CLASE Nº11-Temas 5.1 a 5.3 (Revisada)

Concreto Armado I • Contenido: • Tema 5: Miembros sometidos a flexocompresión • 5.1 Columnas ligadas y zunchadas • 5.2 Comportamiento de miembros sometidos a

carga axial y flexión • 5.3 Diagramas de interacción de columnas. • 5.4 Diseño de elementos a carga axial y flexión por

teoría de rotura • 5.5 Flexión biaxial • 5.6 Refuerzo transversal por confinamiento y corte • 5.7 Esbeltez

Prof. Ing. José Grimán Morales 1

INTRODUCCIÓN

• Las columnas son elementos estructurales que sostienen en general cargas de compresión y momentos flectores con respecto a uno o a los dos ejes principales de la sección transversal, así como también además en ocasiones la acción conjunta de fuerzas de corte y torsión.

• Son elementos verticales de estructuras, y también pueden ser elementos horizontales o inclinados.

• Tipos: 1) Elementos reforzados con barras longitudinales y estribos transversales. 2) Elementos reforzados con barras longitudinales y espirales continuas.

• 3. Elementos compuestos a compresión reforzados longitudinalmente con perfiles de acero estructural o con tubos con o sin barras longitudinales adicionales.



Figura 5.1. Tipos de columnas. Tomado de: Diseño de Concreto Reforzado. McCormac

INTRODUCCIÓN

• Las columnas de concreto se pueden clasificar en tres grupos:

• 1. Pedestales cortos o bloques de compresión. En estos la altura es menor que tres veces su dimensión lateral más pequeña.

• 2. Columnas cortas. Son aquellas en que la carga última para una excentricidad dada está solamente gobernada por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la sección transversal.

• 3. Columnas largas o esbeltas. En éstas la carga última también está influida por la esbeltez, lo que produce flexión adicional debido al desplazamiento lateral o pandeo.


• RESISTENCIA DE UNA COLUMNA CARGADA AXIALMENTE.

• La resistencia de una columna cargada axialmente se determina con la ecuación 5.1, en la cual se incluye el factor de reducción de resistencia “ 𝜙 “ multiplicando a la resistencia nominal.

• 𝝓 ∙ 𝑷𝒏 = 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇𝒚 (5.1)

• Donde:

• Ag = área gruesa de la sección transversal,

• Ast = área total del acero longitudinal,

• fy = resistencia de cedencia del acero.

• f’c = resistencia a compresión del concreto.

• 𝝓 = factor de minoración de resistencia.


INTRODUCCIÓN

• El factor de minoración "𝜙“ es menor para las columnas que para las vigas, ya que las columnas, a diferencia de éstas, son parte vital de la estabilidad de una estructura. Así mismo el coeficiente "𝜙“ refleja las diferencias en el comportamiento de columnas con ligaduras o estribos y de aquéllas reforzadas con espiral continua o zunchadas.

• Es poco probable en la práctica encontrar columnas en donde la excentricidad sea nula se recomienda realizar su diseño para una excentricidad mínima que varia de acuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene estribos la excentricidad mínima es del 10% de la dimensión de su sección en la dirección perpendicular al eje de la flexión. Si tiene amarre en espiral continua es de un 5%.


INTRODUCCIÓN

• Columnas con estribos:

• 𝝓 ∙ 𝑷𝒏(𝒎á𝒙) = 𝟎, 𝟖𝟎 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇𝒚

(5.2)

• Columnas con espiral o zunchadas:

• 𝝓 ∙ 𝑷𝒏(𝒎á𝒙) = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇𝒚

(5.3)

• En donde el valor de “ 𝜙 “ depende de como es el comportamiento de la columna en la falla. Si controla la compresión “ εt < 0.002 “ => “ 𝜙 = 0.65 “ en columnas con estribos y “ 𝜙 = 0.70 “ en columnas con espiral.


• Si controla la tracción “εt > 0.005 “ => “𝜙 = 0.90 “ en ambos casos. Para zonas de transición ( es decir hay agotamiento simultaneo por compresión y tracción ) “ 0.002 < εt < 0.005 “ el valor de “𝜙 = 0.48 + 83εt “ para columnas con estribos y “𝜙 = 0.57 + 67εt “ para columnas con espiral. El valor de la deformación “εt “ es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la sección.


Concreto Armado I • Contenido:

• Tema 5: Miembros sometidos a flexocompresión

• 5.1 Columnas ligadas y zunchadas

• 5.2 Comportamiento de miembros sometidos a carga axial y flexión

• 5.3 Diagramas de interacción de columnas.

• 5.4 Diseño de elementos a carga axial y flexión por teoría de rotura

• 5.5 Flexión biaxial

• 5.6 Refuerzo transversal por confinamiento y corte

• 5.7 Esbeltez


Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente

• Si una columna corta con estribos se carga hasta que falle, parte del recubrimiento de concreto se desprenderá y, a menos que los estribos estén poco separados entre sí, las varillas longitudinales se pandearán casi inmediatamente al desaparecer su soporte lateral (el recubrimiento de concreto). Tales fallas a menudo pueden ser muy repentinas y han ocurrido con frecuencia en estructuras sometidas a cargas sísmicas.



Figura 5.4. Original de: Diseño de estructuras de concreto. Arthur H. Nilson

• Si se considera ahora una situación similar a la anterior pero en la cual la columna tiene refuerzo transversal en espiral, el concreto del recubrimiento también se desprenderá pero el núcleo de concreto continuara vertical y si la espiral tiene espaciamiento pequeño la columna continuará soportando carga adicional superior a la que produce el desprendimiento del recubrimiento. Esta situación demuestra la efectividad de la espiral correctamente espaciada para confinar el concreto en la columna y lo que es mas importante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez se desprenda el recubrimiento.



