Capítulo 5A. Capítulo 5A. Momento de torsiónMomento de torsiónPresentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

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El momento de El momento de torsión es un giro o torsión es un giro o vuelta que tiende a vuelta que tiende a producir rotación. * producir rotación. * * * * * Las aplicaciones Las aplicaciones se encuentran en se encuentran en muchas muchas herramientas herramientas comunes en el comunes en el hogar o la industria hogar o la industria donde es necesario donde es necesario girar, apretar o girar, apretar o aflojar dispositivos.aflojar dispositivos.

Objetivos: Después de Objetivos: Después de completar este módulo, completar este módulo, deberá:deberá:

• Definir y dar ejemplos de los términos Definir y dar ejemplos de los términos momento de momento de torsión, brazo de momento, eje torsión, brazo de momento, eje yy línea de acción línea de acción de de una fuerza. una fuerza.

• Dibujar, etiquetar y calcular los Dibujar, etiquetar y calcular los brazos de momentobrazos de momento para una variedad de fuerzas aplicadas dado un eje para una variedad de fuerzas aplicadas dado un eje de rotación.de rotación.

• Calcular el Calcular el momento de torsión resultantemomento de torsión resultante en torno a en torno a cualquier eje dadas la magnitud y ubicaciones de las cualquier eje dadas la magnitud y ubicaciones de las fuerzas sobre un objeto extendido.fuerzas sobre un objeto extendido.

• Opcional:Opcional: Definir y aplicar el Definir y aplicar el producto cruz vectorialproducto cruz vectorial para calcular momento de torsión.para calcular momento de torsión.

Definición de Definición de momento de torsiónmomento de torsión

El momento de torsión se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional.

El momento de torsión se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional.

Ejemplos:

El momento de torsión se El momento de torsión se determina por tres factores:determina por tres factores:

• La La magnitudmagnitud de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La direccióndirección de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La ubicaciónubicación de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La magnitudmagnitud de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La direccióndirección de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La ubicaciónubicación de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

20 N

Magnitude of force

40 N

The 40-N force produces twice the torque as does the

20-N force.

Each of the 20-N forces has a different

torque due to the direction of force. 20 N

Direction of Force

20 N

20 N20 N

Ubicación de fuerzaLas fuerzas más cercanas al extremo de la llave tienen mayores momentos de torsión.

20 N20 N

Unidades para el momento de Unidades para el momento de torsióntorsión

El momento de torsión es proporcional a la magnitud de F y a la distancia r desde el eje. Por tanto, una fórmula tentativa puede ser:

El momento de torsión es proporcional a la magnitud de F y a la distancia r desde el eje. Por tanto, una fórmula tentativa puede ser:

= Fr = Fr Unidades:Nm o lbft

6 cm

40 N

= (40 N)(0.60 m)

= 24.0 Nm, cw

= 24.0 Nm, cw = 24.0 Nm, cw

Dirección del momento Dirección del momento de torsión de torsión

El momento de torsión es una cantidad vectorial que tiene tanto

dirección como magnitud.

El momento de torsión es una cantidad vectorial que tiene tanto

dirección como magnitud.

Girar el mango de un destornillador en sentido

de las manecillas del reloj y luego en sentido contrario

avanzará el tornillo primero hacia adentro y luego hacia

afuera.

Convención de signos para Convención de signos para el momento de torsión el momento de torsión

Por convención, los momentos de torsión en sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivos y los momentos de torsión en sentido de las manecillas

del reloj son negativos.Momento de torsión positivo:

contra manecillas del reloj, fuera de

la páginamr

cmr

Momento de torsión negativo: sentido

manecillas del reloj, hacia la página

Línea de acción de una Línea de acción de una fuerzafuerza

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.

F1

F2

F3

Línea de

acción

El brazo de momentoEl brazo de momento

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación.

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación.

F2

F1

F3

r

rr

Cálculo de momento de Cálculo de momento de torsióntorsión

• Lea el problema y dibuje una figura burda.Lea el problema y dibuje una figura burda.

• Extienda la línea de acción de la fuerza.Extienda la línea de acción de la fuerza.

• Dibuje y etiquete el brazo de momento.Dibuje y etiquete el brazo de momento.

• Calcule el brazo de momento si es necesario.Calcule el brazo de momento si es necesario.

• Aplique definición de momento de torsión:Aplique definición de momento de torsión:

• Lea el problema y dibuje una figura burda.Lea el problema y dibuje una figura burda.

• Extienda la línea de acción de la fuerza.Extienda la línea de acción de la fuerza.

• Dibuje y etiquete el brazo de momento.Dibuje y etiquete el brazo de momento.

• Calcule el brazo de momento si es necesario.Calcule el brazo de momento si es necesario.

• Aplique definición de momento de torsión:Aplique definición de momento de torsión:

= Fr = Fr Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una fuerza de Una fuerza de 80 N80 N actúa en el actúa en el extremo de una llave de extremo de una llave de 12 cm12 cm como se como se muestra. Encuentre el momento de torsión.muestra. Encuentre el momento de torsión.

