Capítulo 34B – Reflexión Capítulo 34B – Reflexión y espejos II (analítico)y espejos II (analítico)

Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity© 2007

Objetivos: Objetivos: Después de Después de completar este módulo completar este módulo

deberá:deberá:• Definir e ilustrar los siguientes términos: Definir e ilustrar los siguientes términos:

imagen imagen realreal y y virtualvirtual, espejos , espejos convergentesconvergentes y y divergentesdivergentes, , distancia focaldistancia focal y y amplificaciónamplificación..

• Predecir matemáticamente la Predecir matemáticamente la naturalezanaturaleza, , tamañotamaño y y ubicaciónubicación de la imagen formada de la imagen formada por espejos esféricos.por espejos esféricos.

• Comprender y aplicar las Comprender y aplicar las convenciones de convenciones de signossignos que se aplican a distancia focal, que se aplican a distancia focal, distancia a la imagen, altura de imagen y distancia a la imagen, altura de imagen y amplificación.amplificación.

• Determinar matemáticamente la Determinar matemáticamente la amplificaciónamplificación y/o la distancia focal de y/o la distancia focal de espejos esféricos.espejos esféricos.

Óptica analíticaÓptica analítica

En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para describir con más precisión las imágenes para describir con más precisión las imágenes especulares. Pero primero se revisarán algunos especulares. Pero primero se revisarán algunos principios gráficos cubiertos en el módulo 34A principios gráficos cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.acerca de la reflexión de la luz.

En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para describir con más precisión las imágenes para describir con más precisión las imágenes especulares. Pero primero se revisarán algunos especulares. Pero primero se revisarán algunos principios gráficos cubiertos en el módulo 34A principios gráficos cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.acerca de la reflexión de la luz.

El espejo planoEl espejo plano

Distancia al objeto

Distancia a la

imagen

=

p = q

ObjetoObjeto ImageImagenn

pp qq

Distancia al objeto:Distancia al objeto: Distancia en línea Distancia en línea recta recta pp desde la superficie del espejo al desde la superficie del espejo al objeto. objeto. Distancia a la imagen:Distancia a la imagen: Distancia en línea Distancia en línea recta recta qq desde la superficie del espejo a desde la superficie del espejo a la imagen. la imagen.

La imagen es virtual

Espejos esféricosEspejos esféricosUn Un espejo esféricoespejo esférico se se forma mediante las forma mediante las superficies interna superficies interna ((cóncavacóncava) o externa ) o externa ((convexaconvexa) de una ) de una esfera.esfera.

Aquí se muestra un Aquí se muestra un espejo esférico espejo esférico cóncavocóncavo con con identificación de identificación de partes.partes.Se muestran el Se muestran el ejeeje y y la la abertura linealabertura lineal..

Espejo cóncavo

Radio de curvatura RVértice V

Centro de curvatura C

Abertura lineal

V

C

R Eje

Distancia focal Distancia focal ff de un de un espejoespejo

eje

Rayo paralelo incidente

f

Distancia focal, f

La distancia focal f es igual a la mitad del radio RLa distancia focal f es igual a la mitad del radio R

Como Como ii = = rr, se , se encuentra que encuentra que FF está a medio está a medio camino entre camino entre VV y y CC; se tiene:; se tiene:

La distancia La distancia focal focal f f es: es:

2

Rf

C Vr

i

RF

Punto focal

Espejos convergentes y Espejos convergentes y divergentesdivergentes

Los espejos Los espejos cóncavos cóncavos y y los rayos paralelos los rayos paralelos convergentes se convergentes se llamarán llamarán espejos espejos convergentesconvergentes..

Los espejos Los espejos convexosconvexos y los rayos paralelos y los rayos paralelos divergentes se divergentes se llamarán llamarán espejos espejos divergentesdivergentes..

CF

Espejo convergente

Cóncavo

C F

Espejo divergente

Convexo

DefinicionesDefiniciones

Distancia focal:Distancia focal: Distancia en línea recta Distancia en línea recta ff desde la superficie del espejo al foco del desde la superficie del espejo al foco del espejo. espejo. Amplificación:Amplificación: Razón del tamaño de la Razón del tamaño de la imagen al tamaño del objeto.imagen al tamaño del objeto.

