complejidad en construccioacuten de la graacutefica

5 1 2 40

18 La guiacutea permite mayor comprensioacuten del tema

4 6 2 36

19 La definicioacuten de elipse se ajusta o compara con lo que sucede en el sistema solar

1

4

29

14

20 Se logra una comprensioacuten de su ecuacioacuten

4

6 19 1 9

21 Se comprende faacutecilmente la factorizacioacuten para obtener su ecuacioacuten

40 1 7 40

22 Comprendes todas las propiedades de la elipse

0 1 6

41

23 La guiacutea permite una comprensioacuten completa del tema

4

3

1

40

60


Tabla 48 calificacioacuten de la elipse

2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35


5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14

05

1015202530354045

La f

acili

dad

en

la c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

es

Iden

tifi

caci

oacuten

de

los

div

erso

sel

emen

tos

An

aacutelis

is a

lgeb

raic

o s

e fa

cilit

a

Co

mp

lejid

ad e

n c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

La g

uiacutea

pe

rmit

e m

ayo

rco

mp

ren

sioacute

n d

el t

em

aLa

def

inic

ioacuten

de

elip

se s

eaj

ust

a o

co

mp

ara

con

lo q

ue

hellip

Se lo

gra

un

a co

mp

ren

sioacute

n d

esu

ecu

acioacute

n

Se c

om

pre

nd

e f

aacutecilm

ente

lafa

cto

riza

cioacute

n p

ara

ob

ten

er s

uhellip

Co

mp

ren

des

to

das

las

pro

pie

dad

es d

e la

elip

se

La g

uiacutea

pe

rmit

e u

na

com

pre

nsi

oacuten

co

mp

leta

del

hellip

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2

3

4

5

61



4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

Hipeacuterbola

2 3 4 5

24 La facilidad para la construccioacuten de la hipeacuterbola es

3 3 6 36

25 Se entienden las medidas tomadas como una explicacioacuten de sus propiedades

3 1 12 32

26 Es aplicable en la cotidianidad

7 9 18 16

27 La facilidad en deduccioacuten algebraica de su ecuacioacuten es

6 6 6 30

28 Puedes asociar su graacutefica a eventos astronoacutemicos

13 15 1 22

29 Puedes identificar todos los elementos que la constituyen

2 8 5 33

30 Conoces objetos que tengan su forma

30 2 10 6

62


Tabla 48 calificacioacuten para la hipeacuterbola

Tabla 49 despentildeo de los estudiantes de 10deg3 en el uacuteltimo periodo

La tabla anterior muestra el desempentildeo de los estudiantes y compara los

resultados tanto del periodo en matemaacutetica como el examen final que llevoacute a ganar

el antildeo finalmente

05

10152025303540

La f

acili

dad

par

a la

con

stru

ccioacute

n d

e la

hip

eacuterb

ola

es

Se e

nti

end

en la

sm

edid

as t

om

adas

com

o u

na

exp

licac

ioacuten

hellip

Es a

plic

able

en

laco

tid

ian

idad

La f

acili

dad

en

ded

ucc

ioacuten

alg

eb

raic

ad

e su

ecu

acioacute

n e

s

Pu

ede

s as

oci

ar s

ugr

aacutefic

a a

eve

nto

sas

tro

noacute

mic

os

Pu

ede

s id

enti

fica

rto

do

s lo

s el

em

en

tos

qu

e la

co

nst

itu

yen

Co

no

ces

ob

jeto

s q

ue

ten

gan

su

fo

rma

24 25 26 27 28 29 30

2

3

4

5

42

40

45

Estudiantes de la I E Josefina Muntildeoz Gde 10deg 3 que aprobaron

El examen final dematemaacutetica

El 4deg periodo

El antildeo escolar

63


Tabla 410 resultados de la elaboracioacuten del crucigrama como actividad mediadora

entre la astronomiacutea y las coacutenicas

Se muestra como los estudiantes pudieron resolver el crucigrama ampliando de

este modo su vocabulario e incorporando estos conceptos a las coacutenicas

Tabla 411notas de la evaluacioacuten final

Se muestra como el rendimiento acadeacutemico evaluado en la parte final del periodo

acadeacutemico a pesar de las muacuteltiples actividades del fin de antildeo se obtuvieron buenos

resultados aun sabiendo que el examen estaba largo y resumiacutea todos los toacutepicos de

las coacutenicas

13 4

33 40

10

Palabras del crucigrama sobre Astronomia (total 71)respondidas por los estudiantes de 10deg3 IEJosefina Muntildeoz G

1--14

15-28

29-42

43-56

57-71

4 9

6

54

27

I-E Josefina Muntildeoz G Notas en el examen final matematicas

10deg3

00-10

11-20

21-30

31-40

41-50

64


Luego de estar listas las preguntas los estudiantes realizan el crucigrama donde se

integral tema de las coacutenicas con las aplicaciones en astronomiacutea

Las actividades complementarias como los videos de astronomiacutea se ofrecieron

dentro de las clases ordinarias y la visita al planetario municipal Jesuacutes Emilio

Ramiacuterez se programoacute un diacutea luacutedico para tal fin al igual que la actividad para

apreciar el equinoccio y medir la sombra donde se pudo ver con mayor ahiacutenco el

gusto por temas de astronomiacutea

65


5 Conclusiones y recomendaciones

ldquoEl universo es una esfera infinita cuyo centro estaacute en todas partes y la

circunferencia en ningunardquo

Blas Pascal

51 De los estudiantes

Cuando se factoriza completando cuadrados se introducen en la ecuacioacuten

sus elementos

Las ecuaciones de las coacutenicas son casi iguales solo varia un signo

El meacutetodo luacutedico de ver la astronomiacutea me ha permitido entender las coacutenicas

y sus elementos maacutes importantes

La astronomiacutea y las coacutenicas van de la mano

Las coacutenicas se complementan con la astronomiacutea

Comprender los elementos de las coacutenicas ayuda a entender la factorizacioacuten

Todos los elementos de la astronomiacutea en las coacutenicas se construyen con la

competicioacuten de cuadrados

Si fuera posible encontrariacutea un meacutetodo para dibujar las coacutenicas pero sin

matemaacutetica alguna

Aunque la construccioacuten de las coacutenicas de manera luacutedica es necesario el uso

de la matemaacutetica

Me oriento por el uso del discriminante para saber a queacute coacutenica nos

referimos

Conocer la elipse en astronomiacutea me permite entender las propiedades los

semiejes y su ubicacioacuten

Si uno sabe dibujar las coacutenicas no veo la necesidad de deducir las

ecuaciones

Todas las coacutenicas tienen ecuaciones distintas pero cuando las veo juntas

se me confunden

Entender la astronomiacutea y las coacutenicas es como entender el libro de Baldor

Promover estrategias de este tipo en ciencias naturales con los chicos para

desarrollar el amor por la astronomiacutea a maacutes temprana edad

66


Implementar las sala de videos con software educativos y faciliten la

ensentildeanza de la astronomiacutea y de los toacutepicos especiales de matemaacutetica

Las coacutenicas tienen tantas ecuaciones como estrellas en el cielo por eso no

las distingo

Es maacutes faacutecil entender el cielo que las ecuaciones de las coacutenicas

Las coacutenicas se aplican a muchos artefactos tecnoloacutegicos como telescopios

El que entiende las trayectorias de los astros ya estaacute leyendo la historia del

universo

La trayectoria de los comenta es una hipeacuterbola

Las coacutenicas se pueden obtener en una botella llena de liacutequido

Es motivante saber que hubo estudiosos que se dedicaron a tratar el tema

Los griegos lo descubrieron todo respecto a la matemaacutetica de las coacutenicas

Ver una moneda de 5 dracmas con la efigie de Soacutecrates hace ver lo actual

de la historia de las matemaacuteticas en Grecia

No tiene sentido hacer una figura sin saber que o quien la produce en el cielo

Todas las coacutenicas tienen sentido menos la hipeacuterbola que es como una figura

partida

Las partiacuteculas que se mueven a nivel subatoacutemico describen alguna coacutenica

Dibujar las coacutenicas me hace recordar sus aplicaciones

Las coacutenicas son derivadas de la sublime circunferencia

La elipse es una circunferencia con ldquodos centrosrdquo que coincides

La elipse es como la silueta de un huevo pero pareja

Las coacutenicas se pueden construir con partes de una circunferencia

La circunferencia le dio a astronomiacutea el camino para descubrir las otras

coacutenicas

Construir las coacutenicas con regla lleva a entender las trayectorias de los

cuerpos celestes

Construir las coacutenicas con sus elementos me ayuda a entender la

factorizacioacuten

Las coacutenicas se aplican no solo en la astronomiacutea sino en objetos y aparatos

cotidianos como las bielas de los carros

67


Los epiciclos y ecuantes usados por los griegos los llevaron a descubrir las

coacutenicas

52 Del profesor

El disentildeo de cada una de las actividades permitioacute enriquecer los conocimientos teoacutericos y praacutecticos sobre la ensentildeanza de las coacutenicas y la astronomiacutea en particular para los estudiantes de grado deacutecimo 3 demostrando con cada actividad que si se puede llevar la luacutedica al aula de clase para mejores resultados acadeacutemicos

Para lograr identificar y adecuar toacutepicos de Matemaacuteticas en las coacutenicas y relacionarlos con la Astronomiacutea de forma pertinente para adelantar trabajos con estudiantes de grado deacutecimo fue necesario hacer un estudio cuidadoso sobre los Lineamientos Curriculares y Estaacutendares baacutesicos en matemaacuteticas y en fiacutesica Ademaacutes hacer una revisioacuten teoacuterica sobre la ensentildeanza y aprendizaje de las coacutenicas y la astronomiacutea con el fin de proporcionar un mejor disentildeo y fundamento teoacuterico a la propuesta de actividades presentada

La elaboracioacuten y adecuacioacuten de guiacuteas existentes para de este trabajo se constituyoacute en un espacio importante en la formacioacuten como docente ya que aporto de manera significativa hacia un cambio de visioacuten sobre la ensentildeanza y aprendizaje no soacutelo de las matemaacuteticas sino tambieacuten de las ciencias exactas y naturales

La interaccioacuten de los estudiantes con los materiales y los conceptos aprehendidos evidencioacute una alegriacutea desbordante que se manifestaba en el gusto por trabajar en la clase de matemaacutetica por averiguar el proacuteximo tema a tratar en la clase

Para los estudiantes fue agradable trabajar el tema por la interdisciplinariedad representada en la astronomiacutea y por el uso de la matemaacutetica en ella

Se evidencia apatiacutea hacia el tema especialmente cuando era necesario el procedimiento algebraico para dos o tres estudiantes que manifestaban abiertamente que no les gusta la matemaacutetica y las dificultades que se les ha presentado a nivel disciplinario tienen origen en esta apatiacutea aunque finalmente lograron adaptarse y comprender el tema

68


El deseo de los estudiantes por implementar esta metodologiacutea en otras materias especialmente aquellas que se les ha tenido en el pedestal del olvido o desprecio por ser disciplinas maacutes difiacuteciles y en las que maacutes bajos resultados presentan

Es importante resaltar que en las clases del uacuteltimo periodo ninguacuten estudiante se salioacute del aula de clase o del saloacuten de video antes de ser la hora de salir por el contrario en varias ocasiones fue necesario recortar la clase siguiente o el descanso para poder terminar la actividad

Se puede inferir que el gusto por la astronomiacutea de los estudiantes es grande dado que actualmente algunos se dedican de lleno a la observacioacuten de las fases de la luna las estrellas y su ubicacioacuten y en general eventos astronoacutemicos como los eclipses recientes

Se pudo evidenciar aprendizaje no mecaacutenico al poder ver medir e identificar cada una de los elementos que conforman las coacutenicas y saber su ubicacioacuten y significado geomeacutetrico de los puntos y liacuteneas particulares en el momento de relacionarlos con la astronomiacutea especialmente en las leyes de Kepler

El trabajo colaborativo que se dio en los talleres para desarrollar tanto la parte praacutectica de construccioacuten como en la adquisicioacuten de conceptos teoacutericos se evidencioacute siempre el deseo de hacer trabajo en equipo para un mayor enriquecimiento de los conceptos que tienen que ver con la astronomiacutea

La IE se deberiacutea comprometer para implementar un observatorio para estudiar el cielo de una manera sencilla al principio pero que pueda tomar fuerza con el tiempo y hacer que los estudiantes tomen maacutes carintildeo a las ciencias para un mejor desempentildeo acadeacutemico en el grado once y tener mejores resultados en las pruebas ICFES y en la universidad

Promover estrategias de este tipo en ciencias naturales con los chicos desde primaria para desarrollar el amor por la astronomiacutea a maacutes temprana edad

Implementar las sala de videos con software educativos que faciliten la ensentildeanza de la astronomiacutea y de los toacutepicos especiales de matemaacutetica

La realizacioacuten de actividades extra clase permitioacute en los estudiantes ver que el aula de clase puede ser cualquier sitio donde se aprende se cuestiona sobre un tema o se contrastan los conceptos previos con observaciones

69


Algunos estudiantes participan motu-propio en actividades realizadas en el planetario y en el observatorio del Recinto de Quirama en el Carmen de Viboral

Cuando se identifican los elementos de una coacutenica se comprende que la excentricidad es quien domina la astronomiacutea forma de la figura resultante y se aplica ampliamente en

Realizar algunas actividades complementarias a las trazadas en el programa de la materia permitioacute acercar los conceptos aplicados directamente al tema referido en este trabajo

Ver la imagen de Aristoacuteteles en una moneda me hace pensar en ese momento grandioso de la historia que nos dio la cara para empezar a ser sabios

53 Recomendaciones

Implementar una aula taller de matemaacutetica

procurar un meacutetodo luacutedico para la ensentildeanza de las otras aacutereas como este que arroja buenos resultados


organizar las clases de matemaacutetica y fiacutesica con talleres para tener la oportunidad de aprender haciendo

54 Inquietudes

iquestEl sol estaacute en uno de los focos de la elipse de los planetas pero en el otro

que hay

iquestLa circunferencia es la figura que dio origen a las coacutenicas

Si Kepler contradijo la teoriacutea del sistema solar porque no lo quemaron

iquestSeriacutea posible construir las coacutenicas sin el uso del aacutelgebra

iquestPor queacute la tierra solo tiene una luna

70


iquestSi las coacutenicas no se hubiesen descubierto Kepler habriacutea trabajado con la

circunferencia y habriacutea acomodado sus oacuterbitas

iquestCuaacutel es la razoacuten para que el aacutetomo sea un sistema solara en miniatura

71


BIBLIOGRAFIA

APOacuteSTOL T M Calculo con funciones de una variable con una introduccioacuten al

aacutelgebra lineal En T M Apoacutestol Calculo con funciones de una variable con una

introduccioacuten al aacutelgebra lineal Espantildea Reverteacute 2001 p 545

GIL Quiacutelez M Joseacute y Martiacutenez Pentildea M Begontildea El modelo sol-tierra-luna en el lenguaje iconograacutefico de estudiantes de magisterio Ensentildeanza de las ciencias Espantildea Universidad de Zaragoza 2005 pp 153ndash166 LEHMANN C H GEOMETRIA ANALITICA Meacutexico Limusa 1989

MENLinC Lineamientos curriculares de Matemaacuteticas 1998 Recuperado de Lineamientos curriculares de Matemaacuteticas httpwwwmineducaciongovcocvn1665articles-89869_archivo_pdf9pdf

Ministerio de Educacioacuten Nacional Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas Bogotaacute Magisterio 2000 MOREIRA Marco La teoriacutea del aprendizaje significativo de David Ausubel Porto Alegre Universidad Porto Alegre 1983 p31

OBANDO Bernardo Alternativas de ensentildeanza de las matemaacuteticas Universidad

Catoacutelica de Manizales 2010

PALACINO RODRIacuteGUEZ F Competencias comunicativas aprendizaje y ensentildeanza de las Ciencias Naturales un enfoque luacutedico En Revista Electroacutenica de Ensentildeanza de las Ciencias 2007 Vol 6 nordm 2 pp 275-298 PALOMINO JL (2008) Proyecto Atlaacutentida Las competencias baacutesicas Recuperado de httpwwwentretizasorgproyecto-atlantida-las

SAGAN Carl 1984 viajes a traveacutes del espacio COSMOS CAP VIII Bogotaacute Planeta 1996

TIGNANELLI Horacio Astronomiacutea en liliput Diapositivas del curso de AstronomiacuteaBuenos Aires Cultureacute 2006 p17

72


REFERENCIAS VIRTUALES

httpwwwyoutubecomwatchv=HWJHHcpziN8 Solsticio de verano httpwwwyoutubecomwatchv=CduKL-_f_S0ampfeature=related Movimiento aparente del Sol httpwwwyoutubecomwatchv=0T78mU-m_K0ampfeature=related

httpwwwyoutubecomwatchv=a6moqEAzJbw movimiento paraboacutelico de un

chorro de agua parque explora

httpwwwyoutubecomwatchv=RLPVCJjTNgk

73


Anexo A primer test para estudiantes de 10deg 3

MAESTRIA EN ENSENtildeANZADE LAS CIENCIAS EXACTAS

Y NATURALES

ACTIVIDAD 1 TEST PARA ESTUDIANTES DE 10deg IE JOSFINA MUNtildeOZ

GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

____

iquestConoces sobre el tema de las coacutenicas Si___No___

iquestConoces de donde proviene el nombre de coacutenicas para ciertos lugares

geomeacutetricos Siacute___ No___

Identificas a simple vista las figuras de las coacutenicas Si__No__

iquestCuaacutentas coacutenicas puedes identificar por sus dibujos 0__ 1__2__3__4__

Nombra las coacutenicas que

conoces____________________________________________________________

iquestPuedes dibujar las coacutenicas Si___No___

Las ecuaciones que representan las coacutenicas son

Lineales__Cuadraacuteticas____radicales___exponenciales____

Escribe los elementos de una

Coacutenica__________________________________________________________

iquestConoces la ecuacioacuten Canoacutenica o general delas coacutenicas Si___No__

El lugar geomeacutetrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de

una recta fija y un punto fijo llamado foco se denomina Hipeacuterbola ___

Paraacutebola____ Elipse___ Circunferencia___

74


iquestCuaacuteles aplicaciones cotidianas conoces de las

Coacutenicas____________________________________________

iquestCual es la razoacuten para que las culturas cultiven la astronomiacutea

___________________________________________________________________

_______________________

iquestPuedes identificar algunas de estas coacutenicas en el cielo

Si__No__Cuales______________________________

___________________________________________________________________

_______________________

iquestTe parece interesante y ameno el estudio de la astronomiacutea Si__No ___

Porqueacute_______________________

___________________________________________________________________

________________________

Cual relacioacuten conoces entre la astronomiacutea y las coacutenicas Las trayectorias ___las

ecuaciones____ambas____Ninguna

Sabiacuteas que Kepler usoacute circunferencias antes de elipses para sus caacutelculos

astronoacutemicos Si___No___

Cuaacuteles son las trayectorias de las naves espaciales

Cuaacutel es la forma geomeacutetrica con se muestra un agujero negro

Puedes graficar la forma de la Galaxia Viacutea laacutectea

Dibuja los anillos que tiene Saturno

75


Anexo B


ACTIVIDAD 2 TALLER DE RECONOCIMIENTO Y CONSTRUCCIOacuteN DE LAS

COacuteNICAS SIN IDENTIFICAR SUS ELEMENTOS PRINCIPALES

NOMBRE___________________________________________________________

____

El objetivo de esta actividad es familiarizar al estudiante con las construcciones de

las coacutenicas de una manera amena como si estuvieacuteramos jugando porque surgen

muchas inquietudes sobre todo cuando las relacionan con la astronomiacutea y deducen

de manera intuitiva las relaciones que se tienen entre los elementos de las coacutenicas y

sus aplicaciones respectivas

Fue tan agradable que profesores del aacuterea estuvieron presentes en la elaboracioacuten

de este taller y compartieron con nosotros las dudas e inquietudes sobre todo los

profesores de 7deg y 8deg de la misma institucioacuten asiacute como estudiantes del grado once

ELIPSE

76


Se fijan dos puntos (que pueden ser dos alfileres en un cartoacuten) F y Facute (La distancia

entre F y Facute la llamaremos 2c) Se toma un hilo de longitud fija 2a y se unen los

extremos con los alfileres el hilo tenso con un laacutepiz se puede dibujar una curva

deslizando un laacutepiz en el hilo sobre el cartoacuten La resultante es una curva cerrada

llamada elipse

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es un caso particular de una elipse donde los dos focos coinciden

En la circunferencia su excentricidad es la unidad

Se toma una cuerda se fija con un alfiler en un extremo de una cuerda de longitud

L luego en el otro extremo se coloca un laacutepiz y se dibuja la circunferencia haciendo

girar el laacutepiz Esta longitud es el radio de dicha circunferencia este proceso tambieacuten

se puede reemplazar por un compaacutes para obtener mayor precisioacuten

PARABOLA

Una paraacutebola es el conjunto de todos los puntos P(x y) en un plano que estaacuten a

una misma distancia de un punto fijo el foco y una recta fija la directriz Para

77


dibujar una paraacutebola necesitamos una escuadra y una cuerda que tenga la misma

longitud que uno de sus catetos Fijamos un punto F que llamaremos foco y una

recta d que llamaremos directriz Un extremo de la cuerda lo fijamos en el veacutertice

correspondiente al aacutengulo no recto del cateto cuya longitud coincide con la de la

cuerda y el otro extremo en el foco F El otro cateto de la escuadra se apoya en una

recta fija d Con un lapicero tensamos la cuerda mantenieacutendolo pegado al cateto al

mismo tiempo deslizamos la escuadra a lo largo de la recta fija de esta forma se

dibuja la paraacutebola

HIPERBOLA

Una hipeacuterbola es el conjunto de puntos P(x y) en un plano tal que la diferencia de

las distancias desde Pa puntos fijos F1 y F2 los focos es constante Para su

construccioacuten se fijan dos puntos F y Facute (que llamaremos Focos) y se elige una

regla de longitud L mayor que la distancia FFacuteSe Toma un hilo de longitud H tal

que L-H se menor que FFacute se fija un extremo del hilo en el extremo T de la regla

y el otro extremo del hilo se fija se une a uno de los focos por ejemplo F El extremo

libre de la regla se apoya sobre el otro foco Facute

Se toma un laacutepiz P y tenso el hilo llevamos el laacutepiz junto a la regla Deslizamos el

laacutepiz sobre la regla manteniendo el hilo tenso al desplazar el laacutepiz sobre la regla

esta girara De esta forma se traza una rama de la hipeacuterbola Para trazar la otra

rama se apoya la regla en el otro foco y se hace lo mismo

78


Anexo C

79


Horizontales

80


16 Instrumento de orientacioacuten geograacutefica

18 es el hecho de que 19 antildeos tropicales

contienen 693960 diacuteas

19 19 de octubre de 1910 ndash 21 de agosto de

1995) fue un fiacutesico astrofiacutesico y matemaacutetico Indio

20 Cono formado por la sombra que produce la

Tierra o la luna en un eclipse

21 Calendario basado en el movimiento del sol

22 Elipse de excentricidad 1

23 es un hecho en el que la luz procedente de un

Cuerpo celeste es bloqueada por otro

24 Cosmogoniacutea kogi

26 Figura resultante de cortar un cono en

diferentes aacutengulos

27 Medio para ir a la luna

29 Utilizoacute espejos paraboacutelicos en la guerra

30 Se denomina equinoccio al momento del antildeo

en que el Sol estaacute

32 Estudioso de las coacutenicas

33 Es el aacutengulo en grados medido hacia el este

desde el norte o hacia el oeste desde el sur

34 es un paraacutemetro que determina el grado de

desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con

respecto a una circunferencia

35 Calculoacute el periacutemetro de la tierra

36 Liacutenea que divide en dos hemisferios la boacuteveda

celeste

37 Ciencia que estudia los astros

81


38 cuerpos celestes constituidos por hielo y

rocas que orbitan en el Sol

Verticales

25 Biblioteca donde trabajo Ptolomeo

28 circunferencia maacutexima de la esfera celeste

descrita por el movimiento aparente del Sol en

el curso del antildeo que corta el Ecuador en

aacutengulo de 23 grados

31 Punto del firmamento que corresponde

verticalmente al lugar de la Tierra donde estaacute

situado el observador

82


83


Anexo D

Proyecto Maestriacutea en ensentildeanza de la ciencias exactas y naturales

Materiales Escuadra regla laacutepiz papel marcadores lana chinchetas

Elaboroacute Carlos J Echavarriacutea H Mayo de 2000

GRUPO AacuteBACO

Adaptacioacuten Jesuacutes Alberto Murillo Silva noviembre 2012

Nuacutemero de paginas 7

Bibliografiacutea Dibujo Geomeacutetrico y de Proyeccioacuten BronislaoYurksas Editorial Panamericana

Debes seguir atentamente las instrucciones que a continuacioacuten se te indican

Actividad I construccioacuten de una elipse

Traza una liacutenea (de la longitud que desees) que pase por el centro de la hoja

Sobre el extremo izquierdo de la liacutenea que acabas de trazar ubica un punto D y

traza la perpendicular en D luego a 3 cm de D y a la derecha ubica el punto V a

partir de este punto y desplazaacutendote a 3 cm a la derecha ubica el punto F

Ubica un punto A a la derecha de V y por eacutel traza la perpendicular

Toma el compaacutes con radio AD y con centro en F corta la liacutenea perpendicular en dos

puntos y maacutercalos

Ubica un punto cualquiera B entre V y F traza la perpendicular que pasa por eacutel

Toma el compaacutes con radio BD y con centro en F corta la liacutenea perpendicular en dos


Repite los pasos 5 y 6 miacutenimo dos veces maacutes

iquestQueacute curva crees que obtendriacuteas si unieras estos puntos Asiacutegnale un nombre

______________________

Guiacuteas para construir las coacutenicas con compas y

regla

84


Une F con cada uno de los puntos de corte de las perpendiculares A partir de estos

puntos traza cada una de las perpendiculares a la recta perpendicular que pasa por

D Mira cada una de las distancias y anota tus mediciones

__________________________________________________________

iquestCrees que las otras distancias medidas desde F hasta los puntos de corte de las

perpendiculares y desde estos puntos de corte hasta la perpendicular que pasa por

D tienen el mismo valor ___________________

Si estas distancias tienen la misma medida describe la propiedad que cumplen los

puntos de corte de las perpendiculares

__________________________________________________________

Actividad II deduccioacuten de la ecuacioacuten de la elipse

Escribe las coordenadas cartesianas correspondientes a los puntos F y Q

Completa la siguiente deduccioacuten

d(PF) = d(PQ) d significa distancia por definicioacuten de paraacutebola

22 )0()( YXP =

22 )()( YYPX por definicioacuten de distancia

entre dos puntos

85


_____________ = ______________ por propiedad fundamental

de los radicales

4 P2 - 2PX + X2 + Y2 = X2 + ____ + ____ por el desarrollo del

Cuadrado de un binomio

5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________

6 -2PX + Y2 = 2PX por reduccioacuten de teacuterminos

Semejantes

7 Y2 = ______ por transposicioacuten de

Teacuterminos

La ecuacioacuten general de la paraacutebola es entonces ______________________

Actividad lll construccioacuten de la elipse


1 Traza dos segmentos perpendiculares que se corten en su punto medio C

2 Sobre los extremo del segmento horizontal marca los puntos A y Arsquo

3 Igual que en el paso anterior pero esta vez sobre el segmento vertical y con

una distancia menor que la que existe entre A y Arsquo marca los puntos B y Brsquo

4 Toma el compaacutes con centro en B y con radio AC traza dos arcos que corten el

segmento horizontal en F1 y F2

5 Toma un punto D que se localice entre F1 y F2 con radio AD y centro en F2 traza

dos arcos uno a cada lado del segmento horizontal luego con el mismo radio

AD pero con centro en F1 traza nuevamente dos arcos uno a cada lado del

segmento horizontal

6 Toma ahora el radio DArsquo y con centro en F2 traza dos arcos eacutestos deben cortar

uno de los pares de arcos trazados en 5 noacutembralos T y L Con el mismo radio

DArsquo pero esta vez con centro en F1 traza nuevamente dos arcos estos deben

cortar el otro par de arcos trazados en 5 Noacutembralos

86


7 Sigue tomando puntos (miacutenimo tres) sucesivamente entre F1 y F2 para cada

uno repite los pasos seguidos en 5 y 6

iquestSi unieras los puntos que acabas de hallar queacute curva obtendriacuteas Asiacutegnale un

nombre

Desde F1 y F2 traza liacuteneas que unan los puntos de la curva Mide cada una de estas

distancias anota tus mediciones

Para el efecto de este taller d significa distancia

d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________

D(F1T)+d(TF2)=__________

D(F1B)+d(BF2)=__________

iquestQueacute puedes observar en las distancias que acabas de sumar

_________________________________________________________________

Mide la distancia que hay entre A y Arsquo iquestcoacutemo es esta respecto a las otras

distancias

___________________________________________________________________

_________________________________________________________

Actividad IV

P(xy)

Q ( )

O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)

Y

X

87


Deduccioacuten de la ecuacioacuten de una elipse

Escribe las coordenadas cartesianas correspondientes a los puntos F2 y Q


DEDUCCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LA ELIPSE JUSTIFICACIOacuteN

1 d(PF1)+d(PF2)= 2a 1 Por definicioacuten de elipse

2 aycxycx 22222

2 Por definicioacuten de distancia entre dos

puntos

3 _________________________22

ycx

3 Trasposicioacuten de teacuterminos

4

222222244 ycxycxaaycx

4 iquestPor queacute

5 22222

44 ycxacxacx

5 Por reduccioacuten de teacuterminos semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx

6 Por el desarrollo del cuadrado de un

binomio

7 __________444 2 aaxc 7 iquestPor queacute

8 22222 ycxaaxc 8 Por factor comuacuten y por la propiedad

fundamental de los radicales

9 ______________2 4222 acxacx 9 iquestPor queacute

10 222222224 yacxxacaa

10 Por reduccioacuten de teacuterminos

semejantes

11 22222222 yaxcacaa 11 iquestPor queacute

12 22

2

2

2

1ca

y

a

x

12 Por trasposicioacuten de teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x

13 Porque 222 bca (ver elipse)

teorema de Pitaacutegoras

88


Luego la ecuacioacuten general de la elipse es _______________________


Actividad V

1 Traza un segmento de recta l y sobre ella dos puntos F y Frsquo separados 10Cm

2 Con el compaacutes traza la perpendicular que pase por el punto medio Eacuteste punto

seraacute el origen O

3 Separados unos tres centiacutemetros del origen y sobre l marca los puntos V y Vrsquo

4 Marca un punto S sobre el segmento de recta l y fuera del segmento FFrsquo

5 Con un compaacutes con radio VS y haciendo centro en F traza un arco a cada lado

de la recta horizontal ahora con centro en Frsquo marca nuevamente dos arcos

6 Toma ahora con el compaacutes un radio VrsquoS y haciendo centro en F traza dos arcos

estos deben cortar uno de los pares de arcos ya trazados maacutercalos como M y

N Luego con centro en Frsquo traza nuevamente dos arcos nombra estos puntos

de corte de los arcos

7 Toma por lo menos cinco puntos maacutes fuera del segmento y repite los pasos 5 y

6

iquestQueacute curva crees que obtendriacuteas si unieras estos puntos Uacutenelos Asiacutegnale un

nombre____________________________________________________

Une F con cada uno de los puntos de su curva luego une Frsquo con estos mismos

puntos Mide las distancias de los segmentos que acabas de trazar anota tus

mediciones

89


Distancia de F al

punto

Distancia de F al punto

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

iquestCoacutemo son estas distancias_____________________________________

Intenta observar lo que pasa con las medidas iquestCoacutemo son las de la columna

derecha con respecto a las de la columna izquierda____________________

Mide ahora la distancia entre V y Vrsquo iquestcoacutemo es con respecto a las anteriores

