UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA

Nombre: Stephany Abigail Martnez Rivera N. de lista 28Cuenta: 20152000758Asignatura: Geometra y Trigonometra (MM 111)Seccin: 1100Catedrtica: Ing. Dinora MejaTrabajo: Investigacin de Cnicas Fecha: 5 de mayo de 2015

INTRODUCCIN

Las secciones cnicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C., sin embargo, los estudios sistemticos y racionales no comenzaron hasta aproximadamente el primer siglo de la poca Helenista, donde El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cnicas. Lleg a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clsicos: la construccin de un cubo del doble de volumen de otro cubo; posteriormente, sobresalieron por su contribucin e importantes logros de los matemticos Euclides, Arqumedes y Apolonio de Perga. De estos tres personajes, sern Euclides y Apolonio quienes sentaran los conocimientos esenciales de la poca, y de entonces en adelante. El primero escribi un tratado de cuatro tomos sobre las secciones cnicas, pero sera Apolonio quien, con su obra CONICAS (recopilada en 8 tomos), establecera los conocimientos y bases fundamentales de las secciones cnicas las cuales prevaleceran hasta nuestros das, ya que, luego de la publicacin de dicha obra suya, ningn otro matemtico de la historia tratara de mejorar lo establecido por Apolonio. A estas secciones cnicas se les han dado diferentes definiciones, las cuales provienen de ramas de la matemtica, tales como la geometra analtica, la geometra proyectiva, etc.

CNICAS

Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vrtice, se obtienen las cnicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parbola, hiprbola y circunferencia.

En coordenadas cartesianas, las cnicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadrticas de dos variables (x,y) de la forma:

ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,En la que, en funcin de los valores de los parmetros, se tendr:

h > ab: hiprbola.h = ab: parbola.h < ab: elipse.a = b y h = 0: circunferencia.

CIRCULO

Se entiende como crculo a aquella figura geomtrica que consta de una forma establecida a partir de una lnea curva cerrada. El crculo cuenta con una caracterstica principal que es que todos los puntos que se establecen desde su centro tienen la misma distancia hacia la lnea que sirve de permetro, es decir que son equidistantes. Una importante aclaracin en trminos de lo que representa un crculo es aquella que nos manifiesta que el crculo es la superficie del plano interior a una circunferencia. As, es la circunferencia el lmite o el permetro del crculo, lmite establecido por una lnea curva cerrada. Por lo tanto, no deben ser confundidos o tomados por iguales ambos trminos aunque en el lenguaje comn se suele cometer este error.

Elementos

Segmento circular: Un segmento circular es la porcin de crculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Semicrculo: es la porcin del crculo limitada por un dimetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del crculo. Zona circular: La zona circular es la porcin de crculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular: El sector circular es la porcin de crculo limitada por dos radios.

Corona circular: es la porcin de crculo limitada por dos crculos concntricos.

Trapecio circular: es la porcin de crculo limitada por dos radios y una corona circular.

Ecuacin de la circunferencia con centro (0,0)

Cuando el centro est en el origen (0, 0), la ecuacin de una circunferencia se simplifica a:x^2 + y^2= r^2

A esta ecuacin se le conoce como ecuacin cannica y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C (0,0), por lo que la expresin ordinaria queda reducida a:

Ejemplo

Determinar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C (0,0).

Ecuacin de la circunferencia con centro (h,k)

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuacin.

(x-h) + (y-k) =r, donde (h,k) es el centro y r es el radio.

Para determinar la ecuacin ordinaria de la circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio.

Ejemplo

Determinar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est en C (3,-4) y que pasa por el punto A (6,12)

PARABOLA

La parbola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r.

Elementos

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija D.

Parmetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parbola se le llama parmetro p.

Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetra de la parbola.

Vrtice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. Tambin se puede ver como el punto de interseccin del eje con la parbola.

Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parbola con el foco.

Ecuaciones de una parbola con vrtice (0,0)

Primeramente, estudiaremos la ecuacin de la parbola para los casos en que su vrtice est en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y segn esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuacin y cada una es caracterstica.

Para iniciar nuestra explicacin empezaremos con la parbola cuyo vrtice est en el origen, su eje focal o de simetra coincide con el eje de las X (abscisas) y que est orientada (se abre) hacia la derecha.

Por definicin, sabemos que, en una parbola la distancia entre un punto P (no confundir con el parmetro p), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco F ser igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

Simplificando trminos semejantes y reordenando la expresin, se obtiene:

y2 = 4pxQue es ecuacin de la parbola en su forma ordinaria o cannica.

Esta ecuacin tiene leves variaciones segn sea la orientacin de la parbola (hacia donde se abre).

Veamos ahora las cuatro posibilidades:

Primera posibilidad

La que ya vimos, cuando la parbola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas X

Ecuacin de la parbola y2 = 4pxEcuacin de la directriz x + p = 0

Segunda posibilidad

Cuando la parbola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas X.

Ecuacin de la parbola y2 = 4pxEcuacin de la directriz x p = 0

Tercera posibilidad

Cuando la parbola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas Y.

Ecuacin de la parbola x2 = 4pyEcuacin de la directriz y + p = 0

Cuarta posibilidad

Cuando la parbola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas Y.