Figura 5.5. Falla de una columna con espiral. Pérdida del recubrimiento


Figura 5.6. Comportamiento bajo carga axial de columnas con estribos y en espiral Original de: ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

• En la practica se desprecia cualquier aumento de resistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento. Por esto las normas recomiendan diseñar la espiral para lograr una resistencia de la columna justo por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendo así mantener en posición la columna y permitir grandes deformaciones sin producir el colapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcan sobrecargas excepcionales en la estructura.

• Para encontrar la cantidad adecuada de acero en espiral se calcula la contribución del cascarón a la resistencia =

• 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒄

• Donde Ag es el área gruesa y Ac es el área del núcleo del concreto cuyo perímetro esta definido por el borde exterior de la espiral.


• Considerando que la tensión de aro estimada que se produce en las espirales es debido a la presión lateral del núcleo y por pruebas, puede demostrarse que el acero del zunchado es por lo menos el doble de efectivo para aumentar la capacidad última de la columna como el acero longitudinal. Por consiguiente, la resistencia de la espiral puede calcularse aproximadamente por la siguiente expresión, en donde 𝝆s es el porcentaje de acero en espiral:

• 𝟐𝝆𝒔𝒇𝒚𝑨𝒄 , se igualan la expresiones y se despeja 𝝆s:

• 𝝆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟓 ∙𝑨𝒈

𝑨𝒄− 𝟏 ∙

𝒇′𝒄

𝒇𝒚

• Para mantener mayor seguridad en “𝝆s“ se recomienda usar la siguiente expresión para obtener la cuantía de refuerzo en espiral mínima:

• 𝝆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙𝑨𝒈

𝑨𝒄− 𝟏 ∙

𝒇′𝒄

𝒇𝒚 , donde fy ≤ 7000 kgf/cm2 .


• Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su diámetro y espaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones:

• 𝝆𝒔 =𝑨𝒆𝒔𝒑∙𝝅∙ 𝒅𝒄−𝒅𝒃

𝝅∙𝒅𝒄𝟐 𝟒 ∙𝒔

=𝟒∙𝑨𝒆𝒔𝒑∙ 𝒅𝒄−𝒅𝒃

𝒔∙𝒅𝒄𝟐

• En estas formulas “ Aesp “ es el área transversal del refuerzo en espiral, “ dc “ es el diámetro del núcleo de hormigón, “ db “ el diámetro de refuerzo en espiral como se indica en la figura siguiente. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un diámetro para la espiral y se halla el paso requerido “ s “. Si los resultados no son adecuados se puede ensayar otro diámetro hasta lograr los valores correctos.



Figura 5.7. Definición de variables en columnas con espiral. Original de: McCormac

• De la comparación del comportamiento debido a los dos tipos de refuerzo transversal se tiene que dos columnas cargadas concéntricamente y diseñadas con los requisitos ACI, una con estribos y otra con refuerzo en espiral pero idénticas en los demás aspectos, fallarán aproximadamente a la misma carga, la primera de manera súbita y frágil, la segunda de manera gradual con pérdida previa del cascarón y con un comportamiento más dúctil.

• Esta ventaja de la columna con refuerzo en espiral es menos evidente si la carga se aplica con una excentricidad considerable o cuando se presentan efectos de flexión por otras fuentes en forma simultánea con la carga axial.


• Requisitos constructivos en columnas de hormigón armado:

• Los códigos y normas de construcción ( ACI-318 y 1753-06) especifican algunas limitaciones en dimensiones, refuerzo, restricción lateral y otros conceptos relativos al diseño de las columnas de los edificios. A continuación se presentan las que son mas importantes para el diseño estructural.

• El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del área total de la columna “ ρmin = 0.01 Ag “. Se ha comprobado que columnas que tienen cantidades de refuerzo menores del 1% fallan súbitamente en forma similar a una columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre también problemas de tensiones internas debidas a la fluencia y la retracción del hormigón en servicio.



• El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la sección total de la columna. Con esto se previene la congestión del refuerzo y las dificultades en el acabado final del hormigón.

• En la practica se han encontrado los problemas anteriores aun con cuantías del 5% y 6%. El uso de cuantías altas no solo afectan la apariencia final del hormigón sino también su capacidad de carga.

• Cuando se van a utilizar empalmes por solape es recomendable no superar la cuantía del 4%. En ningún caso se deben usar paquetes de barras para altas cuantías de refuerzo.



• El numero mínimo de barras longitudinales en una columna es de 4 para secciones con estribos rectangulares o circulares, 3 para estribos triangulares y 6 para secciones con espiral. La disposición de las barras afectara la resistencia a flexión de las columnas cargadas excéntricamente.

• Por lo general no se especifica una sección mínima de columna, sin embargo para dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que las mínimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios es aconsejable disminuir las dimensiones al máximo para lograr mayores espacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros.



• Cuando se utilizan columnas con estribos, estos no deben tener diámetros menores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usar estribos # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado con áreas equivalentes.

• El espaciamiento centro a centro de los estribos no debe ser mayor que: a) 16 veces el diámetro de las barras longitudinales b) 48 veces el diámetro de los estribos y c) la menor dimensión de la columna. Ver figura 5.8. Consideraremos aquí colocar como separación entre estribos aproximadamente la mitad del menor valor obtenido con estas condiciones.



