Guía Las Conicas

8/6/2019 Gua Las Conicas

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Programa de Estudios Generales

Departamento Acadmico de Ciencias y Humanidades

Matemtica BsicaPerodo acadmico 2011-1

Gua N 3

Las cnicas

Al terminar de resolver los temas tratados en esta gua estar en condiciones de:

1. Determinar y graficar la ecuacin de la circunferencia en sus diferentesformas.

2. Determinar y graficar la ecuacin de la parbola en sus diferentes formas, eidentificar sus elementos .

3. Determinar y graficar la ecuacin de la elipse en su forma cannica, eidentificar sus elementos y rea .

4. Determinar y graficar la ecuacin de la hiprbola en su forma cannica, eidentificar sus elementos .

1

1 Imagen tomada de: http://www.universum.unam.mx/eq_mate_07.html


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RESUMEN TERICO

DEFINICIN DE LA CIRCUNFERENCIA

Es el conjunto de puntos del plano que equidistan deotro punto del mismo palno, llamado centro.

d (P, O) = r

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

DD : Dimetro

CC : Cuerda

Q : Centro de laCircunferencia

r : Radio de laCircunferencia

AA : Arco de circunferencia

ECUACIN CARTESIANA DE LA CIRCUNFERENCIA

a) Forma ordinaria

Q

r

C

C

D

D

A

A

r P

222 rkyhx .

Siendo C (h; k) su centro yr suradio.


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b) Forma Cannica (Centro en el origen de coordenadas y radio = r )

c) Forma general:

022 F Ey Dx y x

I) ECUACIN LA CIRCUNFERENCIA. Definicin y elementos. Ecuacin cartesianade la circunferencia en sus formas ordinaria, cannica y general.

Grupo 1

1. Grafique las siguientes ecuaciones, indicando su radio en caso sea una circunferencia.

a) x 2 + y2 = 1Respuesta: Se trata de una circunferencia de centro C(0;0) y radio igual a 1.

222 ryx


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b) 3x2 + 3y2 15 = 0

Respuesta: Se trata de una circunferencia de centro C(0;0) y radio igual a

c) x2 + y2 +3 = 0Respuesta: No es una circunferencia

d) x 2 + y 2 = 0.Respuesta: No es una circunferencia, se trata slo del punto (0;0)

2. Cules de las siguientes ecuaciones determinan una circunferencia? En cada casoafirmativo, halle el centro, el radio y los puntos de mxima y mnima abscisa as comolos de mxima y mnima ordenada, de cada una de ellas:

a) x 2 + y2 6x + 4y 3 = 0Respuesta: Si corresponde a una circunferencia : Centro (3 ; -2) radio = 4

Punto de mxima abscisa = (7 ; -2)

Punto de mnima abscisa = (-1 ; -2)

Punto de mxima ordenada = (3 ; 2)

Punto de mnima ordenada = (3 ; -6)

b) x2 + y2 x + y + 14 = 0

Respuesta: No corresponde a una circunferencia

c) x2 + y2 + 8x 2y +17 = 0Respuesta: No corresponde a una circunferencia, es el punto (-4 ; 1)


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d) x2 + y2 + x = 0

Respuesta: Si corresponde a una circunferencia : Centro Punto de mxima abscisa = Punto de mnima abscisa = Punto de mxima ordenada = Punto de mnima ordenada =

3. Complete el siguiente cuadro considerando que cada dato se refiere a una circunferenciacon centro en (0; 0). Respuesta:

Datos Ecuacin cannicar = 1,5 C: C:

Es tangente a la recta L: x + y = 0 C: Pasa por el punto A (4; 3). C: El rea de su interior es 4 u2. C:

4. Los siguientes datos corresponden a una circunferencia. En cada caso determine susecuaciones en las formas ordinaria y general.a) Centro C (1; 3) y radio r = 2.

