PRESENTADO POR: YASSER DAVID SALAZAR C.

GRADO: 10-02

COLEGIO FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA

AREA DE TRIGONOMETRIA

POPAYAN, CAUCA

2011

PRESENTADO POR: YASSER DAVID SALAZAR C.

PRESENTADO A : LUZ ENEIDA DAZA

GRADO: 10-02

COLEGIO FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA

AREA DE TRIGONOMETRIA

POPAYAN , CAUCA

2011

EN EL PRESENTE TRABAJO TRATARE DE REALIZAR UN

ANALISIS MAS CONCRETO SOBRE LAS SUPERFICIES CONICAS

PARA MOSTRAR COMO SE HA ENRIQUECIDO TAMBIEN CON

OTROS TEMAS REFERENTES A SU IDENTIFICACION EN LUGARES

O SITIOS GEOMETRICOS E IMPORTANCIA EN LA CIENCIA Y EN LA

TECNOLOGIA , ADEMAS MOSTRAREMOS EN QUE SITIOS O

LUGARES DE LA CIUDAD SON MUY RELEVANTES LAS CURVAS

CONICAS CON SU RESPECTIVA EXPLICACION Y COMO LAS

CONICAS HAN SI DO MUY RELEVANTES Y TRACEDENTALES EN LA

HISTORIA Y EN LA VIDA COTIDIANA , Y ACTUALMENTE COMO

SON MANIFESTADOS( CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPERBOLA Y

PARABOLA).

LLAMAMOS SUPERFICIE CONICA DE REVOLUCION A LA SUPERFICIE ENGENDRADA POR UNA LINEA RECTA QUE GIRA ALREDEDOR DE UN EJE MANTENIENDO UN PUNTO FIJO SOBRE DICHO EJE O LA QUE SE GENERA AL GIRAR UNA RECTA ALREDEDOR DE OTRA A LA CUAL CORTA . SI SE TIENEN DOS RECTAS , e Y g QUE SE CORTA EN UN PUNTO v Y HACEMOS GIRAR LA RECTA g ALREDEDOR DE e SE OBTIENE UNA FIGURA FORMADA POR DOS CONOS INFINITOS OPUESTOS POR EL VERTICE ES LA SUPERFICIE CONICA CUYA FORMA DEPENDE DEL ANGULO QUE FORMA LAS RECTAS e Y g.

LA RECTA e SE LLAMA EJE , TODAS LAS RECTAS g ( LA INICIAL Y LAS INFINITAS POSICIONES QUE ESTA OCUPA AL GIRAR ALREDEDOR DE e ) SE LLAMAN GENERATRICES, Y v ES EL VERTICE DE LA SUPERFICIE CONICA.

MIENTRAS QUE DENOMINAMOS

SIMPLEMENTE CONICA A LA CURVA

OBTENIDA AL CORTAR ESA

SUPERFICIE CONICA CON UN PLANO

QUE NO PASA DE SU VERTICE

LAS DIFERENTES POSICIONES DE

DICHO PLANO NOS DETERMINAN

DISTINTAS CURVAS :

CIRCUNFERENCIA , ELIPSE,

HIPERBOLA Y PARABOLA.

LAS CONICAS PROPIAMENTE DICHAS SON LAS QUE YA SEAN DESCRITO:

CIRCUNFERENCIA , ELIPSE, HIPERBOLA Y PARABOLA. SIN EMBARGO,

DESDE UN PUNTO DE VISTA MATEMATICO CONVIENE A VECES

CONSIDERAR COMO CONICAS LAS FIGURAS QUE SE OBTIENEN AL

CORTAR LA SUPERFICIE CONICA . A ESTAS FIGURAS SE LES LLAMA

CONICAS DEGENERADAS . SEGÚN ESTO, UNA RECTA , UN PAR DE RECTAS ,

O INCLUSO UN PUNTO , SERIAN CONICAS DEGENERADAS.