Figura 5.8. Separación de los estribos en columnas Original de: ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE

COLOMBIA


• Los estribos deben distribuirse de manera que cada barra longitudinal de esquina, lo mismo que cada barra interior de por medio, tengan un soporte lateral suministrado por la esquina de un estribo, con un ángulo de no más de 135°; además ninguna barra debe estar ubicada a más de 150 mm de distancia libre a cada lado, de una de estas barras soportadas lateralmente. Ver la figura 5.9

• Las secciones de la figura 5.9, con estribos adicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barras longitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar también estribos circulares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente.



Figura 5.9. Disposición típica de estribos en columnas. Original de: McCormac


Figura 5.10. Original de: Norma Venezolana 1753-06


• Ya que existe poca evidencia experimental sobre el comportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras de refuerzo el ACI especifica colocar estribos adicionales entre cada extremo del empalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones donde los empalmes son cercanos a la base de la columna.

• Los estribos no deben colocarse a mas de la mitad de su separación en la parte superior de las zapatas o losas de piso ni mas de la mitad de su separación por debajo de las losas.

• El código ACI recomienda que la separación mínima de espirales sea de 25 mm y la máxima de 75 mm. Cuando sean necesario empalmar barras longitudinales se debe usar solape o soldadura.



Figura 5.11. Recomendaciones para diseño sismorresistente Original de: María Perdomo y José Yépez

• Ejemplo 5.1:

• Diseñar una columna corta de sección cuadrada con estribos, cargada axialmente con un Pu = 285500 kgf. Considerar f´c = 280 kgf/cm2 y fy = 3570 kgf/cm2.

• 1) Se asume un 𝝆 = 0,02.

• 2) Cómo Pu ≤ 𝜙 Pn , se determina el área gruesa requerida

• 𝑷𝒖 ≤ 𝟎, 𝟖𝟎 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝝆 ∙ 𝑨𝒈 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝝆 ∙ 𝑨𝒈 ∙ 𝒇𝒚

• 𝑨𝒈 ≥𝑷𝒖

𝟎,𝟖𝟎∙𝝓∙ 𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄−𝟎,𝟖𝟓∙𝝆∙𝒇′𝒄+𝝆∙𝒇𝒚

• 𝑨𝒈 ≥𝟐𝟖𝟓𝟓𝟎𝟎

𝟎,𝟖𝟎∙𝟎,𝟔𝟓∙ 𝟎,𝟖𝟓∙𝟐𝟖𝟎−𝟎,𝟖𝟓∙𝟎,𝟎𝟐∙𝟐𝟖𝟎+𝟎,𝟎𝟐∙𝟑𝟓𝟕𝟎

• 𝑨𝒈 ≥ 𝟏𝟖𝟎𝟐, 𝟑 𝒄𝒎𝟐 , b = h = 42,5 cm, se asume 45 x 45


• 3) Para la sección seleccionada se determina As despejando de la misma ecuación: Ag = 2025 cm2

• 𝑷𝒖 ≤ 𝟎, 𝟖𝟎 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝑨𝒔𝒕 ∙ 𝒇𝒚

• 𝑨𝒔 ≥

𝑷𝒖𝟎,𝟖𝟎∙𝝓

−𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄∙𝑨𝒈

𝒇𝒚 −𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄

• 𝑨𝒔 ≥

𝟐𝟖𝟓𝟓𝟎𝟎

𝟎,𝟖𝟎∙𝟎,𝟔𝟓 −𝟎,𝟖𝟓∙𝟐𝟖𝟎∙𝟐𝟎𝟐𝟓

𝟑𝟓𝟕𝟎 −𝟎,𝟖𝟓∙𝟐𝟖𝟎 ≥ 𝟐𝟎, 𝟏𝟒 𝒄𝒎𝟐

• Esto representa aproximadamente 1% del Ag, si asumimos 𝝆 = 0,015 , resulta As = 30,375 cm2 , lo cual se suple con 6 cabillas de 1 pulgada, es decir 6 # 8

• 4) Se eligen estribos # 3, con recubrimiento mínimo de 4 cm.


• 5) Se calcula la separación máxima de los estribos:

• 16*db = 16*2,54 = 40,64 cm

• 48*d estribo = 48*0,953 =45,74 cm

• Menor dimensión de la columna = 45 cm

• Se colocan estribos #3 @ 20 cm.

• 6) Se realizan chequeos de las limitaciones del código ACI para columnas:

• Separación libre de las barras del acero longitudinal (7.6.1):

• 𝑺𝒍 =𝒃−𝟐·𝒓−𝟐·𝒅𝒔− 𝒅𝒊−𝟐·(𝟐·𝒅𝒔−

𝒅𝒃

𝟐)

𝒏𝒃−𝟏 =

• SL = 𝟒𝟓−𝟐·𝟒,𝟗𝟓𝟑−𝟑·𝟐,𝟓𝟒−𝟐·(𝟐·𝟎,𝟗𝟓𝟑−

𝟐,𝟓𝟒

𝟐)

𝟑−𝟏 = 𝟏𝟑, 𝟏 𝒄𝒎 < 15 cm (ok)


• Se chequea con la separación mínima: 1,5·dblongitudinal o 4 cm

• 13,1 cm > 1,5·2,54 = 3,81 cm y 13,1 > 4 cm (ok).

• Limitación de porcentaje de acero (10.9.1):

• 𝟎, 𝟎𝟏 < 𝝆 = 𝟑𝟎,𝟒𝟎

𝟒𝟓∙𝟒𝟓= 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 < 𝟎, 𝟎𝟖 (ok).

