Circunferencia y Conicas

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Documento con contenido sobre +algebra vectorial, especícicamente circunferencia, elipse, hipérbola, cónicas

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  • 1

    LGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 01 de 2015.

    I. Circunferencia.

    Elementos de la circunferencia.

    El segmento de recta es una cuerda.

    El segmento de recta es una cuerda que pasa por el

    centro, por lo tanto es un dimetro

    Propiedades.

    1. Toda recta tangente es perpendicular al radio en su punto de tangencia.

    2. Toda cuerda es perpendicular al radio, en el punto medio de la cuerda.

    3. Si en una circunferencia se tienen n cuerdas, se tiene que toda recta perpendicular a

    cada una de las cuerdas en el punto medio de cada una de ellas pasa por el centro de la

    circunferencia. Es decir que las diferentes rectas perpendiculares a las cuerdas en el

    punto medio de ellas, se cortan en el centro de la circunferencia.

  • 2

    4. Todo tringulo inscrito en una circunferencia, en donde uno de sus lados es el dimetro y

    el vrtice opuesto es un punto que pertenece a la circunferencia, constituye un tringulo

    rectngulo.

    Problemas resueltos sobre circunferencia.

    1. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (7, 5) y es tangente a la

    recta 4 = 0 en el punto (3, 1).

    Recta tangente: 4 = 0

    = 4

    Ecuacin de la forma: = +

    Pendiente de la recta tangente: = 1

    Pendiente de la recta perpendicular: = 1

    Ecuacin de la recta 1; la cual es perpendicular a la recta tangente en el punto 3, 1 .

    Es: 1 = 1( 3)

    + 1 = + 3

    = +

    El centro (, ) pertenece a la recta = + 2, por lo que podemos escribir:

    = + ().

    Con los puntos (3, 1) y (7, 5) podemos trazar una cuerda, la cual posee como punto

    medio 3+7

    2,1+ 5

    2 = (5, 3).

  • 3

    Una recta perpendicular a dicha cuerda, en el punto medio a ella, pasa por el centro de la

    circunferencia.

    Pendiente de la cuerda es =5 1

    73=

    4

    4

    = 1

    Por lo que la pendiente de la recta 2 es = 1

    Con el punto medio de la cuerda y la pendiente = 1,

    podemos escribir la ecuacin de la recta 2 : (3) = 1( 5)

    + 3 = 5

    =

    El centro (, ) pertenece a la recta = 8, por lo que podemos escribir =

    (2)

    Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: + 2 = 8

    = 8 2

    2 = 10

    =

    Sustituyendo = 5 en la ecuacin (2) tenemos: = 5 8

    =

    Centro de la circunferencia , = 5, 3 . Note que se ha obtenido, que el centro de

    la circunferencia, en este caso coincidi con el punto medio de la cuerda . Note que la

    recta 2 y la recta tangente son paralelas, ya que tienen la misma pendiente y la recta

    1 es paralela a la cuerda , ya que estas dos rectas poseen la misma pendiente

    = 1.

    Ecuacin de la circunferencia: ( )2 + ( )2 = 2

    El radio de la circunferencia lo podemos calcular como el

    mdulo del vector , con = 5 3 + 3 1 , es

    decir = 2 2 .

    = 22 + (2)2 = 8. Luego el radio de la circunferencia

    buscada es = 8.

    Ecuacin de la circunferencia con centro 5, 3 y radio = 8 es:

    ( 5)2 + ( (3))2 = 8 2

    ( 5)2 + ( + 3)2 = 8

  • 4

    2 10 + 25 + 2 + 6 + 9 = 8

    2 + 2 10 + 6 + 25 + 9 8 = 0

    + + + =

    Relaciones entre circunferencias.

    1. Circunferencias que son tangentes.

    12 = 1 + 2

    Circunferencias que son tangentes: 1 + 2 = 1 2.

    2. Circunferencias que se intersectan.

    Distancia entre los centros 12 es menor que la suma de los radios 12 < 1 + 2

    3. Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan.