__________________________________________________________

Observa bien los valores de las distancias consignadas en la tabla de datos resta

una distancia de la otra Realiza el mismo proceso para todos los valores de la

tabla compaacuteralos con la distancia VVrsquo

iquestqueacute puedes observar

__________________________________________________________

Ya sabes que V y Vrsquo estaacuten a la misma distancia de O iquestPor queacute____________

Si denominas como a la distancia entre OVrsquo iquestcuaacutel es la distancia VVrsquo________

Elabora una definicioacuten para la propiedad que cumplen cada uno de los puntos de la

hipeacuterbola Toma en particular un punto P sobre la hipeacuterbola Ten en cuenta los

pasos que seguiste en la construccioacuten con regla y compaacutes Por ejemplo mira lo que

sucede cuando tomas el radio VS y luego el radio VrsquoS mide las distancias y observa

lo que obtienes

Describe las propiedades que cumplen estos puntos

iquestQueacute ocurriraacute si realizo el mismo procedimiento sobre la otra rama de la

hipeacuterbola___________________________________________________

90


iquestQueacute ocurre si sumas las distancias FP + FrsquoP

__________________________

iquestCoacutemo es comparada con VVrsquo____________________________________

Argumenta iquestpor queacute la propiedad de lugar geomeacutetrico de los puntos de la

hipeacuterbola se cumple como FP ndash FrsquoP = 2 a y no como FrsquoP +FP = 2 a

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________________________

Actividad V lDEDUCCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LA HIPEacuteRBOLA

JUSTIFICACIOacuteN

1 d(FrsquoP)-d(FP)= 2a 1 Por definicioacuten de hipeacuterbola

2 aycx 2_______________0

22

2 Por definicioacuten de distancia

entre dos puntos

3 _________________________22

ycx


4



91


5

2222244 ycxacxacx


semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx

6 Por el desarrollo del

cuadrado de un binomio


8 22222 ycxaaxc 8 Por factor comuacuten y por la

propiedad fundamental de los

radicales




semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x

12 Por trasposicioacuten de

teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x

13 Porque 222 bca (ver

hipeacuterbola) teorema de

Pitaacutegoras

Luego la ecuacioacuten general de la hipeacuterbola es _______________________

92


ANEXO E EVALUACION FINAL DE PERIODO

MAESTRIA EN ENSENtildeANZADE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

TEST FINAL PARA ESTUDIANTES DE 10deg IE JOSFINA MUNtildeOZ GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

1 Hallar las coordenadas del centro de los focos y de los veacutertices de la hipeacuterbola

0421223 22 xyxy Dar las ecuaciones de sus asiacutentotas y graficar

2 Una elipse tiene los focos en (0 1) y (2 5) y un semieje focal de longitud 52

a) Hallar su excentricidad y las coordenadas del centro

b) Dar la ecuacioacuten de su eje focal y graficar

c) Hallar su ecuacioacuten







5 Indicar la ecuacioacuten de una circunferencia centrada en el punto C(10) y de radio

R=2

6 El lugar geomeacutetrico de todos los punto del plano OXY que equidistan de una recta

fija (directriz) y un punto fijo (foco) que no pertenece al a recta es una

a Elipse b Hipeacuterbola c Paraacutebola d Circunferencia

93


7 Indicar la ecuacioacuten de la paraacutebola cuya graacutefica es

8 Indicar cuaacutel es la graacutefica de la paraacutebola cuya ecuacioacuten es (Y-1)2 = 4(X-2)

A B

C

D

9 indicar la ecuacioacuten de la curva cuya graacutefica es

a

ndashy2 =1 b

- y=1 c

+ 1 = d

10 Hallar el eje de simetriacutea de la paraacutebola y=(x-1)2 + 1

a y=1 b x=2 c x=1 d x=0

11 iquestCuaacutel es la ecuacioacuten de la paraacutebola que pasa por el origen de coordenadas y

tiene su veacutertice en el punto V(11)

a x-x2 b2-

c 2x- x2 d 2x+ x2

94


a b

c

d

12 sentildeala la graacutefica cuya expresion es x2 + y2 = 1

13 Halla la ecuacioacuten de la hipeacuterbola que tiene por focos los puntos F (ndash3 0) y F (3

0) y que pasa por el punto P(8 5 )

Como los focos de la hipeacuterbola estaacuten sobre el eje OX y el punto (00) es el punto

medio de los dos focos la ecuacioacuten de la hipeacuterbola es

14 Iidentifica la siguiente coacutenica dibuacutejala y halla sus focos y su excentricidad

+

= 1

15Las tres leyes de Kepler se repressentan en una graacutefica que es

a una hiperbola b una parabola

c una circunferencia con excentricidad gt 0

d ninguna de las anteriores

95


Anexo F Fotografiacuteas de las actividades propias del trabajo

Figura F 1 y F2 realizando una elipse e hipeacuterbola en el patio del colegio

con los estudiantes utilizando los materiales disponibles en el aula de clase

Figura F3 y F4 estudiantes del grupo 10deg 3 viendo videos de astronomiacutea

96


Figura F5 Evidencia del gusto por la observacioacuten Seccioacuten del arco iris en la

vecindad del Colegio relacionado con un segmento de una paraacutebola

Figura F6 y F7 figuras y objetos cotidianos que nos recuerdan las coacutenicas como

objetos uacutetiles

97


Figuras F8 F9 y F10 Actividades desarrrolladas en la clase con la orientacioacuten del

profesor y la ejecucioacuten de los estudiantres

Figuras F11 y F12 actividades relacionadas con la astronomia desarrolladas con

los estudiantes Medicioacuten de la sombra producida en el equinoccio del 23 de junio y

realizacioacuten de un reloj de aena

98


Figura F13 Obtencioacuten de las coacutenicas en el labortario mediante el uso de un Matraz

agua y colorantes para establecer contraste

Figuras F14y F15 De visita por el planetario de Medellin para ver

ldquoEl cielo esta nocherdquo en una funcion didactica

99


Figura F16 Observacioacuten y registro realizado por un estudiante con Camara

Cannon Eos desde el Recinto de Quirama El carmen de Viboral nov de 2012

Noacutetese esta porcioacuten de luna semejante a una antena paraboacutelica

FiguraSF17F18 y F19 Participacioacuten de los estudiantes en el planetario moacutevil de

ALIANZA y obserbacioacuten de la luna llena luego de salir del taller

100


Figura F20 material usado para explicar las fases de la luna

en los talleres luacutedicos

Figura F21 Material usado para mostrar las diversas constelacioones de cada

uno de los hemisferios

101


Figura F22 Invitacioacuten al Recinto de Quirama para ver Las Leoacutenidas en el cierre del

presente trabajo donde asistieron catorce estudiantes de 10deg3 para participar de

las observaciones con los entusiastas al tema de la astronomia

Figura F23 Observatorio Astronoacutemico ubicado en el Recinto de Quirama Via que

de Rionegro conduce a la ceja a 5Km De Rionegro

102


103


104


PRESENCIA DEL NUMERO DE ORO EN EL UNIVERSO

TRABAJO FINAL DE ORIGENES DE LA CIENCIA

POR

JESUS ALBERTO MURILLO SILVA

PROFESOR

M Sc ALONSO SEPULVEDA

MAESTRIA EN ENSENtildeANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE MEDELLIacuteN

MAYO 2011

105


TABLA DE CONTENIDO PAacuteGINA

INTRODUCCION 3

1 DEFINICION Y ORIGEN DEL NUMERO DE ORO Φ 5

2 HISTORIA 9

3 PRESENCIA DEL NUMERO DE ORO EN 19

31 Φ EN LA MATEMATICA 21

32 Φ EN LA GEOMETRIA 26

33 Φ EN LA ARQUITECTURA 36

34 Φ EN LA ESCULTURA 41

35 Φ EN LA PINTURA 42

36 Φ EN LA NATURALEZA 50

361 Φ EN ABEJAS 51

362 Φ EN MAMIFEROS 52

363 Φ EN CARACOLES 54

364 Φ EN PLANTAS 56

365 Φ EN FLORES 63

366 Φ EN FRUTOS 64

367 Φ EN HUEVOS DE LAS AVES 65

368 Φ EN CUERPO HUMANO 65

369 EN LA QUIMICA 71

3610 EN LA MINERALOGIA 73

4 Φ EN EL COMERCIO 75

5 Φ EN LA MUSICA 76

6 Φ EN LA LITERATURA 90

7 Φ EN LA LUTIERIA 91

8Φ EN EL UNIVERSO 96

81Φ EN LAS GALAXIAS 98

106


82 Φ EN LAS RELACIONES DE LA TIERRA 100

83 Φ EN EL MUNDO MUSULMAN Y CRISTIANO 101

CONCLUSIONES 103

BIBLIOGRAFIA 105

107


INTRODUCCIOacuteN

El presente trabajo recopilatorio sobre el nuacutemero de oro relacioacuten aurea o

nuacutemero de Fidias tiene como objetivo conocer la importancia que presenta

en todas las cosas que nos rodea tanto en el mundo natural asiacute como en el

mundo de la construccioacuten tecnoloacutegica

Este nuacutemero y su origen ha sido estudiado desde el comienzo del

conocimiento matemaacutetico al igual que en un sinnuacutemero de aplicaciones en

diversas ramas del saber humano que desde los presocraacutetico los

platoacutenicos los maacutes modernos en Italia y Alemania como Pacioli Durero y

Kepler que han dado denotaciones de divina proporcioacuten por asociarlo a la

Trinidad a lo inconmensurable de Dios hasta el mismo Galileo habla de

que el Maestro geometriza el universo

Mi inquietud como ingeniero y amante de la muacutesica me han llevado a hacer

esta buacutesqueda en la red y cada vez me sorprendo por un nuevo hallazgo

sobre el fascinante mundo de Phi el cual aparece donde menos se espera

teniendo presente que el hombre es un ser abierto y dispuesto a conocer los

diferentes asuntos que lo circundan y sabiendo que a partir de cosas

pequentildeas o insignificantes para otros se pueden hacer grandes

investigaciones las cuales redundan en el beneficio social mejoramiento de

la calidad de vida pues es una de las razones primordiales del hombre la

buacutesqueda incansable de nuevas y mejores oportunidades entonces teniendo

en cuenta estos antecedentes nace mi intereacutes por el tema del nuacutemero de

oro que tambieacuten se relaciona de una manera sorprendente con la serie de

Fibonacci-

Con el nuacutemero de oro he aprendido algo que se nos predica a los docentes

relacionado con la transversalidad de los temas los cuales debemos verlos

como un todo es decir que la matemaacutetica no es una isla ni la ciencia ni el

108


lenguaje Cabe anotar que el nuacutemero de oro se aplica en todas las ramas

del saber humano razoacuten por la cual se hace maacutes eacutenfasis en la muacutesica

Se publica esta recopilacioacuten sobre el nuacutemero de oro como un anexo al

trabajo de Maestriacutea como muestra de agradecimiento a La Universidad

Nacional Autoacutenoma de Meacutexico por haber sido dicho trabajo el que me

dioacute a conocer en la UNAM en Meacutexico DF y luego en otros paiacuteses

109


1 DEFINICION Y ORIGEN DEL NUMERO DE ORO

Φ

El nuacutemero de oro o proporcioacuten aurea es una divisioacuten en dos de un

segmento seguacuten proporciones dadas por el nuacutemero aacuteureo La longitud total

a+b es al segmento maacutes largo a como a es al segmento maacutes corto b

Este nuacutemero se puede representar de diferentes maneras como se muestra

a continuacioacuten

Binario 11001111000110111011

Decimal 16180339887498948482

Hexadecimal 19E3779B97F4A7C15F39

Fraccioacuten continua

Algebraico

110


Se dice que dos nuacutemeros positivos a y b estaacuten en razoacuten aacuteurea si y soacutelo si

Para obtener el valor de a partir de esta razoacuten considere lo siguiente

Que la longitud del segmento maacutes corto b sea 1 y que la de a sea x Para que estos segmentos cumplan con la razoacuten aacuteurea deben cumplir que

Multiplicando ambos lados por x y reordenando

Mediante la foacutermula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuacioacuten son

La solucioacuten positiva es el valor del nuacutemero aacuteureo Este nuacutemero estaacute presente en la Naturaleza como canon de la armoniacutea el Nuacutemero de Oro ( Fi ) admira e inspira al hombre que encontraacutendolo sintieacutendolo o intuyeacutendolo en eacutel mismo lo emplea para dar en forma voluntaria o intuitiva proporciones a lo maacutes bello de su creacioacuten en todos los campos y formas de su expresioacuten

El Nuacutemero de Oro no soacutelo estaacute en la configuracioacuten de la forma de fenoacutemenos

de diferente tipo y magnitud que existen o se dan en la Naturaleza sino

tambieacuten entre otras en las relaciones espaciales y acuacutesticas que pudieran

existir entre ellos en la plena y permanente manifestacioacuten de la Armoniacutea

Universal

Al emular a la Naturaleza el hombre crea obras excelsas y hace trascender a

eacutestas aunque en diferente forma la armoniacutea que eacutel ha asumido

particularmente en las de las artes mayores de la arquitectura y de la muacutesica

111


que tienen entre ellas un patroacuten de analogiacutea que no afecta a la singularidad

de cada una

Esa analogiacutea no se manifiesta soacutelo en esas artes lo hace tambieacuten en el

aacutembito del lenguaje de creadores estudiosos y criacuteticos de las obras

arquitectoacutenicas y musicales En el caso de la muacutesica el lenguaje que

emplean sus inteacuterpretes utiliza expresiones que mantienen los mismos o

parecidos valores y correspondencias

Ademaacutes la semejanza entre dichas artes se ampliacutea a los instrumentos que la

muacutesica emplea debido a que el desarrollo en esos tres campos

(arquitectura muacutesica e instrumentos musicales) se realizan con el empleo de

criterios matemaacuteticos del mismo tipo y que por cierto se manejan con las

mismas facultades del intelecto

Cabe anotar que el tamantildeo y la forma de los instrumentos corresponden con

los valores regulados por Fi de la antropometriacutea de los ejecutantes en un

paradigma del disentildeo ergonoacutemico porque aparte de cumplir los objetivos de

utilidad eficiencia facilidad de uso y valor esteacutetico tiene el adicional de

servir para transmitir belleza

Entre los instrumentos musicales de diversos lugares estaacuten los de cuerda

que tienen caja y maacutestil y cuya configuracioacuten geomeacutetrica permite observar

claramente que por el uso de meacutetodos de disentildeo quizaacutes olvidados o por

aparecer espontaacuteneamente Fi es el canon rector de su forma resultante

acorde con su rol acuacutestico

En cualquier caso si esto es un secreto de la fabricacioacuten de los instrumentos

de cuerda si alguna vez se empleoacute Fi en la de otros y ahora soacutelo se repite

sus dimensiones ignorando su causa o si en la de los demaacutes su presencia

es espontaacutenea se explica claramente la correspondencia entre el

instrumento y su propoacutesito

En consecuencia y para demostrar la analogiacutea entre la arquitectura la

muacutesica y por extensioacuten los instrumentos de cuerda se presenta una amplia

muestra de eacutestos que en la diversidad de su origen geograacutefico y cultural

prueba la presencia del Nuacutemero de Oro en su particular y tantas veces

exquisita lsquoarquitecturarsquo

112


Noacutetese que pese a las diferentes caracteriacutesticas de todo tipo de los diversos

instrumentos analizados aparte de los pocos casos en los que hay cifras

algo complejas estaacuten presentes con frecuencia las proporciones de Fi y de 1

que asociadas muestran la Seccioacuten Aacuteurea) 1 Fi radic Fi Fi Fi -5 radic5 (=2x

1 Fi) y radic5-

Es sabido que Filolao disciacutepulo de Pitaacutegoras al decir que la armoniacutea es la

unificacioacuten de lo diverso y la disposicioacuten concordante de lo discordante dio

una clave para entender coacutemo y porqueacute se dan las proporciones en lo que

tiene vida y movimiento en la Naturaleza y en lo que el hombre hace al

emularla Dado que en ambos casos la armoniacutea es una expresioacuten de belleza

en la obra humana se la define en general como la conveniente proporcioacuten y

correspondencia de unas cosas con otras y en la muacutesica como la unioacuten y

combinacioacuten de sonidos simultaacuteneos y diferentes pero acordes

Como paradigma de esa armoniacutea en la diversidad de la Naturaleza el

Nuacutemero de Oro ( Fi ) tiene presencia como el coacutedigo universal de lo que tiene

vida movimiento o resulta de ellos en lo minuacutesculo en la doble heacutelice del

ADN y en la figura y disposicioacuten de las partes de los animales en la forma de

las hojas flores y frutos de las plantas y en el patroacuten de crecimiento de eacutestas

en lo inorgaacutenico en la periodicidad de los elementos atoacutemicos en lo inmenso

de la configuracioacuten de las galaxias y en lo minuacutesculo como en la moleacutecula del

Carbono 60 (C60) que es un hexapenta perfecto

En ese amplio aacutembito la analogiacutea entre la arquitectura y la muacutesica fue descrita por Reneacute Puaux que al referirse a edificios griegos dijo el templo era en su conjunto una sinfoniacutea musical en maacutermol (1926) y por Schopenhauer que generalizando sentildealoacute que la arquitectura es muacutesica congelada (1819) Pero auacuten maacutes al ser la analogiacutea la consonancia mediante el Nuacutemero de Oro eacuteste se halla en lo mejor de la obra arquitectoacutenica y de la muacutesica por ejemplo en la llamada escala bien temperada donde la frecuencia correspondiente a cada semitono es

( Fi+(1 Fi 2 ) o de otro modo K12 = = 10594630943592953

Como consecuencia de esa analogiacutea en ambas partes se usa expresiones

equivalentes armoniacutea como ya se sentildealoacute ritmo que significa la grata

combinacioacuten y el orden en la sucesioacuten de componentes de una obra o

periodicidad percibida seguacuten S Coculesco (citado por M C Ghyka) y

113


consonancia que en la muacutesica es la cualidad de aquellos sonidos que oiacutedos

simultaacuteneamente producen efecto agradable y que tiene correspondencia

con proporcioacuten que en la arquitectura y en las artes plaacutesticas es la grata

percepcioacuten de la conformidad entre las partes y entre eacutestas y el todo

Las facultades del intelecto dedicadas a las matemaacuteticas como recurso

obvio para la creacioacuten arquitectoacutenica en el caso de la muacutesica fueron aludidas

por Leibniz al referirse a que ella consiste en la percepcioacuten inconsciente de

proporciones armoacutenicas en determinadas manifestaciones sonoras cuando

dijo que es un ejercicio oculto de aritmeacutetica en el cual el espiacuteritu ignora que

calcula y que hace recordar conceptos de esteacutetica que en la antiguumledad

claacutesica de Occidente se refirieron a lo que se expresa con las propiedades

del Nuacutemero de Oro en la amplia variedad de sus manifestaciones

En la misma forma con la que se puede estudiar la composicioacuten

arquitectoacutenica de una determinada obra por la organizacioacuten de su proyeccioacuten

plana con rectaacutengulos de distinto tamantildeo que tengan sus lados con

proporciones relacionadas y reguladas por Fi tambieacuten se puede analizar la

geometriacutea de un instrumento de cuerda del tipo que se ha elegido

mostrando el correspondiente conjunto armoacutenico con el mismo meacutetodo al

sentildealar las proporciones de sus dimensiones lineales asumiendo que

tambieacuten se encontraraacute a Fi en otras posibles proyecciones planas del mismo

instrumento

114


2 HISTORIA

Existen varios textos que sugieren que el nuacutemero aacuteureo se encuentra como proporcioacuten en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a C Sin embargo no existe documentacioacuten histoacuterica que indique que el nuacutemero aacuteureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construccioacuten de las estelas Tambieacuten es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es faacutecil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles Ademaacutes para que se pueda considerar que el nuacutemero aacuteureo estaacute presente las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del nuacutemero aacuteureo Por todas estas

115


razones Mario Livio y Aacutelvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nuacutemero aacuteureo

El primero en hacer un estudio formal sobre el nuacutemero aacuteureo fue Euclides (c 300-265 a C) quieacuten lo definioacute de la siguiente manera

Se dice que una liacutenea recta estaacute dividida entre el extremo y su proporcional cuando la liacutenea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor Euclides en Los Elementos

Euclides demostroacute tambieacuten que este nuacutemero no puede ser descrito como la razoacuten de dos nuacutemeros enteros es decir es irracional

Platoacuten (c 428-347 a C) vivioacute antes de que Euclides estudiara el nuacutemero aacuteureo sin embargo a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el nuacutemero aacuteureo debido que el historiador griego Proclo escribioacute

Eudoxo multiplicoacute el nuacutemero de teoremas relativos a la seccioacuten a los que Platoacuten dio origen Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides

Aquiacute a menudo se interpretoacute la palabra seccioacuten (τομή) como la seccioacuten aacuteurea Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretacioacuten ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusioacuten de que la palabra seccioacuten no tuvo nada que ver con el nuacutemero aacuteureo No obstante Platoacuten consideroacute que los nuacutemeros irracionales descubiertos por los pitagoacutericos eran de particular importancia y la llave a la fiacutesica del cosmos Esta opinioacuten tuvo una gran influencia en muchos filoacutesofos y matemaacuteticos posteriores en particular los neoplatoacutenicos

Posteriormente con Fibonaci descubridor de la serie que lleva su nombre esta asociada al famoso nuacutemero de oro Esta serie empieza en 0 siguiendo con 1 y los teacuterminos posteriores se obtienen sumando los dos anteriores Esta serie tiene la particularidad de que sus cocientes sucesivos dan como resultado Fi (el nuacutemero de oro)

Serie de Fibonacci

Entre las muchas curiosidades de las Fibonacci una de las maacutes extrantildeas propiedades de las mismas es que la razoacuten entre cada par de nuacutemeros consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razoacuten aacuteurea y que a medida que avanzamos en la serie la diferencia de la razoacuten de Fibonacci

116


con la razoacuten aacuteurea se va haciendo cada vez menor En teoriacutea cuando llegaacutesemos al uacuteltimo par de nuacutemeros resultariacutea Φ Φ-1 = 161803

que es precisamente la razoacuten aacuteurea La razoacuten aacuteurea es un ceacutelebre nuacutemero irracional (como pi sus cifras decimales no parecen terminar jamaacutes)

La afirmacioacuten anterior se demuestra faacutecilmente En nuestro ejemplo 3 2 = 15

bastante por debajo de la razoacuten aacuteurea Pero 5 3 = 166 algo por encima pero menos que antes Si seguimos veremos que 8 5 = 16 13 8 = 1625 21 13 = 16153 y 34 21 = 161904 y esto lo podemos hacer sucesivamente con cada dos teacuterminos sucesivos de la serie y cada vez aparecen maacutes decimales hacieacutendolo maacutes exacto convergiendo hacia el nuacutemero de oro por esta razoacuten tambieacuten se le conoce como proporcioacuten aurea A continuacioacuten se muestra un graacutefico donde estos cocientes tiende a la recta y = Φ

Coacutemo saber si un nuacutemero pertenece a la sucesioacuten

iquestExiste alguacuten meacutetodo para saber si un nuacutemero cualquiera pertenece a

una sucesioacuten de Fibonacci Es una pregunta ante la que un matemaacutetico

frunciriacutea el centildeo ya que es de apariencia no trivial y ademaacutes en caso de

respuesta afirmativa uno espera encontrarse con una foacutermula de eacutesas que

requieren el uso de grandes ordenadores Sin embargo la respuesta es

afirmativa y el resultado asombrosamente simple hasta el punto de que

para nuacutemeros no excesivamente grandes la comprobacioacuten se puede hacer

con una calculadora de bolsillo

117


Un nuacutemero N pertenece a una sucesioacuten de Fibonacci si y soacutelo se cumple que

o bien

es un cuadrado perfecto

Tomemos un ejemplo con el nuacutemero 3 Si lo elevamos al cuadrado tenemos

9 que multiplicado por 5 nos da 45 y al sumarle cuatro a este resultado

obtenemos 49 que es un cuadrado perfecto ya que 72 = 49 luego el nuacutemero

3 pertenece a la sucesioacuten de Fibonacci Probemos con un nuacutemero maacutes

grande como el 610

5middot(610)2 ndash 4 = 5middot 372100 ndash 4 = 1860500 ndash 4 = 1860496

que es el cuadrado de 1364 con lo que 610 pertenece a una sucesioacuten de

Fibonacci

Por otra parte no estaacute de maacutes antildeadir que la manera de saber si un nuacutemero

es un cuadrado perfecto es introducirlo en la calculadora y extraer la raiacutez

cuadrada (para ver si da un nuacutemero exacto

Esta sucesioacuten o serie puede representarse en forma de geomeacutetrica como

un dominoacute geomeacutetrico

El dominoacute de Fibonacci

Cuando un matemaacutetico decide ponerse a hacer puzzles hay que echar a

temblar ya que lo que empieza como un simple pasatiempo puede acabar

convirtieacutendose con suerte en un teorema de difiacutecil demostracioacuten y en el

peor de los casos en una conjetura que traiga de cabeza a mucha gente

durante mucho tiempo

Un pasatiempo de estas caracteriacutesticas es por ejemplo el siguiente Se trata

de construir rectaacutengulos con piezas de dominoacute Entendiendo que un

cuadrado es una clase concreta de rectaacutengulo y que una pieza de dominoacute se

caracteriza porque mide el doble de largo que de ancho iquestcuaacutentos

rectaacutengulos diferentes de 2times1 pueden construirse con piezas de dominoacute

Evidentemente uno soacutelo

118


iquestY rectaacutengulos de 2times2 Por muchas vueltas que le demos soacutelo se pueden

hacer dos

Rectaacutengulos de 2times3 se pueden hacer exactamente tres y de 2times4 cinco La

cosa pinta bien Lo suficiente para que nos animemos con los de 2times5 y

comprobemos que sale el nuacutemero esperado ocho De manera que nos

encontramos con la sucesioacuten 1 2 3 5 8 hellip

iquestNos permite esto asegurar rotundamente que el nuacutemero de rectaacutengulos 2xN

que se pueden construir con fichas de dominoacute es FN O sea que por

ejemplo habraacute 610 maneras de construir triaacutengulos de 2times15 con fichas de

dominoacute

El matemaacutetico norteamericano David Klarner (1940ndash1999) demostroacute que asiacute

era La demostracioacuten excesivamente compleja para describirla aquiacute incluye

el manejo de ldquopolyominoacutesrdquo una generalizacioacuten de las piezas de dominoacute

que se mueven a caballo entre los puzzles infantiles la combinatoria

moderna la topologiacutea y alguna que otra lindeza matemaacutetica

Los soacutelidos regulares ( con sus caras iguales) se presenta dicha relacioacuten siendo privilegiadas las formas naturales de muchos cristales

119


A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nuacutemero aacuteureo Platoacuten se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos cosa que intentoacute usando los cinco soacutelidos platoacutenicos construidos y estudiados por Teeteto En particular combinoacute la idea de Empeacutedocles sobre la existencia de cuatro elementos baacutesicos de la materia con la teoriacutea atoacutemica de Demoacutecrito Para Platoacuten cada uno de los soacutelidos correspondiacutea a una de las partiacuteculas que conformaban cada uno de los elementos la tierra estaba asociada al cubo el fuego al tetraedro el aire al octaedro el agua al icosaedro y finalmente el Universo como un todo estaba asociado con el dodecaedro uno de los cinco soacutelidos pitagoacutericos

Dibujos realizados por davinci

En Geometriacutea los soacutelidos de caras planas reciben el nombre de poliedros

(En griego polys = muacuteltiples y hedra = cara) Los poliedros cuyas caras

son poliacutegonos regulares iguales se llaman poliedros regulares Los poliedros

120


regulares son cinco En el cuadro siguiente se presentan sus nombres y

caracteriacutesticas

POLIEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

MODELO

CARAS 6 cuadrados 4 triaacutengulos equilaacuteteros

12 pentaacutegonos regulares

20 triaacutengulos equilaacuteteros


VEacuteRTICES 8 4 20 12 6

ARISTAS 12 6 30 30 12 ARISTAS POR VEumlRTICE

3 3 3 5 4

SENO DEL AacuteNGULO ENTRE CARAS

1

AacuteREA DE LA SUPERFICIE EXTERIOR

VOLUMEN

RADIO DE LA ESFERA CIRCUNSCRIPTA

RADIO DE LA ESFERA INSCRIPTA

En las foacutermulas a = arista

Para mostrar por queacute son cinco mdashy no maacutesmdash se suele razonar del modo

siguiente

Cada veacutertice debe ser comuacuten por lo menos a tres caras para que se forme

un soacutelido (Si fuera comuacuten a dos las caras estariacutean pegadas y no

tendriacuteamos un soacutelido

121


La suma de los aacutengulos interiores de las caras que se encuentran en cada

veacutertice debe ser menor que 360deg de manera que la figura se cierre que no

sea plana

Dado que cada aacutengulo interior de un triaacutengulo equilaacutetero mide 60deg tomando

en cuenta lo sentildealado en los enunciados anteriores en un veacutertice podriacutean

concurrir tres cuatro o cinco de ellos Eacutesos son los casos del tetraedro el

octaedro y el icosaedro respectivamente Cada aacutengulo interior de un

cuadrado mide 90deg de modo que soacutelo podemos hacer coincidir tres de ellos

en cada veacutertice Eacutese es el caso del cubo Los aacutengulos interiores del

pentaacutegono regular miden 108deg Poniendo tres de ellos en cada veacutertice se

obtiene un dodecaedro Con los poliacutegonos siguientes ya no es posible formar

poliedros regulares los aacutengulos interiores de una hexaacutegono miden 120deg y no

es posible poner tres juntos sin llegar al liacutemite de 360deg los aacutengulos interiores

de los siguientes son aun mayores

Los poliedros regulares y los griegos antiguos

Los pitagoacutericos mdashque veiacutean en los resultados matemaacuteticos algo parecido a

una verdad religiosamdash consideraban muy importante la observacioacuten de que

habiacutea soacutelo cinco poliedros regulares posibles Muchos creen que fueron ellos

quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman soacutelidos pitagoacutericos a

los poliedros regulares (Lo maacutes probable es que la demostracioacuten de esta

afirmacioacuten se deba a los miembros de esa escuela) Sin embargo los

arqueoacutelogos han hallado imaacutegenes en piedra de los poliedros regulares

considerablemente maacutes antiguas

122


tierra fuego Universo agua y aire Imaacutegenes recogidas en un yacimiento neoliacutetico de Escocia

