¿Quién fue Rene Descartes?

R. Descartes fue filósofo, matemático y científico nacido en Francia y perteneciente al siglo XVII. Recordemos que fue autor de una de las grandes frases celebres de la historia: “Pienso, luego existo”. Descartes nació en una familia de baja nobleza, pero desde muy pequeño se vio interesado en una educación de ciencias y filosofía. Descartes utilizó la duda como método. Era una persona creyente y trataba de afirmar la existencia de dios. Rene estudio filosofía, ciencias como las matemáticas y la geometría, medicina, griego, latín, y entre otras áreas de la ciencia. René Descartes murió el 11 de febrero de 1650 en la capital de Suecia, en Estocolmo, como consecuencia de una neumonía.

Podemos decir que el es el padre de la geometría analítica, pues fue el primero en utilizar el plano cartesiano.Entre otras aportaciones matemáticas están el que expresó la duda sobre la posibilidad de solución a la duplicación del cubo.Resolvió el problema de Pappus mediante geometría analítica.Introdujo el segmento unidad y la construcción de la cuarta proporcional.Extendió a las secciones cónicas el método de las normales.Mostró que una ecuación tiene tantas raíces positivas como cambios de signos hay en la serie de coeficientes y tantas negativas como repeticiones de signos.Dedujo que la ecuación de tercer grado se resuelve por radicales cuadráticos.Estableció que una ecuación algebraica puede tener tantas raíces como unidades tiene su potencia mayor.Distinguió curvas geométricas y mecánicas. Utilizo el símbolo infinito.Primer hombre de ciencia en utilizar  la notación exponencial, utilizada hoy día. Descubrió la formula C+V=A+2 aunque generalmente se le atribuye a Euler.Determino el radio y el centro de un circulo que debe cortar la curva en dos puntos consecutivos.En óptica se le debe la teoría corpuscular de la luz y las leyes de refracción.Introdujo las últimas letras del abecedario para las cantidades desconocidas y las primeras para las conocidas.Creo una técnica para expresar las leyes de la mecánica mediante formulas algebraicas.

En la actualidad lo conocemos mas que nada por su filosofía, pero cualquier estudiante de cualquier grado académico, también lo conoce por su trabajo con las coordenadas cartesianas y la geometría analítica.

La circunferencia

Es una línea de puntos cerradas, en los cuales estos se encuentran a la misma distancia de un centro, equidistancia.

El radio es el segmento que une al centro con cualquier punto de la circunferencia. Formulas básicas:A=¶rˆ2 P=¶d ó P=¶2r

Ecuación de la circunferencia en el plano cartesiano. Para cualquier punto P(x,y) de una circunferencia cuyo centro esta ubicado en C(h,k) y con radio r, la ecuación es la siguiente:(x ─ h)2  +  (y ─ k)2 = r2

Recordemos que los puntos (h,k) nos indican que el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen o punto (0,0). Asi que la ecuación para la circunferencia con centro en el origen es.

x 2  +  y 2 = r2

Cabe destacar que para encontrar si es una ecuación de una circunferencia es necesario analizar los coeficientes de x y y, es fundamental que sus coeficientes sean iguales, de lo contrario no será una circunferencia, puesto que no todos los puntos estarán a la misma distancia del centro.

Ax 2  +  By 2 = r2 Por lo tanto A=B

Ejemplos:

-Circunferencia con centro en el origen x 2  +  y 2 = 25

r= √ x 2  +  y 2 

r=√25r=5

Ejemplo con centro fuera del origen:

(x-5) 2  +  (y-7) 2 = 15

Deducimos el centro de la circunferencia resolviendo :

x-5=0 por lo tanto x=5 yy-7=0 por lo tanto y=7

para encontrar el radio

r=√15 r=3.87

Resolviendo la ecuación obtenemos:(x-5) 2  +  (y-7) 2 = 15

x2 -10x+25+y2 -14y+49=15

igualando la ecuación a cero

x2 +y2 -10x-14y-59=0

ELIPSE

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La elipse es el conjunto de

Elementos de la elipse:

Focos: son los puntos fijos F y F´

Eje focal: recta que pasa por los focos

Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF´

Centro es el punto de interseccion de los ejes.

Radios Vectores: segmentos que van desde la elipse hasta los focos PF Y PF´.

Distancia focal: es el segmento FF´ de valor 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices: puntos de intersección de la elipse con los ejes A,A´, B y B´.

Eje mayor: segmento AA´, de longitud 2a, a es valor del semieje mayor.

Eje menor: segmento BB´, de valor 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: rectas que contienen al eje mayor o menor.

Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de

simetría.

Ecuaciones:

Con centro en el origen:

x2 /a2 +y2 /b2 = 1

con centro fuera del origen

((x-h) 2 /a2 )+((y-k) 2 /b2 )=1

Estas formulas tambien pueden escribirse como:

x2 /b2 +y2 /a2 = 1

y

((x-h) 2 /b2 )+((y-k) 2 /a2 )=1

Se debe destacar que el coeficiente a, representa al lado mas largo y por lo tanto el b, al mas corto. Asi

que en x2 /a2 +y2 /b2 = 1 y en ((x-h) 2 /a2 )+((y-k) 2 /b2 )=1 la orientación sera la siguiente

Y en x2 /b2 +y2 /a2 = 1 y ((x-h) 2 /b2 )+((y-k) 2 /a2 )=1 la siguiente:

Ecuación general:

Ax2+By2 +Cx+Dy+E=0

(x2 /62 )+(y2 /32 )=18

((x-8) 2 /42 )+((y-3) 2 /62 )=24

Resolvemos x-8=0 y y-3=0 para encontrar las coordenadas del centro.

Obtenemos x=8 y =3

Traslación de ejes

Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en el sistema original, es

necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones:

x = x´ + xo

y = y´ + yo

El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación:

(x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 32

Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se puede describir como:

[(x´+1) - 1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32

o(x´) 2 + (y´)2 = 32

Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la ecuación en el nuevo sistema.