Conicas Elipse

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Cónicas

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  • Lugaresgeomtricos

    LauraHidalgo Sols

    La definicinde cnica

    Clasificacinde cnicas

    La elipse

    Transformacindecoordenadas

    Construccincon regla ycomps

    LosTeoremas deApolonio

    Aplicacionesde la elipse

    Referencias

    Lugares geomtricosLa Elipse

    Laura Hidalgo Sols

    Universidad Autnoma MetropolitanaUnidad Iztapalapa

    2 de Febrero de 2012

  • Lugaresgeomtricos

    LauraHidalgo Sols

    La definicinde cnica

    Clasificacinde cnicas

    La elipse

    Transformacindecoordenadas

    Construccincon regla ycomps

    LosTeoremas deApolonio

    Aplicacionesde la elipse

    Referencias

    Cnicas

    1 La definicin de cnica

    2 Clasificacin de cnicas

    3 La elipse

    4 Transformacin de coordenadas

    5 Construccin con regla y comps

    6 Los Teoremas de Apolonio

    7 Aplicaciones de la elipse

    8 Referencias

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    Transformacindecoordenadas

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    La definicin de cnica

    Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a lacurva interseccin de un cono con un plano que no pasapor su vrtice.

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    La definicinde cnica

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    Clasificacin de cnicas

    Clasificacin de cnicas

    En funcin de la relacin existente entre el ngulo deconicidad y la inclinacin del plano respecto del eje delcono , pueden obtenerse diferentes secciones cnicas, asaber:

    1 < : Hiprbola (excesiva).2 = : Parbola.3 > : Elipse (contraida o deficiente).4 = 900: Circunferencia (un caso particular de elipse).

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    Cnicas degeneradas

    Cnicas degeneradas

    Si el plano pasa por el vrtice del cono, se puedecomprobar que:

    1 Cuando > la interseccin es un nico punto (elvrtice).

    2 Cuando = la interseccin es una recta generatrizdel cono En este caso, el plano ser tangente al cono.

    3 Cuando < la interseccin vendr dada por dosrectas que se cortan en el vrtice. El ngulo formadopor las rectas ir aumentando a medida disminuye,hasta alcanzar el mximo cuando el plano contengaal eje del cono = 0.

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    La elipseLa elipse

    La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del planocuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos,es constante y mayor que la distancia entre los focos.

    Si F1 y F2 son los focos, y 2a > d(F1,F2) entonces

    E = {U R2;d(U,F1) + d(U,F2) = 2a}

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    Elementos de la elipse

    Los puntos F1 y F2 se llaman los focos de la elipse, y larecta que contiene a los focos se llama eje principal. Elpunto medio de F1 y F2 se llama el centro de la elipse. Lospuntos de interseccin de la elipse con su eje principal V1 yV2 se llaman los vrtices de la elipse y el segmento cuyosextremos son los vrtices recibe el nombre de eje mayor dela elipse. El segmento que es perpendicular al eje mayor,que pasa por el centro y cuyos extremos estn W1 y W2sobre la elispe sellama el eje menor y la recta perpendicularal eje principal que pasa por el centro de la elipse se llamaeje normal de la elipse.

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    Referencias

    Los segmentos AA u BB perpendiculares al eje principalque pasan por los focos y cuyos extremos sobre la elipse sedenominan lados rectos. La longitud del lado recto es elancho focal de la elipse.Cualquier segmento de recta que une dos puntos de laelipse se llama cuerda de la elipse. En particular, el ladorecto, es una cuerda de la elipse, llamada cuerda focal. Unacuerda que pasa por el centro de la elipse se llamadimetro.Si U es un punto cualquiera de la elipse, los segmentosUF1 y UF2 que unen los focos con el punto U se llamanradio vectores de U.