Respuesta:Forma ordinaria: C: (x 1)2 + (y + 3)2 = 4Forma general: C: x2 + y2 2x + 6y + 6 = 0

b) La circunferencia pasa por el punto A (2; 4) y el centro es C ( 1; 2).Respuesta:Forma ordinaria: C: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 45Forma general: C: x2 + y2 + 2x + 4y 40 = 0

c) El centro C (1; 1) y es tangente a la recta L: 3x 4y + 8 = 0.Respuesta:

Forma ordinaria: C: (x 1)2 + (y + 1)2 = 9

Forma general: C: x2 + y2 2x + 2y 7 = 0


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5. Determine la ecuacin de la circunferencia con el centro en el eje de ordenadas, y losextremos de una de sus cuerdas son los puntos M (2; 7) y N (4; 1).Respuesta: Forma ordinaria: C: x2 + (y 3)2 = 20Forma general: C: x2 + y2 6y 11 = 0

6. Determine la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos R (1; 2), S (1; 4) yT (6; 1).Respuesta: C: x 2 + y 2 6x + 2y 3 = 0

7. Presente la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto P (9; 12) y es tangente ala recta L: 2x 3y 8 = 0, en el punto Q (7; 2).

Respuesta: Forma ordinaria: C: (x 3)2 + (y 8)2 = 52Forma general: C: x2 + y2 6x 16y + 21 = 0

8. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por la interseccin de las circunferencias:

, y por el origen decoordenadas.

Respuesta: C :

9. Halle la ecuacin que contiene al dimetro de la circunferencia

; y que es perpendicular a la recta .Respuesta: L: 2x 5y + 19 = 0

10. Son dos las circunferencias tangentes a los ejes coordenados que pasan por el puntoP (-11; 0). Halle las ecuaciones generales de estas circunferencias.Respuesta: C

1: x 2 + y 2 + 22x 22y + 121 = 0 C

2: x2 + y 2 + 22x + 22y + 121 = 0

11. Halle la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia ; enel punto P (0; 0).

Respuesta: L : L : 2x 3y = 0


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12. En algunos textos se encuentra el siguiente teorema:Toda ecuacin de segundo grado, con dos variables x e y, sin trmino en xy, y de laforma , representa una circunferencia. El enunciado del teorema es incompleto en razn a que una ecuacin de esta naturaleza

puede ser una circunferencia, un punto o representar un conjunto vaco. Podra elalumno completar el enunciado con las restricciones necesarias y cules seran stas?Rpta.

Al completar cuadrados en la ecuacin, se transforma a la forma ordinaria el trmino

numrico situado despus de la igualdad es: , luego si es Negativo, la ecuacin no representa ningn lugar geomtrico. Cero, la ecuacin representa un punto. Positivo, la ecuacin representa una circunferencia.

TAREA 1

13. En las siguientes ecuaciones utilizando el mtodo de completar cuadrados, identifique sise trata de una circunferencia o de un caso degenerado de circunferencia.

a) x 2 + y2 + 6x 4y + 13 = 0 b) 2x2 + 2y2 x + 8y + 22 = 0

c) x2 + y2 + 3x 2y 3/4 = 0Rpta.a) Es un caso degenerado de la circunferencia, representa el punto T (-3, 2) .b) Es un caso degenerado de la circunferencia no representa ningn ligar geomtrico.c) Representa una circunferencia, cuyo centro es (-3/2 ; 1) , radio r = 4.

14. Determine la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A (3; 1) y B ( 1; 3),sabiendo que su centro pertenece a la recta L: 3x y 2 = 0Rpta.(x-2)2 + (y-4)2 = 10

15. Determine el centro de una circunferencia de radio 50, sabiendo que esta pasa por elpunto A (0; 8) y determina en el eje de las abscisas una cuerda de longitud 28 u.Rpta.El centro de la circunferencia es (30; 48).

16. Calcule el rea del tringulo cuyos vrtices son el centro de la circunferencia, y los puntos de interseccin de la recta ,

con la circunferencia C. Rpta.El rea es (13/2) u2


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17. El ingreso a un tnel tiene forma de semicircunferencia Cul es la altura mxima deltnel, si a dos metros de su extremo la altura es 8 metros?Rpta.La altura mxima del tnel es 17 metros.

18. Por el punto se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados, las cuales cortan ala circunferencia , en cuatro puntos.

a) Determine analticamente las coordenadas de los cuatro puntos.

b) Compruebe que el cuadriltero que resulta al unir los cuatro puntos es un trapecioissceles.

c) Halle las coordenadas de un punto que equidiste de los cuatro puntos.Rpta.

. a) A (-4; 3) B (3; 4) C (4; 3) D (3; -4)b) m BC = m AD = -1 ; d (A; B)= d (D; C) = 5 2 c) El punto es P (0; 0).

