LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALA RECTACondicin para que 3 puntos estn alineados.) ( ), , ( ), , (C C B B A Ay x C y x B y x A Estarn alineados cuando los vectoresAByBC tengan la misma direccin, esto ocurre cuando son proporcionales.B CA BB CA By yy yx xx xPunto medio de un segmento.Punto medio = MExtremos = ) , ( ), , (B B A Ay x B y x A

,_

+ +2,2B A B Ay y x xMEcuacin continua de la recta:Despejamos k e igualamos:)')+ + 22112 21 1vp ykvp xkkv p ykv p x

2211vp yvp x Ecuacin explcita de la recta r.BA Cyx Cambio de variables: [BAmBCn ]n mx y + Pendiente:( ) [ ] [ ] m n mx n m mx n mx n x m + + + + +0 0 0 01m tg Para obtener la pendiente de una r a partir de 2 puntos:Puntos: ( )1 1 1, y x Py( )2 2 2, y x Pxyx xy ytg m 1 21 2Forma punto pendiente de la ecuacin de una recta:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.10 + + C B Ay x LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAConocemos un punto( )0 0, y x Py su pendientem , la ecuacin es:( )0 0x x m y y + UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.2 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASimtrico de un punto respecto de otro.Punto( ) y x A , , El punto de simetra( ) , P , y el punto a averiguar( ) y x A , :) + +22y yx xAngulo entre dos rectas:Se coge el ms pequeo y se obtiene a partir de los dvde las dos rectas.d dd d cosParalelismo:Si( )2 1, d des un dvde la recta r y k 0,Cualquier recta con dv =( )2 1, d do proporcional( )2 1, kd kd , es paralela o coincide con r.Perpendicularidad:Cualquier recta con dv =( )1 2, d d o proporcional( )1 2, kd kd es perpendicular a r.ngulo de dos rectas a partir de la pendiente: Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente 2 1m m Si las rectas don, entonces:12 1 m mo bien: 121mm En general: 1 21 21 m mm mtg +

( )1 21 21 1 m mm mtg tgtg tgtg tg + + Posicin relativa de rectas dadas en forma general: 0 + + C By Ax ry 0 + + x C x B x A s Si tiene solucin nica, las rectas se cortan.BBAA Si no tiene solucin, las rectas son paralelas.CCBBAA Si tiene soluciones infinitas son la misma recta.CCBBAAPosicin relativa de rectas dadas:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.3' + + + +00x C x B x AC By Ax LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICADadas las rectas'+ + dk c ybk a xr' + + t d c yt b a xsPara hallar su posicin relativa resolvemos el sistema con 2 incognitas, kys:' + + + +t d c dk ct b a bk a Igualamos las x y las y de las 2 rectas. El sistematienesolucinnica( )0 0, t k , lasrectassecortanenunpuntocuyas cordenadas se obtienen sustituyendo en r,kpor 0k, o bien en s,tpor 0t. El sistema no tiene solucin, las rectas son paralelas. El sistema tiene infinitas soluciones, son la misma recta.DistanciasLa distancia entre dos puntos( )P Py x P , , ( )Q Qy x q , es el mdulo del vectorPQ :( ) ( ) ( )2 2,P Q P Qy y x x PQ Q P dist + La distancia de un punto( ) b a P ,a la recta 0 : + + C By Ax r es:( )2 2,B AC Bb Aar P dist++ +EJERCICIOS RESUELTOS01.Hallar la recta paralela y la recta perpendicular a la recta:a)3x + 7y = 6 y que adems pasa por el punto (1/3, -2)b)3x -y = 4 y que adems pasa por el punto (3, 5)c)2x + 5y = 3 y que adems pasa por el punto (1/2, -1)d)3x + 7y = 6 y que adems pasa por el punto (1/3, -2)RESOLUCINa) 7 / 3 6 7 3 + m y xb) 3 4 3 m y xLuego: 733 / 1) 2 ( xyLuego:335xy731 3) 2 ( 3 +xy9 3 5 x y3 9 42 21 + + x y 0 4 3 + x y0 39 9 21 + + x yUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.4 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAc) 5 / 2 3 5 2 + m y xd) 7 / 3 6 7 3 + m y xLuego: 522 / 1) 1 ( xyLuego: 733 / 1) 2 ( xy521 2) 1 ( 2 +xy731 3) 1 ( 3 +xy2 4 10 10 + + x y 3 9 21 21 + + x y0 8 4 10 + + x y 0 18 9 21 + + x y02. Hallar los puntos de interseccin de las rectas: a)y =2x + 1, 2x + 2y = 3, x - 3y =1b)y = -2x + 5, 2x + 5y = 3, x =5 c) y = x + 1, 2x- 2y = 3, -2x + 3y = -7 d)y = -3x + 7, 4x + 2y = 5, y = -2xRESOLUCIONa) 3 2 2 1 2 + + y x x y 1 3 1 2 + y x x y

22 31 2xy x y + 311 2 + xy x y22 31 2xx +311 2 +xxx x 2 3 12 4 +1 3 6 + x x9 6 x 4 5 x5 2 / 3 y x 5 / 3 5 / 4 y xPunto de interseccin: ) 5 , 2 / 3 (Punto de interseccin: ) 5 / 3 , 5 / 4 ( 1 3 3 2 2 + y x y x3122 3 xyxy 3122 3 x x ) 1 ( 2 ) 2 3 ( 3 x x

2 2 6 9 x xx 8 11

8 / 1 8 / 11 y xPunto de interseccin: ) 5 / 3 , 5 / 4 ( UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.5 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.6 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAb) 3 5 2 5 2 + + y x x y 5 5 2 + x x y

52 35 2xy x y + 5 ) 5 ( 2 + y52 35 2xx + 5 yx x 2 3 25 10 + x 8 22 2 / 1 4 / 11 y xPunto de interseccin: ) 2 / 1 , 4 / 1 ( Punto de interseccin: ) 5 , 5 ( 5 3 5 2 + x y x 3 5 ) 5 ( 2 + y 7 5 y

5 / 7 yPunto de interseccin: ) 5 / 7 , 5 ( c) 3 2 2 1 + y x x y 7 3 2 1 + + y x x yTienen igual pendiente,37 21 + xy x yentonces son paralelas 37 21 +xx 7 2 3 3 + x x10 2 x 4 5 y xNo existe punto de interseccin Punto de interseccin: ) 4 , 5 ( 7 3 2 3 2 2 + y x y x

37 223 2 xyxy

37 223 2 x x

) 7 2 ( 2 ) 3 2 ( 3 x x

14 4 9 6 x x 5 2 x

4 2 / 5 y xPunto de interseccin: ) 4 , 2 / 5 ( UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.7 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAd) 5 2 4 7 3 + + y x x y x y x y 2 7 3 +

24 51 2xy x y + x x 2 7 3 +

24 51 2xx + 7 xx x 4 5 2 4 + 3 8 x 8 / 47 8 / 3 y x 14 7 y xPunto de interseccin: ) 8 / 47 , 8 / 3 (Punto de interseccin: ) 14 , 7 ( x y y x 2 5 2 4 +Tienen igual pendiente, entonces son paralelas No existe punto de interseccin03. Hallar las tres rectas que se generan con los puntos:a)( 1 , 0 ),( 2, -1 )y( -1, -3 )b)( 2 , 0 ),( 3, -1 )y( -3, -3 )c) ( 3 , 0 ),( 4, -1 )y( -5, -3 )d)( 4 , 0 ),( 5, -1 )y( -7, -3 )RESOLUCINa) ) 1 , 2 ( ) 0 , 1 ( ) 3 , 1 ( ) 0 , 1 ( ) 3 , 1 ( ) 1 , 2 ( 1 2) 1 ( 010 xy) 1 ( 1) 3 ( 010 xy) 1 ( 2) 3 ( 12) 1 ( xy11 xy

231 xy 3221+xy1 x y ) 1 ( 3 2 x y

) 2 ( 2 ) 1 ( 3 + x y0 1 + x y 0 3 3 2 + x y 0 7 2 3 + x yb) ) 1 , 3 ( ) 0 , 2 ( ) 3 , 3 ( ) 0 , 2 ( ) 3 , 3 ( ) 1 , 3 ( 3 2) 1 ( 020 xy) 3 ( 2) 3 ( 020 xy) 3 . ( 3) 3 ( 13) 1 ( xy12 xy

532 xy 3131+xy2 + x y ) 2 ( 3 5 x y

3 ) 1 ( 3 + x y0 2 +x y 0 6 3 5 + x y 0 6 3 + x yUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.8 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAc) ) 1 , 4 ( ) 0 , 3 ( ) 3 , 5 ( ) 0 , 3 ( ) 3 , 5 ( ) 1 , 4 ( 4 3) 1 ( 030 xy) 5 ( 3) 3 ( 030 xy) 5 . ( 4) 3 ( 14) 1 ( xy13 xy

833 xy 9241+xy3 + x y ) 3 ( 3 8 x y

) 4 ( 2 ) 1 ( 9 + x y0 3 +x y 0 9 3 8 + x y 0 13 2 9 + x yd) ) 1 , 5 ( ) 0 , 4 ( ) 3 , 7 ( ) 0 , 4 ( ) 3 , 7 ( ) 1 , 5 ( 5 4) 1 ( 040 xy) 7 ( 4) 3 ( 040 xy) 7 . ( 5) 3 ( 15) 1 ( xy14 xy

1134 xy 6151+xy4 + x y ) 4 ( 3 11 x y

5 ) 1 ( 6 + x y0 4 +x y 0 12 3 11 + x y 0 11 6 + x y04. Hallar la recta mediatriz del segmento determinado por los puntos:a) (-1, 2 )y( 2, -5 )b) (-2, 3 )y( 4, -7 )c) (-3, 4 )y( 6, -9 )d) (-4, 5 )y( 8, -3 )RESOLUCINa) ) 5 , 2 ( ) 2 , 1 ( yb) ) 7 , 4 ( ) 3 , 2 ( yHallamos el punto medio Hallamos el punto medio)25 2,22 1( + )27 3,24 2( + )23,21() 2 , 1 ( Hallamos la pendiente Hallamos la pendiente3 / 7 m 3 / 5 mLuego tenemos Luego tenemos732 / 1) 2 / 3 ( xy531) 2 ( xy731 23 2+xy5312+xy3 6 21 14 + x y 3 3 10 5 + x yEcuacin de la mediatriz Ecuacin de la mediatriz0 24 6 14 + x y 0 13 3 5 + x yc) ) 9 , 6 ( ) 4 , 3 ( yd) ) 3 , 8 ( ) 5 , 4 ( yUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.9 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAHallamos el punto medio Hallamos el punto medio)29 4,26 3( + )23 5,28 4( + )25,23(