Imagen real:Imagen real: Imagen formada por rayos de Imagen formada por rayos de luz reales que se puede proyectar en una luz reales que se puede proyectar en una pantalla. pantalla. Imagen virtual:Imagen virtual: Imagen que parece Imagen que parece estar en una ubicación donde no llegan estar en una ubicación donde no llegan rayos de luz. rayos de luz. Espejos convergentes y divergentes:Espejos convergentes y divergentes: Se Se refiere a la reflexión de rayos paralelos refiere a la reflexión de rayos paralelos desde la superficie del espejo.desde la superficie del espejo.

Resumen de construcción de Resumen de construcción de imagen:imagen:

Rayo 1:Rayo 1: Un rayo paralelo al eje del Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a través del punto focal de espejo pasa a través del punto focal de un espejo cóncavo o parece venir un espejo cóncavo o parece venir desde el punto focal de un espejo desde el punto focal de un espejo convexo.convexo.Rayo 2:Rayo 2: Un rayo que pasa por el foco de Un rayo que pasa por el foco de un espejo cóncavo o procede del foco un espejo cóncavo o procede del foco de un espejo convexo se refleja paralelo de un espejo convexo se refleja paralelo al eje del espejo. al eje del espejo.

Rayo 3:Rayo 3: Un rayo que procede de un Un rayo que procede de un radio siempre se refleja de vuelta a lo radio siempre se refleja de vuelta a lo largo de su trayectoria original. largo de su trayectoria original.

C F

Espejo convergente

Ejemplos de construcción de Ejemplos de construcción de imagenimagen

Los tres rayos principales para espejos Los tres rayos principales para espejos convergentes (cóncavos) y divergentes convergentes (cóncavos) y divergentes (convexos).(convexos).

Rayo 1

Rayo 2

Rayo 3

CC

Espejo divergente

F

Rayo 1

Rayo 2

Rayo 3

Imagen

Revisión de hechos de Revisión de hechos de imágenesimágenes

Para espejos planos, la distancia al objeto Para espejos planos, la distancia al objeto es igual a la distancia a la imagen y todas es igual a la distancia a la imagen y todas las imágenes son derechas y virtuales.las imágenes son derechas y virtuales.Para espejos convergentes y Para espejos convergentes y divergentes, la distancia focal es igual a divergentes, la distancia focal es igual a la mitad del radio.la mitad del radio.Todas las imágenes formadas en espejos Todas las imágenes formadas en espejos convexos son derechas, virtuales y convexos son derechas, virtuales y reducidas.reducidas.Excepto para objetos ubicados dentro del Excepto para objetos ubicados dentro del foco (que son derechas y virtuales), todas foco (que son derechas y virtuales), todas las imágenes formadas en espejos las imágenes formadas en espejos convergentes son reales e invertidas. convergentes son reales e invertidas.

Preguntas acerca de Preguntas acerca de imágenesimágenes

3. ¿Es alargada, reducida o del mismo tamaño?

2. ¿La imagen es real o virtual?

1. ¿La imagen es derecha o invertida?

4. ¿Cuáles son las distancias al objeto y a la imagen, p y q?

5. ¿Cuál es la altura y’ o el tamaño de la imagen?

6. ¿Cuál es la amplificación M = y’/y de la imagen?

Definición de símbolosDefinición de símbolosAl aplicar álgebra y geometría al diagrama de Al aplicar álgebra y geometría al diagrama de trazado de rayos, como el de abajo, se puede trazado de rayos, como el de abajo, se puede derivar una relación para predecir la ubicación derivar una relación para predecir la ubicación de las imágenes.de las imágenes.

y

Y’

R

q

p

f

Dist. a objeto pDist. a imagen qDistancia focal fRadio R

Tamaño de objeto yTamaño de imagen y’

2

Rf

Ecuación de espejoEcuación de espejo

y

Y’

R

q

p

f

2

Rf

2

Rf

1 1 1

p q f

1 1 1

p q f

Las siguientes ecuaciones se dan sin Las siguientes ecuaciones se dan sin derivación. Se aplican igualmente bien derivación. Se aplican igualmente bien para espejos convergentes y para espejos convergentes y divergentes.divergentes.

Las siguientes ecuaciones se dan sin Las siguientes ecuaciones se dan sin derivación. Se aplican igualmente bien derivación. Se aplican igualmente bien para espejos convergentes y para espejos convergentes y divergentes.divergentes.