    Distancia entre los centros 12 es menor que la suma de los radios 12 < 1 + 2

  • 5

    Recta de los centros.

    Es la lnea recta que une los centros de 2 circunferencias.

    Eje radical.

    Es la recta perpendicular a la recta de los centros.

    Cuando se tienen 2 circunferencias que son tangentes, el eje radical para por el punto

    de tangencia.

    Cuando se tienen 2 circunferencias que se intersectan, el eje radical pasa por los

    puntos de interseccin de las dos circunferencias.

    Cuando se tienen 2 circunferencias que NO se intersectan, NI son tangentes; el eje

    radical se ubica ms cerca de la circunferencia de menor radio.

    Circunferencias que son tangentes

    Circunferencias que se intersectan

    Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan

    Ejercicios Resueltos.

    1. Determinar si las circunferencias 1: 2 + 2 2 4 4 = 0 y

    2: 2 + 2 + 6 + 10 = 15

    Se intersectan, son tangentes o NI SE CORTAN, NI SON TANGENTES.

    Determine la ecuacin de la recta de los centros y los puntos de interseccin o de tangencia de las

    circunferencias, segn sea el caso.

    1: 2 + 2 2 4 = 4

    2 2 + 1 + 2 4 + 4 = 4 + 1 + 4

    1 2 + 2 2 = 9

    Centro 1 1,2 , radio 1 = 9 = 3

  • 6

    2: 2+6 + 2 + 10 = 15

    2 + 6 + 9 + 2 + 10 + 25 = 15

    + 3 2 + + 5 2 = 15 + 9 + 25

    + 3 2 + + 5 2 = 49

    Centro 2 3, 5 , radio 2 = 49 = 7

    12 = 3 1 + 5 2 12 = 4 7 12 = 12 = 16 + 49 = 65

    Distancia entre los centros 12 = 65 = 8.06 y 1 + 2 = 3 + 7 = 10

    Distancia entre los centros 12 = 8.06 < 1 + 2 .

    Conclusin: Las circunferencias se intersectan.

    Recta de los centros 1 1,2 2 3, 5 .

    Pendiente: =52

    31=

    7

    4=

    7

    4 =

    7

    4

    Con =7

    4 1 1,2 escribimos la ecuacin de la recta de los centros:

    2 =7

    4 1 4 8 = 7 7 7 4 + 1 = 0

    Para encontrar los puntos de interseccin de las circunferencias, simultanearemos las ecuaciones

    de ella; para ello multiplicamos por -1 la ecuacin de 1:

    1 1: 2 2 + 2 + 4 + 4 = 0

    2: 2+ 2 + 6 + 10 15 = 0 _

    Note que es una ecuacin de la forma + + = 0 que es la ecuacin de una lnea recta en

    2.

    Esta ecuacin constituye, la ecuacin del eje radical.

    Despejemos y: 14 = 8 + 11 =8+11

    14

    Sustituyamos y en la ecuacin de 1, para encontrar los puntos de interseccin.

    8 + 14 11 = 0

  • 7

    2 + 11 8

    14

    2

    2 4 11 8

    14 4 = 0

    2 + 11 8 2

    142 2

    2

    7 11 8 4 = 0

    2 +121 176 + 642

    196 2

    22

    7+

    16

    7 4 = 0

    Por 196:

    1962 + 121 176 + 642 392 616 + 448 784 = 0

    2602 120 1279 = 0

    = 120 1202 4 260 1279

    2 260

    =120 1344560

    520

    =120 1159.55

    520 1 = 2.46 2 = 2

    1 = 2.46 1 =11 8 2.46

    14= 0.62 1 2.46, 0.62

    2 = 2 2 =11 8 2

    14= 1.928 2 2, 1.928

    Puntos de interseccin de

    las circunferencias.

    Distancia de un punto , a la recta en , con ecuacin general + + = .

    (Menor distancia del punto0 0 , 0 a la recta en 2, la cual es la distancia perpendicular).

    Si se tiene la ecuacin general de una lnea recta en 2: + + = 0, se debe tener

    presente que un vector paralelo a dicha lnea recta es el vector = .