• Limitación de número de barras (10.9.2):

• Número de barras = 6 > núm. Mín. 4 (ok)

• Tamaño mínimo del estribo (7.10.5.1): #3 para barras #8, (ok)

• Separación entre estribos (7.10.5.2): (ok)

• Disposición de estribos (7.10.5.3): (ok)



• Ejemplo 5.2:

• Una columna de concreto armado soporta en servicio una carga axial permanente de Pp = 83,6 ton y variable de Pv = 138,6 ton. Determinar su refuerzo longitudinal, la cuantía de la espiral y el diámetro de su sección si f´c = 280 kgf/cm2 y fy = 4200 kgf/cm2

• 1) Se determina la carga mayorada:

• 𝑷𝒖 = 𝟏, 𝟐 ∙ 𝟖𝟑, 𝟔 + 𝟏, 𝟔 ∙ 𝟏𝟑𝟖, 𝟔 = 𝟑𝟐𝟐, 𝟎𝟖 ton

• 2) Se asume un 𝝆 = 0,02.

• 3) Cómo Pu ≤ 𝜙 Pn , se determina el área gruesa requerida

• 𝑷𝒖 ≤ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝝆 ∙ 𝑨𝒈 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝝆 ∙ 𝑨𝒈 ∙ 𝒇𝒚

• 𝑨𝒈 ≥𝑷𝒖

𝟎,𝟖𝟓∙𝝓∙ 𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄−𝟎,𝟖𝟓∙𝝆∙𝒇′𝒄+𝝆∙𝒇𝒚


• 𝑨𝒈 ≥𝟑𝟐𝟐𝟎𝟖𝟎

𝟎,𝟖𝟓∙𝟎,𝟕𝟎∙ 𝟎,𝟖𝟓∙𝟐𝟖𝟎−𝟎,𝟖𝟓∙𝟎,𝟎𝟐∙𝟐𝟖𝟎+𝟎,𝟎𝟐∙𝟒𝟐𝟎𝟎

• 𝑨𝒈 ≥ 𝟏𝟕𝟎𝟔, 𝟑 𝒄𝒎𝟐

• 4) Se determina el diámetro de la columna:

• 𝑫 = 𝟒∙𝑨𝒈

𝝅=

𝟒∙𝟏𝟕𝟎𝟔,𝟑

𝝅= 𝟒𝟔, 𝟔 𝒄𝒎

• Se asume D = 50 cm, lo cual da un área gruesa

• 𝑨𝒈 =𝝅∙𝑫𝟐

𝟒=𝝅∙𝟓𝟎𝟐

𝟒= 𝟏𝟗𝟔𝟑, 𝟓 𝒄𝒎𝟐


• 5) Para la sección seleccionada se determina As despejando de la misma ecuación: Ag = 1963,5 cm2

• 𝑷𝒖 ≤ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚

• 𝑨𝒔 ≥

𝑷𝒖𝟎,𝟖𝟓∙𝝓

−𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄∙𝑨𝒈

𝒇𝒚 −𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′𝒄

• 𝑨𝒔 ≥

𝟐𝟖𝟓𝟓𝟎𝟎

𝟎,𝟖𝟓∙𝟎,𝟕𝟎 −𝟎,𝟖𝟓∙𝟐𝟖𝟎∙𝟏𝟗𝟔𝟑,𝟓

𝟒𝟐𝟎𝟎 −𝟎,𝟖𝟓∙𝟐𝟖𝟎 ≥ 𝟏𝟖, 𝟕 𝒄𝒎𝟐

• Esto representa aproximadamente 1% del Ag, si asumimos 𝝆 = 0,015 , resulta As = 29,5 cm2 , lo cual se suple con 8 cabillas de 7/8 pulgada, es decir 8 # 7 (As = 31,03 cm2)


• 6) Se determina 𝝓 ∙ 𝑷𝒏 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔 ∙ 𝒇′𝒄 + 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚

• 𝝓 ∙ 𝑷𝒏 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟎, 𝟕𝟎 ∙𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟏𝟗𝟔𝟑, 𝟓 − 𝟑𝟏, 𝟎𝟑 ∙ 𝟐𝟖𝟎 + 𝟑𝟏, 𝟎𝟑 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎

• 𝝓 ∙ 𝑷𝒏 = 𝟑𝟓𝟏𝟐𝟎𝟓, 𝟖 𝒌𝒈𝒇 > 𝟑𝟐𝟐𝟎𝟖𝟎 𝒌𝒈𝒇 𝒐𝒌

• 7) Considerando un recubrimiento libre de hormigón de 4 cm => El área del núcleo de la columna es:

• 𝑨𝒄 =𝝅∙ 𝑫−𝟐∙𝒓 𝟐

𝟒=𝝅∙𝟒𝟐𝟐

𝟒= 𝟏𝟑𝟖𝟓, 𝟓 𝒄𝒎𝟐

• 8) Se calcula la cuantía mínima del espiral:

• 𝝆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙𝑨𝒈

𝑨𝒄− 𝟏 ∙

𝒇′𝒄

𝒇𝒚

• 𝝆𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙𝟏𝟗𝟔𝟑,𝟓

𝟏𝟑𝟖𝟓,𝟓− 𝟏 ∙

𝟐𝟖𝟎

𝟒𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓


• 9) Si se asume un espiral de diámetro igual a la barra # 3 => despejando “ s “ de ecuación siguiente:

• 𝝆𝒔 =𝑨𝒆𝒔𝒑∙𝝅∙ 𝒅𝒄−𝒅𝒃

𝝅∙𝒅𝒄𝟐 𝟒 ∙𝒔

=𝟒∙𝑨𝒆𝒔𝒑∙ 𝒅𝒄−𝒅𝒃

𝒔∙𝒅𝒄𝟐

• 𝒔 =𝟒∙𝑨𝒆𝒔𝒑∙ 𝒅𝒄−𝒅𝒃

𝝆𝒔 ∙𝒅𝒄𝟐 =

𝟒∙𝟎,𝟕𝟏∙ 𝟒𝟐−𝟎,𝟗𝟓𝟐

𝟎,𝟎𝟏𝟐𝟓∙𝟒𝟐𝟐= 𝟓, 𝟐𝟖 𝒄𝒎

• Usar espiral # 3 con paso de 5 cm.