19. Una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia, es tangente a la recta en el punto y

el segmento es un dimetro de dicha circunferencia. Luego de interpretargeomtricamente el problema, determine las coordenadas de y la ecuacin de lacircunferencia .

Rpta.A(6; 0) y la ecuacin de la circunferencia es (x-4) 2 + (y -1.5) 2 = (2.5) 2

20. Determine los valores de y , si los centros de las circunferencias

y estn en la recta. Luego, con los valores hallados de y de , encuentre la ecuacin

ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos M, N y O, donde M es el punto demnima ordenada de , es el punto de mxima abscisa de y es el origen decoordenadas.

Rpta.Los valores son: a = 3 , b = 2 ; M (6; 0) ; N (0; -4)La circunferencia es (x-3) 2 + (y + 2) 2 = 13

21. Una circunferencia pasa por y dos de sus dimetros de estn contenidos en lasrectas: y . Luego de bosquejar la grfica de lacircunferencia, calcule la longitud del dimetro y halle su ecuacin general.


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Si P(x; y) es un punto de la

parbola, entonces se cumple:

d (P; F) = d (P; Ld)

Rpta.El dimetro es D = 3 2 u. ; La ecuacin general de la circunferencia esx2 + y 2 + 2x + 4y 15 =0 .

22. Halle la ecuacin de la circunferencia circunscrita al tringulo cuyos vrtices son

Rpta.La ecuacin es (x+3) 2 + (y+4) 2 = 25

RESUMEN TERICO

DEFINICIN DE PARBOLA

Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una rectafija llamada directriz (el foco no pertenece a la directriz).

ELEMENTOS

Ld: DirectrizF: FocoEF: Eje focal perpendicular a Ld V: Vrtice, punto medio de DFLR: Lado recto: Cuerda focal

perpendicular al eje focal.

Asumiendo que )F;V(dp , se determinaque la longitud del lado recto es p4 .

X

Y

Ld

EF


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FORMA CANNICA DE LA ECUACIN DE UNA PARBOLA

Se presenta cuando el vrtice es V (0; 0) y el eje focal coincide con uno de los ejes decoordenadas.

CASO 1: El eje focal coincide con el eje de abscisas

CASO 2: El eje focal coincide con el eje de ordenadas.

X

X

YY

X

X

Y


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FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIN DE UNA PARBOLA

Se presentan cuando el eje focal es paralelo a un eje de coordenadas y vrtice V (h; k).

CASO 1: Eje focal paralelo al eje de abscisas.

CASO 2: Eje focal paralelo al eje de ordenadas.

X


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FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE UNA PARBOLA

CASO 1: Eje focal paralelo al eje de abscisas.

Donde {D, E, F} R, con D 0Nota: Si D = 0, la ecuacin se reduce a y2 + E y + F = 0, que es un caso degenerado, querepresenta: dos rectas, una recta, o ningn lugar geomtrico; dependiendo de sus races.

CASO 2: Eje focal paralelo al eje de ordenadas.

Donde {D, E, F} R, con E 0

Nota: Si E = 0, la ecuacin se reduce a x2 + D x + F = 0, que es un caso degenerado, querepresenta: dos rectas, una recta, o ningn lugar geomtrico; dependiendo de sus races.

II) ECUACIN DE LA PARBOLA. Definicin y elementos. Ecuacin cartesiana de laparbola con eje focal coincidente o paralelo a uno de los ejes coordenados, en susformas cannica, ordinaria y general

Grupo 2

23. Grafique en cada caso la parbola correspondiente a la ecuacin e indique su foco, losextremos del lado recto, as como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje desimetra y de la recta directriz.

Respuestas:

a) F ( ; L ( b) F ( ; L ( c) F ( ; L ( d) F ( ; L (


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e) ( ; L ( 24. Grafique en cada caso la parbola correspondiente e indique su vrtice, foco, los

extremos del lado recto, as como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje desimetra y de la recta directriz.

Respuestas:

a) V(-2;1); F ( ; L ( b) V(-1; 2); F ( ; L ( c) V(3;0); F ( ; L (

25. Cada una de las siguientes ecuaciones representa una parbola o un caso degeneradode parbola. Si se trata de una parbola grafquela indicando el foco y el vrtice, lasecuaciones de la directriz y del eje focal as como la longitud del lado recto. Escriba la

ecuacin en la forma ordinaria. Y si es un caso degenerado, grafique la curva que lecorresponde, en el caso que sea posible.