DESDE UN PUNTO DE VISTA ANALITICO SE PUEDE DEFINIR CONICA

COMO LA CURVA QUE CORRESPONDE A UNA ECUACION DEL TIPO:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

LOS VALORES QUE TOMAN A, B, C, D, E Y F , DETERMINAN EL TIPO DE

LA CONICA Y SU POSICION EN EL PLANO . PERMITIENDO QUE

DICHOS COEFICIENTES TOMEN VALORES CUALESQUIERA, ADEMAS

DE LOS CUATRO TIPOS DE CONICAS , SE OBTIENEN CONICAS

DEGENERADAS E INCLUSO CONICAS IMAGINARIAS.

LA EXCENTRICIDAD DE UNA CONICA , ES SU GRADO DE

ALARGAMIENTO , Y SE MIDE MEDIANTE UN NUMERO , e , TANTO

MAYOR CUANTO MAS ALARGADA SEA LA CONICA.

SI LA CONICA VIENE DEFINIDA COMO INTERSECCION DE UN PLANO

CON UNA SUPERFICIE CONICA .

A) DEFINICION DE CADA UNA DE LAS CONICAS ( CIRCUNFERENCIA,

ELIPSE, HIPERBOLA, Y PARABOLA). COMO LUGARES GEOMETRICOS .

IDENTIFICACION, DESCRIPCION, Y GRAFICAS DE SUS ELEMENTOS.

CIRCUNFERENCIA: EN GEOMETRIA , CURVA PLANA CERRADA EN LA

QUE UNO DE SUS PUNTOS EQUIDISTA DE UN PUNTO FIJO,

LLAMADO CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA . AL PERTENECER A LA

CLASE DE CURVAS CONOCIDAS COMO CONICAS, SE PUEDE DEFINIR

COMO LA INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE CONICA CON UN

PLANO PERPENDICULAR A SU EJE .

SI β = 90º LA INTERSECCION DE L PLANO CON SUPERFICIE CONICA

ES UNA CIRCUNFERENCIA.

ELIPSE: SE TRATA DE UNA CURVA

CERRADA QUE SE OBTIENE AL CORTAR

UNA SUPERFICIE CONICA DE EJE Y

ANGULO MEDIANTE UN PLANO P , QUE

NO PASA POR EL VERTICE Y QUE

CORTA A e BAJO UN ANGULO β MAYOR

QUE , PERO MENOR DE 90º

(α < β < 90º).

SI ES PROXIMO A CERO SE OBTIENE

UNA ELIPSE POCO EXCENTRICA. SI ES

PROXIMO A UNO SE OBTIENE UNA

ELIPSE MUY EXCENTRICA DE ESTA

MANERA HAYAMOS EL ALARGAMIENTO

DE ESTA CONICA .

LA ELIPSE PUEDE DEFINIRSE

COMO LUGAR GEOMETRICO DEL

SIGUIENTE MODO : DADOS DOS

PUNTOS FIJOS, F y F’ LLAMADOS

FOCOS, Y UN NUMERO FIJO K , k ›

FF , LA ELIPSE ES EL LUGAR

GEOMETRICO DE LOS PUNTOS , P,

DEL PLANO CUYA SUMA DE

DISTANCIAS a F y F’ es igual a k

ESTA FORMA DE DEFINIR UNA

ELIPSE PERMITE DIBUJARLA

MEDIANTE EL LLAMADO :

METODO DEL JARDINERO” : SE COLOCAN DOS ALFILERES EN LA POSICION

DE LOS FOCOS Y SE ATA A AMBOS UN HILO CUYA LONGITUD SEA

IGUAL A K. CON UN LAPIZ DE MODO TENSO, SE RECORRE LA ELIPSE .

LUGAR GEOMETRICO: ELEMENTOS DE UNA ELIPSE:

ADEMAS DE LOS FOCOS F Y F^ EN UNA ELIPSE DESTACAN LOS

SIGUIENTES ELEMENTOS :

CENTRO , 0, EJE MAYOR , AA’ , EJE MENOR BB’ , DISTANCIA FOCAL,

OF.

SI EL PLANO CORTA TODAS LAS GENERATRICES LA SECCION

PRODUCIDA SE LLAMA : ELIPSE.

EL PLANO ES PERPENDICULAR AL EJE DEL CONO , LA SECCION

OBTENIDA ES UNA CIRCUNFERENCIA.