    Ej. Sea la recta en 2: 2 3 + 5 = 0. Un vector paralelo a ella es = 3 2 .

  • 8

    Si tenemos la ecuacin de la recta : + + = 0, podemos calcular los intersectos de dicha

    recta con los ejes x e y. Teniendo:

    = 0 + = 0 =

    1 0,

    = 0 + = 0 =

    2

    , 0

    Note que, de la figura sin =

    10 = 10 sin

    10 = 0 0 + 0

    10 = 0 + 0 +

    Si = 10 sin y multiplicamos y dividimos por tenemos:

    = 10 sin

    =

    10

    Con 10 = 0 + 0 +

    y = tenemos:

  • 9

    10 =

    0 0 +

    0

    0

    = 0 + 0 + 0 0 +

    10 = 0 0 10 = + 0 +

    Luego 10 = + 0 + , ya que = 10

    Teniendo:

    = 0 + 0 +

    2 + 2

    Frmula de la distancia del punto 0 0, 0

    a la recta en 2, 1: + + = 0

    Ejemplo: Encontrar la ecuacin de la circunferencia con centro 0,6 y que es tangente a la

    recta : 3 4 1 = 0

    3 1 = 4 =3

    4

    1

    4

    Calculemos la distancia del punto C(0,6) a la recta 3x-4y-1=0, ya que dicha distancia es el valor

    del radio r.

  • 10

    = 3 0 + 4 + 1

    32 + 4 2=

    0 24 1

    25=

    25

    5=

    25

    5= 5

    Con r=5 y el centro C(0,6), escribimos la ecuacin de la circunferencia:

    0 2 + 6 2 = 52

    2 + 2 12 + 36 = 25 2 + 2 12 + 36 25 = 0

    2 + 2 12 + 11 = 0

    Ejercicio: Hallar la ecuacin general y la ecuacin ordinaria de la circunferencia; as como

    tambin el centro y el radio de ella, si la circunferencia pasa por los puntos A(-1,-1), B(5,7) y

    E(7,3).

    1 = 1 + 5

    2,1 + 7

    2 = 2,3

    1 = 2,3

    =7 1

    5 1 =

    8

    6=

    4

    3

    Pendiente de una recta perpendicular a la

    cuerda : =3

    4

    2 = 5 + 7

    2,7 + 3

    2 = 6,5

    2 = 6,5

    =3 7

    7 5=

    4

    2= 2

    Pendiente de una recta perpendicular a la

    cuerda : =1

    2

    Con 1 = 2,3 y =3

    4 escribimos la ecuacin de la recta perpendicular a la cuerda ,

    en el punto medio de ella:

    3 = 3

    4( 2)

  • 11

    3 = 3

    4 +

    6

    4

    = 3

    4 +

    3

    2+ 3 =

    3

    4 +

    9

    2

    Como , pertenece a esta recta escribimos:

    Con 2 = 6,5 y =1

    2 escribimos la ecuacin de la recta perpendicular a la cuerda ,

    en el punto medio de ella:

    5 =1

    2 6 5 =

    1

    2 3

    =1

    2 + 2

    Como , pertenece a esta recta escribimos:

    Igualando las ecuaciones I y II tenemos: 3

    4 +

    9

    2=

    1

    2 + 2

    3

    4

    1

    2 = 2

    9

    2

    3 2

    4 =

    4 9

    2

    5

    4 =

    5

    2 =

    5

    2

    4

    5

    = 2

    Luego =1

    2 2 + 2 Centro 2,3

    Calculemos el radio, como el mdulo del vector , siendo = 2 5 + 3 7

    = 3 4 . Luego = = 9 + 16 = 25 = 5

    Escribamos la ecuacin de la circunferencia con centro 2,3 y radio = 5:

    2 2 + 3 2 = 52

    2 2 + 3 2 = 25 Ecuacin ordinaria de

    la circunferencia

    = 3

    4 +

    9

    2

    =1

    2 + 2

    = 3

    I

    II

  • 12

    2 4 + 4 + 2 6 + 9 = 25

    2 4 + 4 + 2 6 + 9 25 = 0

    2 + 2 4 6 16 = 0 Ecuacin general de

    la circunferencia

    Problemas resueltos sobre cnicas.