• 10) Se realizan chequeos de las limitaciones del código ACI para columnas:

• Separación libre de las barras del acero longitudinal (7.6.1):

• Se calcula el perímetro interno: 𝑷𝒊 = 𝝅 ∙ 𝑫𝒆𝒙𝒕 − 𝟐 ∙ 𝒓 + 𝒅𝒔 = 𝛑 ∙ 𝟓𝟎 − 𝟐 · 𝟒, 𝟗𝟓𝟑 =𝟏𝟐𝟓, 𝟗𝟔 𝒄𝒎

• 𝑺𝒍 =𝑷𝒊− 𝒅𝒊)

𝒏𝒃 =

• SL = 𝟏𝟐𝟓,𝟗𝟔−𝟖·𝟐,𝟐𝟐𝟐)

𝟖 = 𝟏𝟑, 𝟓𝟐 𝒄𝒎 < 15 cm (ok)

• Se chequea con la separación mínima: 1,5·dblongitudinal o 4 cm

• 13,52cm > 1,5·2,222 = 3,33 cm y 13,1 > 4 cm (ok).

• Limitación de porcentaje de acero (10.9.1):

• 𝟎, 𝟎𝟏 < 𝝆 = 𝟑𝟏,𝟎𝟒

𝟏𝟗𝟔𝟑,𝟓= 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟖 < 𝟎, 𝟎𝟖 (ok).


• Limitación de número de barras (10.9.2):

• Número de barras = 8 > núm. Mín. 6 (ok)

• Tamaño mínimo del estribo (7.10.4.2): #3 (ok)

• Paso del espiral “s = 5 cm” (7.10.4.3): (ok)

Comportamiento de miembros sometidos a carga axial y flexión

• En edificios y otras estructuras los momentos flectores se producen por continuidad, es decir, por el hecho de que las columnas son partes de pórticos monolíticos en los cuales los momentos en los apoyos de las vigas son resistidos en parte por las columnas de soporte, también bajo condiciones de cargas horizontales como fuerzas de viento y sismo, y frente a cargas aplicadas en forma excéntrica en ménsulas de columnas


• Cuando un elemento está sometido a una compresión axial P combinada con un momento flector M, como en la parte "a)" de la figura 5.12 , por lo general es conveniente remplazar la carga axial y el momento flector por una carga equivalente de igual magnitud P aplicada con una excentricidad e = M/P, como en la parte "b)" de la figura 5.12. Las dos situaciones de carga son estáticamente equivalentes.


Figura 5.12. Original de: Aspectos fundamentales del Concreto Reforzado. González Cuevas y Robles Fernández

• Las columnas se flexionarán bajo la acción de los momentos y éstos tenderán a producir compresión en un lado de las columnas y tensión en el otro. Según sean las magnitudes relativas de los momentos y las cargas axiales, hay varias formas en que las secciones pueden fallar.

• a) Carga axial grande con momento despreciable: para esta situación, la falla ocurre por aplastamiento del concreto, habiendo alcanzado todas las varillas de refuerzo en la columna su esfuerzo de fluencia en compresión.


• b) Carga axial grande y momento pequeño, tal que toda la sección transversal está en compresión: cuando una columna está sujeta a un momento flexionante pequeño (es decir, cuando la excentricidad es pequeña), la columna entera estará en compresión, pero la compresión será más grande en un lado que en el otro. El esfuerzo de compresión máximo en la columna será de 0.85 f’c, y la falla ocurrirá por aplastamiento del concreto, con todas las varillas trabajando a compresión.


• c) Excentricidad mayor que en el caso (b), por lo que empieza a desarrollarse tensión en un lado de la columna: si la excentricidad aumenta un poco respecto al caso precedente, empezará a desarrollarse tensión en un lado de la columna y el acero en ese lado estará en tensión, pero con un valor menor al correspondiente al esfuerzo de fluencia. En el lado opuesto el acero estará en compresión. La falla ocurre por aplastamiento del concreto en el lado de compresión.


• d) Condición de carga balanceada: a medida que aumenta la excentricidad, se llega a una condición en que las varillas de refuerzo en el lado de tensión alcanzan sus esfuerzos de fluencia al mismo momento que el concreto en el lado opuesto alcanza su compresión máxima de 0.85 f’c. Esta situación se llama condición de carga balanceada.

• e) Momento grande con carga axial pequeña: si la excentricidad aumenta aún más, la falla se inicia por la fluencia de las varillas en el lado de tensión de la columna, antes que el aplastamiento del concreto.

• f) Momento grande sin carga axial apreciable: para esta condición, la falla ocurre como en una viga.


• DIAGRAMA DE INTERACCIÓN

• Un elemento puede alcanzar su resistencia bajo innumerables combinaciones de carga axial y momento flexionante. Estas combinaciones varían desde una carga axial máxima, Po, de tensión o compresión, y un momento nulo, hasta un momento Mo, considerando una carga axial nula.