Por otra parte en excavaciones realizadas cerca de Paacutedova (Italia) se

halloacute un dodecaedro etrusco que probablemente era usado como juguete

Se cree que fue Empeacutedocles quien primero asocioacute el cubo el tetraedro el

icosaedro y el octaedro con la tierra el fuego el agua y el aire

respectivamente Estas sustancias eran los cuatro elementos de los

griegos antiguos Luego Platoacuten asocioacute el dodecaedro con el Universo

pensando que dado que era tan distinto de los restantes (iquestpor sus caras

pentagonales) debiacutea tener relacioacuten con la sustancia de la cual estaban

hechos los planetas y las estrellas (Por entonces se creiacutea que los cuerpos

celestes debiacutean estar hechos de un elemento distinto del que estaban

hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra) De aquiacute que a los

poliedros regulares se los conozca tambieacuten como soacutelidos platoacutenicos

123


Los poliedros regulares y Johannes Kepler-

En el siglo XVI los poliedros regulares inspiraron al joven Kepler una teoriacutea

sobre el movimiento de los planetas Eacutel creiacutea que

los radios de las oacuterbitas (circulares) de los planetas

estaban en proporcioacuten con los radios de las

esferas inscriptas en soacutelidos platoacutenicos dispuestos

uno dentro de otro El grabado de la derecha ha

sido tomado de su tratado Mysterium

Cosmographicum (ldquoEl Misterio del Cosmosrdquo)

(Kepler concluyoacute que ese modelo era erroacuteneo y que

los planetas se moviacutean describiendo trayectorias eliacutepticas recieacuten cuando

conocioacute los resultados de las observaciones de Tycho Brahe)

En el cuadro siguiente aparecen reproducciones de otros grabados de la

misma obra de Kepler en donde se observa coacutemo sobreviviacutea en esta eacutepoca

tan tardiacutea la asociacioacuten entre elementos y poliedros establecida por

Empeacutedocles y Platoacuten

Tierra fuego Universo agua aire

124


Figuras tomadas del tratado Mysterium Cosmographicum de Johannes Kepler

El descubrimiento de Kepler de las leyes del movimiento de los planetas es uno

de los primeros resultados de la aplicacioacuten del meacutetodo cientiacutefico tal como lo

entendemos hoy

6 Triaacutengulo de Kepler

El triaacutengulo de Kepler es un triaacutengulo rectaacutengulo formado por tres

cuadrados con aacutereas en progresioacuten geomeacutetrica de acuerdo al nuacutemero

aacuteureo

El triaacutengulo de Kepler es un triaacutengulo rectaacutengulo con lados en progresioacuten

geomeacutetrica La relacioacuten entre lados de un triaacutengulo de Kepler estaacute vinculada al nuacutemero aacuteureo

125


y puede ser escrita o aproximadamente 1 1272 1618 Los cuadrados de los lados de eacuteste triaacutengulo (veacutease fig tk1) estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica de acuerdo al nuacutemero aacuteureo

Los triaacutengulos con dicha relacioacuten son llamados triaacutengulos de Kepler dado que el matemaacutetico y astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler (1571ndash1630) fue el primero en demostrar que este triaacutengulo se caracteriza por tener una relacioacuten entre los catetos y la hipotenusa igual a la proporcioacuten aacuteurea4 El triaacutengulo de Kepler combina dos conceptos clave de la matemaacutetica el teorema de Pitaacutegoras y nuacutemero aacuteureo lo cual fascinoacute profundamente a Kepler como quedoacute expresado en su propia cita

La geometriacutea tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de Pitaacutegoras el

otro la divisioacuten de un segmento entre el extremo y su proporcional Al

primero lo podemos comparar a un montoacuten de oro al segundo lo podemos

llamar una piedra preciosa

61 Relacioacuten con las medias aritmeacutetica geomeacutetrica y armoacutenica

Para nuacutemeros reales positivos a y b sus media aritmeacutetica media geomeacutetrica y media armoacutenica son las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo si y solo si tal triaacutengulo es un triaacutengulo de Kepler

126


62 Como construir un triaacutengulo de Kepler

Meacutetodo para construir un triaacutengulo de Kepler mediante la proporcioacuten aacuteurea

Un triaacutengulo de Kepler puede ser construido usando solo regla y compaacutes creando primero un rectaacutengulo aacuteureo

Construir un simple cuadrado (rojo )

Trazar una liacutenea desde el punto medio de uno de sus lados hasta un veacutertice del lado opuesto

Utilizar la longitud de esa liacutenea como radio para dibujar un arco (gris en la figura) que define la altura de un rectaacutengulo aacuteureo

Completar el dibujo de dicho rectaacutengulo

Uacutesese el lado largo de la derecha del rectaacutengulo para trazar un arco hasta que intercepte al lado opuesto del rectaacutengulo dicha interseccioacuten define las longitudes de la hipotenusa y del cateto mayor del triaacutengulo de Kepler (aacuterea marroacuten)

Kepler lo construiacutea de manera diferente Seguacuten una carta que le escribioacute a su antiguo profesor Michael Maumlstlin

4 Si un segmento se divide entre el extremo y su

proporcional1 y se toma como hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyo aacutengulo

recto se halle sobre el punto que divide a la hipotenusa en dichas partes entonces el

cateto menor tendraacute la misma longitud que la parte maacutes larga del segmento de partida

(ahora hipotenusa)

127


63 Curiosidades

Algunas fuentes afirman que se puede reconocer en la gran piraacutemide de Guiza un

triaacutengulo con dimensiones aproximadas a un triaacutengulo de Kepler

128


Los poliedros regulares y Maurits Cornelis Escher

Los soacutelidos platoacutenicos por su historia perfeccioacuten y belleza continuacutean

siendo hoy inspiradores de matemaacuteticos y artistas El holandeacutes Maurits

Cornelis Escher es uno de los artistas claacutesicos de nuestro tiempo que han

experimentado la fascinacioacuten por estas figuras A continuacioacuten se reproduce

su grabado Estrellas (1948) y una fotografiacutea que lo muestra observando una

de sus obras un conjunto de soacutelidos platoacutenicos superpuestos

129


Maurits consiguioacute hacer representaciones de otras figuras que nos soacutelidos regulares pero que con su ingenio logra hacer tesalaciones con un sentido geomeacutetrico pero saltaacutendose los caacutenones especiales

En 1509 el matemaacutetico y teoacutelogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporcioacuten Divina) en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Nuacutemero aacuteureo

La unicidad Pacioli compara el valor uacutenico del nuacutemero aacuteureo con la unicidad de Dios

El hecho de que esteacute definido por tres segmentos de recta Paciolo asocia con la Trinidad

La inconmensurabilidad para Pacioli la inconmensurabilidad del nuacutemero aacuteureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes

La Autosimilaridad asociada al nuacutemero aacuteureo Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios

Seguacuten Pacioli de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a traveacutes de la quinta esencia representada por el dodecaedro el nuacutemero aacuteureo dio ser al dodecaedro

En 1525 Alberto Durero publica Instruccioacuten sobre la medida con regla y compaacutes de figuras planas y soacutelidas donde describe coacutemo trazar con regla y compaacutes la espiral basada en la seccioacuten aacuteurea que se conoce como ldquoespiral de Durerordquo

El astroacutenomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolloacute un modelo Platoacutenico del Sistema Solar utilizando los soacutelidos platoacutenicos y se refirioacute al nuacutemero aacuteureo en teacuterminos grandiosos

ldquoLa geometriacutea tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de Pitaacutegoras el otro la divisioacuten de una liacutenea entre el extremo y su proporcional El primero lo podemos comparar a una medida de oro el segundo lo debemos denominar una joya preciosardquo Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Coacutesmico)

El primer uso conocido del adjetivo aacuteureo dorado o de oro para referirse a este nuacutemero lo hace el matemaacutetico alemaacuten Martin Ohm hermano del ceacutelebre fiacutesico Georg Simon Ohm en la segunda edicioacuten de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemaacuteticas Puras Elementales) Ohm escribe en una nota al pie

130


A pesar de que la forma de escribir sugiere que el teacutermino ya era de uso comuacuten para la fecha el hecho de que no lo incluyera en su primera edicioacuten sugiere que el teacutermino pudo ganar popularidad alrededor de 1830

En los textos de matemaacuteticas que trataban el tema el siacutembolo habitual para representar el nuacutemero aacuteureo fue τ del griego τομή que significa corte o seccioacuten Sin embargo la moderna denominacioacuten Φ oacute φ la efectuoacute en 1900 el matemaacutetico Mark Barr en honor a Fidias ya que eacutesta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας) Este honor se le concedioacute a Fidias por el maacuteximo valor esteacutetico atribuido a sus esculturas propiedad que ya por entonces se le atribuiacutea tambieacuten al nuacutemero aacuteureo el cual aplico Fidias a sus hermosas esculturas

131


Fidias vivioacute entre el 490 AC al 431 AC Sobresalioacute en el mundo claacutesico griego tanto en escultura grabado y repujado Pudieacutendose decir que fue uno de los mejores escultores y arquitectos de todos los tiempos Pero la escultura lo llevoacute a su punto maacuteximo por su perfeccioacuten y armoniacutea destacando a cada momento la belleza humana Algo que lo puso en lo maacutes alto fue el trato que dio a las telas adheridas a los cuerpos mostrando sus pliegues dejando entrever las curvas de los cuerpos la musculatura etc Vivioacute en la eacutepoca de Pericles convirtieacutendose en el protector de Fidias Pericles queriacutea hacer de la Acroacutepolis de Atenas la ciudad maacutes grande majestuosa y hermosa Debido a ello casi toda su obra la realizoacute en Atenas

3 PRESENCIA DEL NUMERO DE ORO

El nuacutemero de oro se encuentra presente e inmerso en muacuteltiples facetas del

mundo natural asiacute como en la intervencioacuten de la creacioacuten humana en un

sinnuacutemero de actividades que permiten pensar que esa relacioacuten aurea o

nuacutemero de oro realmente merece llamarse asiacute A continuacioacuten se mostraraacuten

algunas de esas facetas donde la proporcioacuten divina aparecen

31 Φ EN LA MATEMATICA

631 Foacutermula de la relacioacuten aacuteurea

Para conseguir un nuacutemero cuya relacioacuten con otro sea φ se puede utilizar esta

foacutermula

A condicioacuten siempre de que agtb agt0 y bgt0

Si por ejemplo queremos un valor aacuteureo para 2 y eacuteste es el segmento menor o sea b resulta entonces que

Ordenando

Con la foacutermula cuadraacutetica

132


Φ es el uacutenico nuacutemero real positivo tal que

La expresioacuten anterior es faacutecil de comprobar

Φ posee ademaacutes las siguientes propiedades

Las potencias del nuacutemero aacuteureo pueden expresarse en funcioacuten de una suma de potencias de grados inferiores del mismo nuacutemero establecida una verdadera sucesioacuten recurrente de potencias

El caso maacutes simple es Φn = Φn minus 1 + Φn minus 2 cualquiera sea n un nuacutemero entero Este caso es una sucesioacuten recurrente de orden k = 2 pues se recurre a dos potencias anteriores

Una ecuacioacuten recurrente de orden k tiene la forma a1un + k minus 1 + a2un + k minus 2 + + akun donde ai es cualquier nuacutemero real o complejo y k es un nuacutemero natural menor o igual a n y mayor o igual a 1 En el caso anterior es k = 2 a1 = 1 y a2 = 1

Pero podemos laquosaltearraquo la potencia inmediatamente anterior y escribir

Φn = Φn minus 2 + 2Φn minus 3 + Φn minus 4 Aquiacute k = 4 a1 = 0 a2 = 1 a3 = 2 y a4 = 1

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores tambieacuten hay una foacutermula recurrente de orden 6

133


Φn = Φn minus 3 + 3Φn minus 4 + 3Φn minus 5 + Φn minus 6

En general

En resumen cualquier potencia del nuacutemero aacuteureo puede ser considerada como el elemento de una sucesioacuten recurrente de oacuterdenes 2 4 6 8 2k donde k es un nuacutemero natural En la foacutermula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de Φ hecho totalmente correcto Ademaacutes una potencia negativa de Φ corresponde a una potencia positiva de su inverso la seccioacuten aacuteurea

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio parecieran indicar que entre el nuacutemero aacuteureo y el nuacutemero e hay un parentesco

El nuacutemero aacuteureo es la unidad fundamental laquoεraquo del cuerpo

y la seccioacuten aacuteurea es su inversa laquo raquo En esta extensioacuten el

laquoemblemaacuteticoraquo nuacutemero irracional cumple las siguientes igualdades

La expresioacuten mediante fracciones continuas es

Esta iteracioacuten es la uacutenica donde sumar es multiplicar y restar es dividir Es tambieacuten la maacutes simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia maacutes lenta Esa propiedad hace que ademaacutes el nuacutemero aacuteureo sea un nuacutemero mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales5

134


Por ello se dice que φ es el nuacutemero maacutes alejado de lo racional o el nuacutemero maacutes irracional Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogoacuterov-Arnold-Moser

El nuacutemero aacuteureo y la seccioacuten aacuteurea son soluciones de las siguientes ecuaciones

Eacutestas corresponden al hecho de que el diaacutemetro de un pentaacutegono regular (distancia entre dos veacutertices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado y de otras relaciones similares en el pentagrama

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al nuacutemero aacuteureo con el nuacutemero de la Bestia

Lo que puede combinarse en la expresioacuten

135


Sin embargo hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes

Esta foacutermula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court de la Universidad de Oklahoma en la revista American

Mathematical Monthly 1917

El teorema general dice

La expresioacuten (donde ai = a) es igual a la mayor de las raiacuteces de la ecuacioacuten xsup2 - x - a = 0 o sea

Relacioacuten del nuacutemero de oro con el triangulo de Pascal

632

136


Este es el triaacutengulo de Pascal que se forma situando el nuacutemero uno por sus

dos laterales y los demaacutes nuacutemeros se hallan sumando los dos nuacutemeros que

tiene justo encima Sumando los nuacutemeros seguacuten las diagonales obtenemos

la sucesioacuten de Fibonacci

Relacioacuten del nuacutemero de oro con la serie de Fibonacci

Si se denota el eneacutesimo nuacutemero de Fibonacci como Fn y al siguiente nuacutemero de Fibonacci como Fn + 1 descubrimos que a medida que n aumenta esta razoacuten oscila y es alternativamente menor y mayor que la razoacuten aacuteurea Podemos tambieacuten notar que la fraccioacuten continua que describe al nuacutemero aacuteureo produce siempre nuacutemeros de Fibonacci a medida que aumenta el

nuacutemero de unos en la fraccioacuten Por ejemplo y

lo que se acerca considerablemente al nuacutemero aacuteureo Entonces se tiene que

Esta propiedad fue descubierta por el astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler pero pasaron maacutes de cien antildeos antes de que fuera demostrada por el matemaacutetico ingleacutes Robert Simpson

Con posterioridad se encontroacute que cualquier sucesioacuten aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo liacutemite Por ejemplo si tomamos dos nuacutemeros naturales arbitrarios por ejemplo 3 y 7 la sucesioacuten recurrente resulta 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 Los cocientes de teacuterminos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintoacuteticamente por

exceso y por defecto al mismo liacutemite 4427 = 16296296 7144 = 1613636 301186 = 16182795

A mediados del siglo XIX el matemaacutetico franceacutes Jacques Philippe Marie Binet redescubrioacute una foacutermula que aparentemente ya era conocida por Leonhard

Euler y por otro matemaacutetico franceacutes Abraham de Moivre La foacutermula permite encontrar el eneacutesimo nuacutemero de Fibonacci sin la necesidad de producir todos

137


los nuacutemeros anteriores La foacutermula de Binet depende exclusivamente del nuacutemero aacuteureo

32 Φ EN LA GEOMETRIA

633

El nuacutemero aacuteureo y la seccioacuten aacuteurea estaacuten presentes en todos los objetos geomeacutetricos regulares o semirregulares en los que haya simetriacutea pentagonal que sean pentaacutegonos o que aparezca de alguna manera la raiacutez cuadrada de cinco

Relaciones entre las partes del pentaacutegono

Relaciones entre las partes del pentaacutegono estrellado pentaacuteculo o pentagrama

Relaciones entre las partes del decaacutegono

Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro

138


El rectaacutengulo aacuteureo de Euclides

Una propiedad importante de los rectaacutengulos aacuteureos es que cuando se

colocan dos iguales como indica la figura la diagonal AB pasa por el veacutertice

C

139


Euclides obtiene el rectaacutengulo aacuteureo AEFD a partir del cuadrado ABCD El

rectaacutengulo BEFC es asimismo aacuteureo

El rectaacutengulo AEFD es aacuteureo porque sus lados AE y AD estaacuten en la proporcioacuten del nuacutemero aacuteureo Euclides en su proposicioacuten 211 de Los

elementos obtiene su construccioacutengt

Con centro en G se obtiene el punto E y por lo tanto

con lo que resulta evidente que

140


de donde finalmente

Por otra parte los rectaacutengulos AEFD y BEFC son semejantes de modo que este uacuteltimo es asimismo un rectaacutengulo aacuteureo

Generacioacuten de un rectaacutengulo aacuteureo a partir de otro

En el pentagrama

Pentagrama que ilustra algunas de las razones aacuteureas los segmentos rojo y

azul azul y verde verde y morado

El nuacutemero aacuteureo tiene un papel muy importante en los pentaacutegonos regulares y en los pentagramas Cada interseccioacuten de partes de un segmento interseca a otro segmento en una razoacuten aacuteurea

141


El pentagrama incluye diez triaacutengulos isoacutesceles cinco acutaacutengulos y cinco obtusaacutengulos En ambos la razoacuten de lado mayor y el menor es φ Estos triaacutengulos se conocen como los triaacutengulos aacuteureos

Y una aplicacioacuten matemaacutetica la tenemos en la descomposicioacuten de un

rectaacutengulo cualquiera en tres triaacutengulos (en rojo) de igual aacuterea La solucioacuten se obtiene al hallar la parte aacuteurea de sus lados

Teniendo en cuenta la gran simetriacutea de este siacutembolo se observa que dentro del pentaacutegono interior es posible dibujar una nueva

estrella con una recursividad hasta el infinito Del mismo modo es posible dibujar un pentaacutegono por el exterior que seriacutea a su vez el pentaacutegono interior de una estrella maacutes grande Al medir la longitud total de una de las cinco liacuteneas del pentaacuteculo interior resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor o sea Φ Por lo tanto el nuacutemero de veces en que aparece el nuacutemero aacuteureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas

El teorema de Ptolomeo y el pentaacutegono

Se puede calcular el nuacutemero aacuteureo usando el teorema de Ptolomeo en un

pentaacutegono regular Claudio Ptolomeo desarrolloacute un teorema conocido como el

142


teorema de Ptolomeo el cual permite trazar un pentaacutegono regular mediante regla y

compaacutes Aplicando este teorema se forma un cuadrilaacutetero al quitar uno de los

veacutertices del pentaacutegono Si las diagonales y la base mayor miden b y los lados y la

base menor miden a resulta que b2 = a2 + ab lo que implica

Relacioacuten del nuacutemero de oro con los soacutelidos platoacutenicos

El nuacutemero aacuteureo estaacute relacionado con los soacutelidos platoacutenicos en particular con el icosaedro y el dodecaedro cuyas dimensiones estaacuten dadas en teacuterminos del nuacutemero aacuteureo

Los 12 veacutertices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos

(0 plusmn1 plusmnφ) (plusmn1 plusmnφ 0) (plusmnφ 0 plusmn1)

Los 20 veacutertices de un dodecaedro con aristas de longitud 2φ=radic5minus1 tambieacuten se pueden dar en teacuterminos similares

(plusmn1 plusmn1 plusmn1) (0 plusmn1φ plusmnφ) (plusmn1φ plusmnφ 0) (plusmnφ 0 plusmn1φ)

Las 12 esquinas de los rectaacutengulos coinciden con los centros de las caras de

un dodecaedro

Para un dodecaedro con aristas de longitud a su volumen y su aacuterea total se pueden expresar tambieacuten en teacuterminos del nuacutemero aacuteureo

143


Si tres rectaacutengulos aacuteureos se solapan paralelamente en sus centros las 12 esquinas de los rectaacutengulos aacuteureos coinciden exactamente con los veacutertices de un icosaedro y con los centros de las caras de un dodecaedro

El punto que los rectaacutengulos tienen en comuacuten es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro

El nuacutemero estaacute muy ligado al pentaacutegono regular tanto el convexo como el

estrellado El pentaacutegono regular era el distintivo de los pitagoacutericos Los

pitagoacutericos se sentiacutean fascinados por las propiedades de los nuacutemeros e

hicieron importantes descubrimientos en muacutesica al comprobar coacutemo al hacer

vibrar una cuerda y su longitud fuera proporcional a ciertos nuacutemeros enteros

entonces se produciacutean unos sonidos melodiosos es decir existiacutean ciertas

longitudes expresadas en forma de nuacutemeros asociados a la armoniacutea de los

sonidos y por tanto al deleite del espiacuteritu Esa escuela filosoacutefica maacutes bien

una secta religiosa fascinados por las propiedades del nuacutemero de oro y su

representacioacuten graacutefica en el pentaacutegono regular hicieron suyo ese siacutembolo

que siempre ha poseiacutedo unas connotaciones esoteacutericas Para las

invocaciones a los espiacuteritus al diablo se valen de una escenografiacutea donde

siempre aparece el pentaacutegono regular como elemento intermedio como

puerta de acceso entre la realidad y la irracionalidad

para la construccioacuten del pentaacutegono regular partimos de un cuadrado de lado l

construimos el segmento aacuteureo OD tal que

OC

OD por el meacutetodo expuesto anteriormente

con centro en B prolongo el arco BD hasta C

con centro en C trazo el arco OC

el segmento CC es el lado del pentaacutegono regular y el segmento OC es la diagonal del pentaacutegono ambos estaacuten relacionados

diagonal = lado middot

144


Los aacutengulos interiores de un pentaacutegono miden

ordm1085

)25(middotordm180

n

)2n(middotordm180

El triaacutengulo OCC es isoacutesceles los aacutengulos de los extremos miden

5ordm36

2

ordm108ordm180

De aquiacute deducimos por inspeccioacuten del triaacutengulo OCC que

)5

(cosmiddot2

El triaacutengulo isoacutesceles de aacutengulos 36ordm 72ordm 72ordm es la base del pentaacutegono

regular estrellado Obseacutervese que las diagonales y el lado estaacuten en la

proporcioacuten del nuacutemero de oro

Triaacutengulos aacuteureos

145


El triaacutengulo isoacutesceles de aacutengulos 36ordm-72ordm-72ordm nos serviraacute tambieacuten para

obtener el lado del decaacutegono regular Obseacutervese que el decaacutegono podemos descomponerlo en 10 triaacutengulos isoacutesceles de esas caracteriacutesticas y faacutecilmente se ve que el lado del decaacutegono es justamente la parte aacuteurea del radio Por tanto a partir del radio OB (ver figura superior) levantamos el segmento OM de longitud igual a R2 Unimos M con B Trazamos el arco OC con centro en M El segmento AB es la parte aacuteurea del radio y consecuentemente el lado del decaacutegono regular

146


Llevando ese valor sobre la circunferencia marcamos los 10 puntos Al unirlos de dos en dos dibujamos el pentaacutegono regular al unirlos de tres en tres el decaacutegono regular estrellado y al unirlos de cuatro en cuatro el pentaacutegono regular estrellado Obseacutervese en los poliacutegonos estrellados como se forma interiormente el poliacutegono convexo correspondiente

Una cinta de papel anudada nos proporciona un pentaacutegono regular

147


Un mosaico tambieacuten muy hermoso disentildeado por el profesor Roger Penrose donde se usan triaacutengulos que involucran las medidas del nuacutemero de oro como se muestra a continuacioacuten del mosaico o tesalacioacuten

Sus elementos tienen como base las figuras Otro ejemplo del disentildeo artiacutestico basado en las esteacuteticas sensaciones

de la razoacuten aacuteurea

148


33 Φ EN LA ARQUITECTURA

El nuacutemero aacuteureo ha sido utilizado desde la eacutepoca de los egipcios para la construccioacuten de edificios si bien son los griegos los que lo explotaron al maacuteximo usando en todas las facetas del arte A continuacioacuten se detallan algunos ejemplos de este uso

Piraacutemide de Keops

El primer uso conocido del nuacutemero aacuteureo en la construccioacuten aparece en la piraacutemide de Keops que data del 2600 aC

149


Esta piraacutemide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triaacutengulos aacuteureos la maacutes aparente aunque no la uacutenica relacioacuten armoacutenica identificable en el anaacutelisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple

Se nota en el bosquejo las complejas relaciones de sus medidas para aplicar la proporcion aurea o nuacutemero de oro

150


El Partenoacuten

Un ejemplo de rectaacutengulo aacuteureo en el arte es el alzado del Partenoacuten griego

En la figura se puede comprobar que ABCD= Hay maacutes cocientes entre sus medidas que dan el nuacutemero aacuteureo por ejemplo ACAD= y CDCA=

Templo de Ceres

151


El Templo de Ceres en Paestum (460 aC) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triaacutengulos aacuteureos al igual que los mayores templos griegos relacionados sobre todo con el orden doacuterico

Tumba Rupestre de Mira

La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construccioacuten en un pentaacutegono aacuteureo en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentaacutegono es el nuacutemero aacuteureo

152


la catedral de Notre dame en Paris estaacute construida con las lelaciones del nuacutemero de oro obseacutervese los rectaacutengulos aacuteureos demarcados a la izqierda

153


154


Los ejes de los cuatro pilares forman un cuadrado de 100 m2 que es el lado pequentildeo de un rectaacutengulo aureo Es decir que colocando los dos rectaacutengulos se consigue la altura de la torre Tambieacuten se encuentran en las diferentes partes de la torre lo cual sucede cuando se multiplica 100 X 2 X Fi = 32361 m que es la altura de la torre

Tambieacuten se encuentra en las diferentes partes de la torre como se puede comprobar en el dibujo que estaacute hecho a escala donde el espacio azul a 1 y Fi seriacutea el espacio azul maacutes el dorado

La estatua de la Libertad y el nuacutemero aacuteureo La estatua de la libertad es uno de los monumentos maacutes famosos en el mundo y fue un regalo otorgado por los franceses a Norteameacuterica en conmemoracioacuten a la alianza hecha por las dos naciones durante la

155


Revolucioacuten Norteamericana La majestuosa estatua fue construida hace maacutes de un siglo y fue el producto de la combinacioacuten del talento artiacutestico del ingeniero Gustave Eiffel y el escultor franceacutes Freacutedeacuteric Auguste Bartholdi Este uacuteltimo se inspiroacute en el trabajo el escultor Cales de Lindos y en su famosa obra El Coloso de Rodas una gigantesca estatua del dios griego Helios erigida en la isla de Rodas Grecia en el siglo III a C

Dado a que el nuacutemero aacuteureo o nuacutemero phi era conocido en la antigua Grecia el arte de esa eacutepoca fue influenciado enormemente por este descubrimiento y es muy probable que Bartholdi al inspirarse en el Coloso de Rodas haya plasmado en su escultura la proporcioacuten divina Esto se comprueba por ejemplo en las dimensiones de largo y ancho de la tabla que sostiene la estatua en su mano izquierda La longitud real es de 719 metros y su ancho es de 414 metros si se determina la razoacuten de ambas medidas se obtiene un valor de 17 metros un valor cercano al nuacutemero de oro La misma situacioacuten ocurre si se relacionan la altura de la cabeza (526 metros) y su ancho (305 metros) La razoacuten aproximada es tambieacuten de 17 metros haciendo evidente nuevamente la proporcioacuten divina

156


en su estructura Por otra parte dado a que esta obra artiacutestica es figurativa existen coincidencias con lo que apunta Leonardo da Vinci respecto a las proporciones que exhibe el cuerpo humano y que son cercanas a la razoacuten aacuteurea Por ejemplo se dice que existe una relacioacuten entre la longitud del brazo y la distancia del codo a los dedos Realizando mediciones aproximadas en una fotografiacutea de la estatua de la libertad dado a que no existen datos disponibles la presencia del nuacutemero aacuteureo se comprueba una vez maacutes pues la razoacuten de ambas medidas da un valor muy cercano al nuacutemero de oro (aproximadamente16) Finalmente otro ejemplo claro se puede observar en la base de la estatua pues en esta se encuentra repetidamente el rectaacutengulo de oro

34 Φ EN LA ESCULTURA

Para el escultor griego Fidias el conocimiento del nuacutemero de oro era vital

para plasmar las proporciones perfectas en sus obras la maacutes conocida

Apolo de Belvedere donde su nota su perfecto conocimiento de las

proporciones brindadas por esta relacioacuten matemaacutetica

157


634 Le Corbusier y el modulor

Tambieacuten fue importante la figura de Le Corbusier el cual se interesoacute de modo especial en las proporciones del cuerpo humano Queriacutea presentar una medida humana como alternativa al metro -la milloneacutesima parte del cuadrante terrestre- introducido por Napoleoacuten El resultado fue ldquoel modulorrdquo un sistema de disentildeo basado en la medida de 113 cm (la altura del ombligo medida desde el suelo) y en una proporcioacuten la seccioacuten aacuteurea

De esta manera una ventana estaraacute a 113 cm de altura dividieacutendola con la seccioacuten aacuteurea se obtienen 70 y 43 cm las altura de una mesa y de una silla Multiplicaacutendose por dos se obtienen 226 cm la altura de la habitacioacuten como un hombre con el brazo levantado Y asiacute sucesivamente

El modulor consiste en dos escalas diferente que se pintaban de rojo de azul Las dimensiones de la escala azul son el doble de la escala roja y las divisiones de cada escala se basan en la proporcioacuten aacuteurea Por tanto el modulor no es solamente un instrumento de proporcioacuten arquitectoacutenica sino tambieacuten un medio de asegurar la repeticioacuten de formas similares como las diferentes formas que pueden hallarse en un rectaacutengulo gracias a unas liacuteneas transversales horizontales y verticales