HIPERBOLA: SE TRATA DE UNA CURVA ABIERTA, FORMADA POR DOS

RAMAS , QUE SE OBTIENEN AL CORTAR UNA SUPERFICIE CONICA

DE EJE ℮ Y ANGULO MEDIANTE UN PLANO P QUE NO PASA

POR EL VERTICE Y QUE CORTA A ℮ CON UN ANGULO β

MENOR QUE

LA HIPERBOLA SE PUEDE DEFINIR COMO LUGAR GEOMETRICO

DEL SIGUIENTE MODO: DADOS DOS PUNTOS FIJOS, F1 Y F2,

LLAMADOS FOCOS Y LLAMEMOS 2ª A LA DIFERENCIA DE LAS

DISTANCIAS, ENTONCES LOS PUNTOS (X,Y) DE LA HIPERBOLA

VERIFICAN (c>a)

OPERANDO EN ESTA ECUACION SE OBTIENE:

DE IGUAL FORMA A COMO SE HIZO PARA LA ELIPSE , SE CONSIGUE LA ECUACION FOCAL DE LA HIPERBOLA.

PERO AHORA c2=a2+b2

LA EXCENTRICIDAD EN LA HIPERBOLA ES ℮= C/A>1

LUEGO LAS CONICAS NO DEGENERADAS DE EXCENTRICIDAD MAYOR QUE 1 SON HIPERBOLAS.

LA HIPERBOLA TIENE DOS ASINTOTAS ( RECTAS CUYAS DISTANCIAS A LA CURVA TIENDEN A CERO CUANDO LA CURVA SE ALEJA HACIA EL INFINITO). LAS HIPERBOLAS CUYAS ASINTOTAS SON PERPENDICULARES SE LLAMAN HIPERBOLAS EQUILATERAS.

ADEMAS DE LOS FOCOS Y DE LAS ASINTOTAS , R Y R’, EN LA HIPERBOLA DESTACAN LOS SIGUIENTES ELEMENTOS:

CENTRO, 0 . - VERTICES, A Y A’.- DISTANCIA ENTRE LOS VERTICES, AA’= 2ª.

DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS, F F’= 2C.

EL TRIANGULO DE LADOS A, B, C ES RECTANGULO. POR TANTO , SE CUMPLE QUE :

b2 = c2 – a2

PARA CALCULAR LOS EJES DE LA HIPERBOLA HALLAMOS EN PRIMER

LUGAR LOS AUTOVALORES DE A00 ES DECIR NECITAMOS RESOLVER LA

ECUACION I det ( A00-AI) = 0 QUE EN ESTE CASO QUEDA

LAS SOLUCIONES SON

DOS AUTOVECTORES ORTOGONALES ASOCIADOS SON

QUE SERAN LAS DIRECCIONES DE LOS EJES DE LA HIPERBOLAS.

TENIENDO ENCUENTA QUE LOS EJES PASAN POR CENTRO YA

CALCULADO , SUS ECUACIONES SERAN

FINALMENTE ESCRIBIMOS LA ECUACION REDUCIDA DE LA

HIPERBOLA:

PARABOLA: SE TRATA DE UNA CURVA PLANA, ABIERTA, QUE SE

OBTIENE AL CORTAR UNA SUPERFICIE CONICA DE EJE ℮ Y

ANGULO MEDIANTE UN PLANO P QUE NO PASA POR EL VERTICE

Y QUE CORTA A ℮ BAJO EL MISMO ANGULO .

LA PARABOLA SE PUEDE DEFINIR COMO EL LUGAR GEOMETRICO DE

LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE UN PUNTO FIJO

LLAMADO FOCO, Y UNA RECTA FIJA LLAMADA DIRECTRIZ.

SUPONGAMOS QUE EL FOCO ES F= (P/2,0) CON P >0 Y LA RECTA

DIRECTRIZ ES X= -P/2, ENTONCES LOS PUNTOS (X,Y) DE LA

PARABOLA VERIFICAN LA ECUACION

OPERANDO EN ESTA ECUACION LLEGAMOS A

PARA ESTE CASO LA ECUACION FOCAL QUEDA

LA EXCENTRICIDAD EN LA PARABOLA ES 1.