• El lugar geométrico de las combinaciones de carga axial y momento flexionante con las que un elemento puede alcanzar su resistencia, se representa gráficamente por medio de un diagrama de interacción.


• En el diagrama de interacción se pueden distinguir los dos modos principales de falla de elementos sujetos a flexocompresión: falla en compresión y falla en tensión.

• En el primer caso la falla se produce por aplastamiento del concreto. El acero del lado más comprimido fluye, en tanto que el del lado opuesto no fluye en tensión.

• El segundo modo de falla se produce cuando el acero de un lado fluye en tensión antes de que se produzca el aplastamiento del concreto en el lado opuesto, más comprimido.

• El tipo de falla depende esencialmente de la relación entre momento y carga axial en el colapso. En el diagrama de interacción, el punto “C” de la figura anterior, separa la zona de fallas en compresión de la de fallas en tensión; recibe el nombre de punto de falla balanceada.



• De acuerdo a cómo está distribuido el refuerzo longitudinal en la sección transversal, se tienen cuatro casos casos:

• 1) Acero igual en dos lados:

Original de: Aspectos fundamentales del Concreto Reforzado. González Cuevas y Robles Fernández

Original de: Diseño de Estructuras de Concreto. Arthur H. Nilson


• 2) Acero en los cuatro lados, en cantidades iguales o no:




• 3) Acero en dos lados pero no iguales, la excentricidad se mide desde el centroide plástico:


• 4) Columna de sección circular:




• Para la construcción del diagrama de interacción se aplican las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas internas y de compatibilidad de deformaciones en una sección de la columna sometida a flexocompresión.

• 𝑷𝒏 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′𝒄∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′

𝒄− 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚 (1)

• 𝑴𝒏 = 𝑷𝒏 ∙ 𝒆 =

𝟎, 𝟖𝟓𝒇′𝒄𝒂𝒃 𝒅 − 𝒙 −

𝒂

𝟐+ 𝑨′𝒔 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′

𝒄𝒅 − 𝒓 − 𝒙 +

𝑨𝒔𝒇𝒔 ∙ 𝒙 (2)

• Donde x es la distancia del centroide plástico al centro del acero a tracción y r es recubrimiento de diseño al centro de As y A’s. En esta ecuación la suma de momentos es con respecto al centroide plástico

• 𝒆 =𝑴

𝑷 (3)

• 𝝐𝒔 = 𝝐𝒖𝒅−𝒄

𝒄 (4)

• 𝒇𝒔 = 𝝐𝒖𝑬𝒔𝒅−𝒄

𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)


• 𝝐′𝒔 = 𝝐𝒖𝒄 − 𝒅′

𝒄 (4)

• 𝒇′𝒔 = 𝝐𝒖𝑬𝒔𝒄 −𝒅′

𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)

• Profundidad del bloque de esfuerzos:

• 𝒂 = 𝜷𝟏𝒄 𝒚 ≤ 𝒉 (6)

• Fuerza resultante a compresión del concreto:

• 𝑪 = 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′𝒄 𝒂 𝒃 (7)

• Falla balanceada:

• 𝒄 = 𝒄𝒃 = 𝒅 𝝐𝒖

𝝐𝒖+ 𝝐𝒚 (8)

• 𝝐𝒚 = 𝒇𝒚

𝑬𝒔 (9)

• 𝒂 = 𝒂𝒃 = 𝜷𝟏𝒄𝒃 (10)


• Ejemplo 5.3:

• Una columna de 30x50 está reforzada por seis barras #8, con un área de 5,07 cm2 cada una, tres a cada lado como se observa en la figura. Si f’c = 250 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2. Determine: El diagrama de interacción determinando a) el punto Poc que corresponde a carga axial de compresión pura, b) el punto B que corresponde a la falla balanceada, c) la carga y el momento para un punto en la zona de falla en compresión, d) la carga y el momento para un punto en la zona de falla a tensión. e) por aproximación un punto antes y otro después para ubicar el punto Mo que corresponde a momento sin carga axial.


Adaptado de: Diseño de Estructuras de Concreto. Arthur H. Nilson


• 1) Cálculo de Poc:

• 𝑷𝒐𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′𝒄∙ 𝑨𝒈 − 𝑨𝒔 + 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚

• 𝑨𝒈 = 𝟑𝟎 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐, 𝑨𝒔 = 𝟔 ∙ 𝟓, 𝟎𝟕 = 𝟑𝟎, 𝟒𝟐 𝒄𝒎

𝟐

• 𝑷𝒐𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟏𝟓𝟎𝟎 − 𝟑𝟎, 𝟒𝟐 + 𝟑𝟎, 𝟒𝟐 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎

• 𝑷𝒐𝒄 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟒𝟗, 𝟕𝟓 𝒌𝒈𝒇

• 2) Cálculo de la falla balanceada.