El Nuacutemero de Oro se ha encontrado presente desde las impresionantes construcciones de nuestros antepasados hasta las grandes obras de Arte de nuestro tiempo la importancia de la proporcioacuten aacuteurea en la Historia del Arte queda maacutes que demostrada y por tanto vigente en el ser humano como parte de su esencia

La Divina Proporcioacuten y el disentildeo web Se dice que si a una liacutenea recta le agregamos un punto en un lugar que no sea el centro la mayoriacutea de las veces lo agregaremos acercaacutendonos a la proporcioacuten de 62 y 38 Esto nos permite ofrecer composiciones maacutes armoniosas que puedan enfocar la atencioacuten en un punto deseado Una de las formas para trabajar con el nuacutemero aacuteureo es dimensionando el soporte Esto no es otra cosa que utilizar un aacuterea de trabajo que tenga proporciones aacuteureas El rectaacutengulo es un aacuterea de trabajo aacuteurea si esto lo aplicamos al disentildeo web obtenemos que para una interfaz 1024 x 768 con un ancho de 1010 pixeles visibles (le restamos 14 pixeles que es lo que usan las barras de deslizamiento laterales) le corresponderiacutea una altura de 624 pixeles Aquiacute surge un problema ya que en el disentildeo web generalmente podemos saber la anchura de un contenido pero no la altura ya que depende de la cantidad de

158


contenido que estaraacute en la paacutegina Pero gracias a esta aacuterea de trabajo podemos crear una retiacutecula proporcionada para ajustar los elementos principales del disentildeo de un sitio web y ajustando los restantes con proporciones aacuteureas

35 Φ EN LA PINTURA

En el cuadro Leda atoacutemica de Salvador Daliacute hecho en colaboracioacuten con el matemaacutetico rumano Matila Ghyka

El nuacutemero aacuteureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Aacutengel Durero y Leonardo Da Vinci entre otros

159


Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci

El Entierro del Conde de Orgaz y un estudio de sus proporciones basado en el nuacutemero de oro

Si disponemos de una hoja de papel de dimensiones x 1 al eliminar el

cuadrado de lado unidad obtenemos otro rectaacutengulo de dimensiones 1 x (-

1) que es semejante al primero Procediendo sucesivamente tendremos toda

una coleccioacuten de rectaacutengulos aacuteureos de tamantildeo cada vez maacutes pequentildeos

pero todos semejantes entre siacute No soacutelo aparece el nuacutemero de oro en las

obras de arte sino tambieacuten en la Naturaleza

Una construccioacuten similar podemos realizar partiendo de un rectaacutengulo aacuteureo

de dimensiones x 1 dividiendo el rectaacutengulo aacuteureo en un cuadrado de lado

= 1 entonces el rectaacutengulo sobrante tiene dimensiones 1 x (-1) En ese

nuevo rectaacutengulo separamos el cuadrado de lado (-1) quedando un

rectaacutengulo sobrante de dimensiones (-1) x (2-) Siguiendo el proceso

160


vamos obteniendo rectaacutengulos de dimensiones (2-) x (5-3) (5-3) x (5-8)

tal como observamos en la figura

Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros que seria

el lado pequentildeo de un rectaacutengulo aacuteureo Pues poniendo dos rectaacutengulos

conseguimos la altura de esta torre

100 x Φ x 2 asymp 32361 metros

Tambieacuten se encuentra en las diferentes partes de la torre vea el dibujo

donde el espacio azul seriacutea igual a uno y Phi seria el espacio azul maacutes el

dorado La Gioconda es el cuadro insignia de Leonardo y lo construyo

estrictamente con las configuraciones del numero de oro como se aprecia

Construccioacuten fase por fase del mapa aacuteureo del rostro de Mona Lisa

En el primer cuadro podemos ver como el rostro de la Gioconda se encuadra

perfectamente en un rectaacutengulo aacuteureo

161


Dentro de ese rectaacutengulo aacuteureo dibujamos un cuadrado en el segundo

cuadro quedando arriba otro rectaacutengulo aacuteureo En el tercer y cuarto cuadro

realizamos la misma operacioacuten que para el segundo Para el quinto cuadro

trasladamos simeacutetricamente seguacuten la liacutenea que pasa justo encima de los ojos

el cuadrado grande de arriba y el uacuteltimo rectaacutengulo aacuteureo obtenido

Se puede ver que la liacutenea que sale exactamente del nacimiento del pelo

(justo en la raya del pelo) pasa por la mitad de la nariz y termina en la mitad

de donde empieza la boca de Mona Lisa

Sucesivamente se realiza la misma operacioacuten para los cuadros finales

observando por uacuteltimo que el uacuteltimo rectaacutengulo parte de la nariz y va hasta el

ojo derecho

Tambieacuten en la composicioacuten en el mundo de la pintura ldquoLa Anunciacioacutenldquo de Da Vinci

El hablar de Leonardo Da Vinci y en especial su obra llamada la ultima Cena va de la mano de muchos otros temas como la divina proporcioacuten numero Phi secuencia Fibonacci los cuales en resumidas cuentas tratan de lo mismo nicamente variado en el enfoque que se quiera dar sea en matemaacuteticas fiacutesica en la ciencia y especialmente en el arte Estas relaciones las utilizoacute para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La uacuteltima cena desde las dimensiones de la mesa hasta la disposicioacuten de Cristo y los disciacutepulos sentados asiacute como las proporciones de

162


las paredes y ventanas al fondo Claro estaacute que Da Vinci enfocoacute y plasmoacute esta relacioacuten perfectamente para ensentildear expliacutecitamente el objetivo de su obra

A pesar del tiempo y de todos los dantildeos causados por el mismo asiacute como por la ignorancia de muchos hacia esta gran obra se sigue dando una gran investigacioacuten alrededor de los misterios que encierra y de su magnificencia e imponencia en cuanto los cuidadosos trazos que involucran la maacutes alta armoniacutea esteacutetica que tiene

163


La divina proporcioacuten en esta obra nos muestra la importancia y las grandes aplicaciones que se le pueden brindar en la sociedad actual observemos y exploremos las proporciones naturales los patrones repetitivos y las pautas matemaacuteticas de la naturaleza (incluida la vida humana) las formas y los patrones de la armoniacutea los modelos energeacuteticos los cuales hoy donde uno se puede atrever a afirmar que contienen la informacioacuten maacutes pura de todo el proceso del Universo

La espiral de Durero y la serie de Fibonacci

En 1525 tres antildeos antes de morir el genial pintor renacentista y gran

enamorado de las Matemaacuteticas Alberto Durero (1471-1528) publica la obra

titulada Instruccioacuten sobre la medida con regla y compaacutes de figuras planas y

soacutelidas Es un precioso libro en el que pretende ensentildear a los artistas

pintores y matemaacuteticos de la eacutepoca diversos meacutetodos para trazar diversas

figuras geomeacutetricas En esta obra Durero muestra coacutemo trazar con regla y

compaacutes algunos espirales y entre ellos uno que pasaraacute a la historia con su

nombre El Espiral de Durero basado en la seccioacuten aacuteurea sin embargo

164


habriacutea que recordar tambieacuten que estuvo precedida tres siglos antes por los

nuacutemeros de la sucesioacuten 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 de

Fibonacci

165


Por ejemplo Diego de Silva Velaacutezquez (1599-1660) pintor espantildeol maacuteximo

representante de la pintura barroca en su paiacutes Creoacute las obras maestras Las

Meninas (1656) Representa a la infanta Margarita rodeada de dos

meninas o damas de honor de pie junto al pintor quien mira hacia el

espectador desde la parte izquierda del cuadro Velaacutezquez aparece pintando

al rey Felipe IV y a la reina dontildea Mariana cuya presencia soacutelo queda

sugerida por el reflejo de sus efigies en el espejo situado al fondo de la

habitacioacuten

En este caso de composicioacuten el espiral nace en el centro del pecho de la

Infanta Margarita de Austria es decir en su propio esternoacuten Las

propiedades consolidadas del espiral y su crecimiento proporcional sobre la

superficie de Las Meninas es consecuencia de la disponibilidad natural de la

Geometriacutea y algo maacutes que nos remite a un amplio significado

Simboacutelicamente este punto medio y anatoacutemico del cuerpo de la Infanta

Margarita de Austria marca el centro reservado de los elegidos en todos los

casos una imagen o identidad exclusiva de la verdadera semilla de los reyes

del mundo tal y como en la tradicioacuten europea el Emperador se situaba

siempre en el lugar central en las ceremonias

166


La composicioacuten de un cuadro tiene muy en cuenta la ordenacioacuten de los

elementos en un todo unitario El concepto de simetriacutea es uno de los

aspectos a valorar En un primer lugar el pintor ordena los elementos en

funcioacuten de un eje y los distribuye de manera ordenada a su derecha e

izquierda Un tipo de composicioacuten es la simetriacutea radial esta se puede utilizar

para crear las composiciones multisimeacutetricas que tienen un centro visual

fuerte del intereacutes y de un alto grado de energiacutea oacuteptica

167


36 Φ EN LA NATURALEZA

En la naturaleza hay muchos elementos relacionados con la seccioacuten aacuteurea yo los nuacutemeros de Fibonacci

361 Abejas

La relacioacuten que existe entre la cantidad de abejas macho y hembra en un panal Los machos de una colmena de abejas tienen un aacuterbol genealoacutegico que cumple con esta sucesioacuten El hecho es que los zaacutenganos el macho de la

168


abeja no tiene padre (1) pero siacute que tiene una madre (1 1) dos abuelos que son los padres de la reina (1 1 2) tres bisabuelos ya que el padre de la reina no tiene padre (1 1 2 3) cinco tatarabuelos (1 1 2 3 5) ocho tataratatarabuelos (1 1 2 3 5 8) y asiacute sucesivamente cumpliendo con la sucesioacuten de Fibonacci

La medida del abdomen de la abeja dividida por Φ es igual a la medida de

su toacuterax y a su vez la medida del toacuterax dividida por Φ es igual a la medida de

su cabeza

Tambieacuten el nuacutemero de descendientes en cada generacioacuten de

por Φ es igual a la medida de su cabeza

Tambieacuten el nuacutemero de descendientes en cada generacioacuten de una abeja

macho o zaacutengano nos conduce a la sucesioacuten al nuacutemero aacuteureo

La relacioacuten entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal

el nuacutemero de rutas que recorre una abeja cuando se desplaza por las celdillas de un pa-nal son teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci siendo n el nuacutemero de celdillas El nuacutemero de antepasados de los zaacutenganos son teacuterminos de Fibonacci (noacutetese que los zaacutenganos son pro-

169


ducidos a partir de los huevos infertilizados de la abeja reina es decir tienen una madre pero no tienen padre)

362 Φ En Mamiacuteferos

Phi en las temperaturas corporales de los animales

Si suponemos que la distancia desde 0deg (temperatura de hielo del agua)

hasta 100deg (temperatura de ebullicioacuten del agua) es igual a Φ (asymp1618)

Una unidad partiendo desde 0deg seria aproximadamente 62deg que es la

temperatura liacutemite de la vida la temperatura miacutenima necesaria para matar las

bacterias La pasteurizacioacuten se puede realizar a 62deg en media hora

Una unidad partiendo desde 100deg en direccioacuten a 0deg seria 38deg que es la

temperatura aproximada de los mamiacuteferos La temperatura normal del

hombre estaacute alrededor de 37deg pero en cambio para los gatos o los perros

esta alrededor de 39deg La media de los mamiacuteferos estaacute muy cercana a los

38deg

100Φ asymp 618 asymp temperatura liacutemite de la vida

100 - [100Φ] asymp 382 asymp temperatura de los mamiacuteferos

La forma de espiral de Durero o de Fibonacci que presentan la forma de los

cuernos de alces asiacute como el problema de los conejos que describe

perfectamente la serie suponiendo que los conejos procrean una pareja en

un mes aunque es de anotar que la prentildeez dura 32 diacuteas y una pareja de

conejos puede tener una camada de 4 a 6 conejos por parto

170


171


172


Supongamos una pareja de conejos los cuales pueden tener descendencia

una vez al mes a partir del segundo mes de vida suponemos asimismo que

los conejos no mueren y que cada hembra produce una nueva pareja

(conejo coneja) cada mes La pregunta es iquestcuaacutentas parejas de conejos

existen en la granja al cabo de n meses Esta respuesta la encontramos en

la serie

173


363 Φ En Caracoles y similares

174


175


364 Φ en plantas

176


177


Todas estas hojas presentan la relacioacuten del nuacutemero fi en sus medidas

Ademaacutes las plantas posicionan sus hojas de acuerdo a los patrones de Fibonacci El crecimiento de las plantas se da en la punta del tallo

178


(meristemo apical del tallo) que tiene una forma coacutenica Cuando se ve la planta desde arriba se observa que las hojas que crecieron primero (las que estaacuten maacutes abajo) tienden a estar radialmente maacutes alejadas del tallo Tambieacuten estaacuten giradas con respecto al eje del tallo para no solaparse unas a otras En 1837 los hermanos Bravais (Auguste y Louis) descubrieron que las nuevas hojas avanzan en forma rotatoria aproximadamente el mismo angulo y que este aacutengulo estaacute cerca de 1375Acircordm Este nuacutemero estaacute directamente relacionado con Phi Si se calcula 360ordmPhi se obtiene 2225ordm Y el complemento 360ordm-2225ordm es precisamente 1375ordm tambieacuten llamado el Angulo Aacuteureo

Esto ocurre porque cuando una planta crece la estrategia que utiliza para garantizar su supervivencia consiste en maximizar la distancia entre las ramas y las hojas buscando Aacutengulos que no se solapen y en los que cada una de ellas reciba la mayor cantidad posible de luz agua y nutrientes El resultado es una disposicioacuten en trayectoria ascendente y en forma de heacutelice en la que se repiten los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci

Fractales

Los fractales estudiados a profundidad por Benoit Mandenbrot se pueden

ver claramente en las ilustraciones que sus formas son manifestaciones

artiacutesticas naturales del nuacutemero de oro y la serie de Fibonacci

179


El matemaacutetico franceacutes Benoit Mandenbrot acuntildeoacute la palabra fractal en la deacutecada de los 70 derivaacutendola del adjetivo latiacuten fractus El correspondiente verbo latino frangere significa romper crear fragmentos irregulares

Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el franceacutes Henri Poincareacute Sus ideas fueron extendidas maacutes tarde fundamentalmente por dos matemaacuteticos tambieacuten franceses Gastoacuten Julia y Pierre Fatou hacia 1918 Se trabajoacute mucho en este campo durante varios antildeos pero el estudio quedoacute congelado en los antildeos 20

El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital El Dr Mandenbrot de la Universidad de Yale con sus experimentos de computadora es considerado como el padre de la geometriacutea fractal En honor a eacutel uno de los conjuntos que eacutel investigoacute fue nombrado en su nombre

El Fractal es matemaacuteticamente una figura geomeacutetrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificacioacuten A menudo los fractales son semejantes a siacute mismos esto es poseen la propiedad de que cada pequentildea porcioacuten del fractal puede ser vizualizada como una reacuteplica a escala reducida del todo Manejan las dimensiones aacuteureas en su autorrepetimiento como en el el triaacutengulo de Sierspinski la curva de Koch el conjunto Mandenbrot los conjuntos Julia y muchas otras

Otra aplicacioacuten de los fractales aparentemente irrelevante es la muacutesica fractal Ciertas muacutesicas incluyendo las de Bach y las de Mozart pueden ser reducidas y todaviacutea retener la esencia del compositor Estaacuten siendo desarrolladas muchas nuevas aplicaciones software para el desarrollo de muacutesica fractal

180


Como una verificacioacuten de lo expuesto en los libros Presencia del Nuacutemero de

Oro y Gudea Criacuteptico aquiacute se muestra la aplicacioacuten de Phimatrix en

imaacutegenes que forman parte de ellos como tambieacuten en otras figuras de la

Naturaleza y de la obra humana

Homenaje a Becircnoit Mandelbrot (1924-2010) matemaacutetico que desarrolloacute y

difundioacute la geometriacutea fractal

181


En las liacuteneas Nazca vistas

desde el aire

182


La figura muestra un fractal en una broacutecoli

183


La moleacutecula de ADN que contiene el libro de la vida tambieacuten se ajusta a la

proporcioacuten aacuteurea Cada ciclo de su doble heacutelice mide 34 angstroms de largo

por 21 angstroms de ancho dos nuacutemeros de la secuencia de Fibonacci cuyo

razoacuten es por supuesto Phi (Φ)

184


Φ en las espirales de una pintildea de pino

Lo mismo ocurre con las pintildeas de los pinos tenemos dos nuacutemeros

consecutivos de la sucesioacuten de Fibonacci 8 y 13

Un matemaacutetico de la Universidad de Arizona en Tucson Alan Newell y el estudiante Patrick Shipman han estudiado recientemente los cactus para determinar por queacute este patroacuten numeacuterico es tan universal Estos investigadores analizaron la forma de la planta el grosor de su piel y multitud de otras energiacuteas biomecaacutenicas que dirigen su crecimiento Cuando introdujeron los datos en el ordenador descubrieron

185


por sorpresa que las configuraciones maacutes estables seguiacutean las formas basadas en la serie de Fibonacci Logramos descubrir que de esta manera la energiacutea se economiza al maacuteximo afirma Shipman Ellos esperan que secuencias similares puedan darse tambieacuten en la biologiacutea humana Aplicando modelos matemaacuteticos de estructuras de formacioacuten a problemas meacutedicos se podriacutean abrir campos nuevos en la investigacioacuten de procesos tales como la formacioacuten de tumores y el crecimiento de los huesos

365 Φ en las flores

Podemos notar que en algunas flores nos encontramos con ciertos teacuterminos

de la serie de Fibonacci esto es el lirio tiene tres peacutetalos algunos

ranuacutenculos 5 o 8 las margaritas y girasoles pueden llegar a tener 13 21 34

55 y hasta 89 peacutetalos

186


en los girasoles las semillas se distribuyen en forma de espirales logariacutetmicas unas en sentido horario y otras en sentido anti horario si contamos el nuacutemero de espirales que hay en un sentido y las que hay en el otro aparecen teacuterminos de Fibonacci consecutivos Igual sucede en las pintildeas de los pinos

187


366 Φ en frutos

En la mayoriacutea de los frutos de las coniacuteferas como el abeto los cipreses y

los pinos paacutetulas la disposicioacuten de algunas semillas de flores gigantes como

el girasol las puacuteas de una pi

188


367 Φ en Huevos de las aves

La mayoriacutea de los huevos de las aves tienen una relacioacuten entre la longitud

mayor y la menor estimada entre la raiacutez cuadrada del nuacutemero de oro y dicho

nuacutemero

368 Φ En el cuerpo humano

La anatomiacutea de los humanos se basa en una relacioacuten Φ estadiacutestica y aproximada

La relacioacuten entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo

La relacioacuten entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos La relacioacuten entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla

La relacioacuten entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange o entre la primera y la segunda o entre la segunda y la tercera si dividimos todo es Φ

189


La relacioacuten entre el diaacutemetro de la boca y el de la nariz Es Φ la relacioacuten entre el diaacutemetro externo de los ojos y la liacutenea inter-pupilar

Cuando la traacutequea se divide en sus bronquios si se mide el diaacutemetro de los bronquios por el de la traacutequea se obtiene Φ o el de la aorta con sus dos ramas terminales (iliacuteacas primitivas

Un detalle curioso conocido por los claacutesicos es que la distancia del ombligo al suelo es justamente la razoacuten aacuteurea de su altura

En resumen el nuacutemero de oro parte de una definicioacuten Al dividir un segmento en dos partes la razoacuten entre el todo y la mayor es igual a la razoacuten entre la mayor y la menor Esta definicioacuten le confiere una serie de propiedades interesantes una sucesioacuten de potencias del nuacutemero de oro participa del crecimiento aritmeacutetico y geomeacutetrico simultaacuteneamente y tambieacuten estaacute vinculado con la sucesioacuten de Fibonacci Debido a las curiosas y

sorprendentes propiedades de existe mucha literatura acientiacutefica que lo usa indebidamente Por

En la mano humana la

distancia entre las

falanges estaacute en la

razoacuten aacuteurea de la

longitud del dedo

190


ejemplo los puntos donde se localizan los meridianos en las sesiones de acupuntura se situacutean en zonas prefijadas por la relacioacuten aacuteurea

Para finalizar vamos a mostrar algunas relaciones de la razoacuten aacuteurea con la

figura humana si hemos aplicado este concepto a la arquitectura y a la

Naturaleza es normal que tambieacuten los claacutesicos se hayan interesado por los

caacutenones de belleza aplicados a las proporciones humanas

Este seriacutea a juicio de un artista el rostro maacutes perfecto de mujer El cuerpo humano puede inscribirse en un pentaacutegono regular Una figura humana con esas proporciones estariacutea dentro del canon de la belleza ideal

191


Leonardo Da Vinci ilustroacute la proporcioacuten divina que habiacutea establecido el

matemaacutetico Luca Pacioli en 1509 Pacioli describe un hombre perfecto de

manera que sus proporciones sean como las de este dibujo

El proceso de madurez del cuerpo humano va buscando las proporciones

aacuteureas

No obstante las ldquodes-proporcionesrdquo de la infancia tienen tambieacuten una funcioacuten

inhibidora de la agresividad y favorecen instintivamente la ternura

Se presenta las relaciones aacuteureas y la serie de fibonacci en las orejas

Donde el punto de inicio es la parte superior donde se empieza a enroscar

como una involuta de violiacuten cumpliendo asiacute con la espiral de aurero

192


En las partes de los dientes la parte visible se ajusta a los caacutenones de la

belleza pues los laboratorios dentales donde fabrican ldquoreinas de bellezardquo

esto es lo que hacen para el disentildeo de sonrisa

En las manos todos y cada de los falanges asiacute como los brazos cumplen

con la proporcioacuten que otrora se pensaba que si esta relacioacuten era maacutes

ajustada mejor era la raza a la que perteneciacutea el individuo

Resulta que la relacioacuten entre la altura del hombre y la distancia desde el

ombligo a la mano es el nuacutemero aacuteureo Asi como la relacioacuten entre las

193


falanges de los dedos es el nuacutemero aacuteureo la relacioacuten entre la longitud de la

cabeza y su anchura es tambieacuten este nuacutemero

194


Relaciones de potencias de fi en el cuerpo de una persona con cualquier estatura

195


635 Human Age

636 Development Stage

637 Key Attributes

0 Gestation

Conception

1 Newborn

Birth

1 Infant

Walking vocalizing

2 Toddler

Talking expressing imitating

3 Toddler

Self image and control toilet

training

5 Early child

Formal education begins

8 Mid child

Age of reason knowing of right and

wrong

13 Adolescent Thinking puberty sexual

maturation and drive

21 Young adult

Full physical growth adult in

society education complete

beginning career financial

responsibility eligible for voting

34 Mid adult Refinement of adult skills

parenting role

55 Elder adult Fulfillment of adult skills serving

retirement begins with eligibility

196


for Medicare Social Security and

AARP

89 Completion

Insight and wisdom into life

The Fibonacci series found in the human age numbers below relate to

369 Φ EN LA QUIMICA Y FISICA

197


198


La ldquoproporcioacuten aacuteureardquo (tambieacuten conocida como nuacutemero dorado razoacuten aacuteurea

razoacuten dorada media aacuteurea nuacutemero aacuteureo y divina proporcioacuten) equivale

aproximadamente a 1618 y puede ser encontrado en varios aspectos de

nuestras vidas incluyendo la biologiacutea la arquitectura y las artes

Recientemente fue descubierto que esta proporcioacuten especial tambieacuten se

refleja en la escala manomeacutetrica gracias a los investigadores de la

Universidad de Oxford la Universidad de Bristol y el Laboratorio Rutherford-

Appleton en el Reino Unido e investigadores de Helmholtz-Zentrum Berliacuten

(HBZ) para Materiales y Energiacutea en Alemania

La investigacioacuten publicada en la revista Science el ocho de enero examinoacute

cadenas de aacutetomos de cobalto niobato magneacutetico (CoNb2O6) de soacutelo un

aacutetomo de grosor con el objeto de investigar el principio de incertidumbre de

Heisenberg Ellos aplicaron un campo magneacutetico a aacutengulos rectos sobre el

sin alineado de la cadena magneacutetica para introducir maacutes incertidumbre

cuaacutentica Registrando los cambios en la direccioacuten del campo descubrieron

que estos pequentildeos imanes resonaban magneacuteticamente

199


Los aacutetomos de niobato fueron bombardeados con neutrones para detectar

notas resonantes ldquoEncontramos una serie (escala) de notas resonantes las

dos primeras notas muestran una perfecta relacioacuten entre siacute Sus frecuencias

(tono) estaacuten en la proporcioacuten 1618hellip la proporcioacuten aacuteurea conocida por el

arte y la arquitecturardquo afirmoacute el investigador principal de la Universidad de

Oxford Dr Radu Coldea en un comunicado de prensa ldquoRefleja una

hermosa propiedad del sistema cuaacutentico--una simetriacutea ocultardquo

El Dr Alan Tennant quien dirigioacute al grupo de investigacioacuten en Berliacuten afirma

ldquotales descubrimientos estaacuten conduciendo a los fiacutesicos a especular que el

mundo cuaacutentico atoacutemico podriacutea tener su propio orden subyacente

Sorpresas similares pueden estar esperando a los investigadores en otros

materiales en estados cuaacutenticos criacuteticosrdquo

200


El fullereno estaacute formado por 60 aacutetomos de carbono cada aacutetomo forma parte de dos hexaacutegonos y un pentaacutegono lo que da lugar a una estructura cerrada con la simetriacutea de un icosaedro truncado (poliedro formado por 12 pentaacutegonos y 20 hexaacutegonos)

Esta moleacutecula de 20 aacutetomos de Carbono es la maacutes pequentildea de toda una

serie de moleacuteculas esfeacutericas Se puede aislar a partir del holliacuten que se

produce al hacer saltar un arco eleacutectrico entre dos electrodos de grafito (algo

asiacute como un experimento de relaacutempagos a escala

La razoacuten aacuteurea y la serie Fibonacci se puede constatar en los fulerenos Los fullerenos se obtuvieron por primera vez de forma casual al irradiar una superficie de grafito con un laacuteser Cuando el vapor resultante se mezcloacute mediante una corriente de helio se formoacute un residuo cristalizado cuyo estudio reveloacute la existencia de moleacuteculas formadas por sesenta aacutetomos de carbono Como se dedujo en un principio estas moleacuteculas teniacutean una geometriacutea semejante a la de la cuacutepula geodeacutesica disentildeada por el arquitecto Buckminster Fuller con motivo de la exposicioacuten universal de 1967 Por ello se conoce a esta familia de moleacuteculas como fullerenos que en su estructura semejante a los soacutelidos pitagoacuterica manifiesta en su estructura las relaciones aureas Tambieacuten la fiacutesica parece adorar las sucesiones de Fibonacci Si se colocan dos laacuteminas planas de vidrio en contacto y se hace que unos rayos luminosos las atraviesen algunos (dependiendo del aacutengulo de incidencia) las atravesaraacuten sin

201


reflejarse pero otros sufriraacuten una reflexioacuten El rayo que no sufre reflexioacuten tiene soacutelo

una trayectoria posible de salida el que sufre una reflexioacuten tiene dos rutas posibles el que sufre dos reflexiones tres trayectorias el que experimenta tres reflexiones cinco y asiacute sucesivamente Tenemos aquiacute nuevamente una serie de Fibonacci

3691 la divina proporcioacuten en los domos hexapenta

202


El domo exapenta (o hexapenta)

tiene una forma praacutecticamente

semiesfeacuterica generada por la

presencia armonizadora de

pentaacutegonos en conjuntos de

exaacutegonos (o hexaacutegonos) que

pueden estar respectivamente

reticulados por triaacutengulos isoacutesceles

y equilaacuteteros Esa forma que

responde con relevantes

condiciones esteacuteticas constructivas

y estructurales a la doble exigencia

arquitectoacutenica de encerrar y cubrir

espacios tiene su contraparte en

otras existentes en la Naturaleza

representadas por el paradigma

geomeacutetrico del icosaedro truncado

de la moleacutecula gigante del carbono

60 y por la extraordinaria belleza de

los radiolarios

Convencionalmente se denomina

hexapenta al icosaedro truncado y

a otros poliedros formados por un

mayor nuacutemero de hexaacutegonos y

pentaacutegonos regulares que se

muestran en la Naturaleza y en la

obra humana en sendas extensas

variedades por la diferencia entre el

nuacutemero de esas dos figuras

geomeacutetricas en cada cuerpo Sin

embargo existe un patroacuten comuacuten

en la configuracioacuten de todos esos

poliedros determinada por la

consonancia existente entre

hexaacutegonos y pentaacutegonos que tienen

la misma longitud de sus lados por

ser eacutestos comunes entre ambas

figuras la relacioacuten de sus apotemas

estaacute definida por el Nuacutemero de Oro

203


EL NUacuteMERO DE ORO EN LA ARMONIacuteA DE LO CREADO

En un mismo campo fenomeacutenico

dos cosas de la misma especie pero

de diferente magnitud armonizan si

entre ellas se manifiesta el Nuacutemero

de Oro (o su figura emblemaacutetica el

pentaacutegono) moacutedulo de la relacioacuten

de consonancia en ese relativo

desequilibrio caracteriacutestico de lo

que tiene vida la tuvo o tiende a

ella y de lo que ha tenido o tiene

movimiento molecular como en las

estructuras dinaacutemicas en

contraposicioacuten a la predominancia

del hexaacutegono en lo inerte que tiene

el equilibrio cristalino propio del

mundo mineral

Sin embargo en la infinidad de

formas geomeacutetricas existentes en

las obras de la Naturaleza no hay

una polaridad entre aquellas cosas

que muestran la presencia o

traducen las proporciones de

pentaacutegonos y otras que estaacuten

impregnadas por hexaacutegonos o sus

derivaciones hay unas terceras

donde coexisten ambas figuras o

sus proporciones en

manifestaciones de lo vivo y lo

inerte lo dinaacutemico y lo estable lo

orgaacutenico y lo inorgaacutenico lo que

tiene mayor o menor entropiacutea

204


ARMONIacuteA EN LA ARQUITECTURA Y EN TODA CREACIOacuteN HUMANA

Entre renombrados arquitectos con

el mismo pensamiento es ejemplar

la figura de Antoni Gaudiacute cuya obra

tuvo como constante su inspiracioacuten

en el gran libro de la Naturaleza

Al establecer eacutel que la calidad

esencial de la obra de arte es la

armoniacutea explica que la

arquitectura crea el organismo y

por eso eacuteste debe tener una ley en

consonancia con las de la

Naturaleza porque eacutestas no son

otras que las de la armoniacutea que el

hombre reconoce y asume para

repetirlas en lo maacutes excelso de su

creacioacuten

En general como producto de

acciones determinadas por la

intuicioacuten o por la reflexioacuten el factor

de coherencia para valorizar una

obra arquitectoacutenica por la armoniacutea

entre sus partes es el Nuacutemero de

Oro que antildeade a su rol esteacutetico

otro que condiciona medidas y

proporciones por ser connatural al

hombre Por eso mismo eacuteste

tambieacuten utiliza patrones de

composicioacuten y proporcioacuten con los

mismos principios fiacutesicos y

geomeacutetricos de la armoniacutea

preestablecida para valorizar su

obra artiacutestica e utilitaria en diferentes campos

205


EXAPENTAS EN LA NATURALEZA

Aunque es propio de la quiacutemica

inorgaacutenica el carbono a traveacutes de

sus compuestos genera toda la

quiacutemica orgaacutenica Ademaacutes de esa

excepcional peculiaridad por la

cristalizacioacuten de sus moleacuteculas tiene

otras formas alotroacutepicas aparte de

las del grafito (sistema cuacutebico) y del

diamante (sistema hexagonal) En

ellas se destaca la moleacutecula

gigante hueca y esfeacuterica del

carbono 60 que en un icosaedro

truncado reuacutene con maacutexima

economiacutea pentaacutegona y hexaacutegono

regulares

La moleacutecula del C60 abundante en

el universo pero descubierta recieacuten

en 1985 tiene propiedades uacutenicas

(que no se acaba de descubrir) en

la quiacutemica y en la fiacutesica

destacaacutendose en su forma y

estructura la simetriacutea maacutes alta

existente entre todas las moleacuteculas

conocidas y la belleza de lo

perfecto Junto con su

descubrimiento se hizo el de otras

moleacuteculas similares C240 y C540

Eacutestas no por ser cada vez maacutes

grandes son progresivamente maacutes

esfeacutericas ni tampoco aumentan su

simetriacutea sino que conservan la del

C60

206


Entre lo mineral y lo que tiene vida

como en un juego de espejos a los

carbonos recieacuten encontrados se les

contraponen los radiolarios

(protozoarios que hacen una de las

maacutes simples aacutereas de lo orgaacutenico)