    1. Sobre Circunferencia.

    1) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (7, 5) y cuyo centro

    es el punto comn de las rectas: 1: 7 9 10 = 0 y 2: 2 5 + 2 = 0

    Solucin:

    Encontremos el punto de interseccin de las rectas:

    7 9 = 10 Por (-2): 14 + 18 = 20 2 5 = 2 Por (7): 14 35 = 14

    17 = 34 = 2 = 2

    Sustituyendo x en la ecuacin de 1 es: 7 9(2) = 10

    7 = 28

    = 4 = 4

    Tenemos la ecuacin de la circunferencia: 2 + 2 = 2 sabemos que h=4,

    k=2 es el centro de la circunferencia.

    En la ecuacin, , es el punto de la circunferencia, , son las coordenadas del

    centro de la circunferencia. Para encontrar el radio tenemos:

    7 4 2 + 5 2 2 = 2

    2 = 32 + 7 2

    2 = 9 + 49

    2 = 58

    Luego la ecuacin de la circunferencia buscada es:

    2) Una circunferencia contiene a los puntos 4,6 , (3,7) y (3, 1). Hallar la ecuacin

    de la circunferencia, su centro y radio.

    4 2 + 2 2 = 58

  • 13

    Solucin:

    La ecuacin general de la circunferencia es de la forma:

    2 + 2 + + + = 0

    (, ) Son las coordenadas de un punto de la circunferencia.

    Sustituyamos cada punto en la ecuacin general:

    Con 1(4,6) tenemos: 42 + 62 + 4 + 6 + = 0 4 + 6 + = 52 (1)

    Con 2(3,7) tenemos: (3)2 + 72 + 3 + 7 + = 0 3 + 7 + = 58 (2)

    Con 3(3, 1) tenemos: 32 + (1)2 + 3 + 1 + = 0 3 + = 10 (3)

    Resolvamos el SEL generado utilizando el mtodo de Gauss Jordan:

    4 6 1

    3 7 13 1 1

    525810

    41537

    4 6 10 46 70 22 1

    52388116

    41335

    95

    184 0 4

    0 46 70 0 200

    643883200

    124

    3353000

    1

    41 1;

    1

    2003 3

    46 0 10 46 70 0 1

    1638816

    31

    33515

    46 0 00 46 00 0 1

    0

    27616

    46

    23015

    1

    461 1;

    1

    462 2

    1 0 00 1 00 0 1

    =3

    0616

    =3

    1

    515

    = =

    De la matriz normalizada tenemos: = 0; = 6; = 16

    Tenemos la ecuacin general de la circunferencia: 2 + 2 + 0 6 16 = 0

    Completemos cuadrados: 2 + 2 6 = 16

    2 + 2 6 + 9 = 16 + 9

    2 + 3 2 = 25 0 2 + 3 2 = 25

    Circunferencia de radio = 25 = 5 y con centro (0,3).

    3) Hallar el rea de la regin limitada por 2 + 2 8 6 = 0 y el centro de la

    circunferencia.

  • 14

    Solucin:

    Esta ecuacin representa una circunferencia, completemos cuadrados:

    2 8 + 2 6 = 0 2 8 + 16 + 2 6 + 9 = 0 + 16 + 9

    4 2 + 3 2 = 25

    Circunferencia con centro (4,3) y radio = 5.

    rea del crculo= 2 = 25 = 25 .

    4) Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuacin es 2 + 2 + 12 4 + 15 = 0.

    Determine las coordenadas del centro.

    Solucin:

    El permetro de la circunferencia es = 2, que representa a la longitud de la

    circunferencia.

    Completemos cuadrados:

    2 + 12 + 2 4 = 15 2 + 12 + 36 + 2 4 + 4 = 15 + 36 + 4

    + 4 2 + 2 2 = 25

    Circunferencia con centro (4,2) y radio = 5.