• Se calcula cb:

• 𝒄𝒃 = 𝒅 𝝐𝒖

𝝐𝒖+ 𝝐𝒚 , 𝝐𝒚 =

𝒇𝒚

𝑬𝒔=

𝟒𝟐𝟎𝟎

𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐

• 𝒄𝒃 = 𝟒𝟑, 𝟓 𝟎,𝟎𝟎𝟑

𝟎,𝟎𝟎𝟑+𝟎,𝟎𝟎𝟐= 𝟐𝟔, 𝟏 𝒄𝒎

• Se calcula ab : 𝒂𝒃 = 𝜷𝟏𝒄𝒃 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟔, 𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟗 𝒄𝒎


• Por definición fs = fy = 4200 kg/cm2

• Se calcula f´s: 𝒇′𝒔 = 𝝐𝒖𝑬𝒔𝒄 −𝒅′

𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)

• 𝒇′𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝟐, 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝟐𝟔,𝟏−𝟔,𝟓

𝟐𝟔,𝟏= 𝟒𝟕𝟑𝟏 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

• El acero a compresión cede => 𝒇′𝒔= 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

• Se calcula la resultante de compresión en el concreto:

• 𝑪𝒃 = 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′𝒄 𝒂𝒃 𝒃 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟐𝟐, 𝟏𝟗 ∙ 𝟑𝟎 =𝟏𝟒𝟏𝟒𝟐𝟗, 𝟒 𝒌𝒈𝒇

• Se calcula la carga Pnb : (Observe que a debe ser mayor que d’)

• 𝑷𝒏𝒃 = 𝑪𝒃 + 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′

𝒄− 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚

• 𝑷𝒏𝒃 = 𝟏𝟒𝟏𝟒𝟐𝟗, 𝟒 + 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟑𝟗𝟖𝟕, 𝟓 − 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎

• 𝑷𝒏𝒃 = 𝟏𝟑𝟖𝟏𝟗𝟕, 𝟐𝟓 𝐤𝐠𝐟


• Se calcula el momento Mnb :

• 𝑴𝒏𝒃 =

𝑪𝒃𝒉

𝟐−𝒂

𝟐+ 𝑨′𝒔 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′

𝒄

𝒉

𝟐− 𝒅′ + 𝑨𝒔𝒇𝒚 𝒅 −

𝒉

𝟐

• 𝑴𝒏𝒃 = 𝟏𝟒𝟏𝟒𝟐𝟗, 𝟒 𝟐𝟓 −𝟐𝟐,𝟏𝟗

𝟐+ 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 𝟑𝟗𝟖𝟕, 𝟓 𝟐𝟓 − 𝟔, 𝟓 +

𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝟒𝟑, 𝟓 − 𝟐𝟓

• 𝑴𝒏𝒃 = 𝟒𝟐𝟕𝟎𝟕𝟔𝟖, 𝟕𝟐 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎 = 𝟒𝟐𝟕𝟎𝟕, 𝟕 𝒌𝒈 ∙ 𝒎

• Se calcula la excentricidad correspondiente a la carga balanceada:

• 𝒆 =𝑴𝒏𝒃

𝑷𝒏𝒃=𝟒𝟐𝟕𝟎𝟕𝟔𝟖,𝟕𝟐

𝟏𝟑𝟖𝟏𝟗𝟕,𝟐𝟓= 𝟑𝟎, 𝟗 𝒄𝒎


• 3) Cálculo de un punto en la zona de falla a tensión:

• Se asume un valor de c < cb: c = 13 cm



𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)

• 𝒇′𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝟐, 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝟏𝟑−𝟔,𝟓

𝟏𝟑= 𝟑𝟏𝟓𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

• El acero a compresión no cede

• Se calcula a : 𝒂 = 𝜷𝟏𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟏𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟓 𝒄𝒎


• 𝑪 = 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′𝒄 𝒂 𝒃 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟏𝟏, 𝟎𝟓 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟕𝟎𝟒𝟒𝟑, 𝟕𝟓 𝒌𝒈𝒇

• Se calcula la carga Pn : (Observe que a debe ser mayor que d’)

• 𝑷𝒏 = 𝑪 + 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′


• 𝑷𝒏 = 𝟕𝟎𝟒𝟒𝟑, 𝟕𝟓 + 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟐𝟗𝟑𝟕, 𝟓 − 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎

• 𝑷𝒏 = 𝟓𝟏𝟐𝟒𝟏, 𝟏𝟑 𝐤𝐠𝐟


• Se calcula el momento Mn :

• 𝑴𝒏 = 𝑪𝒉

𝟐−𝒂

𝟐+ 𝑨′𝒔 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′

𝒄

𝒉

𝟐− 𝒅′ + 𝑨𝒔𝒇𝒚 𝒅 −

𝒉

𝟐

• 𝑴𝒏 = 𝟕𝟎𝟒𝟒𝟑, 𝟕𝟓 𝟐𝟓 −𝟏𝟏,𝟎𝟓

𝟐+ 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 𝟐𝟗𝟑𝟕, 𝟓 𝟐𝟓 − 𝟔, 𝟓 +

𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝟒𝟑, 𝟓 − 𝟐𝟓

• 𝑴𝒏 = 𝟑𝟑𝟖𝟎𝟐𝟕𝟕, 𝟓 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎 = 𝟑𝟑𝟖𝟎𝟐, 𝟖 𝒌𝒈 ∙ 𝒎

• Se calcula la excentricidad correspondiente a la combinación Pn y Mn:

• 𝒆 =𝑴𝒏

𝑷𝒏=𝟑𝟑𝟖𝟎𝟐𝟕𝟕,𝟓

𝟓𝟏𝟐𝟒𝟏,𝟏= 𝟔𝟓, 𝟗𝟕𝒄𝒎


• 4) Cálculo de un punto en la zona de falla a tensión cercano a Mo :

• Se asume un valor de c < cb: c = 8,4 cm



𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)

• 𝒇′𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝟐, 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝟖,𝟒−𝟔,𝟓

𝟖,𝟒= 𝟏𝟒𝟐𝟓 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

• El acero a compresión no cede

• Se calcula a : 𝒂 = 𝜷𝟏𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟖, 𝟒 = 𝟕, 𝟏𝟒 𝒄𝒎