Son minuacutesculos animales marinos

unicelulares con esqueleto de

siacutelice en su mayoriacutea de forma

esfeacuterica de excepcional belleza por

las combinaciones de pentaacutegonos y

exaacutegonos en la gran variedad de las

formas de sus perforaciones

complementadas con los

seudoacutepodos radiales que

determinan su nombre

Tambieacuten entre los protozoarios

estaacuten los foraminiacuteferos de los

cuales los maacutes difundidos y

abundantes se encuentran en el

geacutenero de las globigerinas que

reciben este nombre por presentar

su concha formada por varias

caacutemaras globulosas constituidas por

carbonato de calcio las cuales

permiten que el animal flote Entre

los varios cientos de especies de

globigerinas que se conoce

actualmente existen unas que

tienen el conjunto de sus caacutemaras

con la armoniosa configuracioacuten de

un hexapenta regular

En los procesos fiacutesico-quiacutemicos de

particioacuten del espacio con el

resultado conocido como espuma

el conjunto de las paredes de los

compartimientos busca la miacutenima

extensioacuten posible de superficie en

una diversidad de soluciones en las

que se debe cumplir condiciones de

forma y relacioacuten Con ese

condicionamiento y la tendencia

adicional de que el conjunto de

burbujas busca la esfericidad hay

espuma formada por poliedros

irregulares que tienen entre sus

lados cuadrados pentaacutegonos y

hexaacutegonos

207


GEOMETRIacuteA DEL ICOSAEDRO TRUNCADO

El icosaedro truncado deriva del icosaedro uno de los cinco soacutelidos

fundamentales y conocidos como platoacutenicos el cual estaacute formado por 20

caras que tienen forma de triaacutengulos equilaacuteteros Cortando con un plano

perpendicular a su eje por el tercio superior de su altura cada una de las

piraacutemides que componen el icosaedro se forman las 12 caras pentagonales

y las 20 hexagonales del icosaedro truncado cuya simetriacutea es totalmente

equivalente a la del icosaedro original

ARMONIacuteA DE LA RELACIOacuteN ENTRE PENTAacuteGONOS Y EXAacuteGONOS

Como demostracioacuten de la armoniacutea de su configuracioacuten en el icosaedro

truncado y en los exapenta en general la consonancia entre sus

pentaacutegonos y exaacutegonos componentes (considerando que ambas figuras en

cada caso tienen la misma longitud de sus lados o aristas del poliedro) estaacute

dada en la relacioacuten de sus apotemas mediante el Nuacutemero de Oro Con esa

base al igualar el lado con la unidad para el caso del icosaedro truncado se calculoacute la longitud de su circulo maacuteximo

208


EXAPENTAS EN LA OBRA HUMANA

Luca Paccioli (1445-1517) para

su libro De Divina Proportione

(1498) se inspiroacute en las obras de

Arquiacutemedes y de su maestro Piero

Della Francesca (1420-1492)

pintor y matemaacutetico e hizo de

diversos poliedros modelos huecos

de madera que Leonardo da Vinci

(1452-1519) utilizoacute para hacer las

ilustraciones de ese libro Al

haberse encontrado en el siglo XX

manuscritos de la obra de Della

Francesca se comproboacute la

existencia del dibujo maacutes antiguo

conocido del icosaedro truncado

Paccioli importante exponente de

la relacioacuten entre arte y

matemaacuteticas en el Renacimiento

aparte de contribuir al mejor

conocimiento de los poliedros se

refirioacute a la amplia presencia del

Nuacutemero de Oro en la Naturaleza y

por esa razoacuten le adjudicoacute el

nombre de Divina Proporcioacuten

como patroacuten de la armoniacutea en

todo lo creado Aunque eacutel no lo

sentildealoacute como demostracioacuten de esa

armoniacutea y confirmacioacuten de la

designacioacuten que propuso estaacute

tambieacuten el icosaedro truncado que

figura en su libro

209


Buckminster Fuller quien

relacionoacute la Naturaleza con su

obra pudo haber conocido el

estudio de Ernst Haeckel (Die

Radiolarien 1862) y el de DArcy

Thompson (On Growth and Form

1917) donde se muestra y analiza

la configuracioacuten de los radiolarios

para fundamentar en la deacutecada de

1940 su exitoso impulso a la

utilizacioacuten de lo que eacutel llamoacute el

domo geodeacutesico originalmente

creado por el ingeniero alemaacuten

Walter Bauersfeld en 1922 para

instalar un planetario de la Zeiss

en Jena

En la historia del fuacutetbol ha sido

importante la preocupacioacuten por

contar con una pelota que

combine la mayor y constante

esfericidad con la regularidad de la

distribucioacuten de las costuras que

son necesarias por las

caracteriacutesticas del juego Esa

doble condicioacuten tuvo la respuesta

perfecta en la simetriacutea de la

Telstar de 1970 Aunque se ha

producido una gran evolucioacuten en

el uso de materiales no ha

variado esa forma geomeacutetrica ni

su peso y tamantildeo hasta llegar a

la Fevernova del 2002

3692Geometria de los hexapente

En los domos hexapenta el nuacutemero de 6 pentaacutegonos es constante

cualquiera sea el de los hexaacutegonos En una proyeccioacuten horizontal un

pentaacutegono estaacute en la clave del domo y los otros separados de eacutel por

uno o maacutes anillos formados por triaacutengulos equilaacuteteros Si es un anillo

tiene 75 de eacutestos si dos 120 si tres 175 si cuatro 240 en

un ritmo constante seguacuten el nuacutemero de anillos intermedios sea impar

o par En el caso de ser impar el de los triaacutengulos aumenta en 100 a

partir de los 75 del primero si es par en 120 a partir de los 120 del

segundo

210


En la misma proyeccioacuten horizontal ademaacutes de la regularidad en la

presencia de los pentaacutegonos dentro de conjuntos de hexaacutegonos se

forman otras figuras semejantes que son conceacutentricas al pentaacutegono

que se encuentra en la clave del domo

3610 Φ EN CRISTALOGRAFIA Y MINERALOGIA

Observamos en la mayoriacutea de los minerales una cristalizacioacuten caracteriacutestica de cada mineral siendo muchos de ellos pertenecientes a los cinco soacutelidos pitagoacutericos tal es el caso de la halita que se forma como el hexaedro la pirita como el piritoedro (caras pentagonales) el cuarzo en una de sus muacuteltiples cristalizaciones como un octaedro

211


El grupo de los silicatos por ser el maacutes abundante en la naturaleza (SiO ) presenta la organizacioacuten geomeacutetrica con tetraedros de silicio para formar todos iso ino tecto silicatos

212


213


4 Φ EN EL COMERCIO Y PUBLICIDAD

214


No es de extrantildear que las tarjetas de creacutedito y muchas obras arquitectoacutenicas modernas adopten esta forma son rectaacutengulos aacuteureos acertadamente elegida su forma para asiacute hacer de oro a quien las emite El documento nacional de identidad espantildeol tambieacuten es un rectaacutengulo aacuteureo

La mayoriacutea de los objetos electroacutenicos tales como ipod iphones y un sinnuacutemero de objetos del hogar y la oficina tienen la seccioacuten aurea involucrada en todas sus medidas como factor de agradabilidad para la vida cotidiana La mayoriacutea de las tesalaciones o embaldosados usan figuras de los soacutelidos regulares o combinaciones para hacer grandes y hermosos tapices que desde la eacutepoca de Estcher se han trabajado maacutes como un ejercicio matemaacutetico y artiacutestico demostrando que se pueden hacer dichas tesalaciones con otros objetos de forma irregular tales como serpientes cocodrilos aves etc

215


5 Φ EN LA MUSICA

La contribucioacuten de los pitagoacutericos a la muacutesica es sumamente interesante

Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser

presentados mediante razones de nuacutemeros enteros utilizando una especie

de guitarra con una sola cuerda llamada monocordio Este poseiacutea un

puente moacutevil que al desplazarse produciacutea en ciertas posiciones notas que

comparadas con la emitida por la cuerda entera resultaban maacutes armoniosas

que otras

Si el alma es armoniacutea la muacutesica debe ejercer sobre el espiacuteritu un especial

poder la muacutesica puede restablecer la armoniacutea espiritual incluso despueacutes de

haber sido turbada De tal idea se deduce uno de los conceptos maacutes

216


importantes de la esteacutetica musical de la Antiguumledad el concepto de catarsis

El viacutenculo de la muacutesica con la medicina es muy antiguo y la creencia en el

poder maacutegico-encantador y con frecuencia curativo de la muacutesica se

remonta a tiempos anteriores a Pitaacutegoras

Pero los pitagoacutericos no solo establecieron una especie de medicina musical

del alma sino que empleaban tambieacuten para ciertas enfermedades los

encantos creyendo que la muacutesica contribuiacutea grandemente a la salud si se

empleaba del modo maacutes conveniente Por tanto se estableciacutea un lazo

indisoluble entre salud y muacutesica puesto que la proporcioacuten y equilibro de las

notas produce armoniacutea y orden tanto en el cuerpo como en el alma

Apelan al razonamiento al rigor loacutegico y la abstraccioacuten extrema La orrespondencia entre la muacutesica y la ciencia se conoce desde hace mucho tiempo Probablemente hacia el siglo VI aC en Mesopotamia ya advirtieran las relaciones numeacutericas entre longitudes de cuerdas Pero fue en la Grecia antigua cuando se trazaron las diferentes escalas armoacutenicas basadas en las proporciones numeacutericas Para los pitagoacutericos el Universo era armoniacutea y nuacutemero las notas musicales se correspondiacutean con los cuerpos celestes los planetas emitiacutean tonos seguacuten las proporciones aritmeacuteticas de sus oacuterbitas alrededor de la Tierra y los sonidos de cada esfera se combinaban produciendo una sincroniacutea sonora la ldquomuacutesica de las esferasrdquo Platoacuten hace referencia a ella y le atribuye valores eacuteticos Las ensentildeanzas en Grecia incluiacutean la aritmeacutetica y la muacutesica de forma conjunta La aritmeacutetica permitiacutea la comprensioacuten del universo fiacutesico en tanto que la muacutesica se dirigiacutea a la armoniacutea universal Maacutes tarde la muacutesica formoacute parte del Quadrivium junto con la astronomiacutea la geometriacutea y la aritmeacutetica La tradicioacuten que consideraba al Universo como un gran instrumento musical se prolongaraacute durante la Edad Media y hasta el siglo XVII cuando aparece la fi gura de Johannes Kepler El astroacutenomo alemaacuten intentoacute comprender las leyes del movimiento planetario y consideroacute que eacutestas debiacutean cumplir las leyes pitagoacutericas de la armoniacutea La tendencia del hombre desde tiempos remotos es describir un sistema que busca unifi car los fenoacutemenos del mundo fiacutesico y del mundo espiritual en teacuterminos de nuacutemeros en particular en teacuterminos de razones y proporciones de enteros Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la longitud grosor y tensioacuten de la misma Entendemos que cualquiera de estas variables afecta a la frecuencia de vibracioacuten de la cuerda Lo que Pitaacutegoras defendioacute es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oiacutedo Nuacutemeros y belleza podiacutean ser uno por tanto el mundo emocional y el fiacutesico podriacutean ser descritos con

217


nuacutemeros sencillos Situaba los sonidos a determinadas distancias regulares en el monocordio instrumento de una cuerda resultando de ello sonidos consonantes o armoacutenicos y una colocacioacuten que sirvioacute de base para el desarrollo de las escalas musicales que sirven de soporte a nuestra muacutesica occidental El muacutesico desde siempre es un teacutecnico que ejerce y aplica su genio y su inspiracioacuten mediante un enredado y complejo sistema de trascripcioacuten de ideas El sistema musical desde Pitaacutegoras fue desarrollaacutendose como el resto de las ciencias y movimientos artiacutesticos llegando a sofisticados sistemas que nos permiten controlar y dominar el sonido El muacutesico en su quehacer maneja elementos esenciales e imprescindibles No le basta su genio ni depende de su inspiracioacuten Es un conocedor del ritmo la melodiacutea la armoniacutea el timbre de los instrumentos o los elementos formales seguacuten la eacutepoca que le toca vivir Trabaja con estos ingredientes de igual modo que otro artesano con los suyos Mezcla de manera coherente revolucionaria intencionada audible inauditahellip Uno de los factores maacutes decisivos en la muacutesica es la melodiacutea Es la idea principal que sobresale en la mayoriacutea de las composiciones sean una simple cancioacuten o alguna forma compleja y larga en el tiempo Suele ser triste o alegre noble o diaboacutelica juguetona saltarina o relajante Expresa una variedad innumerable de matices y diferencias y apela a nuestro estado de aacutenimo Va unida inevitablemente al ritmo y produce en nosotros un efecto fiacutesico y un efecto emocional que no necesita de palabras ni descripciones Una melodiacutea bella como una pieza entera de muacutesica ha de tener proporciones satisfactorias Debe darnos la impresioacuten de cosa consumada e inevitable Desde un punto de vista teacutecnico todas las melodiacuteas existen dentro de los liacutemites de alguacuten sistema escaliacutestico Una escala no es maacutes que una determinada disposicioacuten de una serie de notas y esa colocacioacuten no ha sido un hecho arbitrario Podemos decir que los constructores de escalas empezando por Pitaacutegoras confiaron en su instinto y maacutes tarde los hombres de ciencia los apoyaron con sus cifras de vibraciones relativas por segundo En nuestro sistema moderno el trecho de la escala estaacute la de Fibonacci es decir asigna un nuacutemero a cada nota que le permitiraacute construir el sujeto de la fuga utilizando esos sonidos Do Re Mib Fa Lab Do 1 2 3 5 8 13 Realiza la fuga en un total de 89 compases En los primeros 55 genera la tensioacuten que debe llevar toda fuga desde la exposicioacuten del tema hasta el punto culminante para concluir 34 compases maacutes tarde En el momento de

218


culminacioacuten del estrecho tenemos exactamente el Nuacutemero de Oro Luego Bartok lleva magistralmente la fuga en decadencia hasta el final momento en el que aparece la celesta instrumento de tecla con sonido similar al de un carilloacuten Al margen de un estilo de unas dificultades a la hora de escuchar un lenguaje del siglo XX Bartok nos conduce hacia lugares remotos de belleza magia y misterio El nuacutemero de Oro es un nuacutemero maacutegico la Muacutesica un tesoro a nuestro alcance Beethoven no dijo nada de su intencioacuten secreta en la Quinta Sinfoniacutea Tampoco Debussy ni tantos otros Bartok dejoacute escrito ldquoDejad que mi muacutesica hable por miacute no reclamo los derechos de ninguna explicacioacuten de mis obrasrdquo Lo cierto es que para nuestro gozo todos siguieron las normas de Tomas de Aquino Los sentidos se deleitan en las cosas debidamente proporcionadas

En esta Sinfoniacutea Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la seccioacuten

aacuteurea El cliacutemax de la obra se encuentra al 618 de ella

La famosa apertura ldquomottordquo suena exactamente en el punto dorado 0618()

en el compaacutes 372 de 601 y nuevamente en el compaacutes 228 el cual es el otro

punto dorado (0618034 desde el final de la pieza) por esta razoacuten Beethoven

tuvo que usar 601 compases para conseguir esas figuras Esto lo hizo

ignorando los 20 compases finales que vienen detraacutes de la ocurrencia final

del ldquomottordquo e ignorando a su vez el compaacutes 387

Cuatro primeras notas corto corto corto largo

Caracteriacutesticas de la Sonata Nordm1 para piano de Mozart

El segundo tema armoacutenico de la obra siempre es maacutes extenso que el

primero

Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 38 = 16315

Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 28 = 16428

219


Otros instrumentos musicales a parte de los violines incluyen la divina

proporcioacuten en sus formas por ejemplo el piano estaacute constituido por siete

octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas De esta manera

los primeros seis nuacutemeros de la Sucesioacuten de Fibonacci figuran en una octava

de piano la cual consiste en 13 teclas 8 teclas blancas y 5 teclas negras (en

grupos de 2 y 3)

La razoacuten de todos los segmentos de un pentagrama equivale a Phi

Es necesario aclarar que cuando se menciona al nuacutemero aacuteureo en una

realizacioacuten artiacutestica de cualquier naturaleza no se estaacute haciendo mencioacuten al

nuacutemero aacuteureo de los matemaacuteticos un irracional con infinitos decimales sino

a una aproximacioacuten racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo

hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un

compaacutes de abertura fija o variable

Generalmente se utilizan cocientes de nuacutemeros pertenecientes a la sucesioacuten de Fibonacci que dan valores aproximados alternativamente por defecto o por exceso seguacuten la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separacioacuten tonal de cada instrumento Un violiacuten por ejemplo puede separar hasta un tercio de tono

El oiacutedo humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada Esta es una escala logariacutetmica Se creoacute muy poco tiempo despueacutes de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la

220


matemaacutetica La octava atemperada estaacute basada en Este nuacutemero irracional tiene infinitos decimales pero la afinacioacuten se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales De cualquier manera el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oiacutedo humano no lo nota La uniformidad de la separacioacuten de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodiacutea por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatoacutenica y la escala fiacutesica De la misma manera se actuacutea con la distribucioacuten de tiempos o la altura de los tonos usando el nuacutemero aacuteureo con una aproximacioacuten racional que resulte praacutectica Existen numerosos estudios al respecto principalmente de la Universidad de Cambridge

Autores como Baacutertok Messiaen y Stockhausen entre otros compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propoacutesito) con la seccioacuten aurea

Clave bien temperado Johann Sebastian Bach (1685-1750)

Bartoacutek nunca habloacute de su teacutecnica compositiva sino que ha sido el musicoacutelogo huacutengaro Ernouml Lendvai quien dedicoacute gran parte de su vida a descubrir las bases de este sistema Seguacuten Lendvai la muacutesica de Bartoacutek estaacute basada en gran parte en sus investigaciones con el folklore en especial del huacutengaro y podriacutea dividirse en dos grandes bloques distintos en cuanto a

221


concepcioacuten pero complementarios entre siacute llegando a alternarse incluso en una misma obra en distintas secciones son el Sistema diatoacutenico basado en la muacutesica folkloacuterica sus modos y ritmos en la escala acuacutestica y en otros procedimientos que no entraremos a valorar y el Sistema cromaacutetico influenciado tambieacuten por el folklore y que se basa por un lado en el Sistema axial y por otro en la Proporcioacuten aacuteurea

El meacutetodo de Bartoacutek en su construccioacuten formal estaacute estrechamente ligado a las leyes del Nuacutemero Aacuteureo Eacuteste constituye un elemento formal que es al menos tan significativo en la muacutesica de Bartoacutek como la cuadratura en el periodo claacutesico

El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizoacute tambieacuten el nuacutemero aacuteureo en su obra Alcanciacuteas para organizar las partes (unidades formales)

El grupo de rock progresivo norteamericano Tool en su disco Lateralus (2001) hacen muacuteltiples referencias al nuacutemero aacuteureo y a la sucesioacuten de Fibonacci sobre todo en la cancioacuten que da nombre al disco pues los versos

222


de la misma estaacuten cantados de forma que el nuacutemero de siacutelabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia Ademaacutes la voz entra en el minuto 137 que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el nuacutemero aacuteureo

Zeysing notoacute la presencia de los nuacutemeros 3 5 8 y 13 de la Sucesioacuten de Fibonacci en el caacutelculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos Los dos tonos del acorde mayor final mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor) estaacuten entre siacute en la razoacuten cinco octavos Los dos tonos del acorde menor final por ejemplo mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razoacuten tres quintos

638 El sistema axial

Se trata de la divisioacuten de ciacuterculo de quintas en tres ejes dobles uno de toacutenica otro de dominante y otro de subdominante

223


Cada funcioacuten tiene dos ejes eje principal y eje secundario A su vez cada eje tiene dos extremos polo y antiacutepoda

Aunque el parentesco entre un polo y su antiacutepoda es menos cercano que con los puntos vecinos cada polo puede ser sustituido por su antiacutepoda realizando la misma funcioacuten Por tanto se mantienen las funciones tradicionales de I IV y V Una sucesioacuten MI-LA-RE-SOL-DO-FA en Bela Bartoacutek puede ser MI-LA-LAb-REb-DO-FA

La divisioacuten aacuteurea puede considerarse que sigue uno o dos cursos posibles seguacuten aparezca primero la seccioacuten maacutes larga o la maacutes corta Llamaremos seccioacuten positiva a la seccioacuten larga la otra posibilidad seraacute la seccioacuten negativa la seccioacuten corta seguida de la larga Un estudio analiacutetico de varias obras de Bartoacutek permite llegar a la conclusioacuten de que la seccioacuten positiva va acompantildeada de intensificacioacuten ascenso dinaacutemico o concentracioacuten de material mientras que la seccioacuten negativa de descenso y apaciguamiento

El estudio de estas proporciones nos conduce inmediatamente a la cuestioacuten del uso que haciacutea Bartoacutek de acordes escalas e intervalos Su sistema cromaacutetico se basa en las leyes de la proporcioacuten aacuteurea y especialmente en la serie numeacuterica de Fibonacci

224


Calculado en semitonos

1 representa la segunda menor 2 representa la segunda mayor 3 representa la tercera menor 5 representa la cuarta justa 8 representa la sexta menor 13 representa la octava aumentada

Mencionemos ahora un grupo frecuentemente recurrente de escalas del tipo aacuteureo las cuales representan estructuralmente intervalos de 15 13 y 12 La relacioacuten de la proporcioacuten aacuteurea entre estas tres foacutermulas es resultante de la proporcioacuten 532 Cada una de ellas surge de la repeticioacuten perioacutedica de los intervalos 15 13 y 12 Su estructura es por tanto asiacute

Modelo 15 alternando segundas menores y cuartas justas por ejemplo Do-Do-Fa-Sol-Dohellip

Modelo 13 alternando segundas menores y terceras menores Do-Do-Mi-Fa-Sol-La-Dohellip

Modelo 12 alternando segundas menores y mayores Do-Do-Mib-Mi-Fa-Sol-La-Sib-Dohellip

De todas estas escalas la maacutes importante es el Modelo 12 ya que representa realmente el grupo de escalas de los ejes de toacutenica y dominante

64 Obras selectas

en varias sonatas para piano de Mozart la proporcioacuten entre el desarrollo del

tema y su introduccioacuten es la maacutes cercana posible a la razoacuten aurea esto se

presenta en la sonata Ndeg 1 para piano

el segundo tema armoacutenico de la obra siempre es maacutes extenso que el

primero pues el primer movimiento estaacute dividido en 38 y 62 compases y

6238 =16315 el segundo movimiento estaacute dividido en 28 y 46 compases y

4628 = 1642

225


Aunque no se sabe si Beetoven estaba al tanto de esto pero en su Quinta

sinfoniacutea distribuye el tema siguiendo la seccioacuten aurea El cliacutemax de la obra

se encuentra al 618 de ella

Los muacutesicos de Jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoriacutea

de las escalas armoniacutea y formas que usan habitualmente pero igual

producen obras armoniosas

Finalmente podemos decir que el piano estaacute constituido por siete octavas

ordenadas en forma creciente de graves a agudas asiacute los primeros nuacutemeros

de la sucesioacuten de Fibonacci figuran en una octava de piano la cual consiste

de 8 teclas 5 teclas negras en grupos de 2 y 3 teclas

Las proporciones musicales en la catedral de Chartres

Una investigacioacuten recientemente realizada en la Universidad de Palermo

Buenos Aires Argentina permitiriacutea inferir que el disentildeo geomeacutetrico de la

catedral de Chartres se basa en las proporciones correspondientes a las

226


consonancias perfectas y el intervalo de tono Esta geometriacutea tendriacutea su

fundamento filosoacutefico y teoloacutegico en la cosmologiacutea musical del Timeo de

Platoacuten comentada por Calcidio e interpretada cristianamente por los

pensadores de la escuela de Chartres del siglo XII

La posibilidad de una geometriacutea chartriana basada en las proporciones

musicales ya habiacutea sido propuesta alrededor del antildeo 1956 por el historiador

del arte Otto von Simson Sin embargo hasta el momento no se han notado

estudios geomeacutetricos de la catedral de Chartres que permitan concluir de

manera contundente que su arquitectura se basa en las proporciones de la

escala diatoacutenica Por esta razoacuten la hipoacutetesis de O von Simson ha sido muy

discutida por otros importantes historiadores del arte como R Wittkower La

investigacioacuten que se resentildea a continuacioacuten podriacutea aportar algunos datos

interesantes en favor de la hipoacutetesis de O von Simson Al mismo tiempo

esta investigacioacuten sugiere la posibilidad de que la geometriacutea basada en

relaciones musicales de proporcioacuten se encuentre tambieacuten presente en otras

construcciones cristianas de la eacutepoca puesto que la doctrina cosmoloacutegica

musical del Timeo impregnoacute la esteacutetica del Medioevo cristiano

Antecedentes filosoacuteficos de la cosmologiacutea de la catedral de Chartres

El Timeo es uno de los diaacutelogos platoacutenicos que mayor influencia ha ejercido

sobre la esteacutetica de Occidente En este diaacutelogo se describe la generacioacuten del

universo en teacuterminos aritmeacuteticos y geomeacutetricos Efectivamente seguacuten relata

Platoacuten en este texto el Demiurgo ha generado el universo llevaacutendolo desde

el desorden al orden Es decir que la generacioacuten del universo en el Timeo

es la imposicioacuten del orden sobre el Cuerpo y el Alma del Mundo En

particular al ordenar el Alma del Mundo el Demiurgo instala en ella las

proporciones correspondientes a las consonancias perfectas y el tono

Como es sabido estas proporciones constituyen el fundamento matemaacutetico

sobre el cual se apoyan las relaciones armoacutenicas de la octava musical Es

decir que el orden impuesto al Alma del Mundo en el momento de su

generacioacuten es un orden musical De esta manera al ser ordenada

musicalmente el Alma del Mundo contiene en siacute a la armoniacutea arquetiacutepica ndash

armoniacutea a la que deben tender las almas individuales

La concepcioacuten musical del Alma del Mundo que en el Timeo se encuentra

apenas esbozada fue posteriormente ampliada y desarrollada por los

filoacutesofos neoplatoacutenicos de fines de la Antiguumledad En Occidente el principal

227


comentador del Timeo platoacutenico fue Calcidio quien habriacutea escrito sus obras

en la primera mitad del siglo IV dC Tal como era costumbre en la eacutepoca

Calcidio tradujo al latiacuten parte del Timeo acompantildeando esta traduccioacuten con

abundantes explicaciones e interpretaciones personales Los Comentarios al

Timeo de Calcidio fueron praacutecticamente la uacutenica versioacuten del diaacutelogo

platoacutenico conocida por el medioevo latino Esta autor dedicoacute unos cincuenta

capiacutetulos de su obra a explicar los fundamentos matemaacuteticos de la muacutesica

Sus Comentarios conforman por lo tanto un verdadero tratado sobre el

tema cuyos contenidos son similares a los que posteriormente apareceraacuten

en los escritos de Boecio (siglo VI dC) Sin embargo el objetivo principal de

la obra de Calcidio es dilucidar la naturaleza del Alma del Mundo Seguacuten

expresa este filoacutesofo el Alma ha sido ordenada en conformidad con las tres

principales disciplinas la geometriacutea la aritmeacutetica y la muacutesica Explica que la

divinidad ha modulado el Alma como si se tratase de un instrumento musical

de cuerda y afirma expliacutecitamente que existe una relacioacuten armoacutenica entre el

Anima del Mundo y los acordes musicales En siacutentesis puede decirse que

Calcidio interpreta la cosmologiacutea del Timeo acentuando las connotaciones

musicales de la misma

Las proporciones musicales de la catedral de Chartres

Las mediciones realizadas en el transcurso de la investigacioacuten sentildealan que

la geometriacutea que subyace a la arquitectura de la catedral exhibe

concordancias basadas en las consonancias perfectas y el tono Este estudio

se limita a la fachada occidental (figura 1) y a la planta de la catedral (figura

2) Las partes analizadas fueron construidas durante el periacuteodo de auge del

Platonismo en la Escuela de Chartres Por lo tanto la incidencia de

proporciones musicales en estas partes del edificio podriacutea indicar que las

ideas platoacutenicas del obispo Fulberto y de sus seguidores conformaron el

fundamento filosoacutefico y teoloacutegico de la geometriacutea de la catedral

228


Las mediciones realizadas durante la investigacioacuten muestran que las

diagonales de los rectaacutengulos principales de la fachada occidental estaacuten

relacionadas entre siacute seguacuten los intervalos de cuarta de quinta de octava y

de tono Estas relaciones se verifican por ejemplo entre las diagonales de

los rectaacutengulos que encierran a los tres ventanales romaacutenicos (figura 3)

entre el diaacutemetro del rosetoacuten y el lado del cuadrado que lo encierra (figura 4)