• Extienda línea de acción, dibuje, calcule r.

= (80 N)(0.104 m) = 8.31 N m

= (80 N)(0.104 m) = 8.31 N m

r = 12 cm sen 600 = 10.4 cm

r = 12 cm sen 600 = 10.4 cm

Alternativo:Alternativo: Una fuerza de Una fuerza de 80 N80 N actúa en actúa en el extremo de una llave de el extremo de una llave de 12 cm12 cm como se como se muestra. Encuentre el momento de torsión.muestra. Encuentre el momento de torsión.

Descomponga la fuerza de 80-N en componentes como se muestra.

Note de la figura: rx = 0 y ry = 12 cm

= (69.3 N)(0.12 m) = 8.31 N m como antes = 8.31 N m como antes

positivo

12 cm

Cálculo del momento de torsión Cálculo del momento de torsión resultanteresultante

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.rotación.

• Extienda líneas de acción para cada fuerza.Extienda líneas de acción para cada fuerza.

• Calcule brazos de momento si es necesario.Calcule brazos de momento si es necesario.

• Calcule momentos de torsión debidos a CADA Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije signo apropiado. CMR fuerza individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).(+) y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.de los momentos de torsión individuales.

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.rotación.

• Extienda líneas de acción para cada fuerza.Extienda líneas de acción para cada fuerza.

• Calcule brazos de momento si es necesario.Calcule brazos de momento si es necesario.

• Calcule momentos de torsión debidos a CADA Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije signo apropiado. CMR fuerza individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).(+) y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.de los momentos de torsión individuales.

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Encuentre el momento Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje de torsión resultante en torno al eje AA para el arreglo que se muestra para el arreglo que se muestra abajo:abajo:

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

Encuentre debido a cada

fuerza. Considere primero la fuerza

de 20 N:

Encuentre debido a cada

fuerza. Considere primero la fuerza

de 20 N:

r = (4 m) sen 300 = 2.00 m

= Fr = (20 N)(2 m) = 40 N m, mr

El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y

negativo.

20 = -40 N m20 = -40 N m

r

negativo

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): A continuación A continuación encuentre el momento de torsión encuentre el momento de torsión debido a la fuerza de debido a la fuerza de 30 N30 N en torno al en torno al mismo eje mismo eje AA..

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

Encuentre debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 30 N.

Encuentre debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 30 N.

r = (8 m) sen 300 = 4.00 m

= Fr = (30 N)(4 m) = 120 N m, mr

El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y

negativo.

30 = -120 N m30 = -120 N m

rnegativo

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): Finalmente, Finalmente, considere el momento de torsión considere el momento de torsión debido a la fuerza de debido a la fuerza de 40-N40-N..

Encuentre debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 40 N:

Encuentre debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 40 N:

r = (2 m) sen 900 = 2.00 m

= Fr = (40 N)(2 m) = 80 N m, cmr

El momento de torsión en torno a A es CMR y positivo.

40 = +80 N m40 = +80 N m

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

r

positivo

Ejemplo 2 (conclusión):Ejemplo 2 (conclusión): Encuentre el Encuentre el momento de torsión resultante en momento de torsión resultante en torno al eje torno al eje AA para el arreglo que se para el arreglo que se muestra abajo:muestra abajo:

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.

El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.

R = - 80 N mR = - 80 N m

Sentido de las

manecillas del reloj

(MR)

R = 20 + 30 + 40 = -40 N m -120 N m + 80 N m

Parte II: Momento de Parte II: Momento de torsión y producto cruz o torsión y producto cruz o

producto vectorial.producto vectorial.Discusión opcional

Esto concluye el tratamiento general del momento de torsión. La Parte II detalla el uso del producto vectorial para calcular el momento de torsión resultante. Consulte a su instructor antes de estudiar esta sección.

El producto vectorialEl producto vectorial

El momento de torsión también se puede encontrar con el producto vectorial de la fuerza F y el vector de posición r. Por ejemplo, considere la siguiente figura.

F

r

F sen El efecto de la fuerza F

a un ángulo (momento de torsión) es avanzar la tuerca afuera de la página.

Momento de

torsión

Magnitud:

(F sen )r Dirección = Afuera de la página (+).

Definición de un producto Definición de un producto vectorialvectorial

La magnitud del producto vectorial (cruz) de dos vectores A y B se define como:

A x B = l A l l B l sen

F x r = l F l l r l sen Sólo Sólo magnitudmagnitud

F

(F sen ) r o F (r sen )

En el ejemplo, el producto cruz de F y r es:

En efecto, esto se convierte simplemente en:

r

F sen

Ejemplo:Ejemplo: Encuentre la Encuentre la magnitudmagnitud del producto cruz de los vectores del producto cruz de los vectores rr y y FF dibujados a continuación: dibujados a continuación:

r x F = l r l l F l sen r x F = (6 in.)(12 lb) sen

r x F = l r l l F l sen

r x F = (6 in.)(12 lb) sen 120

Explique Explique la diferenciala diferencia.. Además, ¿qué hay de Además, ¿qué hay de F x r??

