Lectura de conicas

1

Lectura de Cónicas

Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 2

Sabés cuáles son las cónicas y por qué se llaman así?

Las cónicas son curvas que se obtienen como intersección de un cono y un plano:

circunferencia elipse parábola hipérbola

Las cónicas son entonces curvas planas.


r = radio ( es la medida de este segmento)

Seguramente muchas veces dibujaste una circunferencia. Con qué elementos?

Sí, claro fijando un punto que será su centro y una medida positiva que será su radio (ya sea que la hayas dibujado con un compás o con otros objetos más “caseros”)

centro

Los puntos de la circunferencia son los que están a distancia r de un punto fijo llamado centro.


El punto (4,6) está en la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4?

Qué te parece?, cómo harías para poder responder a esta pregunta? ¿alcanza con que dibujes con un compás la circunferencia?, si no lo hiciste, hacelo…el punto (4,6) está en la circunferencia?, que respondiste?, que sí?............

¿te quedan dudas?, ¿cómo podrías hacer para resolver esta situación y que no queden dudas?

¡¡Este es un gran momento!!: graficar una situación no siempre resuelve las situaciones que se nos plantean, por ello, como en este caso, es necesario trabajar con la definición de circunferencia para obtener una herramienta que permita resolver esta situación


Cómo se establece una condición que satisfacen todos los puntos de esa circunferencia y sólo

ellos?

La circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 es el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia 1,4 del punto (3,5). Así que podemos decir, sin lugar a dudas que:El punto (x,y) es un punto de la circunferencia mencionada si y sólo si:

Distancia((x,y), (3,5)) = 1,4 Y por la definición de distancia entre dos puntos, esta ecuación es equivalente a las siguientes:

4,1)5()3( 22 =−+− yx222 )4,1()5()3( =−+− yx

96,1)5()3( 22 =−+− yx

Esta es la ecuación de la circunferencia de

centro (3,5) y radio 1,4


Así, ahora es fácil resolver nuestro problema (el punto (4,6) está en la circunferencia de centro

(3,5) y radio 1,4?)

Cómo?, verificando si las coordenadas del punto (4,6) satisfacen la ecuación que obtuvimos:

96,1)56()34( 22 =−+−

Pero está claro que esta ecuación no se satisface, ya que el miembro de la izquierda es 2.

Podemos ahora responder sin dudas que el punto (4,6) no es un punto de la circunferencia dada.


Así, la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (a,b) y de radio r es:

222 r )()( =−+− byax

Esta es la ecuación estándar de la circunferencia con

centro (a,b) y radio r


Si te doy las siguientes ecuaciones cuadráticas en x e y, podrías decirme en cada caso si se trata de la ecuación de una circunferencia?

032 ) 22 =+−+ yxyxa

432 ) 22 −=+−+ yxyxb

0322

1 ) 22 =+−+ yxyxc


Voy a hacer los dos primeros casos y el último te lo dejo a vos (podés consultar con tu tutor)

032 ) 22 =+−+ yxyxa

Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es equivalente a las siguientes:

22

2222

2

3)1(0

2

33)1(2

+−+=

+++−+− yyxx

4

91

2

3)1(

22 +=

++− yx

4

13

2

3)1(

22 =

++− yx

Y esta es claramente la ecuación estándar de la circunferencia con centro (1, -3/2) y radio

2

13


Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es equivalente a las siguientes:

22

2222

2

3)1(4

2

33)1(2

+−+−=

+++−+− yyxx

4

914

2

3)1(

22 ++−=

++− yx

4

3

2

3)1(

22 −=

++− yx

Y es claro que esta ecuación NO CORRESPONDE a una circunferencia!! ¿¿podés expresar con claridad por qué???

432 ) 22 −=+−+ yxyxb


Hasta aquí, tenés que tener en claro

que la circunferencia: Es una curva plana que se obtienen al cortar un cono circular recto con

un plano (perpendicular al eje del cono) y tiene propiedades geométricas que la definen y permiten su trazado con elementos comunes (Un clavo un piolín y un lápiz, un compás, etc..)

Todos y sólo los puntos de una circunferencia, pueden caracterizarse a través de ecuaciones cuadráticas en x e y. La ecuación estándar de una circunferencia muestra con claridad cuál es el centro y el radio de la misma.

Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.

La completación de cuadrados y el reconocimiento de la ecuación estándar de una circunferencias son fundamentales a la hora de decidir si una ecuación cuadrática en x e y es la ecuación de una circunferencia.


La Parábola

Elementos distintivos de una parábola: La recta que pasa por el foco y es

perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vértice. El vértice es el único punto de la parábola que pertenece a ese eje.