) 1 , 2 (Hallamos la pendiente Hallamos la pendiente9 / 13 m 3 / 2 mLuego tenemos Luego tenemos1392 / 3) 2 / 5 ( xy2321xy1393 25 2+xy2321xy27 18 65 26 + x y 6 3 2 2 x yEcuacin de la mediatriz Ecuacin de la mediatriz0 92 18 26 + x y 0 4 3 2 + x y05. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ngulo de inclinacin de 135.La ecuacin de la recta se busca por medio de la siguiente expresin; ) (1 1x x m y y DichaecuacinesconocidacomoLaEcuacindelarectaconunpuntodado. Como conocemosel puntoP(4,-1)podemoscalculardicharecta, perotambinesnecesario determinar el valor de la pendiente m,la cual calcularemos de la siguiente forma: 1 ); 135 ( m donde Tag mSustituimos los valores en la expresin y obtenemos;) 4 ( 1 ) 1 ( x y4 1 + + x yx y 3En forma implcita: 0 3 +x yINTRODUCCIN AL ESTUDIO DE LAS CNICASUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.10 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAUnavezquesehanestudiadolossistemasdecoordenadasylasecuacionesdelas figuras geomtricas ms elementales, las rectas, sepasarahacer unestudiode algunas lneas curvas que pueden ser definidas, todas ellas, como lugares geomtricos.Lasfigurasquesevanaestudiar sonlacircunferencia, laelipse, lahiprbolayla parbola, todas ellas conocidas con el nombre genrico de cnicas, pues todas ellas se pueden obtener como interseccin de una superficie cnica con un plano.El estudio de las cnicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cnicas, en el cual seestudianlasfigurasquepuedenobtenerseal cortar unconocualquierapor diversos planos. Previamente a este trabajo existan estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obtenindoseelipses, parbolasohiprbolassegnqueel ngulosuperior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente.Si bien no dispona de la geometra analtica todava, Apolonio hace un tratamiento de lasmismasqueseaproximamuchoaaqulla. LosresultadosobtenidosporApolonio fueron los nicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometra analtica, retomaron el problema llegando a su casitotal estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.La importancia fundamental de las cnicas radica en su constante aparicin en situaciones reales: LaprimeraleydeKepler sobreel movimientodelosplanetasdicequestos siguen rbitas elpticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitacin universal de no haber conocido ampliamente la geometra de las elipses. La rbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parbola. As, la lnea que describe cualquier mvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parbola.Estonoesrealmenteexacto, yaquelagravedadnoesconstante: dependedela distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el mvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.Una cnica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cnica con un plano; o como el lugar geomtrico de los puntos del plano tal que la razn de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definicin especfica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.11 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALASC N I C A S ElipseCircunferencia Hiprbola Parbola El primer matemtico que inici el estudio de las cnicas fue Apolonio de Perga (262 190 a.C), que ense matemticas en las universidades de Alejandra y Prgamo. Su estudio lo plasm en su tratado Cnicas, que constaba de ocho libros. Cuatro de ellos se conservan originales, otros tres gracias a la traduccin al rabe llevada a cabo por Thabit ibn Qurra, habiendo desaparecido el octavo. En 1710, Edmund Halley, el astrnomo, public una traduccin de los siete libros conocidos en latn.La importancia de las cnicas radica en su aplicacin al estudio del movimiento de losplanetas, debidoaqueestossiguenrbitaselpticas, enunodecuyosfocosse encuentra el Sol, caracterstica utilizada por Kepler en su estudio sobre los planetas y por Newton en Ley de Gravitacin Universal.Otra aplicacin de las cnicas es al estudio de los movimientos de los proyectiles, tiro horizontal y parablico.As mismo seutilizan las propiedades de las cnicas para la construccin de antenas y radares, sabiendo que cualquier onda que incide sobre una superficie parablica, se refleja pasando por el foco.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.12 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEstas cnicas son producidas por secciones de una superficie de revolucin, llamado cono, por un plano que no pasa por el vrtice. Si el plano corta todas las generatrices, la seccin producida se llama elipse. Si adems, el plano es perpendicular al eje del cono, la seccin obtenida es una circunferencia. Si el plano es paralelo a una sola generatriz, la curva obtenida ya no es cerrada, est en una de las hojas del cono, consta de una sola rama y se llama parbola. Si el plano es paralelo a dos generatrices, entonces corta a las dos hojas del cono en una curva abierta formada por dos ramas separadas, llamada hiprbola.Desde este punto de vista, pueden establecerse los elementos notables tales como: centro, ejes, focos, directrices,.... y estudiar las propiedades mtricas. Sin embargo se va a partir en este libro de definiciones basadas en propiedades mtricas, y a partir de ah se hallarn sus ecuaciones en un sistema cartesiano.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.13 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA2.1. CIRCUNFERENCIA ( I )2.1.1.Definicin:Unacircunferenciaesel lugar geomtrico delos puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.2.1.2. Ecuacin de la circunferenciaConsidrese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condicin para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:r O X d ) ; (, es decir:r b y a x + 2 2) ( ) ( 2 2 2) ( ) ( r b y a x + Desarrollando los cuadrados se tiene:2 2 2 22 2 r y by y a ax x + + + 0 2 2 = r - b + a + by- ax - y + x2 2 2 2 2Llamando2 2 22 r b a C y b B -2a, A + , se tiene: 0 = C + ByAx y + x2 2+ +ObservacinParasabersi unaecuacindelaforma0 = C + ByAx y + x2 2+ + correspondeauna circunferencia, calculamos el valor del radio que sera:C b a r + 2 2 2, y siendo 2BB ,2A- a , tendramos: CB Ar ,_

+ ,_

2 22 2y operando y sacando factor comn obtendramosC B A r 4212 2 + . Si evaluamosel signodeC B A 42 2 +, podemossaber si laecuacinantesdadale corresponde o no con una circunferencia:' + < + > +p unto un es C - B A Sii maginaria n ci a circunfere una es C - B A Sireal ncia circunf ere u na es C - B A Si2 22 22 20 40 40 4Recuerda que :El centro y radio de la circunferencia 0 = C + ByAx y + x2 2+ + , est dado por:C B A21r242 + 2) 2 ( B/ - , -A/ CEjemploHallar la ecuacin de la circunferencia centrada en el punto P(5; -2) y de radio 3.ResolucinLa distancia de) ( y ; x Xal punto P(5; -2) es:2 22) ( 5) - ( ) ( + + y x P ; X dPara que el punto est sobre la circunferencia se ha de verificar:3 2) ( 5) - (2 2 + + y xUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.14 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAElevando al cuadrado:9 2) ( 5) - (2 2 + + y xDesarrollando:9 4 4 25 102 2 2 + + + + y y x - x0 20 4 10 -2 + + + y x y x2EjemploHalla la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto (2; -1) y radio 3.ResolucinEscribimos la ecuacin9 1) ( 2) - (2 2 + + y xDesarrollando:9 1 2 4 42 2 + + + + y y x xDe donde obtenemos: 0 4 2 42 2 + + y x y xEjemploCalcular la ecuacin de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene alpunto (-2, 3).Resolucin:13 1) - (3 1) - (-22 2 + rAs la ecuacin es:13 1) ( 1) ( +2 2- y - xDesarrollando:13 + + + 1 2 1 22y y x x20 11 2 22 + y x y x2EjemploHallar la ecuacin de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta0 3 2 + y x-.ResolucinEl radio es la distancia del centro a una recta tangente: 5252) 2 ( 13 4 . 2 32 2 ++ La ecuacin es:2 2 2) 5 2 ( 4) ( 3) - ( / - y x + 5 4 8 9 62 2 2 2/ y y - y x - x + + + 0 121 40 30 5 52 2 + + y - x - y xEjemplo Cul es la ecuacin de la circunferencia que contiene a los puntos (3; 2),(2; 4)y (-1; 1)?ResolucinLa ecuacin de una circunferencia cualquiera es de la forma:0 = C + ByAx y + x2 2+ +UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.15 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAPara que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, stos han de verificar la ecuacin:2 0 1 ) 1 ( ) 2 1 (20 4 2 0 4 2 4 2 ) 4 2 (13 2 3 0 2 3 2 3 ) 2 3 (2 22 22 2 + + + + + + + + + + + + + + + + +C B A C B A ;C B A C B A ;C B A C B A ;Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se obtiene: 32313;35 C ; B AAs, la ecuacin pedida es:032313352 2 + + y x y x EjemploLa ecuacin 0 4 5 32 2= y - x+y x +corresponde a una circunferencia?.ResolucinEvaluemos el signo de0 42 2C= - B + A .4 5 3 - C ; - B ; A , entonces0 ( - 4 ) 4 - ( - 5 ) + 32 2, podemos concluir que es la ecuacin de una circunferencia.Ejemplo: Halla el centro y el radio de la circunferencia:0 13 2 82 2= y x + y x + + ResolucinCentro ) 1 (4 ) 2 2 2 8 ( ; / ; /Radio:2 13 4 2 8212 2 + r ra) Determinacin de la ecuacin de una circunferencia conocido el centro y el radioSe escribe directamente la ecuacin reducida.Ejemplo:Halla la ecuacin de la circunferencia de centro (1; - 2) y radio 2.2 2 22 ) 2 ( ) 1 ( + + y x , desarrollando:0 1 4 22 2 + + + y x y xb) Determinacin de la ecuacin de una circunferencia conocido el centro y un punto Se calcula el radio y se escribe la ecuacin:EjemploUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.16 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAHalla la ecuacin de la circunferencia de centro (2, - 1) y pasa por el punto (2, 4).Radio: 5 ) 1 (4 ) 2 - 2 (2 2 2 + + r rEcuacin: 25 ) 1 ( ) 2 - (2 2 + + y xc) Determinacin de la ecuacin de una circunferencia conocido un dimetroSe calcula el punto medio del segmento, que ser el centro de la circunferencia y posteriormente el radio, como en el apartado anterior:Ejemplo2Halla la ecuacin de la circunferencia que tiene un dimetro de extremos A(1; 3) y B(-1; 1).Centro: ( ) 2 021 321 1; ; ,_

+ Radio: 2 2 2) 2 3 ( ) 0 - 1 ( + rEcuacin:2 ) 2 ( ) 0 - (2 2 + y xRecuerda que:La distancia del punto ) ( b ; a PP (a, b) a la recta 0 + + C By Ax, viene dada por la expresin:2 2. .) ; (B AC b B a Ar P d++ +2.1.3. Elementos de una circunferenciaa) Clculo de los elementos de una circunferencia Laecuacindeunacircunferenciaconcentroen) ; ( b ayradio " "r es: 02 2 + + + + C By Ax y x , donde2 2 2; 2 ; 2 r b a C b B a A + .A partir de estos datos se obtienen los siguientes resultados: 2 2BbAa 4444)2( )2(2 2 2 22 2 2 2 2C B ArC B ACB AC b a r + + + + Si0442 2 + C B A, ha de interpretarse que no existe tal circunferencia y se dir en tal caso que se trata de una circunferencia imaginaria.

UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.17 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEjemploHallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es: 0 3 6 42 2 + + + y x y x .Resolucin:) 3 ; 2 (326222) 4 (22) 4 (2) C e n t r oBbAa1044042 2 + C B A r2.1.4.Potencia de un punto respecto de una circunferenciaConsidrese una circunferencia cualquiera y un punto Pdel plano. Desde el punto Pse trazan dos secantes a la circunferencia, obtenindose los puntos A, A', B y B'.' . ' . PB PA PB PA El valor comn' . ' . PB PA PB PA recibe el nombre de potencia del punto P respecto de la circunferencia dada.Demostracin:Trazando los segmentosAB B A' se obtienen los tringulos' ' PAB y PABEstos dos tringulos son semejantes porque tienen dos ngulos iguales: el ngulo P es comn y ' B B por ser ngulos inscritos en un mismo arco.Aplicando la proporcionalidad de los lados homlogos en los tringulos semejantes, se tiene:PB PA PB PAPBPBPAPA. ' .'' 2.1.5. Clculo de la potencia de un punto respecto de una circunferencia LapotenciadeunpuntoPrespectodeunacircunferenciaesigual al cuadradodela distancia del punto al centro de la circunferencia, d 2, menos el cuadrado del radio de la circunferencia:2 2. r d PB PA Demostracin:Sea O el centro de la circunferencia. La recta que une P con O, corta a la circunferencia en A y en B. UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.18 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALlamando" "daladistancia PO y" "ral radiodelacircunferencia, setieneque r d PB yr d PB + La potencia es entonces:Obsrvesequelapotencia, dependiendodelaposicindel puntoPrespectoala circunferencia, toma losvalores:Positivo, si P es un punto exterior a la circunferencia (d > r)Cero, si P es un punto de la circunferencia (d = r)Negativo, si P es un punto interior a la circunferencia (d > r).2.1.6.Expresin analtica de la potencia de un punto respecto de unacircunferenciaLa ecuacin de una circunferencia es0 = C + ByAx y + x2 2+ + primer miembro se obtuvo elevando al cuadrado la distancia de un punto al centro de la circunferencia y restando el cuadrado del radio, es decir, hallando la potencia del punto respecto de la circunferencia.As pues, paracalcularlapotenciadeunpuntorespectodeunacircunferencia, basta con sustituir las coordenadas del punto en el primer miembro de la ecuacin de la circunferencia.b) Longitud del segmento tangente desde un punto exterior SeaCunacircunferencia,Punpuntoexterioraella,rlarectatangenteaC desde P y A el punto de tangencia.La longitud del segmento es la raz cuadrada de la potencia de P respecto a la circunferencia.Demostracin:Considrese la figura adjunta. El tringulo OPAes rectngulo y las medidas de sus lados son d(distancia de P a O), r (radio de la circunferencia) y t (segmento tangente).Por el teorema de Pitgoras se tiene:r d t d t r2 +2 2 2 2r 2+ t 2= d 2 t 2 = d2 - r2Llamando Pot a la potencia de P respecto de la circunferencia, se tiene que: Pot = d 2 - r2.As pues: 2.1.7.Eje radicalUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.19 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASe llama eje radical de dos circunferencias al lugar geomtrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas.El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.a) Clculo analtico del eje radical de dos circunferencias Sean dos circunferencias de ecuaciones 02 2 + + + + C By Ax y x y 0 ' ' '2 2 + + + + C y B x A y xSuejeradical esel lugar geomtricodelos puntos quetienenlamisma potenciarespectodeambas. Dichaspotenciasson: C By Ax y x + + + +2 2y C By Ax y x + + + +2 2La ecuacin del lugar geomtrico es: ' ' '2 2 2 2C x B x A y x C By Ax y x + + + + + + + +Entonces: 0 ) ' ( ) ' ( ) ' ( + + C C y B B x A A2.1.8.Centro radical de tres circunferencias Se llama centro radical de tres circunferencias, cuyos centros no estn alineados, al punto que tiene la misma potencia respecto de las tres.Como los centros no estn alineados, si se consideran dos de los ejes radicales, stos no sern paralelos y tendrn un nico punto de interseccin. Dicho punto es el centro radical de las tres circunferencias.2.1.9.Construccin grfica del eje radical de dos circunferencias Se consideran dos casos:a)Lascircunferenciassecortanendospuntos. El ejeradical eslarectaque contiene a los dos puntos de interseccin.b) Las circunferencias no son secantes.Se dibuja una circunferencia secante a ambas, de forma que su centro no est alineado con el de stas.Se trazan los ejes radicales de esta nueva circunferencia con cada una de las iniciales; stos se cortan en un puntoC, centro radical de las tres circunferencias, que ha de estar en el eje radical buscado.El eje radical es la recta perpendicular a la recta O'O, trazada desde C.2.1.10. Intersecciones de rectas y circunferencias UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.20 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAConocidaslasecuacionesdeunarectayunacircunferencia, calcular suspuntosde interseccin consiste en plantear y resolver un sistema de ecuaciones.El problema se resuelve de forma anloga si se pretende conocer la interseccin de dos circunferencias.EjemploHallar los puntos de interseccin de la recta0 1 2 + + y xy la circunferencia 0 4 4 22 2 + + y x y xResolucin:Se resuelve el sistema' + + + +) 2 . . . ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 4 4 2) 1 ( . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0 1 22 2y x y xy x y xReemplazando (1) en (2)0 5 4 5 0 4 4 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 (2 2 2 + + y y y y y y'+ +t52 9 2 952 9 252 9 2 952 9 252 9 22 22 1x yx yyPuestenemos dos soluciones:)529 2;529 2 9( )529 2;529 2 9( + + yEjemploHallar los puntos de interseccin de dos circunferencias cuyas ecuaciones son: 0 8 0 11 4 22 2 2 2 + + + + + y x y x y y x y xResolucin: Se resuelve el sistema: ' + + + + +0 80 1 1 4 22 22 2y x y xy x y xSe restan las ecuaciones y se obtiene: 1 0 3 3 3 + y x y xsta es la ecuacin de una recta, el eje radical. UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.21 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA' + + 3 21 24 0 8 2 0 1 1 4 ) 1 ( 2 ) 1 (2 21 12 2 2 2x yx yy y y y y ySe obtienen, pues, dos puntos, (1;2) y (-3; -2).Clculo de rectas tangentes, por un punto, a una circunferenciaSiel punto Ppertenece a la circunferencia,la recta tangente es la perpendicular al radio por P.Siel punto Pes exterior a la circunferencia, el proceso consiste en hallar una recta que, conteniendo al punto, diste del centro un valor igual al radio.EjemploHallar las tangentes a la circunferencia0 18 3 22 2 + + y x y x por los puntos (2,3), (1; 1)y(5;5).ResolucinDe comprueba si los puntos pertenecen o no a la circunferencia:) 3 ; 2 ( 0 18 3 . 3 2 . 2 3 2 ) 3 ; 2 (2 2 + + pertenece a la circunferencia.) 1 ; 1 ( 0 1 8 3 2 1 1 ) 1 ; 1 (2 2 + + es interior a la circunferencia.) 5 ; 5 ( 0 1 8 5 . 3 5 . 2 5 5 ) 5 ; 5 (2 2 + + es exterior a la circunferencia.Segn esto, habr una tangente por (2, 3), ninguna por (1, 1) y dos por (5, 5).Tangente por (2, 3):Se ha de calcular la ecuacin de una recta que pase por (2, 3) y sea perpendicular al radio que contiene a este punto.La recta que contiene al radio pasa por los puntos (2; 3) y(1;-3/2). Su pendientees 292 13 2 / 3 mLa pendiente de la tangente es:922 / 91 1 mm UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.22 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALa ecuacin punto - pendiente de la tangente es) 2 (923 x y .Enel casodel punto(5; 5)hayquehallarlasrectasque, conteniendoaste, su distancia al centro es el radio.La ecuacin de una recta que contenga a (5; 5) es) 5 ( 5 x m y 0 ) 5 5 ( + m y mxLa distanciade (1;-3/2) a dicha recta es: 2 2142315 523mmmm md++ +Dicha distancia ha de ser igual a 485 As ha de ser 4851) 4 2 / 13 (48514213222+ +mmmm 2 285 85 16 5241694 m m m + ,_

+ 2 285 85 64 208 169 m m m + + 0 84 208 212 + m mSustituyendo cada uno de estos valores en la ecuacin) 5 ( 5 x m y se obtienen las dos tangentes.ELIPSESDefinicin:Se llama elipseal lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.La lnea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.Se llaman vrtices de la elipse a los puntos donde sta corta a sus ejes.El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal Generalmenteel ejeprincipal serepresentapor2ayladistanciafocal por2c. Los valores a y c se llaman semieje principaly semidistancia focal , respectivamente.Clculo del eje secundarioUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.23 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALlamandob 2 al eje secundario, P al vrtice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el teorema de Pitgoras:2 2' c b PF + Por definicin de elipse, a PG PF 2 ' + .

A la distancia b se le llama semieje secundario.Radio vectorLasdistanciasdesdeunpuntodelaelipsehastacadaunodelosfocossellaman radios vectores correspondientes a dicho punto.Parasimplificarlosclculos, sesupondrinicialmenteunaelipsecuyocentroesel origen de coordenadas y cuyos focos se encuentran en el eje de abscisas. As los focos sern F(c, 0) y F ''(-c, 0) y los ejes de la elipse son los ejes de coordenadas.Clculo de los radios vectoresDado un punto P(x, y) de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0)yF'(-c, 0) se tiene:

Demostracin:Si el punto pertenece a la elipse, ha de ser:Operando: UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.24 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA Ecuacin cannica de la elipseLa ecuacin de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (-c, 0) es:Demostracin:Sustituyendo en la frmula de uno cualquiera de los radios vectores se obtiene:a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2 b2x2 + a2y2 = a2b2 Vrtices de una elipse referida a sus ejes

(0, b) y (0, -b).Demostracin:Los vrtices son los puntos donde la elipse corta a sus ejes. Se calculan por separado para cada eje:Eje principal:El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su interseccin con la elipse se resuelve el sistema:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.25 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA

Los vrtices son (a, 0) y (-a, 0)Eje secundario:Se resuelve el sistema: Los otros dos vrtices son (0, b) y (0, -b)Ecuacin de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadasSi una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto (x0, y0), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector -x0 1 - y0 2 y obtener una elipse centrada en el origen.Entonces el puntoque ha deverificar la ecuacin cannica es (x- x0,y -y0).Por tanto, su ecuacin es: Desarrollando esta ecuacin, se obtiene:b2x2 - 2b2x0 x + b2x02 + a2y2 - 2a2 y0y + a2y02 - a2b2 = 0,que se puede poner en la forma:Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.26 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEcuacin de una elipse verticalSi una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuacin viene dada por: Los vrtices son los puntos (x0 b, y0) y (x0, y0 a) y los focos son (x0, y0 c).Reduccin de la ecuacin de una elipseDada una ecuacin del tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, sta puede transformarse por elmtodoquese ver enlos ejercicios de aplicacin.Dichaecuacin sellama ecuacin reducida de la elipse.Si el segundo miembro fuese 1, se tendra una elipse centrada en (x0, y0). Los ejesde la elipse son las rectas x = x0 e y = y0. Los vrtices son (x0 a, y0) y (x0, y0 b).En otro caso, como una suma de cuadrados es siempre positiva, se tendra que ningn punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria.EjemploReducir la ecuacin 4x2 + 9y2 - 8x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vrtices.ResolucinSeagrupan lostrminos en x2conlos trminos en xy lostrminosen y2 con los trminos en y:(4x2 - 8x) + (9y2 + 18y) - 23 = 0Sesacafactor comn, encadaparntesis, el coeficientedel trminodesegundo grado:4(x2 - 2x) + 9 (y2 + 2y) - 23 = 0Se opera en cada parntesis hasta obtener un cuadrado perfecto: x2 - 2x = x2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)2 - 1y2 + 2y = y2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)2 - 1La ecuacin se puede escribir: 4[(x-1)2 - 1] + 9[(y + 1)2 - 1] - 23 = 04(x - 1)2 + 9(y +1)2 = 36Se divide entre 36: Centro de la elipse: (1, -1)UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.27 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAFocos:Parahallar los focos hayqueobservar questos sehallanenunarecta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro.Los focos sonLos vrtices se obtienensumando yrestando alas coordenadas del centro los semiejes de la elipse:(1 3, -1), lo que da los puntos (4, -1) y (-2, -1)(1, -1 2), lo que da los puntos (1, 1) y (1, -3)EjemploReducir y, en su caso, hallar los elementos de la cnica de ecuacin x2 + 3y2 - 8x - 12y + 32 = 0Resolucin:(x2 - 8x) + (3y2 - 12y) + 32 = 0(x2 - 8x) + 3(y2 - 4y) + 32 = 0x2 - 8x = x2 + 16 - 16 - 8x = (x - 4)2 - 16y2 - 4y = y2 + 4 - 4 - 4y = (y - 2)2 - 4(x - 4)2 + 3 (y - 2)2 - 16 - 12 + 32 = 0(x - 4)2 + 3(y - 2)2 = -4Como el primer miembro es suma de nmeros positivos y el segundo es un nmero negativo, la ecuacin no tiene solucin y se trata de una elipse imaginaria.Ejemplo Hallar los elementos de la elipse 25x2 + 16y2 - 50x + 64y - 311 = 0Resolucin:(25x2 - 50x) + (16y2 + 64y) - 311 = 025(x2 - 2x) + 16(y2 + 4y) - 311 = 0x2 - 2x = x2 - 2 1x + 12 - 12 = (x - 1)2 - 1y2 + 4y = y2 + 2 2y + 22 - 22 = (y + 2)2 - 4Sustituyendo, la ecuacin es:25(x - 1)2 - 25 + 16(y + 2)2 - 64 - 311 = 025(x - 1)2 + 16(y + 2)2 = 25 + 64 + 311 = 400UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.28 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAComo el denominador de la segunda fraccin es mayor que el de la primera, no puede ser a2 = 16 y b2 = 25, lo cual significa que la elipse tiene su eje principal vertical.Entonces:El centro es (1, -2)Los vrtices son:(1 4, -2), o sea (-3, -2) y (5, -2)(1, -2 5), o sea (1, -7) y (1, 3) Los focos son (1, -2 3), es decir (1, -5) y (1, 1)HIPRBOLASSe llama hiprbola al lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).La recta que une los dos focos se llama eje real de la hiprbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hiprbola.El puntodondesecortanambosejes(quees, evidentemente, el puntomediodelos focos) se llama centro de la hiprbola.Los puntos donde la hiprbola corta a los ejes (se ver que nicamente corta al eje real) se llaman vrtices de la hiprbola.Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hiprbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.A diferencia de la elipse, aqu se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede considerar . Este valor se llama semieje imaginario de la hiprbola. hiprbola.Al igual que en la elipse, se considerarn en primer lugar las hiprbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.29 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAClculo de los radios vectores de un puntoEn un punto P(x, y) de una hiprbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) los radios vectores son:Demostracin:Los radios vectores son:Eliminando los trminos comunes: 2cx = 4a2 - 2cx + 4aDespejando: 4a = 2cx - 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, Luego' =+ 2a = ex - a + 2a = ex + a Ntese que se ha utilizado que la distancia' es mayor que, lo cual slo es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tom valor absoluto en los segundos miembros.Ecuacin cannica de la hiprbolaLa ecuacin de una hiprbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es Demostracin:Se toma la expresin de uno de los radios vectores y se opera en ella:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.30 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASacando factor comn (c2 - a2): (c2 - a2) x2 + a2 (a2 - c2) - a2y2 = 0Pero c2 - a2 = b2, luegob2x2 - a2b2 - a2y2 = 0. Dividiendo entre a2 b2, se obtiene:En el caso en que la hiprbola tuviese el eje vertical, la ecuacin sera: Vrtices de una hiprbolaLos vrtices de una hiprbola son los puntos donde sta corta a sus ejes.ejes decoordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0. Eje realSu ecuacin es y = 0.Sustituyendo en la hiprbola:Los vrtices son (a, 0) y (-a, 0)Eje imaginarioLa ecuacin del eje es x = 0.Al sustituir queda: Esta ecuacin no tiene solucin, ya que el primer miembro es siempre negativo y el segundo es positivo.puntos (a, 0) y (-a, 0).Asntotas de una hiprbolaSi en la ecuacin de la hiprbola se despeja y, resulta:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.31 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAPero, para valores grandes de x , x , siempre que asea un nmero fijo. En efecto: Al hacerxsuficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. As la diferencia se hace tan pequea como se quiera al crecer x.Estas rectas se llaman asntotas de la hiprbola.Clculo prctico de las asntotas de una hiprbolaPor tanto, paracalcular las asntotas, seigualaaceroel primer miembrodela ecuacin reducida de la hiprbola y se despeja y.Hiprbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadasSi se tiene una hiprbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuacin esvertical serLos focos sern, si el eje real es horizontal (x0 c, y0) y (x0, y0 c ) si es vertical.De la misma forma los vrtices son:(x0 a, y0) (x0, y0 a )segn que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente.Para hallar las asntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se extrae la raz cuadrada.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.32 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAReduccin de la ecuacin de la hiprbolaSea una ecuacin de la forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 en la que Ay Btengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuacin de una hiprbola.Ejercicio: ecuaciones de la hiprbolaHallar la ecuacin reducida de la hiprbola 4x2 - 9y2 - 8x + 36y + 4 = 0.Hallar su centro, sus vrtices, sus focos y sus asntotas.Resolucin:Seasocianlostrminosquetenganlamismaincgnitaysesacafactorcomnel coeficiente de segundo grado:(4x2 - 8x) - (9y2 - 36y) + 4 = 04(x2 - 2x) - 9(y2 - 4y) + 4 = 0Se completan cuadrados en los parntesis:x2 - 2x = x2 - 2 1x + 12 - 12 = (x - 1)2 - 1y2 - 4y = y2 - 2 2y + 22 - 22 = (y - 2)2 - 4Se sustituye en la ecuacin:4(x - 1)2 - 4 - 9(y - 2)2 + 36 + 4 = 04(x - 1)2 - 9(y - 2)2 = 4 - 36 - 4 = -36Se divide entre -36:Setrata,pues,de una hiprbola con eleje realvertical,con centroen(1, 2) ysus semiejes son a = = 2 y b = = 3Los vrtices son (1, 2 2), es decir (1, 0) y (1, 4).Asntotas:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.33 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA

Hallar los elementos de la hiprbola x2 - y2 + 2x + 4y - 12 = 0Resolucin:(x2 + 2x) - (y2 - 4y) - 12 = 0x2 + 2x = x2 + 2 1x + 12 - 12 = (x+1)2 - 1y2-4y = y2 - 2 2y + 22 - 22 = (y -2)2 - 4(x + 1)2 - 1 - (y - 2)2 + 4 - 12 = 0(x + 1)2 - (y - 2) = 1 - 4 + 12 = 9Se trata de una hiprbola con centro en (-1, 2), eje real horizontal, y semiejes a=3,b=3(estetipodehiprbolasquetienenigualessussemiejessellaman hiprbolas equilteras).Los vrtices son los puntos (-4, 2) y (2, 2). Para hallar las asntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuacin reducida:(x + 1)2 = (y - 2)2 x + 1 = (y - 2)x + 1 = y - 2 y = x + 3x + 1 = -y + 2 y = 1- xUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.34 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAPARBOLASSe llama parbolaal lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.La distancia entre el foco y la directriz de una parbola recibe el nombre de parmetro de la parbola (suele denotarse por p).Dadaunaparbola, sellamaejedelamismalarectaquecontieneal focoyes perpendicular a la directriz.Se llama vrtice de la parbola al punto donde sta corta a su eje.Para simplificar la parbola, se supondr que el vrtice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.Ecuacin cannica de la parbolaLaecuacindelaparbolaconvrticeenel origendecoordenadasyfocoenel y = 2pxDemostracin:La condicin para que el punto est en la parbola es que ambas coincidan:Elevando al cuadrado:-px + y2 = px y2 = 2pxHay otros tres casos elementales de parbolas:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.35 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASi el eje es horizontal y el foco est en el semieje negativo de abscisas, la ecuacin es y2 = -2px.Si el eje es vertical y el foco est en el semieje positivo de ordenadas, la ecuacin es x2 = 2py.Si el eje es vertical y el foco est en el semieje negativo de ordenadas, la ecuacin es x2 = -2py.Parbola con vrtice en un punto cualquieraSi el vrticedeunaparbolaseencuentraenunpunto(x0, y0)suecuacinser, segn los casos:Eje horizontal y foco a la derecha: (y - y0)2 =2p(x - x0)Eje horizontal y foco a la izquierda:

(y - y0)2 = -2p(x - x0)Eje vertical y foco por encima: (x - x0)2 =2p(y - y0)Eje vertical y foco por debajo:(x - x0)2 = -2p(y - y0)Reduccin de la ecuacin de una parbolaDada una ecuacin del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuacin de una parbola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.Ejercicio: ecuaciones de parbolasHallar la ecuacin reducida de la parbola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vrtice, su foco y su directriz.Se ha de transformar esta ecuacin en una de la forma: (y - y0)2 = 2p(x - x0) (x - x0)2 = 2p(y - y0)La ecuacin dada tiene un trmino en x2. Habr que transformarla, pues, en una del tipo (x - x0)2 = 2p(y - y0) 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0 2x2 + 8x = -3y + 5 x2 + 3x = (x + 2)2 - 4. Se sustituye en la ecuacin: UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.36 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASe trata de una parbola con el eje vertical y el foco por debajo del vrtice.Para hallar el foco se le resta la mitad del parmetro a la ordenada del vrtice:Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumndole la mitad del parmetro a la del vrtice:Hallar los elementos de la parbola y2 - 4x + 6y + 13 = 0.Resolucin:Seoperacomoenel casoanterior, teniendoencuentaqueahoralavariableque aparece elevada al cuadrado es y: y2 + 6y = 4x - 13 y2 + 6y = y2 + 2 3y + 32 - 32 = (y + 3)2 - 9. (y + 3)2 - 9 = 4x - 13 (y + 3)2 = 4x - 4 (y + 3)2 = 4(x-1)Es una parbola con vrtice en el punto (1, -3).vrtice.Ladirectrizseobtienerestndolelamitaddel parmetroalaabscisadel vrtice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas.Intersecciones de una cnica con una rectaUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.37 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAPara calcular la interseccin de una cnica con una recta se ha de resolver un sistema de ecuaciones, que dar lugar a una ecuacin de segundo grado (ax2 + bx + c = 0). Al resolverestaecuacin, seobtienenresultadosdistintosdependiendodel valor que tome el discriminante (= b2 - 4ac):Si el discriminante es negativo (b2 -4ac < 0, la ecuacin no tiene soluciones reales; sus dos soluciones son nmeros complejos conjugados), el sistema no tiene solucin. La recta no corta a la cnica y se dice que es exterior a ella.Si el discriminanteesnulo(b2-4ac=0, laecuacintienedossolucionesreales iguales), la recta corta a la cnica en un solo punto. En este caso se dice que la recta es tangente a la cnica.Si el discriminante es positivo (b2 - 4ac > 0, la ecuacin tiene dos soluciones reales y distintas), la recta tiene dos puntos comunes con la cnica. Entonces se dice que la recta es secante a la cnica.Ejercicio: interseccin de cnicas y rectasHallar los puntos de interseccin de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse2x2 + 3y2 - 4x + 6y - 9 = 0.Resolucinx = -y - 12(-y - 1)2 + 3y2 - 4(-y - 1) + 6y - 9 = 05y2 + 14y - 3 = 0EjemploTrazar una tangente vertical a la cnica x2 - y2 + 2x + y - 2 = 0.Resolucin:Las rectas verticales son de la forma x = kSustituyendo este valor en la ecuacin:k2 - y2 + 2k + y - 2 = 0,UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.38 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA-y2 + y + (k2 + 2k - 2) = 0Su discriminante es b2 - 4ac = 1 - 4 (-1) (k2 + 2k - 2) = 1 + 4k2 + 8k - 8 = 4k2 + 8k - 7La condicin para que la recta sea tangente es que dicho discriminante sea nulo: 4k2 + 8k - 7 = 0Las tangentes verticales son: EjemploHallar las rectas tangentes a la curva y2 = 4x que contengan al punto (-1, 0).ResolucinCualquier recta que contenga a dicho punto tiene una ecuacin de la forma y = m(x + 1), donde m es la pendiente.Sustituyendo en la ecuacin de la parbola:m2(x + 1)2 = 4x m2x2 + 2m2x + m2 = 4x m2x2 +( 2m2 - 4) x + m2 = 0El discriminante es: (2m2 - 4)2 - 4m2 m2 =4m4 - 16m2 + 16 - 4m4= -16m2 + 16La recta ser tangente si este discriminante es nulo: -16m2 + 16 = 016m2 = 16 m = 1Las tangentes buscadas son:y = x + 1 e y = -(x + 1)UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.39 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEjemploHallar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto( 1; 1) y recta directrizx + y = 1. ResolucinObserve que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definicin misma. Como el eje de la parbola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vrtice entonces debe tener ecuaciny = x. Para hallar el valor de P debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vrtice. x y y x + 1Puesto que la solucin es(1/2; 1/2), entonces21 py el foco sera ) 2 / 3 ; 2 / 3 ( FPara hallar la ecuacin de la parbola suponga que el puntoP= (a; b) esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parbola. Dicha recta tienen ecuacin y = x + b - aAhora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos x y a b x y + La solucin de este sistema es )21;21(b a b aQ+ +con lo cual la ecuacin de la parbola es : ) ; ( ) ; ( Q P d P F d UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.40 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAFigura 4. Ejercicios resueltos de la Recta1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela a la recta determinada por los dos puntos (0, - 2) y (5, 2) .SOLUCION:Como se conoce un punto de la recta requerida, solamente es necesario obtener su pendiente que, segn sabemos, es la misma que la de la recta paralela L1 que pasa por los dos puntos (0. - 2). (5, 2) La pendiente de L1 es,= La ecuacin de la recta a utilizar Y- 1=(X+3)4 x - 5 y + 1 7 = 0 2. Observa las siguientes ecuaciones:x = 3 + 3ty = 2tComprobar que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que estn todos sobre una recta Qu mtodo est aplicando para trazar la recta?Solucin:El mtodo a aplicar es el de Tabulacin.Es por ello que tabulamos los valores dados de t y sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos las coordenadas de cada uno de ellos:Ejemplo:Para t=0x = 3 + 3(0)=-3UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.41 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAy = 2(0)= 0 (-3, 0)Aplicandoel mismoprocedimientoparacadaunodelosvalores dados det, obtenemos la siguiente informacin:t 0 1 3 4 5(x,y) (-3, 0) (0,2) (6,6) (9,8) (12,10)Graficamos los valores:Por medio de la grfica podemos demostrar que los puntos obtenidos si estn todos sobre una misma recta.3. Halla la ecuacin implcita de la recta: x = 5 3ty = 1 + 2tSolucin: Multiplicamos la primera ecuacin por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:2x = 10 6t3y = 3 + 6t___________2x + 3y = 7La ecuacin implcita es: 2x+3y -7 = 04. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el siguiente par de puntos(7, 11), (1, 7)Solucin:Por medio de los puntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente y obtenemos que: m= -1/2Luego sustituimos los datos en la frmula de la ecuacin de la recta dado dos puntos, y obtenemos:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.42 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA Tomamos el punto (1,7)y - 7= -1/2 (x-1)y-7 = -1/2x +1/2 y= -1/2x +15/2en forma implcita tenemos: x + 2y 15 = 05. Hallar dos puntos de la recta y = 3x + 4 y Calcular a partir de ellos su pendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuacin.Solucin:Damos valores arbitrarios a x y obtenemos:Si x = 0 y = 4 punto A (0, 4) Si x = 1 y = 1 punto B (1, 1) Calculando la pendiente con los puntos calculados anteriormente se tiene que m = 3Efectivamente, podemos comprobar que la pendiente es la de la recta dada y = 3x + 4.6. Hallar la distancia de Q(3, 4) a la siguiente recta: 2x + 3y = 4Solucin: Aplicando la ecuacin de la distancia ya conocida obtenemos que;(igualamos a cero la ecuacin) 2x + 3y 4 = 0rd(Q, r ) = (213)/13 0,55La distancia entre el punto Q (-3,4) y la ecuacin llamada r, es de aproximadamente 0, 55.Ejercicios Resueltos de la Circunferencia1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuacin: x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .Solucin: Aplicando completandotrinomios cuadrados perfectos obtenemos:( x - 16 x + 64 - 64 ) + ( y + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0Al reducir la expresin obtenemos la ecuacinde la circunferencia ( x - 8 ) + ( y + 1 ) = 0Por tanto, el centro y el radio son: C ( 8 , - 1 ) ; a = 02. Determinarla ecuacin deunacircunferenciaque pasa por el puntoP(1,0), sabiendo que es concntrica a la representada por la ecuacin: x+ y - 2 x - 8 y + 13 = 0 .SOLUCINCompletando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:( x - 2 x + 1 - 1 ) + ( y - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0( x - 1 ) + ( y - 4 )= 4UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.43 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICADe la expresin anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 yK = 4.Como a =4, entonces a = 2.El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P alcentro C.a = P C = ( 1 - 1 )+ ( 0 - 4 ) = 4Por tanto, a =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la frmula (I), encontramos la ecuacin de la circunferencia pedida:( x - 1 ) + ( y - 4 )= 163. Eldimetrodeunacircunferenciaesel segmentoderectadefinidopor los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuacin de dicha circunferencia.SOLUCINEl centro es el punto medio del dimetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las frmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:C (h ,k)k = 2h = -2Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del dimetro, es decir:radio = C B = ( - 2 - 4 ) + ( 2 - 6 ) = 36 + 16 = 52 ,por lo tanto, C B = 52 = radioLa ecuacin de la circunferencia pedida es: ( x + 2 ) + ( y - 2 ) = 52.4. Halla la ecuacin de la circunferencia de centro (5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).Solucin: Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:(x + 5) + (y 12) = 169 x + y + 10x 24y = 0Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuacin, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferenciax + y - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.SOLUCIN: Necesitamos hacer simultneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuacin:x = 10 - 2 ySustituyendo este valor en la segunda ecuacin, desarrollando y simplificando, se obtiene:(10 - 2 y ) + y - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0100 - 40 y + 4 y + y - 20 + 4 y - 4 y = 05 y - 40 y + 80 = 0y - 8 y + 16 = 0Resolviendo para y:Aplicamos ecuacin cuadrtica y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuacin despejada de X:x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta estangentea la circunferencia, porque slo tienen un solo punto comn T(2,4), que es precisamente el de tangencia.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.44 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEjemplo 2 : Encontrar una ecuacin del crculo con centro en (2, -3) y un radio = 4 Solucin: (x-h)2 + (y-k)2 = R2(x-2)2 + (y+3)2 = 42 x2 -4x+4+y2+6y+9 = 16

Ejemplo3:Dadalaecuacinx2+y2+6x2y15=0Mostrar quelagrficadeesta ecuacin es un crculo y encontrar su centro y su radio.Solucin:x2 + y2 + 6x 2y 15 = 0 (x2 + 6y) + (y2 2y) = 15 (x2 + 6x + 9) + (y2 2y + 1) = 15 + 9 + 1 (x + 3)2 + (y 1)2 = 25 ( 6)2(- 2 )2 h =-3 k = 1 R222Ejemplo 4 : Determinar la grfica de la ecuacin 2x2+2y2+12x-8y+31=0Solucin: 2x2 + 2y2 + 12x 8y + 31 = 0 2 x2 + y2 + 6x 4y + 31/2= 0 (x2 +6x) + (y2 4 ) = - 31/2 (x2 + 6x + 9 ) + (y24y+4) = - 31/2 +9+4