12 lb

r x F = 62.4 lb in.

Momento de

torsión

600

6 in.

Momento de

torsión

600

6 in.

12 lb r x F = 62.4 lb in.

Dirección del producto Dirección del producto vectorial.vectorial.

La La direccióndirección de de un producto un producto vectorial se vectorial se determina por la determina por la regla de la mano regla de la mano derecha.derecha.

A

C

BB

-CA

A x B = C A x B = C (arriba)(arriba)B x A = -C B x A = -C (abajo)(abajo)

Enrolle los dedos de la Enrolle los dedos de la mano derecha en mano derecha en dirección del producto dirección del producto cruz (cruz (AA a a BB) o () o (BB a a AA). ). El El pulgarpulgar apuntará en la apuntará en la dirección del producto dirección del producto CC..

¿Cuál es la ¿Cuál es la dirección de A x dirección de A x

C?C?

Ejemplo:Ejemplo: ¿Cuáles son la magnitud ¿Cuáles son la magnitud y dirección del producto cruz, y dirección del producto cruz, r r x x FF??

r x F = l r l l F l sen r x F = (6 in.)(10 lb) sen

r x F = 38.3 lb in.

10 lbMomento de

torsión

500

6 in. Magnitud

Afuera

r

F Dirección por regla de mano derecha:Afuera del papel (pulgar) o +kr x F = (38.3 lb in.) k

¿Cuáles son la magnitud y dirección de F x r?

Productos cruz usando (Productos cruz usando (i, i, j, kj, k))

x

z

yConsidere ejes 3D (x, y, z)Defina vectores unitarios i, j, k

ij

kConsidere producto cruz: i x i

i x i = (1)(1) sen 00 = 0

i i

j x j = (1)(1) sen 00 = 0

k x k = (1)(1) sen 00= 0

Las magnitudes son cero para productos vectoriales paralelos.

Productos vectoriales usando (Productos vectoriales usando (i, j, i, j, kk))

Considere ejes 3D (x, y, z)Defina vectores unitarios i, j, k

x

z

y

ij

k Considere producto punto: i x j

i x j = (1)(1) sen 900 = 1j x k = (1)(1) sen 900 = 1

k x i = (1)(1) sen 900 = 1

j i

Las magnitudes son “1” para productos vectoriales perpendiculares.

Producto vectorial Producto vectorial (Direcciones)(Direcciones)

x

z

y

ij

k

i x j = (1)(1) sen 900 = +1 kj x k = (1)(1) sen 900 = +1 i

k x i = (1)(1) sen 900 = +1 j

Las direcciones están dadas por la regla de la mano derecha. Rote el primer vector hacia el segundo.

k

j

i

Práctica de productos Práctica de productos vectoriales (vectoriales (i, j, ki, j, k))

x

z

y

ij

ki x k = ?k x j = ?

Las direcciones están dadas por la regla de la mano derecha. Rote el primer vector hacia el segundo.

k

j

i 2 i x -3 k = ?

- j (abajo)- i (izq.)

+ 6 j (arriba)

j x -i = ?

+ k (afuera)

Uso de notación i, j – Productos Uso de notación i, j – Productos vectorialesvectoriales

Considere: A = 2 i - 4 j y B = 3 i + 5 j

A x B = (2 i - 4 j) x (3 i + 5 j) =

(2)(3) ixi + (2)(5) ixj + (-4)(3) jxi + (-4)(5) jxj

k -k0 0

A x B = (2)(5) k + (-4)(3)(-k) = +22 k

Alternativa:

A = 2 i - 4 j B = 3 i + 5 jA x B = 10 - (-12) = +22

k

Evalúe el determinante

ResumenResumenEl momento de torsión es el producto de

una fuerza y su brazo de momento definido como:

El momento de torsión es el producto de una fuerza y su brazo de momento

definido como:El brazo de momento de una fuerza es la distancia

perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación.

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje

de rotación.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de

la fuerza.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de

la fuerza.

= Fr = Fr Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Resumen: Momento de Resumen: Momento de torsión resultantetorsión resultante

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.rotación.

• Extienda las líneas de acción para cada Extienda las líneas de acción para cada fuerza.fuerza.

• Calcule los brazos de momento si es Calcule los brazos de momento si es necesario.necesario.

• Calcule los momentos de torsión debidos a Calcule los momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije el signo CADA fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+) y MR (-).apropiado. CMR (+) y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.de los momentos de torsión individuales.

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.rotación.

• Extienda las líneas de acción para cada Extienda las líneas de acción para cada fuerza.fuerza.

• Calcule los brazos de momento si es Calcule los brazos de momento si es necesario.necesario.

• Calcule los momentos de torsión debidos a Calcule los momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije el signo CADA fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+) y MR (-).apropiado. CMR (+) y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.de los momentos de torsión individuales.

Conclusión: Capítulo 5AConclusión: Capítulo 5AMomento de torsión Momento de torsión