229


y entre otras importantes diagonales de la fachada (figura 5) Sin embargo

es en el Portal Real donde se observa la maacutes armoniosa de las trazas (figura

6) En efecto este disentildeo estaacute basado en rectaacutengulos aacuteureos cuyas

diagonales tambieacuten estaacuten proporcionadas entre siacute Las relaciones musicales

tambieacuten se observan entre las diagonales de los rectaacutengulos fundamentales

que definen la planta de la iglesia (figura 8) Maacutes auacuten la nave principal podriacutea

haber sido diagramada como un monocordio Ciertamente si se compara la

longitud total de la nave con una cuerda entonces los puntos maacutes

importantes del recorrido ndashinicio y final del transepto centro del crucero

ubicacioacuten del coro etc- se corresponden con las divisiones que dan lugar a

las notas de la escala diatoacutenica

Hasta en el tiempo aparece esta formidable relacioacuten pues un reloj sin

importar su forma la hora cercana a las 1010 es la maacutes usada para las

publicidades dado que a esta hora las manecillas del reloj estaacuten en los

extremos de un rectaacutengulo aacuteureo

230


6 Φ EN EN LA LITERATURA

Rafael Alberti Merello (El Puerto de Santa Mariacutea Caacutediz 16 de diciembre de 1902- ibiacutedem 28 de octubre de 1999) fue un escritor espantildeol especialmente reconocido como poeta miembro de la Generacioacuten del 27 Estaacute considerado uno de los mayores literatos espantildeoles de la llamada Edad de Plata de la literatura espantildeola cuenta en su haber con numerosos premios y reconocimientos Murioacute a los 96 antildeos en 1999 no sin antes dejar escrita una poesiacutea que dedicoacute al nuacutemero de oro llamaacutendola Seccioacuten Aurea

A la seccioacuten aurea

A ti maravillosa disciplina media extrema razoacuten de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina A ti caacutercel de la retina auacuterea seccioacuten celeste cuadratura misteriosa fontana de mesura que el Universo armoacutenico origina A ti mar de los suentildeos angulares flor de las cinco formas regulares dodecaedro azul arco sonoro Luces por alas un compaacutes ardiente Tu canto es una esfera transparente A ti divina proporcioacuten de oro

Aurea Mediocritas 1618 ad infinitum Never repeating always intriguing Fibonacci born phi Golden Section behold Creation sequence natures frequence

231


Mathematical phenomena phi Heavens divine proportion Ancient mystery living history Infinite and eternal phi John Sarber

Inspiration Comes (Fibonacci)

1 I

1 am

2 sitting

3 quieacutetalo

5 listening for the

8 quiet noises in the darkness

13 ghostly images flying between the tall pine trees

21 illusion created by the mind made by shadows the brain playing tricks on itself

34 It sits there the raven black as night looking at me with its dark eyes in the

dark night Inspiration comes Words form in my head Evermore

7 Φ EN LA LUTIERIA

Para la construccioacuten de instrumentos musicales al comienzo se hacia con elementos que solamente permitiacutean una afinacioacuten empiacuterica pero posteriormente cuando se conocioacute el nuacutemero de oro eacuteste se incorporoacute en los talleres de lutieria para perfeccionar sus sonidos y estandarizar las medidas Al principio se creiacutea que solamente el violiacuten deberiacutea cumplir la relacioacuten aurea para su perfecto funcionamiento y que los famosos violines Stradivarius

232


teniacutean alguacuten secreto en su fabricacioacuten fue en el violiacuten que por primera vez se revelara su relacioacuten con el nuacutemero de oro en sus distribuciones Se muestra a continuacioacuten una lista selecta de los instrumentos maacutes destacados de algunos paiacuteses que tienen en su fabricacioacuten inmersa la proporcioacuten divina

Antonio Stradivari examinando un instrumento en una impresioacuten romaacutentica del Siglo XIX

233


8 Φ EN EL UNIVERSO

234


Dimensi

on

(km)

Proporti

on

(Earth=1

)

Mathematic

al

Expression

Radius of the Earth 637810 1000 A

Radius of the Moon 173597 0272

Earth Radius + Moon Radius 811407 1272 B

Hypotenuse 103207

7

1618

(Φ) C

Hypotenuse (Earth Radius + Moon

Radius)

1618

(Φ) Asup2+Bsup2=Csup2

El libro de las coincidencias desvela a los joacutevenes las asombrosas coincidencias astronoacutemicas que desde hace siglos desconciertan a los

235


cientiacuteficos Por ejemplo las relaciones espacio-temporales entre las oacuterbitas planetarias se ajustan a sencillas proporciones ideacutenticas a las de las notas musicales lo que llevoacute a los antiguos a hablar de ldquomuacutesica de las esferasrdquo El Sol y la Luna vistos desde nuestro planeta tienen el mismo tamantildeo aparente Venus dibuja un pentagrama alrededor de la Tierra cada ocho antildeos

El presente libro constituye una guiacutea inusual del sistema solar pues sugiere la posibilidad de que existan relaciones fundamentales entre el espacio el tiempo y la vida que todaviacutea no hemos comprendido Desde las observaciones de Ptolomeo y Kepler hasta la armoniacutea de las esferas y la estructura oculta del sistema solar el autor revela los exquisitos disentildeos orbitales de los planetas y las relaciones matemaacuteticas que los gobiernan

Encontramos la proporcioacuten aacuteurea en la distancia de los diferentes planetas

del sistema solar al sol

En la tercera columna de la siguiente tabla el resultado es el de dividir la distancia del planeta al sol por la distancia del anterior por ejemplo en Tierra dividimos 1496 por 1082 = 1383

Para Mercurio al no tener planeta anterior le hemos asignado 1

236


Muchas veces cuando hablamos del sistema solar omitimos el cinturoacuten de asteroides tambieacuten representa una masa considerable en el equilibrio del sistema solar siendo Ceres el asteroide mayor Ceres es tan grande que tiene una forma esfeacuterica (como los otros planetas) y representa un tercio del total de la masa del cinturoacuten de asteroides situado entre Marte y Juacutepiter

Planetas Distancia al sol en

millones de Km

Relacioacuten entre las

distancias de los

sucesivos planetas

Mercurio 579 1

Venus 1082 1869

Tierra 1496 1383

Marte 2279 1523

Ceres 4137 1815


Saturno 14335 1841

Urano 28725 2004

Neptuno 44951 1565


Total 16187

Media 16187

Numero Phi 16180

237


En los anillos de Cassini del planeta Saturno se encuentra la relacioacuten Phi

Si el segmento dorado (maacutes claro) es igual a 1 el segmento azul (maacutes oscuro) es igual a Phi

238


81 Φ EN LAS GALAXIAS

Las galaxias tiene sus brazos en forma de la espiral que se forma con la

serie de Fibonacci y por supuesto con el nuacutemero de oro Muchas de las

relaciones entre el tamantildeo y la masa de estrellas neutroacuten antes de

convertirse en agujeros negros encierran la proporcioacuten aurea al igual que

las relaciones entre la velocidad de giro y la velocidad tangencial que se

soporta en dicha relacioacuten

239


82 Φ EN LAS RELACIONES DE LA TIERRA EN EL MUNDO

MUSULMAN Y CRISTIANO

La distancia entre La Mecca y el polo norte asiacute como hacia el polo sur esta

proporcioacuten es exactamente 1618 el nuacutemero de oro cuyas distancias son

763168 km y 1234232 Km cuyo cociente es 1618 Ademaacutes la proporcioacuten

entre el polo sur y la ciudad de Meca asiacute como entre los dos polos es otra

vez 1618

Las distancias son 1234832 Km y 199800 donde al efectuar el cociente

aparece nuevamente el nuacutemero de oro Para los musulmanes el milagro no

ha terminado el numero dorado estaacute en Mecca seguacuten el mapa de longitud y

latitud el cual es comuacuten para la humanidad para determinar las

localizaciones La proporcioacuten de elongacioacuten este con la oeste a partir de la

Mecca hasta los extremos del solsticio es de 1618 ademaacutes puede verse en

el mapa de Google-Eart la proporcioacuten de la elongacioacuten desde Meca hasta la

liacutenea del solsticio occidental con el periacutemetro de la tierra a esa misma latitud

es sorprendentemente el nuacutemero de oro

Para los sistemas de mapas auacuten si variacutean algunos kiloacutemetros el nuacutemero

dorado de la tierra estaacute siempre dentro del periacutemetro de la ciudad de la

Meca en la regioacuten sagrada que incluye el Kaaba

240


241


En el Coraacuten hay un verso que incluye la palabra Mecca y una expresioacuten que

dice que hay claras evidencias en la ciudad que otorga fe a la humanidad

La relacioacuten entre la ciudad Meca y el nuacutemero de oro estaacute gravado en el

capiacutetulo Al-Imran verso 96 El nuacutemero total de letras es 47 calculando el

nuacutemero de estas letras encontramos que la palabra Mecca estaacute mencionada

en 471618 = 29 es decir que hay 29 letras desde el principio del verso

hasta la palabra Meca Si tan solo faltara una letra este cociente nunca

podriacutea haberse construido

En el ojo musulmaacuten tambieacuten se reflejan las proporciones aacuteureas La relacioacuten entre la seccioacuten vertical y la seccioacuten horizontal del ojo dan como resultado el nuacutemero de oro

En la cruz latina (la cristiana) La relacioacuten entre el palo vertical y el horizontal es esta proporcioacuten Ademaacutes el palo horizontal divide la cruz en secciones aacuteureas Hay otros siacutembolos tambieacuten en los que se puede ver las relaciones aacuteureas 65 Un estudio realizado por la SARU (Science and religion united

= ciencia y religioacuten unida

en noviembre del antildeo 2005 analizoacute meticulosamente el Evangelio Prohibido de Judas descubierto a principios del antildeo 2000 (aquel que afirma que en realidad Jesuacutes le pidioacute a Judas que lo traicione) Entre otros hallazgos fue notorio el hecho de que se detallaran las medidas de la cruz en la cual Jesucristo fue crucificado y maacutes sorprendentemente una de sus caracteriacutesticas el trozo de madera maacutes largo de esta mediacutea 323 m

242


aproximadamente mientras que el trozo maacutes corto teniacutea una longitud aproximada de 2m Lo curioso fue que notaron que al dividir la longitud del trozo mayor por la del menor se obtiene (usted mismo puede comprobarlo) 1615 que es el valor aproximado de F

Image n a la izquierda Imagen a

colores del Santo Sudario como aparece en su estado natural mostrando el

color rojizo de las manchas de sangre

Otro estudio de la SARU en este caso sobre el Santo Sudario (la tela en que se cree que Jesuacutes fue envuelto en su sepulcro) en el que se presentan marcas y traumas fiacutesicos propios de la crucifixioacuten demuestra que las marcas alrededor del craacuteneo que seguacuten se cree fueron causadas por la corona de espinas se presentan en forma de espiral logariacutetmico y consecuentemente sus espinas siguen la sucesioacuten de Fibonacci Por lo que se cree el sudario fue falsificado por Da Vinci

243


La Biblia la palabra de Dios no tiene por queacute ser la excepcioacuten tambieacuten contiene la seccioacuten aacuteurea Seguacuten la Traduccioacuten del Nuevo Mundo de las Santas Escrituras contiene un canon de 66 libros inspirados distribuidos proporcionalmente La seccioacuten aacuteurea es 66 x 06 igual a 39 libros que forman las escrituras Hebreo arameas y su diferencia igual a 27 libros que forman las escrituras Griegas cristianas Ahora si a estos valores se les representa graacuteficamente en un rectaacutengulo el resultado seriacutea una forma aacuteurea o rectaacutengulo de oro Una de las primeras construcciones navales en la historia del hombre desde su creacioacuten es el Arca de Noeacute cuyas dimensiones fueron proporcionadas por Dios mismo al patriarca Noeacute Contiene la seccioacuten aacuteurea o Proporcioacuten Divina en su medidas Por ejemplo Su largo es de 300 codos dividido por (6) equivale a 50 codos para lo ancho y esto multiplicado por la seccioacuten aacuteurea igual a 06 equivale a 30 codos de alto La Proporcioacuten de (6 a 1) es usada en la arquitectura naval moderna Las medidas originales fueron dadas en codos convertidas a metros Largo 134 metros ancho 225 metros y alto 135 metros Un codo es equivalente aproximadamente 445 cm

244


82 RAMANUJAN Y EL NUMERO DE ORO

La fraccioacuten continua de RogersndashRamanujan es una fraccioacuten

continua descubierta por Rogers (1894) y maacutes tarde estudiada por Srinivasa

Ramanujan intimamente relacionada con las identidades de Rogers-

Ramanujan que puede ser evaluada expliacutecitamente para determinados

valores de su argumento

La fraccioacuten continua de Ramanujan es

(sucesioacute

n A003823 en OEIS)

donde

(sucesioacuten A003114 en OEIS)

y


son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-

Ramanujan

Aquiacute denota el siacutembolo q-Pochhammer para el caso

infinito

Si q = e2πiτ entonces qminus160G(q) y q1160H(q) y

tambieacuten q15H(q)G(q)) son formas modulares de τ Puesto que

eacutestas tienen coeficientes enteros la teoriacutea de la multiplicacioacuten

245


compleja implica que sus valores para τ siendo un nuacutemero

imaginario cuadraacutetico irracional son nuacutemeros algebraicos que

pueden ser evaluados expliacutecitamente En particular la fraccioacuten

continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores

de τ

651 Ejemplos

donde es el nuacutemero aacuteureo (Aproximadamente 1618)

El inverso multiplicativo de esta expresioacuten es


246


9 RESUMEN

7 Treinta datos que no sabiacuteas sobre el nuacutemero maacutes bello

La escalera de Bramante en los Museos Vaticanos

247


Para muchos las matemaacuteticas son poco maacutes que un recuerdo de los diacuteas

escolares y sin embargo como dice la cancioacuten del amor las matemaacuteticas

estaacuten por todas partes Raro es el proceso que no puede ser explicado con

foacutermulas ya sea una explosioacuten de motor o el crecimiento de una flor Por eso

hay conceptos matemaacuteticos que traspasan los tratados cientiacuteficos y se

convierten en ideas comunes que de forma maacutes o menos profunda hasta

los ajenos a la materia conocen y manejan Ese es el caso de phi el

nuacutemero de oro No es nada maacutes que una cifra 161803 seguido por

infinitos decimales Sin embargo se trata de uno de los nuacutemeros que maacutes

fascinacioacuten ha levantado a lo largo de la historia Estudiado hasta la

saciedad conviene distinguir tres componentes distintos en la historia del

nuacutemero aacuteureo

- El nuacutemero de oro phi o nuacutemero aacuteureo como decimos es un nuacutemero

irracional que se expresa con la siguiente foacutermula

- La divina proporcioacuten o proporcioacuten aacuteurea es un concepto geomeacutetrico que se

da cuando al partir un segmento en dos partes desiguales dividiendo el total

por la parte maacutes larga obtenemos el mismo resultado que al dividir la maacutes

larga entre la maacutes corta

- La sucesioacuten de Fibonacci entra el en campo de la aritmeacutetica y

estaacute iacutentimamente relacionada con el nuacutemero de oro Se trata de una serie

infinita de nuacutemeros naturales que empieza con un 0 y un 1 y continuacutea

antildeadiendo nuacutemeros que son la suma de los dos anteriores quedando con la

forma siguiente

248


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

4181 6765 10946 17711 28657

Uniendo el concepto aritmeacutetico con su representacioacuten geomeacutetrica se obtiene

una de las imaacutegenes maacutes comuacutenmente asociadas al nuacutemero y la razoacuten

aacuteurea la espiral de Fibonacci

La relacioacuten de esta sucesioacuten con el nuacutemero de oro estriba en que al dividir

cada nuacutemero por el anterior de la serie se obtiene una cifra cada vez maacutes

cercana a 161803 quedando el resultado alternativamente por debajo y por

encima del nuacutemero preciso sin llegar nunca a alcanzarlo absolutamente

Con estos tres conceptos diferenciados y aclarados solo queda entrar a

descubrir detalles sorprendentes que desde hace siglos rodean al nuacutemero

aacuteureo

711 La historia del nuacutemero de oro

1 Su descubrimiento se lo debemos como tantas otras cosas a los griegos

Ellos le dieron un tratamiento baacutesicamente geomeacutetrico y fue Euclides en su

obraElementos uno de los primeros que se refirioacute a este concepto

249


2 La fascinacioacuten por la proporcioacuten aacuteurea ha sido tal a lo largo de la historia

que en 1509 el matemaacutetico y teoacutelogo italiano Luca Pacioli publicoacute un libro

titulado La Divina Proporcioacuten en el que daba cinco razones por los que el

nuacutemero aacuteureo era eso divino

a) La unicidad del nuacutemero que asemeja a la de Dios

b) El hecho de que esteacute definido por tres segmentos de una recta que

asemeja a la Trinidad

c) La inconmensurabilidad del nuacutemero igual que Dios es inconmensurable

d) Dios es omnipresente e invariable igual que lo es este nuacutemero

e) Dios dio ser al universo a traveacutes de la quinta esencia representada por un

dodecaedro y el nuacutemero aacuteureo dio ser al dodecaedro

250


3 Seguimos hablando de la supuesta relacioacuten entre la divina proporcioacuten y la

divinidad porque no son pocos los que aseguran que la Biblia estaacute salpicada

de referencias a este concepto Por un lado es una forma que parece gustar a

Dios puesto que tanto en las instrucciones para el Arca de la Alianza que dio

a Moiseacutes como las que dio a Noeacute para la otra arca pide unas proporciones

5x3 (casualmente dos nuacutemeros de la sucesioacuten de Fibonacci) que dan como

resultado 1666 suficientemente cercano a phi como para engantildear al ojo

Puestos a encontrar hay quien encuentra relacioacuten entre 666 el nuacutemero del

anticristo y el nuacutemero aacuteureo

4 Aacuteureo dorado divino A este nuacutemero se le han dado muchos nombres

pero su siacutembolo lo hace inequiacutevoco es la letra griega phi en honor al

escultor griego Fidias cuyas obras se consideraban lo maacutes cercano a la

perfeccioacuten esteacutetica igual que lo es la proporcioacuten aacuteurea El siacutembolo se lo

adjudicoacute en el antildeo 1900 el matemaacutetico Mark Barr

5 Puede que el nuacutemero aacuteureo tenga un origen divino o puede que no Pero

desde luego su pariente aritmeacutetica la sucesioacuten de Fibonacci surgioacute de un

problema mucho maacutes mundano relacionado con la reproduccioacuten de los

conejos que planteoacute Leonardo Pisano Fibonacci en su Libro del aacutebaco en

1202

ldquoiquestCuaacutentas parejas de conejos tendremos a fin de antildeo si comenzamos con

una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su ver a los dos

meses de vidardquo La respuesta mes a mes es 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

89 y 144

251


712 curiosidades matemaacuteticas

6 La sucesioacuten de Fibonacci estaacute llena de aneacutecdotas matemaacuteticas que haraacuten

las delicias de los maacutes curiosos Por ejemplo si sumamos 10 nuacutemeros

consecutivos de la serie elegidos al azar el resultado siempre es muacuteltiplo de

11

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1597=4147=11x377

89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567=11x1597

De hecho los resultados son iguales a multiplicar por 11 el seacuteptimo nuacutemero

elegido en estos dos casos 377 y 1597

7 Se ha estudiado mucho la sucesioacuten de Fibonacci y el conocimiento sobre

ella es amplio pero no completo De hecho hay una conjetura auacuten sin

demostrar que la sucesioacuten de Fibonacci contiene infinitos nuacutemeros primos A

diacutea de hoy nadie sabe si esto es verdadero o falso Por si alguacuten matemaacutetico

entre los lectores se anima a buscar una respuestahellip

252


8 Se conoce como estrella pentagonal a la que estaacute inscrita en un

pentaacutegono regular y tambieacuten estaacute relacionada con la proporcioacuten aacuteurea el

segmento D que forma la diagonal del pentaacutegono (o un lado de la estrella) al

dividirlo entre un lado del pentaacutegono C da como resultado la proporcioacuten

aacuteurea Esta estrella tambieacuten ha sido profusamente representada tiene

mucho simbolismo y es incluso la base de muchos juegos populares ya que

es una de las formas de tablero maacutes antiguas que se conocen

9 Si estaacute usted a punto de lanzarse en la buacutesqueda de la proporcioacuten aacuteurea

en todo lo que le rodea aquiacute tiene un modo de hacerlo construya un compaacutes

aacuteureo Es sencillo Recorte dos tiras de cartoacuten o plaacutestico de 34 centiacutemetros

de largo dos de ancho y terminadas en punta Uacutenalas a 13 centiacutemetros de

una de las puntas con un encuadernador imitando la estructura de unas

tijeras Al moverlas obtendraacute dos triaacutengulos de lados iguales que miden 21 y

13 centiacutemetros respectivamente Al ser dos teacuterminos consecutivos de la

253


sucesioacuten de Fibonacci su cociente seraacute proacuteximo al nuacutemero aacuteureo Para ver si

dos segmentos guardan esa proporcioacuten solo habraacute que abrir el extremo

pequentildeo hasta que coincida con el segmento menor y sin variar la posicioacuten

del compaacutes poner el otro extremo en el segmento grande Si coincide

ambos segmentos respetan la proporcioacuten aacuteurea

10 iquestPor queacute tanta popularidad para esta forma tan concreta Seguacuten Adrian

Bejan profesor de ingenieriacutea mecaacutenica de la Universidad de Duke en

Carolina del Norte Estados Unidos se trata baacutesicamente de una razoacuten

evolutiva Recogioacute en su investigacioacuten que nuestros ojos analizan maacutes

eficazmente una imagen si estaacute encuadrada en un rectaacutengulo aacuteureo de

forma que se habriacutea utilizado de forma intuitiva desde la Antiguumledad porque

es la forma maacutes coacutemoda y agradable a la vista

713 En la naturaleza

11 Uno de los motivos por los que esta cifra lleva siglos fascinando a los que

la estudian es que se encuentra de forma natural en los lugares maacutes

insospechados Por ejemplo la proporcioacuten entre abejas hembra y macho en

una colmena suele ser similar a la proporcioacuten aacuteurea

254


12 Y ya que hablamos de abejas eacutestas cumplen con otra regla en esta

ocasioacuten relacionada con la sucesioacuten de Fibonacci los machos tienen un aacuterbol

genealoacutegico que cumple con eacutesta Un zaacutengano (1) nace de un huevo no

fecundado de forma que solo tiene madre (1) y no padre Su madre al ser

hembra tuvo dos progenitores (2) Estos macho y hembra tuvieron en total

tres progenitores (3) la madre del macho y la madre y el padre de la hembra

es decir dos hembras y un macho Eso significa que tuvieron cinco

progenitores a su vez (5)hellip A medida que ascendemos la regla se sigue

cumpliendo

13 La disposicioacuten de los peacutetalos de las flores la caracola de algunos

animales la forma de las pintildeas que dan algunos aacuterboles la distribucioacuten de

las pipas en un girasol el grosor que tienen las ramas de los aacuterboles Todas

estas cosas tienen en comuacuten que de una forma u otra estaacuten relacionadas

con la proporcioacuten aacuteurea o la serie de Fibonacci Por eso algunos expertos

postulan que el nuacutemero Phi sea al crecimiento orgaacutenico lo que Pi es a la

medicioacuten del ciacuterculo el nuacutemero en el que estaacuten basados todos los caacutelculos y

fenoacutemenos

14 Con un punto de humor hay quien llama al nuacutemero y la proporcioacuten

aacuteureos el huevo de Pascua de la naturaleza ya que parecen haber sido

escondidos por todas partes por un programador juguetoacuten a la espera de ser

descubiertos en cualquier momento por un observador espabilado

255


15 Tambieacuten en el cuerpo humano podemos encontrarnos con la proporcioacuten

aacuteurea Jasper Veguts ginecoacutelogo del Hospital Universitario de Lovaina en

Beacutelgica asegura que se puede determinar si el uacutetero de una paciente tiene

un aspecto normal basaacutendose en sus medidas que al dividir su altura por su

anchura el resultado sea cercano a 1618

16 Se supone que es la representacioacuten ideal de la belleza y seriacutea

expresada sencillamente la siguiente la altura total debe ser igual a la

distancia entre las puntas de los dedos teniendo los brazos y las manos

totalmente abiertos Esto equivale a ocho palmos ocho veces la cara o seis

veces los pies En total es la misma distancia que obtendriacuteamos si

multiplicaacutesemos por 1618 la distancia que separa nuestro ombligo del suelo

714 En la arquitectura

17 En la arquitectura del Partenoacuten en la Gran Piraacutemide de Gizeh en

palacios de la antigua Babiloniahellip Se supone que es posible encontrar

ejemplos del uso de la proporcioacuten aacuteurea en decenas de obras arquitectoacutenicas

a lo largo de la historia Pero expertos en matemaacuteticas y arte llaman al

escepticismo tomando las medidas necesarias seriacutea posible encontrar esta

256


proporcioacuten en cualquier sitio pero eso no significa que fuese utilizada de

forma consciente

18 Hay un edificio histoacuterico en nuestro paiacutes que seguramente muchos de

los lectores han contemplado escudrintildeado al detalle en busca de la famosa

rana que asegura el aprobado a fin de curso cuya reconstruccioacuten en el siglo

XV estuvo guiada por la relacioacuten de oro iquestSaben cuaacutel es

Siacute es la fachada de la Universidad de Salamanca

715 En el arte

19 Otros artistas a lo largo de la historia siacute han empleado la proporcioacuten

aacuteurea de forma plenamente consciente La Gioconda o La uacuteltima cena de

Leonardo Da Vinci El David o La Sagrada Familia de Miguel Aacutengel El

nacimiento de Venus de Sandro Botticelli son solo algunas de las obras maacutes

conocidas que se crearon respetando esos conceptos

20 Existe diversidad de opiniones sobre si una obra concreta de Leonardo

da Vinci se creoacute siguiendo la proporcioacuten aacuteurea o no Se trata de El hombre

ideal o el Hombre de Vitruvio Se trata de la figura de un hombre relacionada

257


con la geometriacutea e inserto en un cuadrado y un ciacuterculo Para la figura

humana siguioacute las recomendaciones de Vitruvio el arquitecto de Julio

Ceacutesar pero Da Vinci dibujoacute las formas geomeacutetricas de forma que la razoacuten

entre el lado del cuadrado y el radio del ciacuterculo es aacuteurea

21 El artista espantildeol Salvador Daliacute teniacutea muchas inquietudes y una

inclinacioacuten por la ciencia Trabajoacute con el matemaacutetico rumano Matila Ghyka

durante meses haciendo diversos caacutelculos antes de comenzar una de sus

obras maacutes famosas Leda Atoacutemica En ella la composicioacuten y los objetos

representados guardan una estricta proporcioacuten entre siacute y respecto al cuadro

al completo Ademaacutes estaacuten distribuidos en las cinco puntas de un

pentagrama aacuteureo

22 Dentro de los movimientos de arte vanguardista hubo toda una escuela

dentro del cubismo dedicada a esta cuestioacuten llamada coacutemo no Seccioacuten

Aacuteurea o Seccioacuten de Oro Se trataba de llevar las matemaacuteticas a la pintura

258


sobre todo en las proporciones al descomponer una figura en cubos Marcel

Duchamp lideroacute esta tendencia en la que tambieacuten participoacute el espantildeol Juan

Gris

23 El famoso fabricante de instrumentos Antonio Stradivarius que vivioacute

entre los siglos XVII y XVIII poniacutea mucho cuidado en situar las aberturas en

sus violines en consonancia con la proporcioacuten aacuteurea Seguramente se

tratase maacutes de una cuestioacuten esteacutetica que sonora puesto que no hay indicios

de que esto tenga ninguacuten impacto en la calidad del sonido de los

instrumentos

24 Y no fueron solo los artistas tambieacuten muchos cientiacuteficos quedaron

maravillados con la perfeccioacuten del nuacutemero y su serie correspondiente para

describir la naturaleza en los lugares maacutes insospechados El astroacutenomo

Johannes Kepler recogioacute su tratado El Misterio Coacutesmico la siguiente frase


otro la divisioacuten de una liacutenea entre el extremo y su proporcional El primero lo

259


podemos comparar a una medida de oro el segundo lo debemos denominar

una joya preciosa

716 En las cosas cotidianas

25 Pero podemos encontrar ejemplos de esa proporcioacuten tan celebrada sin

tener que irnos a un museo ni mirar a las estrellas Las tarjetas de creacutedito que

utilizamos a diario las cajetillas de tabaco y hasta un simple folio son todos

rectaacutengulos aacuteureos Eso quiere decir que se dividimos su lado maacutes largo por

el maacutes corto la solucioacuten seriacutea 1618

260


26 Donde no se encuentra esta proporcioacuten por mucho que corra el bulo es

en el logotipo de Apple Muchos han caiacutedo en atribuir al logo esta cualidad

teniendo en cuenta la conocida obsesioacuten de la compantildeiacutea por perfeccionar el

disentildeo de sus productos hasta el extremo Pero en el caso de su logo las

curvas no encajan con las que prescribiriacutea la serie de Fibonacci David Cole

disentildeador publicoacute la prueba hace poco maacutes de un antildeo La famosa manzana

gustaraacute maacutes o menos pero no es aacuteurea

27 Algunas fuentes aseguran que el estadio Santiago Bernabeacuteu tiene unas

medidas de proporcioacuten casi aacuteurea (106x66=1606) Pero la verdad es que

seguacuten la informacioacuten oficial del Real Madrid esto no es asiacute su campo mide

105x68 metros lo que se traduce en una proporcioacuten de 154

28 Si cumplir con la proporcioacuten aacuteurea hace que el cuerpo de una estatua sea

bello y esteacutetico iquesthay personas reales que nos resulten especialmente

atractivas por lo mismo Al parecer siacute Kelly Brooks es una modelo britaacutenica

y ha sido elegida como la mujer maacutes proacutexima a la proporcioacuten aacuteurea seguacuten el

cirujano plaacutestico Patrick Malluci y la Universidad de Texas

29 El arquitecto suizo Le Corbusier utilizoacute el nuacutemero aacuteureo en muchos de

sus disentildeo y como base de un nuevo sistema meacutetrico que propuso como

261


alternativo al sistema meacutetrico decimal y al sistema anglosajoacuten de medidas La

idea era utilizarlo en arquitectura arte y disentildeo a nivel mundial de forma que

todo fuese siempre compatible ademaacutes de maacutes bello y pensado con el

hombre como dentro de todo Si el patroacuten del sistema meacutetrico era el metro el

del sistema Modulor como lo llamoacute era la medida del hombre Sobra decir

que su ambiciosa idea no llegoacute a triunfar

30 Donde siacute se ha infiltrado en este caso la sucesioacuten de Fibonacci es en el

juego de la Bolsa Entre las herramientas que utilizan los analistas para

intentar predecir el comportamiento de un valor (es decir si subiraacute o bajaraacute y

por tanto si conviene invertir en eacutel o no) estaacuten las proyecciones de Fibonacci