ADEMAS DEL FOCO, F, Y DE LA DIRECTRIZ , D , EN UNA PARABOLA DESTACAN LOS SIGUIENTES ELAMENTOS:

EJE, ℮.

VERTICE, V.

DISTANCIA DE F A D, P.

LA PARABOLA NO TIENE ASINTOTAS . SU EXCENTRICIDAD ES, SIEMPRE, 1.

EXPRESION ANALITICA DE LA PARABOLA:

SI SE HACE COINCIDIR EL EJE X CON EL EJE DE LA PARABOLA Y EL EJE Y PASA POR SU VERTICE, ENTONCES LA ECUACION DE LA PARABOLA ES:

y2 = 2px

LAS CURVAS DE ECUACION y = ax2 + bx + cTAMBIEN SON PARABOLAS .SU EJE ES PARALELO AL EJE Y, Y SU

VERTICE SE ENCUENTRA EN EL PUNTO DE ABSCISA -b/2a.

B) RECONOCIMIENTO DE LA IMPORTANCIA DE LAS CONICAS EN LA

CIENCIA Y EN LA TECNOLOGIA .

LAS CONICAS:

EL PRIMER MATEMATICO QUE INICIO EL ESTUDIO DE LAS CONICAS

FUE APOLONIO DE PERGA (262-190 a.c) , QUE ENSEÑO MATEMATICAS

EN LAS UNIVERSIDADES DE ALEJANDRIA Y PERGAMO. SU ESTUDIO

LO PLASMO EN SU TRATADO “CONICAS” , QUE CONSTABA DE OCHO

LIBROS . CUATRO DE ELLOS SE CONSERVA N ORIGINALES, OTROS

TRES GRACIAS A LA TRADUCCION AL ARABE LLEVADA A CABO POR

THABIT IBN QURRA , HABIENDO DESAPARECIDO EL OCTAVO . EN

1710, EDMUD HALLEY, EL ASTRONOMO PUBLICO UNA TRADUCCION

DE LOS SIETE LIBROS CONOCIDOS EN LATIN.

APOLONIO HIZO TAMBIEN IMPORTANTES CONTRIBUCIONES A LA

ASTRONOIA GRIEGA, EN ESPECIAL CON LA APLICACIÓN DE

MODELOS GEOMETRICOS AL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS.

ADEMAS LAS CONICAS SON RELEVANTES EN MUCHOS CAMPOS.

LA IMPORTANCIA DE LAS CONICAS:

LA IMPORTANCIA DE LAS CONICAS RADICA EN SU APLICACIÓN AL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS, DEBIDO A QUE ESTOS SIGUEN ORBITAS ELIPTICAS , EN UNO DE CUYOS FOCOS SE ENCUENTRA EL SOL CARACTERISTICA UTILIZADA POR MELLER EN SU ESTUDIO SOBRE LOS PLANETAS Y NEWTON EN LA LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL.

OTRA APLICACIÓN DE LAS CONICAS DE LAS CONICAS ES AL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS DE LOS PROYECTILES, TIRO HORINZONTAL Y PARABOLICO.

ASIMISMO SE UTILIZAN LAS PROPIEDADES DE LAS CONICAS PARA LA CONSTRUCCION DE ANTENAS Y RADARES. SABIENDO QUE CUALQUIER ONDA QUE INCIDE SOBRE UNA SUPERFICIE PARABOLICA , SE REFLEJA PASANDO POR EL FOCO .

SE LLAMAN SECCIONES CONICAS ALAS SECCIONES PRODUCIDAS EN

UNA SUPERFICIE CONICA DE REVOLUCION POR UN PLANO QUE NO

PASE POR EL VERTICE .

LAS CONICAS POSEEN CURIOSAS E INTERESANTES PROPIEDADES POR

LAS QUE RESULTA SUMAMENTE UTILES EN LA NATURALEZA, LA

CIENCIA, LA TECNICA O EL ARTE.

POR EJEMPLO, LAS ORBITAS DE LOS PLANETAS Y LOS COMETAS EN SU

ROTACION ALREDEDOR DEL SOL SON CONICAS; LOS FAROS DEL

COCHE TIENEN SECCION PARABOLICA, AL IGUAL QUE LOS HORNOS

SOLARES Y ANTENAS DE SEGUIMIENTO DE SATELITES, DEBIDO A

QUE EN LA PARABOLA LOS RAYOS QUE PASAN POR EL FOCO SALEN

PARALELOS AL EJE Y VICEVERSA .