Respuestas:a) b)

c) d) e) Ningn lugar geomtrico.f) Dos rectas:

26. En cada uno de los siguientes ejercicios, el vrtice de la parbola est en el origen decoordenadas. Presente su ecuacin y bosqueje el grfico respectivo, si se sabe que:a) Es simtrica respecto del eje de abscisas y pasa por el punto P ( 1; 2).

b) Su eje focal es el eje de ordenadas y pasa por el punto P (2; 3).c) La directriz es la recta de ecuacin Ld: y 4 = 0.d) El foco tiene abscisa cero y p = 8Respuestas:

a)

b)


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c) d)

27. Halle la ecuacin y bosqueje el grfico de cada una de las siguientes parbolas que

verifican, en cada caso, las condiciones dadas.a) F( 2; 3), directriz Ld: x 6 = 0 b) V ( 2; 2) y F (2; 2)c) El vrtice pertenece a la recta L1:7 x + 3 y 4 = 0, eje horizontal y F (3; 1)

Respuestas:a) b) c)

28. Un arco tiene forma de una parbola con eje focal vertical. Su punto ms alto est 18msobre la base cuya longitud es 36m. Halle la longitud L de una cuerda horizontal que seencuentra a 10m sobre la base.Respuesta: La longitud de la cuerda horizontal es de 24 m.

29. Es posible que una parbola tenga por vrtice V (2; 2) y por extremos del lado recto lospuntos L (4; 4) y M (4; 0)? Justifique su respuesta.Respuesta: No es posible, el valor de p en un caso es 1 y en otro 2.

30. Determinar todos los puntos sobre la parbola y2 = 12x tales que el pie de laperpendicular trazada del punto a la directriz, el foco y el punto mismo sean vrtices deun tringulo equiltero.

Respuesta. Los puntos son: : TAREA 2

31. Grafique en cada caso la parbola correspondiente e indique su foco, los extremos del

lado recto as como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetra y de larecta directriz correspondientes a cada uno de los siguientes casos:

Respuestas:

a) V(-1;0); F ( ; L ( b) V(-2;-2); F ( ; L ( c) V( ; 2); F (1 ; L (1


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32. En las siguientes ecuaciones utilizando el mtodo de completar cuadrados identifique sise trata de una parbola o un caso degenerado de parbola.

Respuestas:

a) b)

c)

33. Halle la ecuacin de la parbola de eje focal paralelo al eje de ordenadas, presentndolaen su forma ordinaria si se sabe que pasa por los puntos A (1; 2) y B (5; 2) y que ademssu vrtice se encuentra en la recta L: 2x 3y+6 = 0.Respuesta:

34. Determine la ecuacin de una parbola de eje horizontal, presntela en su formageneral, si su vrtice es el punto V (1; 3) y su foco est en la recta L: 3 x + 4 y 9 = 0.Adems, determine los extremos de su lado recto as como la ecuacin de su directriz.

35. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por el vrtice y por los extremos del lado

recto de la parbola

36. Se tiene un rampa de forma parablica cuya seccin transversal est definida por la

parbola y = x2 2x+2. Una bola se coloca en el punto A (m; 17), m>0, y se deja rodarsobre la parbola hasta llegar al punto B (n; 2), n>0. Calcule m n.

37. Una circunferencia es tangente a la directriz y al lado recto de la parbola de

ecuacin P: 3x2 + 6x + 12y 5 = 0. Halle la ecuacin de dicha circunferencia si sucentro es el vrtice de la parbola dada.

38. El vrtice del ngulo recto de un tringulo rectngulo es un extremo del lado recto de la

parbola y2 = 8x. El segundo vrtice del tringulo es el vrtice de la parbola. Cul es eltercer vrtice y cunto mide la hipotenusa, si se sabe que dicho vrtice est sobre la

recta L: 2x y 14 = 0?


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39. Si A es un punto cualquiera de la directriz de una parbola y L y M son los extremos desu lado recto, determine si el rea del tringulo LMA es siempre constante.

40. Un proyectil describe una curva parablica alrededor de un punto F, siendo ste el foco

de la parbola. Cuando el proyectil est a 10 km. de F, el segmento de recta de F alproyectil hace un ngulo de 60 con el eje de la parbola.

a) Halle la ecuacin cannica de la parbola. b) Qu tan cerca de F pasa el proyectil?