Ecuacin de la parbola x2 = 4pyEcuacin de la directriz y p = 0

Ejemplo:

Obtener la ecuacin, el foco y la directriz de la parbola con vrtice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), adems su eje de simetra (o eje focal) es paralelo al eje X.

Resolucin: El punto B (3, 4) nos indica que

X = 3Y = 4

Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuacin:

Entonces la ecuacin ser:

Y el Foco estar en el punto 4/3, 0

Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz est a la misma distancia de p respecto al vrtice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz ser:Ecuaciones de una parbola con centro (h,k)

Ahora analizaremos los casos en que se puede obtener la ecuacin que describe una parbola cuyo vrtice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados.

Cuando el vrtice de la parbola se localiza en cualquier punto, por convencin ubicado en las coordenadas (h, k), y distinto al origen, la ecuacin que describe a la parbola cambia en funcin de la posicin de este punto y de la orientacin de apertura respecto de los ejes x e y.

Debido a estas caractersticas, tambin tenemos cuatro posibilidades de ecuaciones de parbolas cuyo vrtice est fuera del origen del sistema de ejes coordenados.

Primera posibilidad

Que la parbola se abra hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas X.

Ecuacin de la parbola (y k)2 = 4p(x h)Ecuacin de la directriz x h + p = 0

Segunda posibilidad

Que la parbola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas X.

Ecuacin de la parbola (y k)2 = 4p(x h) Ecuacin de la directriz x h p = 0

Tercera posibilidad

Que la parbola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas Y

Ecuacin de la parbola (x h)2 = 4p (y k)Ecuacin de la directriz y k + p = 0

Cuarta posibilidad

Que la parbola se abra hacia abajo (sentido negativo) del eje de las ordenadas Y.

Ecuacin de la parbola (x h)2 = 4p(y k)Ecuacin de la directriz y k p = 0

Ejemplo

Encontrar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (3, 2) y foco en (5, 2).

Desarrollo:Al analizar las coordenadas de vrtice (3, 2) y foco (5, 2), vemos que su ordenada es comn (y = 2), por lo que se concluye que estn alineados horizontalmente y que el foco est a la derecha del vrtice.

Segn ya vimos, en este caso la ecuacin que resulte tiene la forma

(y k)2 = 4p(x h)

Siendo las coordenadas del vrtice (h, k), se sustituyen en la ecuacin y resulta:

(Y 2)2 = 4p(x 3)

En donde el parmetro p representa la distancia del vrtice al foco, que podemos calcular por diferencia de las abscisas correspondientes:

p = 5 3p = 2

Sustituyendo: (y 2)2 = 4(2)(x 3)

Queda: (y 2)2 = 8(x 3), ecuacin escrita en la forma ordinaria o cannica.

ELIPSE

La elipse es una lnea curva, cerrada y plana cuya definicin ms usual es:

La elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado

Elementos de una elipse

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de interseccin de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vrtices: Son los puntos de interseccin de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetra: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetra: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de interseccin de los ejes de simetra.

Ecuacin de la Elipse

ExcentricidadEcuacin reducida de la elipse:Elipse con los focos en el eje OY:

Elipse con ejes paralelos a OX y sin centro en el origen

Elipse con ejes paralelos a OY y sin centro en el origen

Ejemplo

Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de la siguiente elipse.

HIPRBOLATrayectoria de un punto que se mueve en un plano tal que la diferencia de las distancias de dos puntos fijos (focos) a cualquier punto en la trayectoria se mantiene constante, en donde la constante debe ser menor que la distancia entre los dos puntos fijos. La hiprbola tiene dos ramas y dos ejes de simetra. El eje a travs del foco (eje transversal) corta a la hiprbola en dos vrtices. Al eje que se encuentra en ngulo recto con el eje transversal que pasa a travs del centro de la hiprbola, se le llama eje conjugado.

Elementos de la Hiprbola Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de interseccin de los ejes. Vrtices: Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vrtices y de radio c. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b. Ejes de simetra: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. Asntotas: Son las rectas de ecuaciones

Relacin entre los semiejes:

Ecuacin de la hiprbola con centro (0,0)La ecuacin de la hiprbola se puede expresar cuando su centro es O= (o1, o2) como:

Si lahiprbolatiene su centro en el origen,O=(0,0), suecuacin es:

Adems, los puntos de una hiprbola son los que cumplen la ecuacin general de la hiprbola:

Siendo A, B, C, D y E escalares (nmeros reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Ejemplo:Hallar la ecuacin de una hiprbola sabiendo que su centro es O=(1,2), un vrtice es V2=(5,2) y un foco F2=(6,2).Los parmetros sern: Semieje real: a=5-1=4. Semidistancia focal: c=6-1=5. Dado que:

El semieje imaginario es: Aplicando estos valores a la ecuacin de lahiprbola, tendremos:

FORMA GENERAL DE UNA CNICA

Identificacin de cnicas sin completar los cuadrados Excluyendo los casos degenerados, la ecuacin: Ax^2 + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0Donde A y C no pueden ser ambos iguales a cero. Define una parbola si AC=0 Define una elipse (o un circulo) si AC >0. Define una hiprbola si AC 0, entonces A y C tienen el mismo signo. Si AC