TAMBIEN EXISTE UN TIPO DE AYUDA A LA NAVEGACION(LORAN)

BASADOS EN LAS PROPIEDADES DE LAS HIPERBOLAS, QUE PERMITE

A LOS BARCOS Y LOS AVIONES DETERMINAR SU POSICION, SOBRE

UNA CARTA MARINA.

LAS ORBITAS DE TODOS LOS PALNETAS SON ELIPSES, UNO DE CUYOS FOCOS ES EL SOL.

LAS MAS EXCENTRICAS SON LAS DE PLUTON, ℮=0,25, Y LA DE MERCURIO, ℮=0,21. LOS RESTANTES PLANETAS TIENEN ORBITAS CON EXCENTRICIDADES INFERIORES A 0,1, ES DECIR, CASI CIRCULARES.

UNA ORBITA TIENE LA FORMA DE UNA CONICA- UN CIRCULO, ELIPSE, PARABOLA Y HIPERBOLA- CON EL CUERPO CENTRAL EN UNO DE LOS FOCOS DE LA CURVA. CUANDO UN SATELITE REALIZA UN ORBITAL ALREDEDOR DEL CENTRO DE LA TIERRA, EL PUNTO EN QUE SE ENCUENTRA MAS DISTANTE DE ESTA SE LLAMA APOGEO Y EL MAS CERCANO PERIGEO.

LAS ORBITAS DE ALGUNOS COMETAS SON HIPERBOLAS. ESTOS COMETAS SOLO SE ACERCAN UNA VEZ AL SOL. QUE ES UNO DE LOS FOCOS DE SU TRAYECTORIA. DESPUES SE ALEJARAN PERDIENDOSE EN LOS CONFINES DEL SISTEMA SOLAR.

OTRA DE LAS MAYORES MANIFESTACIONES ES EN LA ARQUITECTURA BARROCA Y EN EN LAS COSAS ORDINARIAS Y CASERAS QUE HABITUALMENTE UTILIZAMOS EN LO LABORAL Y EL HOGAR.

2) TOMAR FOTOS DE IMÁGENES DE OBJETOS DE LA CIUDAD DE

POPAYAN QUE SE IDENTIFIQUEN CON CURVAS CONICAS( MINIMO 20

FOTOS).

TEMA: PUEDEN SER REFERENTES NATURALES, OBJETOS COTIDIANOS,

APLICACIONES EN LA FISICA, ARQUITECTURA E INGENIERIA.

UNA CONICA MUY MANIFESTADA EN POPAYAN ES LA DE LA TORRE

DEL RELOJ CON UNA CIRCUNFERENCIA EN EL RELOJ Y PARABOLAS

EN LAS FIGURAS DONDE SE ENCUENTRAN LAS CAMPANAS .

OTRAS CONICAS MUY RELEVANTES EN LA CIUDAD SON LA PARTE

POSTERIOR DE LA IGLESIA DE SAN FRANCISCO LA MAS

EMBLEMATICA DE LA CIUDAD CON ELIPSES, CIRCUNFERENCIAS , Y

PARABOLAS.

ADEMAS SE MANIFIESTA MUCHO EL ARTE BARROCO NEOGRANADINO.

OTRA S CONICAS QUE SON POCO PRONUNCIADAS EN LA CIUDAD Y SE

ENCUENTRAN EN LOS ANTEJARDINES Y EN ALGUNAS PUERTAS

COLONIALES COMO LA DE LA UNIVERSIDAD DE HUMANIDADES Y ARTES

QUE SON LAS HIPERBOLAS.

OTRA CONICA ENCONTRADA ES LAS PARABOLAS EN LA IGLESIA DE LA

ERMITA Y EN EL PALACIO DE JUSTICIA COMO TAMBIEN EN LA MAYORIA

DE LOS SITIOS TURISTICOS DE POPAYAN.