41. La rbita de un cometa es una parbola que tiene como foco al sol. Cuando se halla a100 millones de Km del Sol, el ngulo entre el eje de la parbola y la recta desde el Sol al

cometa es de 45. Determine la distancia ms corta del cometa al Sol.

42. Un arco de puente tiene la forma de una parbola, la luz es de 12 m., y la altura mximaes de 5 m. Halle la altura del arco a 3 m, desde un extremo hasta el centro.

43. El filamento de una lmpara de flash est a 3/8 de centmetro del vrtice del reflector

parablico y se encuentra en su foco. Halle una ecuacin para la seccin del reflector,

suponiendo que est dirigido hacia la derecha y su vrtice es el origen.

44. El receptor de una antena parablica de televisin dista 90 cm. del vrtice y se encuentra

situado en su foco. Halle una ecuacin de la seccin del reflector (suponiendo que estdirigido hacia arriba y su vrtice en el origen).


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9. Distancia focal : c2d21FF

10. Cuerda : Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.11. Cuerda focal : Es la cuerda que pasa por uno de los focos.12. Lado recto : LR y L R. 13. Radio vector : Es el segmento que une cualquier punto de la elipse con uno de los

focos. (PF2, PF1).Adems: a = d (Q; V): Longitud del semieje mayor

b = d (Q; B): Longitud del semieje menorc = d (Q; F): Semidistancia focal.

La relacin entre estas constantes es: 222 cba , donde se cumple que a > b y a > c.

Frmulas:i) a2 = b2 + c2 (relacin pitagrica entre los parmetros a, b y c).

ii) La longitud del lado recto (L. L. R.) es:a

b2.L.L

2

R.

iii) rea de una elipse:A = a .b

ECUACIN DE LA ELIPSE

FORMA CANNICA.El centro es Q (0 ; 0) y el Eje focal es coincidente con un ejede coordenadas.

Caso1: El eje focal ( ) es coincidente con el eje X

1V (a ; 0) , 2V ( a; 0)

1B (0; b) , 2B (0; b)

1F (c; 0) , 2F ( c; 0)

V 1

L1N 1

ld 1

F 1V 2

B 1

X ... . .Q F 2

B 2

ld 2

N 2 L2

x=- a c

2

x= a c

2

Y

1b

y

a

x:E 2

2

2

2


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Caso 2: El eje focal ( es coincidente con el eje Y

III) Ecuacin de la elipse. Definicin y elementos. Ecuacin cartesiana de la elipse en suforma cannica.

Grupo 3

41. Grafique en cada caso la elipse correspondiente e indique: focos, vrtices, covrtices,longitud del lado recto, extremos de los lados rectos, ecuaciones del eje focal y ejenormal, as como el rea de la elipse:

a) 1169

22 y x

V1 ( 0 ; 4 )V2 ( 0 ; -4 )F1 ( 0 ; 7 )

F2 ( 0 ; - 7 )B1 ( 3 ; 0 )B2 ( -3 ; 0 )

Q ( 0 ; 0 )L1 ( -9/4 ; 7 )

R1 ( 9/4 ; 7 )

L2 ( -9/4 ; - 7 )

R2 ( 9/4 ; - 7 )LLR=2(9/4) unidREA=12 unid 2

1ay

bx

:E 22

2

2

X

Y

1V (0; a), 2V (0; -a)

1B (b; 0) , 2B (-b; 0)

1F (0; c), 2F (0; -c)

V1

V2

F1

F2

B1 B2

R2 L2

L1 R1

x

y

Q


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b)100

2 x +

64

2 y = 1

c) 25x2 + 16y2 400 = 0,16

2x +25

2y = 1

42. Si la distancia desde un covrtice a uno de los focos de una elipse es 6, Cul es ladistancia desde el centro de la elipse hasta uno de los vrtices?b2 + c2 = a2 = 36 , a = 6 unid

43. En cada caso, el centro de la elipse est en el origen de coordenadas y su eje focalcoincide con uno de los ejes coordenados. Presente su ecuacin y bosqueje el grficorespectivo, indicando sus elementos y rea, si se sabe que:a) Pasa por los puntos P (4; 0) y Q (0; 5).