• 𝑪 = 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′𝒄 𝒂 𝒃 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟕, 𝟏𝟒 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟒𝟓𝟓𝟏𝟕, 𝟓 𝒌𝒈𝒇

• Se calcula la carga Pn : (Observe que a debe ser mayor que d’)

• 𝑷𝒏 = 𝑪 + 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′


• 𝑷𝒏 = 𝟒𝟓𝟓𝟏𝟕, 𝟓 + 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟏𝟐𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎

• 𝑷𝒏 = 𝟕𝟕, 𝟔𝟑 𝐤𝐠𝐟




𝟐−𝒂

𝟐+ 𝑨′𝒔 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′

𝒄

𝒉

𝟐− 𝒅′ + 𝑨𝒔𝒇𝒚 𝒅 −

𝒉

𝟐

• 𝑴𝒏 = 𝟒𝟓𝟓𝟏𝟕, 𝟓 𝟐𝟓 −𝟕,𝟏𝟒

𝟐+ 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 𝟏𝟐𝟏𝟐, 𝟓 𝟐𝟓 − 𝟔, 𝟓 +

𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝟒𝟑, 𝟓 − 𝟐𝟓

• 𝑴𝒏 = 𝟐𝟒𝟗𝟖𝟒𝟑𝟔, 𝟑𝟒 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎 = 𝟐𝟒𝟗𝟖𝟒, 𝟒 𝒌𝒈 ∙ 𝒎


• 𝒆 =𝑴𝒏

𝑷𝒏=𝟐𝟒𝟗𝟖𝟒𝟑𝟔,𝟑𝟒

𝟕𝟕,𝟔𝟑= 𝟑𝟐𝟏𝟖𝟔 𝒄𝒎


• 5) Cálculo de un punto en la zona de falla a compresión: • Se asume un valor de c > cb: c = 30 cm

• Se calcula fs: 𝒇𝒔 = 𝝐𝒖𝑬𝒔𝒅 − 𝒄

𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)

• 𝒇′𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝟐, 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝟒𝟑,𝟓−𝟑𝟎

𝟑𝟎= 𝟐𝟖𝟑𝟓 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

• El acero As no cede


𝒄 𝒚 ≤ 𝒇𝒚 (5)

• 𝒇′𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝟐, 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝟑𝟎−𝟔,𝟓

𝟑𝟎= 𝟒𝟗𝟑𝟓 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

• 𝒇′𝒔 = 𝟒𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈𝒇

𝒄𝒎𝟐 , El acero a compresión cede

• Se calcula a : 𝒂 = 𝜷𝟏𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟐𝟓, 𝟓𝒄𝒎 • Se calcula la resultante de compresión en el concreto:

• 𝑪 = 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′𝒄 𝒂 𝒃 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟐𝟓, 𝟓 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟏𝟔𝟐𝟓𝟔𝟐, 𝟓 𝒌𝒈𝒇 • Se calcula la carga Pn :

• 𝑷𝒏 = 𝑪 + 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′

𝒄− 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒔

• 𝑷𝒏 = 𝟏𝟔𝟐𝟓𝟔𝟐, 𝟓 + 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟑𝟗𝟖𝟕, 𝟓 − 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟐𝟖𝟑𝟓 = 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟗𝟐 𝐤𝐠𝐟




𝟐−𝒂

𝟐+ 𝑨′𝒔 𝒇

′𝒔− 𝟎, 𝟖𝟓𝒇′

𝒄

𝒉

𝟐− 𝒅′ + 𝑨𝒔𝒇𝒔 𝒅 −

𝒉

𝟐

• 𝑴𝒏 = 𝟏𝟔𝟐𝟓𝟔𝟐, 𝟓 𝟐𝟓 −𝟐𝟓,𝟓

𝟐+ 𝟏𝟓, 𝟐𝟏 𝟑𝟗𝟖𝟕, 𝟓 𝟐𝟓 − 𝟔, 𝟓 +

𝟏𝟓, 𝟐𝟏 ∙ 𝟐𝟖𝟑𝟓 𝟒𝟑, 𝟓 − 𝟐𝟓

• 𝑴𝒏 = 𝟑𝟗𝟏𝟏𝟏𝟑𝟗, 𝟖 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎 = 𝟑𝟗𝟏𝟏𝟏, 𝟒 𝒌𝒈 ∙ 𝒎


• 𝒆 =𝑴𝒏

𝑷𝒏=𝟑𝟗𝟏𝟏𝟏𝟑𝟗,𝟖

𝟏𝟖𝟎𝟎𝟗𝟐= 𝟐𝟏, 𝟕𝟐 𝒄𝒎

• Siguiendo el mismo procedimiento se prueba con c = 40 cm y se obtiene :

• Pn = 269015,4 kg, Mn = 3011136,2 kg.cm = 30111,4 kg.m, e = 11,2 cm


• 2) Acero en los cuatro lados, en cantidades iguales o no:




• Ejemplo 5.3:

• Una columna de 30x65 está reforzada por 10 barras #8, distribuidas alrededor del perímetro como se muestra en la figura. Si f’c = 350 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2. Determine: El diagrama de interacción determinando a) el punto Poc que corresponde a carga axial de compresión pura, b) el punto B que corresponde a la falla balanceada, c) la carga y el momento para un punto en la zona de falla en compresión, d) la carga y el momento para dos punto en la zona de falla a tensión. e) por aproximación un punto antes y otro después para ubicar el punto Mo que corresponde a momento sin carga axial.

CLASE Nº11-Temas 5.1 a 5.3 (Revisada)

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