(x +3)2 + (y 2)2 = -5/2 R2 = -5/2R = . (no existe) no hay grfica Ejemplo 5 : Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuacin: X2 + y2 - 16x + 2y + 65 = 0 SOLUCIN: Ordenando y completando trinomios cuadrados perfectos en x y y, se tiene: UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.45x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 C (-3 , 1) R = 5 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA( ) ( ) 0 1 80 65 1 64 ) 1 2 ( ) 64 16 (0 65 ) 2 ( ) 16 (2 22 22 2 + + + + + + + + + + y xy y x xy y x xPor lo tanto el centro y el radio de la circunferencia son respectivamente:( ) 0 ; 1 , 8 r C; o sea que la grfica es sol el punto (8, -1)Ejemplo 6 : El dimetro de una circunferencia es el segmento de la recta definida por los puntos: D (-8,-2) y E (4,6). Obtener la ecuacin de dicha circunferencia.SOLUCIN:El centro es elpunto medio del dimetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las frmulas para el punto medio de un segmento, en este caso B A :226 22224 82+ + + +B AB AY ykx xh Por lo tanto, el centro es C (-2,2). El radio es la es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del dimetro, es decir:( ) ( ) 52 16 36 6 2 4 22 2 + + rLa ecuacin de la circunferencia pedida es: ( ) ( ) 52 2 22 2 + + y xEjemplo 7 : Hallemos la ecuacin de la parbola con foco (2,0) y directriz la recta X= -2. Dibujemos la grafica.Solucin: Segn los datos del problema tenemos que: El eje focal es el eje x.Por lo tanto la ecuacin es:= = = Ejemplo 8 : Una parbola tiene su vrtice en el origen, su eje focal es el eje x y pasa por el punto (-5,10), hallemos su ecuacin y dibujemos su grafica.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.46 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASolucin: Como el vrtice es (0,0) y ele je focal es el eje x, Entonces la ecuacin de la parbola es de la forma: =4pxDonde desconocemos el valor de pPuesto que la parbola pasa por el punto (-5,10) entonces sus coordenadas deben satisfacer la anterior ecuacin. Por tanto: Luego la ecuacin de la parbola es:Como p es negativo, entonces la parbola aparece dibujada a la izquierda del origenEjemplo 9 : Encontrar una ecuacin de la parbola que tiene como directriz la recta y = 1 y como foco el punto F (-3, 7).Solucion: P= 3 LR = QQ = 4P= 12; Ec. (x-h)2 = 4p (y-k)(x+3)2 = 4x3 (y-4); x2 + 6x + 9 = 12y - 48Ejemplo 10 :Dada la parbola que tiene por ecuacin y2+ 6x + 8y + 1 = 0 encontrar el vrtice,elfoco,una ecuacin de la directriz,una ecuacin deleje,y la longitud dellado recto.Trazar la grfica.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.47x2 + 6x - 12y + 57 = 0 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASolucin:y2 + 6x + 8y + 1 = 0 (y2 + 8y) = - 6x 1 (y2 + 8y + 16) = -6x 1 + 16 (y + 4) = - 6x + 15 (y + 4)2 = - 6 (x 15 /6)

,_

4 ,25211 6 4212v p pEjemplo 11 :Determinar la grfica de la ecuacion 25x2+16y2+150x+128y-1119=0. Encontrar los vrtices, focos, excentricidad y extremos del eje menor.Solucion:25x2+16y2+150x+128y -1119=0; (25x2+150x) + (16y2 +128y ) = 1119; 25 (x2+ 6x) + 16(y2 + 8y) = 1119; 25 (x2+ 6x +9) + 16(y2 + 8y+16) = 1119 + 25x9 +16x16; 25 (x+3)2 + 16(y+4)2 = 1600 160025(x +3) 2+ 16(y+4) 2= 1600 160016001600 (x+3) 2+(y+4) 2= 1c(-3,-4)64100 b2a2 b=8a=10 a2 =b2+c2 100=64 + c2 c= 6;e = c/a = 6/10 = 0,6; Ejemplo 12 : Encontrar una ecuacin de la elipse para la cual los focos estn en (-8, 2) y (4, 2) y la excentricidad es 2/3. Hacer un dibujo de la elipse.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.48v LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICASolucin: La distancia entre los focos es 12; por lo tanto c = 6 y e = c/a = 2/3 6/a =2/3 a = 6*3/2 = 9 ;a=9;a2 =b2+c2;81=b2+36; 8 . 6 45 bEcuac. de la elipse (x+2) 2 + (y-2) 2 =1 8145 a2 b25(x 2 +4x+4)+9(y 2 -4y+4) =405 5x2+20x+20 +9y2 -36y+36 =405 405Ejemplo13 :Losfocosylosvrticesdeunahiprbolasonlospuntos:F(5, 0), F(-5,0),V1(4,0)yV2(-4,0), respectivamente. Determine la ecuacin de la hiprbola. Dibujar su grfica e indicar las asntotas.SOLUCIN: Como los focos estn sobre el eje x, la ecuacin de la hiprbola es de la forma:12222 byaxEn este caso: a = 4; c = 5, de donde3 16 25 bEn consecuencia, la ecuacin de la hiprbola es:19 162 2 y x Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asntotas son las rectas:x y43y,x y43 Ejemplo 14 : Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por:63 9 72 2 x yDetermine: coordenadas de los focos, de los vrtices, ecuaciones de las asntotas. Trazar la grfica. SOLUCIN: La ecuacin: 63 9 72 2 x ypuede escribirse en las formas equivalentes:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.495x2+9y2+20x-36y+369 =0 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALa ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo eje focal coincide con el eje yEn este caso:7 , 3 b aLuego,4 7 9 + c Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).Adems de la ecuacin:07 92 2 x y se deduce que las ecuaciones de las asntotas son las rectas de ecuacin: x y73 e x y73

Ejemplo 15 : Una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Adems, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vrtices es 8 unidades. Trazar la grfica y determine: coordenadas de los vrtices, focos y ecuaciones de las asntotas.SOLUCIN: Ahora, puesto que los focos estn sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuacin de la hiprbola pedida tiene la forma:Las coordenadas de los focos son:c h x t y3 y;Esto es: F(7, 3) y F(-3, 3).Igualmente, las coordenadas de los vrtices son:a h x t y3 yEsto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).Adems, de la ecuacin: se deduce que:y son las ecuaciones de las asntotas.Ejemplo 16 : Dada la hiprbola, cuya ecuacin en su forma general es: 3y2 x2 + 4x 6y 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vrtices y ecuaciones de las asntotas. SOLUCIN:La ecuacin general, puede escribirse en las formas equivalentes: UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.50 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEsta ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y sueje focales una recta paralelaaleje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2Adems,a2=4, b2=12. Conlo cual:42 2 + b a c Las coordenadas de los focos son:2 xe 4 1t y. Esto es F(2, 5) y F(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vrtices son: x = 2 e 2 1t y. Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1).Las ecuaciones de las asntotas son las rectas:( ) 2311 x y e,( ) 2311 x yUNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.51 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA 1. CircunferenciadecentroC(3, 4) yradio5. Compruebaquepasapor el origende coordenadas.2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuyaecuacin es:9 x + 9 y - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuacin: 4 x+ 4 y + 4 x + 4 y - 2 = 0.4. El dimetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuacin de dicha circunferencia.5. Encontrarlos puntos deinterseccinde lascircunferenciasrepresentadas por las ecuaciones: x + y - 2 x + 4 y = 0 x + y + 2 x + 6 y = 06. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferenciax + y - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuacin de la tangente a la circunferencia en ese punto.Problema para entregara) Clasificar la siguiente cnica segn los valores del parmetro a:0 4 2 2 22 2 + + ay x axy ay x .b) Hacer un estudio completo de la cnica anterior para a = 2:Ecuacin reducidaParmetro de la cnicaEje y vrticeFoco y directrizDibujo de la cnica.1) Hacer un estudio completo de las siguientes cnicas:a)0 45 20 40 4 14 112 2 + + + + y x xy y xb)0 1 4 4 82 2 + + y x y xy xc)0 10 4 2 4 42 2 + + + y x y xy x2) Hallar la ecuacin de la cnica que pasa por los puntos( ) ( ) ( ) ,_

41,23, 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0y,_

43,23.3) Hallar el centro y las asntotas de la cnica:0 2 22 + + xy x .4) Clasificar la siguiente cnica segn los valores del parmetro a:0 3 2 2 22 2 + + + y x ay xy ax5) Hallary sabiendo que las ecuaciones12 2 + y x , ' ' y x, corresponden a una misma cnica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos.Problemas propuestos.P1.-Hallar laecuacindelacnicaquepasapor lospuntos(7,1), (5,-3),(-1,-3), (-3,1)y ( ) 7 , 3 . Calcular sus elementos caractersticos, la ecuacin reducida y representar la cnica.P2.- Hallar la cnica que pasa por los puntos (1, 0), (3, 2) y (1, -4) y tal que e=0.P3.- Hallar la ecuacin de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, su centro es C(-2,1); el eje mayor es paralelo a OY, su longitud es 10 y la distancia focal 8.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.52 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAP4.- Dados los puntos A(3,4),B(-3,9), C(-3,-1), D(-9,4) y E(3/5,0). Calcular la ecuacin de la cnica que pasa por dichos puntos. b) Hallar los ejes, vrtices, focos y excentricidad de la cnica anterior. c) Ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente que pasa por E(3/5,0). d) Ecuaciones de las rectas que pasan por (9,9) y son tangentes a la elipse.P5.- Estudiar las siguientes cnicas:a)0 14 y 2 2 x 2 6 xy 2 y x2 2 + + + b)0 2 y x xy 2 y x2 2 + + + +c)0 x xy d) 0 1 y 4 x 2 xy 4 y 4 x2 2 + + +e)0 1 x y 2 x 22 2 + + +f) 0 10 y 2 10 x 2 6 xy 2 y 3 x 32 2 + + +g)0 y x xy + h)0 1 x 2 xy 2 6 y x 82 2 + + + .SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOSP1.- Laecuacindelahiprbolaequilteraes ( ) ( ) 9 3 y 2 x2 2 + ; centro (2,-3); eje focal 3 y , y eje no focal x=2; focos 3) - , 3 2 ( F + y 3) - , 3 2 ( ' F ; directrices232 x + y 232 x ; y de ecuacin reducida( ) ( ) 9 ' y ' x2 2 .P2.- Circunferencia( ) ( ) 20 3 y 5 x2 2 + + .P3.- ( ) ( )1251 Y92 X2 2++P4.- a) ( ) ( )1254 Y363 X2 2++. b) eje mayor3 x ; eje menor4 y ; vrtices A(-3,-1), A(-3,9), B(3,4), B(-9,4); focos ,_

t 11254 , 3 ; yexcentricidad611e . c)rectatangente 0 3 y 8 x 5 y recta normal0 24 y 25 x 40 + . d)9 y y) 9 x (9109 y . P5.-a) b) c)d) f) g) UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.53 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAHoja de problemas: Estudio algebraico de las Cnicas Curso 05-06Problema para entregara) Clasificar la siguiente cnica segn los valores del parmetro a:0 ay xy 2 ax y 2 x 2 a2 2 + + + + + .b) Hacer un estudio completo de la cnica anterior para a =0Ecuacin reducidaSemiejes, excentricidad y parmetro de la cnicaCentro o vrticeEjesFocos y directricesDibujo de la cnica.1) Hacer un estudio completo de las siguientes cnicas:a)0 45 y 20 x 40 xy 4 y 14 x 112 2 + + + +b)0 1 y 4 x 4 y xy 8 x2 2 + + c)0 y 8 x 2 y 4 xy 4 x2 2 + + 2) Hallar la ecuacin de la cnica que pasa por los puntos( ) ( ) ( )