Convención de signosConvención de signos

1. La distancia al objeto p es positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales.2. La distancia a la imagen q es positiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales.

3. La distancia focal f y el radio de curvatura R son positivos para espejos convergentes y negativa para espejos divergentes.

1 1 1

p q f

1 1 1

p q f

Ejemplo 1.Ejemplo 1. Un lápiz de Un lápiz de 6 cm6 cm se coloca a se coloca a 50 cm50 cm del vértice de un espejo de del vértice de un espejo de 40 cm40 cm de diámetro. ¿Cuáles son la ubicación y de diámetro. ¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la imagen?naturaleza de la imagen?

Bosqueje la imagen Bosqueje la imagen burda.burda.

p p = 50 cm; = 50 cm; RR = 40 = 40 cmcm

40 cm; 20 cm

2 2

Rf f

1 1 1

p q f 1 1 1

50 cm 20 cmq

C F

p

q

f

Ejemplo 1 (Cont.).Ejemplo 1 (Cont.). ¿Cuáles son la ubicación y ¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la imagen? (naturaleza de la imagen? (p p = 50 cm; = 50 cm; f f = = 2020 cm)cm)

1 1 1

50 cm 20 cmq

1 1 1

20 cm 50 cmq

q = +33.3 cmq = +33.3 cm

La imagen es real (+q), invertida, reducida y se ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).

La imagen es real (+q), invertida, reducida y se ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).

C F

p

q

f

Trabajo con recíprocosTrabajo con recíprocosLa ecuación del espejo se La ecuación del espejo se puede resolver fácilmente con puede resolver fácilmente con el botón recíproco (el botón recíproco (1/x1/x) de la ) de la mayoría de las calculadoras:mayoría de las calculadoras:

1 1 1

p q f

1 1 1

p q f

P qP q 1/x1/x ++ 1/x1/x == 1/x1/xCómo encontrar Cómo encontrar f:f:

Lo mismo con calculadoras con notación Lo mismo con calculadoras con notación inversa puede ser:inversa puede ser:

Cómo encontrar Cómo encontrar f:f:

P qP q 1/x1/x ++1/x1/x 1/x1/xEnteEnterr

Posible secuencia para encontrar Posible secuencia para encontrar ff en calculadoras en calculadoras lineales:lineales:

¡Tenga cuidado con la sustitución de los ¡Tenga cuidado con la sustitución de los números signados!números signados!

¡Tenga cuidado con la sustitución de los ¡Tenga cuidado con la sustitución de los números signados!números signados!

Soluciones alternativasSoluciones alternativasPuede ser útil resolver algebraicamente Puede ser útil resolver algebraicamente la ecuación para cada uno de los la ecuación para cada uno de los parámetros:parámetros:

1 1 1

p q f

1 1 1

p q f

qpf

q p

qpf

q p

qf

pq f

qfp

q f

pf

qp f

pfq

p f

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una flecha se coloca a Una flecha se coloca a 30 cm30 cm de de la superficie de una esfera pulida de la superficie de una esfera pulida de 80 cm80 cm de radio. ¿Cuál es la ubicación y naturaleza de radio. ¿Cuál es la ubicación y naturaleza de la imagen?de la imagen?

Dibuje un bosquejo de Dibuje un bosquejo de la imagen:la imagen:

p p = 30 cm; = 30 cm; RR = -80 = -80 cmcm -80 cm

; 40 cm2 2

Rf f

Resuelva la ecuación del Resuelva la ecuación del espejo para espejo para qq, luego , luego observe los signos observe los signos cuidadosamente en la cuidadosamente en la sustitución:sustitución:

pfq

p f

pfq

p f

Ejemplo 2 (Cont.)Ejemplo 2 (Cont.) Encuentre la Encuentre la ubicación y naturaleza de la imagen ubicación y naturaleza de la imagen cuando cuando pp = 30 cm y = 30 cm y qq = -40 cm. = -40 cm.

(30 cm)(-40 cm)

30 cm - (-40 cm)q

q = -17.1 cm

La imagen es La imagen es virtual virtual (-q), (-q), derechaderecha y y reducidareducida. Parece estar ubicada a una . Parece estar ubicada a una distancia de distancia de 17.1 cm17.1 cm detrásdetrás del del espejo.espejo.