12516

22 y x

V1 ( 10 ; 0 )

V2 ( -10 ; 0 )F1 ( 6 ; 0 )F2 ( -6 ; 0 )B1 ( 0 ; -8 )B2 ( 0 ; 8 )

Q ( 0 ; 0 )L1 ( 6 ; 32/5 )R1 ( 6 ; -32/5 )L2 ( -6 ; 32/5 )R2 ( 6 ; -32/5 )LLR=2(32/5) unidREA=80 unid 2

V1 ( 0 ; 5 )V2 ( 0 ; -5 )F1 ( 0 ; 3 )F2 ( 0 ; -3 )B1 ( 4 ; 0 )B2 ( -4 ; 0 )

Q ( 0 ; 0 )L1 ( -16/5 ; 3 )R1 ( 16/5 ; 3 )L2 ( -16/5 ; -3 )R2 ( 16/5 ; -3 )

LLR=2(16/5) unidREA=20 unid 2

B2

V2 V1

F2

B1

F1

L2 L1

R1 R2

y

Q

V1

V2

F1

F2

B1 B2

R2 L2

L1 R1

x

y

Q


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b) Es tangente a las rectas L1: x + 4 = 0 y L2: y 8 = 0.

16416

22 y x

c) La longitud del eje mayor es el doble de la longitud del eje menor y pasa por el puntoP (2; 1). (Dos soluciones)Condicin: 2a = 2(2b); a=2b, hay 2 elipses (vertical y horizontal) que pasan por P.

i) Horizontal, 128

22 y x

ii) Vertical, 117

4

17

22 y x

44. Cunto mide el lado recto de la elipse ?Completando cuadrados se obtiene:

116

)2(25

)1( 22 y x , a=5, b=4, LLR=32/5 unid

V1 ( 0 ; 5 )V2 ( 0 ; -5 )F1 ( 0 ; 3 )F2 ( 0 ; -3 )B1 ( 4 ; 0 )B2 ( -4 ; 0 )

Q ( 0 ; 0 )L1 ( -16/5 ; 3 )R1 ( 16/5 ; 3 )L2 ( -16/5 ; -3 )R2 ( 16/5 ; -3 )

LLR=2(16/5) unidREA=20 unid 2

V1 ( 0 ; 8 )V2 ( 0 ; -8 )F1 ( 0 ; 4 3 )

F2 ( 0 ; -4 3 )B1 ( 4 ; 0 )B2 ( -4 ; 0 )

Q ( 0 ; 0 )L1 ( -2 ; -4 3 )

R1 ( 2 ; 4 3 )

L2 ( -2 ; -4 3 )

R2 ( 2 ; 4 3 )LLR=2(2) unid

REA=32 unid 2

V1

V2

F1

F2

B1 B2

R2 L2

L1 R1

x

y

Q

V1

V2

F1

F2

B1 B2

R2 L2

L1 R1

x

y

Q


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45. El rea del rectngulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados ytangentes a la elipse , es?Completando cuadrados se obtiene:

116

)2(

9

)2( 22 y x , rea=2bx2a=6x8=48 unid2

46. Cunto mide el dimetro de mayor longitud de la elipse

?Completando cuadrados se obtiene:

14

)1(

12

)5( 22 y x , Dimetro mayor = 2a = 4 3 unid.

47. Cul es la ecuacin de la elipse simtrica a la elipse con respecto al eje de abscisas?

Completando cuadrados se obtiene:

1)4(4

)5( 22

y x , la ecuacin de la elipse simtrica respecto al eje x, es:

1)4(4

)5( 22

y x

48. Cunto mide el eje mayor de una elipse, que pasa por el origen de coordenadas,cuyos focos son los puntos F1(8; 6) y F2 ( - 4; 3)?

Usando la definicin de Eilpse: a PF PF 221 , siendo P(x;y) se obtiene:

22 )6()8( y x + 22 )3()4( y x =2, reemplazando (0;0), 2a=15

49. Para qu valor(es) de k, representa una elipse la ecuacin,

?Completando cuadrados se obtiene: k y x 28)1(3)5( 22 , para que sea una elipse28-k>0, k


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40 cm80 cm

L

56 cm

rea del cuadriltero (que resulta un cuadrado) se obtiene 16 unid2.

51. La figura muestra la seccin transversal de un canal semielptico de 56 cm. de boca y 80cm. de profundidad. Encuentre el ancho L de la superficie, cuando el canal lleve agua

con una profundidad de 40 cm.

L= 328 unid.