,_

41,23, 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0y,_

43,23.3) Hallar el centro y las asntotas de la cnica:0 xy 2 x 22 + + .4) Clasificar la siguiente cnica segn los valores del parmetro a:0 ay 4 x 2 ay 2 axy 2 x2 2 + + 5) Hallar y sabiendo que las ecuaciones1 y x2 2 + , ' y ' x , corresponden a una misma cnica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos.Problemas propuestos.P1.-Hallar laecuacindelacnicaquepasapor lospuntos(7,1), (5,-3),(-1,-3), (-3,1)y ( ) 7 , 3 . Calcular sus elementos caractersticos, la ecuacin reducida y representar la cnica.P2.- Hallar la cnica que pasa por los puntos (1, 0), (3, 2) y (1, -4) y tal que e=0.P3.- Hallar la ecuacin de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, su centro es C(-2,1); el eje mayor es paralelo a OY, su longitud es 10 y la distancia focal 8.P4.- Dados los puntos A(3,4),B(-3,9), C(-3,-1), D(-9,4) y E(3/5,0). Calcular la ecuacin de la cnica que pasa por dichos puntos. b) Hallar los ejes, vrtices, focos y excentricidad de la cnica anterior. c) Ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente que pasa por E(3/5,0). d) Ecuaciones de las rectas que pasan por (9,9) y son tangentes a la elipse.P5.- Estudiar las siguientes cnicas:a)0 14 y 2 2 x 2 6 xy 2 y x2 2 + + + b)0 2 y x xy 2 y x2 2 + + + +c)0 x xy d) 0 1 y 4 x 2 xy 4 y 4 x2 2 + + +e)0 1 x y 2 x 22 2 + + +f) 0 10 y 2 10 x 2 6 xy 2 y 3 x 32 2 + + +g)0 y x xy + h)0 1 x 2 xy 2 6 y x 82 2 + + + .SOLUCIONES Problemas Cnicas 05-06Solucin ejercicio 1) a)0 45 y 20 x 40 xy 4 y 14 x 112 2 + + + +UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.54 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAClasificacin

,_

14 2 102 11 2010 20 45A , ' > 0 7 5 0 A0 1 5 0 A0 0 Elipse( )0 A a a22 11 < + + ELIPSE REALEcuacin reducida0 g ' ' y ' ' x2221 + + 2 1y valorespropiosde'

,_

1 51 01 4 22 1 1A21c, yaquesetomacomo1 el valor propiodemenor valor absoluto.5AAg00 1155' ' y10 5' ' x0 5 ' ' y 15 ' ' x 102 22 2 + +Semiejes31b31b ,21a21a2 2 Excentricidad y parmetro de la cnica3231,212 abp b a2233ace61c61b a c2 2 2 Centro( ) 1 , 2 C0 y 1 4 x 2 1 00 y 2 x 1 1 2 0 ' + +EjesEje focal x( )' 1 0 a a s o c i a d o s p r o p i o s v e c t o r e s l o s a p a r a l e l o E s1 , 2 C c e n t r o e l p o r P a s a1( ) x21y 0 y 2 x00yx4 22 1yxI A1 c

,_

,_

,_

,_

UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.55 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALuego, x( ) 2 x211 y + + .El eje no focal y( )' f o c a l e j e a l l a r p e r p e n d i c u E s1 , 2 C c e n t r o e l p o r P a s aPor tanto, y( ) 2 x 2 1 y + +Vrtices principalesSe hallan intersecando el eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio 21a :( )( ) ( )'

,_

,_

' + + ++ +11 01 0, 251 0V11 01 0, 251 0V211 y 2 x2 x211 y212 2Los vrtices secundarios se hallaran de manera anloga, intersecando el eje no focal con la circunferencia de centro el origen y radio 31b .FocosSe hallan intersecando el eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio c:61c61b a c2 2 2 ( )( ) ( )'

,_

,_

' + + ++ +13 03 0, 21 53 0F13 03 0, 21 53 0F611 y 2 x2 x211 y212 2DirectricesSon rectas paralelas al eje no focal y y tales que distan ca2 del centro de la cnica:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.56 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAdir0 k y x 2 k x 2 y + + ( ) t + + 5230k230k 526ca1 4k 1 4dir , C d2' + + + + + 0 523 0y x 2 d i r0 523 0y x 2 d i r11Dibujo de la cnicaSolucin ejercicio 1) b)x y xy x y2 28 4 4 1 0 + + Ecuacin matricial( ) X AX O x y xyt

_,

_,

11 2 22 1 42 4 110 .ClasificacinA001 44 115 0 < Cnica de tipo hiperblico.A 55 0Se trata de una HIPRBOLA.Ecuacin reducida x' 'y2 2 120 + + ' ' ccAA 00113 ;Ac ' I - 1 522 035UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.57 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICADe acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para 1el valor propio de signo contrario a c, es decir, 2 13 5 , ;.Por tanto, la ecuacin reducida queda: + + 3 51130113111512 22222x yx y' ' ' '' '( )' '( ).Excentricidad y parmetro de la cnicaeca >851 , ya quea a2 211911158845 ,b,c -b2 2 2.1511 3abp2 Centro y ejesPara calcular el centro, resolvemos el sistema + + '2 4 02 4 0x yx y , obtenindose el punto C = (-2/3, -2/3).Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la direccin de los vectores propios asociados a y 2 1 , respectivamente.Los vectores propios asociados a 1 son las soluciones del sistema:1 3 44 1 3000+ +

_,

_,

_,

xyx y y x.Por tanto, el eje focal tiene de ecuacin:y x y x + + 2323.El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuacin:y x y x + + 232343( ) .Para calcular los vrtices, intersecamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a:( ) ( ) x yy x+ + + '23231 192 2obtenindose los puntos V14 2264 2264 2264 226yV 2( , ) ( , )+ + .Focos y directricesLos focos son los puntos de interseccin del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c:( ) ( ) x yy x+ + + '23238 84 52 2obtenindose los puntos F11015101510151015(2 55,2 55) y F(-2 55,-2 55)2 + +.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.58 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICALas directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro ac2:Su ecuacin ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + k, determinando k de modo que ack2556 223232 . Resulta k t 8 556,luego, las directrices son las rectasy x + t 8 556.AsntotasLas asntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solucin de la ecuacin 1 8 02+ m m.Al resolver la ecuacin anterior, se obtienen dos valores para m: mm2 14 15 4 15 + , .Las ecuaciones de las asntotas son:y x x + + + + +234 1523234 1523( )( ) ( )( ) , y .Dibujo de la cnicaSolucin ejercicio 1) c) 0 y 8 x 2 y 4 xy 4 x2 2 + + Ecuacin matricial( ) 0yx14 2 42 1 14 1 0y x 1 O AX Xt

,_

,_

.Clasificacin 04 22 1A00 Cnica de tipo parablico. 0 4 ASe trata de una PARBOLA.Ecuacin reducida0 `` x b 2 `` y122 + UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.59x LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAsiendo 5 a a22 11 2 + , bien2 = valor propio no nulo de

,_

4 22 1Ac, y 55 254a aAb22 111t t +t .Como1b ha de tener signo contrario a2 , se toma55 2b1 . Resultando la ecuacin reducida: 0 `` x55 4`` y 52 , es decir:`` x255 4`` y2Parmetro de la cnica255 2p255 4p 2 Eje y vrticeEl eje de la parbola x`` tiene la direccin de los vectores propios asociados al valor propio01 de la matriz cA :x21y 0 y 2 x00yx4 22 1

,_

,_

,_

Luego, el eje y``, perpendicular a x`` y que corta a la cnica en el vrtice, tiene una ecuacin de la forma:k x 2 y `` y + Sustituimos esta expresin en la ecuacin de la parbola, obtenindose:( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 2 k k 4 x k 10 9 2 x 250 k x 2 8 x 2 k x 2 x 24 k x 2 4 x22 2 + + + + + + + +cuyo discriminante ha de ser nulo para que tenga solucin nica (la abscisa x del vrtice):( ) ( )2081k 0 81 k 20 0 2 k k 4 25 4 k 10 9 42 + + + La abscisa del vrtice es, entonces, la solucin nica de la ecuacin( ) ( ) 0 2 k k 4 x k 10 9 2 + + +para 2081k :5099x 0 9801 x 9900 x 25002 + Como el vrtice ha de pertenecer al eje 2081x 2 y `` y + , su ordenada ha de ser:1009208150992 y + El vrtice es, por tanto, el punto,_

1009,5099V .Y el eje de la parbola es la recta que pasa por el vrtice y tiene de pendiente 21:

,_

5099x211009yFoco y directrizComo ambos se encuentran a una distancia 2552p del vrtice, intersecamos el eje x`` con la circunferencia de centro V y radio 2p:UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.60 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA'

,_

,_

+

,_

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1 2 512 551 0 09y5 09 9x5 09 9x211 0 09y22 2Resolviendo el sistema anterior se obtienen los dos puntos:

,_

,_

10013,50103y201,1019Cul de ambos es el foco?Si se interseca la parbola con la recta paralela al eje y`` que pasa por el origen, se obtienen dos puntos de corte, ya que el discriminante para k = 0 es positivo:( ) ( ) 0 324 81 4 2 k k 4 25 4 k 10 9 42> + + Luego, la parbola se abre hacia la izquierda del vrtice y el foco F es, de ambos puntos, el que tiene menor abscisa: 201,1019F ,_

La directriz d es la recta que pasa por el otro punto y es paralela al eje y``:

,_

50103x 210013y dDibujo de la cnica Solucin Ejercicio 20 E Dy Cx Bxy Ay x2 2 + + + + +( )( )( )' + + +

,_

+ + + + +

,_

+ + + 0 E D43C23B89A16949cnica43,230 E D41C23B83A16149cnica41,230 E D 2 A 4 cnica 2 , 00 E C 2 4 cnica 0 , 20 E cnica 0 , 0Resolviendo este sistema lineal de cinco ecuaciones con cinco incgnitas, se obtiene:0 E y 8 D -2, C -4, B , 4 A UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.61direjeFV LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAResultando la ecuacin de la cnica:0 y 8 x 2 xy 4 y 4 x2 2 + +Solucin ejercicio 30 xy 2 x 22 + +

,_

0 1 01 1 00 0 2A, < 0 10 11 1A00 Cnica de tipo hiperblico. 0 25 ASe trata de una hiprbola.Centro:( ) 0 , 0 C 0 y0 x0 y x ' +Asntotas:x21y21m 0 m 2 1 0xy2 1x22 + + +La otra asntota pasa por C y tiene pendiente infinita: x = 0.Solucin ejercicio 40 ay 4 x 2 ay 2 axy 2 x2 2 + + La matriz de la cnica es