Marcan niveles en los que se pueden producir picos en la graacutefica tanto

rebotes de subida si el valor estaacute cayendo como de bajada si se encuentra al

alza

CONCLUSIONES

La bibliografiacutea disponible sobre el nuacutemero de oro es copiosa por tanto se ha

seleccionado los toacutepicos que me han parecido maacutes interesantes

Este trabajo estaraacute disponible para que los estudiantes que se interesen por

el tema lo ampliacuteen hasta sus necesidades

Todos los temas tratados tienen solamente un pequentildea introduccioacuten para

poder abarcar un nuacutemero mayor de toacutepicos

En la red se encuentran estudio profundo y detallado de la intervencioacuten del

nuacutemero de oro en todo lo que nos rodea e incluso en aquello que no

podemos ver

La maacutes importante pude conocer muchas cosas que no imaginaba pero que

ahora puedo investigar con mayor intereacutes

262


Agradezco al profesor de la asignatura ldquoorigen de la ciencia modernardquo por la

oportunidad de hacer un trabajo de algo que me interesoacute y que fue un placer

realizarlo

BIBLIOGRAFIA

Circo matemaacutetico Martin Gardner Alianza Editorial El mundo de las matemaacuteticas sigma Editorial Grijalbo El nuacutemero de oro Matila C Ghyka Ed Poseidoacuten Instantaacuteneas matemaacuteticas Hugo Steinhaus Ed Salvat Matemaacuteticas e imaginacioacuten E KasnerJ Newman Ed Salvat Miscelaacutenea matemaacutetica Martin Gardner Ed Salvat YouTube videos vistos

CIBERGRAFIA

httpaverroescecjunta-andaluciaesrecursos_informaticosconcursoaccesit3

httpeswikipediaorg

httpplateapnticmeces~aperez4 httpwwwenigma-ticocomfibonaccihtml

httpwwwisfticmepsydesw3eosMaterialesEducativossecundariamatema

ticas

phimarcoprincipalhtm

httpwwwmathsoftcom httpwwwmcssurreyacukPersonalRKnottFibonaccifibhtml httpwwwmcssurreyacukPersonalRKnottFibonacciphi2DGeomTrightml

263


httpwwwtecnocienciaesmonograficosConstantesindexhtml

httpwwwportalplanetasednacomarpagina_nueva_5htm

httpspanishfxstreetcomprivateresourcescontent109510contentaspme

nu=knowledge

httpwwwsciencemagorgcgicontentabstract3275962177

GRACIAS UNAM OCTUBRE 2016

Tesis presentada como requisito parcial para optar al tiacutetulo de

Magister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales

Director

Carlos Julio Echavarriacutea Hincapieacute

Matemaacutetico


Facultad de ciencias

Escuela de Matemaacutetica


(INCLUYE ANEXO SOBRE EL NUMERO DE ORO)

2012

III





IV










circulo alargado

Carl Sagan Cosmos

V


Agradecimientos













aportes


el momento justo




VI


Resumen
















las coacutenicas



luna

VII


Abstract








of leisure time









VIII


Contenido

Paacuteg
















IX


Lista de Figuras

PAG












X


Lista de Tablas

PAG


















XI


Anexos

Paacuteg








Introduccioacuten




Platoacuten










focos de la elipse















13



por la tierra
























14






hombros de gigantes

Isaac Newton




12 Propuesta












15



















del tiempo libre












aprendiendo





interactivo

16







etapas





de ideas
























17
















una de ellas







conceptual







18




































19




cielo3



























20


















ella








los equinoccios











21












siguiente tabla








22











23












24

































25







cortarla























26





























27














28








(amblitoma)









29









































30























En donde





F =G Mm

R2


31


















los aacutetomos















32




















33




















estrellas







34




proporcional


















rotacioacuten


35



Leyes de Kepler




todo de Marte











constante






este por la mitad

36

















37






(afelio)





tiempo orbital






estrella

















38









Afelio = a (1 + e)



calculando

Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA

Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA











39



















Mercurio 0206 0387

Venus 0007 0723

Tierra 0017 100

Marte 0093 152


Saturno 0056 954

Urano 0047 1918

Neptuno 0009 3006





elipse






40



149578308 = 21692 Km











central













41







kiloacutemetros



















en estudiarle















42


























43









ciacuterculo6











6 Ibid

44














coacutenicas














eje



45



en el veacutertice






ecuacioacuten

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0








con un (y-k)




x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1

4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1


y = plusmn (ba)x


x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1

4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1


x = plusmn (ba)y






p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2


46



origen es constante

























excentricidad (ε)





47











31 Teacutecnicas


















periodos




48










noviembre)










y 3deg periodos)



Test inicial









coacutenicas

49





















estudiante





coacutenicas













50











51




primera vez

Thomas S Eliot









antildeos



0

10

20

30

40

50

60

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

52



astronomiacutea
















0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

si

No

53




0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

El hombrebusca

explicarcomo

funciona elunivrso

La cienciabusca

respuestas

El hombrehace


El universoes

matemaacutetica



Si

No

No se sabe

54








modelos













0

5

10

15

20

25

30

35

40


coacutenica


conicas

localiza elcentro



dibjurlas


parabola

eleipse

hiperbola

circulo

55























calificativo

0

5

10

15

20

25

30

35

40


56






pregunta 2 3 4 5


4 2 2 40


1

6 2 39


2

6

20

20


1 6 1 40


2 2

2

42

57



De la paraacutebola

pregunta 2 3 4 5


23

16

1

10


4

6

2

36


3

12

3

30


28

12

7

1


2

6

22

18


4

6

21

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5






58




1

4

13

30


2

15

14

17



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35

4 6

2

36

3

12

3

30 28

12

7

1 2

6

22

18

4 6

21

17

1

4

13

30

2

15 14

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5









59



5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14


4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

60



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35


5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14

05

1015202530354045

La f

acili

dad

en

la c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

es

Iden

tifi

caci

oacuten

de

los

div

erso

sel

emen

tos

An

aacutelis

is a

lgeb

raic

o s

e fa

cilit

a

Co

mp

lejid

ad e

n c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

La g

uiacutea

pe

rmit

e m

ayo

rco

mp

ren

sioacute

n d

el t

em

aLa

def

inic

ioacuten

de

elip

se s

eaj

ust

a o

co

mp

ara

con

lo q

ue

hellip

Se lo

gra

un

a co

mp

ren

sioacute

n d

esu

ecu

acioacute

n

Se c

om

pre

nd

e f

aacutecilm

ente

lafa

cto

riza

cioacute

n p

ara

ob

ten

er s

uhellip

Co

mp

ren

des

to

das

las

pro

pie

dad

es d

e la

elip

se

La g

uiacutea

pe

rmit

e u

na

com

pre

nsi

oacuten

co

mp

leta

del

hellip

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2

3

4

5

61



4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

Hipeacuterbola

2 3 4 5


3 3 6 36


3 1 12 32


7 9 18 16


6 6 6 30


13 15 1 22


2 8 5 33


30 2 10 6

62







05

10152025303540

La f

acili

dad

par

a la

con

stru

ccioacute

n d

e la

hip

eacuterb

ola

es

Se e

nti

end

en la

sm

edid

as t

om

adas

com

o u

na

exp

licac

ioacuten

hellip

Es a

plic

able

en

laco

tid

ian

idad

La f

acili

dad

en

ded

ucc

ioacuten

alg

eb

raic

ad

e su

ecu

acioacute

n e

s

Pu

ede

s as

oci

ar s

ugr

aacutefic

a a

eve

nto

sas

tro

noacute

mic

os

Pu

ede

s id

enti

fica

rto

do

s lo

s el

em

en

tos

qu

e la

co

nst

itu

yen

Co

no

ces

ob

jeto

s q

ue

ten

gan

su

fo

rma

24 25 26 27 28 29 30

2

3

4

5

42

40

45



El 4deg periodo

El antildeo escolar

63










las coacutenicas

13 4

33 40

10


1--14

15-28

29-42

43-56

57-71

4 9

6

54

27


10deg3

00-10

11-20

21-30

31-40

41-50

64









65





Blas Pascal



sus elementos














referimos




ecuaciones


se me confunden




66





las distingo




universo









partida








coacutenicas


cuerpos celestes


factorizacioacuten



67



coacutenicas

52 Del profesor







68











69






53 Recomendaciones





54 Inquietudes


que hay





70





71


BIBLIOGRAFIA












72







73




Y NATURALES


GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

____







conoces____________________________________________________________





Coacutenica__________________________________________________________





74



Coacutenicas____________________________________________


___________________________________________________________________

_______________________


Si__No__Cuales______________________________

___________________________________________________________________

_______________________


Porqueacute_______________________

___________________________________________________________________

________________________









75


Anexo B




NOMBRE___________________________________________________________

____









ELIPSE

76






llamada elipse

CIRCUNFERENCIA







PARABOLA



77










HIPERBOLA












78


Anexo C

79


Horizontales

80




























celeste


81




Verticales









82


83


Anexo D




GRUPO AacuteBACO


















______________________


regla

84





__________________________________________________________






__________________________________________________________





22 )0()( YXP =


entre dos puntos

85



de los radicales



5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________


Semejantes


Teacuterminos













segmento horizontal





86





nombre




d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________

D(F1T)+d(TF2)=__________

D(F1B)+d(BF2)=__________


_________________________________________________________________


distancias

___________________________________________________________________

_________________________________________________________

Actividad IV

P(xy)

Q ( )

O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)

Y

X

87







2 aycxycx 22222


puntos

3 _________________________22

ycx


4



5 22222

44 ycxacxacx


6

22222 4__________4__ ycxaacx


binomio







semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


13 2

2

2

2

1b

y

a

x



88




Actividad V













6


nombre____________________________________________________



mediciones

89


Distancia de F al

punto


F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_





__________________________________________________________





__________________________________________________________







lo que obtienes



hipeacuterbola___________________________________________________

90



__________________________




___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________________________


JUSTIFICACIOacuteN


2 aycx 2_______________0

22


entre dos puntos

3 _________________________22

ycx


4



91


5

2222244 ycxacxacx


semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx






radicales




semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x



Pitaacutegoras


92





NOMBRE___________________________________________________________














R=2




93




A B

C

D


a

ndashy2 =1 b

- y=1 c

+ 1 = d


a y=1 b x=2 c x=1 d x=0



a x-x2 b2-

c 2x- x2 d 2x+ x2

94


a b

c

d







+

= 1





95






96





objetos uacutetiles

97







98






99







100






101







102


103


104




POR


PROFESOR





SEDE MEDELLIacuteN

MAYO 2011

105



INTRODUCCION 3


2 HISTORIA 9








361 Φ EN ABEJAS 51




365 Φ EN FLORES 63

366 Φ EN FRUTOS 64











106




CONCLUSIONES 103

BIBLIOGRAFIA 105

107


INTRODUCCIOacuteN























Fibonacci-




108








109



Φ





a continuacioacuten

Binario 11001111000110111011

Decimal 16180339887498948482



Algebraico

110












Universal




111



de cada una































112






1 Fi) y radic5-























113






















instrumento

114


2 HISTORIA


115










Serie de Fibonacci


116















117



o bien






grande como el 610



Fibonacci


















118



hacer dos








dominoacute







119







120




POLIEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

MODELO







3 3 3 5 4


1


VOLUMEN





siguiente




121




sea plana





















122















123



















124





entendemos hoy




aacuteureo



125










126















(ahora hipotenusa)

127


63 Curiosidades



128









129













130




131












foacutermula



Ordenando


132











133



En general








134







135








632

136















137




633






138





C

139








140


de donde finalmente



En el pentagrama




141










142













un dodecaedro


143




















OC






144



ordm1085

)25(middotordm180

n

)2n(middotordm180


5ordm36

2

ordm108ordm180


)5

(cosmiddot2





145




146




147





148






149




150


El Partenoacuten



Templo de Ceres

151





152



153


154





155




156








157








158



35 Φ EN LA PINTURA



159















160















161












ojo derecho



162




163












164




Fibonacci

165









habitacioacuten











166









167




361 Abejas


168





su cabeza







169














38deg








170


171


172







la serie

173



174


175


364 Φ en plantas

176


177




178




Fractales




179







180








181



desde el aire

182



183






184






185








186



187


366 Φ en frutos




188





nuacutemero






189








distancia entre las



longitud del dedo

190








191






aacuteureas






192










193




194



195


635 Human Age


637 Key Attributes

0 Gestation

Conception

1 Newborn

Birth

1 Infant

Walking vocalizing

2 Toddler


3 Toddler


training

5 Early child


8 Mid child


wrong



21 Young adult






parenting role



196



AARP

89 Completion




197


198


















199














200








201





202





















los radiolarios




















203


















mundo mineral











sus proporciones en





204


















creacioacuten

















205

















regulares

















C60

206

















































hexaacutegonos

207

















208

































figura en su libro

209

















en Jena


























segundo

210








211



212


213



214




215


5 Φ EN LA MUSICA







que otras




216













217



218














primero



219







grupos de 2 y 3)










220






221






222






223






224









64 Obras selectas







4628 = 1642

225
















226





































227






























228








229

















230







231




1 I

1 am

2 sitting

3 quieacutetalo

5 listening for the






7 Φ EN LA LUTIERIA


232




233


8 Φ EN EL UNIVERSO

234


Dimensi

on

(km)

Proporti

on

(Earth=1

)

Mathematic

al

Expression




Hypotenuse 103207

7

1618

(Φ) C


Radius)

1618



235








236




millones de Km


distancias de los

sucesivos planetas

Mercurio 579 1

Venus 1082 1869

Tierra 1496 1383

Marte 2279 1523

Ceres 4137 1815


Saturno 14335 1841

Urano 28725 2004

Neptuno 44951 1565


Total 16187

Media 16187

Numero Phi 16180

237




238









239








vez 1618













240


241














242







243



244









(sucesioacute

n A003823 en OEIS)

donde


y



Ramanujan


infinito




245






de τ

651 Ejemplos




246


9 RESUMEN



247
























forma siguiente

248


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

4181 6765 10946 17711 28657










aacuteureo





249













250




















1202




89 y 144

251






11

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1597=4147=11x377

89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567=11x1597








252
















253



















254










cumpliendo








fenoacutemenos





255



















256



forma consciente






715 En el arte









257
















258




Gris






instrumentos







259



una joya preciosa







260




















261














alza

CONCLUSIONES









podemos ver



262




realizarlo

BIBLIOGRAFIA


CIBERGRAFIA


httpeswikipediaorg



ticas



263





nu=knowledge



III





IV










circulo alargado

Carl Sagan Cosmos

V


Agradecimientos













aportes


el momento justo




VI


Resumen
















las coacutenicas



luna

VII


Abstract








of leisure time









VIII


Contenido

Paacuteg
















IX


Lista de Figuras

PAG












X


Lista de Tablas

PAG


















XI


Anexos

Paacuteg








Introduccioacuten




Platoacuten










focos de la elipse















13



por la tierra
























14






hombros de gigantes

Isaac Newton




12 Propuesta












15



















del tiempo libre












aprendiendo





interactivo

16







etapas





de ideas
























17
















una de ellas







conceptual







18




































19




cielo3



























20


















ella








los equinoccios











21












siguiente tabla








22











23












24

































25







cortarla























26





























27














28








(amblitoma)









29









































30























En donde





F =G Mm

R2


31


















los aacutetomos















32




















33




















estrellas







34




proporcional


















rotacioacuten


35



Leyes de Kepler




todo de Marte











constante






este por la mitad

36

















37






(afelio)





tiempo orbital






estrella

















38









Afelio = a (1 + e)



calculando

Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA

Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA











39



















Mercurio 0206 0387

Venus 0007 0723

Tierra 0017 100

Marte 0093 152


Saturno 0056 954

Urano 0047 1918

Neptuno 0009 3006





elipse






40



149578308 = 21692 Km











central













41







kiloacutemetros



















en estudiarle















42


























43









ciacuterculo6











6 Ibid

44














coacutenicas














eje



45



en el veacutertice






ecuacioacuten

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0








con un (y-k)




x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1

4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1


y = plusmn (ba)x


x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1

4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1


x = plusmn (ba)y






p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2


46



origen es constante

























excentricidad (ε)





47











31 Teacutecnicas


















periodos




48










noviembre)










y 3deg periodos)



Test inicial









coacutenicas

49





















estudiante





coacutenicas













50











51




primera vez

Thomas S Eliot









antildeos



0

10

20

30

40

50

60

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

52



astronomiacutea
















0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

si

No

53




0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

El hombrebusca

explicarcomo

funciona elunivrso

La cienciabusca

respuestas

El hombrehace


El universoes

matemaacutetica



Si

No

No se sabe

54








modelos













0

5

10

15

20

25

30

35

40


coacutenica


conicas

localiza elcentro



dibjurlas


parabola

eleipse

hiperbola

circulo

55























calificativo

0

5

10

15

20

25

30

35

40


56






pregunta 2 3 4 5


4 2 2 40


1

6 2 39


2

6

20

20


1 6 1 40


2 2

2

42

57



De la paraacutebola

pregunta 2 3 4 5


23

16

1

10


4

6

2

36


3

12

3

30


28

12

7

1


2

6

22

18


4

6

21

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5






58




1

4

13

30


2

15

14

17



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35

4 6

2

36

3

12

3

30 28

12

7

1 2

6

22

18

4 6

21

17

1

4

13

30

2

15 14

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5









59



5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14


4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

60



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35


5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14

05

1015202530354045

La f

acili

dad

en

la c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

es

Iden

tifi

caci

oacuten

de

los

div

erso

sel

emen

tos

An

aacutelis

is a

lgeb

raic

o s

e fa

cilit

a

Co

mp

lejid

ad e

n c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

La g

uiacutea

pe

rmit

e m

ayo

rco

mp

ren

sioacute

n d

el t

em

aLa

def

inic

ioacuten

de

elip

se s

eaj

ust

a o

co

mp

ara

con

lo q

ue

hellip

Se lo

gra

un

a co

mp

ren

sioacute

n d

esu

ecu

acioacute

n

Se c

om

pre

nd

e f

aacutecilm

ente

lafa

cto

riza

cioacute

n p

ara

ob

ten

er s

uhellip

Co

mp

ren

des

to

das

las

pro

pie

dad

es d

e la

elip

se

La g

uiacutea

pe

rmit

e u

na

com

pre

nsi

oacuten

co

mp

leta

del

hellip

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2

3

4

5

61



4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

Hipeacuterbola

2 3 4 5


3 3 6 36


3 1 12 32


7 9 18 16


6 6 6 30


13 15 1 22


2 8 5 33


30 2 10 6

62







05

10152025303540

La f

acili

dad

par

a la

con

stru

ccioacute

n d

e la

hip

eacuterb

ola

es

Se e

nti

end

en la

sm

edid

as t

om

adas

com

o u

na

exp

licac

ioacuten

hellip

Es a

plic

able

en

laco

tid

ian

idad

La f

acili

dad

en

ded

ucc

ioacuten

alg

eb

raic

ad

e su

ecu

acioacute

n e

s

Pu

ede

s as

oci

ar s

ugr

aacutefic

a a

eve

nto

sas

tro

noacute

mic

os

Pu

ede

s id

enti

fica

rto

do

s lo

s el

em

en

tos

qu

e la

co

nst

itu

yen

Co

no

ces

ob

jeto

s q

ue

ten

gan

su

fo

rma

24 25 26 27 28 29 30

2

3

4

5

42

40

45



El 4deg periodo

El antildeo escolar

63










las coacutenicas

13 4

33 40

10


1--14

15-28

29-42

43-56

57-71

4 9

6

54

27


10deg3

00-10

11-20

21-30

31-40

41-50

64









65





Blas Pascal



sus elementos














referimos




ecuaciones


se me confunden




66





las distingo




universo









partida








coacutenicas


cuerpos celestes


factorizacioacuten



67



coacutenicas

52 Del profesor







68











69






53 Recomendaciones





54 Inquietudes


que hay





70





71


BIBLIOGRAFIA












72







73




Y NATURALES


GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

____







conoces____________________________________________________________





Coacutenica__________________________________________________________





74



Coacutenicas____________________________________________


___________________________________________________________________

_______________________


Si__No__Cuales______________________________

___________________________________________________________________

_______________________


Porqueacute_______________________

___________________________________________________________________

________________________









75


Anexo B




NOMBRE___________________________________________________________

____









ELIPSE

76






llamada elipse

CIRCUNFERENCIA







PARABOLA



77










HIPERBOLA












78


Anexo C

79


Horizontales

80




























celeste


81




Verticales









82


83


Anexo D




GRUPO AacuteBACO


















______________________


regla

84





__________________________________________________________






__________________________________________________________





22 )0()( YXP =


entre dos puntos

85



de los radicales



5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________


Semejantes


Teacuterminos













segmento horizontal





86





nombre




d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________

D(F1T)+d(TF2)=__________

D(F1B)+d(BF2)=__________


_________________________________________________________________


distancias

___________________________________________________________________

_________________________________________________________

Actividad IV

P(xy)

Q ( )

O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)

Y

X

87







2 aycxycx 22222


puntos

3 _________________________22

ycx


4



5 22222

44 ycxacxacx


6

22222 4__________4__ ycxaacx


binomio







semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


13 2

2

2

2

1b

y

a

x



88




Actividad V













6


nombre____________________________________________________



mediciones

89


Distancia de F al

punto


F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_





__________________________________________________________





__________________________________________________________







lo que obtienes



hipeacuterbola___________________________________________________

90



__________________________




___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________________________


JUSTIFICACIOacuteN


2 aycx 2_______________0

22


entre dos puntos

3 _________________________22

ycx


4



91


5

2222244 ycxacxacx


semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx






radicales




semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x



Pitaacutegoras


92





NOMBRE___________________________________________________________














R=2




93




A B

C

D


a

ndashy2 =1 b

- y=1 c

+ 1 = d


a y=1 b x=2 c x=1 d x=0



a x-x2 b2-

c 2x- x2 d 2x+ x2

94


a b

c

d







+

= 1





95






96





objetos uacutetiles

97







98






99







100






101







102


103


104




POR


PROFESOR





SEDE MEDELLIacuteN

MAYO 2011

105



INTRODUCCION 3


2 HISTORIA 9








361 Φ EN ABEJAS 51




365 Φ EN FLORES 63

366 Φ EN FRUTOS 64











106




CONCLUSIONES 103

BIBLIOGRAFIA 105

107


INTRODUCCIOacuteN























Fibonacci-




108








109



Φ





a continuacioacuten

Binario 11001111000110111011

Decimal 16180339887498948482



Algebraico

110












Universal




111



de cada una































112






1 Fi) y radic5-























113






















instrumento

114


2 HISTORIA


115










Serie de Fibonacci


116















117



o bien






grande como el 610



Fibonacci


















118



hacer dos








dominoacute







119







120




POLIEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

MODELO







3 3 3 5 4


1


VOLUMEN





siguiente




121




sea plana





















122















123



















124





entendemos hoy




aacuteureo



125










126















(ahora hipotenusa)

127


63 Curiosidades



128









129













130




131












foacutermula



Ordenando


132











133



En general








134







135








632

136















137




633






138





C

139








140


de donde finalmente



En el pentagrama




141










142













un dodecaedro


143




















OC






144



ordm1085

)25(middotordm180

n

)2n(middotordm180


5ordm36

2

ordm108ordm180


)5

(cosmiddot2





145




146




147





148






149




150


El Partenoacuten



Templo de Ceres

151





152



153


154





155




156








157








158



35 Φ EN LA PINTURA



159















160















161












ojo derecho



162




163












164




Fibonacci

165









habitacioacuten











166









167




361 Abejas


168





su cabeza







169














38deg








170


171


172







la serie

173



174


175


364 Φ en plantas

176


177




178




Fractales




179







180








181



desde el aire

182



183






184






185








186



187


366 Φ en frutos




188





nuacutemero






189








distancia entre las



longitud del dedo

190








191






aacuteureas






192










193




194



195


635 Human Age


637 Key Attributes

0 Gestation

Conception

1 Newborn

Birth

1 Infant

Walking vocalizing

2 Toddler


3 Toddler


training

5 Early child


8 Mid child


wrong



21 Young adult






parenting role



196



AARP

89 Completion




197


198


















199














200








201





202





















los radiolarios




















203


















mundo mineral











sus proporciones en





204


















creacioacuten

















205

















regulares

















C60

206

















































hexaacutegonos

207

















208

































figura en su libro

209

















en Jena


























segundo

210








211



212


213



214




215


5 Φ EN LA MUSICA







que otras




216













217



218














primero



219







grupos de 2 y 3)










220






221






222






223






224









64 Obras selectas







4628 = 1642

225
















226





































227






























228








229

















230







231




1 I

1 am

2 sitting

3 quieacutetalo

5 listening for the






7 Φ EN LA LUTIERIA


232




233


8 Φ EN EL UNIVERSO

234


Dimensi

on

(km)

Proporti

on

(Earth=1

)

Mathematic

al

Expression




Hypotenuse 103207

7

1618

(Φ) C


Radius)

1618



235








236




millones de Km


distancias de los

sucesivos planetas

Mercurio 579 1

Venus 1082 1869

Tierra 1496 1383

Marte 2279 1523

Ceres 4137 1815


Saturno 14335 1841

Urano 28725 2004

Neptuno 44951 1565


Total 16187

Media 16187

Numero Phi 16180

237




238









239








vez 1618













240


241














242







243



244









(sucesioacute

n A003823 en OEIS)

donde


y



Ramanujan


infinito




245






de τ

651 Ejemplos




246


9 RESUMEN



247
























forma siguiente

248


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

4181 6765 10946 17711 28657










aacuteureo





249













250




















1202




89 y 144

251






11

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1597=4147=11x377

89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567=11x1597








252
















253



















254










cumpliendo








fenoacutemenos





255



















256



forma consciente






715 En el arte









257
















258




Gris






instrumentos







259



una joya preciosa







260




















261














alza

CONCLUSIONES









podemos ver



262




realizarlo

BIBLIOGRAFIA


CIBERGRAFIA


httpeswikipediaorg



ticas



263





nu=knowledge



IV










circulo alargado

Carl Sagan Cosmos

V


Agradecimientos













aportes


el momento justo




VI


Resumen
















las coacutenicas



luna

VII


Abstract








of leisure time









VIII


Contenido

Paacuteg
















IX


Lista de Figuras

PAG












X


Lista de Tablas

PAG


















XI


Anexos

Paacuteg








Introduccioacuten




Platoacuten










focos de la elipse















13



por la tierra
























14






hombros de gigantes

Isaac Newton




12 Propuesta












15



















del tiempo libre












aprendiendo





interactivo

16







etapas





de ideas
























17
















una de ellas







conceptual







18




































19




cielo3



























20


















ella








los equinoccios











21












siguiente tabla








22











23












24

































25







cortarla























26





























27














28








(amblitoma)









29









































30























En donde





F =G Mm

R2


31


















los aacutetomos















32




















33




















estrellas







34




proporcional


















rotacioacuten


35



Leyes de Kepler




todo de Marte











constante






este por la mitad

36

















37






(afelio)





tiempo orbital






estrella

















38









Afelio = a (1 + e)



calculando

Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA

Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA











39



















Mercurio 0206 0387

Venus 0007 0723

Tierra 0017 100

Marte 0093 152


Saturno 0056 954

Urano 0047 1918

Neptuno 0009 3006





elipse






40



149578308 = 21692 Km











central













41







kiloacutemetros



















en estudiarle















42


























43









ciacuterculo6











6 Ibid

44














coacutenicas














eje



45



en el veacutertice






ecuacioacuten

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0








con un (y-k)




x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1

4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1


y = plusmn (ba)x


x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1

4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1


x = plusmn (ba)y






p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2


46



origen es constante

























excentricidad (ε)





47











31 Teacutecnicas


















periodos




48










noviembre)










y 3deg periodos)



Test inicial









coacutenicas

49





















estudiante





coacutenicas













50











51




primera vez

Thomas S Eliot









antildeos



0

10

20

30

40

50

60

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

52



astronomiacutea
















0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

si

No

53




0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

El hombrebusca

explicarcomo

funciona elunivrso

La cienciabusca

respuestas

El hombrehace


El universoes

matemaacutetica



Si

No

No se sabe

54








modelos













0

5

10

15

20

25

30

35

40


coacutenica


conicas

localiza elcentro



dibjurlas


parabola

eleipse

hiperbola

circulo

55























calificativo

0

5

10

15

20

25

30

35

40


56






pregunta 2 3 4 5


4 2 2 40


1

6 2 39


2

6

20

20


1 6 1 40


2 2

2

42

57



De la paraacutebola

pregunta 2 3 4 5


23

16

1

10


4

6

2

36


3

12

3

30


28

12

7

1


2

6

22

18


4

6

21

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5






58




1

4

13

30


2

15

14

17



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35

4 6

2

36

3

12

3

30 28

12

7

1 2

6

22

18

4 6

21

17

1

4

13

30

2

15 14

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5









59



5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14


4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

60



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35


5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14

05

1015202530354045

La f

acili

dad

en

la c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

es

Iden

tifi

caci

oacuten

de

los

div

erso

sel

emen

tos

An

aacutelis

is a

lgeb

raic

o s

e fa

cilit

a

Co

mp

lejid

ad e

n c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

La g

uiacutea

pe

rmit

e m

ayo

rco

mp

ren

sioacute

n d

el t

em

aLa

def

inic

ioacuten

de

elip

se s

eaj

ust

a o

co

mp

ara

con

lo q

ue

hellip

Se lo

gra

un

a co

mp

ren

sioacute

n d

esu

ecu

acioacute

n

Se c

om

pre

nd

e f

aacutecilm

ente

lafa

cto

riza

cioacute

n p

ara

ob

ten

er s

uhellip

Co

mp

ren

des

to

das

las

pro

pie

dad

es d

e la

elip

se

La g

uiacutea

pe

rmit

e u

na

com

pre

nsi

oacuten

co

mp

leta

del

hellip

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2

3

4

5

61



4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

Hipeacuterbola

2 3 4 5


3 3 6 36


3 1 12 32


7 9 18 16


6 6 6 30


13 15 1 22


2 8 5 33


30 2 10 6

62







05

10152025303540

La f

acili

dad

par

a la

con

stru

ccioacute

n d

e la

hip

eacuterb

ola

es

Se e

nti

end

en la

sm

edid

as t

om

adas

com

o u

na

exp

licac

ioacuten

hellip

Es a

plic

able

en

laco

tid

ian

idad

La f

acili

dad

en

ded

ucc

ioacuten

alg

eb

raic

ad

e su

ecu

acioacute

n e

s

Pu

ede

s as

oci

ar s

ugr

aacutefic

a a

eve

nto

sas

tro

noacute

mic

os

Pu

ede

s id

enti

fica

rto

do

s lo

s el

em

en

tos

qu

e la

co

nst

itu

yen

Co

no

ces

ob

jeto

s q

ue

ten

gan

su

fo

rma

24 25 26 27 28 29 30

2

3

4

5

42

40

45



El 4deg periodo

El antildeo escolar

63










las coacutenicas

13 4

33 40

10


1--14

15-28

29-42

43-56

57-71

4 9

6

54

27


10deg3

00-10

11-20

21-30

31-40

41-50

64









65





Blas Pascal



sus elementos














referimos




ecuaciones


se me confunden




66





las distingo




universo









partida








coacutenicas


cuerpos celestes


factorizacioacuten



67



coacutenicas

52 Del profesor







68











69






53 Recomendaciones





54 Inquietudes


que hay





70





71


BIBLIOGRAFIA












72







73




Y NATURALES


GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

____







conoces____________________________________________________________





Coacutenica__________________________________________________________





74



Coacutenicas____________________________________________


___________________________________________________________________

_______________________


Si__No__Cuales______________________________

___________________________________________________________________

_______________________


Porqueacute_______________________

___________________________________________________________________

________________________









75


Anexo B




NOMBRE___________________________________________________________

____









ELIPSE

76






llamada elipse

CIRCUNFERENCIA







PARABOLA



77










HIPERBOLA












78


Anexo C

79


Horizontales

80




























celeste


81




Verticales









82


83


Anexo D




GRUPO AacuteBACO


















______________________


regla

84





__________________________________________________________






__________________________________________________________





22 )0()( YXP =


entre dos puntos

85



de los radicales



5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________


Semejantes


Teacuterminos













segmento horizontal





86





nombre




d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________

D(F1T)+d(TF2)=__________

D(F1B)+d(BF2)=__________


_________________________________________________________________


distancias

___________________________________________________________________

_________________________________________________________

Actividad IV

P(xy)