COMO LO ES EN LA CATEDRAL DONDE ES DONDE MAS SE UTILIZO TODO

TIPO DE CONICAS Y COMO EN LA EPOCA COLONIAL SE MANIFESTABAN

EN EL ARTE BARROCO PUES POPAYAN ES UNA DE LAS CIUDADES QUE

NO HA PERDIDO LA TRADICIONAL ARQUITECTURA DE SUS IGLESIAS,

PARQUES, MUSEOS Y PULPITOS DE SANTOS DE LA RELIGION CATOLICA Y

COMO LA RELIGION CATOLICA DEMUESTRA SU ADMIRACION Y IDOLATRIA

EN LAS CONICAS EN LA OSTIA Y FIGURAS CON RICA ARQUITECTURA Y

TRABAJO COLONIAL Y COMO LAS CONICAS SON RELEVANTES EN LA

ARQUITECTURA CONTEMPORANIA Y CIVICA DE LA SOCIEDAD PAYANESA.

ADEMAS LAS CONICAS MAS RUPESTRES EN LA CIUDAD SE ENCUENTRAN

PRINCIPALMENTE EN LAS ENTRADAS DE LAS IGLESIAS Y EN LAS PARTES

INTERIORES DE LA CATEDRAL, LA IGLESIA DE SAN JOSE Y LA IGLESIA DE

SAN FRANCISCO COMO SUS EXTERIORES PRINCIPALMENTE EN POPAYAN Y

EN POCAS CIUDADES LATIONAMERICANAS NO SE HA PERDIDO LA

TRADICION BARROCA EN AL IGLESIA CATOLICA , PUES POPAYAN SIGUE

CON PATRIMONIOS CULTURALES Y RELIGIOSOS COMO LO OTRAS CIUDADES

COLOMBIANAS COMO CARTAGENA , BOGOTA Y LA IGLESIA DE LAS LAJAS EN

NARIÑO (IPIALES) .

ADEMAS ALGUNOS BUSTOS O SANTOS SON IDENTIFICADOS CON CONICAS

RUPESTRES Y RELIGIOSAS HECHAS CON ORO Y PLATA ESCULPIDA Y

TALLADA , TAMBIEN EN LO COTIDIANO MUCHOS BARRIOS Y LUGARES

FOMENTAN LAS CONICAS COMO UNA OPCION DE BELLEZA Y ELEGANCIA .

LA CONICA MAS MANIFESTADA ES LA CIRCUNFERENCIA , ADEMAS EL

INTERIOR DE ALGUNAS IGLESIAS COMO LAS PAREDES SON CONICAS

LUSTRADAS Y TALLADAS COMO BELLEZA COLONIAL Y DEL BARROCO EN

LAS ESCULTURAS Y BELLEZAS ARQUITECTONICAS Y CIVICAS DE LA

CIUDAD BLANCA O LA JERUSALEN DE AMERICA COMO ES LLAMADA.

OTROS SITIOS A NIVEL MUNDIAL DONDE SE CONCENTRA LAS

CONICAS DE DIVERSAS FORMAS…

IGLESIA DEL GESU ( ROMA-ITALIA).

CATEDRAL DE SAINT PAUL-LONDRES…

IGLESIA BARROCA EN VILNA …

IGLESIA DE ACAPULCO ( MEXICO)

IGLESIA DE HERMOSILLO(MEXICO)

IGLESIA DE SAN FRANCISCO ( GUADALAJARA) …

SE MANIFIESTA LAS CONICAS EN LAS MARAVILLAS DEL MUNDO O

EDIFIOS FAMOSOS COMO LO ES : EL TAJ MAHAL( INDIA) Y LA TORRE

EIFFEL( FRANCIA) …

UNA CONICA MUY PRONUNCIADA ES LA DEL BIG BEN (LONDRES)…

GRAN PALACIO DEL KREMLIM(MOSCU)…

HASTA EN LOS RINCONES MAS INOSPITOS SE MANIFIESTA LAS CONICAS COMO

LO ES EN LA PLAZA ROJA DE MOSCU. UNA DE LAS ULTIMAS ARQUITECTURAS

VANGUARDISTAS …..

LAS CONICAS SE PRESENTAN HASTA EN LOS PARLAMENTOS EL MAS

REPRESENTATIVO ES EL DE OSLO ( NORUEGA)…