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    La ecuacin de la elipse

    Es muy fcil obtener la ecuacin de la elipse con centro enel origen y focos en el eje x (respectivamente y ):Supongamos que la elipse E tiene focos F1(0, c) yF2(0,c) y que para cada punto U(x , y) E la suma de lasdistancias que separan a U de F1 y F2 es la constante 2a,donde 2a > 2c, o sea, a > c. Entonces

    d(U,F1) + d(U,F2) = 2a

    de donde x2 + (y + c)2 +

    x2 + (y c)2 = 2a (1)

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    Referencias

    Si ahora se suma

    x2 + (y c)2 a ambos miembros deesta ecuacin, y se eleva al cuadrado a ambos miembrosde la ecuacin resultante, que es equivalente a la anterior,tenemos:

    x2 + (y + c)2 = 4a2 4a

    x2 + (y c)2 + x2 + (y c)2.

    Desarrollando binomios y simplificando tenemos:

    a

    x2 + (y c)2 = a2 cy . (2)Si ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de laigualdad tenemos:

    a2(x2 + y2 2cy + c2) = a4 2a2cy + c2y2.

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    Simplificando y factorizando obtenemos:

    a2x2 + (a2 c2)y2 = a2(a2 c2).Como a > c > 0, entonces a2 > c2, de donde a2 c2 > 0.Si b2 = a2 c2, b > 0(*), y la ecuacin se reduce a

    a2x2 + b2y2 = a2b2

    dividiendo por a2b2 tenemos la ecuacin

    x2

    b2+

    y2

    a2= 1. (3)

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    Referencias

    Si ahora los focos son F1(c,0), F2(c,0) y2a > 2c = d(F1,F2), tenemos de manra anloga laecuacin

    x2

    a2+

    y2

    b2= 1. (4)

    Las ecuacines 3 y 4 suelen llamarse la primera ecuacingeneral de la elipse, o forma cannica de la elipse.

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    Reciprocamente, si U(x , y) es un punto cualquiera cuyascoordenadas satisfacen la ecuacin

    x2

    b2+

    y2

    a2= 1.

    Invirtiendo el orden de las operaciones efectuadas parapasar de la ecuacin 3 a la ecuacin 1, y dando la debidainterpretacin a los signos de los radicales, podemosdemostrar que la ecuacin 1 conduce a la relacin

    d(U,F1) + d(U,F2) = 2a,

    que es la expresin analitica de la condicin geomtrica dela definicin de la elipse aplicada al punto U.Por tanto, U est sobre la elipse cuya ecuacin est dadapor la ecuacin 3.

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    Nota (*) Ya que 2a es la longitud del eje mayor, 2b es lalongitud del eje menor y 2c la distancia entre los focos.En particular, si consideramos el tringulo rectngulo convrtices W1, C y F1 tenemos que el cateto mayor es c, elmenor es b y la hipotenusa es a, es decir a2 = b2 + c2, dedonde b2 = a2 c2.Es inmediato de la ecuacin de la elipse que los ejesprincipal y normal son ejes de simetra de la elipse, y que elcentro tambin es un punto de simetra de la elipse.

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    Dada la ecuacinx2

    b2+

    y2

    a2= 1, si sustituimos el valor

    y = c, y usamos que a2 = b2 + c2, tenemos que

    x2 = b2(

    1 c2

    a2

    )= b2

    (a2 a2 + b2

    a2

    )=

    b4

    a2

    Por lo que, los extremos del lado recto son A(

    b2

    a,c

    ),

    A(b2a ,c

    ), B(

    b2a , c

    )y B

    (b

    2

    a, c)

    , de donde, el ancho

    focal es d(A,A) = d(B,B) = 2b2

    a.