Por ejemplo, si tomamos como foco el punto F(0,p) (donde p es un número positivo) y como directriz, la recta y = -p, la parábola es la que aparece a la derecha.

Parábola es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ.


No es tan conocido cómo graficar una parábola, por eso ahí va la receta:

Para trazar una parábola necesitás: una regla, una escuadra, un lápiz, un piolín que tenga la medida exacta

de un cateto de la escuadra. El piolín se sujeta al extremo del cateto que corresponde al ángulo agudo y

Un clavo o tachuela, que se clavará en el “foco” de la parábola y que sujetará el otro extremo del piolín.

Mirá la figura e intentálo!!!!


La ecuación que corresponde a una parábola con directriz paralela al eje x y vértice en el origen (leé los detalles en el apéndice) es:

negativo o positivo sea psegún

sigue como vese parábola lay

4

2

p

xy =

Si p > 0 Si p < 0


También podés ver en detalles que:

( )

4

2

p

axby

−=−

La ecuación que corresponde a una parábola con directriz paralela al eje x y vértice en el punto (a,b) es:

La ecuación que corresponde a una parábola con directriz paralela al eje y y vértice en el punto (a,b) es:

( )

4

2

p

byax

−=−


Ejercicio: Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y foco en el punto (– 2, 3).

Gráficamente:

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación x = – 2 , además abre hacia abajo ya que p = – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5. La ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = – 1/4 (x + 2)2.


La elipse, cómo puedo trazar una?

Una elipse es el conjunto de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante.

El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro. Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches

clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra en la siguiente figura:


La ecuación de la elipse con centro en el

origen: La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen y focos F y F´ en el eje x como se muestra en la figura, es:

Gráficamente:

c-a b donde ,1 2222

2

2

2

==+b

y

a

x

Si los focos están sobre el eje y, la ecuación es y es claro que el eje mayor estará sobre el eje y

12

2

2

2

=+a

y

b

x

Notá que a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor respectivamente


La ecuación de la elipse con centro en el punto (x0, y0):

Si los focos están sobre una recta paralela al eje X

Si los focos están sobre una recta paralela al eje y

bab

yy

a

xx >=−+− , 1

)()(2

20

2

20

baa

yy

b

xx >=−+− , 1

)()(2

20

2

20


Ejercicio: hallar una ecuación de la elipse de la figura y determinar si el punto (- 5/2,2) está en dicha elipse?

Está claro en el dibujo que: El centro de la elipse es el punto (-2,4) Los semiejes mayor y menor miden 3 y 1

respectivamente El eje mayor es paralelo al eje y

Entonces, la ecuación es:

13

)4(

1

))2((2

2

2

2

óyx =−+−−

19

)4(

1

)2(

22

=−++ yx

Ahora queda sólo verificar si el punto (-5/2,2) satisface la ecuación:

Por lo que se concluye que (- 5/2,2) no es un punto de la elipse.

19

4

4

1

9

)2(

1

)2/1(

9

)42(

1

)2)2/5((

2222

≠+=−+−=−++−


La Hipérbola Hipérbola es el conjunto de puntos del

plano para los que que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.

La Ecuación de la hipérbola de la figura (con centro en el origen y focos sobre el eje x), es:

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Notar que a y –a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre el eje x, que c es la distancia de los focos al centro y que b2 = c2 - a2.


La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (x0, y0) es:

1)()(

2

20

2

20 =−−−

b

yy

a

xx

La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje y = y0

Notar que x0+a y x0–a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre el eje y = y0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2.

La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje x = x0

1)()(

2

20

2

20 =−−−

b

xx

a

yy

Notar que y0+a e y0–a son las ordenadas de los puntos de la hipérbola sobre el eje x = x0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2.


Ejercicio: hallar una ecuación de la hipérbola de la figura y determinar si el punto (2,2) está en dicha hipérbola?

Está claro en el dibujo que: El centro de la hipérbola es el punto (4,0) Los focos están en el eje X = 4 a = 1, c = 2, b2 = 22-12 = 3

Entonces, la ecuación es:

13

)4(

1

)0( 2

2

2

=−−− xy

Ahora queda sólo verificar si el punto (2,2) satisface la ecuación:

Por lo que se concluye que (2,2) no es un punto de la hipérbola dada.

13

44

3

)42(

1

)02( 2

2

2

≠−=−−−


Conclusiones: Las cónicas son curvas planas que se obtienen al cortar un cono

circular recto con planos.

Tienen propiedades geométricas que las definen y permiten su trazado con elementos comunes (clavos, piolines,…)

Todos y sólo los puntos de cada una de estas curvas, pueden caracterizarse a través de ecuaciones.

Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.

Lectura de conicas

Education

Transcript of Lectura de conicas