,_

a 2 a a 2a 1 1a 2 1 0A0 a 0 a 2 A ( )' 2 a0 a0 a 2 aa 2 aa 1A0 0UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.62y = - (1/2)xx= 0 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAEstudiemos las diferentes posibilidades:1) H I P R B O L A0 A0 A0 a0 0'< 4) ' d e g e n e r a d a C n i c a 0 Ap a r a b l i c o T i p o 0 A0 a0 0 < + +

,_

0 1 ) 1 ( 0 A A0 0 00 1 10 1 0A22 11RECTAS PARALELAS5) ' 0 A0 A2 a0 0PARBOLASolucin ejercicio 5UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.630 2a0 2ahiprbola elipse real hiprbolaparbola dos rectas paralelas LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA

,_

+0 00 1 00 0 1112 2A y x

,_

0210210 00 0' ' B y xGirando y trasladando los ejes se pasa de una ecuacin a otra, luego:

,_

kkkA que tal 0, k R k0 00 00 0,, ya que la ecuacin de una cnica en un sistema de referencia puede multiplicarse por un nmero distinto de cero.Teniendo en cuenta los invariantes en la ecuacin de una cnica, se verifica:( ) ( ) 1 0 + k k B Tr A Trc c3 34410 00 00 0k B kkkkA 2141002 200t k B k k APara+ se obtiene: 21814 Para- se obtiene: 21481 Por tanto, han de ser1 y21t .1) Calcular la ecuacin de la circunferencia de centro el punto C(2; -5) y radio 7.2) Determina el centro y el radio de la circunferencia de ecuacin 0 10 2 102 2 + + y x y x3) Calculalaecuacindelacircunferenciaquepasaporlospuntosdecoordenadas P(1,2), Q(1,4) y R(2,0)4) Calcula la posicin relativa de la circunferencia 12 2 +y x con la recta x = 15) Calcula la posicin relativa de la circunferencia de ecuacin0 2 2 22 2 + y x y xy la recta r: 0 1 2 y x6) Calcula la recta tangente a la circunferencia de ecuacin0 4 10 42 2 + + y y x xen el punto (2; 0).7) Calcula la recta tangente a la circunferencia0 1 23102 2 + + y x y x en el punto de coordenadas (3; 2).UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.64 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA8) Calcular lalongituddelacuerdaquedetermina larectax=3al cortar ala circunferencia de ecuacin 0 8 6 42 2 + + y x y x Ejercicios 1. Determine la ecuacin cannica de la parbola con vrtice eny foco en. 2. Determine la ecuacin cannica de la parbola que abre en la direccin del ejey pasa por los puntos 3. Determine la ecuacin cannica de la parbola 4. Determine la ecuacin cannica de la parbola que abre en la direccin del ejey pasa por los puntos Respuesta: 5. Determinelaecuacincannicadelaparbolaquetieneejevertical ypasapor los puntos. 6. Determine la ecuacin cannica de la parbola que pasa por los puntos . 7. Determine la ecuacin cannica de la parbola con foco eny directriz. 8. Determine la ecuacin cannica y el foco de la parbola que satisface simultneamente las siguientes condiciones a.) vrtice en. b.) contiene al puntocon c.) la distancia dea la directriz es 10. 9. Determine la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en y directriz. 9)10) Calcula la potencia del punto P(1,4) respecto a la circunferencia 0 4 4 22 2 + y x y x.11) Dada la circunferencia de ecuacin 0 6 2 62 2 + + y x y x, indicar qu posicin tienen con respecto a ella los puntos A(-1; 0), B(3; 3), C(2; 2) y D(5; -1)UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.65 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA12) Si el punto P(5; -2) tiene potencia 4 respecto a una circunferencia con centro en el punto C(3; 0), cul es el radio de la circunferencia? Y si la potencia fuera 0?13) Calcular el eje radical de las circunferencias y de centro (1,-1) y radio 2.14) Calcular el eje radical de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3), (12; 59) y (-1; 2) y la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3), (78; 215)y(-1; 2)15) Calcula el centro radical de las circunferencias de centros (1; 1), (2; 2) y (-1; 2) y radios 2, 4 y 1 respectivamente.16) Clasificar la siguiente cnica, indicando focos, vrtices, ejes y excentricidad: 0 36 4 92 2 + y x17) Clasificar la siguiente cnica, indicando focos, vrtices, ejes y excentricidad: 0 6 10 52 2 y x18) Clasificar la siguiente cnica, indicando focos, vrtices, ejes y excentricidad: 0 5 42 2 + y x19) Calcular la ecuacin de la elipse cuyos focos estn en los puntos F(3; 0) y F`(-3; 0) y cuyo eje mayor mide 10.20) Calcular la ecuacin de la hiprbola con focos en (2; 0) y simtrico y un vrtice en A(-5; 0).21) Calcular el foco y el vrtice de la parbola de ecuacin x y 62 22) Calcular el foco y el vrtice de la parbola de ecuaciny x 162 23) Enunacircunferenciaderadior, cul esel nicopuntoconpotencia 2r ? Justifica tu respuesta.24) De las tres cnicas conocidas, cules representan funciones y en qu casos?Hiprbola. Problemas de aplicacin.Las aplicaciones principales delas hiprbolas se relacionan, como enlas cnicas anteriores, con sus propiedades reflectoras y con la mecnica celeste. Un rayo de luz dirigido hacia un foco es reflejado hacia el otro foco por un espejo hiperblico, observa la figura 1a, un rayo se aleja de un foco se refleja apartndose del otro como vemos en la figura 1b y 1c. Lo anterior se aplica en la construccin de los telescopios reflectores. Como el foco queda en la trayectoria de la luz incidente, presenta ciertos problemas, si el telescopioesmuygrande, sepuedeconstruirunajauladondeestel observador pegadoal ocularenel foco, aestoselellamatelescopiodefocoprimario, ylo vemos en la figura 2a; sin embargo, la jaula, por su tamao, interfiere con la capacidad UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.66 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAde concentracin luminosa del telescopio. Por lo que una solucin es colocar un espejo plano formando 45 con el eje de la parbola, entre ella y el foco, para desviar la luz hacia un lado y apartarla de la luz incidente, como vemos en la figura 2b; a lo que se llama telescopionewtonano.Pero, cuando los telescopios son muy grandes, se presenta el problema que, para observar ciertas regiones celestes durante largo tiempo, el telescopiosedebemover constantementeparacompensar el movimientodela Tierra; paraestoserequierequeel observadortambinsemueva, locual esdifcil cuando el telescopio es grande y el observador est encaramado en la parte superior del mismo. Una tercera alternativa es emplear un espejo secundario, hiperblico, a fin de dirigir la luz hacia el espejo parablico primario,saliendo por un agujero en l. El espejosecundariotieneunodesusfocosenel mismolugarqueel focodel espejo primario, y el otro queda detrs del primario; a esto se le llama telescopio Cassegran, en honor de su inventor, y se observa en el esquema de la figura 2c. Este telescopio se sigue necesitando movimiento en la parte del observador, pero es ms fcil de manejar porque el observador se encuentra en la base del telescopio y no en la parte superior. Tal sistemaesmuytil enlosradiotelescopios, quetienendistancias localesmuy grandes. El estudiante podra preguntar por qu en lugar de usar un espejo hiperblico, mejor usamosunoplano?Larespuestaesquesedeseaemplearunespejoloms pequeo posible para hacer que la luz salga del telescopio, en este caso si usramos un espejoplanodeberacolocarsemuchoms abajoy, por consiguiente, deberaser mucho mayor.Los cometas que se acercan al Sol una vez y se alejan para nunca regresar, siguen una rbita que puede ser parablica o hiperblico. Es raro encontrar una rbita parablica, porque se requiere que la velocidad del cometa sea exactamente igual a la velocidad de escape; las rbitas hiperblicas son mucho ms probables.Otra aplicacin de las hiprbolas se da en el uso del LORAN (long range navigation,siglasdenavegacinagrandesdistancias). Consisteenmandar unaseal deradio simultneamente desde dos puntos muy lejanos entre s, cuyas posiciones se conocen con exactitud. A partir del tiempo y del orden de llegada de las dos seales, es posible determinar la posicin deunadeellas considerandoqueestnenunarama de determinada hiprbola, cuyos focos son las estaciones. Si se agrega una tercera estacin como las anteriores, se puede usar sta con cualquiera de las dos primeras, para restringir la posicin de la seal a una segunda hiprbola. El punto de interseccin de las dos medias hiprbolas da la ubicacin del receptor. Un receptor de LORAN en un barcoounavintienecomputadora, loquehaceinnecesariolagraficacindelas hiprbolas.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.67 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICAFigura 1.Figura 2.Ejercicios propuestos de hiperbolas1. Un telescopio Cassegrain tiene las dimensiones que vemos en la siguiente figura 3. Deduce una ecuacin del espejo hiperblico, si el eje x est en el eje transversal, y el origen en el centro2. Un radiotelescopio tiene un reflector parablico (de ondas, de radio) con su foco a 100 pies sobre el vrtice. Un pequeo reflector hiperblico, a 90 pies sobre el vrtice y con uno de sus focos en el mismo lugar que el foco de la parbola, refleja sus ondas de radio hacia su otro foco (de la hiprbola), que queda 20 pies abajo del vrtice de la parbola. Determina las longitudes de los ejes transversal y conjugado la hiprbola.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.68 LARECTA Y LAS CNICAS MATEMTICA BSICA3. Un cometa sigue una rbita hiperblico al pasar cerca del Sol, y alcanza su perihelio, o punto mas cercano a este astro, en el vrtice a 43 millones de millas de l. Cuando la recta que une al Sol con el cometa es perpendicular al eje transversal de la hiprbola, el cometa est a 137 millones de millas del Sol. Halla una ecuacin de rbita del cometa, si el eje x se Coloca en el eje transversal y el origen en el centro. Dnde est el Sol?4. Se ha visto que las partculas alfa apuntadas hacia el ncleo de un tomo son repelidas y siguen una trayectoria hiperblico. Se dispara una partcula alfa hacia el ncleo de un tomo, que se encuentra en el origen, desde un punto muy lejano de la recta y =-2x. Se desva siguiendo una trayectoria que tiende hacia y=-2x y llega hasta 10 angstroms del ncleo. Deduce una ecuacin de la trayectoria de la partcula.5. A y Bson dos estaciones de LORAN, ubicadas en (-500,0) y (500,0), respectivamente. El receptor deunbarcodetectalas sealesderadio emitidassimultneamentedelasdosestaciones, queleindicanqueel barco est 600 millas ms cercano a A que a B.De igual forma, ve que el barco est 1000 millas ms cercano a C, en (0, 650), que a D, en (0, -650). Dnde se encuentra el barco?6. Un hombre se encuentra en un punto Q(x, y) y oye el ruido de un disparo en el punto P(1000, 0), y al mismo tiempo escucha el ruido de la bala cuando pega en el blanco, en P2(-1000, 0). Si la bala viaja a 2000 pies/segundo, y el sonido a 1100 pies/segundo, deduce una ecuacin que relacione a x y a y.UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRGUEZ DE MENDOZA UNTRM Pg.69