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    Excentricidad

    Un elemento importante de una elipse es su excentricidadque se define como la razn

    d(C,F )d(C,V )

    =ca

    y se representa usualmente por la letra .Como c < a, la excentricidad de una elipse siempre esmenor que la unidad

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    Ejemplo1

    Obtenga la ecuacin de la elipse cuyos focos son F1(0,4) yF2(0,4) y cuyos vrtices son V1(0,5) y V2(0,5).Notamos primeramente que esta es una elipse cuyo ejeprincipal es el eje y , por lo que su ecuacin es de la formax2

    b2+

    y2

    a2= 1, donde a2 = b2 + c2, por lo que c = F1 = 4,

    a = V1 = 5, y b2 = a2 c2 = 25 16 = 9. As, laecuacin de la elipse es:

    x2

    9+

    y2

    25= 1

    Los extremos del eje menor son W1(3,0) y W2(3,0), suexcentricidad es =

    ca

    =45

    , y el ancho focal es

    2b2/a = 18/5.

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    Con la informacin anterior obtenemos la grfica deE : x29 + y

    2

    25 = 1.

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    Ejemplo 2

    Dada la ecuacin 9x2 + 16y2 = 144, dividiendo amboslados de la igualdad por 144 obtenemos la ecuacin de laelipse en su forma cannica

    x2

    16+

    y2

    9= 1.

    Como 16 > 9 entonces el eje principal coincide con el eje x ,a2 = 16, b2 = 9, y como consecuencia del Teorema dePitgoras c2 = a2 b2 = 16 9 = 7, por lo que c = 7.As, los extremos del eje mayor de la elipse son V1(4,0) yV2(4,0); los focos son F1(

    7,0) y F2(

    7,0). Los

    extremos del eje menor son W1(3,0) y W2(3,0).Los extremos del lado recto son (7,9/4), el anchofocal es 2b2/a = 9/2 y la excentricidad = c/a =

    7/4.

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    Con esta informacin podemos graficar la elipseE : 9x2 + 16y2 = 144.

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    Traslacin de ejes

    Algunos problemas en matemticas se pueden simplificar sise cambia la colocacin de los ejes de coordenadas. Uncambio de colocacin es una transformacin decoordenadas.Por ejemplo, consideremos un nuevo sistema decoordenadas x , y que mantiene los nuevos ejescoordenados paralelos a los originales. Se puedeconsiderar que los nuevos ejes son el resultado dedesplazar los ejes x y y sobre el plano de manera que elnuevo origen tenga coordenadas (h, k) en el sistema xy .

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    Como se muestra en la figura anterior a = a + h yb = b + k . Por lo tanto, las coordenadas x y y estnrelacionadas con las coordenadas x y y a travs de lasecuaciones

    x = x + hy = y + k (5)

    o equivalentemente

    x = x hy = y k (6)

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    Cualquier ecuacin de la forma

    Ax2 +Cy2 +Dx +Ey +F = 0,no siendo A y C ambos cero,(7)

    completando un cuadrado y combinando los trminoslineales y constantes restantes y empleando las ecuaciones6 resulta sencillo identificar la grfica de la curva que estrepresentada por una ecuacin de la forma 7.

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    Ejemplo 3Si deseamos obtener la elipse con vrties V1(8,2),V2(4,2) y un foco en F1(6,2), por lo que se trata de unaelipse cuyo eje principal es paralelo al eje x .Observamos que el centro C(2,2) de la elipse es el puntomedio de V1 y V2,

    a = d(C,F1) =

    (8 2)2 + (2 2)2 = 6,

    c = d(C,F1) =

    (6 2)2 + (2 2)2 = 4,como consecuencia del Teorema de Pitgoras

    b2 = a2 c2 = 36 16 = 20.Por lo que la ecuacin de la elipse tiene la forma

    (x 2)236

    +(y 2)2

    20= 1,

    o equivalentemente

    5x2 + 9y2 20x 36y 124 = 0.

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    La elipse E : 5x2 + 9y2 20x 36y 124 = 0.