    Permetro del crculo= 2 = 2 5 = 10

    2. Sobre Parbola.

    1) Graficar la cnica cuya ecuacin es 2 8 + 12 + 40 = 0. Determine sus elementos

    caractersticos.

    Solucin:

    Tenemos la ecuacin 2 8 + 12 + 40 = 0. Comparndola con la ecuacin general

    de segundo grado 2 + + 2 + + + = 0, tenemos que:

    = 1, = 0, = 0 2 4 = 02 4 0 0 = 0

    La ecuacin representa una parbola vertical.

    De la ecuacin 2 8 + 12 + 40 = 0, completemos cuadrados:

    2 8 = 12 40

    2 8 + 16 = 12 40 + 16

    4 2 = 12 24

    4 2 = 12 + 2 Parbola abierta

    hacia abajo

    Ecuacin de la forma: 2 = 4 + De donde: 4 = 12 = 3 Longitud del lado recto:

    4 = 12

    -

  • 15

    Vrtice 4, 2 Foco 4, 2 3 = (4, 5)

    2) Graficar la parbola cuya ecuacin es: 2 + 12 6 + 21 = 0. Encuentre:

    a) Vrtice

    b) Foco

    c) Longitud del lado recto.

    Solucin:

    Completemos cuadrados 2 6 = 12 21

    2 6 + 9 = 12 21 + 9

    3 2 = 12 12

    3 2 = 12 + 1 Parbola horizontal abierta

    hacia la izquierda

    Vrtice 1,3

    Longitud del lado recto: 4 = 12 = 3

    Foco 1 3,3 = (4,3)

  • 16

    2. Sobre Elipse.

    1) Determinar focos, vrtices, centro excentricidad, longitud del lado recto de la cnica

    cuya ecuacin es:272 + 362 162 729 = 0. Graficar la cnica y sus elementos.

    Solucin:

    Tenemos la ecuacin 272 + 362 162 729 = 0. Comparndola con la ecuacin

    general de segundo grado 2 + + 2 + + + = 0, tenemos que:

    = 27, = 0, = 36 2 4 = 02 4 27 36 = 3888 < 0

    La cnica es una elipse.

    Note tambin que A y C son distintos y del mismo signo.

    Completamos cuadrados: 272 + 362 162 729 = 0

    272 + 362 162 = 729

    27 2 6 + 362 = 729

    27 2 6 + 9 + 362 = 729 + (27 9)

    27 3 2 + 362 = 729 + 243

    27 3 2 + 362 = 972

    972 27 3 2

    972+

    362

    972=

    972

    972

    3 2

    36+

    2

    27= 1 Elipse horizontal con 2 = 36 2 = 27

    Ecuacin de la forma: 2

    2+

    2

    2= 1

    3 2

    36+

    0 2

    27= 1 C(3,0)

  • 17

    2 = 36 = 6 2 = 27 = 27 = 3 3

    2 = 2 + 2 2 = 2 2 = 2 2 = 36 27 = 9 = 3 = 3

    Vrtice: 1 9,0 2(3,0) Focos: 1 6,0 2(0,0)

    Puntos donde corta el eje normal con la elipse: 3, 27 (3, 27)

    Longitud del lado recto: =22

    =

    227

    6=

    54

    6= 9

    Excentricidad: e=

    =

    3

    6=

    1

    2 < 1

    2) Determine focos, vrtices, centro, excentricidad, longitud del lado recto, puntos donde corta la

    elipse con el eje normal. Grafique la cnica y sus elementos, cuya ecuacin es:

    252 + 162 150 160 + 225 = 0

    Solucin:

    Note que en la ecuacin A y C son distintos y del mismo signo.

    2 4 = 02 4 25 16 = 400 2 4 < 0

    La ecuacin representa una elipse.