TAREA 352. Grafique cada una de las siguientes ecuaciones. Identifique sus elementos y rea:

a)

b)

Q ( 0 ; 0 )L1 ( 1 ; 1/ 2 )R1 ( 1 ; -1 2 )L2 ( -1 ; 1 2 )R2 ( -1 ; -1 2 )

LLR=2(1/ 2 ) unidREA= 2 unid 2

V1 ( 2 ; 0 )V2 ( - 2 ; 0 )F1 ( 1 ; 0 )F2 ( -1 ; 0 )B1 ( 0 ; -1 )B2 ( 0 ; 1 )

Q ( 0 ; 0 )

L1 ( -3 2 ; 3 )R1 ( 3 2 ; 3 )L2 ( -3 2 ; -3 )R2 ( 3 2 ; -3 )

LLR=2(3/ 2 ) unidREA= 9 2 unid 2

V1 ( 0 ; 3 2 )V2 ( 0 ; -3 2 )F1 ( 0 ; 3 )F2 ( 0 ; -3 )B1 ( 3 ; 0 )B2 ( -3 ; 0 )

B2

V2 V1

F2

B1

F1

L2 L1

R1 R2

x

y

Q

V1

V2

F1

F2

B1 B2

R2 L2

L1 R1

x

y

Q


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53. Una puerta tiene forma de una semielpse y tiene 10 pies de ancho en la base y el40% del ancho, de alto en el centro. Una caja con 2 pes de altura ingresar por elcentro de la puerta. Qu tan ancha puede ser la caja?

L=5 3 unid.

54. Una pista de carreras es de forma elptica siendo la longitud de su eje mayor 100m yla de su eje menor 50% menos que el eje mayor. Calcule la longitud de la cuerdaperpendicular al eje focal que dista 10m de uno de sus vrtices.Longitud de cuerda = 30 metros

55. Halle la ecuacin de las elipse que es tangente a las rectas : y. Adems, el eje focal tiene por ecuacin

Respuesta: 11114 2

2

2

2

y x

56. El eje normal de una elipse tiene por ecuacin , y uno de sus vrticeses el punto V (8; 5). Halle la ecuacin general de la elipse, sabiendo adems quesu eje menor se ve desde uno de los focos bajo un ngulo recto.

Respuesta: 132

)5(

64

22 y x

57. Calcule los valores de de una elipse, cuyo lado recto se observa desde elcentro bajo un ngulo recto.Poniendo las variables a y c en funcin de b y partiendo de:

a b c

2

; 222 c b a ; se obtiene:2

15b a ;

2

15b c

58. Determinar las longitudes de los dimetros de las cnicas cuyas ecuaciones

son respectivamente , , si sesabe que estos dimetros estn sobre una misma recta. Adems, determinar laecuacin de la recta que contiene a dichos dimetros.

Dimetro circunferencia = 25 unid; Dimetro elipse = 4 unid.


25/25

59.La rbita de la tierra es una elipse con semieje mayor de longitud 150x106 km y una

excentricidad . Si se sabe que el sol se encuentra en un foco de esta elipse,

determinar en cunto excede la mayor distancia de la tierra al sol (afelio) de la menor(perihelio).

Distancia mayor = a+cDistancia menor = a-cDiferencia de distancias = 2c = 5,1 x 106 km.

60.Determinar la ecuacin cannica de una elipse de eje focal vertical, sabiendo adems que

pasa por el punto A (1; 4) y la longitud de su lado recto es veces su semidistanciafocal.

Respuesta: 1189

22 y x

61. Un punto ficticio P se desplaza sobre una elipse. Si la distancia menor y mayor del punto P auno de los focos son 10 cm. Y 30 cm; determine el rea del rectngulo que resulta al unir losextremos de los lados rectos.rea = 600 cm2.

62.El cometa de Halley tiene una rbita elptica con dimetros mayor y menor respectivos de36,18 UA y 9,12 UA (1 UA es la unidad astronmica, la distancia media de la tierra al sol).Cul es su mximo acercamiento al Sol (suponiendo al Sol en uno de sus focos)?

Mximo acercamiento (aprox.) = 0,59 UA

63.Una elipse es tangente a una circunferencia, de centro en el origen de coordenadas y radioigual a 3u, de tal manera que sus focos se encuentran sobre la circunferencia. Determine suecuacin.

Respuesta: 1918

22 y x

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