La imagen es La imagen es virtual virtual (-q), (-q), derechaderecha y y reducidareducida. Parece estar ubicada a una . Parece estar ubicada a una distancia de distancia de 17.1 cm17.1 cm detrásdetrás del del espejo.espejo.

Amplificación de Amplificación de imágenesimágenes

La La amplificaciónamplificación MM de una imagen es la de una imagen es la razón del razón del tamaño de la imagen tamaño de la imagen y’y’ al al tamaño del objeto tamaño del objeto yy..

Amplificación:

'y qM

y p

yy y y y’ y’ son positivas cuando derechas; negativas son positivas cuando derechas; negativas invertidas.invertidas.

Obj.

Img.

Obj.

Img.

M = +2 M = -1/2

y y’

y y’

qq es positiva cuando real; negativa cuando es positiva cuando real; negativa cuando virtual.virtual.MM positiva cuando imagen derecha; negativa positiva cuando imagen derecha; negativa invertida.invertida.

Ejemplo 3.Ejemplo 3. Una llave de Una llave de 8 cm8 cm se coloca a se coloca a 10 cm10 cm de un espejo divergente de de un espejo divergente de f = -f = -20 20 cmcm. ¿Cuál es la ubicación y tamaño de la . ¿Cuál es la ubicación y tamaño de la imagen? imagen?

( 6.67 cm)

10 cm

qM

p

Amplificación:M = +0.667

Como M = y’/y y’ = My o:

(10cm)(-20cm)

10 cm - (-20 cm)

pfq

p f

q = - 6.67 cmq = - 6.67 cm

¡Virtua¡Virtual!l!

y’ = +5.34 cm

Y’Y

p q

Imagen virtual

Espejo convergente

FF CC

Llave

Ejemplo 4.Ejemplo 4. ¿Cuán cerca debe estar la cara ¿Cuán cerca debe estar la cara de una niña a un espejo convergente con de una niña a un espejo convergente con distancia focal de 25 cm, para que vea distancia focal de 25 cm, para que vea una imagen derecha del doble de tamaño? una imagen derecha del doble de tamaño? ( (M = +2)M = +2)

2 ; 2q

M q pp

AdemáAdemás, s,

pfq

p f

2pf

pp f

Por tanto, Por tanto, f = f = -2(p - f) = -2-2(p - f) = -2pp + + 22ff

f = f = -2-2pp + 2 + 2ff25 cm

2 2

fp p = 12.5

cm p = 12.5 cm

ResumenResumen

y

Y’

R

q

p

f

2

Rf

2

Rf

1 1 1

p q f

1 1 1

p q f

Las siguientes ecuaciones se aplican Las siguientes ecuaciones se aplican igualmente bien a espejos convergentes y igualmente bien a espejos convergentes y divergentes.divergentes.

Las siguientes ecuaciones se aplican Las siguientes ecuaciones se aplican igualmente bien a espejos convergentes y igualmente bien a espejos convergentes y divergentes.divergentes.

Resumen: Convención de Resumen: Convención de signossignos

1. Distancia a objeto p positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales.

2. Distancia a imagen q positiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales.

3. Distancia focal f y radio de curvatura R positivos para espejos convergentes y negativos para espejos divergentes.4. Tamaño de imagen y’ y amplificación M de imágenes positivos para imágenes derechas y negativos para imágenes invertidas.

1 1 1

p q f

1 1 1

p q f

Resumen: AmplificaciónResumen: AmplificaciónLa La amplificaciónamplificación MM de una imagen es la de una imagen es la razón del razón del tamaño de la imagen tamaño de la imagen y’y’ al al tamaño del objeto tamaño del objeto yy..

Amplificación:

'y qM

y p

yy y y y’ y’ positivos cuando derechos; negativos positivos cuando derechos; negativos invertidos.invertidos.

Obj.

Img.

Obj.

Img.

M = +2 M = -1/2

y y’

y y’

qq positivo cuando real; negativo cuando positivo cuando real; negativo cuando virtual.virtual.MM positivo cuando imagen derecha; negativo positivo cuando imagen derecha; negativo invertida.invertida.

CONCLUSIÓN: Capítulo 34BCONCLUSIÓN: Capítulo 34BReflexión y espejos II Reflexión y espejos II

(analítico)(analítico)