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    Ejemplo 4

    Por otra parte, si deseamos obtener la ecuacin de la elipsecon focos F1(3,2) y F2(3,6) y cuyo eje mayor tiene unalongitud de 10 unidades, entonces notamos que el ejeprincipal de esta elipse es vertical, el centro es C(3,4),adems c = d(C,F2) =

    (3 + 3)2 + (6 4)2 = 2,

    a = 10/2 = 5, y b2 = a2 c2 = 25 4 = 21, por lo que laecuacin de la elipse es

    (x + 3)2

    21+

    (y 4)225

    = 1

    o equivalentemente

    25x2 + 21y2 + 150x 168y + 36 = 0.

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    La elipse 25x2 + 21y2 + 150x 168y + 36 = 0.

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    Referencias

    Rotacin de ejes

    Si se rotan los ejes de coordenadas alrededor del origen yse considera que estn fijos todos los puntos del plano,entonces cada punto (o vector), excepto el origen, tendrun nuevo par de coordenadas (o componentes). Estasnuevas coordenadas se pueden calcular empleandotrigonometra elemental.

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    Referencias

    P(x,y)

    (x,y)

    x

    y

    x

    y

    O

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    Referencias

    En la figura anterior, se muestran dos pares de ejes decoordenadas en el plano. Los ejes x y y se han obtenidogirando los ejes x y y alrededor del origen un ngulo .Supngase que S es un punto en el plano, entonces S tienedos pares de coordenadas, las coordenadas S(x , y) en elsistema x y y , y por otra parte S(x , y ) en el sistema x y y .Si el ngulo de direccin de ~s es con respecto al sistemax y y , entonces el ngulo de direccin de ~s es en elsistema x y y . Si ~s = r , tenemos

    x = r cos , y = r sen ,

    yx = r cos( ), y = r sen( ).

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    Referencias

    De trigonometra elemental sabemos que

    cos( ) = cos cos+ sen sen,

    sin( ) = sen cos cos sin .De donde

    x = x cos+ y sen, y = x sen+ y cos (8)

    o equivalentemente

    x = x cos y sen, y = x sen+ y cos (9)

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    Referencias

    Ejemplo 5

    Consideremos una rotacin = pi/6. Si las coordenadasdel punto S en el sistema x y y son S(4,2) comosen(pi/6) = 1/2 y cos(pi/6) =

    3/2, de la ecuacin 8 se

    sigue que

    x = 4

    32

    + (2)12

    = 2

    3 1,

    y = 412+ (2)

    3

    2= 2

    3.

    Por otra parte, si T es el vector que tiene coordenadas(1,0) en el sistema x y y , como consecuencia de laecuacin 9 tenemos

    x = 1

    32 01

    2,=

    3

    2, y = 1

    12+ 0

    32

    =12.

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    Referencias

    La ecuacin general desegundo grado

    Una ecuacin de la forma

    Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (10)

    donde A,B,C,D,E ,F R, con A, B y C no todos cero, sedenomna una ecuacin cuadrtica (o ecuacin general desegundo grado) en dos variables.Si B = 0, podemos identificar la grfica aplicandosimplemente una traslacin.Si B 6= 0 necesitamos aplicar una rotacin

    x = x cos y sen, y = x sen+ y cos.

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    Referencias

    Si se sustituyen estos valores en la ecuacin 10 la ecuacinresultante es de la forma

    Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + E y + F = 0

    donde

    A = A cos2 + B cos sen+ C sen2 , (11)B = 2(C A) sen cos+ B(cos2 sen2 ), (12)C = A senB cos sen+ C cos2 , (13)D = D cos+ E sen, (14)E = D sen+ E cos, (15)F = F (16)

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    Para eliminar el trmino x y es necesario que B = 0, esdecir,

    2(C A) sen cos+ B(cos2 sen2 ) = 0.Como 2 sen cos = sen 2 y cos2 sen2 = cos 2 laecuacin 12 equivale a

    (C A) sen 2+ B cos 2 = 0.Si A = C, para que B = 0 es necesario que B cos 2 = 0,de donde cos 2 = 0.Por lo cual, podemos tomar = pi/4.Si A 6= C, entonces

    tan 2 =B

    A C ,

    y como la funcin tangente es peridica de periodo pi,podemos restringir el valor de 2 para que 0 < 2 < , esdecir, 0 < c > 0 y = c/a, se tiene 0 < < 1.