Q ( )

O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)

Y

X

87







2 aycxycx 22222


puntos

3 _________________________22

ycx


4



5 22222

44 ycxacxacx


6

22222 4__________4__ ycxaacx


binomio







semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


13 2

2

2

2

1b

y

a

x



88




Actividad V













6


nombre____________________________________________________



mediciones

89


Distancia de F al

punto


F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_





__________________________________________________________





__________________________________________________________







lo que obtienes



hipeacuterbola___________________________________________________

90



__________________________




___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________________________


JUSTIFICACIOacuteN


2 aycx 2_______________0

22


entre dos puntos

3 _________________________22

ycx


4



91


5

2222244 ycxacxacx


semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx






radicales




semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x



Pitaacutegoras


92





NOMBRE___________________________________________________________














R=2




93




A B

C

D


a

ndashy2 =1 b

- y=1 c

+ 1 = d


a y=1 b x=2 c x=1 d x=0



a x-x2 b2-

c 2x- x2 d 2x+ x2

94


a b

c

d







+

= 1





95






96





objetos uacutetiles

97







98






99







100






101







102


103


104




POR


PROFESOR





SEDE MEDELLIacuteN

MAYO 2011

105



INTRODUCCION 3


2 HISTORIA 9








361 Φ EN ABEJAS 51




365 Φ EN FLORES 63

366 Φ EN FRUTOS 64











106




CONCLUSIONES 103

BIBLIOGRAFIA 105

107


INTRODUCCIOacuteN























Fibonacci-




108








109



Φ





a continuacioacuten

Binario 11001111000110111011

Decimal 16180339887498948482



Algebraico

110












Universal




111



de cada una































112






1 Fi) y radic5-























113






















instrumento

114


2 HISTORIA


115










Serie de Fibonacci


116















117



o bien






grande como el 610



Fibonacci


















118



hacer dos








dominoacute







119







120




POLIEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

MODELO







3 3 3 5 4


1


VOLUMEN





siguiente




121




sea plana





















122















123



















124





entendemos hoy




aacuteureo



125










126















(ahora hipotenusa)

127


63 Curiosidades



128









129













130




131












foacutermula



Ordenando


132











133



En general








134







135








632

136















137




633






138





C

139








140


de donde finalmente



En el pentagrama




141










142













un dodecaedro


143




















OC






144



ordm1085

)25(middotordm180

n

)2n(middotordm180


5ordm36

2

ordm108ordm180


)5

(cosmiddot2





145




146




147





148






149




150


El Partenoacuten



Templo de Ceres

151





152



153


154





155




156








157








158



35 Φ EN LA PINTURA



159















160















161












ojo derecho



162




163












164




Fibonacci

165









habitacioacuten











166









167




361 Abejas


168





su cabeza







169














38deg








170


171


172







la serie

173



174


175


364 Φ en plantas

176


177




178




Fractales




179







180








181



desde el aire

182



183






184






185








186



187


366 Φ en frutos




188





nuacutemero






189








distancia entre las



longitud del dedo

190








191






aacuteureas






192










193




194



195


635 Human Age


637 Key Attributes

0 Gestation

Conception

1 Newborn

Birth

1 Infant

Walking vocalizing

2 Toddler


3 Toddler


training

5 Early child


8 Mid child


wrong



21 Young adult






parenting role



196



AARP

89 Completion




197


198


















199














200








201





202





















los radiolarios




















203


















mundo mineral











sus proporciones en





204


















creacioacuten

















205

















regulares

















C60

206

















































hexaacutegonos

207

















208

































figura en su libro

209

















en Jena


























segundo

210








211



212


213



214




215


5 Φ EN LA MUSICA







que otras




216













217



218














primero



219







grupos de 2 y 3)










220






221






222






223






224









64 Obras selectas







4628 = 1642

225
















226





































227






























228








229

















230







231




1 I

1 am

2 sitting

3 quieacutetalo

5 listening for the






7 Φ EN LA LUTIERIA


232




233


8 Φ EN EL UNIVERSO

234


Dimensi

on

(km)

Proporti

on

(Earth=1

)

Mathematic

al

Expression




Hypotenuse 103207

7

1618

(Φ) C


Radius)

1618



235








236




millones de Km


distancias de los

sucesivos planetas

Mercurio 579 1

Venus 1082 1869

Tierra 1496 1383

Marte 2279 1523

Ceres 4137 1815


Saturno 14335 1841

Urano 28725 2004

Neptuno 44951 1565


Total 16187

Media 16187

Numero Phi 16180

237




238









239








vez 1618













240


241














242







243



244









(sucesioacute

n A003823 en OEIS)

donde


y



Ramanujan


infinito




245






de τ

651 Ejemplos




246


9 RESUMEN



247
























forma siguiente

248


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

4181 6765 10946 17711 28657










aacuteureo





249













250




















1202




89 y 144

251






11

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1597=4147=11x377

89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567=11x1597








252
















253



















254










cumpliendo








fenoacutemenos





255



















256



forma consciente






715 En el arte









257
















258




Gris






instrumentos







259



una joya preciosa







260




















261














alza

CONCLUSIONES









podemos ver



262




realizarlo

BIBLIOGRAFIA


CIBERGRAFIA


httpeswikipediaorg



ticas



263





nu=knowledge



V


Agradecimientos













aportes


el momento justo




VI


Resumen
















las coacutenicas



luna

VII


Abstract








of leisure time









VIII


Contenido

Paacuteg
















IX


Lista de Figuras

PAG












X


Lista de Tablas

PAG


















XI


Anexos

Paacuteg








Introduccioacuten




Platoacuten










focos de la elipse















13



por la tierra
























14






hombros de gigantes

Isaac Newton




12 Propuesta












15



















del tiempo libre












aprendiendo





interactivo

16







etapas





de ideas
























17
















una de ellas







conceptual







18




































19




cielo3



























20


















ella








los equinoccios











21












siguiente tabla








22











23












24

































25







cortarla























26





























27














28








(amblitoma)









29









































30























En donde





F =G Mm

R2


31


















los aacutetomos















32




















33




















estrellas







34




proporcional


















rotacioacuten


35



Leyes de Kepler




todo de Marte











constante






este por la mitad

36

















37






(afelio)





tiempo orbital






estrella

















38









Afelio = a (1 + e)



calculando

Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA

Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA











39



















Mercurio 0206 0387

Venus 0007 0723

Tierra 0017 100

Marte 0093 152


Saturno 0056 954

Urano 0047 1918

Neptuno 0009 3006





elipse






40



149578308 = 21692 Km











central













41







kiloacutemetros



















en estudiarle















42


























43









ciacuterculo6











6 Ibid

44














coacutenicas














eje



45



en el veacutertice






ecuacioacuten

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0








con un (y-k)




x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1

4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1


y = plusmn (ba)x


x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1

4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1


x = plusmn (ba)y






p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2


46



origen es constante

























excentricidad (ε)





47











31 Teacutecnicas


















periodos




48










noviembre)










y 3deg periodos)



Test inicial









coacutenicas

49





















estudiante





coacutenicas













50











51




primera vez

Thomas S Eliot









antildeos



0

10

20

30

40

50

60

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

52



astronomiacutea
















0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

si

No

53




0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

El hombrebusca

explicarcomo

funciona elunivrso

La cienciabusca

respuestas

El hombrehace


El universoes

matemaacutetica



Si

No

No se sabe

54








modelos













0

5

10

15

20

25

30

35

40


coacutenica


conicas

localiza elcentro



dibjurlas


parabola

eleipse

hiperbola

circulo

55























calificativo

0

5

10

15

20

25

30

35

40


56






pregunta 2 3 4 5


4 2 2 40


1

6 2 39


2

6

20

20


1 6 1 40


2 2

2

42

57



De la paraacutebola

pregunta 2 3 4 5


23

16

1

10


4

6

2

36


3

12

3

30


28

12

7

1


2

6

22

18


4

6

21

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5






58




1

4

13

30


2

15

14

17



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35

4 6

2

36

3

12

3

30 28

12

7

1 2

6

22

18

4 6

21

17

1

4

13

30

2

15 14

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5









59



5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14


4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

60



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35


5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14

05

1015202530354045

La f

acili

dad

en

la c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

es

Iden

tifi

caci

oacuten

de

los

div

erso

sel

emen

tos

An

aacutelis

is a

lgeb

raic

o s

e fa

cilit

a

Co

mp

lejid

ad e

n c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

La g

uiacutea

pe

rmit

e m

ayo

rco

mp

ren

sioacute

n d

el t

em

aLa

def

inic

ioacuten

de

elip

se s

eaj

ust

a o

co

mp

ara

con

lo q

ue

hellip

Se lo

gra

un

a co

mp

ren

sioacute

n d

esu

ecu

acioacute

n

Se c

om

pre

nd

e f

aacutecilm

ente

lafa

cto

riza

cioacute

n p

ara

ob

ten

er s

uhellip

Co

mp

ren

des

to

das

las

pro

pie

dad

es d

e la

elip

se

La g

uiacutea

pe

rmit

e u

na

com

pre

nsi

oacuten

co

mp

leta

del

hellip

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2

3

4

5

61



4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

Hipeacuterbola

2 3 4 5


3 3 6 36


3 1 12 32


7 9 18 16


6 6 6 30


13 15 1 22


2 8 5 33


30 2 10 6

62







05

10152025303540

La f

acili

dad

par

a la

con

stru

ccioacute

n d

e la

hip

eacuterb

ola

es

Se e

nti

end

en la

sm

edid

as t

om

adas

com

o u

na

exp

licac

ioacuten

hellip

Es a

plic

able

en

laco

tid

ian

idad

La f

acili

dad

en

ded

ucc

ioacuten

alg

eb

raic

ad

e su

ecu

acioacute

n e

s

Pu

ede

s as

oci

ar s

ugr

aacutefic

a a

eve

nto

sas

tro

noacute

mic

os

Pu

ede

s id

enti

fica

rto

do

s lo

s el

em

en

tos

qu

e la

co

nst

itu

yen

Co

no

ces

ob

jeto

s q

ue

ten

gan

su

fo

rma

24 25 26 27 28 29 30

2

3

4

5

42

40

45



El 4deg periodo

El antildeo escolar

63










las coacutenicas

13 4

33 40

10


1--14

15-28

29-42

43-56

57-71

4 9

6

54

27


10deg3

00-10

11-20

21-30

31-40

41-50

64









65





Blas Pascal



sus elementos














referimos




ecuaciones


se me confunden




66





las distingo




universo









partida








coacutenicas


cuerpos celestes


factorizacioacuten



67



coacutenicas

52 Del profesor







68











69






53 Recomendaciones





54 Inquietudes


que hay





70





71


BIBLIOGRAFIA












72







73




Y NATURALES


GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

____







conoces____________________________________________________________





Coacutenica__________________________________________________________





74



Coacutenicas____________________________________________


___________________________________________________________________

_______________________


Si__No__Cuales______________________________

___________________________________________________________________

_______________________


Porqueacute_______________________

___________________________________________________________________

________________________









75


Anexo B




NOMBRE___________________________________________________________

____









ELIPSE

76






llamada elipse

CIRCUNFERENCIA







PARABOLA



77










HIPERBOLA












78


Anexo C

79


Horizontales

80




























celeste


81




Verticales









82


83


Anexo D




GRUPO AacuteBACO


















______________________


regla

84





__________________________________________________________






__________________________________________________________





22 )0()( YXP =


entre dos puntos

85



de los radicales



5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________


Semejantes


Teacuterminos













segmento horizontal





86





nombre




d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________

D(F1T)+d(TF2)=__________

D(F1B)+d(BF2)=__________


_________________________________________________________________


distancias

___________________________________________________________________

_________________________________________________________

Actividad IV

P(xy)

Q ( )

O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)

Y

X

87







2 aycxycx 22222


puntos

3 _________________________22

ycx


4



5 22222

44 ycxacxacx


6

22222 4__________4__ ycxaacx


binomio







semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


13 2

2

2

2

1b

y

a

x



88




Actividad V













6


nombre____________________________________________________



mediciones

89


Distancia de F al

punto


F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_





__________________________________________________________





__________________________________________________________







lo que obtienes



hipeacuterbola___________________________________________________

90



__________________________




___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________________________


JUSTIFICACIOacuteN


2 aycx 2_______________0

22


entre dos puntos

3 _________________________22

ycx


4



91


5

2222244 ycxacxacx


semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx






radicales




semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x



Pitaacutegoras


92





NOMBRE___________________________________________________________














R=2




93




A B

C

D


a

ndashy2 =1 b

- y=1 c

+ 1 = d


a y=1 b x=2 c x=1 d x=0



a x-x2 b2-

c 2x- x2 d 2x+ x2

94


a b

c

d







+

= 1





95






96





objetos uacutetiles

97







98






99







100






101







102


103


104




POR


PROFESOR





SEDE MEDELLIacuteN

MAYO 2011

105



INTRODUCCION 3


2 HISTORIA 9








361 Φ EN ABEJAS 51




365 Φ EN FLORES 63

366 Φ EN FRUTOS 64











106




CONCLUSIONES 103

BIBLIOGRAFIA 105

107


INTRODUCCIOacuteN























Fibonacci-




108








109



Φ





a continuacioacuten

Binario 11001111000110111011

Decimal 16180339887498948482



Algebraico

110












Universal




111



de cada una































112






1 Fi) y radic5-























113






















instrumento

114


2 HISTORIA


115










Serie de Fibonacci


116















117



o bien






grande como el 610



Fibonacci


















118



hacer dos








dominoacute







119







120




POLIEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

MODELO







3 3 3 5 4


1


VOLUMEN





siguiente




121




sea plana





















122















123



















124





entendemos hoy




aacuteureo



125










126















(ahora hipotenusa)

127


63 Curiosidades



128









129













130




131












foacutermula



Ordenando


132











133



En general








134







135








632

136















137




633






138





C

139








140


de donde finalmente



En el pentagrama




141










142













un dodecaedro


143




















OC






144



ordm1085

)25(middotordm180

n

)2n(middotordm180


5ordm36

2

ordm108ordm180


)5

(cosmiddot2





145




146




147





148






149




150


El Partenoacuten



Templo de Ceres

151





152



153


154





155




156








157








158



35 Φ EN LA PINTURA



159















160















161












ojo derecho



162




163












164




Fibonacci

165









habitacioacuten











166









167




361 Abejas


168





su cabeza







169














38deg








170


171


172







la serie

173



174


175


364 Φ en plantas

176


177




178




Fractales




179







180








181



desde el aire

182



183






184






185








186



187


366 Φ en frutos




188





nuacutemero






189








distancia entre las



longitud del dedo

190








191






aacuteureas






192










193




194



195


635 Human Age


637 Key Attributes

0 Gestation

Conception

1 Newborn

Birth

1 Infant

Walking vocalizing

2 Toddler


3 Toddler


training

5 Early child


8 Mid child


wrong



21 Young adult






parenting role



196



AARP

89 Completion




197


198


















199














200








201





202





















los radiolarios




















203


















mundo mineral











sus proporciones en





204


















creacioacuten

















205

















regulares

















C60

206

















































hexaacutegonos

207

















208

































figura en su libro

209

















en Jena


























segundo

210








211



212


213



214




215


5 Φ EN LA MUSICA







que otras




216













217



218














primero



219







grupos de 2 y 3)










220






221






222






223






224









64 Obras selectas







4628 = 1642

225
















226





































227






























228








229

















230







231




1 I

1 am

2 sitting

3 quieacutetalo

5 listening for the






7 Φ EN LA LUTIERIA


232




233


8 Φ EN EL UNIVERSO

234


Dimensi

on

(km)

Proporti

on

(Earth=1

)

Mathematic

al

Expression




Hypotenuse 103207

7

1618

(Φ) C


Radius)

1618



235








236




millones de Km


distancias de los

sucesivos planetas

Mercurio 579 1

Venus 1082 1869

Tierra 1496 1383

Marte 2279 1523

Ceres 4137 1815


Saturno 14335 1841

Urano 28725 2004

Neptuno 44951 1565


Total 16187

Media 16187

Numero Phi 16180

237




238









239








vez 1618













240


241














242







243



244









(sucesioacute

n A003823 en OEIS)

donde


y



Ramanujan


infinito




245






de τ

651 Ejemplos




246


9 RESUMEN



247
























forma siguiente

248


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

4181 6765 10946 17711 28657










aacuteureo





249













250




















1202




89 y 144

251






11

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1597=4147=11x377

89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567=11x1597








252
















253



















254










cumpliendo








fenoacutemenos





255



















256



forma consciente






715 En el arte









257
















258




Gris






instrumentos







259



una joya preciosa







260




















261














alza

CONCLUSIONES









podemos ver



262




realizarlo

BIBLIOGRAFIA


CIBERGRAFIA


httpeswikipediaorg



ticas



263





nu=knowledge



VI


Resumen
















las coacutenicas



luna

VII


Abstract








of leisure time









VIII


Contenido

Paacuteg
















IX


Lista de Figuras

PAG












X


Lista de Tablas

PAG


















XI


Anexos

Paacuteg








Introduccioacuten




Platoacuten










focos de la elipse















13



por la tierra
























14






hombros de gigantes

Isaac Newton




12 Propuesta












15



















del tiempo libre












aprendiendo





interactivo

16







etapas





de ideas
























17
















una de ellas







conceptual







18




































19




cielo3



























20


















ella








los equinoccios











21












siguiente tabla








22











23












24

































25







cortarla























26





























27














28








(amblitoma)









29









































30























En donde





F =G Mm

R2


31


















los aacutetomos















32




















33




















estrellas







34




proporcional


















rotacioacuten


35



Leyes de Kepler




todo de Marte











constante






este por la mitad

36

















37






(afelio)





tiempo orbital






estrella

















38









Afelio = a (1 + e)



calculando

Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA

Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA











39



















Mercurio 0206 0387

Venus 0007 0723

Tierra 0017 100

Marte 0093 152


Saturno 0056 954

Urano 0047 1918

Neptuno 0009 3006





elipse






40



149578308 = 21692 Km











central













41







kiloacutemetros



















en estudiarle















42


























43









ciacuterculo6











6 Ibid

44














coacutenicas














eje



45



en el veacutertice






ecuacioacuten

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0








con un (y-k)




x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1

4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1


y = plusmn (ba)x


x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1

4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1


x = plusmn (ba)y






p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2


46



origen es constante

























excentricidad (ε)





47











31 Teacutecnicas


















periodos




48










noviembre)










y 3deg periodos)



Test inicial









coacutenicas

49





















estudiante





coacutenicas













50











51




primera vez

Thomas S Eliot









antildeos



0

10

20

30

40

50

60

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

52



astronomiacutea
















0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

si

No

53




0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

El hombrebusca

explicarcomo

funciona elunivrso

La cienciabusca

respuestas

El hombrehace


El universoes

matemaacutetica



Si

No

No se sabe

54








modelos













0

5

10

15

20

25

30

35

40


coacutenica


conicas

localiza elcentro



dibjurlas


parabola

eleipse

hiperbola

circulo

55























calificativo

0

5

10

15

20

25

30

35

40


56






pregunta 2 3 4 5


4 2 2 40


1

6 2 39


2

6

20

20


1 6 1 40


2 2

2

42

57



De la paraacutebola

pregunta 2 3 4 5


23

16

1

10


4

6

2

36


3

12

3

30


28

12

7

1


2

6

22

18


4

6

21

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5






58




1

4

13

30


2

15

14

17



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35

4 6

2

36

3

12

3

30 28

12

7

1 2

6

22

18

4 6

21

17

1

4

13

30

2

15 14

17

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5









59



5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14


4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

60



2 3 4 5


2 18 2 26


9

3

1

35


5 9 4 30


5 1 2 40


4 6 2 36


1

4

29

14

05

1015202530354045

La f

acili

dad

en

la c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

es

Iden

tifi

caci

oacuten

de

los

div

erso

sel

emen

tos

An

aacutelis

is a

lgeb

raic

o s

e fa

cilit

a

Co

mp

lejid

ad e

n c

on

stru

ccioacute

nd

e la

graacute

fica

La g

uiacutea

pe

rmit

e m

ayo

rco

mp

ren

sioacute

n d

el t

em

aLa

def

inic

ioacuten

de

elip

se s

eaj

ust

a o

co

mp

ara

con

lo q

ue

hellip

Se lo

gra

un

a co

mp

ren

sioacute

n d

esu

ecu

acioacute

n

Se c

om

pre

nd

e f

aacutecilm

ente

lafa

cto

riza

cioacute

n p

ara

ob

ten

er s

uhellip

Co

mp

ren

des

to

das

las

pro

pie

dad

es d

e la

elip

se

La g

uiacutea

pe

rmit

e u

na

com

pre

nsi

oacuten

co

mp

leta

del

hellip

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2

3

4

5

61



4

6 19 1 9


40 1 7 40


0 1 6

41


4

3

1

40

Hipeacuterbola

2 3 4 5


3 3 6 36


3 1 12 32


7 9 18 16


6 6 6 30


13 15 1 22


2 8 5 33


30 2 10 6

62







05

10152025303540

La f

acili

dad

par

a la

con

stru

ccioacute

n d

e la

hip

eacuterb

ola

es

Se e

nti

end

en la

sm

edid

as t

om

adas

com

o u

na

exp

licac

ioacuten

hellip

Es a

plic

able

en

laco

tid

ian

idad

La f

acili

dad

en

ded

ucc

ioacuten

alg

eb

raic

ad

e su

ecu

acioacute

n e

s

Pu

ede

s as

oci

ar s

ugr

aacutefic

a a

eve

nto

sas

tro

noacute

mic

os

Pu

ede

s id

enti

fica

rto

do

s lo

s el

em

en

tos

qu

e la

co

nst

itu

yen

Co

no

ces

ob

jeto

s q

ue

ten

gan

su

fo

rma

24 25 26 27 28 29 30

2

3

4

5

42

40

45



El 4deg periodo

El antildeo escolar

63










las coacutenicas

13 4

33 40

10


1--14

15-28

29-42

43-56

57-71

4 9

6

54

27


10deg3

00-10

11-20

21-30

31-40

41-50

64









65





Blas Pascal



sus elementos














referimos




ecuaciones


se me confunden




66





las distingo




universo









partida








coacutenicas


cuerpos celestes


factorizacioacuten



67



coacutenicas

52 Del profesor







68











69






53 Recomendaciones





54 Inquietudes


que hay





70





71


BIBLIOGRAFIA












72







73




Y NATURALES


GONZALEZ

NOMBRE___________________________________________________________

____







conoces____________________________________________________________





Coacutenica__________________________________________________________





74



Coacutenicas____________________________________________


___________________________________________________________________

_______________________


Si__No__Cuales______________________________

___________________________________________________________________

_______________________


Porqueacute_______________________

___________________________________________________________________

________________________









75


Anexo B




NOMBRE___________________________________________________________

____









ELIPSE

76






llamada elipse

CIRCUNFERENCIA







PARABOLA



77










HIPERBOLA












78


Anexo C

79


Horizontales

80




























celeste


81




Verticales









82


83


Anexo D




GRUPO AacuteBACO


















______________________


regla

84





__________________________________________________________






__________________________________________________________





22 )0()( YXP =


entre dos puntos

85



de los radicales



5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________


Semejantes


Teacuterminos













segmento horizontal





86





nombre




d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________

D(F1T)+d(TF2)=__________

D(F1B)+d(BF2)=__________


_________________________________________________________________


distancias

___________________________________________________________________

_________________________________________________________

Actividad IV

P(xy)

Q ( )

O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)

Y

X

87







2 aycxycx 22222


puntos

3 _________________________22

ycx


4



5 22222

44 ycxacxacx


6

22222 4__________4__ ycxaacx


binomio







semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


13 2

2

2

2

1b

y

a

x



88




Actividad V













6


nombre____________________________________________________



mediciones

89


Distancia de F al

punto


F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_

F_ Frsquo_





__________________________________________________________





__________________________________________________________







lo que obtienes



hipeacuterbola___________________________________________________

90



__________________________




___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________________________


JUSTIFICACIOacuteN


2 aycx 2_______________0

22


entre dos puntos

3 _________________________22

ycx


4



91


5

2222244 ycxacxacx


semejantes

6

22222 4__________4__ ycxaacx






radicales




semejantes


12 22

2

2

2

1ca

y

a

x


teacuterminos

13 2

2

2

2

1b

y

a

x



Pitaacutegoras


92





NOMBRE___________________________________________________________














R=2




93




A B

C

D


a

ndashy2 =1 b

- y=1 c

+ 1 = d


a y=1 b x=2 c x=1 d x=0



a x-x2 b2-

c 2x- x2 d 2x+ x2

94


a b

c

d







+

= 1





95






96





objetos uacutetiles

97







98






99







100






101







102


103


104




POR


PROFESOR





SEDE MEDELLIacuteN

MAYO 2011

105



INTRODUCCION 3


2 HISTORIA 9








361 Φ EN ABEJAS 51




365 Φ EN FLORES 63

366 Φ EN FRUTOS 64











106




CONCLUSIONES 103

BIBLIOGRAFIA 105

107


INTRODUCCIOacuteN























Fibonacci-




108








109



Φ





a continuacioacuten

Binario 11001111000110111011

Decimal 16180339887498948482



Algebraico

110












Universal




111



de cada una































112






1 Fi) y radic5-























113






















instrumento

114


2 HISTORIA


115










Serie de Fibonacci


116















117



o bien






grande como el 610



Fibonacci


















118



hacer dos








dominoacute







119







120




POLIEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

TETRAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

MODELO







3 3 3 5 4


1


VOLUMEN





siguiente




121




sea plana





















122















123



















124





entendemos hoy




aacuteureo



125










126















(ahora hipotenusa)

127


63 Curiosidades



128









129













130




131












foacutermula



Ordenando


132











133



En general








134







135








632

136















137




633






138





C

139








140


de donde finalmente



En el pentagrama




141










142













un dodecaedro


143




















OC






144



ordm1085

)25(middotordm180

n

)2n(middotordm180


5ordm36

2

ordm108ordm180


)5

(cosmiddot2





145




146




147





148






149




150


El Partenoacuten



Templo de Ceres

151





152



153


154





155




156








157








158



35 Φ EN LA PINTURA



159















160















161












ojo derecho



162




163












164




Fibonacci

165









habitacioacuten











166









167




361 Abejas


168





su cabeza







169














38deg








170


171


172







la serie

173



174


175


364 Φ en plantas

176


177




178




Fractales




179







180








181



desde el aire

182



183






184






185








186



187


366 Φ en frutos




188





nuacutemero






189








distancia entre las



longitud del dedo

190








191






aacuteureas






192










193




194



195


635 Human Age


637 Key Attributes

0 Gestation

Conception

1 Newborn

Birth

1 Infant

Walking vocalizing

2 Toddler


3 Toddler


training

5 Early child


8 Mid child


wrong



21 Young adult






parenting role



196



AARP

89 Completion




197


198


















199














200








201





202





















los radiolarios




















203


















mundo mineral











sus proporciones en





204


















creacioacuten

















205

















regulares

















C60

206

















































hexaacutegonos

207

















208

































figura en su libro

209

















en Jena


























segundo

210








211



212


213



214




215


5 Φ EN LA MUSICA







que otras




216













217



218














primero



219







grupos de 2 y 3)










220






221






222






223






224









64 Obras selectas







4628 = 1642

225
















226





































227






























228








229

















230







231




1 I

1 am

2 sitting

3 quieacutetalo

5 listening for the






7 Φ EN LA LUTIERIA


232




233


8 Φ EN EL UNIVERSO

234


Dimensi

on

(km)

Proporti

on

(Earth=1

)

Mathematic

al

Expression




Hypotenuse 103207

7

1618

(Φ) C


Radius)

1618



235








236




millones de Km


distancias de los

sucesivos planetas

Mercurio 579 1

Venus 1082 1869

Tierra 1496 1383

Marte 2279 1523

Ceres 4137 1815


Saturno 14335 1841

Urano 28725 2004

Neptuno 44951 1565


Total 16187

Media 16187

Numero Phi 16180

237




238









239








vez 1618













240


241














242







243



244









(sucesioacute

n A003823 en OEIS)

donde


y



Ramanujan


infinito




245






de τ

651 Ejemplos




246


9 RESUMEN



247
























forma siguiente

248


0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

4181 6765 10946 17711 28657










aacuteureo





249













250




















1202




89 y 144

251






11

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1597=4147=11x377

89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567=11x1597








252
















253



















254










cumpliendo








fenoacutemenos





255



















256



forma consciente






715 En el arte









257
















258




Gris






instrumentos







259



una joya preciosa







260




















261














alza

CONCLUSIONES









podemos ver



262




realizarlo

BIBLIOGRAFIA


CIBERGRAFIA


httpeswikipediaorg



ticas



263





nu=knowledge



CONTRIBUCIÓN A LA ENSEÑANZA DE LAS CONICAS …

Documents

Transcript of CONTRIBUCIÓN A LA ENSEÑANZA DE LAS CONICAS …