    Completamos cuadrados: 252 150 + 162 160 = 225

    25 2 6 + 16 2 10 = 225

    25 2 6 + 9 + 16 2 10 + 25 = 225 + 25 9 + (16 25)

    25 3 2 + 16 5 2 = 225 + 225 + 400

    25 3 2 + 16 5 2 = 400

    400 25 3 2 + 16 5 2 = 400

  • 18

    25 3 2

    400+

    16 5 2

    400=

    400

    400

    3 2

    16+

    5 2

    25= 1

    Centro (3,5), elipse vertical.

    2 = 25 = 5 2 = 16 = 4

    2 = 2 + 2 2 = 2 2 = 2 2 = 25 16 = 9 = 3

    = 3

    Longitud del lado recto: =22

    =

    216

    5=

    32

    5= 6.4

    Excentricidad: e=

    =

    3

    5 < 1

    3. Sobre Hiprbola.

    La ecuacin general de la hiprbola con ejes paralelos a los ejes coordenados es de la forma:

    2 + 2 + + + = 0 con 2 4 > 0 y con A y C de signo diferente.

    Ecuacin ordinaria de la hiprbola con eje transverso paralelo al eje x (hiprbola horizontal):

    2

    2

    2

    2= 1

    Ecuaciones de sus asntotas: =

    Ecuacin ordinaria de la hiprbola con eje transverso paralelo al eje y (hiprbola vertical):

  • 19

    2

    2

    2

    2= 1

    Ecuaciones de sus asntotas: =

    Ejemplo:

    1) Encuentre los elementos de la hiprbola, cuya ecuacin es:

    22 32 6 4 + 12 = 0

    Note que:

    1- 2 4 = 02 4 2 3 = 24

    2- A y C son de signo diferente.

    Completando cuadrados: 22 32 6 4 = 12

    2 2 3 3 2 +4

    3 = 12

    2 2 3 +9

    4 3 2 +

    4

    3 +

    4

    9 = 12 + 2

    9

    4 + 3

    4

    9

    2 3

    2

    2

    3 +2

    3

    2

    = 12 +9

    2

    4

    3

    2 3

    2

    2

    3 +2

    3

    2

    = 53

    6

    53

    6

    2 32

    2

    536

    3 +

    23

    2

    536

    =

    536

    536

    12

    32

    2

    53+

    18 +23

    2

    53= 1

    32

    2

    5312

    + +

    23

    2

    5318

    = 1

    Note que el trmino positivo, es el que lleva la variable y luego la hiprbola es

    vertical.

    +23

    2

    5318

    32

    2

    5312

    = 1

    2 = 53

    18 =

    53

    18 = 1.71 2 =

    53

    12 =

    53

    12 = 2.10

    Para toda hiprbola: 2 = 2 + 2, luego: 2 =53

    18+

    53

    12 2 =

    265

    36 =

    265

    36

  • 20

    = 2.71

    Centro 3

    2,

    2

    3

    Vrtices:

    1 3

    2,

    2

    3+

    53

    18 = 1

    3

    2,

    2

    3+ 1.71 1

    3

    2, 1.04

    2 3

    2,

    2

    3

    53

    18 = 1

    3

    2,

    2

    3 1.71 1

    3

    2, 2.38

    Puntos sobre el eje conjugado:

    3

    2+ 2.10,

    2

    3 = 3.6,

    2

    3

    3

    2 2.10,

    2

    3 = 0.6,

    2

    3

    Focos:

    1 3

    2,

    2

    3 2.71 = 1

    3

    2, 3.38

    1 3

    2,

    2

    3+ 2.71 = 1

    3

    2, 2.04

    Asntotas:

    =

    2

    3 =

    1.71

    2.10

    3

    2

    +2

    3= 0.814

    3

    2

    I:

    +2

    3= 0.814

    3

    2

    = 0.814 1.22 2

    3

    = 0.814 1.89

    II:

    +2

    3= 0.814

    3

    2

    = 0.814 + 1.22 2

    3

    = 0.814 0.558

    Longitud del lado recto:

    =22

    =

    2 5312

    5318

    = 5.1478 = 5.1478

  • 21

    Excentricidad:

    =

    =

    2.71

    1.71= 1.58 > 1