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    Los Teoremas de Apolonio(262-190 a. C.)

    Estos teoremas explican algunas propiedades interesantesde la elipse y se sus dimetros conjugados.

    El primer teorema de Apolonio

    Todos los paralelogramos que circunscriben a una elipseson equivalentes, es decir, que tienen igual rea.1

    Como el rectngulo de lados los ejes principales es uno deestos paralelogramos, se cumplir la relacin:

    rea del Paralelogramo(AOCE ) = OA OC sin(AOC)= OA OC = rea del Paralelogramo(AOCE)

    Siendo AOC el ngulo que forman los dimetrosconjugados entre si.

    1Circunscita: Figura geomtrica en torno a otra, la cual queda encerradaen la primera.

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    Primer Teorema de Apolonio

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    Se denomina dimetro de la elipse a un segmento o cuerdaque une dos puntos de la misma pasando por el centro.Se dice que dos dimetros son conjugados si una cuerdaparalela a uno de ellos tiene su punto medio sobre el otro.Los ejes principales de la elipse son una pareja dedimetros conjugados, pero existe una infinidad de ellos.

    El segundo teorema de Apolonio

    La suma de los cuadrados de dos dimetros conjugadoscualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los ejes.

    OA2 + OC2 = OA2 + OC2 = a2 + b2

    .

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    En donde aparece la elipse

    Las Leyes de Kepler (1571-1630) fueron establecidas porJohannes Kepler para describir el movimiento de losplanetas alrededor del sol.

    Las primera ley de Kepler

    Los planetas tienen movimientos elpticos alrededor del Sol,estando ste situado en uno de los 2 focos que contiene laelipse.

    Despus de ese importante salto, en donde por primera vezlos hechos se anteponan a los deseos y los prejuiciossobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicsimplemente a observar los datos y sacar conclusiones yasin ninguna idea preconcebida.Como dato curioso, la trayectoria de la tierra alrededor delsol es una elipse de excentricidad = 0.0167.

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    Referencias

    Pas a comprobar la velocidad del planeta a travs de lasrbitas llegando a la segunda ley:

    La segunda ley de Kepler

    Las reas barridas por los radios de los planetas, sonproporcionales al tiempo empleado por estos en recorrer elpermetro de dichas reas.

    Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estasdos leyes en el resto de planetas. Aun as fue un logroespectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de losplanetas entre s. Tras varios aos, descubri la tercera eimportantsima ley del movimiento planetario:

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    La tercera ley de Kepler

    El cuadrado de los perodos de la orbita de los planetas esproporcional al cubo de la distancia promedio al Sol.

    Esta ley, llamada tambin ley armnica, junto con las otrasleyes permita ya unificar, predecir y comprender todos losmovimientos de los astros. Marcando un hito en la historiade la ciencia, Kepler fue el ltimo astrlogo y se convirti enel primer astrnomo, desechando la fe y las creencias yexplicando los fenmenos por la mera observacin.

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    Referencias

    Apollonius of Perga, Treatise on Conic Sections, withintroduction by T. L. Heath, London C. J. Clay and Sons,Cambridge Univ. Press, 1896.

    H. Drrie, 100 Great Problems of ElementaryMathematics. Their history and solution, translated byDavid Antin, New York, Dover Pub. Inc., USA, N.Y., 1965

    T. Sundara Row, Geometric excercises in paper folding,Dover Publications, Inc., New York, 1966.

    W. Wooton, E. Beckenbach, F.J. Fleming GeometraAnaltica Moderna, Publicaciones Cultural S.A. de C.V.Mxico, 1985.http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/

    La definicin de cnicaClasificacin de cnicasLa elipseTransformacin de coordenadasConstruccin con regla y compsLos Teoremas de ApolonioAplicaciones de la elipseReferencias