Las Conicas

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Cónicas Las curvas cónicas son las que se obtiene al seccionar un cono por un plano y son tres fundamentales, la elipse, la hipérbola y la parábola, más una cuarta la circunferencia. Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante Ilustración

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Las conicas

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Cnicas

Las curvas cnicas son las que se obtiene al seccionar un cono por un plano y son tres fundamentales, la elipse, la hiprbola y la parbola, ms una cuarta la circunferencia.

Elipse La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constanteIlustracin

ElementosLos Radios Vectores de un punto son los segmentos PF y PF.Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos F y F.Eje Secundario: Es la mediatriz del segmento FF.Centro de la elipse: Es el punto en el que se cortan los ejes.Distancia Focal: Es el segmento FF y su longitud es 2c.Vrtices: Son los puntos A, B, C, D en los que los ejes cortan a los ejes.Eje Mayor: Es el segmento AB y su longitud es 2a.Eje Menor: Es el segmento CD y su longitud es 2b.

Ecuacin General:Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuacin de la elipse ser:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:Ax + By + Cx + Dy + E = 0

Ejercicio de ejemplo:Analizar la siguiente ecuacin:

Factorizamos y complementamos al cuadrado.

Ecuacin de la elipse.

Obtenemos los datos de la elipse

Con los datos obtenidos podemos graficar la elipse y obtenemos lo siguiente

ParbolaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.IlustracinElementosFoco: Es el punto fijo F.Directriz: Es la recta fija D.Parmetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parbola se le llama parmetro p.Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetra de la parbola.Vrtice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. Tambin se puede ver como el punto de interseccin del eje con la parbola.Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parbola con el foco.

Ecuacin General

Ejercicio de EjemploTenemos la ecuacin 2x = y2+8y+222x-22+16 = y2+8y+16 (completar al cuadrado)2x-6 = (y+4)2 (factorizamos y operamos)2(x-3)2 = (y+4)24P = 2P = 2/4P = 1/2Vrtice (3,-4), Foco = (7/2,-4), Directriz (5/2,-4)

Hiprbola Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hiprbola.

Ilustracin

ElementosFocos: son los puntos fijos F y F'Radio vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hiprbola en dos puntos llamados vrtices de la hiprbola: A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe el nombre de centro de la hiprbola.

Ecuacin GeneralAx2+By2+Cx+Dy+E=0

Ejercicio de EjemploHallar la ecuacin cannica, los focos, los vrtices, la excentricidad y las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 9x2 y2 36x 6y + 18 = 0Completando cuadrados en ambas variables tenemos 9(x2 4x + 4 4) (y2 + 6y + 9 9) + 18 = 0 9(x 2)2 36 (y + 3)2 + 9 + 18 = 0 9(x 2)2 (y + 3)2 = 9Dividiendo por 9 a ambos miembros de la igualdad queda:(x-2)2 - (y-3)2 = 1 9Por tanto, el centro est en (2, 3). El eje transverso de la hiprbola es horizontal, a = 1 y b = 3.Como c2 = a2 + b2, se tiene que c = 10. Por lo tanto los vrtices estn en (1, 3) y (3, 3), en tanto que los focos se ubican en (2 + 10, 3) y en (2 10, 3).La excentricidad es e = 10.

CircunferenciaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ilustracin

ElementosCentro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.Dimetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio.Arco: es un segmento curvilneo de puntos que pertenecen a la circunferencia.Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los dimetros.Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.

Ecuacin Generalx2 2ax + a2 + y2 2by + b2 r2 = 0 ecuacin que ordenada serax2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2 = 0Si para tener una ecuacin ms sintetizada hacemos las siguientes asignaciones: 2a = D, 2b = E, a2 + b2 r2 = F La ecuacin quedara expresada de la forma:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuacin General de la Circunferencia

Ejercicio de EjemploDemostrar que la ecuacin representa un crculo y determinar el centro y el radio del mismo.

Completando cuadrados...

Entonces, obtenemos que el centro est enySi graficamos la circunferencia se vera de la siguiente manera

Transformacin de CoordenadasLa transformacin de coordenadas es una operacin por la cual una relacin, expresin o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. Analticamente, la ley se expresa por una o ms ecuaciones llamadas ecuaciones de transformacin.

Coordenadas cartesianasCon coordenadas cartesianas sealas un punto diciendo ladistancia de ladoy ladistancia vertical:

Coordenadas polaresCon coordenadas polares sealas un punto diciendo ladistanciay elnguloque se forma:

Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el tringulo:

De cartesianas a polaresSi tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r, ), necesitas resolver un tringulo del que conoces dos lados.Ejemplo: qu es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos elteorema de Pitgoraspara calcular el lado largo (la hipotenusa):r2= 122+ 52r = (122+ 52)r = (144 + 25) = (169) = 13Usa lafuncin tangentepara calcular el ngulo:tan() = 5 / 12= atan( 5 / 12 ) = 22.6As que las frmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,) son:r = (x2+ y2)= atan( y / x )De polares a cartesianasSi tienes un punto en coordenadas polares (r,) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un tringulo del que conoces el lado largo y un ngulo:Ejemplo: qu es (13, 23 ) en coordenadas cartesianas?Usamos lafuncin cosenopara x:cos( 23 ) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos:x = 13 cos( 23 ) = 13 0.921 = 11.98

Usamos lafuncin senopara y:sin( 23 ) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos:y = 13 sin( 23 ) = 13 0.391 = 5.08

As que las frmulas para convertir coordenadas polares (r,) a cartesianas (x,y) son:x = r cos()y = r sin()